Sistemas de Numeração Martha Salerno Monteiro IME-USP martha@ime.usp.br c Martha Salerno Monteiro, 2016
Contagem Primitiva Nosso ponto de partida: primeiros esforços do homem para sistematizar os conceitos de grandeza, forma e número. Há evidências arqueológicas de que, há 50.000 anos, o homem era capaz de contar. O osso de Ishango (encontrado em Ishango - República Democrática do Congo - em 1960): tem mais de 8.000 anos mostra números preservados por meio de entalhes no osso. https://pt.wikipedia.org/wiki/osso de Ishango
Osso de Ishango Acervo do Royal Belgian Institute of Natural Sciences, em Bruxelas.
Alguns detalhes do osso de Ishango
Bases Quando se tornou necessário efetuar contagens com números maiores, o processo precisou ser sistematizado. O caminho encontrado foram as bases. Há evidências de que 2, 3 e 4 serviram como bases primitivas. Há também evidências de que o 12 tenha sido uma base em épocas préhistóricas (talves por ser o número de lunações de 1 ano). Até hoje temos o 12 aparecendo de modo importante em muitas situações: as horas de um relógio, as medidas 1 pé = 12 polegadas, 1 ano = 12 meses, as palavras dúzia e grosa = 12 dúzias.
Sistemas de agrupamento simples Escolhe-se uma base b e adotam-se símbolos para 1,b,b 2,b 3, etc. Qualquer número se expressa pelo uso desses símbolos aditivamente. Um exemplo desse sistema são os hieróglifos egipcios, que datam de 3.400 a.c. aproximadamente. Os símbolos usados eram: 1 10 100 1000 10,000 100,000 1,000,000 Para escrever um número, bastava colocar os símbolos correspondentes lado a lado, repetindo-se cada um deles conforme necessário. Por exemplo, o número 13.012 era escrito na forma
Os Egipcios Antigos usavam quase que exclusivamente frações da forma 1 n. A maior exceção era a fração 2 3, frequentemente encontrada em textos matemáticos. Alguns hieróglifos para frações: 1 2 2 3
Multiplicação A multiplicação era feita calculando-se o dobro, dobro do dobro, etc. Vejamos a ideia por meio do exemplo do Problema 69 encontrado no papiro de Rhind, também encontrado em https://en.wikipedia.org/wiki/ancient Egyptian mathematics. 80 14 =? Com a notação usada nos tempos de hoje, eles calculavam: 80 1 = 80 80 10 = 800 * 80 2 = 160 80 4 = 320 * 80 14 = 1.120
Divisão A tabela anterior também pode ser usada para o cálculo de 1120 80: Basta encontrar na tabela quais parcelas de múltiplos de 80 que são somadas para se obter 1120. Daí, basta olhar quais são os fatores de 80 em cada parcela (10 e 4) e somá-los (10 + 4 = 14). Um exemplo mais complicado é o que aparece no problema 66 do papiro: dividir 3200 por 365: Começando do 365, dobrando esse número tantas vezes quantas forem necessárias, até encontrar o maior valor que ainda é menor do que 3200. 365 2 = 730, 365 4 = 1460, 365 8 = 2920. Agora precisamos de partes de 365. Notamos que 3 2 365 = 243 3 1; 1 10 365 = 36 1 2 ; e 1 2190 365 = 1 6 Assim, 243 1 3 + 36 1 2 + 1 6 = 280. Como 3200 = 2920 + 280, podemos concluir que 3200 365 = 8 + 2 3 + 10 1 + 2190 1
Babilônios antigos - Mesopotâmia 3000 200 a. C. Suas escritas eram impressas em tábuas de argila úmidas que, depois de cunhadas, eram levadas ao forno até endurecerem, obtendo-se assim registros duradouros. Em tábuas cuneiformes, os números menores do que 60 eram representados por um sistema de agrupamentos simples de base 10, já que eles tinham apenas 2 símbolos: um para o número 1 ( ) e outro para o número 10 ( ). Os babilônios antigos desenvolveram também um sistema sexagesimal que empregava o princípio posicional. Assim, o sistema usado era misto: posicional para números maiores do que 60 e agrupamento simples, decimal, para números menores do que 60.
Babilônios antigos Por exemplo, o número 424.000 na representação decimal, quando passado para a base 60, fica 424.000 = 1 (60) 3 + 57 (60) 2 + 46 60 + 40 Os coeficientes das potências da base 60 são 1;57;46;40 que, no sistema posicional que eles adotavam, ficava escrito da seguinte maneira:
Algarismos Romanos Originaram-se na Roma antiga, mais ou menos entre 750 a.c. e 480 d.c.
Civilização Maia - América Central 2000 a. C. 250 d. C. O sistema de numeração maia era bastante interessante, pois era misto: usava a base 20, exceto pelo segundo agrupamento que, ao invés de (20) 2, adotava 18 20. Não se sabe ao certo por que essa escolha, mas acredita-se que seja por que 18 20 = 360, que era o número de dias do calendário que eles adotavam. Além disso, a escrita era posicional, de cima para baixo. É interessante notar o seu nível avançado de desenvolvimento, já que utilizavam um símbolo para representar a ausência de um agrupamento, ou seja, um símbolo que corresponde ao atual 0.
Civilização Maia
Civilização Maia Vejamos um exemplo:
Sistema de Numeração Indo-Arábico Tem esse nome devido aos Hindus, que os inventaram, e aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental. Os registros mais antigos encontram-se em colunas de pedras erguidas na Índia por volta de 250 a. C. Há alguns outros registros talhados em cavernas por volta de 200 a.c., mas em nenhum desses registros foi encontrado o zero. Também nesses registros não há a utilização da notação posicional. Como o matemático persa al-khowarizmi descreveu de maneira completa o sistema hindu em um livro de 825 d.c., acredita-se que o zero e o sistema posicional tenham sido criados antes de 800 d.c.
Sistema de Numeração Indo-Arábico Os novos símbolos entraram na Europa provavelmente por meio de viajantes e comerciantes que andavam pela costa do Mediterrâneo. Esses símbolos se encontram em um manuscrito espanhol do século X. É possível que tenham sido introduzidos na Espanha pelos árabes que invadiram a península Ibérica em 711 d.c. onde permaneceram até 1492 d.c. Acredita-se que a palavra zero tenha vindo do latim zephirum, que foi derivada de zifr, que é uma tradução para o árabe da palavra sunya que, em hindu, significa VAZIO.