1 CONSTRUINDO O CONCEITO DE ÁREA POR MEIO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Edilene Simões Costa dos Santos FAO edilenesc@gmail.com Resumo Cristiano Alberto Muniz, UnB - cristianoamuniz@gmail.com, Maria Terezinha Jesus Gaspar, UnBmtjg.gaspar@gmail.com O ensino e a aprendizagem utilizando a história da matemática como instrumento didático é uma proposta com visão historicizada do conteúdo. Trata-se de um trabalho didático que considera os processos sociais e culturais na construção do conhecimento. Este minicurso tem como um dos objetivos proporcionar um momento de reflexão aos docentes sobre a possibilidade de trabalhar o conceito de área como grandeza autônoma e procedimentos para sua medida partindo do pressuposto de que a história da matemática pode contribuir no processo da construção de conceitos pelos alunos, promovendo a apropriação do conhecimento e aprendizagens significativas. As atividades serão realizadas de maneira dinâmica e prática com o desenvolvimento e análise de duas atividades elaboradas tendo como pano de fundo a história da matemática. A oficina é indicada para professores que atuam nas séries iniciais do ensino fundamental Palavras-chave: História da Matemática; ensino e aprendizagem, área como grandeza. Público alvo! Anos Iniciais do Ensino Fundamental Objetivos Compreender como os alunos do ensino fundamental podem construir conceitos matemáticos a partir de atividades fundamentadas na concepção histórica da matemática. Desenvolver e analisar duas atividades consideradas significativas na construção do conceito de área como grandeza autônoma. Identificar no desenvolvimento das duas atividades os teoremas-em-ação e conceitos-em-ação apresentados pelos professores e refletir sobre tal identificação no contexto da sala de aula.
2 Justificativa A história da matemática é apontada por Mendes (2006), como uma alternativa para a superação de dificuldades no ensino e aprendizagem da matemática e na sua valorização como produto cultural, ponderando que esta potencialidade depende do modo como a história é inserida na sala de aula. Assim, a história da matemática pode ser apropriada como elemento estruturante de práticas didáticas para o ensino e aprendizagem ao possibilitar a constituição dos contextos e circunstâncias de produção de conceitos, das significações produzidas, da circulação e da transformação desse conhecimento. Mendes e Brito (2009, p. 10) apresentam algumas dificuldades na implementação do uso da história no ensino da matemática, dentre as quais queremos considerar nesse momento: o despreparo dos professores que não tiveram tanto em sua formação inicial quanto na continuada, oportunidades de estudo da história da matemática e de análise das possibilidades de inserção desta história em suas práticas pedagógicas. Assim, este minicurso justifica-se por apresentar uma proposta didática que possibilita a apreensão do aluno ao conceito de área como grandeza autônoma e procedimentos para seu cálculo e, por se constituir em um espaço para analise e discussão, junto aos professores, de como a história da matemática pode ser utilizada na concepção de circunstâncias produtoras e sistematizadoras de conceitos matemáticos. Metodologia do minicurso O minicurso está previsto para ser desenvolvido em dois momentos. Em cada um será desenvolvida e analisada uma atividade cujas bases históricas estão no problema indiano de transformar um quadrado em um retângulo de mesma área (AMMA, 1979) e, as ideias chinesas de utilizar quebra-cabeças pra resolver problemas de área. A realização das atividades será mediada por reflexões apoiadas na teoria dos campos conceituais de Vergnaud (1990,1996) e, nas concepções de Duval (1994, 2003), acerca do desenvolvimento do pensamento matemático, quando considera que as representações semióticas produzidas pelos sujeitos, além de exteriorizar as suas representações mentais são igualmente fundamentais para as atividades cognitivas do pensamento. O material básico a ser disponibilizado no minicurs
3 Atividades Encontro Atividades 1 Compor figuras a partir de três triângulos dados Material: Dois triângulos retângulos isósceles idênticos e, um triângulo retângulo isósceles que tenha área igual à soma das áreas dos outros dois triângulos dados. Procedimentos: 1. Utilizando as três peças construir uma figura. 2. Pedir para o participante registrar, em forma de desenho, a figura que ele construiu. 3. Qual foi a figura que você construiu? 4. Qual é a área dessa figura? 5. Provocar a conclusão de que, se não houver sobreposição de figuras, a área total é igual à soma das áreas de cada figura. 7. Montar um painel com todas as figuras construídas. 8. Mediar: o que podemos dizer sobre a área dessas figuras? As respostas devem ser escritas. 9. Provocar no participante a conclusão de que figuras diferentes podem ter a mesma área. 10. Identificar os teoremas-em-ação e conceitos-em-ação (Vergnaud,1996) apresentados no desenvolvimento das atividades. 11.Discutir com os participantes como esta atividade pode ser desenvolvida e mediada pelo professor em sala de aula 2 Compor e decompor figuras conservando a medida da área Material: Dois triângulos retângulos isósceles idênticos e, um triângulo retângulo isósceles que tenha área igual à soma das áreas dos outros dois triângulos dados. Um quadrado. Lápis de cor e tesoura.
4 Procedimentos Com os três triângulos dados desenvolva as questões abaixo: 1.Utilizando as três peças construir um retângulo. Desenhe no papel esse retângulo. 2.Com as mesmas peças construir um quadrado. Desenhe esse quadrado. 3.Escolha um dos triângulos. É possível utilizando cópias desse triângulo construir um quadrado de área igual ao quadrado que você construiu na questão dois? Se for possível quantos triângulos são necessários para essa construção? 4.Qual é relação entre a área do quadrado que você construiu e o triângulo que você escolheu? 5.Qual é relação existe a área do retângulo que você construiu e o triângulo que você escolheu? Agora vamos trabalhar com o triângulo diferente do que você escolheu. 1.É possível utilizando cópias do outro triângulo construir um quadrado de área igual ao quadrado que você construiu na questão dois? Que relação existe entre a área do quadrado e a área desse outro triângulo? 2.É possível utilizando cópias do outro triângulo construir um retângulo de área igual ao quadrado que você construiu na questão dois? Que relação existe entre a área do retângulo e a área desse outro triângulo? 3.A que conclusão podemos chegar em relação a área do quadrado, do retângulo e de um dos triângulos? 4.Você receberá um quadrado. Transforme esse quadrado em um retângulo de mesma área do quadrado. Escreva os procedimentos adotados por você para realizar essa transformação. 5.Identificar os teoremas-em-ação e conceitos-em-ação (Vergnaud, 1996) apresentados no desenvolvimento das atividades. 6.Discutir com os participantes como esta atividade pode ser desenvolvida e mediada pelo professor em sala de aula.
5 Referências AMMA, T. A. S. Geometry in Ancient and Medieval India. 1a. ed. Índia: Motilal Banarsidass, 1979. DUVAL, R. Approche cognitive des problèmes de géométrie en termes de congruence. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. v.1, Irem de Strabourg. 1988, p. 57-74.. Les différents fonctionnememts d une figure dans une demarche géométrique. N 17. Irem de Strasbourg, 1994. p.121-137.. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003. p.11-33. MENDES, I.A. A investigação histórica como agente de cognição matemática na sala de aula. In: MENDES, I. A.; FOSSA, J. A.; VALDÉS, J. E. N. A História como um agente de cognição na Educação Matemática. Porto Alegre: Sulina, 2006. MENDES, I.A; BRITO. A. J. Apresentação. In: História da matemática em atividades didáticas. 2. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009.p, 8-11. VERGNAUD, G. La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathématiques, 1990, vol 10, n 2.3, p. 133-170. Pensée Sauvage: Grenoble, França.. A teoria dos Campos Conceituais. In: BRUNNER, J. Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996. p. 155-191.