PROPOSTA DIDÁTICA 1. Dados de Identificação 1.1 Nome do bolsista: Bianca Bitencourt da Silva 1.2 Público alvo: Alunos do 8º e 9º ano 1.3 Duração: 2 horas 1.4 Conteúdo desenvolvido: Área de triângulos equiláteros, geometria fractal. 2. Objetivos da proposta didática - Identificar um triângulo equilátero e suas dimensões; - Calcular a área de um triângulo equilátero; - Associar a geometria euclidiana e fractal ao cotidiano do aluno. 3. Desenvolvimento da proposta didática (10 min) Acomodação dos alunos em semicírculo e realização da chamada. (5 min) Será feita uma análise, questionamentos e reflexões sobre onde existe matemática na natureza. Podemos encontrar matemática nas construções em suas formas geométricas, nas medidas de diversas distancias diferente no dinheiro entre infinitas possibilidades a mais, porém podemos encontrar na natureza uma geometria diferente nomeada geometria fractal, geometria essa que resulta em figuras e imagens muito presentes em nosso dia-a-dia. (10 min) - Após isso será feito um questionamento e reflexão da possível matemática que possa existir nessas figuras mostradas. Dentre as respostas abaixo se espera que eles consigam enxergar a matemática como: temperatura para a formação do floco de neve, massa do repolho, quantidade de brócolis entre outras. As perguntas têm o intuito de analisar a criatividade do aluno e a perspectiva matemática deles. 1. Você acredita que possa existir matemática em um floco de neve? Se sim, diga como:
2. Você acredita que possa existir matemática em um repolho? Se sim, diga como: (20 min) Será usado um vídeo para fazer a introdução do que é fractal e aonde podemos encontra-los. Com recurso do projetor multimídia será mostrado figuras como: flocos de neve, brócolis entre outros exemplos de Fractais. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=k5n-rm2lhbu> Tempo: 9:26.
Figura 1 Brócolis Figura 2 Floco de neve Figura 3 Babosa Figura 4 Repolho roxo Figura 5 Raios Figura 6 Neurônios Figura 7 Pavão Figura 8 Folha da samambaia
(15 min) Ainda com o projetor multimídia será feita uma breve síntese sobre a história dos fractais, mostrando e dialogando quem descobriu, aonde encontramos e o que são. A geometria Euclidiana que é a geometria que conhecemos e que forma quase tudo que vemos ao nosso redor acredita-se que nasceu no Egito nas margens do rio Nilo, quando este estava em época de enchentes e era preciso medir o quanto tamanho das inundações. Porém foi Euclides de Alexandria que viveu por volta de 300 a.c. que foi seu maior percursor de seus axiomas e postulados. Mas com o tempo essa geometria não conseguia estudar alguns fenômenos existentes na natureza e sem forma aos olhos da geometria Euclidiana, foi então que assim surgiu a geometria fractal. Um fractal é uma figura que pode ser quebrada em pequenos pedaços, sendo cada um desses pedaços uma reprodução do todo. (SALLUM. p. 1). Um fractal não pode ser visto porque é uma figura limite, porém, podemos ver as etapas de sua construção possibilitando uma ideia da figura toda. Seu maior percussor foi Benoit Mandelbrot o mesmo que nomeou tal geometria. (15 min) Será feito uma breve reflexão sobre a geometria euclidiana, utilizando conceitos para o estudo dos fractais, como: lados de triângulos, triângulos equiláteros, área de triângulos etc. Como podemos descrever um triângulo? Resposta esperada: Uma figura geométrica com três lados. Quantos ângulos internos tem um triângulo? Qual a soma deles? Resposta esperada: Três ângulos, 180º. Qual a classificação dos triângulos quanto aos ângulos? Resposta esperada: retângulo, acutângulo e obtusângulo. Qual a classificação dos triângulos quanto aos lados? Resposta esperada: Triângulo equilátero, isósceles e escaleno. O que é um Triângulo Equilátero? Resposta esperada: Triângulo onde todos os seus lados têm a mesma medida. Qual a fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer? Resposta esperada: A =
Qual a fórmula para o cálculo da área de um triângulo equilátero? Resposta esperada: A = (10 min) Intervalo (20 min) Ainda com o intuito de revisar o conteúdo de triângulos e cálculo de área, será proposto um exercício para calcular a área de um triângulo qualquer. Um triângulo equilátero tem lado com medida 4, calcule sua área. Resposta esperada: A = = = 4 3 = 6,928 (5 min) Será mostrado o fractal Triângulo de Sierpinski O Triângulo de Sierpinski foi descoberto pelo matemático Waclav Sierpinski (1882-1969). É obtido através de um processo iterativo de divisão de um triângulo equilátero em quatro triângulos semelhantes, visto que um destes triângulos está invertido, em relação ao original e é retirado do triângulo original sobrando apenas os outros três. Assim, repete-se no passo seguinte o mesmo procedimento em cada um dos três novos triângulos com a orientação original, e assim sucessivamente. O fractal obtido é estritamente auto-semelhante, ou seja, as partes da figura são cópias reduzidas de toda a figura. Figura 9 Triângulo de Sierpinsk
(10 min) Após mostrar o fractal a ser trabalhado, junto com os alunos vamos analisar afim de obter respostas como: Em relação ao primeiro triângulo, quanto vale a parte preta do segundo? Resposta esperada: 3/4 Em relação ao primeiro triângulo, quanto que vale a parte branca do segundo? Resposta esperada: ¼ (15 min) Será apresentado o cálculo da área de cada triângulo que será formado em suas respectivas fases desse fractal bem como a área total do fractal, a partir do cálculo de área de um triângulo equilátero. O Triangulo de Sierpinsk é dividido em níveis, em que: No nível 0 a área total do fractal é a própria área do triângulo e o número de triângulos é igual a 3 =1 triângulo. No nível 1 temos que a área de cada triângulo que compõem o fractal sendo ¼ da área do triângulo original, e a área total desse fractal sendo 3/4 da área do triângulo original obtendo o número de triângulos da seguinte forma 3¹=3 triângulos. No nível 2 vamos obter (1/4)² da área original para saber a área de cada triângulo e (3/4)² da área do triângulo original para saber a área do fractal inteiro, para o número de triângulos nesse nível temos 3²=9 triângulos.
(20 min) Aplicação de atividades. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO A partir das conclusões a respeito do fractal Triângulo de Sierpinsk (tabela), responda as questões seguintes: Calcule a área total do fractal Triângulo de Sierpinsk no nível 4 originado a partir de um triângulo com área de 8cm. Resposta esperada: A = 8 A 8 A 2,53 cm Um fractal se originou a partir de um triângulo equilátero com lado de 4 cm, calcule a área de cada triângulo que compõe um fractal Triângulo de Sierpinsk no nível 2 e calcule a área total desse fractal. Resposta esperada: A = A= 6,92 A = A = 3 4 = = 4 3 = 6,928cm 6,92 A =, = 0,43cm 6,92 A = 9 16 6,92 A = 62,28 16 = 3,89cm Calcule a área de um total de um fractal triângulo de Sierpinsk no nível 3 originado por um triângulo com 76cm. Resposta esperada: A = x 76 A = x76 A = = 32,0625cm Qual a área de cada triângulo que forma um fractal triângulo de Sierpinsk no nível 6, sendo que o triângulo que originou esse fractal tinha 2cm. Resposta esperada: A = x2 A = x2 A = = 0,00048828cm2 (20 min) Utilizando folha A4, tesoura e régua serão confeccionadas com os alunos fractais, para contato mais lúdico onde o aluno possa interagir com a progressão de um fractal com a figura. Como mostra a figura e o exemplo abaixo. -Dobrar uma folha A4 ao meio -Dividir a parte que foi dobrada em quatro partes e a parte lateral em duas partes.
-Com uma tesoura, na parte inferior eu foi divida em quatro partes, cortar as divisões do meio até a marca que foi cortada na lateral, e dobrar até a outra extremidade da folha. - Fazer esses passo até não conseguir mais dobrar. -Por fim, desdobrar toda a folha e dobrar os retângulos para fora. Figura 10 Fractal a ser construído. (15 min) Por meio de um questionário será feito perguntas em relação a aula ministrada. Também será questionado onde e como, na opinião do aluno, possa existir fractais e matemática na natureza. Questionário: 1. Em sua opinião existe matemática no seu cotidiano? Cite exemplos. 2. A partir da aula de hoje, você acredita que existem mais fractais na natureza? Cite exemplos. 3. Qual sua opinião sobre a aula de hoje?
4. Referências Bibliográficas MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO BEMFICA, Andrios. Fractais: Progressão e série geométrica, uma metodologia de ensino. Disponível em: < http://facos.edu.br/publicacoes/revistas/modelos/agosto_2011/pdf/fractais _progressao_e_serie_geometrica.pdf> Acesso em: 08 jun. 2015. ÁVILA, Geraldo. Euclides, Geometria e Fundamentos. Rio de Janeiro: SBM, 2001 GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. São Paulo: Livraria da Física. 2008. OLIVEIRA, H.; SEGURADO, M. I.; PONTE, J. P. Explorar, investigar e discutir na aula de matemática. In A. Roque & M. J. Lagarto (Eds.), Actas do ProfMat 98 (pp. 207-213). Lisboa: APM, 1996 SALLUM, Élvia Mureb. Fractais no ensino médio. Revista do Professor de Matemática. Nº 57, 2ºquadrimestre de 2005.