1 SAMOS SAMANTHACHANG RODRIGUES DE PAULA MARCO ANTÔNIO PEREIRA ARAÚJO JÚLIO CÉSAR DA SILVA
2 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática SAMANTHACHANG RODRIGUES DE PAULA MARCO ANTÔNIO PEREIRA ARAÚJO JÚLIO CÉSAR DA SILVA
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1 APRESENTAÇÃO Este material é o produto educacional da Dissertação de Mestrado apresentado ao Programa de Pós-Gradução Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra (USS), intitulado Educação Matemática e Tecnológias: Uma proposta para o ensino das Relações Métricas no triângulo Retângulo com auxílio de um software educacional. As atividades aqui apresentadas destinam-se aos professores de Matemática que trabalham no Ensino Fundamental II e aos estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática. Cada atividade representa as ações propostas para os alunos concretizarem no ambiente computacional. Essas atividades foram desenvolvidas e aplicadas durante o período de pesquisa para a elaboração/adaptação da Dissertação de Mestrado, cujos sujeitos da pesquisa são alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II, com objetivo de agir, formular, validar e institucionalizar o saber matemático envolvido, que no caso é: Relações métricas no triângulo retângulo, seguindo preceitos da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (2008). Almejamos que esse material permita que o professor modifique e crie novas atividades promovendo ao estudante uma nova maneira de aprender Matemática de uma forma mais dinâmica e de acordo com o público-alvo que será aplicado. Ressaltando que, embora aplicado utilizando um software desenvolvido, foi elaborado para ser aplicado também sem a utilização do software educacional.
INTRODUÇÃO 2 Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) apontam que os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. E ainda completa afirmando que a Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. Nesse sentido, preparamos as atividades com base no quadro teórico e as configurações da Engenharia Didática. O vetor das nossas atividades são propostas no quadro teórico da pesquisa de Rodrigues (2014), para tanto, foi feito uma análise de escolha do interlocutor, ou seja, o que permearia o diálogo entre professor e alunos no que tange às relações métricas no triângulo retângulo, chegando à conclusão de que o caminho escolhido foi com o auxílio computacional, pois uma característica da sociedade atual é uma presença efetiva das tecnologias, por isso, a escola, um setor importante na formação do indivíduo, não nega os processos sofridos de mudança no âmbito universal, isto é, não encontram tantas discussões sobre se
3 deve ou não utilizar o computador nas escolas, mas sim, em que medida o auxílio computacional pode intervir, efetivamente, nos processos de ensino e de aprendizagem. Assim, atividades em grupos desenvolvem não apenas o raciocínio matemático e a percepção espacial no ambiente virtual contribuem também para o desenvolvimento social do aluno. Pautaremos em um breve tutorial do software utilizado utilizando um linguajar não específico da área computacional e explicação e reflexões de cada atividade desenvolvida. Vale salientar que o objetivo desse trabalho não é engessar os processos metodológicos escolhidos pelo professor e, sim, sugerir formas de escolha e preparação de questões a serem trabalhadas em sala de aula. Assim como as atividades foram preparadas, muitas outras poderão surgir observando o contexto que cada professor vive em sua prática.
TUTORIAL SOFTWARE 4 Requisitos Funcionais www.trianguloretangulo.com.br Inserir objetos Manipular Objetos Propriedades do Objeto Triângulo Retângulo
5 Inserir Texto. Inserir Plano de fundo Criar questionário
6 Remover Objeto(s) Figura 22: Software Triângulo Limpar Tela Salvar
7 Responder questionário
ATIVIDADE 1 8 Um pouco da vida de Pitágoras de Samos (c.586 a.c c. 500 a.c) Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido na ilha de Samos por volta do século VI a.c. Fundou a famosa escola pitagórica, local de estudos de filosofia, matemática e ciências naturais, considerada também uma irmandade com diversos ritos que envolviam muitas lendas e segredos. Era costume da escola que todas as descobertas feitas pelo grupo fossem atribuídas ao seu criador. Assim, não é possível saber ao certo quais descobertas matemáticas são de Pitágoras e quais são frutos de seus seguidores. O que se sabe é que o teorema de Pitágoras, seja este seu feito ou não, é o resultado pelo qual o matemático grego é mais conhecido atualmente. 1) Faremos agora, uma prova experimental, para isso, faça o que se pede. 1º Passo: I) Desenhe/construa 4 triângulos retângulos congruentes quaisquer. II) Desenhe/construa 1 quadrado de lado congruente a um dos catetos. III) Desenhe/construa 1 quadrado de lado congruente ao outro cateto. IV) Desenhe/construa 1 quadrado congruente à hipotenusa. V) Desenhe/construa 2 quadrados de lado igual à soma dos catetos.
Atenção! Verifiquem por superposição que os 4 triângulos são congruentes. Verifique por justaposição (encostando) as medidas das figuras, observando quais são iguais. 9 2º Passo: Por superposição cubra, portanto sem deixar espaços vazios, um dos quadrados (V) com os quadrados (II) e (III) e os triângulos (I), sem que haja remonte ou sobra. 3º Passo: Por superposição cubra o outro quadrado (V) com o quadrado (IV) e os triângulos (I), sem remonte ou sobra. 4º Passo: Encontre: a) a área do quadrado (II). b) a área do quadrado (III). c) a área do quadrado (IV). Que conclusão você pode tirar? 5º passo: Utilizando o padrão pitagórico, que conclusão você chega? Habilidades a serem Trabalhadas Material Organização Tempo Visualização Manipulação algébrica Conceitos Geométricos Conceito de congruência de polígonos Demonstração do Teorema de Pitágoras Computador com internet, software educacional ou cartolinas, papel e tesoura. Os estudantes poderão ser organizados em grupos de dois ou mais participantes ou realizar a atividade individualmente. Até 50 minutos
Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões 10 Seguir as instruções do problema a cada passo. Os alunos deverão executar as tarefas e chegar à conclusão da validade do enunciado do teorema de Pitágoras. http://www.trianguloretangulo.com.br À medida que o aluno vai construindo o saber matemático, toma para si, um significado que transcende as barreiras cognitivas, por isso, propõe uma tarefa em que o próprio aluno chega à conclusão, ao invés de ditarmos o enunciado e desejar que o aluno aceite como verdade. Fonte: Dados da Pesquisa.
ATIVIDADE 2 11 Uma escada está apoiada no topo de um muro de altura desconhecida. O comprimento da escada é de 3m e a distância entre o muro e a escada é de 2m. Faça um desenho da situação e encontre a medida da altura do muro. Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Transposição da linguagem escrita para representativa; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação operacional numérica; Manipulação algébrica. Computador com Internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 20 minutos. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. O professor poderá assumir o papel de orientador, fazendo intervenções quando necessário. Links sugeridos Reflexões http://www.trianguloretangulo.com.br É muito importante fazer a leitura de uma situação-problema, configurá-la graficamente, para então, desenvolver o raciocínio algébrico, numérico ou geométrico.
Fonte: Dados da Pesquisa. 12
ATIVIDADE 3 13 Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada e, em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião. Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação de operações numéricas; Visualização. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 10 minutos. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. O professor pode não intervir no desenvolvimento da atividade e propor uma discussão ao final da aula. http://www.trianguloretangulo.com.br Nem sempre a aplicabilidade do teorema de Pitágoras é sugerida de forma direta, neste caso, evidencia uma situação que de que é facilmente conhecida pelo aluno.
Fonte: Dados da Pesquisa 14
15 ATIVIDADE 4 Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até a base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Visualização; Representação gráfica; Manipulação algébrica; Manipulação de operações numéricas; Representação em 3D; Aplicação do teorema de Pitágoras. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 25 minutos. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. http://www.trianguloretangulo.com.br Reflexões É muito importante fazer a leitura de uma situaçãoproblema, configurá-la graficamente, para então, desenvolver o raciocínio algébrico, numérico ou geométrico.
ATIVIDADE 5 16 Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação de operações numéricas; Visualização; Representação gráfica. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 20 minutos. Deixar o aluno resolver a questão e sugerir que representem graficamente. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. http://www.trianguloretangulo.com.br Nem sempre a aplicabilidade do teorema de Pitágoras é sugerida de forma direta, neste caso, evidencia uma situação que de que é facilmente conhecida pelo aluno.
ATIVIDADE 6 17 Nos telhados de dois edifícios encontram-se duas pombas. Disponível em: http://www.warlisson.com.br/exercicios/exercicios-sobre-oteorema-de-pitagoras Acesso em: 10 mar. 2013 É atirado um pouco de pão para o chão: ambas as pombas se lançam sobre o pão à mesma velocidade e ambas chegam ao mesmo instante junto do pão, sabendo que a distância do prédio em que a pomba A está situada é de 11 metros, que a altura do prédio em que está à pomba B é de 50 metros e que a pomba A percorrerá retilineamente 61metros, responda. a) A que distância do edifício B caiu o pão? b) Qual a altura do edifício A?
18 Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Instruções Tempo Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões Desenvolver um raciocínio interdisciplinar; Estimular a criatividade; Desenvolver a estratégia de resolução; Desafio; Manipulação algébrica; Manipulação de operações numérica; Aplicação do teorema de Pitágoras. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Os alunos deverão estar estimulados a resolverem essa atividade. Mesmo os que desistirem rapidamente, convide-o novamente pra o desafio. Até 45 minutos. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e utilizar os artifícios cabíveis nesta situação. http://www.trianguloretangulo.com.br Manter os alunos motivados é uma tarefa uma tanto desafiadora para nós, professores. Sugerimos que use de forma criativa, seja valorizando a atividade ou não.
Fonte: Dados da Pesquisa 19
ATIVIDADE 7 20 Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios. Fonte: Dados da pesquisa.
Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento 21 Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação Numérica; Visualização. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 25 minutos. Deixar o aluno desenvolver a atividade. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. Links Sugeridos http://www.trianguloretangulo.com.br Reflexões É muito importante fazer a leitura de uma situaçãoproblema, configurá-la graficamente, para então, desenvolver o raciocínio algébrico, numérico ou geométrico. Fonte: Dados da Pesquisa
ATIVIDADE 8 22 Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico, supostamente plano: W, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Z à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Z estava exatamente 72 milhas ao sul de W e que, a partir de então, Z navegou em linha reta para o leste, enquanto que W navegou em linha reta para o sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições, às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, qual distância entre W e Z, em milhas? Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação de operações numéricas; Visualização; Representação gráfica. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Deixar o aluno desenvolver a atividade individualmente ou em grupo. Até 30 minutos. Propor a atividade no inicio da aula e não intervir nas soluções. No segundo momento, discutir as diferentes soluções que obtiver.
Desenvolvimento Links Sugeridos Reflexões 23 Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. http://www.trianguloretangulo.com.br É trabalhado com o aluno o tema transversal, orientação, visualização na perspectiva superior. Fonte: Dados da Pesquisa
ATIVIDADE 9 24 A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada apoiada ao solo colocada a uma distância de 8 m à base do prédio. Qual é o comprimento dessa escada? Disponível em: http://www.warlisson.com.br/exercicios/exercicios-sobre-oteorema-de-pitagoras. Acesso em: 20 mar. 2013 Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação Numérica; Visualização. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Propor a atividade no inicio da aula e não intervir nas soluções. No segundo momento, discutir as diferentes soluções que obtiver. Até 20 minutos. Não há. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. http://www.trianguloretangulo.com.br Proposta em visualizar situações clássicas pode aparecer em perspectivas diferentes, o que permite entender a visualização do aluno.
ATIVIDADE 10 25 João pretende transportar tábuas de madeira com 6,1 metros de comprimento no seu caminhão. Veja se é possível e de que maneira pode-se dispor de uma tábua neste caminhão. Fonte: Dados da Pesquisa.
26 Habilidades a Serem Trabalhadas Material Organização Tempo Instruções Desenvolvimento Links sugeridos Reflexões Desenvolver uma curiosidade interdisciplinar; Aplicação do Teorema de Pitágoras; Manipulação algébrica; Manipulação Numérica; Visualização; Atribuir estratégias; Trabalho com várias configurações. Computador com internet (uso do software) ou papel e lápis. Realização da atividade individualmente ou em grupo. Até 50 minutos. Não há. Os alunos deverão fazer a leitura do problema proposto, interpretar e representar graficamente a situação. http://www.trianguloretangulo.com.br Atividade de visualização em 3D e 2D, o aluno deve encarar como um desafio pra pensar nas possibilidades. Fonte: Dados da Pesquisa REFERÊNCIAS BRASIL. 1998. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental: Matemática. Brasília. Ministério da Educação, Secretaria da Educação Fundamental e Tecnologia, 1998. RODRIGUES, S. C. Educação Matemática e tecnologias: uma proposta para o ensino das relações métricas do triângulo retângulo com auxílio de um software educacional. Dissertação. Mestrado Profissional em Educação Matemática. Universidade Severino Sombra. Vassouras, 2014.