Mecânica Geral Apostila 5: Estática do Corpo Rígido Professor Renan Faria 1
Condições de Equilíbrio para Corpos Rígidos Para um corpo rígido estar em equilíbrio (estático ou dinâmico) é necessário duas condições: 1) (não há aceleração transversal) 2) (não há aceleração rotacional) Desse modo, um corpo estará em equilíbrio estático se satisfizer ambas as condições anteriores e estiver em repouso, ver figura 11.1. Centro de Gravidade Em um grande número de problemas de equilíbrio, uma das forças que atuam sobre um corpo é o seu peso. Precisamos ser capazes de calcular o torque dessa força. O peso não atua sobre um único ponto; ele age de forma dispersa sobre todos os pontos do corpo. Entretanto, podemos sempre calcular o torque do peso de um corpo supondo que a força total da gravidade (o peso) esteja concentrada em um ponto chamado centro de gravidade cg. A aceleração devido a gravidade diminui com a altitude, porém, se pudermos desprezar essa variação ao longo da vertical do corpo, o centro de gravidade coincidirá com seu centro de massa 2
Há como demonstrar que o torque total, assim como o peso total, agiria no centro de massa do corpo rígido, ver no livro. Assim: O torque gravitacional total, dado pela equação acima, é obtido como se o peso total estivesse atuando no ponto dado pelo vetor posição do centro massa, que também chamamos de centro de gravidade. Se possui valor constante em todos os pontos de um corpo, seu centro de gravidade coincide com seu centro de massa. 3
Determinação e uso do Centro de Gravidade Geralmente podemos usar considerações de simetria para determinar a posição do centro de gravidade de um corpo, do mesmo modo que fizemos no caso do centro de massa. O centro de gravidade de uma esfera homogênea, de um cubo, de um disco fino ou de uma placa retangular coincide com o centro geométrico de cada um desses corpos. O centro de gravidade de um cilindro ou de um cone se encontra sobre seus respectivos eixos de simetria. Para um corpo de forma mais complexa, algumas vezes podemos localizar o centro de gravidade imaginando o corpo constituído por pequenas partes simétricas. Por exemplo, podemos considerar o corpo humano como um conjunto de cilindros sólidos, sendo a cabeça considerada uma esfera.. A seguir podemos calcular o centro de gravidade da combinação. Usando o mesmo raciocínio, podemos ver que um corpo apoiado em diferentes pontos deve possuir seu centro de gravidade em algum local entre as extremidades da área delimitada pelos pontos de apoio, ver fig. 11.5. Isso explica como um carro pode se deslocar em uma pista retilínea, mas inclinada, desde que o ângulo de inclinação seja pequeno. Mas deve se virar quando o ângulo é grande demais. O caminhão da figura possui um centro de gravidade mais elevado do que o do carro e deve virar em inclinações menores do que a do carro. 4
Quanto mais baixo for o centro de gravidade e quanto maior for a área suporte, menor se torna a possibilidade de o corpo virar. Solução de Problemas de Equilíbrio de Corpos Rígidos Exemplo 1 Uma revista de automóveis afirma que certo carro esportivo possui 53% do seu peso sobre a rodas dianteiras e 47% sobre as rodas traseiras, sendo a base de roda igual 2,46 m. Isso significa que a força normal sobre as rodas dianteiras é 0,53p e sobre as rodas traseiras é 0,47p, onde p é p peso total. A base da roda é a distância entre os eixos traseiro e dianteiro. Qual é a distância entre o eixo traseiro e o centro de gravidade do carro? 5
Pela figura temos: = 0,47p + 0,53p - P = 0 L cg = 1,30 m Exemplo 2 Sir Lancelot está tentando resgatar Lady Elayne do Castelo von Doom subindo em uma escada uniforme de 3m de comprimento e que pesa 180 N. Lancelot, que pesa 800 N, para a um terço da distância entre a base e a extremidade da escada. A base da escada está apoiada sobre a borda de uma pedra e a escada está sobre um fosso, em equilíbrio sobre uma parede vertical sem atrito por causa da camada de lodo. A escada faz um ângulo de 53,1º com a horizontal, formando um triângulo retângulo. a) Calcule a força normal e a força de atrito sobre a escada em sua base. b) Ache o coeficiente de atrito estático mínimo para impedir que a base da escada escorregue. c) Determine o módulo, a direção e o sentido da força de contato com a base da escada. 6
a) Pela condição de equilíbrio de forças temos: O que nos fornece Mas temos mais equações do que incógnitas. Então, precisamos da condição de equilíbrio de torques para resolver o restante. Podemos escolher os torques em relação a qualquer ponto que quisermos. A escolha mais inteligente é o ponto B, que fornece o menor número de termos e de incógnitas na operação dos torques. Podemos ver que o ângulo entre os pesos do homem e da escada em relação às suas distâncias ao eixo é φ=90º - 53,1º = 36,9º. Assim, temos: Pela primeira equação: n 1 =268 b) A força de atrito estático não pode ser maior do que, portanto o coeficiente de atrito mínimo para evitar o deslizamento é: ( ) c) Os componentes da força de contato na base da escada são a força de atrito e a força normal n 2, portanto : O módulo, a direção e o sentido de são: 7
Exemplo 3 A figura abaixo mostra um braço humano erguendo um haltere. O antebraço está em equilíbrio sob a ação do peso p do haltere., da tensão T no tendão conectado ao músculo bíceps e da força E exercida sobre o antebraço pelo braço na junta do cotovelo. Para maior clareza, o ponto A no qual o tendão está ligado foi desenhado mais afastado do cotovelo do que em sua posição real. O peso P e o ângulo θ são fornecidos; desejamos achar a tensão no tendão e os dois componentes da força no cotovelo. Desprezamos o peso do antebraço em si. Escolhendo os torques em relação ao cotovelo teremos: e como T y =Tsenθ temos: Agora usamos: 8
( ) O sinal negativo indica que o sentido de E y é de cima para baixo. EXEMPLO 4 Uma prancha homogênea, de comprimento L=3,00 m e massa M=35 Kg, está apoiada sobre balanças de mola distantes d=0,50 m. de suas extremidades, como mostra a figura abaixo. a) Determine a leitura das escalas quando Maria, de massa m=45 Kg, está de pé na extremidade esquerda da prancha. b) Sérgio sobe na prancha e caminha ao encontro de Maria, que salta fora quando a prancha começa a se inclinar. Sérgio continua caminhando até a extremidade esquerda da prancha e, quando chega lá, a escala da balança da direita indica zero. Determine a massa de Sérgio. F R = 0 F L +F R mg Mg = 0 ( ) ( ) ( ) a) F L =61 N F R =723 N b) M=70 Kg 9
Lista de Exercícios: Capítulo 11 Livro do Freedman 11.4 Um alçapão uniforme de 300 N existente em um pavimento está articulado em um dos seus lados. Encontre a força resultante orientada de baixo para cima necessária para começar a abri-lo e a força total exercida sobre essa porta pelas articulações; a) supondo que a força de baixo para cima seja aplicada em seu centro; b) que a força de baixo para cima seja aplicada no centro da aresta oposta à aresta da articulação. R: a) 300 N b) 150 N 11.5 Uma escada transportada em um caminhão de bombeiro possui 20,0 m de comprimento. A escada pesa 2800 N, e o centro de gravidade está situado em seu centro. A escada é articulada em uma extremidade (A) com um eixo de apoio, ver figura; o torque devido ao atrito no eixo pode ser desprezado. A escada é levantada para sua posição mediante uma força aplicada em C por um pistão hidráulico. O ponto C está a 8,0 m do ponto A, e a força exercida pelo pistão faz ângulo de 40º com a escada. Qual deve ser o módulo de para que a escada esteja na iminência de ser levantada do seu apoio no ponto B? 40º B C A R: F=5450 N 11.6 Duas pessoas transportam uma prancha de madeira uniforme com 3,0 m de comprimento e peso 160 N. Se uma das pessoas aplica em uma extremidade uma força de baixo para cima de 60 N, em qual ponto a outra pessoa deve suspender a prancha? R: F=100 N X=2,.4 m 11.7 Duas pessoas transportam um motor elétrico pesado, colocando-o sobre uma prancha leve com 2,0 m de comprimento. Uma das pessoas suspende uma das extremidades com uma força de 400 N e a outra suspende a outra extremidade com uma forma de 600 N. a) Qual o peso do motor e em que ponto ao longo da tábua está localizado o seu centro de gravidade? b) 10
Suponha que a prancha não seja leve, mas pese 200 N, com o centro de gravidade localizado em seu centro, e as duas pessoas exerçam as mesmas forças de antes. Qual é o peso do motor nesse caso, e onde está localizado seu centro de gravidade? R: a) 1000 N e 1,2 m b) 800 N e 1,25 M 11.8 Uma prateleira uniforme de 60 cm e 50 N é horizontalmente sustentada por dois cabos verticais presos ao teto inclinado, ver figura. Uma ferramenta muito pequena de 25 N é colocada sobre a prateleira no meio do caminho entre os pontos em que os cabos estão presos. Ache a tensão em cada cabo. 20 cm R: 25 N e 50 N 11.9 Uma barra uniforme de 350 N 1,50 m é suspensa horizontalmente por dois cabos verticais presos em cada extremidade. O cabo A pode suportar uma tensão máxima de 500 N e o cabo B pode suportar 400 N. Você deseja colocar um pequeno peso sobre essa barra. a) Qual é o peso máximo que você pode colocar sem romper qualquer dos dois cabos e b) em que ponto você deve colocar esse peso? R: 550 N e 0,614 m 11.10 Uma escada uniforme de 5,0 m de comprimento repousa contra uma parede vertical sem atrito e sua extremidade inferior encontra-se a 3,0 m da parede. A escada pesa 160 N. O coeficiente de atrito estático entre o solo e a base da escada é igual a 0,40. Um homem pesando 740 N sobe lentamente a escada. Comece desenhando o diagrama de corpo livre para a escada. a) Qual é a força de atrito máxima que o solo pode exercer sobre a escada em sua extremidade inferior? b) Qual é a força de atrito efetiva quando o homem sobe 1,0 m ao longo da escada? c) Até que distância ao longo da escada pode ele subir antes que a escada comece a escorregar? R: 360 N ; 171,12 N ; 2,7 m 11.13 Determine a tensão T em cada cabo e o módulo, a direção e o sentido da força exercida sobre a viga pelo pivô no arranjo da figura abaixo. Seja a massa da caixa suspensa igual a 2 Kg. A viga de suporte é uniforme e também possui massa igual a 2 Kg com comprimento de 2 m. 11
30º 45º R: 4,15p 11.14 A viga horizontal da figura abaixo pesa 150 N e seu centro de gravidade está localizado em seu centro. Ache a) a tensão no cabo; b) os componentes horizontal e vertical da força exercida sobre a viga na parede. 3,0 m 5,0 m 4,0 m 300 N R: 625 N 12