UM ESTUDO PRELIMINAR SOBRE O QUADRANTE TRIANGULAR DE JOHN BROWNE HISTÓRIA E EPISTEMOLOGIA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA G8 - História e Epistemologia na Educação Matemática Ana Rebeca Miranda Castillo 1 - anacastillo@ig.com.br Orientador: Professor Doutor Fumikazu Saito - fsaito@pucsp.br Programa de estudos pós-graduados em Educação Matemática - DO Resumo Este trabalho faz parte de uma pesquisa de doutorado em andamento, que tem como objetivo investigar o papel dos instrumentos matemáticos na construção do conhecimento matemático e nas origens da ciência moderna. Neste trabalho propomos uma breve discussão a respeito do conhecimento matemático envolvido no processo de construção e uso do instrumento Quadrante Triangular a partir do tratado intitulado The Triangular Quadrant or The Quadrant on a Sector Being a general instrument for Land or Sea Observation (1662), publicado por John Browne (1642-1702). O autor destaca em vários momentos que este instrumento pode realizar o mesmo que outros instrumentos da época faziam, com mais eficiência, exatidão e rentabilidade, o que nos leva a inferir que esses aspectos podem estar associados aos conceitos matemáticos incorporados na construção do instrumento e no seu uso. Além disso, percebemos a necessidade de ter conhecimentos matemáticos específicos para a construção e para o uso do Quadrante triangular. Acreditamos que podemos explorar como o conhecimento matemático era tratado na época e assim obter subsídios para aprofundar nossos estudos a respeito da influência do uso e construção de instrumentos matemáticos no processo de construção do conhecimento matemático e assim começar a entender que concepção de ciência se estabelecia na época. Com este trabalho buscamos contribuir e estimular futuras reflexões acerca dos instrumentos matemáticos dos séculos XVI e XVII. Palavras-chave: História da Matemática, Instrumentos Matemáticos, Quadrante triangular, John Browne, Educação Matemática. Introdução O processo de construção do conhecimento matemático teve como fator preponderante para seu desenvolvimento a própria evolução da ciência. É a partir do século XV segundo Debus (1996, p. 15-42) que ocorre a redescoberta da cultura clássica e a busca de novas formas de conhecer a natureza, valorizando o conhecimento técnico e redefinindo as relações entre arte (ars) e natureza. Fatores estes que, por sua vez, como Saito (2011, p. 160-172) explica, estavam associados a outros aspectos, que redirecionaram os hábitos de consumo e renovaram não só os gostos estéticos ao longo 1 Bolsista CAPES 1
dos Quinhentos, mas também reorganizaram a experiência cotidiana dos homens em moldes muito diferentes de séculos anteriores. Um desses aspectos, que teve implicações importantes no ensino da matemática, foi certamente o surgimento de novos instrumentos em virtude da demanda por novos métodos matemáticos e experimentais. Entre os séculos XVI e XVII, Saito e Dias (2011, p.9-11) destacam que houve um considerável desenvolvimento na arte e na técnica de fabricar instrumentos. Uma série de novos instrumentos, que iam desde um simples astrolábio, uma esfera armilar e um quadrante, utilizados por marinheiros e astrônomos, até outros mais sofisticados como réguas de cálculos e outros aparatos utilizados por filósofos naturais, entrou em uso para facilitar a resolução de problemas matemáticos, observacionais e experimentais. Com o desenvolvimento da Ciência Moderna surgiu a necessidade da fabricação de instrumentos capazes de detectarem ou de revelarem fenômenos físicos para assim serem usados em experiências que permitissem confirmar deduções. Como Caraça (2000, p. 187) destaca: Os problemas da navegação, por exemplo, levam a uma investigação cada vez mais cuidadosa dos movimentos dos astros e, duma maneira geral, exigem um estudo mais rigoroso do movimento, um estudo quantitativo, que permita medir e prever. (grifo do autor) Desta forma, a importância dos instrumentos aumentou de forma acentuada com a invenção do telescópio, microscópio, barômetro, bomba de ar e do relógio de pêndulo. Os investigadores passaram a mostrar interesse sobre determinados instrumentos, porém sem se preocupar em categorizá-los segundo o seu uso para observação e experimentação, o que não impediu segundo Warner (1990, p. 83) que: Cada vez mais, no entanto, estes instrumentos passaram a ser agrupados, identificados como as ferramentas da filosofia experimental ou natural, e se distinguiram de outros tipos de instrumentos, como musical, médico e matemático. A identidade coletiva foi forjada, em grande parte, por pessoas envolvidas com a organização de coleções: curadores, historiadores, comerciantes, autores dos regulamentos tarifários e funcionários de exposições e escritórios de patentes. (tradução nossa) Mesmo com essa distinção, os historiadores reconhecem que o papel dos instrumentos é muito complexo, visto que, no século XVII, era ainda obscuro como os instrumentos deveriam ser usados, pois não havia uma convenção estabelecida para seu uso, nem para a validação dos resultados. Além disso, muitos destes instrumentos 2
estavam ligados à magia natural, na qual a ênfase era a recreação e não a observação cuidadosa. Van Helden e Hankins (1994, p. 3) reforçam esta ideia quando apontam que: Não é de estranhar, então, que os instrumentos nem sempre foram aceitos com entusiasmo e que o seu valor e sua confiabilidade teve que ser demonstrada. Instrumentos como o telescópio, que aceitamos como essencialmente científico, eram suspeitos quando eles apareceram pela primeira vez. (tradução nossa) Além da complexidade do entendimento do uso dos instrumentos, também há uma dificuldade em especificar o que é um instrumento científico no século XVII, já que esse termo não era comum até o século XIX. Muitos instrumentos já existiam como a balança, régua e relógios e sua nomenclatura estava vinculada ao seu uso, como Van Helden e Hankins (1994, p. 3-4) destacam: Na Inglaterra após 1650 estes instrumentos (os científicos) eram chamados de filosóficos em contraste com os instrumentos mais antigos de medição, que foram chamados de matemáticos. O catálogo de 1681 de Nehemiah Grew de instrumentos pertencentes à Royal Society faz a distinção entre instrumentos relacionados à filosofia natural e coisas relativas à Matemática, e a distinção foi adotada pelos fabricantes do século XVIII. (tradução nossa) Os autores ainda destacam que era necessário, além de determinar o que era uma prática aceitável na filosofia natural, definir quais eram os instrumentos aceitáveis, já que as consequências desta definição eram um ponto determinante na Revolução Científica, que defendia a criação de um método experimental com suas devidas convenções para o uso adequado de instrumentos. É nesse contexto que estamos desenvolvendo uma pesquisa de doutorado na qual buscaremos entender como os instrumentos contribuíram para as mudanças na Ciência e na Matemática, tanto em seus métodos, como em sua nova formulação, tendo como foco principal aqueles instrumentos denominados matemáticos, ou seja, utilizados para medir distâncias e ângulos (BENNETT, 2003). Ao investigar os instrumentos matemáticos, sua fabricação, o uso e suas consequências, no desenvolvimento da Ciência a partir do século XV, esperamos compreender o processo de construção do conhecimento matemático. Cabe observar que, segundo tendências historiográficas atuais em história da ciência e da matemática, não podemos nos referir à matemática anterior ao século XVIII como um campo de conhecimento unificado e especializado. Conforme observam 3
Bromberg e Saito (2010), é preciso contextualizar o conhecimento matemático de tal modo a considerar as matemáticas (e não a Matemática) em um contexto mais amplo: Tal abordagem procura valorizar não só a especificidade da disciplina, mas também apontar para outros aspectos relevantes, tal como o seu papel na construção da ciência moderna e o seu impacto na sociedade, presente nos vários setores tecnológicos, nos quais a matemática lhes é, de certa maneira, inerente (Ibidem, p. 56). Em outros termos, segundo Bromberg e Saito (2010, p. 57), não existiam matemáticos profissionais antes do século XIX, tal como são reconhecidos nos dias de hoje. O matemático como profissional só viria a surgir posteriormente quando as áreas de conhecimento, tal como as conhecemos hoje, adquiriram suas formas. Assim, ao abordarmos os instrumentos matemáticos, buscaremos contextualizálo nas diferentes matemáticas dos séculos XV, XVI e XVII. Essa contextualização levará em consideração a análise da construção e uso desses instrumentos. Essa análise, pautada em tendências historiográficas atualizadas poderá nos proporcionar reflexões sobre o seu papel na construção do conhecimento matemático e científico naquela época, bem como seu papel no ensino de Matemática. Acreditamos que os instrumentos matemáticos não eram apenas ferramentas, nem meros artefatos que testavam uma teoria ou exploravam uma ideia. Eles parecem também ter papel ativo de modo que podiam determinar o que fazer dali por diante e até o que e como pensar o conhecimento a partir de seu uso. Esta ideia é corroborada por Van Helden e Hankins (1994, p. 3-4) quando observam que: Porque os instrumentos determinam o que pode ser feito, eles também determinam até certo ponto, o que pode ser pensado. Muitas vezes, o instrumento fornece uma possibilidade, é um iniciador da investigação. O cientista não pergunta apenas: Eu tenho uma ideia. Como posso construir um instrumento que irá confirmá-la? mas também: Eu tenho um novo instrumento. O que ele me permitirá fazer? Que questões eu posso fazer agora que eram inúteis fazê-las antes?. (tradução nossa) Embasados nessa ideia, analisaremos alguns tratados originais que versam sobre a construção e uso dos instrumentos matemáticos, observando a que público se destinava, que conhecimento matemático era necessário ou não para a construção e utilização do instrumento e que contexto social é possível identificar no documento. Acreditamos que ao investigar os instrumentos matemáticos poderemos contribuir com a Educação Matemática na construção de novas propostas de trabalho 4
que propiciem um estudo voltado para a gênese das ideias científicas e matemáticas, o que pode levar a um aprofundamento no entendimento de processos e convenções adotados na construção do conhecimento matemático. Embora existam estudos voltados aos instrumentos científicos e matemáticos, poucos deles, entretanto, são dedicados aos instrumentos como construtor de conhecimento. Nesta pesquisa, buscaremos compreender o instrumento de forma não neutra e não problemática. Os instrumentos matemáticos serão abordados não só como ferramentas, mas também como um objeto que constrói e incorpora conhecimentos em uma rede de relações. Convém observar como os instrumentos eram vistos na Europa do século XVI, sua importância neste período é destacada por Gessner (2010, p. 533) quando escreve: O instrumento é, portanto de alguma forma, um símbolo de cooperação entre artesãos e eruditos, cuja necessidade foi frequentemente proclamada na época e que também, por vezes, de fato ocorreu: ele foi considerado o meio pelo qual o raciocínio teórico (teoria, especulação, contemplação são termos usados na época) executa a operação, e vice-versa (uma vez que a operação baseia-se numa ferramenta matemática e está claramente relacionada com a teoria). (tradução nossa, grifo do autor). É especificamente na Inglaterra elizabetana, século XV, quando os estudiosos estavam interessados na aplicação da Matemática para o desenvolvimento de novos moinhos e motores e para o aprimoramento das técnicas de construção naval e de armas. Desta forma a instrução matemática se tornava necessária, porém era preciso unir a teoria à prática e sobre isto Harkness (2007, p. 102) aponta: (...) para uma geração de estudantes de Londres foram ensinadas as ligações entre a teoria e a prática por seus professores, os autores de textos matemáticos cada vez mais uniram esses dois aspectos do conhecimento matemático em seus trabalhos. Ao fazê-lo, finalmente os autores matemáticos elizabetanos foram capazes de mudar para um novo argumento: a de que a instrução matemática levava à rápida e confiável resolução de problemas para os comerciantes, artesãos e até mesmo funcionários do Estado. (tradução nossa) A união da teoria e prática na instrução matemática dos ingleses porém não era suficiente já que segundo a autora: 5
Mas trabalhar os problemas com caneta e papel nem sempre era prático; situações complicadas muitas vezes necessitavam de cálculos longos, e um único erro simples podia levar ao desastre. Como Ícaro, os londrinos eram cada vez mais atraído por objetos mecânicos e instrumentos matemáticos para ajudar a resolver os problemas de aplicação matemática. A instrução instrumental rapidamente se tornou um objetivo popular em seu próprio direito. (HARKNESS, 2007, p. 102, tradução nossa) Segundo a autora livros relacionados à Matemática começaram a ser publicados de forma constante com o advento da impressão no século XV, sendo que entre os livros sobre aritmética e geometria surgiram os manuais de instrução para os instrumentos matemáticos como o astrolábio e a balestilha. A autora ainda destaca: Mais de 250 livros relacionados à matemática foram impressos durante o reinado de Elizabeth, e o lento gotejar de manuais de contabilidade e textos aritméticos no início do reinado se transformaram em uma inundação de livros sobre todos os tipos de temas matemáticos até o final do século XVI. (HARKNESS, 2007, p. 104, tradução nossa) Assim, durante nossa revisão bibliográfica, levantamos alguns desses tratados do século XVII, sendo um deles intitulado The Triangular Quadrant or The Quadrant on a Sector Being a general instrument for Land or Sea Observation (1662) publicado por John Browne (1642-1702). Elaboramos a sua tradução e iniciamos uma análise com o objetivo de verificar possíveis indícios sobre o processo de construção do conhecimento matemático. Assim, neste trabalho propomos uma breve discussão a respeito da identificação dos primeiros indícios sugeridos nesta primeira obra analisada. O tratado O tratado foi publicado na Inglaterra, em 1662, por John Browne (1642-1702), estudioso matemático da época, inglês, autor de diversos tratados que versam sobre a construção de instrumentos direcionados ao uso para a localização geográfica. Desta forma, seu público alvo era formado por pessoas que necessitavam se orientar em terra ou no mar pela observação celeste. A publicação deste tratado vem ao encontro do que ocorria na Inglaterra do século XVI, quando a busca por esse tipo de texto era constante. Sobre isto Harkness (2007, p. 104), destaca: 6
Embora o número de livros de aritmética, geometria, cosmologia, astrologia e astronomia permanecesse essencialmente consistente ao longo do período 1563-1588, uma crescente demanda por manuais de instrumentos e tratados de navegação desempenharam um papel no aumento gradual dos títulos matemáticos disponíveis nas livrarias de 1588 a 1597, bem como o pico no mercado em 1596, quando 10 dos 16 títulos disponíveis para leitores matemáticos estavam preocupados principalmente com o uso de instrumentos, incluindo sua função na navegação e topografia. (tradução nossa) O tratado The Triangular Quadrant or The Quadrant on a Sector Being a general instrument for Land or Sea Observation (1662) é composto por uma capa, 24 páginas e anexo. Está dividido em duas partes principais, na primeira o instrumento é descrito detalhadamente, as premissas necessárias para sua construção, como escalas, graduações, medidas e marcações, bem como as dez peças que o compõe com as respectivas denominações. Na segunda parte o autor apresenta doze usos para o instrumento e a necessidade de utilizar uma tabela de declinação solar para cada 4 anos, o ano bissexto e os três anos seguintes. Já na capa, conforme mostra a figura 1, o autor explica que o instrumento pode substituir outros instrumentos da época como o Báculo, Quadrante de Davis, Balestilha e Arco, oferecendo mais velocidade, facilidade e conveniência, além de poder ser usado tanto em terra como no mar. Figura 1- Capa do tratado de John Browne de 1662. Destaca também que pode ser convertido em um Quadrante feito para medir latitudes, específicas ou gerais e que tem uma linha Setor (provavelmente uma característica importante que já devia ser usada em outros instrumentos) e uma tabela de retificação na qual poderá ser encontrada a verdadeira declinação solar para um minuto ou dois, em qualquer dia ou hora por quatro anos. Cita que foi inventado e construido por John Browne como a Sphere e Dial (provavelmente duas produções de John 7
Browne) na obra Minories e que é vendido na oficina ou em outro local do qual indica o endereço e onde fica. Na primeira página conforme figura 2, aparece um desenho que provavelmente é do Quadrante triangular, com o mesmo texto da capa (usos e destaques). Figura 2 - Primeira página. Ao iniciar a descrição, o autor explica inicialmente que se trata de uma régua articulada, com um terceiro pedaço de mesmo comprimento que deverá ser encaixado tornando as réguas um triângulo equilátero. Além disso destaca que a quantidade de linhas graduadas poderá variar conforme o que o usurário do instrumento decida, mas que para construir o instrumento de forma completa algumas premissão são necessárias. Construção do instrumento O autor aponta que para construir o instrumento é necessário atender a doze premissas, entre elas destacamos: uma linha graduada de duas vezes 90º na perna móvel e na borda exterior da peça transversal, para as observações quadranciais e de trás; outra linha de 60º na peça transversal para observações de frente; um calendário de meses e dias em duas linhas na perna móvel; linhas de signos naturais, que são atualmente chamados de signos zodíacais e que provavelmene eram usados para identificar as constelações associadas à esses signos, tangentes e secantes, e assim por diante. Após essa descrição das premissas, para um melhor entendimento segundo o autor há dez coisas a serem nomeadas e descritas, que são as peças do instrumento (perna cabeça, perna móvel, peça transversal, lado quadrante, lado setor, cabeça central e a perna central) e as chamadas vistas (vista em volta, vista horizonte, vista horizonte 8
corrediça, vista objeto ou vista sombra que podem ser três, duas fixas e uma móvel), em seguida destaca os nomes abreviados. Uso do instrumento A partir das premissas explicadas e das denominações já definidas, o autor segue com a descrição dos doze usos do instrumento, que são: I- Para encontrar a declinação do sol, o verdadeiro lugar, a ascensão reta e o nascimento do sol, dado o dia do mês. II- Para encontrar a altitude do sol ou das estrelas, por uma observação de frente. III- Para realizar o mesmo de outra maneira. IV- Para encontrar a altitude solar por uma observação de trás. V- O que fazer se o sol estiver perto do zênite ou 90º acima. VI- Para encontrar a distância solar do zênite pela observação de outra forma, o sol não estando acima de 60º de altura, ou 30º de zênite. VII- Adicionando um curto pedaço de cerca de 9 polegadas de comprimento na perna cabeça para definir a vista sombra corrediça, pode-se obter a conveniência anterior de todos os ângulos. VIII- Para encontrar uma observação por fio de prumo, sem ter qualquer relação ao horizonte, estando em boa posição em um dia nebuloso ou nublado em terra ou no mar. IX- Se o sol ou estrela estiver acima de 30º, então a vista objeto deve ser definida para o buraco no final da perna cabeça. X- Para encontrar uma latitude no mar pela observação meridiana de frente ou altitude. XI- Para encontrar a latitude por uma observação Meridiana de trás no mar. XII- Para encontrar uma latitude com fio de prumo, ou por uma observação feita sem respeitar o horizonte. No primeiro uso é explicado como deve ser feito e destaca que a partir dali será tratado somente sobre o que foi esquecido (ou não compreendido) na primeira parte (acreditamos que a primeira parte se refere provavelmente a um tratado sobre a régua articulada onde algumas proposições astronômicas já foram explicadas o suficiente segundo o autor) e o que é novo, como o uso do instrumento para observações no mar. 9
No 3º, 10º, 11º e 12º uso são dados exemplos, nos outros é descrito o que deve ser verificado nas peças e marcações do instrumento, como se deve proceder após essas definições e assim como se chegará ao resultado. Em seguida à descrição dos usos, o autor novamente destaca que o instrumento pode ser usado como o báculo e como quadrante e também como arco do Sr. Gunter, o mesmo para o Sector e ainda destaca que os sinais numéricos e tangentes fazem dele uma excelente régua de Gunter e que a peça transversal funciona como um bom par de compassos e que ocupa pouco espaço o que o torna muito precioso e mais conveniente do que os outros instrumentos, segundo o autor. Exemplo de utilização O autor ainda explica que será necessária uma tabela de declinação solar para cada quatro anos, ano bissexto e os tres anos seguintes, detalha seu uso e fornece um exemplo, para encontrar a latitude sendo dada a declinação do sol (distância solar do polo) e o complemento de duas altitudes do sol, tomadas a qualquer hora do dia, sabendo ainda o tempo entre as duas medições. Nos cálculos são usados os conceitos de seno, cosseno e tangente como pode ser visto na figura 3 que mostra as respecitvas páginas com os cálculos. Figura 3 - Páginas 22, 23 e 24 do tratado com a resolução do exemplo. Após a explicação do exemplo o tratado trás o que optamos por chamar de anexo por não conter numeração de página. Nesse anexo John Browne coloca um desenho que chama de The Triangle explained, no qual aparece o traçado das linhas do horizonte, zênite, polos, bem como a descrição dos arcos com as medidas dadas no exemplo resolvido anteriormente, como podemos observar na Figura 4. 10
Figura 4 - Anexo Algumas considerações A partir dessa tradução do tratatdo percebemos inicialmente o destaque dado pelo autor à facilidade de uso do instrumento, tanto em terra como no mar e a sua facilidade de transporte por ocupar pouco espaço, além da possibilidade de substituir vários instrumentos da época com mais eficiência, exatidão e rentabilidade. Entendemos que isso provavelmente se deve ao autor considerar que o instrumento é de fácil manuseio e por incorporar conceitos matemáticos que possibilitam realizar os cálculos com mais facilidade e precisão, aspecto apreciado na Inglaterra do século XV. Observamos ainda que podemos considerar o Quadrante Triangular como um instrumento matemático porque está medindo comprimentos (polegadas) e ângulos (graus) e que para sua construção havia a necessidade de um conhecimento implícito que nasce da relação entre o saber e o fazer, ou seja, quem o construía também deveria saber usá-lo, este aspecto pode ser identificado quando o autor destaca que o instrumento deveria formar um triângulo equilátero, sem se aprofundar no porquê dessa necessidade. Também identificamos esse aspecto no traçado das escalas, quando era necessário um conhecimento das unidades de medida da época e quais seriam necessárias, já que o autor destaca que a quantidade de linhas graduadas variaria conforme o uso dado ao instrumento. Na construção do instrumento ainda era necessário saber e entender não só sua finalidade, mas também mobilizar conhecimentos matemáticos, tais como seno, 11
cosseno, tangente e secante, conhecimento hoje denominado matemático, mas que na época era considerado um conhecimento de Astronomia. A partir dessas observações, entendemos que o tratado em questão não se trata de um manual de instruções no qual apenas uma simples interpretação possibilitava a construção e o uso do instrumento, entendemos que se trata de um valioso documento que pode fornecer indícios de como o conhecimento matemático era trabalhado na época de sua publicação. A partir de uma análise preliminar desse documento surgiram questões que nos levam a refletir quanto ao papel do instrumento matemático no processo de construção do conhecimento. Que conhecimentos matemáticos eram necessários para a construção do instrumento? E para seu uso? Porque o Quadrante Triangular deveria ter a forma de um triângulo equilátero? Como eram definidas e quantas escalas o usuário do instrumento deveria considerar? No exemplo de utilização dado pelo autor, verificamos que para usar o instrumento era necessário um conhecimento de medidas de ângulos, identificação dos mesmos nas observações com o instrumento, além de conhecimentos elementares de operações com essa medidas. A partir da identificação dessas necessidades, acreditamos que podemos explorar como o conhecimento matemático era tratado na época e obter subsídios para aprofundar o estudo da influência do uso e construção de instrumentos matemáticos no processo de construção desse conhecimento, buscando entender como esses conhecimentos matemáticos eram utilizados, tanto na construção do instrumento quanto na sua utilização. Com essas considerações buscamos propor uma breve discussão a respeito do Quadrante Triangular para desta forma estimular futuras reflexões acerca dos instrumentos matemáticos dos séculos XVI e XVII. REFERÊNCIAS BENNETT, J. A. Knowing and doing in the sixteenth century: what were instruments for?. British Journal for the History of Science, 36, v. 2, 2003 BROMBERG C.&, SAITO F. A História da Matemática e a História da Ciência. In História da ciência: tópicos atuais, org. Maria H. R. Beltran, Fumikazu Saito & Laís S. P. Trindade. São Paulo: Ed. Livraria da Física; 2010. CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2000. DEBUS A. G. El hombre y la naturaleza em el renacimiento. México: Fondo de Cultura Económica, 1996. 12
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