CAPÍTULO 5. MECÂNICA 5.4. DEORMAÇÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA DE CORPOS B B h h v 0 A A -v 0 igura 5.12: Conservação da energia mecânica O ponto de altura máima é denominado de ápice e no instante em que o objecto atinge-o tem velocidade nula. O que é que aconteceu à energia cinética do objecto? Ela não se perdeu, transformouse em energia potencial gravítica. A transformação foi total porque a energia cinética foi a zero no ápice e quando o objecto regressar ao ponto de partida terá a mesma energia cinética que tinha no início (terá uma velocidade v 0 ). Dizemos que há conservação da energia mecânica. Ou seja a quantidade E C + E P mantém-se constante: (E M ) INICIAL =(E M ) INAL (5.9) No início (ponto de lançamento) a energia potencial gravítica é nula porque a altura é zero e no fim (ápice) a velocidade é nula, logo: 1 2 mv2 0 +0=0+mgh ma Ou seja o projéctil vai atingir uma altura igual a v2 0/2g. Podemos também observar que a proporcionalidade directa entre a energia potencial e a altura implica (ver equação 5.8) que a 10% da altura máima teremos 10% da energia potencial gravítica máima (igual à energia mecânica). A restante energia terá que estar sob a forma de energia cinética (90% da energia mecânica) de forma que a soma tenha sempre o mesmo valor. Por eemplo, se um objecto com 0.5 kg de massa é lançado na vertical com uma energia mecânica de 5 J: h (m) h/h ma (%) E C (J) E C /E M (%) E P (J) E P /E M (%) 0.0 0 5 100 0 0 0.2 20 4 80 1 20 0.4 40 3 60 2 40 0.6 60 2 40 3 60 0.8 80 1 20 4 80 1.0 100 0 0 5 100 Tabela 5.2: Energias cinética e potencial ao longo de uma trajectória vertical 5.4 Deformação elástica e inelástica de corpos Uma mola é um dispositivo que tem a capacidade de armazenar energia mecânica. A mola caracteriza-se por opor-se a deformações. Consideremos uma mola linear (ver figura 5.13). Quando sujeita a uma deformação (compressão ou etensão) ao longo do seu eio (longitudinal), a mola resiste a essa deformação produzindo uma força em igual direcção mas em sentido contrário. 27
5.4. DEORMAÇÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA DE CORPOS CAPÍTULO 5. MECÂNICA igura 5.13: Mola linear A força de retorno ~ é tanto maior quanto maior for a deformação duas grandezas são directamente proporcionais: ~.AleideHookedizqueas ~ = k ~ (5.10) Osinalde indica que os sentido da força e da deformação são contrários. A constante k é designada de constante de elasticidade da mola e é uma medida da rigidez da mola.se analisarmos a equação 5.10 de outra forma: k = k ~ ~ k (5.11) verificamos que se temos duas molas sujeitas à mesma deformação k elasticidade a que oferecer maior força de retorno ~. ~ k, terá maior constante de 1 2 igura 5.14: Deformação igual Por outro lado, se aplicarmos a mesma força ~ a duas molas, terá maior constante de elasticidade aquesofrermenordeformaçãok ~ k. 28
CAPÍTULO 5. MECÂNICA 5.4. DEORMAÇÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA DE CORPOS 1 2 igura 5.15: orça igual Quando são sujeitos a uma força, os ossos eibem um comportamento semelhante ao de uma mola. No entanto a deformação sofrida não é apenas segundo uma direcção como acontecia com a mola linear. Por eemplo, quando se aplica uma força num cilindro ao longo da sua geratriz (ver figura 5.16), para além da deformação na direcção da compressão, há deformação noutras direcções. a b c igura 5.16: Compressão de um cilindro Na figura 5.16 vemos 3 eemplos de possíveis deformações. Consideremos a situação a. À medida que há compressão, o comprimento l (altura do cilindro) diminui e a área de secção recta A aumenta: torna-se mais difícil comprimir o cilindro. Ou seja, a constante de elasticidade aumenta com um aumento da área de secção recta: k / A e aumenta com a diminuição do comprimento: k / 1 l Podemos então generalizar a equação da lei de Hooke (5.10) para os ossos: = Y A l (5.12) l em que Y é uma constante chamada módulo de Young em homenagem ao médico e físico do século XIX, Thomas Young. Se modificarmos a equação anterior: = A = Y l l (5.13) 29
5.4. DEORMAÇÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA DE CORPOS CAPÍTULO 5. MECÂNICA podemos constatar que Y tem unidades de pressão. Esta constante representa a rigidez dos ossos e depende unicamente da sua constituição: material Y (GPa) fémur humano (cortical) 17.9 ± 3.9 colagénio 1.2 cristais de sais de Ca 165 Tabela 5.3: Valores do módulo de Young Veremos mais tarde que nos fluidos a pressão faz-se sentir igualmente em todas as direcções. Tal não acontece necessariamente nos sólidos e por isso neste caso a pressão tem a designação mais geral de tensão. A variação relativa do comprimento (" = l /l) designa-se de deformação e a equação 5.13 diz apenas que a tensão e a deformação são directamente proporcionais (é conhecida como a relação tensão-deformação): 100 σ MPa 50 0.5 1.0 1.5 ε/% igura 5.17: Tensão em função da deformação para a compressão do fémur humano [3] Até uma deformação de cerca de 0.4% a relação está de acordo com o previsto pela equação 5.13. Diz-se que a deformação é elástica. Uma vez retirada a tensão, o osso volta ao tamanho inicial. No entanto a partir de uma deformação de cerca de 0.5% a força de retorno do osso varia muito pouco com a deformação. Ocorrem microrupturas que se vão acumulando com a repetição do movimento e que podem eventualmente levar à ruptura. Por eemplo, se dobrar e endireitar um clip um número suficiente de vezes eventualmente ele há-de quebrar. A ruptura é possível num só movimento, basta que eceda o limite de deformação máima. No caso da figura a ruptura ocorre para uma deformação de cerca de 1.7% (onde a curva tensão-deformação termina). A figura 5.17 refer-se ao fémur humano quando sujeito a uma compressão (caso da figura 5.18a). a b c d e igura 5.18: Tipos de tensão [4] 30
CAPÍTULO 5. MECÂNICA 5.4. DEORMAÇÃO ELÁSTICA E INELÁSTICA DE CORPOS Porém a tensão pode ser aplicada de 3 formas fundamentais. Elas são: compressão (figura 5.18a), tracção (figura 5.18b) e cisalhamento (figura 5.18c). Outras formas de aplicação da tensão são apenas uma combinação delas. Por eemplo: a torção (figura 5.18d) é uma combinação de tracção e cisalhamento; a fleão (figura 5.18e) é uma combinação de compressão e tracção. 31
Bibliografia [1] Davidovits. Physics in Biology and Medicine 3rd (Third) Edition bydavidovits (Academic Press;, 2007), 3rd (third) edition edn. [2] Herman, I. P. Physics of the Human Body (Biological and Medical Physics, Biomedical Engineering) (Springer, 2008), 1st ed. 2007. corr. 2nd printing edn. [3] Brown, B. H., Smallwood, R. H., Barber, D. C., Lawford, P. V. & Hose, D. R. Medical Physics and Biomedical Engineering (Series in Medical Physics and Biomedical Engineering) (Taylor & rancis, 1999), 1 edn. [4] Knudson, D. undamentals of Biomechanics (Springer, 2007), 2nd edn. 43