RIGIDEZ E ROTAÇÃO PLÁSTICA DE PEÇAS FLETIDAS

RIGIDEZ E ROTAÇÃO PLÁSTICA DE PEÇAS FLETIDAS Autor: Roberto Buchaim (1) Revisor: Wana Vaz () (1) Professor Doutor, Centro e Tecnologia e Urbanismo, Departamento e Estruturas Universiae Estaual e Lonrina, Pr E-mail: robbuch@uel.br () Eng. Civil, Labore Consultoria E-mail: labore@terra.com.br 1 Introução Dentre os vários tipos e análise estrutural, escritos no item 14.5 a NBR 6118: 014, três eles não eigem comprovação e eformações no Estao Limite Último (ELU): (a) análise linear; (b) análise linear com reistribuição as solicitações; (c) análise ástica com materiais rígio-ásticos. Nas uas primeiras basta usar as rigiezes as seções íntegras (Estáio I) e efetuar, na seguna, a reistribuição, respeitano-se em ambas e na terceira os limites a profuniae relativa a linha neutra (LN). Um quarto tipo a análise elastoástica introuz a verificação as eformações nos materiais, através a capaciae e rotação ástica. Nela, as zonas astificaas a estrutura são representaas por rótulas ásticas, concentraas nas seções críticas corresponentes, interligaas por barras elásticas e e rigiez à fleão o Estáio, one houver fissuração, e o Estáio I, nos trechos sem fissuras. Com isto, são consieraas a astificação os materiais, a fissuração e a colaboração o concreto entre fissuras no enrijecimento a armaura o banzo tracionao. Assim, o último tipo e análise pressupõe, nas peças fletias, um quaro e fissuração estabilizao e coloca ois problemas ocultos nos três primeiros tipos e análise, a saber: (a) a eterminação a rigiez e peças estruturais fissuraas e não fissuraas e, (b) a comprovação a capaciae e rotação ástica, o que no funo correspone a elimitar as eformações etremas nos materiais a seus valores últimos. Com isto, poe-se eterminar corretamente a capaciae UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 1

portante a estrutura, limitano a emana e rotação ástica à capaciae e rotação ástica, com o que são respeitaos os limites e eformação no aço e no concreto. No que segue ão-se inicações sobre estas uas questões e, por último, mostra-se a aicação a teoria a um eemo. Para efeito e projeto, a reistribuição os esforços solicitantes a análise elástica usualmente tem sio praticaa em torno e 15 % a 0 %. Reistribuição maior poe tornar preponerantes as conições os Estaos Limites e Serviço (ELS). Como na combinação rara as ações atua uma carga ( 1 1 γ f ) (1 0,71) 0% menor, os momentos as seções críticas o ELU (com a reistribuição e 0 %) e o ELS (elástico e sem a reistribuição) poem resultar muito próimos se as rigiezes à fleão para momentos positivos e negativos forem próimas ou iguais entre si. Isto obrigaria a um aumento a armaura para evitar seu escoamento, abertura eageraa a fissura e flecha ecessiva. Este raciocínio poe conter erro, se na análise elástica a peça em serviço for consieraa a rigiez o Estáio I. Com mais rigor, eve-se proceer à análise que consiere as rigiezes o Estáio (nos trechos fissuraos) e o Estáio I (nos trechos sem fissuras), as quais epenem as armauras ecorrentes a reistribuição escolhia e momentos. Com isto, a peça e seção transversal constante tem, na verae, rigiez variável. O eemo ao aiante esclarece esta questão. Aianta-se que nele o momento fletor o ELU no apoio e continuiae e após a reistribuição (igual a δ M B, 78, 4 knm ) é quase igual ao momento elástico na mesma seção ( M k 77,5 knm) na combinação rara as ações, e aina assim não há astificação alguma a armaura em serviço. Classificação os aços conforme a utiliae A eformabiliae as peças fletias tem sua maior influência localizaa na eformabiliae o banzo tracionao. Isto porque a profuniae a linha neutra, confinaa no intervalo [ 0; 0,45 ], ecresce relativamente pouco até o ELU a partir e escoamento a armaura. Com isto, a curvatura méia a peça, 1 aa por ( ) sm m, epene em grane parte o alongamento méio a r armaura, sm. Por consequência, quanto mais útil for o aço tanto mais útil poerá ser a peça. A capaciae e uma barra e aço em issipar energia por eformações ásticas, em caso e escarga ou ruptura, representa a sua utiliae. A energia issipável por uniae e volume a barra e aço é aa pela área sob a curva tensão-eformação, σ s ( s ), até a ruptura a barra ensaiaa, escontaa a parcela elástica (recuperável). A Tabela.1 mostra as conições eigias para os aços e utiliae muito alta (S ou C), alta (A ou H) e normal (B ou N), cf. o EC-: 010, o MC-90 e Sigrist e Marti (1994). A Tabela. mostra as conições análogas para os aços nacionais, e refere-se à eformação resiual meia em uma istância igual a 10 iâmetros a barra após a ruptura. UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim

Tabela.1 Classe EC: 010, Aneo C MC-90 Sigrist e Marti (1994) ( f t / f y ) k suk / ( f t / f y ) k suk / ( f t / f y ) k suk / S ou C 1, 15 1, 15 60 1, 0 100 < 1,5 75 A ou H > 1, 08 > 50 1, 08 50 1, 08 50 B ou N > 1, 05 > 5 1, 05 5 1, 05 5 ( f / f ) : valor característico, quantil e 5 %, a relação entre as resistências à ruptura t y k por tração e o início o escoamento. suk : valor característico, iem, o alongamento último e ruptura por tração, corresponente a f tk. Tabela. NBR 7480: 007 NBR 6118: 014 Categoria ( f t / f y ) k s, 10 φ Características e utiliae, item o / 8..7 CA-5 1, 0 180 Alta* 181, 5 suk o / CA-50 1, 10 80 Alta 8, 75 CA-60 1, 05 50 Normal 5, 15 s, 10φ : alongamento resiual meio em 10 iâmetros. f f t yk suk ( ) k + s, 10φ : alongamento último e ruptura por tração, f y Es calculao com E s 00 GPa. (*) O aço CA-5 é e muito alta utiliae, pelo critério a Tabela.1 Capaciae e rotação ástica A estimativa a capaciae e rotação ástica consiera para o concreto as mesmas eformações limites o ELU, cu, aas no item 8..10.1 a NBR 6118: 014, e para os aços eformações iguais a 90 % os valores a Tabela., ou o o seja, su 0, 9 suk, one su 7 / para CA-50 e su 45 / para CA-60. No banzo tracionao, consiera-se a colaboração o concreto entre fissuras. Do lao as resistências, trabalha-se com os valores característicos os materiais, f ck e f yk; ftk. A rotação ástica é associaa a valores a profuniae relativa a LN no ELU-Fleão simes. Assim, a eformabiliae o concreto efinia no cálculo o eslocamento em questão (a rotação ástica) consiera um nível e resistência maior o que o o ELU. As eformações limites o concreto, cu, e o aço, su, poem ser respeitaas através a rotação ástica obtia na viga equivalente a Fig..1, UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim

Fig..1: Viga equivalente estacaa a viga contínua corresponente. A viga equivalente representa o segmento que contém a seção crítica one ocorrem as eformações ásticas. Seu comprimento poe ser tomao igual à istância entre pontos e momentos nulos junto ao apoio e continuiae para as cargas e cálculo, q, e amitio o mesmo para as cargas última q u e o início o escoamento, q y. Os carregamentos q u e q y corresponem, respectivamente, a uma eformação última ou limite em um os ois materiais e à eformação o início o escoamento a armaura tracionaa na seção crítica. Ao acréscimo ( qu q y ) a carga correspone a máima rotação ástica possível nessa seção, a qual vem a ser a capaciae e rotação ástica. Teno em vista que as múltias influências na rotação ástica a viga equivalente ificultam a obtenção e uma função ao mesmo tempo geral e segura, procura-se estimar a capaciae e rotação ástica e maneira mais simes, para o caso comum e seção retangular em fleão simes e armaura simes. Isto é conseguio efinino-se o comprimento a viga equivalente igual a L 6, e o comprimento a zona astificaa igual a a y 1, h, a y 0, 6h para caa lao o apoio a viga equivalente, com altura útil, e h a altura a seção transversal. Com esta aproimação, reuz-se a análise a viga equivalente (ou a estrutura) meramente à análise a seção transversal. Ver Buchaim (001 e 01). Como a istribuição e curvaturas ao longo a viga equivalente é amitia linear, a zona astificaa é um triângulo e etensão (base) a y 1, h, e altura igual à iferença e curvaturas máima (corresponente a uma eformação última no aço ou no concreto) e o início o escoamento a armaura. A área esse triângulo é a capaciae e rotação ástica, one: e ay sm, u sm, y 10 θ ( ) ruptura o aço (ramo ascenente) u (.) y 1 1 UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 4

ay cu sm, y 10 θ ( ) esmagamento o concreto (ramo u y 1 escenente) (.) one 10 ; sm,u é a eformação méia a armaura associaa à eformação última su ; sm, y é a eformação méia a armaura associaa à eformação o início o o syk / escoamento,,5 ; cu é o encurtamento méio o concreto iêntico à eformação limite; u e y são as profuniaes a LN o cálculo a rotação, corresponentes às eformações última e o o início o escoamento. A lei tensão-eformação méia o banzo tracionao, associaa à eformação o aço na fissura, é a aa no MC-90, item... Ver também Buchaim (001 e 01). Enfatiza-se que a rotação ástica resulta e leis tensão-eformação os materiais com resistências f ck para o concreto, f yk e f tk para o aço no ramo astificao (neste, consierao o enrijecimento a armaura tracionaa pela colaboração o concreto entre fissuras), embora as curvas a rotação ástica sejam usualmente aas em função a profuniae relativa a LN no ELU Fleão Simes, obtia com as resistências e cálculo (minoraas) os materiais, o que poe gerar confusão. Para evitá-la, basta perceber que a caa ponto a curva θ ( ) correspone uma única área A s e, portanto, uma única taa mecânica a armaura ω relativa a LN no ELU, ( ). A f s y b 0,85 fc, com a qual se obtém a profuniae As Figuras. e. mostram as curvas a capaciae e rotação ástica para aços CA-50 e CA-60, respectivamente, e concretos C0 a C50 e C90. UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 5

5 Θ (mra) 0 5 0 fck 50 MPa CA-50 ftk/fyk1,1 Epsuk0,080 fck50mpa Epscu0,005 CA-50 ftk/fyk1,1 Epsuk0,080 fck90 MPa Epscu0,006 15 10 fck 90 MPa 5 Figura.: Capaciae e rotação ástica para concretos C50 e C90, aço CA- 50, bloco retangular e tensões para θ ( f ; f / f 50 e 90; 500/550MPa) e ck yk tk para ELU 0,85 f /1,4; f /1,15 ), Geometria: ( a y 0,6h; 0,9h). Deformações limites: concreto: 0 0,00 0,10 0,0 0,0 0,40 0,50 ( ck yk (/ )ELU,5 o / e,6 o / ; aço: 0,9 80 7 o / 5 Θ (mra) 0 CA-60 ftk/fyk1,05 Epsuk0,050 fck50 Mpa Epscu0,005 15 fck 50 MPa CA-60 ftk/fyk1,05 EPsuk0,050 fck90 MPa Epscu0,006 10 5 fck 90 MPa (/ )ELU Figura.: Capaciae e rotação ástica para concretos C50 e C90, aço CA- 60, bloco retangular e tensões para θ ( f ; f / f 50 e 90; 600/ 60MPa) e ck yk tk para ELU 0,85 f /1,4; f /1,15 ), Geometria: ( a y 0,6h; 0,9h). Deformações limites: concreto: 0 0,00 0,10 0,0 0,0 0,40 0,50 ( ck yk,5 o / e,6 o / ; aço: 0,9 50 45 o / UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 6

Os gráficos a capaciae e rotação ástica, nos ramos ascenente e escenente, foram linearizaos na NBR 6118: 014, entre os três pontos a função θ ( / ) corresponentes à taa geométrica mínima a armaura, ao ponto e máimo e aquele corresponente a / 0, 45. Sob este ponto e vista, poe-se argumentar que as curvas anteriores (o MC-90) tinham por base valores méios a resistência o concreto, f cm, ao invés o atual f ck. A eformação limite o concreto consieraa por iferentes pesquisaores é maior o que as estabelecias no imensionamento, p.e., 5 o / ao invés e,5 o /. Também não se consiera a fluência o concreto comprimio. Por outro lao, favoreceno o aumento a capaciae e rotação ástica, nas curvas atuais foram incorporaas as características os aços CA-50 e CA-60 em acoro com a NBR 7480: 007 no segmento astificao, cf. a Tabela.. Além isso, interfere no problema o efeito e tamanho, objeto e pesquisa atualmente. Ver a bibliografia específica para a consieração e outras influências. 4 Rigiez à Fleão nos Estáios I e A rigiez à fleão e uma peça estrutural poe ser consieraa a partir e suas rigiezes o Estáio I, nos segmentos sem fissuras, e o Estáio, nos segmentos fissuraos, conforme as epressões escritas a seguir. No Estáio I tem-se: ( EI ) I EciI I se M M cr W f (4.1) ct, fl one E, é o móulo e elasticiae o concreto na origem a curva σ ), cf. o ci c ( c item 8..8 a NBR 6118; I I é o momento e inércia a seção bruta e concreto, ou a seção ieal (armaura consieraa); W é o móulo e resistência a fibra tracionaa; e f, é a resistência à tração na fleão, cf. o item 8..5 ( 1 f ct fl fct 0,7 ct fl,, tomano-se para a resistência à tração ireta o valor méio). M cr é o momento e fissuração, e seu conhecimento possibilita separar os segmentos a peça nos Estáios I e. Teno em vista que, para as seções usuais (retangular e mesmo circular), o segmento o iagrama momento-curvatura corresponente ao Estáio puro (tensões e tração esprezaas) é também próimo e uma reta que passa pela origem, poe-se aproimar a rigiez à fleão ( EI) pelo prouto o móulo e elasticiae secante o concreto, ao no mesmo item a NBR 6118 por E cs, pelo momento e inércia a seção fissuraa, supono materiais elásticos. A consieração o enrijecimento a armaura tracionaa no Estáio (i.e., após a fissuração e antes o escoamento a armaura), ecorrente a aerência com eslizamento entre as barras a armaura e o concreto circunante, entre uas UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 7

fissuras sucessivas, é feita através e um terceiro fator, euzio em Buchaim (001), a saber: syk sym 1 0,18 1 ρs, ef τ bm f yk 1 (4.) one / / τ bm 0,675 fck para cargas e curta uração e τ bm 0,45 fck para cargas e longa uração ou repetias, com f ck em MPa ; As a ρ s, ef (vigas) e s ρ s, ef (laje) é a taa geométrica efetiva o banzo bhef hef tracionao, com h ef,5( h ) h para vigas e seção retangular e hef,5( c + 0,5φ s ) h em lajes, com a s área a armaura por uniae e comprimento, c cobrimento e φs iâmetro a barra longituinal tracionaa. O fator 1situa-se geralmente na faia 1, 05 e 1, 15, seno 1, 1 um valor syk sym que se poe aotar com pouco erro em cálculos mais aproimaos. O momento e inércia a seção fissuraa (conforme calculao no Aneo 1) é Es ao pelas seguintes epressões, one α s é o coeficiente e Ecs equivalência, ρ A s s b é a taa geométrica a armaura e ξ a profuniae relativa a LN. Seção retangular com armaura simes: I α s ρs (1 ξ )( ξ ) (4.) b α s ρs ( 1+ 1) α ρ ξ (4.4) s s A Seção retangular com armaura ua ( A s1, s 1 ρ s1 e o cobrimento relativo b δ 1 1 no banzo comprimio, A A s e s ρ s no banzo tracionao): b UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 8

b I αs[ ρs1( ξ δ1 )( ξ δ 1 ) + ρs(1 ξ )( ξ )] (4.5) ξ α s ( ρs1 + ρs) + [ αs ( ρs1 + ρs)] + α s ( ρs1δ 1 + ρs) Seção T com armaura simes: seno b fl a largura a flange comprimia, b a largura a alma, h fl a altura a flange (ou espessura a laje), a altura útil, As ρ s a taa geométrica referia à alma, tem-se b b b h h h I fl fl fl fl {4 s ρs (1 ξ )( ξ ) + ( 1) [(ξ )(ξ ) + 1 b h ( (4.6) fl α ) ]} (4.7) one a profuniae relativa a LN ecorre a seguinte equação o º grau: b + [ αs ρs + ( b h 1) b ] ξ [α s ρs + ( b h 1)( ξ fl fl fl fl ) ] 0 (4.8) h fl vália somente se ξ. Se esta conição não ocorrer, o cálculo é feito como seção retangular e largura b b. Assim, a rigiez à fleão no Estáio é igual ao prouto os três fatores mencionaos: syk ( EI) Ecs I (4.9) sym As epressões aas cobrem casos freqüentes a prática (fluência o concreto ecluía). Se for necessária maior precisão, eve-se usar para o concreto uma lei constitutiva curva (p. e., a lei e Grasser) que contenha o móulo e elasticiae tangente na origem, E ci, ao no item 8..8 a NBR 6118. Se o momento e fissuração for pequeno em relação ao momento máimo atuante na seção crítica, basta usar a rigiez o Estáio. fl 5 Eemo Daa uma viga contínua e ois vãos iguais, e comprimento l 8 m, sujeita à carga uniforme e valor característico g + q 5 + 5 10 kn m, e valor k k / frequente, gk +ψ 1 qk 5 + 7 kn / m, pee-se: (a) eterminar a armaura longituinal e (b) comprovar a capaciae e rotação ástica para uma reistribuição o momento fletor o apoio central (B) arbitraa em 0 %. Daos aicionais: UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 9

Seção transversal: Concreto: Aço CA-50: Solução: b / h / 00 / 500 / 455 mm / f ck 0 MPa, τ 0,45, MPa, bm f ck 1 E cs 0,85 5600 0 187, 4 MPa (granito), λ 0,8; η 1 (coeficientes o bloco retangular e tensões para f ck 50 MPa ) f yk 500 MPa, E s 10 GPa (1) Determinação os momentos fletores para o coeficiente e reistribuição δ 0,7 No ELU, com a carga e cálculo ois vãos a viga, resultam após a reistribuição: Momento fletor no apoio e continuiae: l δ M B, δγ f ( gk + qk ) 0,7 14 8 78, 4 knm 8 Momento fletor máimo no vão: γ ( g + q ) 1,4 10 14 kn m aicaa nos f k k / l δ M vão, γ f ( gk + qk ) (1 ) 14 8 0,85 76, knm 8 4 () Dimensionamento as seções críticas A f y Seno a taa mecânica a armaura igual a ω s 1 1 µ, one b 0,85 f o momento relativo é ao por apoio central: M µ, obtém-se para a seção o 0,85 fcb 6 78,4 10 µ 0,156, ω 1 1 0,156 0, 170 e 0 0,85 00 455 1,4 A sb 4 mm. Analogamente para o vão, etermina-se c A s, vão 41, mm. Aotase a área A s 4φ 1,5 500 mm no apoio interno e também no vão. Note-se que a etensão a armaura superior eve ser obtia consierano-se um os vãos com carga total, o outro sem sobrecarga, e um momento no apoio B igual a δ M B, 78, 4 knm. UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 10

() Cálculo a rigiez à fleão No que segue, esconsieram-se a favor a segurança o momento e fissuração e a armaura comprimia. Como as áreas aotaas nos vãos e no apoio interno são iguais, tem-se uma só rigiez a calcular. Com a taa geométrica efetiva o banzo tracionao igual a ρ A 500 00,5 (500 455) s s, ef bhef ecorre a equação (4.): 0,0 syk sym 1 0,18 τ 1 ρ f s, ef bm yk 1 0,18 1 0,0,1 500 1,054 E De (4.4), com s 10000 A 500 α s 9, 865, ρ s s 0,55%, e E 187,4 b 00 455 cs α sρ s 0,054, resulta a profuniae a LN o Estáio, para efeito a rigiez (não confunir com a LN o ELU): ξ α sρs( 1+ 1) 0,054( 1+ 1) 0,8 α ρ 0,054 De (4.) vem: s s b 00 455 I α sρs(1 ξ )( ξ ) 0,054(1 0,8)( 0,8) 666,6 10 Portanto, e (4.9) ecorre a rigiez à fleão o Estáio : syk 6 10 ( EI) EcsI 187,4 666,6 10 1,054 1494,9 10 Nmm sym 6 mm 4 (4) Determinação a rotação ástica no apoio central A equação e compatibiliae que permite obter a rotação ástica no apoio central se escreve (momento positivo traciona a bora inferior): (1) 10 + δ11m B θ δ UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 11

( g + q ) l δ γ, f k k Nesta equação os coeficientes são aos por 10 4( EI) δ l 11 ( EI ). O momento em B é negativo, i. e., γ f ( gk + qk ) l M B, 8 Com estes aos, poe-se escrever: δ. l ( EI) γ f ( gk + qk ) l (1) (1 δ ) θ 8 (1) 8 10 6 (1) θ 11 10 (1 0,7) 1 10 ra ou θ 10 1 mra 1494,9 10 Note-se, e passagem, que a aa equação e compatibiliae contém a solução elástica ( δ 1) para rigiez à fleão constante em toa viga, quano então resultaria nula a rotação ástica no apoio central. Entretanto, na presente análise elastoástica, na qual se retém a análise elástica linear apenas a istribuição e esforços solicitantes, a rigiez a peça epene o coeficiente e reistribuição δ. Em outras palavras, a rigiez a viga não é constante na solução elástica sem reistribuição. No eemo, para δ 1, resultam momentos a istribuição elástica iguais a M B 11 knm e M vão, 6 knm, os quais levam às áreas e armaura ( EI) Nmm A sb 690 mm e 10, apoio 174,8 10 (nos m ( EI) Nmm 10, vão 1189,4 10 (nos m A s, vão 60 mm, e às rigiezes próimos ao apoio central) e 6 restantes o vão). Com estes valores (1) obtém-se a rotação ástica no apoio central igual a θ 5, 1 mra, em contraposição ao valor nulo a solução elástica. Este cálculo esclarece o que foi ito na introução este trabalho. Esclarece também porque a LN no ELU, na análise elástica sem reistribuição, fica limitaa a ξ 0, 45, cf. o item 14.6.4. a NBR 6118, e não mais em 0, 68 para o CA-50 e f ck 50 MPa, pois (1) () θ 5, 1 mra é praticamente igual a θ 5 mra, cf. a curva corresponente a f ck 50 MPa a Fig.., mesmo sem a correção a esbeltez, mostraa a seguir. (5) Comprovação a capaciae e rotação ástica Na Figura. com a profuniae relativa a LN no ELU igual a ξ 1,5ω 1,5 0,170 0,1 obtém-se: () () 10 θ 1, 5 ra ou θ 1, 5 mra UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 1

Esta rotação correspone a uma esbeltez a viga equivalente / 6, e eve l ser corrigia multiicano-a por ve. No eemo, tem-se a istância entre 6 pontos e momentos nulos próimos o apoio central igual a 0,7 l ve l δ 8, 8 m, one: (),8 (1) θ 1,5 1, 7 mra > θ 1 mra 6 0,455 com o que fica comprovaa a capaciae e rotação ástica a viga. O presente cálculo garante apenas o ELU Fleão Simes, e eve ser cometao para atener outros estaos limites. As conições e serviço evem ser eaminaas com o cuiao e consierar os trechos com a rigiez nos Estáios I e, eveno-se evitar nas seções críticas o escoamento a armaura na combinação rara as ações, controlano-se aina a abertura a fissura nessas seções, assim como a flecha, particularmente na combinação freqüente as ações. No eemo em questão, para uma análise elástica com o mesmo valor a rigiez o Estáio usao no ELU, ( EI) (no eemo, constante em toa viga), útil na verificação as flechas imeiatas em serviço, obtêm-se as seguintes tensões na armaura tracionaa a seção o apoio central: (a) Na combinação rara as cargas tem-se g l ve + q 5 + 5 10 kn m. Obtém-se o k k / momento fletor no apoio central M k 10 8 8 (10 1,5 8) 0,0 / 8 77, 5 knm, consierano o arreonamento o iagrama e momento fletor evio a uma largura o apoio interno aotaa igual a t 0, 0m, cf. epressão o item 14.6. a NBR 6118: 014. A curvatura e a istância a LN ao CG a armaura nesta seção são respectivamente iguais a: 1 r 6 1 6 1 M k /( EI) 77,5 10 /14,949 10 5,184 10 mm 455 17,4 7, 6mm Logo, a eformação e tensão no aço são iguais a: 6 s ( ) / r 7,6 / 5,184 10 1,7 10, σ s E s ( ) / r 10 1,7 57MPa (b) Na combinação frequente as ações o momento é proporcional à respectiva carga, ou seja: M k ( gk + ψ 1 qk ) ( gk + qk ) 57 7 10 49, 9MPa e a tensão na armaura passa a ser: σ s 57 (7 /10) 49, 9MPa UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 1

A flecha imeiata máima na viga, calculaa com a rigiez o Estáio, para a combinação frequente as cargas, g +ψ q 5 + 7 kn m em um vão e g k 5 kn / m no outro, é igual a 1,5 mm l 640. k 1 k / Estes resultaos evem ser confrontaos com as eigências e norma, o que poerá levar a um aumento a armaura longituinal. Assim, como se isse na introução, é possível, conforme seja o grau e reistribuição escolhio, que as conições e serviço sejam preponerantes sobre as o ELU Fleão, com o que a estrutura seria aina mais segura contra o colapso. 6 Conclusão Conclui-se o presente trabalho estacano-se os seguintes pontos: (a) A verificação e eformações limites nos materiais, no ELU Fleão, poe ser feita e m relativamente simes, limitano-se a emana e rotação ástica à capaciae e rotação ástica a peça. (b) Para eterminar a primeira são fornecias epressões a rigiez à fleão, com enrijecimento a armaura tracionaa, as quais poem ser aotaas tanto na análise elasto-ástica o ELU quanto na verificação e eslocamentos imeiatos em serviço. Fica-se o lao a segurança e há pouco erro se forem esconsieraos os segmentos no Estáio I, pelo menos em vigas. (c) A istribuição e esforços solicitantes nas peças hiperestáticas ecorrente a análise elástica linear sem reistribuição eige uma capaciae e rotação ástica não nula, razão pela qual é menor o limite a profuniae relativa a LN no ELU atualmente permitio por norma. Deve-se notar, aina, que toas as análises estruturais estão interrelacionaas e supõem, imícita ou eicitamente, suficiente utiliae a estrutura, através as lajes e vigas, para que a pretenia istribuição e esforços solicitantes seja alcançaa, antes e haver ruptura material na seção mais crítica. () A presente verificação eve ser cometaa pela comprovação os emais estaos limites, últimos e e serviço. 7 Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto e estruturas e concreto Proceimento: NBR6118: 00. Rio e Janeiro, 00. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Barras e fios e aço estinaos a armauras para concreto armao: NBR 7480. Rio e Janeiro, 007. EUROCODE : Projecto e estruturas e betão. Pt. 1: Regras gerais e regras para eifícios. Versão portuguesa para aprovação pela CT 115. Dez. 1991. UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 14

COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Moel Coe 1990. Lonon: Thomas Telfor, 199. BUCHAIM, R. Análise ástica e vigas contínuas e concreto armao. Revista IBRACON, São Paulo, n. 17, p. -8, fev./jun. 1997. BUCHAIM, R. A influência a não-lineariae física o concreto armao na rigiez à fleão e na capaciae e rotação ástica. Tese (Doutorao) Escola Politécnica a Universiae e São Paulo. São Paulo, 001. BUCHAIM, R. Estáios I, e I no Concreto Armao. Diagrama Momento Curvatura. Concreto Estrutural. CTU Departamento e Estruturas. Universiae Estaual e Lonrina. Lonrina. Pr, 004. BUCHAIM, R.; PATRÃO, F. J. Lajes pré-fabricaas: otimização o comportamento estrutural. 46º Congresso Brasileiro o Concreto. IBRACON. Florianópolis, 004. BUCHAIM, R. Determinação a capaciae e rotação ástica para concretos C0 a C90 e aços CA-50 e CA-60. Abece Informa 99 Set/Out 01. São Paulo, 01. BUCHAIM, R. Concreto Estrutural: Funamentos e Projeto. Fleão simes e Fleão composta normal. Pilares Esbeltos. C0 a C90. UEL-Universiae Estaual e Lonrina, 015. SIGRIST, V.; MARTI, P. Ductility of structural concrete: a contribution. Zürich: Institut für Baustatik un Konstruktion, ETH Zürich, Okt. 1994. (IBK Sonerruck, n. ). SIGRIST, V. Zum Verformungsvermögen von Stahlbetonträgern. Zürich: Institut für Baustatik un Konstruktion, ETH Zürich, Jul. 1995. IBK Bericht n. 10. BUCHAIM, R.; VIEIRA Jr., L. C. M. Rigiez Equivalente e Pilares. 46º Congresso Brasileiro o Concreto. IBRACON. Florianópolis, 004. BRANSON, D. E. Deformation of Concrete Structures. Vol. 1. McGra-Hill, Inc., 1977. ARTHUR, P. D.; RAMAKRISHNAN, V. Ultimate Strength Design for Structural Concrete. Lonon: Sir Isaac Pitman an Sons, Lt. 1969. Aneo: Determinação a Rigiez no Estáio UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 15

Fig. A1: Seção T, com armaura ua, Estáio. Seja a seção T a Fig. A1, com armaura ua, sujeita a um momento fletor maior o que o e fissuração. A eução, aa a seguir, permite obter as equações (4.) a (4.8), e tem as seguintes hipóteses como base: (a) a fleão é simes; (b) a linha neutra atinge a alma, h fl ; (c) o concreto à tração é esprezao na seção (mas é consierao no enrijecimento a armaura tracionaa); () os materiais seguem a lei e Hke; (e) na área e concreto comprimia não se esconta a área a armaura; (f) as granezas são toas positivas. As eformações que interessam ao problema relacionam-se com a curvatura a seção como segue: 1 c1 s1 c s c1 c (A1) r 1 h fl h fl Como uas granezas efinem o estao e eformação, bastam as uas equações e equilíbrio para eterminá-lo. A igualae as forças e compressão e e tração se escreve: b h fl AsEs s As1E s s1 + Ecsc1 + ( b fl b) h fl Ecsc + ( b fl b) Ecs ( c1 c) E Introuz-se, nesta equação, o coeficiente e equivalência α s s, e substituise, através e (A1), caa uma as eformações em função a curvatura e Ecs a UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 16

profuniae a LN. Após cancelar a curvatura, obtém-se a equação o seguno grau que á a profuniae a LN: + [ α s As + αs As1 + ( b fl b h fl b) h fl ] [ αs As + αs As11 + ( b fl b ) ] 0 b (Aa) Esta equação iviia por permite introuzir as taas e armauras, ρ As1 s1 b e ρ As s b, o cobrimento relativo 1 δ 1 a armaura o banzo comprimio, bem como a profuniae relativa a LN, ξ. Resulta, então: b fl ξ + [ αs ( ρs1 + ρs) + ( b h fl b fl 1) ] ξ [α s ( ρs1δ 1 + ρs) + ( b h fl 1)( ) ] 0 (Ab) O momento as forças e compressão, em relação ao banzo tracionao, leva à seguinte equação: M b h fl Ecs c1( ) + ( b fl b) h fl Ecsc( ) + ( b fl b) h fl + h fl Ecs ( c1 c)( ) + As1E s s1( 1 ) Usano (A1) novamente, obtém-se a equação que etermina a seguna incógnita o problema ( 1 / r se M for conhecio, ou vice-versa): M I 1 EcsI r (A) b h fl h fl h fl ( ) + ( b fl b) h fl[( h fl )( ) + ( )] + +α s A s 1( 1 )( 1 ) (A4a) Esta última equação é o momento e inércia a seção fissuraa, no Estáio. Introuzino os aimensionais resulta: I b {4α s[ ρs(1 ξ )( ξ ) + ρs1( ξ δ1 )( ξ δ 1 )] + 1 UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 17

b fl h fl h fl h fl h fl + ( 1) [(ξ )(ξ ) + ( ) ]} b (A4b) Seção retangular com armaura simes: faz-se (A4b) para obter (4.) e (4.4). b b e ρ 0 em (Ab) e fl s1 Seção retangular com armaura ua: faz-se obter (4.5) e (4.6). b b em (Ab) e (A4b) para fl Seção T com armaura simes: faz-se ρ 0 em (Ab) e (A4b) para obter (4.7) h fl e (4.8). Se a conição ξ não ocorrer, refaz-se o cálculo com b b fl, alterano-se inclusive a taa geométrica a armaura. A eução aa usou as equações e equilíbrio na eterminação a relação momento-curvatura no Estáio. Entretanto, chega-se ao mesmo resultao através as conhecias proprieaes as figuras anas, pois é vália a lei e Hke para ambos os materiais. Assim, a profuniae a LN é eterminaa igualano-se os momentos estáticos as áreas comprimias e tracionaa em relação à LN, ou seja: s1 b h fl + ( b fl b) h fl ( ) + s As1 ( 1 ) αs A ( ) α s (Ac) Esta equação é iêntica à (Aa), como é fácil comprovar. O momento e inércia a seção fissuraa em relação à LN é igual a: I b h fl h fl + ( b fl b) h fl ( ) + ( b fl b) + αs As1 ( 1 ) + αs As ( ) 1 b Para chegar à Equação (A4b), tira-se primeiro termo e (A4c), igual a aimensionais. ( b (A4c) e (Ac), substitui-se o resultao no ), e, em seguia, introuzem-se os UEL CTU - Departamento e Estruturas Concreto Estrutural Prof. Roberto Buchaim 18