25 Problemas de Óptica Escola Olímpica - Gabriel Lefundes 25 de julho de 2015 Problema 1. O ângulo de deflexão mínimo um certo prisma de vidro é igual ao seu ângulo de refração. Encontre-os. Dado: n vidro = 1.50 Problema 2. Uma pessoa caminha a uma velocidade v em uma linha reta que forma um ângulo α com o plano de um espelho. Determine a velocidade v com a qual a pessoa se aproxima da imagem, assumindo que o objeto e a sua imagem são simétricas em relação ao plano do espelho. Problema 3. Calcule o deslocamento de um raio de luz quando este atinge uma placa de espessura d e índice de refração n a um ângulo θ i Problema 4. Uma placa grossa é feita de um material transparente cujo índice de refração varia de n 1 até n 2. Um raio entra na placa fazendo um ângulo α com a vertical, sob qual ângulo com a vertical o raio deixa a placa? Problema 5. Um recipiente cúbico e opaco de aresta a foi colocado de tal modo que o olho de um observador não vê o seu fundo, mas vê toda a parede CD. Qual quantidade de água precisará ser colocada no recipiente para que o observador veja o ponto F, a uma distância b do ponto D? Dado: índice de refração da água: n agua Problema 6. Um raio incide perpendicularmente sobre uma das faces de um prisma de vidro de índice de refração n = 1.5 cuja secção transversal é um triângulo equilátero. Encontre o ângulo entre os raios incidentes e refratados pelo prisma. Problema 7. Um raio incide na face de um prisma e sai dele por uma face adjacente, depois da refração. Qual é o máximo valor possível do ângulo α de refração do prisma? Dado: n prisma = 1.5. 1
Problema 8. Um raio luminoso penetra em um prisma de vidro sob um ângulo α e sai do prisma para o ar sob um ângulo β; ao passar pelo prisma, sofre um deslocamento da direção inicial em um ângulo γ. Determine o ângulo de refração e o índice de refração do prisma. Problema 9. Um ponto luminoso se move pelo eixo de um espelho esférico côncavo, aproximando-se deste. Para quais distâncias do ponto ao espelho, a distância entre o ponto e sua imagem será igual a 0.75R? OBS.: R é o raio de curvatura do espelho. Problema 10. A distância entre duas fontes luminosas pontuais é l = 24cm. Em qual ponto entre elas é necessário colocar uma lente convergente com distância focal f = 9cm de tal modo que as imagens de ambas fontes coincidam? Problema 11. Qual é o raio R de um espelho côncavo que se encontra a uma distância a = 2m do rosto de um homem cuja imagem é 1.5x maior que a imagem deste mesmo homem em um espelho plano situado a mesma distância do seu rosto? Problema 12. Um objeto em forma de um segmento de reta de comprimento l está situado ao longo do eixo ótico de uma lente convergente de distância focal f. O centro do segmento se encontra a uma distância a da lente e esta produz uma imagem real convergente de todos os pontos do objeto. Quanto vale o aumento linear β do objeto? Problema 13. Uma pequena pedra repousa no fundo de um tanque de xm de profundidade. Determine o menor raio de uma cobertura circular, plana, paralela à superfície da água que, flutuando sobre a superfície da água diretamente acima da pedra, impeça completamente a visão desta por um observador ao lado do tanque, cuja vista se encontra no nível da água. Justifique. Problema 14. Um objeto em forma de um segmento de reta de comprimento l está situado ao longo do eixo ótico de uma lente convergente de distância focal f. O centro do segmento se encontra a uma distância a da lente e esta produz uma imagem real convergente de todos os pontos do objeto. Quanto vale o aumento linear β do objeto? 2
Problema 15. Através de um tubo fino, um observador enxerga o topo de uma barra vertical de altura H apoiada no fundo de um cilindro vazio de diâmetro 2 H. O tubo encontrase a uma altura 2H + L e, para efeito de cálculo, é de comprimento desprezível. Quando o cilindro é preenchido com um líquido até uma altura 2H (veja figura), mantido o tubo na mesma posição, o observador passa a ver a extremidade inferior da barra. Determine literalmente o índice de refração desse líquido. Problema 16. Considere um raio ABCDE que sofre uma única reflexão interna antes de emergir de uma gota. (a) Mostre que o desvio θ do raio emergente DE em relação à direção de incidência AB é dado por θ = π + 2θ 1 4θ 2 4 n (b) Mostre que o valor mínimo de θ ocorre para um ângulo de incidência θ 1 = 2. 3 Problema 17. Uma fonte pontual de luz é montada dentro de um recipiente cilíndrico de altura h. O fundo do recipiente está coberto com um espelho plano. A partir de certo momento, água (transparente e de índice de refração n) começa a preencher o recipiente lentamente, O nível do líquido aumenta continuamente sendo que a suuperfície permaneça plana, atingindo o topo do recipiente após um intervalo de tempo T. Determine a velocidade da imagem da fonte durante o processo para um observador posicionado acima do recipiente. Considere o índice de refração do ar igual a 1. 3
Problema 18. Neste problema vamos investigar as características da imagem formada por um espelho na forma de um elipsóide. Este tipo de espelho tem a característica marcante de que todo raio que parte de um dos focos F ou F, atinge o outro foco. Neste caso, se diz que os focos F e F são um par objeto-imagem, ou, pontos conjugados. Uma elipse é caracterizada pelos seus focos F e F. A principal característica de uma elipse é que sobre qualquer ponto P sobre a mesma, e.g. ponto A, B e C na figura, vale a relação P F + P F = 2a, onde 2a é uma constante e mede o comprimento do eixo maior da elipse. Dependendo da distância entre os focos da elipse o eixo menor, cujo comprimento é 2b, pode ser maior ou menor. Dessa maneira, costuma-se definir a excentricidade de uma elipse ɛ como a2 b ɛ 2 a Essa é a quantidade que indica o quanto oval é a elipse. Suponha que um objeto seja colocado sobre o foco F do espelho, como mostra a figura. Faça o que se pede. (a) Qual o aumento transversal do espelho caso considere somente os raios de luz que atingem o espelho próximos ao ponto A. Escreva seu resultado como função da excentricidade ɛ da elipse. (b) Repita o que se pede no item (a) considerando os raios que atingem o ponto B. (c) Repita o que se pede no item (a) considerando os raios que atingem o ponto C. (d) Conclua dos itens anteriores qual deve ser o aumento transversal de um espelho na forma de elipse. (e) O círculo pode ser considerado um caso particular de elipse com excentricidade nula, ɛ = 0. Determine, dessa maneira, o aumento transversal de um espelho esférico, para um objeto colocado sobre o ponto F. Onde está a imagem nesse caso? Problema 19. Um observador olha diretamente para uma pedra no fundo de uma piscina inicialmente vazia. A piscina tem uma base retangular com dimensões L e 2L. À medida que se enche a piscina com água - índice de refração n A - o observador tem a impressão de que a pedra vai se deslocando. A que velocidade o observador vê a pedra se mover enquanto a piscina enche a uma vazão constante l v? 4
Problema 20. Um raio luminoso incide em um bloco retangular feito de vidro, índice de refração n v, que está quase totalmente submerso em água, índice de refração n a. (a) Qual a condição para os índices de refração (água e vidro) para que possa haver reflexão interna do feixe dentro do bloco de vidro? (b) Suponha que a condição do item a) seja válida, determine o maior ângulo de incidência θ para ocorrer reflexão interna total na lateral esquerda do bloco de vidro. Use para o índice de refração do ar 1,0. Problema 21. Para se obter um feixe de luz paralelo a partir de uma fonte pontual, dois espelhos esféricos côncavos (E 1 e E 2 ) podem ser usados, como mostrado na figura abaixo. O raio do espelho E 1 é R e o raio do espelho E 2 é 8R. (a) Qual é o valor do foco dos espelhos? (b) Para que o feixe produzido seja paralelo, qual deve ser a distância entre os vértices V 1 e V 2? Problema 22. Uma barra AB de comprimento L é colocada sobre o eixo de um espelho côncavo de distância focal f. Sabendo que a extremidade B da barra (a mais próxima ao espelho) está a uma distância p do vértice do espelho, determine o aumento longitudinal da barra, ou seja, a razão entre o comprimento da imagem da barra e o comprimento L da mesma. Problema 23. O diamante é um material que possui um índice de refração de 2,4, maior, por exemplo, que o do vidro que tem um índice de refração de 1,5. Esta é uma das razões para que o diamante seja utilizado na fabricação de jóias devido às multiplas reflexões internas. Um raio de luz penetra numa barra de diamante de faces planas e paralelas de espessura D e com um ângulo θ. Determine os valores para θ para que a luz fique confinada na barra (não saia mais para o ar). 5
Problema 24. Um objeto é colocado a uma distância p = 25cm de um espelho côncavo de distância focal f = 10cm. Sobre o espelho é despejada uma pequena quantidade de líquido cujo índice de refração é n = 1.4, como mostra a figura. Determine a distância da imagem formada por este sistema óptico ao espelho. Problema 25. Vamos determinar a posição da imagem formada por um espelho esférico (gaussiano) quando o objeto não se encontra sobre seu eixo principal, isto é, a linha normal ao espelho em seu centro. Sendo p a distância do objeto ao centro do espelho e θ o ângulo com relação ao eixo principal, e este suficientemente pequeno, para que as aproximações do espelho gaussiano continuem válidas. Considerando os raios ilustrados na figura acima, vemos que se uma imagem bem definida se formar, ela deve estar no plano da figura, e seu ângulo com relação ao eixo principal deve ser o mesmo θ. (a) Sendo f a distância focal do espelho, prove, usando os dois raios ilustrados (um que passa pelo centro e outro paralelo ao eixo principal) que p, a distância da imagem até o centro do espelho, deve obedecer à seguinte relação: 1 p + 1 = cos θ p f 6
(b) Vamos considerar agora outros raios que saem do corpo, para verificar se a imagem será bem definida, isto é, se todos os raios convergem para ela. No entanto, limitemo-nos ao plano da figura acima, pois fica mais complicado mostrar isso para raios fora do plano. Há um raio que sai do corpo e atinge o espelho, a uma distância l acima de seu centro, e se encontra com o raio que passava leo centro a uma distância p* do centro do espelho, conforme a seguinte figura Mostre que p* = p, isto é, todos os raios, independentemente de l, convergem para o mesmo ponto. (c) Quando há um corpo extenso sobre o eixo principal, tal como uma vela, costuma-se considerar que a imagem de um ponto superior forma-se justamente acima da imagem de um ponto na base, isto é, uma vela posta verticalmente com a base sobre o eixo principal forma uma imagem também vertical. Prove, a partir da relação obtida no item a, que esta consideração é verdadeira, isto é, a posição horizontal (paralela ao eixo principal) da imagem pode ser tratada como se o objeto estivesse sobre o eixo. Conseqüentemente ter-se-ia que a imagem de uma vela vertical seria, de fato, vertical. (d) Se um feixe de raios paralelos incide no espelho paralelamente ao eixo principal, então o feixe converge para um ponto sobre o eixo, chamado foco. Caso o feixe forme um ângulo θ, suficientemente pequeno, com o eico, mostre que os raios convergem para um ponto contido no plano perpendicular ao eixo que passa pelo foco e calcule a distância entre este ponto F e o foco F. Este plano é chamado de plano focal. Dê o resultado em termos de θ e f. 7