NÚMEROS REAIS E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: UMA DISCUSSÃO ACERCA DE ABORDAGENS NOS LIVROS DIDÁTICOS Regina Célia Guapo Pasquini Universidade Estadual de Londrina rcgpasq@uel.br Ana Carolina Costa Pereira Universidade Estadual do Ceará carolinawx@gmail.com Resumo: A partir da análise de livros didáticos, que marcaram diferentes momentos em relação às reformas curriculares de ensino, abordaremos o modo como o conceito de número irracional e, conseqüentemente, o conjunto dos números reais é constituído. Discutiremos questões relacionadas ao ensino de conteúdos envolvidos e finalizaremos com um olhar sob a forma como os números reais se apresentam na História da Matemática. Palavras-chave: Números Reais; Livros Didáticos; História da Matemática. Números Reais e Formação de Professores Vários pesquisadores têm trabalhado com problemas relacionados ao ensino e aprendizagem dos números reais, quer sejam, sobre a concepção de alunos ou professores sobre o conceito de número reais, reforçando que esse tema é de fundamental importância para a construção de relações numéricas estabelecida por eles. (SOARES et al, 1998; COBIANCHI, 2002; MOREIRA, 2005; FISCHBEIN, 1995; IGLIORI, 2003; MELO, 1999; e OUTROS). No que se refere ao conjunto dos números reais no que tange aos números racionais, diversas questões são apresentadas, como por exemplo, a forma como os números reais são constituídos a partir dos racionais. Entretanto, um grande número delas exaltam a importância e, ao mesmo tempo, a dificuldade no trabalho com os números irracionais, principalmente no que se refere ao enfoque geométrico para que assim, esse conjunto possa ser ampliado para o conjunto dos números reais. Essa situação é reafirmada quando estudos relatam que alunos e professores têm uma visível dificuldade de entender e diferenciar números racionais ou irracionais (COBIANCHI, 2001). Podemos referenciar a importância de tal situação já que nos 1
Parâmetro Curriculares Nacionais PCN (1998) existe uma preocupação em reverter o estudo dos números irracionais, que tem se limitado quase que exclusivamente ao ensino do cálculo com radicais. Ainda hoje, em geral, a abordagem que se dá no ensino dos números irracionais resume-se a um conjunto de técnicas de resolução. Miguel (1994) afirma que: Tradicionalmente as passagens dos livros didáticos para a escola secundária referente a eles (os irracionais) reduzem-se invariavelmente a um amontoado de regras de operar com radicais que acabam por constituir-se, aos olhos dos estudantes, em conhecimentos pouco úteis, pouco desafiadores e desligados dos demais temas presentes nos programas de Matemática (...) contrastando com a elevada dosagem de imaginação, sutileza e ousadia que impregnaram sua produção histórica (MIGUEL, 1994, 55). Na história da matemática os números irracionais percorrem um caminho bastante longo. Podemos começar com os gregos na busca de encontrar solução para o problema da incomensurabilidade, quando foi destruído todo ideal pitagórico que reduzia tudo a número, causando a primeira crise dos fundamentos matemáticos. Esse problema não foi resolvido antes da Teoria das Proporções de Eudoxo (408 a.c. - 355 a.c.), em que se utilizam apenas argumentos geométricos, colocando a geometria como o centro do conhecimento matemático. Somente no século XIX, como parte do Movimento da aritmetização da Análise, foi que matemáticos, como os alemães Dedekind (1831-1916) e Cantor (1845-1918) formalizaram o conceito de número real estabelecendo de fato uma definição para o conjunto independente da geometria. O sistema de números reais é um assunto presente na formação do estudante, seja no Ensino Fundamental, Médio ou Superior. Muitos professores e Livros Didáticos apresentam uma definição para o mesmo como a união dos conjuntos dos números racionais com os irracionais, e outros como a união dos conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e irracionais. Fischbein et al (1995) diz que os números irracionais são uma parte do sistema e sem eles o conceito de números reais está incompleto. Basta negligenciar os números irracionais e o sistema inteiro desmancha-se. 1 Dessa forma, acreditamos que conceito de número irracional é um assunto ainda muito confuso para estudantes e que o mesmo é intuitivamente difícil, principalmente se 1 Tradução nossa. 2
for excluída da aprendizagem a relação entre os números irracionais e a incomensurabilidade. Daí a importância de lidarmos com estas e outras questões que se relacionam com esse tema. Grande parte dos livros utilizados em cursos para formação de professores de Matemática aqui no Brasil não tratam especificamente da construção dos números reais, restringindo-se a apresentar esse conjunto como um Corpo Ordenado Completo. Em concordância com os resultados das pesquisas citadas acima, pode-se afirmar que, para o futuro professor de Matemática, esse tipo de tratamento é considerado insuficiente, ou seja, a discussão da idéia de Número Real é fundamental para a formação de um professor de Matemática. O que se percebe é que o tratamento dado pela maioria tem, no mínimo, furtado dos estudantes o sabor de conhecer relações, justamente num assunto que é inspiração para grande parte da Matemática. O livro didático tem sido um dos materiais pedagógicos mais utilizado pelos professores em suas salas de aula. Diversas razões justificam: o espaço físico oferecido pelas escolas - carência de local apropriado para estudos; a ausência de materiais adequados para pesquisa; as condições de trabalho a que os professores se submetem em função da rotina de trabalho e uma vida de improvisações, rotina e limitações; a imposição dos programas; e ainda, as editoras com suas estratégias de marketing, influenciando os professores na escolha dos livros didáticos a serem adotados. Dessa forma, o livro didático converteu-se numa das poucas formas de documentação e consulta empregada não somente por professores, mas também por alunos. Nossa experiência nos mostra que em cursos destinados à formação de professores, de forma inicial e continuada, assuntos como avaliação de livros didáticos, os fundamentos da Matemática, formação e evolução de conceitos, são raramente considerados. Como resultado disso, resulta-nos, professores com formação sem uma base teórica capaz de oferecer condições que o auxilie na escolha de livros, com espírito crítico e interpretativo. Para tentar mudar este quadro e contribuir para melhoria do ensino de Matemática, deve haver um atilamento por parte dos professores que o livro didático é apenas um complemento de seu trabalho em sala de aula, passando a analisar e perceber, com mais argúcia, as impropriedades que possam estar presentes nos livros em circulação no país. Como apresentado nos parágrafos anteriores, a escolha deste conteúdo - números reais decorre da ênfase das atuais pesquisas em Educação Matemática mais precisamente 3
referentes ao ensino aprendizagem do mesmo. Com maior força as que dizem respeito às noções de incomensurabilidade, densidade, continuidade, classificação, representação, aproximação, racionalidade, infinito e enumerabilidade. Desenvolvimento das atividades A problemática presente no tratamento dos números reais, bem como, a discussão de questões concernentes ao seu ensino vem ao encontro da análise de livros didáticos de Matemática. Serve de pano de fundo para que possam ser geradas discussões acerca do ensino de números reais. Para isso, são apresentadas abaixo as intenções quanto ao desenvolvimento das atividades no decorrer do mini-curso. Num primeiro momento, dividiremos os participantes em grupos para em seguida sejam disponibilizados os livros didáticos selecionados para uma análise do conteúdo proposto buscando por responder a algumas questões apresentadas inicialmente pelos ministrantes. Os livros didáticos utilizados no mini-curso foram escolhidos de diferentes épocas que marcaram momentos distintos das reformas curriculares. Questões serão apresentadas com o objetivo de direcionar a análise. Em seguida, os participantes deverão discutir nos seus grupos e apresentar o resultado da análise e suas concepções sob o estudo. Uma discussão maior com todo grupo será conduzida de modo a ressaltar a forma como o conteúdo é apresentado nos diferentes livros, remetendo sempre que possível às condições como o mesmo se encontra atualmente. Finalmente, concebendo como uma contribuição para a formação do professor de Matemática apresentaremos uma breve exposição no diz respeito aos números reais na História da Matemática, desde o surgimento do problema da incomensurabilidade, ou seja, dos primórdios ao então conhecido como movimento da aritmetização da Análise no século XIX. Referências BRASIL. MEC. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática (5ª a 8ª série). Brasília. MEC/SEF, 1998. 4
COBIANCHI, A. S. Estudos de Continuidade e Números Reais: Matemática, Descobertas e Justificativas de Professores. Dissertação (Mestrado). Rio Claro SP, UNESP, 2001. FISCHBEIN, E; JEHIAM, R; COHEN, D. The Concept of Irrational Numbers in High- School Students and Prospective Teachers. Educational Studies in Mathematics, vol. 29, pp. 29-44, 1995. IGLIORI, S. B. e SILVA, B. A., Concepções dos alunos sobre números reais. In: Educação Matemática: a prática educativa sob o olhar de professores de Cálculo, Jonas Lachini e João Bosco Laudares (org.). Belo Horizonte: FUMARC, 2001, pp 68-88. MELO, S. B. A compreensão do conceito de números irracionais e sua história: Um estudo junto a alunos dos cursos de ciências exatas. In: Revista Symposium, UNICAP PE, ano 3, nº 1, 1999, pp. 27-36. MIGUEL, A.; MIORIM, M.A. História na Educação Matemática: Propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004. MOREIRA, P. C; DAVID, M.M.M.S. Números racionais: Conhecimentos da Formação Inicial e Prática Docente na Escola Básica. In. Boletim de Educação Matemática (BOLEMA), UNESP RC, ano 17, nº 21, 2004, pp.1-19; 5