São Paulo, 2014 MANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BINOMIAL PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES

São Paulo, 2014 MANUAL DE APLICAÇÃO DO MODELO BINOMIAL PARA A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES

Objetivo do Manual O presente manual tem como objetivo explicar os conceitos básicos referentes ao Modelo Binomial de precificação de opções para ações que não pagam dividendos Basicamente, a estrutura do manual será dividida da seguinte forma: 1 Objetivo do Modelo - Especifica de forma clara o motivo de utilizar o Modelo Binomial. 2 Breve Explicação das definições de opções De forma breve, define os conceitos e expressões do mercado de opções, para que o leitor se familiarize com as variáveis que serão utilizadas no modelo. 3 Breve explicação do funcionamento das opções no Brasil- Esclarece sobre as especificidades do mercado de opção no Brasil, dando enfoque na explicação do código de uma opção no país. 4 Hipóteses e Premissas- Explica-se quais são as hipóteses e premissas do modelo, para que o leitor possa identificar quais as situações especificas em que o modelo pode ser utilizado. 5 Explicação do Modelo Apresenta de forma sintetizada a construção do modelo binomial 6 Aplicação Explica para o leitor como aplicar o modelo binomial nas planilhas apresentadas. 7 Apêndice Alguns comentários finais para quem deseja obter maior profundidade no assunto. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 2

1 Objetivo do Modelo O objetivo do Modelo Binomial de Precificação de Opções para ações que não pagam dividendos é precificar opções em função do valor de sua ação, de forma relativamente simples, assumindo a possibilidade de apenas dois valores de preço da ação no vencimento da opção: a ação ou aumenta até dado preço maior ou diminui até determinado preço menor. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 3

2 Breve Explicação e definições de opções As opções são instrumentos financeiros derivativos. Esta nomenclatura deve-se ao fato de o seu valor derivar de outro ativo financeiro. Existem dois principais tipos de opções: de compra ou venda. Opção de compra: dá o direito, ao seu dono, de exercer a compra de um determinado ativo por um determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos no contrato de emissão da opção. Opções de compra também são normalmente chamadas de call. Opção de venda: dá o direito, ao seu dono, de exercer uma venda de um ativo determinado por um determinado preço e em um determinado dia. Tanto o preço quanto o dia de exercício estão contidos no contrato de emissão da opção. Opções de venda também são normalmente chamadas de put. O preço de exercício é normalmente denominado de Strike Exemplificando o funcionamento das opções de compra É vendida uma opção de compra da ação PETR4. A opção confere o direito de compra de uma ação PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014. Data de exercício 21/abr/2014 Preço de exercício (strike) R$ 10,00 Assim teremos o seguinte, se na data de exercício a cotação da ação estiver acima de R$ 10,00 isso significa que o dono da opção pode exercer o seu direito comprando uma ação de PETR4 por R$ 10,00 (menos que o valor de mercado) e vender a opção por mais de R$ 10,00 (atual valor de mercado). Assim, na data de exercício o valor da opção seria: Valor da opção na data de exercício = Preço de mercado da ação Strike Agora imaginemos que na data de exercício o preço de mercado da ação PETR4 esteja abaixo de R$ 10,00. Nesse caso não faz sentido exercer a opção e pagar mais pela ação do que o seu valor de mercado, neste caso o valor da opção seria 0. Valor da opção na data de exercício = 0 Manual de aplicação Modelo Binomial Página 4

Exemplificando o funcionamento das opções de venda É vendida uma opção de venda da ação PETR4. A opção confere o direito de compra de vender uma ação PETR4 pelo valor de R$ 10,00, no dia 21/abr/2014. Assim teremos o seguinte, se na data de exercício a cotação da ação estiver abaixo de R$ 10,00 isso significa que o dono da opção pode exercer o seu direito vendendo uma ação de PETR4 por R$ 10,00 (mais que o valor de mercado) e depois recomprar a ação menos de R$ 10,00 (atual valor de mercado). Assim, neste caso, na data de exercício o valor da opção seria Valor da opção na data de exercício = Strike Preço de mercado da ação Agora imaginemos que na data de exercício o preço de mercado da ação PETR4 esteja acima de R$ 10,00. Então não faz sentido exercer a opção e vender PETR4 por R$ 10,00 (menos que o seu valor de mercado). Neste caso o valor da opção seria 0. Opções europeias e americanas O nosso modelo tratará basicamente de opções europeias. Nesta modalidade o detentor da opção pode exercer o seu direito apenas na data de exercício. Por outro lado existe a modalidade chamada opções americanas, onde o detentor da opção pode exercer o seu direito a qualquer momento, até a data em que a opção expira. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 5

3 Breve Explicação do funcionamento das opções no Brasil O código de uma opção Toda opção é designada através de um código. O entendimento desse código é um meio de saber as principais características de uma opção (preço de exercício, ativo objeto, etc). Opções da BM&F possuem códigos com uma estrutura diferente das transacionadas na Bovespa, dessa forma dedicamos um tópico para cada um destes mercados. Código de opções da Bovespa As opções, na Bovespa, possuem códigos compostos por 7 caracteres. Um exemplo tornará o entendimento mais fácil PETRD12 PETR Os quatro primeiros caracteres indicam o ativo objeto. Neste caso temos uma opção de ações da Petrobrás. Vale mencionar que o código da opção não indica que a ação em questão é preferencial ou ordinária. D O quinto caractere indica duas coisas. Primeiro, se esta é uma opção de compra ou venda; segundo, o mês de vencimento da opção. A tabela abaixo traduz o significado de qualquer caractere nesta posição (quinto caractere): Opção de compra Opção de venda JANEIRO A M FEVEREIRO B N MARÇO C O ABRIL D P MAIO E Q JUNHO F R JULHO G S AGOSTO H T SETEMBRO I U OUTUBRO J V NOVEMBRO K W DEZEMBRO L X Manual de aplicação Modelo Binomial Página 6

É importante lembrar que na Bovespa o vencimento de toda opção sempre ocorre na terceira segunda-feira de cada mês. Assim, D significa que esta é uma opção de compra que vencerá na terceira segunda-feira de Maio. Além disso, o código de opções da Bovespa o ano de vencimento. 13 Por fim, os dois últimos caracteres indicam o preço de exercício da opção (strike). Neste caso temos um Strike de R$ 13,00.Deve-se adicionar que nem sempre o preço de strike da opção é o mesmo representado pelo seu código, isto acontece pois o strike de uma opção pode ser ajustado por uma gama variada de motivos: distribuições de dividendos, fracionamentos, agrupamentos, entre outros. Código de opções da BM&F As opções, na BM&F, possuem códigos compostos por 13 caracteres. Um exemplo tornará o entendimento mais fácil DOLZ15C185000 DOL Os três primeiros caracteres indicam qual o ativo objeto, neste caso temos o dólar. Z O quarto caractere indica o mês de vencimento. A tabela abaixo traduz o significado de todo possível quarto algarismo. Neste caso específico temos Dezembro como mês de vencimento do contrato. JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO SETEMBRO OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO Opção de compra F G H J K M N Q U V X Z Manual de aplicação Modelo Binomial Página 7

15 O quinto e o sexto caracteres indicam o ano de vencimento da opção. Neste caso temos um vencimento em 2015. C O sétimo caractere indica se esta é uma opção de venda ou compra. C significa uma opção de compra e P uma opção de venda. Neste caso temos uma opção de compra. 185000 O preço de exercício da opção está representado no oitavo caractere até o décimo terceiro (último). Neste caso temos um preço de exercício de R$ 1850,00. Comentários finais Assim como no caso da Bovespa o preço de exercício da opção, que está representado no seu código, pode não permanecer exatamente o mesmo ao longo da vida da opção. Através do portal da Bovespa sempre é possível buscar o preço de exercício atual de um contrato de opção. Link: http://www.bmfbovespa.com.br/opcoes/opcoes.aspx?idioma=pt-br Manual de aplicação Modelo Binomial Página 8

4 Hipóteses e Premissas do modelo A existência de opções permite que para cada ativo seja possível um investidor utilizar uma estratégia livre de risco. Esta estratégia baseia-se num portfólio que mescla o ativo em questão e sua opção, em uma determinada proporção. Como este portfólio tem o mesmo risco de um ativo livre de risco, supõe-se que o seu retorno seja o mesmo de um ativo livre de risco. Caso o retorno do ativo livre de risco fosse maior não teria sentido alguém formar tal portfólio, e caso o retorno do portfólio fosse maior não existiria sentido em alguém investir no ativo livre de risco. Retorno do portfólio = Retorno do ativo livre de risco O retorno do portfólio depende dos retornos da opção e da ação. O retorno da opção, por sua vez, depende do retorno da ação (pois o valor da opção depende do valor da ação). Isso significa que dada uma variação na cotação da ação, o valor da opção se move de forma que mantenha a relação verdadeira Retorno do portfólio = Retorno do ativo livre de risco Uma segunda conclusão disto é que a taxa de juros livre de risco é uma taxa adequada para calcular o valor presente de uma opção. Forma binomial No mundo real, é normal supor que a qualquer momento um número gigante de variações para o movimento de uma ação são possíveis. A ação pode subir ou descer de diversas formas. Contudo, no modelo utilizado a cada momento (chamado aqui de passo temporal ) são possíveis apenas dois acontecimentos no comportamento da ação, uma subida de u ou descida de d. Sendo que os valores de subida e descida são sempre os mesmos ao longo de todo período de vida da opção. O modelo pode ser graficamente representado da seguinte forma: Sou² Sou So Soud Sod Sod² Manual de aplicação Modelo Binomial Página 9

So= preço da ação no período inicial u = subida da ação (sendo que u > 1) d= descida da ação (sendo que d < 1) Sou = preço da ação depois de uma subida (sendo que u > 1) Sod= preço da ação depois de uma descida (sendo que d < 1) O tempo que passa de cada nó para o próximo é chamado de espaço temporal, sendo que cada espaço tem o mesmo valor. Além disso, como dito anteriormente, a cada espaço temporal são possíveis apenas dois movimentos de subida ou descida. Valor de subida ou descida da ação Ao longo de todos os nós os valores adotados de subida e descida são constantes, isto é, u e v adotados pelo modelo são constantes. Além disso, estes são determinados pelo modelo de forma determinística de acordo com as equações onde So= preço da ação T = espaço temporal σ T Subida: u = e σ T Descida: d = e Manual de aplicação Modelo Binomial Página 10

5 Explicação do Modelo Primeiramente, suponha que o preço atual da ação X é de R$ 20,00. Suponha também que o preço da ação X pode subir ou cair 10% a cada 3 meses. Com isso, podemos construir o seguinte cenário numa árvore : 24,2 22 20 18 19,8 16,2 Sendo que cada ponto é um possível preço da ação (a cada 3 meses), tanto de subida quanto de descida. O objetivo agora é determinar o preço da opção em cada momento. Para tal, vamos primeiro considerar as seguintes variáveis: So = preço da ação F = preço da opção referente à ação T = Espaço Temporal Sou = preço de subida da ação (sendo que u > 1) Sod = preço de descida da ação (sendo que d < 1) Fu = payoff da opção referente a uma subida da ação Fd = payoff da opção referente a uma descida da ação Manual de aplicação Modelo Binomial Página 11

Com as variáveis em mente, podemos construir o seguinte modelo de árvore : Sou² Sou Fuu Fu So F Sod Fd Soud Fud Sod² Fdd Sendo que na parte de cima dos pontos situa-se o preço da ação no momento específico (representado por S ) e embaixo o preço da opção referente à ação (representado por F ). Para entender como precificar as opções pelo Modelo Binomial, vamos primeiro começar com um exemplo para depois generalizarmos a aplicação. Lembrando-se das suposições feitas para construir a primeira árvore: 24,2 22 19,8 20 18 16,2 Suponhamos agora que o preço de exercício da opção de compra seja de R$ 21,00. Agora, vamos calcular o preço da opção no último ponto, em que a ação se encontra em R$ 24,2. Intuitivamente, basta fazermos o cálculo: 24,2 21 = 3,2 Manual de aplicação Modelo Binomial Página 12

Ou seja, para o último preço de ação esperado, calculamos o preço da opção subtraindo o preço da ação pelo preço de exercício da opção. É importante enfatizar também que quando o preço da ação está abaixo do preço de exercício da opção (R$21), a opção não será exercida, portanto o seu valor é 0. Adicionando o preço da opção calculada, a árvore fica da seguinte forma: 22 24,2 3,2 20 18 0 19,8 0 16,2 0 Agora, vamos calcular o preço da opção no ponto em que a ação custa 22. Para tal, precisamos das seguintes variáveis: Em que r = taxa de juros livre de risco T = Espaço Temporal e r T P = e r T d u d Em que p = probabilidade de subir o preço da ação (1 p) = probabilidade de cair o preço da ação Manual de aplicação Modelo Binomial Página 13

Assumindo uma taxa livre de risco de 12%(e como o prazo da opção é de 3 meses): e r T = e 0,12 3 12 Levando em consideração a suposição de que as ações sobem ou descem em 10% a cada 3 meses: u= 1,1 ; d = 0,9 P = 3 0,12 e 12 0,9 1,1 0,9 = 0,6523 Definidos tais valores, temos as variáveis necessárias para apresentar a fórmula de precificação: Substituindo os valores: fu = e r T [p fuu + 1 p fud] fu = e 0,12 3 12[0,6523 3,2 + 0,3477 0] fu = 2,0257 Logo, concluímos que o preço da opção quando a ação está a R$ 22 é de R$ 2,0257 Assim, a nossa árvore fica da seguinte forma: 22 2,0257 24,2 3,2 20 18 0 19,8 0 16,2 0 Manual de aplicação Modelo Binomial Página 14

Agora, o objetivo é determinar o preço da opção no atual momento (com a ação custando R$20). A lógica é exatamente a mesma utilizada anteriormente. Ou seja: Substituindo: f = e r T [p fu + 1 p fd] f = e 0,12 3 12[0,6523 2,0257 + 0,3477 0] f = 1,2823 Ou seja, o preço da opção de compra é de R$ 1,2823. Agora, para generalizarmos os cálculos e construir um modelo, vamos precisar abandonar a suposição de que o preço das ações variam em 10 a cada 3 meses, e lembrar da seguinte hipótese: A oscilação do preço das ações se dá pela seguinte expressão: σ T Subida: u = e σ T Descida: d = e Resumindo tudo o que vimos do Modelo Binomial: Manual de aplicação Modelo Binomial Página 15

Variáveis: So= preço da ação F = preço da opção referente à ação T = Espaço Temporal Sou = preço de subida da ação (sendo que u > 1) Sod= preço de descida da ação (sendo que d < 1) Fu = payoff da opção referente a uma subida da ação Fd = payoff da opção referente a uma descida da ação Em que r = taxa de juros livre de risco T = Prazo da opção e r T P = e r T d u d Em que p = probabilidade de subir o preço da ação (1 p) = probabilidade de cair o preço da ação Manual de aplicação Modelo Binomial Página 16

E a árvore, com as respectivas fórmulas de cálculo fica da seguinte forma: Sou² Fuu = Sou² (Preço Exercício Opção) Sou Fuu Fu fu = e r T [p fuu + 1 p fud] Soud So f Sod Fd Fud fd = e r T [p fud + 1 p fdd] Sod² f = e r T [p fu + 1 p fd] Fdd Lembrando que os movimentos de subida (So até Sou) e descida (So até Sod) dos preços das ações se dá pela relação: σ T u = e σ T d = e E por fim, vale lembrar que caso o preço da ação seja menor do que o preço de exercício, a opção não será exercida, e seu preço será 0. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 17

6 Aplicação na planilha O uso da planilha automatizada é simples e intuitivo. Primeiro, ao abrir o arquivo vá até a sheet cálculo da opção e então insira todos os dados requeridos para o cálculo de uma opção: Número de passos temporais: é o número de caminhos entre nós que você deseja que o seu modelo de precificação percorra. No exemplo abaixo temos 2 passos temporais. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 18

Além disso, é interessante lembrar que o tempo entre cada passo temporal pode ser dado dividindo o tempo até a opção expirar (tempo até os últimos nós) pelo número de passos temporais. Data de início e data de vencimento: nestes campos você deve inserir a data em que a opção foi comprada e a data de exercício desta opção, respectivamente. Em caso de maiores dúvidas, sobre como descobrir a data de exercício de uma opção (a sua data de vencimento), o capítulo 3 deste manual traz uma rápida e simples explicação. Volatilidade: neste campo deve ser inserido o desvio padrão dos retornos do ativo a quem a opção se refere. Se for uma opção de compra da ação PETR4, deve ser inserido o desvio padrão deste ativo (em percentual). Taxa livre de risco: deve-se inserir a taxa de juros de um ativo livre de risco. É importante ressaltar que a taxa deve estar expressa ao ano e deve ser inserida na forma percentual. Preço do ativo objeto: é o campo mais fácil. Simplesmente é o preço atual do ativo que serve de referência para a opção. Deve ser inserido em reais. Preço de exercício: é o strike da opção. Se for uma opção de compra, indica por quanto o detentor da opção terá o direito de comprar o ativo objeto na data de exercício. O preço de exercício da opção é decidido no momento de emissão da opção, não mudando posteriormente. Este dado deve ser inserido em reais. Preço da opção: depois de inserir todos os dados necessários para a precificação da opção, segundo este modelo, a planilha retornará, neste espaço, o preço o qual o modelo avalia a opção. A conclusão seria a seguinte, opções com preço abaixo do calculado aqui estariam subavaliadas, opções com preço acima do calculado aqui estariam superavaliadas. Visualizar árvore binomial Ao cliclar no botão visualizar árvore binomial é possível ver os possíveis valores de preço da opção, dadas mudanças na cotação do ativo objeto. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 19

Neste caso temos um ativo objeto atualmente cotado em R$ 100,00 e a sua opção de compra precificada, através do modelo em R$ 0,16. A cada alteração possível alteração da ação a opção estaria precificada em um novo valor, por exemplo: com a ação em R$ 101,47 a opção estaria precificada em R$ 0,28. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 20

7 Apêndice No apêndice constam alguns comentários adicionais sobre o modelo de precificação utilizado, é especialmente interessante para aqueles que desejarem se aprofundar no assunto. A sua leitura não é necessária para o uso da planilha de precificação. Valor presente e valor futuro Pode-se investir qualquer valor no dia de hoje ( VP ), a uma dada taxa de juros livre de risco. Com o passar do tempo este valor presente aumentará devido a estar sendo aplicado a uma taxa de juros. A relação matemática entre o valor presente (VP) e o valor futuro (VF) pode ser expressa da seguinte forma: VF = VP e in Onde i é a taxa de juros, contínua, livre de risco e n é o número de períodos. Analogamente teremos VP = VF e in Este método de cálculo do valor presente será usado por diversas vezes ao longo do nosso modelo. Além disso, a taxa de juros contínua ( i ) é encontrada através da fórmula: Cálculo de dias úteis ln 1 + taxa de juros composta = taxa de juros contínua Uma dúvida que sempre surge quando se trabalha com taxa de juros é o cálculo de dias úteis. A planilha faz essa contagem usando o método inclusive e inclusive, isto é, o primeiro e o último dia (dia de compra e do exercício) são contados como dias em que a taxa de juros renderá. Vale lembrar que o usuário da planilha pode ter em mente uma taxa de juros que faz contagem de dias úteis de outra forma. Um exemplo seria a LTN, que faz o cálculo de dias úteis com a regra inclusive e exclusive, ou seja, conta o dia de compra mas não conta o dia de exercício. Nesse caso a planilha faria o cálculo contando 1 dia a mais, para reverter a situação basta o usuário colocar adiantar a data de vencimento da opção em 1 dia. Manual de aplicação Modelo Binomial Página 21