SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas a partir da página seguinte não consideraram o centímetro como unidade. De facto, entende-se que o objectivo da consulta das soluções dos exercícios, na perspectiva do estudante, deve ser a verificação da correcção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de 1 / 2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções. 13 PARALELISMO 1. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das rectas p e p, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma recta de perfil têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes podem ser paralelas ou enviesadas. Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxiliares, as rectas r e s. A recta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p e p' não são complanares logo, não são paralelas. 2. As projecções de p' determinaram-se imediatamente. No entanto, a recta p não fica totalmente definida, pois necessitamos de mais um ponto da recta (para além de M) para a definirmos. Como as rectas p e p são paralelas, então são complanares, pelo quaisquer duas rectas concorrentes com p e p serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p a recta r, que está definida por A e M (que são os pontos de concorrência de r com p e p, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a recta s, paralela à recta r e concorrente com a recta p no ponto B a recta s está definida por um ponto e uma direcção e é complanar com as rectas r e p. A recta s terá, também, de ser complanar com a recta p, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente o ponto N é o ponto de concorrência das rectas s e p. A recta p, definida por M e N, é necessariamente paralela à recta p. 3. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções das duas rectas, que estão coincidentes (as projecções), uma vez que as duas rectas se situam no mesmo plano de perfil. Para averiguar o paralelismo entre as duas rectas, na presente situação é mais conveniente recorrer ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas rectas. O plano π é o plano de perfil que contém as rectas p e p. Efectuou-se o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π ). Rebateram-se os pontos que definem as duas rectas, obtendo-se p r (definida por F r e E r ) e p r (definida por M r e N r ). Em rebatimento observa-se que p r e p r são paralelas, pelo que, no espaço, as rectas p e p são necessariamente paralelas. Note que este exercício poderia ser resolvido com o recurso, por exemplo, a uma mudança do diedro de projecção. 1
4. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções. Em seguida, desenhou-se a projecção frontal da recta r r 2 passando por P 2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a recta r ser paralela ao plano ρ, terá de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à recta r s 2 é paralela a r 2. A recta s está definida pelos seus traços (condição para que uma recta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P 1, a projecção horizontal da recta r (r 1 ), paralela a s 1. A recta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma recta do plano (a recta s). 5. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções. Em seguida, para determinar as projecções da recta h, paralela a α, é necessário que h seja paralela a uma recta do plano, recta essa que terá, necessariamente, de ser uma recta horizontal (de nível). O traço horizontal do plano é uma recta horizontal (de nível) do plano com cota nula, pelo que, para resolver o exercício basta que a recta h, passando ponto P, seja paralela a h α a recta h fica, assim, paralela a uma recta do plano, pelo que é paralela ao plano. 6. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções. Para que a recta m seja paralela ao plano θ, tem de ser paralela a uma recta do plano. Uma vez que o plano θ é projectante frontal (projecta todas as suas rectas e pontos no Plano Frontal de Projecção, no seu traço frontal) qualquer recta do plano tem necessariamente a sua projecção frontal sobre f θ, sendo que a sua projecção horizontal pode ter uma posição qualquer, à excepção da vertical. Assim, para que m seja paralela ao plano θ, basta que m 2 seja paralela a f θ, podendo m 1 ter uma posição qualquer. Sublinha-se que o facto de m 2 ser paralela a f θ garante que a recta m é necessariamente paralela a uma recta qualquer do plano θ. 7. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto C, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano contenha o ponto C, o ponto C tem de pertencer a uma recta do plano. Por outro lado, para que o plano α seja paralelo à recta r, tem de conter uma recta paralela à recta r. Assim, há que conduzir, por C, uma recta paralela à recta r, que será uma recta do plano α a recta s. Determinaram-se os traços da recta s, pois os traços da recta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma recta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço frontal de s conduziu-se f α, com o ângulo pretendido (f α está definido por um ponto e uma direcção) h α é concorrente com f α sobre o eixo X e contém H, o traço horizontal de s (h α está definido por dois pontos). O plano α é paralelo a r, pois contém uma recta paralela a r (a recta s). O plano α contém o ponto C, pois C pertence a uma recta do plano (a recta s). 2
8. Ver relatório do exercício anterior. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de ρ, que são rectas fronto-horizontais. O plano ρ é paralelo a r, pois contém uma recta paralela a r (a recta s). O plano ρ contém o ponto C, pois C pertence a uma recta do plano (a recta s). 9. Em primeiro lugar, representaram-se a recta f e o ponto N, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, por N conduziu-se uma recta f, paralela a f, e determinou-se H, o seu traço horizontal (ver relatório do exercício 7). O plano δ tem os seus traços coincidentes, pelo que f δ e h δ têm a mesma direcção (na folha de papel). Por outro lado, f δ é paralelo a f, pois rectas frontais de um plano são paralelas entre si. Assim, por H conduziu-se h δ, com a direcção de f δ (paralelo a f e f ) f δ é concorrente com h δ sobre o eixo X e é paralelo a f e f, pelo que f δ h δ. O plano δ é paralelo à recta f e tem os seus traços coincidentes. 10. Em primeiro lugar, representaram-se a recta h, pelas suas projecções, e a projecção horizontal da recta r, em função dos dados. Em seguida, atendendo a que a recta r é paralela ao β 2/4, pelo que tem as suas projecções paralelas entre si, desenhou-se r 2, a projecção frontal da recta r, passando por P 2. Em seguida, determinaram-se os traços das duas rectas e desenharam-se os traços do plano f α fica definido por F e F (os traços frontais das duas rectas) e h α é concorrente com f α no eixo X, é paralelo a h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si) e contém H (o traço horizontal da recta r). 11. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projecções. Em seguida desenhou-se a 1, a projecção horizontal da recta a, passando por P 1 e com o ângulo pedido. Atendendo a que a recta a é paralela ao β 1/3, a projecção frontal da recta a fará, também, um ângulo de 50 (a.d.) com o eixo X, passando por P 2 este raciocínio permitiu-nos desenhar a 2. Em seguida, para determinar o ponto de intersecção da recta a com o plano ρ (ponto I), e atendendo a que nem a recta nem o plano são projectantes, recorreu-se ao método geral da intersecção entre rectas e planos, que consistiu em: 1. conduzir, pela recta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a recta); 2. determinar a recta de intersecção dos dois planos (a recta i, definida pelos seus traços, é a recta de intersecção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de intersecção das duas rectas (recta a e recta i) é o ponto I. 3
12. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta h, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projecções do ponto R, o ponto da recta h que tem 4 cm de afastamento (R é o ponto de concorrência de h e p). Pelas projecções de R conduziram-se imediatamente as projecções da recta p. Estas, no entanto, não são suficientes para definir a recta p, pelo que necessitamos de um outro ponto para além de R. Para tal, recorreu-se a uma recta p, de perfil, contida no β 1/3 a recta p está definida por A e B, que são dois pontos do β 1/3. Por A e R conduziu-se uma recta r (ver relatório do exercício 2). Por B conduziu-se uma recta s, paralela a r a recta s é concorrente com a recta p em B e será concorrente com a recta p em S. O ponto S é, assim, um outro ponto da recta p (ver relatório do exercício 2). A recta p está definida por R e S. Para a determinação dos traços de θ, recorreu-se a um outra recta horizontal (de nível), h, paralela a h e concorrente com a recta p em S. A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas rectas horizontais paralelas f θ fica definido por F e F (os traços frontais das rectas h e h ) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h (rectas horizontais de um plano são paralelas entre si). Note que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém a recta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a recta p, paralela ao β 1/3, e os traços de p nos planos de projecção. 13. Para que dois planos sejam paralelos, duas rectas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro (os dois planos têm de ter duas «famílias» de rectas em comum). Atendendo a que os traços de um plano oblíquo são duas rectas concorrentes desse plano, para que o plano δ seja paralelo a α basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para que o plano passe pelo ponto P, é necessário que P se situe numa recta do plano δ. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma recta do plano δ essa recta terá de ser uma recta frontal ou uma recta horizontal, que são as rectas do plano δ que já conhecemos (f δ é uma recta frontal e h δ é uma recta horizontal). Optou-se pela segunda hipótese a recta h, horizontal, que passa por P é uma recta do plano δ pois será paralela a h δ, uma vez que rectas horizontais de um plano são paralelas entre si (e h δ é paralelo a h α, pelo que já sabemos a direcção das rectas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por F conduziu-se f δ, paralelo a f α e h δ é paralelo a h α (e a h) e concorrente com f δ no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo a α. 14. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços. Dois planos de rampa, paralelos ou não, têm sempre os seus traços homónimos paralelos entre si tal deve-se ao facto de os dois traços de um plano de rampa serem rectas da mesma «família» de rectas (são rectas fronto-horizontais). Para que se verifique o critério de paralelismo entre dois planos, é necessário encontrar uma outra «família» de rectas comum aos dois planos. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. Se houver, no plano σ, uma recta paralela à recta r, então os dois planos são paralelos, pois têm duas «famílias» de rectas em comum. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta s, pertencente ao plano σ, tentando que seja paralela à recta r para tal desenhou-se s 1 paralela a r 1. Determinaram-se os traços da recta s, o que nos permitiu desenhar s 2 a sua projecções frontal. Observa-se que s 2 é paralela a r 2, pelo que r e s são paralelas. Logo, os planos ρ e σ são paralelos, pois têm duas «famílias» de rectas em comum. 4
15. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções. De acordo com o exposto no relatório do exercício anterior, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homónimos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são rectas da mesma «família» de rectas). Assim, há que recorrer a outra «família» de rectas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto M, é necessário que M pertença a uma recta do plano. Assim, desenharam-se as projecções de uma recta r, oblíqua, qualquer, de ρ. A recta r é uma recta de uma outra «família» de rectas qualquer que tem de ser comum aos dois planos. Em seguida, por M conduziu-se uma recta s, paralela a r, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se o traços homónimos de σ. O plano σ é paralelo a ρ (pois contém duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano ρ) e contém o ponto M (pois M pertence a uma recta do plano a recta s). 16. Ver relatório do exercício 4. 17. Ver relatório do exercício 13. 18. Em primeiro lugar, representaram-se as rectas a e h, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que um plano seja paralelo a uma recta, esse plano tem de conter uma recta paralela à recta dada. Por outro lado, a recta h, por si, é insuficiente para definir o plano α, pelo que necessitamos de mais outro elemento do plano esse elemento pode ser, em função do que é pretendido, uma recta paralela à recta a. Essa recta terá de ser concorrente com a recta h, pois duas rectas de um plano ou são paralelas ou são concorrentes. A recta r, concorrente com a recta h no ponto C, é a recta paralela à recta a a que se recorreu. O plano está definido, agora, por duas rectas concorrentes a recta h e a recta r. Sobre a determinação dos traços do plano, ver relatório do exercício 10. O plano α contém a recta h e é paralelo à recta a, pois contém uma recta paralela a a a recta r. 5
19. Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto R, pelas suas projecções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma recta de perfil. Para que o plano ρ seja paralelo à recta p, terá de conter uma recta paralela à recta p. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto R, R terá de se situar numa recta do plano. Assim, há que conduzir, por R, uma recta paralela à recta p, que será uma outra recta de perfil. Há ainda que ter em consideração que será necessário, em seguida, determinar os traços nos planos de projecção da recta de perfil paralela à recta p este procedimento implicará o recurso a processos geométricos auxiliares, nomeadamente o do rebatimento do plano de perfil. Assim, para conduzir, por R, uma recta de perfil paralela à recta p e resolver a situação num único rebatimento, com o recurso a rectas fronto-horizontais definiu-se uma recta a, de perfil, paralela a p e contida no mesmo plano de perfil do ponto R a recta a está definida por A e B, que são os pontos correspondentes de A e B que se situam no plano de perfil do ponto R. Em seguida conduziu-se, por R, uma recta paralela à recta p (e à recta a) a recta p. O plano π é o plano de perfil que contém o ponto R e as rectas a e p. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π ), obtendo-se a r (passando por A r e B r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, paralela a a r. Em rebatimento, determinaram-se os traços de p nos planos de projecção, determinando-se, em seguida, as suas projecções, através da inversão do rebatimento. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ contém o ponto R (pois R pertence a uma recta do plano ρ a recta p ) e é paralelo à recta p (pois contém uma recta paralela a p a recta p ). 14 PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 20. Em primeiro lugar, representaram-se a recta h e o ponto S, pelas suas projecções, em função dos dados. Para desenhar as projecções da recta a, teve-se em conta que a projecção horizontal de uma recta frontal (de frente) nunca poderá ser perpendicular a h 1 (a ortogonalidade não se pode verificar em projecção horizontal), pelo que é necessário outro raciocínio. Atendendo a que a recta a é uma recta frontal (de frente), a ortogonalidade verifica-se directamente em projecção frontal, pelo que a 2 terá de ser perpendicular a h 2 a recta a terá, assim, necessariamente de ser uma recta vertical (que é um caso particular das rectas frontais) que passa por S. Já em relação à recta b, a ortogonalidade verifica-se directamente em projecção horizontal, pois ambas as rectas (h e b) são horizontais (paralelas ao Plano Horizontal de Projecção) a recta b é ortogonal à recta h, pois b 1 é perpendicular a h 1. 21. Em primeiro lugar, representaram-se a recta f e o ponto N, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, e atendendo a que a recta f é uma recta paralela ao Plano Frontal de Projecção (a ortogonalidade entre a recta f e qualquer outra recta verifica-se directamente em projecção frontal), para que a recta r seja ortogonal à recta f basta que r 2 seja perpendicular a f 2. Assim, por N 2 conduziu-se r 2 perpendicular a f 2, o que garante que as duas rectas são ortogonais. A projecção horizontal de r, r 1, passa por N 1 e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. 6
22. a) Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projecções e desenharam-se as projecções das rectas t e v, em função dos dados. b) As duas rectas são enviesadas e são ortogonais (não são perpendiculares, pois não são complanares). c) Duas rectas perpendiculares são, antes de mais, ortogonais. Uma recta ortogonal a uma recta vertical é uma recta horizontal (de nível) assim, a recta pretendida terá necessariamente de ser uma recta horizontal (ou qualquer dos seus casos particulares). Por outro lado, uma recta ortogonal a uma recta de topo é uma recta frontal (de frente) a recta pretendida terá necessariamente de ser uma recta frontal (ou qualquer dos seus casos particulares). A recta pretendida é, assim, uma recta fronto- -horizontal (recta g). Por outro lado, para ser perpendicular às rectas v e t, a recta terá de ser concorrente com ambas. O ponto de concorrência das rectas v e g é o ponto C, cuja projecção frontal se determinou imediatamente (t é projectante frontal) a partir de C 2 é possível desenhar g 2. Por outro lado, o ponto de concorrência das rectas g e v é o ponto D cuja projecção horizontal se determinou imediatamente (v é projectante horizontal) a partir de D 1 desenhou-se g 1. A partir das duas projecções da recta g determinaram-se as projecções em falta de C e D C 1 e D 2. 23. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que é pedida uma recta perpendicular à recta r, logo concorrente com esta, determinaram-se as projecções do ponto de concorrência o ponto P, que é o ponto de r que tem 3 cm de cota. Com os conhecimentos adquiridos, e atendendo a que a recta r não é paralela a nenhum dos planos de projecção, a recta pretendida terá necessariamente de ser uma recta horizontal (de nível) ou uma recta frontal (de frente), pois a ortogonalidade entre rectas só se verifica directamente em projecções caso uma das rectas seja paralela a um dos planos de projecção. Optou-se pela segunda hipótese desenharam-se as projecções de uma recta frontal (de frente), perpendicular à recta r. A perpendicularidade está garantida fazendo f 2 perpendicular a r 2. Note que, caso se tivesse optado por uma recta horizontal (de nível), teria de se ter h 1 perpendicular a r 1. 24. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para desenhar as projecções da recta p, teve-se em conta que a recta, para ser ortogonal ao plano α, terá de ser ortogonal a duas rectas concorrentes do plano (ou a duas «famílias» de rectas do plano). Assim, passando por P 2 desenhou-se p 2, perpendicular a f α, o que nos garante que a recta p é ortogonal à «família» das rectas frontais (de frente) do plano α. Em seguida, por P 1 conduziu-se p 1, perpendicular a h α, o que nos garante que a recta p é ortogonal à «família» das rectas horizontais (de nível) do plano α. Assim, as projecções da recta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, o que nos garante que a recta p é ortogonal a duas rectas concorrentes do plano (os traços do plano). 25. Em primeiro lugar representou-se o plano δ pelos seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação das projecções da recta ortogonal ao plano, ver relatório do exercício anterior. Note que, não sendo dado nenhum ponto da recta, a recta apresentada é uma de entre as infinitas hipóteses, desde que se verifique, sempre, a perpendicularidade entre as projecções da recta e os traços homónimos do plano. Trata-se de uma recta horizontal (de nível). 7
26. Ver relatórios dos exercícios 24 e 25. Trata- -se de uma recta fronto-horizontal. 27. Ver relatório do exercício 24. Para determinar as projecções do ponto P, pertencente ao plano, recorreu-se a uma recta auxiliar do plano uma recta horizontal (de nível) h, com 3 cm de cota. Note que, na presente situação, as duas projecções da recta p são paralelas entre si trata-se de uma recta paralela ao β 2/4. 28. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projecções da recta p, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A recta p é uma recta de perfil, que não se encontra totalmente definida, por não verificar o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para além de R. A recta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais de ρ é necessário que seja ortogonal a outra «família» de rectas do plano (às rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que é a recta de intersecção de π com ρ a recta i é uma recta de perfil de ρ e está definida pelos seus traços. A recta p terá de ser perpendicular à recta i. É necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção (a charneira foi f π ), obtendo-se i r (definida por F r e H r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, perpendicular a i r. Sobre p r representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de R S r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projecções de S a recta p, ortogonal a r, está definida por R e S. 29. Ver relatório do exercício anterior. O ponto U foi o ponto da recta p a que se recorreu para definir a recta. A recta p, ortogonal a ρ, está definida por T e U. 8
30. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ e o ponto A, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se as projecções da recta p, ortogonal ao plano ρ e passando por A as projecções de p têm determinação directa. No entanto, e uma vez que se trata de uma recta de perfil, as suas projecções não são suficientes para definir a recta, pelo que necessitamos de um outro ponto da recta para além do ponto A. A recta p já é ortogonal às rectas fronto-horizontais do plano ρ, mas para ser ortogonal ao plano terá de ser ortogonal a uma outra recta do plano uma recta de perfil, por exemplo. Assim, pela recta p conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a recta i, a recta de intersecção do plano π com o plano ρ. A recta i é uma recta de perfil do plano ρ trata-se de uma recta de perfil passante do plano ρ. A recta i está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto P, que é o ponto de intersecção do plano π com a recta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando por P. A recta p terá de ser ortogonal à recta i. Em seguida, resolveu-se o problema em rebatimento, rebatendo o plano π para o Plano Frontal de Projecção. A recta i r passa por P r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira. A recta p r passa por A r e é perpendicular à recta i r. Sobre p r marcou-se um outro ponto B r. Inverteu-se o rebatimento e obtiveram-se as projecções do ponto B. A recta p, de perfil, passando por A r e B r, é ortogonal ao plano ρ, pois é ortogonal a duas «famílias» de rectas do plano as rectas fronto-horizontais e as rectas de perfil. Note que as rectas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). 31. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano θ seja ortogonal à recta r, o plano θ tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta r (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta r). Por outro lado, para que o plano θ contenha o ponto P, P terá de pertencer a uma recta do plano θ. Assim, por P conduziu-se uma recta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano θ h é ortogonal à recta r, pois h 1 é perpendicular a r 1. Já temos uma «familía» de rectas do plano θ que é ortogonal à recta r. Necessitamos de uma outra, que terá de ser a das rectas frontais (de frente) de θ. Por F, traço frontal de h, conduziu-se f θ, perpendicular a r 2 f θ é uma recta frontal do plano θ e é ortogonal à recta r, pois a ortogonalidade verifica-se directamente em projecção frontal. Em seguida desenhou-se h θ, que é concorrente com f θ num ponto do eixo X e é paralelo a h 1 (perpendicular a r 1 ). O plano θ é ortogonal à recta r (contém duas rectas concorrentes ortogonais à recta r) e passa pelo ponto P, pois P pertence a uma recta do plano θ (a recta h). 32. Em primeiro lugar, representaram-se a recta s e o ponto T, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que o plano δ seja ortogonal à recta s, o plano δ tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais à recta s (duas «famílias» de rectas ortogonais à recta s) essas rectas terão de ser uma recta horizontal (de nível), h, e uma recta frontal (de frente), f, concorrentes em T. Estas rectas são ortogonais a s, pois h 1 é perpendicular a s 1 (a ortogonalidade entre a recta s e a recta h verifica-se directamente em projecção horizontal, pois h é paralela ao Plano Horizontal de Projecção) e f 2 é perpendicular a s 2 (a ortogonalidade entre a recta s e a recta f verifica-se directamente em projecção frontal, pois a recta f é paralela ao Plano Frontal de Projecção). 9
33. Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma recta de perfil. Um plano ortogonal a uma recta de perfil é, necessariamente, um plano de rampa. Assim, já sabemos uma das «famílias» das rectas do plano que são ortogonais à recta p as rectas fronto-horizontais. Por outro lado, para que o ponto P pertença ao plano, o ponto terá de pertencer a uma recta do plano essa recta poderá ser uma recta fronto-horizontal. Assim, por P conduziu-se uma recta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano. Necessitamos de uma outra recta do plano essa recta terá, também ela, de ser ortogonal à recta p. Essa recta poderá ser uma recta de perfil. Conduziu-se, pela recta p, um plano de perfil π. A recta i, de perfil, é a recta de intersecção do plano π com o plano de rampa ortogonal à recta p a recta i é necessariamente ortogonal à recta p e contém o ponto P, que é o ponto de intersecção da recta g com o plano π. A recta i está, assim, definida por um ponto (o ponto P ) e por uma direcção (é ortogonal à recta p). Resolveu-se o problema através do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projecção. A recta p r está definida por A r e por B r. A recta i r passa por P r e é ortogonal à recta p r. Note que as rectas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). Em seguida, determinaram-se os traços da recta i, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento. Pelos traços da recta i conduziram-se os traços homónimos do plano ρ, de rampa, que é ortogonal à recta p. 34. Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a recta r, que é oblíqua, e a recta p, que é também oblíqua, não se observa directamente em nenhuma das projecções (nenhuma das duas rectas é paralela a qualquer dos planos de projecção), é necessário fazer com que a recta p esteja contida num plano ortogonal à recta r. Por outro lado, uma vez que se pretende que a recta p contenha o ponto P, esse plano ortogonal à recta r tem, necessariamente, de conter o ponto P. Assim, conduziu-se, por P, um plano α perpendicular a r (para o que se recorreu a uma recta f, frontal) ver exercício 31. Todas as rectas de α são ortogonais ou perpendiculares a r. A recta p é a recta do plano α que contém P tal que p 1 faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A recta p tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos do plano α, para pertencer a α. Determinaram-se os traços da recta F e H. A recta p está definida por H, P (a recta passa por P) e F, mas poderia estar definida, apenas, por H e P, por exemplo (bastavam dois pontos). 35. Ver relatório do exercício anterior. A recta f, frontal (de frente), foi a recta a que se recorreu para determinar o plano ortogonal à recta m que contém o ponto A. O plano δ é o plano que contém o ponto A e é ortogonal à recta r δ tem os seus traços coincidentes. A recta p, pretendida, por ser passante, tem de ser concorrente com os traços do plano δ num ponto do eixo X, tendo sido esse o raciocínio que nos permitiu desenhar as duas projecções da recta p. A recta p está definida por dois pontos A e o seu ponto de concorrência com o eixo X. 10
36. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano ρ seja ortogonal ao plano α, o plano ρ tem de conter uma recta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano ρ contenha o ponto M, M tem de pertencer a uma recta do plano ρ. Assim, conduziu-se, por M, uma recta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 24). Qualquer plano que contenha a recta p é ortogonal a α e contém o ponto M. Determinaram-se os traços da recta p F e H. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ é ortogonal ao plano α (pois contém uma recta ortogonal a α a recta p) e contém o ponto M (pois M pertence a uma recta de ρ a recta p). 37. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto T, pelas suas projecções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano θ, ortogonal a δ, ver relatório do exercício anterior. A recta p é a recta auxiliar do plano θ a que se recorreu, passando por T é uma recta frontal (de frente). H é o traço horizontal de p h θ contém H e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. Em seguida, determinou- -se o traço frontal de θ, f θ f θ é concorrente com h θ no eixo X e é paralelo a p. 38. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projecções, em função dos dados. Para que um plano seja ortogonal a um plano horizontal (de nivel) é necessariamente uma recta do plano. Assim, por P conduziu-se uma recta v, vertical, ortogonal ao plano ν qualquer plano que contenha a recta v será necessariamente ortogonal ao plano ν e contém o ponto P. Optou-se por representar um plano vertical (projectante horizontal) qualquer. Note que existem infinitos planos verticais que podem conter a recta v, sendo que todos eles serão ortogonais ao plano ν. Assim, o presente problema admite infinitas soluções todos os planos verticais que contêm a recta v e, ainda, o plano frontal (de frente) e o plano de perfil que contêm a recta v. 39. Em primeiro lugar, representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados os seus traços são coincidentes, pois o plano α é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Assim, recorreu-se a uma recta frontal (de frente) do plano, com 3 cm de afastamento a recta f (que é o lugar geométrico dos pontos do plano com 3 cm de afastamento). O ponto A é o ponto da recta f que tem 4 cm de cota. 11
40. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e δ pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3, e o plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Recorrendo ao caso geral da intersecção entre planos, determinou-se imediatamente o traço frontal da recta i (a recta de intersecção dos dois planos), o ponto F, que é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos. Já temos um ponto para definir a recta i falta-nos outro ponto ou uma direcção. Os traços horizontais dos dois planos, por sua vez, não se intersectam nos limites do papel. Assim, recorreu-se a um plano auxiliar frontal (de frente) ϕ e determinaram-se as rectas de intersecção de ϕ com os planos α e δ as rectas a e b, respectivamente. As rectas a e b são complanares (estão, ambas, contidas em ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência das duas rectas e é um outro ponto comum aos planos α e δ (I é um ponto comum aos três planos). A recta i está, assim, definida por dois pontos F, o seu traço frontal, e I. 41. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ρ e σ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X e σ tem os seus traços coincidentes (ver exercício anterior). Para a determinação das projecções da recta i ver relatório do exercicio 21. A recta de intersecção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos, o que resulta numa recta pertencente à única «família» de rectas comum aos dois planos. A única «família» de rectas comum a dois planos de rampa é a das rectas fronto-horizontais, pelo que a recta de intersecção de ρ com σ é necessariamente uma recta fronto-horizontal. Já temos a direcção necessitamos de um ponto para a definirmos. Recorreu-se a um plano auxiliar α, vertical, e determinaram-se as rectas de intersecção de α com ρ e σ as rectas a e b, respectivamente. As rectas a e b são complanares (estão ambas contidas no plano auxiliar α) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência de a com b e é o ponto comum aos três planos, logo é um ponto comum aos planos ρ e σ. I é, assim, necessariamente um ponto da recta de intersecção dos planos ρ e σ. A recta i é a recta fronto-horizontal que passa por I. 42. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados. A recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. O plano α tem traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. As projecções da recta r são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, pois a recta é ortogonal ao plano α. Uma vez que nem a recta nem o plano são projectantes, para a determinação do ponto de intersecção da recta com o plano recorreu-se ao método geral da intersecção de rectas com planos. Assim, conduziu-se pela recta, um plano auxiliar o plano δ, que é um plano vertical. Em seguida, determinou-se a recta de intersecção dos dois planos a recta i. O ponto de concorrência das rectas r e i é o ponto I, o ponto de intersecção da recta r com o plano α. 43. Ver relatório do exercício 30. O ponto da recta p que foi escolhido para a definir foi o seu traço frontal, F. A recta p, definida por P e por F, é ortogonal ao plano ρ. 12
44. Em primeiro lugar, representou-se a recta r, pelas suas projecções, em função dos dados a recta r é paralela ao β 1/3, pelo que a sua projecção frontal faz, com o eixo X, um ângulo de 30 (a.d.), que é igual ao ângulo que a sua projecção frontal faz com o eixo X. Em seguida, representou-se o ponto M. Uma vez que nem a recta r nem a recta pretendida são paralelas a qualquer dos dois planos de projecção, a ortogonalidade não se verifica directamente em nenhuma das projecções. Assim, é necessário conduzir, por M, um plano ortogonal a r o plano α contém o ponto M e é ortogonal à recta r, pois os seus traços são perpendiculares às projecções homónimas da recta r. Todas as rectas de α são perpendiculares a r. Tendo em conta que se pretende uma recta do β 1/3 que seja ortogonal à recta r, a recta p será a recta de intersecção do plano α com o β 1/3. O ponto M é, já, um ponto dos dois planos, pelo que já temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direcção. Recorreu-se a uma recta h, horizontal (de nivel), do plano α e determinou-se o seu traço no β 1/3 o ponto Q. O ponto Q é, assim, um outro ponto que pertence aos dois planos (o plano α e o β 1/3 ). A recta p fica definida por M e Q. A recta p é uma recta do β 1/3, pois tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo X, e é ortogonal à recta r, pois está contida num plano ortogonal à recta r o plano α. 15 PROCESSOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II 45. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de recta [AB] pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma recta vertical é um caso particular das rectas frontais (de frente). Assim, em primeiro lugar transformou-se [AB] num segmento frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, substituindo o Plano Frontal de Projecção (plano 2) pelo plano 4, paralelo a [AB] e a 2 cm deste. O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o Plano Horizontal de Projecção (plano 1). Manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais e as cotas dos pontos A e B. A 4 e B 4 são as projecções de A e B no plano 4, que se determinam em função das cotas dos pontos. No novo diedro de projecção, o segmento de recta [AB] é frontal (de frente) e tem 2 cm de afastamento. Um segmento vertical é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (plano 1) pelo plano 5, ortogonal a [AB]. O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular à recta suporte de [A 4 B 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projecções no plano 4 e o afastamento dos pontos, que passou a ser 2 cm (e está referenciado ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função dos seus afastamentos, que é 2 cm. No diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [AB] é vertical e tem 2 cm de afastamento. A V.G. de A B é A 4 B 4. 46. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de recta [MN] pelas suas projecções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma recta fronto-horizontal é um caso particular das rectas frontais (de frente) e das rectas horizontais (de nível). Começou-se por transformar [MN] num segmento horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Para tal, substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a [MN] e a 3 cm deste. O eixo X é a recta de intersecção do Plano Frontal de Projecção (plano 2) com o plano 4. Manteve-se o Plano Frontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções frontais e os afastamentos dos pontos M e N. M 4 e N 4 determinam-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm. No novo diedro de projecção, o segmento de recta [MN] é horizontal (de nível) e tem 3 cm de cota. Um segmento fronto-horizontal é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a [MN] e a 2 cm deste. O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a [M 4 N 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projecções no plano 4 e a cota dos pontos, que passou a ser 3 cm (e está referenciada ao plano 4). M 5 e N 5 determinam-se em função das suas cotas, que é 3 cm. No diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [MN] é fronto-horizontal e tem 3 cm de cota e 2 cm de afastamento. A V.G. de M N é M 4 N 4 ou M 5 N 5. 13
47. Em primeiro lugar, representou-se a recta r, pelas suas projecções a recta r tem as suas projecções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. Em seguida, teve-se em conta que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar r numa recta horizontal (de nível) com 2 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a r e a 2 cm desta, cuja recta de intersecção com o Plano Frontal de Projecção (plano 2) é o eixo X. Mantêm-se as projecções frontais e os afastamentos. R 4 determinou-se em função do seu afastamento, que se mantém. Para definir a recta r no novo diedro de projecção necessitamos de um outro ponto para além de R. Assim, recorreu-se a um outro ponto de r F, o seu traço frontal. F 4 determinou-se em função do seu afastamento, que é nulo e se mantém r 4 fica definida por R 4 e F 4. No novo diedro de projecção, a recta r é uma recta horizontal (de nível). Uma recta de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) pelo plano 5, ortogonal a r. O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a r 4. Mantêm-se as projecções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) note que, agora, todos os pontos da recta já têm a mesma cota, que é 2. R 5 e F 5 determinaram-se em função das suas cotas (e estão coincidentes) r 5, a projecção da recta r no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a recta r é de topo (projectante frontal). 48. Em primeiro lugar, representou-se o triângulo [ABC], em função dos dados. Note que os traços de α são simétricos em relação ao eixo X, pois α é ortogonal ao β 1/3. Um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projectantes horizontais. Nesse sentido, em primeiro lugar há que transformar α num plano projectante horizontal, para o que se substituiu o Plano Horizontal de Projecção (plano 1) pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano Frontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções frontais e os afastamentos. O eixo X' é a recta de intersecção do plano 2 com o plano 4 e é perpendicular a f α. As projecções de A, B e C no plano 4 (A 4, B 4 e C 4 ) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, h 4α, passa por A 4, B 4 e C 4 e é concorrente com f α no eixo X. No novo diedro de projecção, o plano α já é um plano vertical (projectante horizontal). Um plano frontal (de frente) é um plano projectante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projecção. Assim, em seguida, substituiu-se o Plano Frontal de Projecção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a α e situado a 2 cm deste (o afastamento pretendido). O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a h 4α. Mantiveram-se as projecções no plano 4 e as cotas, agora referenciadas ao plano 4. As projecções de A, B e C no plano 5 (A 5, B 5 e C 5 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No diedro de projecção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é frontal (de frente) com 2 cm de afastamento e não tem traço frontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [A 5 B 5 C 5 ]. 49. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos dados. Os dados sobre os pontos P, Q e R permitem-nos, imediatamente, determinar as suas projecções frontais. A recta r foi a recta do plano ρ que foi utilizada para a determinação das projecções horizontais dos pontos P e Q r 2 contém P 2 e Q 2. Sobre a recta r representou-se um ponto R, com a cota de R. Note que os pontos R e R se situam, necessariamente, na mesma recta fronto-horizontal do plano, pelo que ambos têm a mesma cota e o mesmo afastamento, tendo, apenas, abcissas distintas. A partir das projecções dos três pontos desenharam-se as projecções do triângulo [PQR]. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projectantes frontais. Assim, em primeiro lugar, começou-se por transformar o plano ρ num plano projectante frontal, substituindo o Plano Frontal de Projecção (plano 2) por um plano 4, ortogonal a ρ. O eixo X é a recta de intersecção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a h ρ. manteve-se o Plano Horizontal de Projecção, pelo que se mantiveram as projecções horizontais e as cotas. (Continua na página seguinte) 14
As projecções de P, Q e R no plano 4 (P 4, Q 4 e R 4 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4 ρ, passa por P 4, Q 4 e R 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. No novo diedro de projecção (formado pelo Plano Horizontal de Projecção e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo (projectante frontal). Um plano horizontal é um plano de topo que é paralelo ao Plano Horizontal de Projecção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projecção (plano 1) pelo plano 5, paralelo a ρ e situado a 1 cm deste (a cota pretendida). O eixo X é a recta de intersecção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a f 4 ρ. Mantiveram-se as projecções no plano 4 e os afastamentos, agora referenciados a este. As projecções de P, Q e R no plano 5 (P 5, Q 5 e R 5 ) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. No diedro de projecção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, o plano ρ é um plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota e não tem traço horizontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [P 5 Q 5 R 5 ]. 50. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções do segmento [AB], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma recta de topo é um caso particular das rectas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar [AB] num segmento horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente) o eixo é uma recta de topo, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O [OP] é simultaneamente perpendicular a [AB] e a e. O ponto P rodou até a recta suporte de [A 2 B 2 ] ficar paralela ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [OP ] é perpendicular ao eixo X). O ponto P manteve o seu afastamento, tal como A e B. Note que se omitiu a representação dos planos frontais (de frente) que contêm os arcos da rotação de A, B e P, apesar de ser ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por A 1, B 1 e P 1 ). A 2 e B 2 rodaram até encontrarem a recta suporte de [A 2 B 2 ] (que é paralela ao eixo X e passa por P 2 ). [A B ] é o segmento [AB] rodado e é horizontal (de nível). Uma recta de topo é uma recta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projecção assim, para transformar [A B ] num segmento de recta de topo, são os afastamentos que se alteram a rotação do segmento processa-se num plano horizontal (de nível), pelo que na rotação seguinte o eixo é vertical (o eixo e escolheu- -se criteriosamente, de forma a ser P o ponto a rodar). O centro da rotação de P é Q [QP ] é simultaneamente perpendicular a [A B ] e a e. O ponto P rodou até a recta suporte de [A 1 B 1 ] ficar perpendicular ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [QP ] é paralelo ao eixo X). O ponto P manteve a sua cota, tal como A e B. A 1 e B 1 rodaram até encontrarem a recta suporte de [A 1 B 1 ] (que é perpendicular ao eixo X e passa por P 1 ([A B ] é [A B ] rodado). Na sua nova posição, [AB] é de topo e a sua V.G. é A 1 B 1. 51. Em primeiro lugar, desenharam-se as projecções da recta r, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma recta vertical é um caso particular das rectas frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar r numa recta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível) o eixo é uma recta vertical, qualquer, cujas projecções se desenharam imediatamente (recta e). O ponto que nos permite rodar a recta é A e o centro da sua rotação é O [OA] é simultaneamente perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até r 1 ficar paralela ao eixo X (A é o ponto A rodado e [OA ] é perpendicular ao eixo X). O ponto A manteve a sua cota, ao longo da sua rotação. Para definirmos uma recta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direcção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da recta r, para definirmos r 2. O ponto escolhido foi o seu traço frontal F. F 1 rodou até encontrar r 1, mantendo-se a cota de F r 2 fica definida por A 2 e F 2. A recta r é a recta r rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma recta vertical é uma recta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção assim, para transformar r numa recta vertical são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é e e é de topo (note que se escolheu e criteriosamente, de forma a A ser o ponto a rodar). O centro da rotação de A é Q [QA ] é perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até a recta r 2 ficar perpendicular ao eixo X o ponto A é o ponto A rodado e [QA ] é paralelo ao eixo X. A manteve o seu afastamento na sua rotação. A recta r é vertical e passa por A, não tendo sido necessária a rotação de F para a determinação das projecções da recta na sua nova posição. A projecção horizontal da recta é, agora, um ponto. 15