Notas sobre Noções Topológicas de Circuitos para apoio a Análise de Circuitos de João Costa Freire (Setembro 7). Definições Topologia Estudando a forma como os elementos de um circuito se interligam é possível definir algumas propriedades que simplificam a sua análise, nomeadamente a escrita e selecção das equações de Kirchoff a utilizar. A esta forma chamamos a topologia ou geometria do circuito. As propriedades referidas são independentes do tipo de elementos usados. Grafo: ramo e nó O desenho que é composto apenas por linhas, em substituição dos símbolos dos elementos, a que é usual chamar-se ramos (branches) do circuito, e respectivos pontos de interligação, a que é usual chamar-se nós (nodes), é o grafo (graph) do circuito. Esta representação simplificada de um circuito eléctrico permite identificar facilmente a sua topologia, o que clarifica os estudos sistemáticas de circuitos. Um grafo ligado (connected graph) é aquele em que existe pelo menos um caminho entre quais quer dois dos seus nós. Se tal não se verificar tem-se um grafo desligado (disconnected graph). Circuito/Grafo planar Neste texto abordaremos apenas circuitos em que todos os ramos podem ser representados num plano (circuito planar ou sem cruzamento de ramos). Na figura apresenta-se um circuito planar (a) e o seu respectivo grafo (b), bem como um circuito não planar com um cruzamento (c). A resistência, colocada entre os nós n e n6, não está no mesmo plano que os demais elementos do circuito. Se estivesse, estaria colocada entre os nós n e, que por sua vez estaria coincidente com o nó n6, isto é, o circuito só teria 5 nós. O circuito da figura a tem 6 elementos ( gerador de tensão e 5 resistências) e 4 nós. O respectivo grafo, figura b, tem 6 ramos (b a ) e 4 nós (n a ). Para representar o número de ramos usar-se-á a letra B e o número de nós a letra N. + - 5 V G (a) 4 n b b (b) Fig. (a) Circuito eléctrico planar e (b) seu grafo; (c) Circuito eléctrico não planar. n n5 (c) +- n6
A correspondência entre elemento do circuito da figura a e ramo do grafo da figura b é a seguinte: V G ; ; b; ; 4 ; e 5 b. Malha Um conjunto de ramos dum grafo que formam um caminho fechado (closed path) é designado por malha (loop). No grafo do circuito da figura a, podem-se definir várias malhas: a composta pelos ramos b, e ; pelos b, e b; pelos b,, e ; pelos, b, e ; b,, e ; etc. Árvore e galho Uma árvore (tree) de um dado grafo é um conjunto de ramos desse grafo que interligam todos os nós sem criar malhas. No grafo de um circuito, que é único, podem-se definir várias árvores. Na figura a e b, apresentam-se duas possíveis árvores do grafo da figura b. Na figura a eliminou-se os ramos b, e, e na figura b, os b, e. n b n b (a) (b) Fig. Duas Árvores do grafo da figura b. Os galhos (twing) são os ramos de uma árvore. Assim, relativamente à figura a, temos os galhos b, e, e relativamente à figura b temos os galhos, b e. Quando se cria uma árvore o primeiro galho interliga dois nós mas todos os restantes galhos estão associados apenas a um novo nó. Assim, o número de galhos T é igual ao número de nós menos um: Co-árvore e ligações ou cordas T = N () Os ramos que não pertencem a uma dada árvore são as ligações (links) ou cordas (cordes), denominando-se o seu conjunto por co-árvore (cotree). O número de ligações de uma coárvore L de um dado grafo com B ramos e N nós é dado por: L = B - T = B N + () As co-árvores relativas às árvores da figura estão representadas na figura.
n b n b (a) (b) Fig. Duas Co-árvores do grafo da figura b, relativas às árvores da figura. As ligações da co-árvore da árvore da figura a são os ramos b, e. Quanto às ligações da co-árvore da árvore da figura b são os ramos b, e. Malha elementar Uma malha que não tenha elementos no seu interior é uma malha elementar (mesh). elativamente ao circuito da figura a podemos definir malhas elementares: b, e b;, e ; e b, e. Note-se que ao acrescentar uma ligação a uma árvore vão-se criando malhas elementares. Assim, o número de malhas elementares ou independentes é igual ao número de ligações L, dado por (). Malha fundamental Uma malha que só contenha um galho é denominada malha fundamental (fundamental loop). Conjunto de corte Um conjunto mínimo de ramos dum grafo que quando retirados criam dois sub-grafos desligados é chamado conjunto de corte, ou simplesmente corte (cut set). Estes conjunto de ramos é assim chamado pois pode-se definir uma linha que os corta a todos (linha de corte). A cada corte está associada uma equação de Kirchhoff das correntes que é dada pela soma das correntes dos referidos ramos que atravessa a linha de corte num mesmo sentido. Esta equação é igual à soma das leis de Kirchhoff associadas ao conjunto de nós que fica de um dos lados da linha de corte. Esta equação é a equação do corte. A este conjunto de nós também se pode chamar super nó. Um conjunto de corte diz-se fundamental ou elementar, relativamente a uma dada árvore, quando tem um único galho desta árvore, além de ligações.
n Ca b b Cb Cc Fig. 4 Conjuntos de corte Ca (ramos b, e ), Cb (ramos b, b e ) e Cc (ramos, e ), para o grafo da figura b. elativamente à árvore a cheio (figura a) e co-árvore a tracejado (figura a) os cortes Cc e Cb são elementares.. Teoria de grafos aplicada à análise de circuitos eléctricos. Método Nodal No método nodal as variáveis são as tensões em N- nós, definidas em relação ao enésimo nó, que é seleccionado para referência. Os ramos com geradores de tensão (dependentes ou independentes) têm a corrente indeterminada. Se um circuito que se pretende analisar tiver V geradores de tensão (dependentes ou independentes), só podem ser utilizadas N--V equações de Kirchhoff das correntes, sendo o sistema de equações concluído com as V equações de definição dos V geradores. Da análise das definições e relações acima descritas podemos seguir a seguinte sequência de passos para obter N--V equações de Kirchhoff das correntes independentes.. Escolher de entre os N nós do circuito um para referência e definir a tensão em todos os outros N- nós como V k com k=,..., N-.. Criar uma árvore onde se incluem todos os geradores de tensão. ealça-se que é sempre possível construir esta árvore desde que não haja uma malha só com geradores de tensão. Em circuitos reais é impossível, pois todos os geradores de tensão reais têm pelo menos uma resistência em série. Esta árvore tem T = N - galhos (), dos quais V T correspondem a ramos de geradores de tensão.. Criar os N- cortes elementares associados à árvore obtida em. Destes cortes há V com um único gerador de tensão e V-N+ sem geradores de tensão. 4. Escrever as V-N+ equações dos cortes sem geradores de tensão (equações de Kirchhoff das correntes que atravessam a linha de corte). 5. Escrever as V equações de definição dos V geradores de tensão. 6. esolver o sistema de equações composto pelas equações escritas nos passos 4 e 5.. Método das malhas No método das malhas as variáveis são, em geral, as correntes nas L malhas elementares. Nos ramos com geradores de corrente a tensão é indeterminada (dependentes ou independentes). Se um circuito que se pretende analisar tiver I geradores de corrente (dependentes ou independentes), só podem ser utilizadas L-I equações de Kirchhoff das tensões, sendo o sistema de equações concluído com as I equações de definição dos I geradores. De forma idêntica à utilizada para o método nodal ir-se-á apresentar de seguida os passos para obter um conjunto de L-I equações de Kirchhoff das tensões independentes.
. Criar uma árvore sem geradores de corrente (dependentes ou independentes). ealçase que é sempre possível construir esta árvore desde que não haja um nó a que só estão ligados geradores de corrente (estrela de geradores de corrente). Em circuitos reais é impossível, pois todos os geradores de corrente reais têm pelo menos uma resistência em paralelo. Esta árvore tem T = N - galhos ().. Completa-se a árvore obtida em. com os respectivos L galhos, criando-se L malhas fundamentais. Atenção que nem todas são elementares. Atribui-se a cada uma delas uma corrente J k com k=,..., N-. O número de Leis de Kirchhoff das tensões (KVL) independentes que se podem escrever para um dado circuito é igual ao número de malhas elementares, que como já se viu, é igual ao número de ligações L, e de malhas fundamentais, dado por (). Destas L malhas há I que contêm pelo menos uma fonte de corrente.. Escrever as L-I equações de Kirchhoff das tensões para as malhas fundamentais sem geradores de corrente. 4. Escrever as I equações de definição dos I geradores de corrente. 5. esolver o sistema de equações composto pelas equações escritas nos passos e 4.. Exemplos de aplicação Apresenta-se de seguida alguns exemplos típicos de análise de circuitos pelo método nodal e pelo método das malhas, usando a teoria dos grafos para definir as equações de Kirchhoff a usar no sistema de equações definido... Método nodal Considere o circuito da figura 5, com um gerador de tensão independente e um de corrente comandado ou dependente. + - V x G V G 5 + V x - Fig. 5 Circuito com dois geradores, um de tensão independente e um de corrente dependente de tensão Utilize-se o método nodal para analisar o circuito, recorrendo à teoria dos grafos para definir um conjunto de equações independentes. Sigam-se os passos enunciados em... As incógnitas do sistema de equações vão ser as tensões V =V V, V =V V, e V = V V, tendo-se escolhido o nó para referência. 4
. A árvore a tracejado da figura 6 inclui todos os geradores de tensão. Esta árvore tem T = N = galhos (b, e ), dos quais V= corresponde ao ramo do único gerador de tensão (). Ca b b Cb Cc Fig. 6 Grafo do circuito da figura 5 com uma árvore (-----) com todos os geradores de tensão () e cortes elementares (-. -. -). Criaram-se na figura 6 os N-= cortes elementares associados à árvore obtida em. Destes cortes há V= com o único gerador de tensão (Ca) e N--V= sem geradores de tensão (Cb e Cc). 4. Escreve-se de seguida as V-N+= equações dos cortes sem geradores de tensão (equações de Kirchhoff das correntes que atravessam a linha de corte convencionase correntes a fluir da esquerda para a direita da linha de corte quando esta é aberta ou para o seu interior quando é fechada). Cb (V V ) G 5 + (V V ) G + (-V ) G + (-V ) G 4 = Cc (V V ) G + (-V ) G + (-V x ) G = com V x = V V Note-se que a equação do corte Cb é a equação do nó e a do corte Cc a do super nó + (associação das correntes que flúem para o conjunto dos nós e ), que poderia ser substituída pela do nó. 5. Escreve-se de seguida a V= equação de definição do único gerador de tensão do circuito em função das incógnitas definidas em : V G = V 6. esolve-se o sistema de equações composto pelas equações escritas nos passos 4 e 5 que, considerando / p =G p, se escreve na forma matricial: G5 + G G + G 4 V = V V VG.. Método das malhas Utilize-se agora o método das malhas para analisar o mesmo circuito (figura 5), recorrendo do mesmo modo à teoria dos grafos para definir um conjunto de equações independentes. Sigam-se os passos enunciados em..
. Criou-se uma árvore sem o único gerador de corrente existente no circuito (ramo b, I=). Ela está representada na figura 7 a cheio (co-árvore da figura 6). Esta árvore tem T = N = galhos. b J a b J c J b Fig. 7 Grafo do circuito da figura 5 com uma árvore (---) sem geradores de corrente (b) e respectivas malhas fundamentais (-. -. -). Completa-se a árvore obtida em., com as L= ligações da respectiva co-árvore galhos, criando-se malhas fundamentais. Atribui-se a cada uma delas uma corrente J k com k=, e. Das três Leis de Kirchhoff das tensões (KVL) independentes, associadas a estas malhas, há uma que contêm pelo menos uma fonte de corrente, que é a malha onde circula a corrente J a, pelo que não pode ser usada. As outras duas malhas não contêm geradores de corrente. Destas só a malha onde circula a corrente J c é que é uma malha elementar. A malha onde circula a corrente J b não é uma malha elementar, sendo usual apelidá-la de super malha, por analogia com o que passava na associação de nós, já que a equação de Kirchhoff das tensões referente a esta malha é obtida por associação das equações referentes a duas malhas elementares (malha b, e com malha b, e b).. Escreve-se de seguida as L I = equações de Kirchhoff das tensões para as malhas fundamentais sem geradores de corrente. J b (J a + J b J c ) 5 (J a + J b ) 4 J b (J b J c ) = J c V G ( J a J b + J c ) (J c J b ) = 4. Escreve-se de seguida a equação de definição do único gerador de corrente (I = ). V x G = - J a com V x = ( J a J b + J c ) 5. esolve-se o sistema de equações composto pelas equações escritas nos passos e 4, que é escrito na forma matricial G 5 5 G 4 G J J J a b c = V G