ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE FUNÇÕES POR MEIO DE DERIVADAS (CADERNO DE ATIVIDADES) Luiz Gonzaga Alves da Cunha 1 João Bosco Laudares 2 1 Faculdade Única de Ipatinga/Departamento de Engenharia/ lgunipac@yahoo.com.br 2 Puc-Minas/Departamento de Matemática/ jblaudares@terra.com.br Resumo Este artigo apresenta recorte de uma Pesquisa realizada no Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática e descreve um Objeto de Aprendizagem (O.A.) embasado na informática educativa. Foi elaborado por meio de atividades direcionadas ao estudo do comportamento de funções pela análise de suas derivadas. Fundamentado na teoria da sequência didática, enfatizou a interpretação geométrica da derivada para reconhecimento de crescimento e decrescimento de funções, pontos máximo e mínimo, ponto de inflexão e concavidade de uma função. Inseridos nesse ambiente de aprendizagem, estudantes de um curso de engenharia exploraram a capacidade de visualização e interpretação gráfica. A análise dos dados foi direcionada para as contribuições que o O.A. poderia proporcionar às aulas exclusivamente expositivas. Palavras-chave: Sequência Didática; Informática Educacional; Comportamento de funções com derivadas. INTRODUÇÃO Este trabalho é um recorte de uma pesquisa realizada no Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais e apresenta uma metodologia de ensino que utiliza um Objeto de Aprendizagem (O.A.) apoiado pela informática educativa. Este O.A. tem como tema central o estudo do comportamento de funções por meio da análise de suas derivadas. Tal metodologia foi aplicada em alunos do segundo período do curso de Engenharia Civil no interior de Minas Gerais. Como contribuição para um projeto denominado Estratégias de Ensino e Aprendizagem de Matemática e Estatística na Educação Superior: Repensando Ambientes de Aprendizagem, proposto pelos grupos de pesquisa Grupimem 1 e Pinem 2 e apoiado pela FAPEMIG, esta Pesquisa é resultado de análises das metodologias utilizadas no ensino de Matemática. Tais análises constataram a necessidade de diversificação das práticas educativas com o intuito de promover interesse do aluno e, consequentemente, uma aprendizagem mais efetiva. 1 Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática. 2 Práticas Investigativas em Ensino de Matemática
Com o objetivo de elaborar um ambiente de aprendizagem efetiva, abordaram-se fundamentos teóricos tais como o O.A. inserido no contexto da Informática Educativa. Esse referencial auxiliou a construção de um ambiente de ensino que estimulasse a exploração, a visualização, a discussão, a construção de conceitos e a produção de conhecimento. Dessa forma, a ação do aluno que acontece por meio da visualização, da experimentação, da interpretação e da criação de conjecturas, vai de encontro à passividade presente em uma aula exclusivamente expositiva. Com o intuito de atingir o estimulo do aluno e a compreensão efetiva, a estratégia utilizada neste trabalho é uma ferramenta computacional construída por meio de um software livre de geometria dinâmica (GeoGebra). INFORMÁTICA EDUCATIVA E O ENSINO DE MATEMÁTICA/CÁLCULO Dentre as características que se pode apresentar na utilização da tecnologia em sala de aula, e mais precisamente do computador, destaca-se a importância da visualização e do pensamento visual no ensino e aprendizagem de Matemática. (...) a linguagem visual no estudo de cálculo revela-se de extrema importância, pois (...) muitos dos conceitos (...) chegaram à forma como são ensinados hoje, apoiados nos métodos intuitivos e visuais. (Couy, 2008). A relevância do processo visual na aprendizagem de Cálculo também é citada por Tall quando afirma que negar a visualização é negar as raízes de muitas de nossas mais profundas ideias matemáticas. Diversas formas de pensamentos visuais aparecem em grande escala quando se utilizam os computadores em sala de aula. Mesmo que o aluno seja levado a uma interpretação equivocada daquilo que se observou, a ação visual tem seu valor pelo simples fato de ter proporcionado o espírito investigativo. Outra característica que se deve levar em consideração é a pratica da simulação quantas vezes forem necessários devido ao dinamismo que tais recursos proporcionam. Tal procedimento seria inviável se aplicados com a utilização de lápis e papel apenas. Assim, a visualização e a simulação são características a ser levadas em consideração quando se decide introduzir tecnologias em sala de aula como auxílio das práticas pedagógicas. Nas aulas de Matemática, sua utilização pode proporcionar ambientes favoráveis ao aprendizado. SEQUÊNCIA DIDÁTICA DO OBJETO DE APRENDIZAGEM A sequência didática planejada para esta Pesquisa é composta de atividades encadeadas com o objetivo de proporcionar ao aluno, ao analisar a derivada de uma função, a capacidade de entender o comportamento dessa função. Serão descritas a seguir algumas atividades elaboradas acerca do estudo do comportamento de funções por meio de derivadas apoiadas pela Informática Educacional. Um Objeto de Aprendizagem foi construído baseados em applets a partir do software livre de geometria dinâmica, o GeoGebra. Este O.A. procurou abranger elementos que favorecessem a visualização, simulação e construção de conceitos. Sua organização permitiu que cada sujeito envolvido pudesse compreender a relação entre o comportamento da função e sua derivada. Tais atividades são constituídas das seguintes sequências de atividades:
1ª ATIVIDADE - DEFININDO O CRESCIMENTO E O DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO Com o objetivo de conceituar função crescente e decrescente em um intervalo, esta atividade estimula o aluno a investigar, em gráficos de funções, o comportamento da imagem da função enquanto se variam os valores de x em seu domínio. Além disso, promove discussões e conjecturas acerca da ideia de funções crescentes e decrescentes em um intervalo e a compreensão desse conceito. Ao interagir com o gráfico da atividade 1 (figura 1), o aluno é levado a movimentar o ponto da função em intervalos pré-determinados para as abscissas e observar a variação do valor da função nesses intervalos. Ao observar essas variações, o aluno elabora conjecturas acerca do conceito de uma função crescente e decrescente em um intervalo. Figura 1 Gráfico da Atividade 1 2ª ATIVIDADE - A RELAÇÃO ENTRE O CRESCIMENTO E O DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO E SUA DERIVADA. Objetivando a análise do crescimento e o decrescimento de uma função por meio do sinal da derivada, essa atividade estimulou o aluno a investigar em gráficos de funções, os sinais de sua derivada enquanto seu comportamento alternava de crescente e decrescente e vice-versa. A compreensão da influência da derivada de uma função em seu comportamento foi proporcionada pela visualização da derivada como taxa de variação e declividade da reta tangente. Ao observar o gráfico da atividade 2 (figura 2), o aluno foi levado a movimentar o ponto da função em intervalos pré-determinados e realizar comparações entre o comportamento da reta tangente, o coeficiente dessa reta e o valor da derivada. A seguir, o aluno formula conjecturas acerca da relação entre os valores da derivada e o comportamento crescente e/ou decrescente da função no intervalo estudado. Figura 2 Gráfico da Atividade 2
3ª ATIVIDADE - ANÁLISE DOS PONTOS MÁXIMOS E MÍNIMO DA FUNÇÃO. Nesta atividade a investigação em gráficos e a realização de discussões, também foram incentivados. Conjecturas acerca da localização dos pontos de máximos e mínimos por meio de derivadas da função promoveram a compreensão acerca da influência da derivada na localização dos pontos críticos de máximo e mínimo. Com gráfico da terceira atividade disponível, os alunos foram incentivados a movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento de pontos críticos no gráfico e assim, estimar as coordenadas desses pontos críticos já que as limitações gráficas do GeoGebra não permitem boa precisão nas coordenadas. Dessa forma, conjecturas são formuladas acerca do comportamento da função e da derivada nas proximidades dos pontos críticos e, consequentemente, segundo os comportamentos da função e da derivada, classifica se o ponto crítico como de ponto de máximo ou de mínimo. Figura 3 Gráficos da Atividade 3 4ª ATIVIDADE - ANÁLISE DO PONTO DE INFLEXÃO Esta atividade estimula o aluno a investigar, em gráficos de funções (manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada de uma função e os pontos de inflexão. Promove também discussões e a criação de conjecturas acerca da localização dos pontos de inflexão, por meio de derivadas da função. Com o gráfico desta atividade disponível, o aluno é levado a movimentar o ponto da função pela curva observando o surgimento do ponto de inflexão e estimar suas coordenadas. Dessa forma, conjecturas são formuladas acerca de como a derivada pode auxiliar na localização do ponto de inflexão. Figura 4 Gráfico da Atividade 4 5ª ATIVIDADE - ANÁLISE DA CONCAVIDADE
Aqui o aluno é estimulado a investigar em gráficos de funções (manipulando comandos nos applets), a relação entre derivada e o sentido da concavidade da curva de uma função e com a s discussões e conjecturas promovidas compreendem a influência da derivada na determinação do sentido da concavidade de uma curva. Com o gráfico da atividade disponível, o aluno é levado a movimentar o ponto da função próximo ao ponto de inflexão e observar os comportamentos da primeira e da segunda derivada e analisar a variação da segunda derivada em função do comportamento da primeira derivada antes e depois do ponto de inflexão. Dessa forma, conjecturas são formuladas acerca da utilização da segunda derivada para determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo. Figura 5 Gráfico da Atividade 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS A metodologia de elaboração das atividades pautou-se na representação geométrica e foram organizadas em unidades didáticas ordenadas e articuladas que relacionam entre si e proporcionam um valor didático. À procura de diversificar as metodologias aplicadas no ensino de Cálculo, o Objeto de Aprendizagem criado nesta Pesquisa diversificou utilizando, durante as atividades, o processo de observação e investigação por meio de gráficos dinâmicos. O Objeto de Aprendizagem cumpriu o seu papel uma vez que permitiu ampla interação entre estudantes e o objeto de estudo, além de estimulá-los a fazer experimentações e simulações. O uso da informática educativa por meio de um software dinâmico permitiu a exploração e formalização de conceitos a partir de movimentação de pontos, variação de abscissas e de ordenadas, dos valores e sinais das derivadas e dos comportamentos dos gráficos das funções. Destaca-se que, durante a aplicação do Objeto de Aprendizagem, mudanças consideráveis foram percebidas nos alunos no que se refere à sua autonomia e postura crítica e, à medida que a familiarização com o software aumentava, tais características se tornaram mais evidentes. Essa mudança de postura se refletiu no ambiente em sala de aula, onde questionamentos e reflexões se tornaram mais frequentes e, dessa forma, a passividade observada no início do processo, deu lugar a uma postura mais ativa perante o desenvolvimento do conteúdo. Por meio da utilização de um Objeto de Aprendizagem em ambientes informatizados, esta pesquisa contribuiu de forma significativa para a flexibilização das práticas docente e assim sendo. Portanto, devido às contribuições ao ensino proporcionado por este Objeto de aprendizagem, pretende-se divulgar este trabalho no meio acadêmico por meio do VII Encontro Mineiro de Educação Matemática (EMEM), do VI Seminário Internacional de
Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM) e do XLIII Congresso Brasileiro de Educação em Engenharia (COBENGE) no qual a apresentação deste já está confirmada. Este Produto Educacional pode ser encontrado em: https://drive.google.com/file/d/0b3tba8fevzghwl9hytl0me5mow8/view REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. 5. ed. Belo Horizonte-MG: Autêntica, 2012. (Coleção Tendências em Educação Matemática). COSTA, José Wilson; OLIVEIRA, Maria A. Monteiro. Novas linguagens e novas tecnologias: educação e sociabilidade. Petrópolis-RJ: Vozes, 2004 COUY, Lais. Pensamento visual no estudo da variação de função. 2008. 162f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, Belo Horizonte. KENSKI, Vani Moreira. Educação e tecnologias: O novo ritmo da informação. Campinas-SP: Papirus, 2007. TALL, David. Intuition and rigour : the role of visualization in the calculus. Published in Visualization in Mathematics (ed. Zimmermann & Cunningham), M.A.A., Notes No. 19, 105 119 (1991). WILLEY, D. A. Connecting learning objects to instructional design theory: A definition, a metaphor, and a taxionomy. (2002) Disponível em:http://reusability.org/read/ chpters/wiley.doc>. Acesso em: 10 fev. 2010.