COMPONENTE CENTRÍPETA DA F R Como já foi visto antes, uma partícula livre da ação de forças ( F = 0 ) se mantém em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (1ª Lei de Newton). Daí que, se um corpo realiza um movimento com trajetória curvilínea, sobre ele atua(m) força(s) e essas forças apresentam resultante diferente de zero. A resultante sobre um corpo em trajetória curvilínea apresenta uma componente radial que é denominada força resultante centrípeta que, além de radial, tem sentido convergente (apontando para o centro da curva). Seu módulo é dado pela expressão a seguir: R FR CP 2 v m. R Determinação da força resultante centrípeta LEMBRE - SE FR CP FR CP F (radiais ) F convergentes) ( F ( divergente s) 73
L O O P / G L O B O d a M O R T E Perceba que se o móvel passar pelo ponto crítico ele completa toda a trajetória. Como no ponto crítico as forças que atuam no corpo estão representadas abaixo (e fazendo nosso referencial positivo para baixo) temos: Na situação limite, temos que N = 0 o que faz com que a mínima velocidade que o móvel precisa ter para completar o loop no ponto mais alto seja: v MÍNIMA R. g L O M B A D A e D E P R E S S Ã O Numa estrada com lombada e/ou depressão quando realizamos o deslocamento vertical no peso aparente varia diminuindo ou aumentando dependendo do caso. Podemos explicar tal situação analisando as forças que agem sobre o corpo em cada um dos pontos da estrada: 74
C U R V A P L A N A c o m A T R I T O N F AT VISÃO SUPERIOR P VISÃO FRONTAL Perceba que para não haver derrapagem (o móvel completar a curva), temos que a força de atrito lateral faz o papel da resultante centrípeta, o que nos permite determinar a máxima velocidade que pode ter o móvel para completar a curva ou o mínimo raio de curvatura para a curva ser completada ou ainda, o menor coeficiente de atrito entre o pneu e a pista para que não haja derrapagem: FR CP f ATRITO Podemos desenvolver essa igualdade 2 v m.. m. g R Encontrando informações importantes v MÁX. R. g 2 v R MÍN. g MÍN 2 v Rg 75
P I S T A S O B R E L E V A D A tg 2 v Rg Onde é o ângulo de inclinação em relação à horizontal P Ê N D U L O S I M P L E S FR CP T P.cos Onde é o ângulo de inclinação em relação à vertical A tração será máxima no ponto mais baixo da trajetória T P MÁX F RCP 76
P Ê N D U L O C Ô N I C O tg 2 v Rg Onde é o ângulo de inclinação em relação à vertical R O T O R FR CP N P f AT. N De onde podemos concluir que g MÍN. R 77
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO AULA 87 Exemplo 01 (PUC SP) Um avião de brinquedo é posto para girar num plano horizontal preso a um fio de comprimento 4,0m. Sabe-se que o fio suporta uma força de tração horizontal máxima de valor 20N. Sabendo-se que a massa do avião é 0,8 kg, a máxima velocidade que pode ter o avião, sem que ocorra o rompimento do fio, é: a) 10 m/s b) 8 m/s c) 5 m/s d) 12 m/s e) 16 m/s AULA 87 Exemplo 02 (PUC SP) A figura mostra um sistema de dois corpos de massas iguais, ligados por fios inextensíveis e de massas desprezíveis, girando num plano horizontal, sem atrito, com velocidade angular, constante, em torno do ponto fixo O. A razão (T 2 / T 1 ) entre as trações T 2 e T 1, que atuam respectivamente nos fios (2) e (1), tem valor: a) 2 b) 3/2 c) 1 d) 2/3 e) 1/2 78
AULA 88 Exemplo 01 (CESESP PE) Um caminhão transporta em sua carroceria uma carga de 2,0 toneladas. Determine, em newtons, a intensidade da força normal exercida pela carga sobre o piso da carroceria, quando o veículo, a 30 m/s, passa pelo ponto mais baixo de uma depressão com 300 m de raio. Dado: g = 10 m/s 2 a) 2,0. 10 4. b) 2,6.10 4. c) 3,0. 10 4. d) 2,0. 10 3. e) 3,0. 10 3. AULA 88 Exemplo 02 ( ) Uma atração de sucesso em alguns circos é o conhecido Globo da Morte nele um ou mais motociclista desafiam a gravidade em manobras radicais para delírio do público. Considere um globo de diâmetro 5m, qual a mínima velocidade que deve ter o piloto ao passar pelo ponto de altura máxima para garantir que a manobra tenha sucesso. Considere g = 10 m/s 2. a) 5 km/h b) 10 km/h c) 15 km/h d) 18 km/h e) 20 km/h AULA 88 Exemplo 03 (PUC MG) Durante a exibição aérea da esquadrilha da fumaça, no dia 7 de setembro, um dos aviões realizou um looping de raio 30m. No ponto mais alto da trajetória, o avião alcançou a velocidade de 20 m/s. Nesse ponto, o piloto, de massa 60 kg, exerceu sobre o assento uma força de intensidade igual a: (Considere g = 10m/s 2 ) a) 600N b) 400N c) 300N d) 200N e) 100N 79
AULA 89 Exemplo 01 (UFPE 2ª fase) Um carro de corrida de massa igual a 800kg faz uma curva de raio igual a 400m, em pista plana e horizontal, a uma velocidade de 108 km/h. Determine a força de atrito lateral, em unidades 10 2 N, exercida pelos pneus do carro. AULA 89 Exemplo 02 (UEL PR) Um carro consegue fazer uma curva plana e horizontal, de raio 100 m, com velocidade constante de 20 m/s. Sendo g = 10 m/s 2, o mínimo coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista deve ser: a) 0,20. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,35. e) 0,40. AULA 89 Exemplo 03 (FUVEST SP) Um carro percorre uma pista curva superelevada (tg = 0,20) de 200m de raio. Desprezando-se o atrito e adotando-se g = 10 m/s 2, qual a velocidade máxima sem risco de derrapagem? a) 40 km/h b) 48 km/h c) 60 km/h d) 72 km/h e) 80 km/h 80
AULA 90 Exemplo 01 (UEL PR) A esfera, representada no esquema, tem massa igual a 1,0 kg e, quando abandonada, movimenta-se segundo um arco de circunferência de raio 1,0m, devido ao fio que a prende ao teto. Ao passar pelo ponto A, quando o fio está na vertical, ela tem velocidade escalar de 4,0 m/s. Considerando-se g = 10 m/s 2, a intensidade da força com que a esfera traciona o fio, no instante em que ela passa pelo ponto A, vale, em newtons: a) zero b) 6,0 c) 12 d) 26 e) 32 AULA 90 Exemplo 02 (FEI SP) Uma esfera gira com velocidade 1 m/s, descrevendo uma trajetória circular, horizontal, de raio R = 10 cm. Estando a esfera suspensa por meio de um fio. Qual o ângulo que este forma com a vertical? Adotar g = 10 m/s 2. AULA 90 Exemplo 03 (MACKENZIE SP) Admitamos que você esteja apoiado, em pé, sobre o fundo de um cilindro de 4m de raio, que gira em torno do seu eixo vertical. Considere g = 10m/s 2 e o coeficiente de atrito entre a sua roupa e a superfície do cilindro igual a 0,4. Calcule a mínima velocidade tangencial que o cilindro deve ter para que, retirado o fundo, você fique preso à parede dele. a) 5 m/s b) 10 m/s c) 8 m/s d) 15 m/s e) 6 m/s 81
P 261 (UFMG) Quando um carro se desloca numa estrada horizontal, seu peso P é anulado pela reação normal N exercida pela estrada. Quando esse carro passa no alto de uma lombada, sem perder o contato com a pista, seu peso será representado por P e a reação normal da pista sobre ele por N. Com relação aos módulos dessas forças, pode-se afirmar corretamente que: a) P < P e N = N b) P < P e N > N c) P = P e N < N d) P = P e N > N e) P > P e N < N P 262 (UESPI) Considere a situação em que uma partícula material percorre uma circunferência em movimento uniforme. Neste caso, podemos afirmar que a força resultante aplicada a tal partícula é: a) nula. b) perpendicular à trajetória circular. c) perpendicular ao plano definido pela trajetória circular. d) tangente à trajetória circular. e) tanto maior quanto menor for a velocidade da partícula. 82
P 263 (UFPEL) Considere um satélite artificial que está em órbita circular ao redor da Terra. Nessa condição, é correto afirmar que a) seu vetor velocidade, vetor aceleração centrípeta e seu período são constantes. b) seu vetor velocidade varia, seu vetor aceleração centrípeta e seu período são constantes. c) seu vetor velocidade e seu vetor aceleração centrípeta variam e seu período é constante. d) seu vetor velocidade e seu período são constantes e seu vetor aceleração centrípeta varia. e) seu vetor velocidade, seu vetor aceleração centrípeta e seu período variam. P 264 (PUC SP) Um avião de brinquedo é posto para girar num plano horizontal preso a um fio de comprimento 4,0m. Sabe-se que o fio suporta uma força de tração horizontal máxima de valor 20N. Sabendo-se que a massa do avião é 0,8 kg, a máxima velocidade que pode ter o avião, sem que ocorra o rompimento do fio, é: a) 10 m/s b) 8 m/s c) 5 m/s d) 12 m/s e) 16 m/s P 265 (UFPE) Uma caixa é colocada sobre o piso de um carrossel a uma certa distância do seu eixo. Se o carrossel gira com velocidade angular constante e a caixa não escorrega, indique qual a força responsável pelo movimento circular da caixa (força centrípeta). a) O peso b) A normal c) A resultante da normal com o peso d) A força de atrito cinético e) A força de atrito estático 83
P 266 (UFPE) Num certo trecho de uma montanha russa os pontos A e B têm o mesmo raio de curvatura. Podemos afirmar que os ocupantes de um carrinho, ao passarem por estes pontos, têm a sensação de: a) diminuição de peso em A e aumento de peso em B. b) aumento de peso em A e diminuição de peso em B. c) diminuição de peso em A e em B. d) aumento do peso em A e em B. e) nada se pode afirmar, pois não se conhece as velocidades do carrinho em A e em B. P 267 (UFPE) Se você levar em conta a rotação da Terra, em que pontos da superfície do planeta a força normal entre uma pessoa e a superfície horizontal tem módulo igual ao peso da pessoa? a) Nos pólos. b) Nos pontos sobre o equador. c) Em todos os pontos. d) Nos pontos a 45 de latitude norte e sul. e) Em nenhum ponto. P 268 (FesP SP) Um caminhão transporta em sua carroceria uma carga de 2,0 toneladas. Determine, em newtons, a intensidade da força normal exercida pela carga sobre o piso da carroceria quando o veículo, a 30 m/s, passa pelo ponto mais baixo de uma depressão de 400m de raio. Adote g = 10 m/s 2. a) 2,00 x 10 4 N b) 1,55 x 10 4 N c) 2,55 x 10 4 N d) 2,45 x 10 4 N e) 4,00 x 10 4 N 84
P 269 (PUC SP) Considere que, numa montanha russa de um parque de diversões, os carrinhos do brinquedo, de massa total m, passem pelo ponto mais alto do loop, de tal forma que a intensidade da reação normal nesse instante seja nula. Adotando como o raio do loop e g a aceleração da gravidade local, podemos afirmar que a velocidade e a aceleração centrípeta sobre os carrinhos na situação considerada valem, respectivamente, a) c) mrg e mr b) rg e mg r g e g mr d) rg e nula e) rg e g P 270 (UNICAMP SP)* Uma atração muito popular nos circos é o "Globo da Morte", que consiste numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio R num local onde a aceleração da gravidade seja g. Qual a mínima velocidade que a motocicleta deve ter no ponto C da figura a seguir para que ela não perca contato com a superfície interna do globo? a) gr b) gr c) 2gR d) 2 d) gr e) 3 gr 85
P 271 (UDESC) Considere o looping mostrado na Figura 2, constituído por um trilho inclinado seguido de um círculo. Quando uma pequena esfera é abandonada no trecho inclinado do trilho, a partir de determinada altura, percorrerá toda a trajetória curva do trilho, sempre em contato com ele. Figura 2 Sendo v a velocidade instantânea e a, a aceleração centrípeta da esfera, o esquema que melhor representa estes dois vetores no ponto mais alto da trajetória no interior do círculo é: a) b) c) d) e) P 272 (UFMG) Considere uma montanha russa em forma de looping e P o ponto mais alto. Um carrinho passa pelo ponto P e não cai. Pode-se afirmar que no ponto P a(o): a) força centrífuga que atua no carrinho o empurra sempre para frente. b) força centrípeta que atua no carrinho equilibra o seu peso. c) força centrípeta que atua no carrinho mantém sua trajetória circular. d) soma das forças que o trilho faz sobre o carrinho equilibra seu peso. e) peso do carrinho é nulo nesse ponto. 86
P 273 (UFPE 2ª fase) Em certo ponto de uma montanha russa o ocupante do carrinho verifica que se peso desapareceu por completo. Com que velocidade em m/s, o carrinho passa por este ponto se, nele, o raio de curvatura da trajetória vale 10m? P 274 (PUC MG) Durante a exibição aérea da esquadrilha da fumaça, no dia 7 de setembro, um dos aviões realizou um looping de raio 30m. No ponto mais alto da trajetória, o avião alcançou a velocidade de 20 m/s. Nesse ponto, o piloto, de massa 60 kg, exerceu sobre o assento uma força de intensidade igual a: (Considere g = 10m/s 2 ) a) 600N b) 400N c) 300N d) 200N e) 100N P 275 (UFAL) Um carro passa por uma elevação na pista com velocidade de módulo constante e igual a 10 km/h. A elevação corresponde a um arco de uma circunferência de raio R = 5 m, centrada no ponto O (ver figura). Considerando o carro como uma partícula material, qual a sua aceleração centrípeta, em km/h2, sobre a elevação? a) 2 b) 4 c) 200 d) 400 e) 20000 87
P 276 (UEL PR) Um carro consegue fazer uma curva plana e horizontal, de raio 100 m, com velocidade constante de 20 m/s. Sendo g = 10 m/s 2, o mínimo coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista deve ser: a) 0,20. b) 0,25. c) 0,30. d) 0,35. e) 0,40. P 277 (IME RJ) Uma pedra está presa a um fio e oscila da maneira mostrada na figura acima. Chamando T a tração no fio e o ângulo entre o fio e a vertical, considere as seguintes afirmativas: I. O módulo da força resultante que atua na pedra é igual a T sen. II. O módulo da componente, na direção do movimento, da força resultante que atua na pedra é máximo quando a pedra atinge a altura máxima. III. A componente, na direção do fio, da força resultante que atua na pedra é nula no ponto em que a pedra atinge a altura máxima. Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): a) I e II, apenas b) I e III, apenas c) II e III, apenas d) I, II e III e) II, apenas P 278 (UFPE 2ª fase) Um automóvel de massa igual a 1 tonelada descreve uma curva de raio 100m com velocidade igual a 10 m/s. Qual deve ser a força de atrito total, em 10 3 N, atuando entre os pneus e a estrada para evitar que o automóvel derrape? 88
P 279 (FCC SP) A figura apresentada ilustra um pêndulo cônico. A massa pendular M efetua um movimento circular uniforme em torno do centro C. A intensidade da resultante das forças atuantes vale: a) Mg sen b) Mg / sen c) Mg cos d) Mg tg e) Mg / tg P 280 (ITA SP) Uma massa pontual se move, sob a influência da gravidade g e sem atrito, com velocidade angular em um círculo a uma altura h 0 na superfície interna de um cone que forma um ângulo com seu eixo central, como mostrado na figura. A altura h da massa, em relação ao vértice do cone, é: g a) 2 g 1. sen b) 2 g cot g. sen c) 2 g. cot g 2 d) 2 e) inexistente, pois a única posição de equilíbrio é h = 0. G A B A R I T O EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 261 C 262 B 263 C 264 A 265 E 266 B 267 A 268 D 269 E 270 B 271 A 272 C 273 10 274 D 275 E 276 E 277 C 278 01 279 D 280 D 89
EHC 084. H20 (VUNESP SP) As estatísticas indicam que o uso do cinto de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a: a) 1ª Lei de Newton. b) Lei de Snell. c) Lei de Ampère. d) Lei de Ohm. e) 1ª Lei de Kepler. EHC 085. H20 ( ) Um avião descreve uma trajetória circular horizontal com velocidade escalar constante v. Para conseguir descrever uma trajetória curva na horizontal, suas as asas formam um ângulo com a horizontal. Devem ser considerados apenas o peso do avião e a força de sustentação que é perpendicular à asa. Sendo g a aceleração da gravidade, o raio da trajetória descrita é: a) v 2.sen b) v 2.g.tg c) v 2 tg / g d) v 2 cotg / g e) g. tg / v 2 90
EHC 086. H20 (VUNESP SP) Dentro de um satélite artificial da Terra um astronauta flutua, porque: a) sua massa específica fica menor que a do ar dentro do satélite. b) existe vácuo dentro do satélite e no vácuo os corpos não têm peso. c) as acelerações da nave e do astronauta com relação à Terra são iguais. d) a força da gravidade é nula no local onde se encontra o satélite. e) o satélite serve de blindagem de modo que a força da gravidade não se exerce sobre o astronauta. EHC 087. H20 (ENEM) O Brasil pode se transformar no primeiro país das Américas a entrar no seleto grupo das nações que dispõem de trens-bala. O Ministério dos Transportes prevê o lançamento do edital de licitação internacional para a construção da ferrovia de alta velocidade Rio-São Paulo. A viagem ligará os 403 quilômetros entre a Central do Brasil, no Rio, e a Estação da Luz, no centro da capital paulista, em uma hora e 25 minutos. Disponível em: http://oglobo.globo.com. Acesso em: 14 jul. 2009. Devido à alta velocidade, um dos problemas a ser enfrentado na escolha do trajeto que será percorrido pelo trem é o dimensionamento das curvas. Considerando-se que uma aceleração lateral confortável para os passageiros e segura para o trem seja de 0,1 g, em que g é a aceleração da gravidade (considerada igual a 10 m/s 2 ), e que a velocidade do trem se mantenha constante em todo o percurso, seria correto prever que as curvas existentes no trajeto deveriam ter raio de curvatura mínimo de, aproximadamente, a) 80 m. b) 430 m. c) 800 m. d) 1.600 m. e) 6.400 m. 91
EHC 088. H20 (VUNESP SP) Antes de Newton expor sua teoria sobre a força da gravidade, defensores da teoria de que a Terra se encontrava imóvel no centro do Universo alegavam que, se a Terra possuísse movimento de rotação, sua velocidade deveria ser muito alta e, nesse caso, os objetos sobre ela deveriam ser arremessados para fora de sua superfície, a menos que uma força muito grande os mantivesse ligados à Terra. Considerando o raio da Terra de 7 10 6 m, o seu período de rotação de 9 10 4 s e 2 = 10, a força mínima capaz de manter um corpo de massa 90kg em repouso sobre a superfície da Terra, num ponto sobre a linha do Equador, vale, aproximadamente, a) 3 N. b) 10 N. c) 120 N. d) 450 N. e) 900 N. EHC 089. H20 ( ) A figura representa em plano vertical um trecho dos trilhos de uma montanha russa na qual um carrinho está prestes a realizar uma curva. Despreze atritos, considere a massa total dos ocupantes e do carrinho igual a 500 kg e a máxima velocidade com que o carrinho consegue realizar a curva sem perder contato com os trilhos igual a 36 km/h. O raio da curva, considerada circular, é, em metros, igual a: a) 3,6 b) 18 c) 1,0 d) 6,0 e) 10 G A B A R I T O EXERCITANDO as HABILIDADES em CASA: 84 A 85 D 86 C 87 E 88 A 89 E 92