Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores Lucia Catabriga Algoritmos Numéricos II Computação Científica Universidade Federal do Espírito Santo de junho de 24

Resumo Este texto tem por objetivo introduzir os conceitos básicos para o cálculo aproximado de autovalores e autovetores dentro do contexto da disciplina A;goritmos Numéricos II do Departamento de Informática da Universidade Federal do Espírito Santo (DI/UFES). Não é um texto completo, apenas introdutório, detalhes devem ser consultados em??.

Capítulo Introdução Neste capítulo estudaremos métodos numéricos para encontrar autovalores e autovetores de matrizes com coeficientes reais. Os autovalores e correspondentes autovetores de uma matriz satisfazem a propriedade: Se multiplicarmos a matriz por um autovetor encontramos um multiplo do próprio autovetor, com constante de multiplicidade conhecida por autovalor. Seja o vetor 2 Portanto satisfaz a 2 A = 6 24 8 3 2 9 8 7 6 24 8 3 2 9 8 7 2 = 4 é autovetor com autovalor correspondente igual a 4. Como o autovetor foi pré-multiplicado pela matriz é conhecido como autovetor direito. A equação algébrica para o autovalor λ e correspondente autovetor direito q de uma matriz A é: Aq = λq observe que esta equação só tem sentido para matrizes quadradas, portanto somente tais matrizes possuem autovalores. 2

Um método para encontrar os autovalores de uma matriz A pode ser ilustrado através da matriz do exemplo anterior. 6 24 8 q q 3 2 = λ 9 8 7 q 3 q 3 que pode ser escrito na forma (6 λ) 24 8 3 ( 2 λ) 9 8 ( 7 λ) q q 3 = λ que é um sistema homogêneo. Este sistema só tem solução não-trivial (q i ) se a matriz for singular, ou seja se o determinante for nulo. (6 λ) 24 8 det 3 ( 2 λ) = λ 3 +3λ 2 36λ+32 = 9 8 ( 7 λ) ou (λ 4)(λ )(λ+8) = que é denominada equação caracteristica. Os autovalores da matriz A são λ = 4, λ = e λ = 8. Em geral a equação Aq = λq pode ser representada pelo sistema homogêneo (A λi)q =. Se A é uma matriz de ordem n o sistema homogêneo tem solução não-trivial se (a λ) a 2... a n a 2 (a 22 λ)... a 2n det...... = a n2... (a nn λ) a n A equação caracteristica tem a forma geral: λ n +c n λ n +...+c λ+c = O método da equação característica não é um bom processo numérico para determinar os autovalores de uma matriz. O número de operações necessárias para obter os coeficientes da equação característica é muito grande. Nos próximos itens desenvolveremos processos mais eficientes para determinar os autovalores. Diversas aplicações recaem em problemas de autovalores, tais como: Flambagem de uma coluna 2

Vibração de estruturas Vibrações amortecidas Cadeias de Markov No final deste capítulo desenvolveremos algumas aplicações citadas. Estas aplicações nos levaram a determinar autovalores e autovetores de matrizes que apresentam características especiais, por exemplo matrizes tridiagonais. Na próxima seção apresentamos algumas propriedades importantes de autovalores e autovetores que serão usadas no desenvolvimento numérico.. Algumas Propriedades de Autovalores. A equação característica pode ser fatorada na forma: (λ λ )(λ λ 2 )...(λ λ n ) = Esta equação mostra que uma matriz de ordem n tem n autovalores. Porém os autovalores não são necessariamente distintos (por exemplo, podemos ter λ = λ 2 = λ n ). 2. A soma dos elementos da diagonal principal da matriz é chamada traço. Sendo que: ou seja: tr(a) = a +a 22 +...+a nn = c n = λ +λ 2 +...+λ n A soma dos autovalores de uma matriz é igual ao traço da matriz 3. O produto dos autovalores da matriz é igual ao determinante da matriz deta = ( ) n c = λ λ 2...λ n Portanto se A é singular, existe pelo menos um autovalor λ i = 4. A matriz A e sua transposta A t tem os mesmos autovalores, pois o deta = deta t. 5. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal. Então se A é triangular: det(a λi) = (a λ)(a 22 λ)...(a nn λ) Portanto os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos da diagonal. 3

6. Se as linhas e colunas correspondentes de uma matriz são trocadas os autovalores permanecem os mesmos. Por exemplo: 6 24 8 q q 3 2 = λ 9 8 7 q 3 q 3 Se trocarmos a linha com a linha 2 e a coluna com a coluna 2, obtemos: 2 3 24 6 8 q = λ q 8 9 7 q 3 q 3 observe que os autovalores permanecem os mesmos, mas ao autovetores tem a a. coordenada q trocada com a segunda coordenada. 7. Considere uma matriz A 4x4 e um autovalor λ. Multiplicando a segunda linha de A por f, a segunda coluna de A por /f e a segunda componente de q por f, obtemos: a a 2 /f a 3 a 4 fa 2 a 22 fa 23 fa 24 a 3 a 32 /f a 33 a 34 a 4 a 42 /f a 43 a 44 q f q 3 q 4 = λ q f q 3 q 4 Portanto se uma linha de uma matriz é multiplicada por um escalar e a coluna correpondente é multiplicada pelo inverso do escalar os autovalores permanecem os mesmos. O cálculo dos autovetores associados envolvem a solução de um sistema homogêneo. Para cada autovalor definimos um sistema de n equações e n incógnitas (A λi)q = Por exemplo: A matriz A = 6 24 8 3 2 9 8 7 tem por autovalores λ = 4, λ 2 = e λ 3 = 8. O autovetor associado a λ = é o vetor q tq (A λi)q =, ou seja 5 24 8 3 3 9 8 8 q q 3 = m 2 =.2 m 3 =.6 4

5 24 8.8 3.6 3.6 7.2 q q 3 Considerando somente L e L 2, chegamos a: q = = 2q 3 = L 3 = 2L 2 Portanto qualquer vetor que possui esta propriedade é autovetor associado ao autovalor λ =. 2 Seja q = 2. Para encontrar cada autovetor são necessários n 3 /3 multiplicações se a matriz dos coeficientes for cheia e não simétrica. Portanto a determinação dos autovetores não é considerado um processo numérico trivial, mesmo quando os autovalores são conhecidos. É possível combinar a equação padrão dos autovalores com todos os autovalores e correspondentes autovetores na forma: λ A q... q n = q... q n λ 2... λn isto é, AQ = QΛ onde Λ é a matriz diagonal dos autovalores. Q matriz quadrada contendo todos os autovetores. 5

Capítulo 2 Métodos Iterativos Simples 2. Método Das Potências O objetivo do método das potências é determinar o autovalor de maior módulo dentre todos os autovalores de uma matriz. Seja A uma matriz de ordem n. Sejam λ,λ 2,...,λ n os autovalores de A e q,,...,q n os autovetores correspondentes. Suponha que λ > λ 2... λ n. Vamos desenvolver um processo iterativo para determinar λ. Seja u () uma combinação linear dos autovetores correspondentes: u () = c q +c 2 +...+c n q n Os autovetores são linearmente independentes. u () = Au () = c Aq +c 2 A +...+c n Aq n = c λ q +c 2 λ 2 +...+c n λ n q n ] λ = λ [c q +c 2 λ 2 λ +...+c n n λ q n ] u (2) = A 2 u () λ = λ [c Aq +c 2 λ 2 λ A +...+c n n λ Aq n [ ( ) 2q2 ( ) ] 2qn = λ 2 c q +c λ2 2 λ +...+c λn n λ Se pré-multiplicarmos a expressão pela matriz A k-vezes obtemos: [ ( ) k ( ) ] k u (k) = A k u () = λ k λ2 λn c q +c 2 +...+c n q n λ λ Como λ > λ 2... λ n, temos que λ i λ <, para i = 2,...,n. ( ) k Portanto quando k λi λ para i = 2,...,n. 6

Então, o vetor [ c q +c 2 ( λ2 λ ) k ( ) ] k λn +...+c n q n c q que é um autovetor associado a λ. Portanto podemos afirmar que para valores grandes de k u (k) λ k c q u (k) tende a ser proporcional ao autovetor q. Considerando que o autovetor pode ter tamanho arbitrário (ou seja, um autovetor multiplicado por um escalar tem o mesmo autovalor associado) é conveniente normalizar o vetor que gera o processo iterativo depois de cada multiplicação. O algoritmo iterativo para determinar q pode ser representado através das equações: λ v (k) = Au (k) u (k+) = α v(k) onde α = ± v (k) Exemplo: Considere a matriz 528.2 547.6 56.4 A = 273.8 32.8 98. 78.2 98. 39. Seja u () = ( ) (t) e considere a norma do máximo para obter o valor de α. Iteração 528.2 547.6 56.4 273.8 32.8 98. 78.2 98. 39. }{{} A Iteração 2 A Iteração 3 A.5556.747 }{{} u () } {{ } u ().546.622 = = } {{ } u (2) 232. 684.6 25.3 } {{ } v () 859.7 464.7 39.5 }{{} v () = 849.5 458.8 37.3 = 232. }{{} α = }{{} 859.7 α }{{} v (2) = }{{} 849.5 α.5556.747 } {{ } u ().546.622 } {{ } u (2).54.66 } {{ } u (3) 7

Iteração 4 A.54.66 } {{ } u (3) = 849. 458.6 37.4 }{{} v (3) = }{{} 849. α.54.69 } {{ } u (4) Oautovetoraproximadoéu (4) q comerroinferiora 3. Oautovetor correspondente é λ 849.. Quando a norma do máximo é usada o sinal de α pode ser o mesmo do maior elemento em módulo. Neste caso α convergirá para λ até mesmo quando ele for negativo, além disso a sequência de vetores convergirá normalmente para q. Exemplo: Encontre o maior autovalor da matriz A = 6 24 8 3 2 9 8 7 usando u () = ( ) (t) e norma do máximo para obter o valor de α. Faça algumas iterações. Após construir algumas iterações é possivel observar que a convergência para o autovalor pode ser mais rápida que a convergência para o autovetor associado. Em geral, dependendo de cada aplicação, é possível escolher uma aproximação inicial para o autovetor associado ao autovalor de maior módulo através de algum critério. Porém, quando não existe alguma informação, é necessário um cuidado especial para não escolher u () tal que o coeficiente c seja nulo ou muito pequeno quando comparado com os outros coeficientes. Para implementações computacionais do método das potências, a determinação do vetor inicial u () é feita através de procedimentos automáticos. Um procedimento bastante usado consiste em gerar os elementos dos vetor através de números randômicos no intervalo u () i. Quando este processo é usado a probabilidade de ocorrer c = é bem pequena. 2.. Características da Convergência do Método das Potências O autovetor u (k) pode ser expresso: u (k) = q +e (k) onde e (k) = ( λ2 λ ) k c 2 c +...+ ( λn λ ) k c n c q n 8

Por hipótese temos que λ > λ 2... λ n, portanto para valores grande de k o erro pode ser aproximado por e (k) λ 2 λ (k) c 2 c É possivel provar que c 2 c. Através desta aproximação é possível estimar o número de iterações necessárias para atingir uma tolerância pré-fixada. Para exemplificar, suponha quedesejamoscalcularosautovaloresdeumamatrizcomtolerânciade s. Como já foi mostrado o erro na iteração k depende do quociente λ 2 k λ, então: λ 2 k s λ k sln ln λ 2 /λ Portanto se λ 2 λ estiver próximo de, o método das potências converge vagarosamente. É possível acelerar a convergência do método das potências. Nota-se que o uso da Norma Euclidiana no método para normalizar os autovetores e determinar os autovalores correspondentes aceleram a convergência, principalmente no caso de matrizes simétricas. Porém este processo não estabelece um critério simples para a escolha do sinal de α. Em geral, adota-se que o sinal de α deve ser tal que as componentes do autovetor de uma iteração a outra permanecam com o mesmo sinal. Outro processo similar a norma euclidiana para matrizes simétricas em termos de precisão é usar o Coeficiente de Rayleigh para normalizar o vetor v (k) : α = (u(k) ) t Au (k) (u (k) ) t u (k) = (u(k) ) t v (k) (u (k) ) t u (k) Apesar da precisão deste critério ser similar a da norma euclidiana, não existe o incoveniente da escolha do sinal. Portanto poderiamos definir o seguinte algoritmo: 9

Algoritmo : Método da Iteração Inversa Entrada: A,v (),ǫ,k max 2 Inicializar ρ (ρ =.) 3 Inicializar λ k (λ k =.) 4 while ρ > ǫ and k < k max do 5 u = Av (k) 6 Resolva Uv = y 7 λ k+ = v(k)t u v (k)t v (k) 8 v (k+) = u λ k+ 9 ρ = λ k+ λ k λ k+ k = k + end 2 Saída: λ k+, v (k+) No entanto, podemos escalonar a sequência v (k), antes de calcular o λ k. Para isso, seja y (k) = u(k) u (k), então y(k) =. Ay (k) λ k y (k) Exemplo: Considere a Matriz simétrica A = λ k = y(k)t Ay (k) y (k)t y (k) = y (k)t u (k+) 2 2 2 2 O autovalor de maior módulo calculado pelo método das potências é λ = 2.683. A tabela abaixo mostra a tolerância atingida para algumas iterações, demonstrando que o uso da norma euclidiana e/ou do coeficiente de Rayleigh acelera moderadamente a convergência. Para tal, Considere u () = {,,,} e critério de parada u(k) u (k ) < ǫ. u (k) 4 iterações 6 iterações 8 iterações iterações N. Máximo.538 2 3.35 4 7.35 5.498 7 N. Euclidiana.24 2 2.39 4 5.9 6.83 7 C. de Rayleigh.24 2 2.39 4 5.9 6.83 7 2.2 Método da Potência Inversa O método da potência inversa é usado para determinar o autovalor de menor valor absoluto e seu correspondente autovalor de uma matriz A. De forma

semelhante ao método das potências, o método é útil para determinar o menor autovalor em módulo, desde que o mesmo esteja bem separado dos demais, isto é, seja menor que todos os outros e não muito próximo do segundo menor. Considerando que λ λ 2... λ n > λ n, desejamos calcular λ n. Sabemos que se λ é autovalor de A, λ é autovalor de A. Portanto se λ n é o menor autovalor em módulo de A, λ n é o maior autovalor de A em módulo. Assim, dado 2.3 Método da Sequência de Sturm Em geral a solução numérica de um problema de autovalor não envolve a determinação do polinômio característico, pois o cáculo do mesmo necessita de muitas operações o que é enviável computacionalmente. Porém para matrizes tridiagonais simétricas é possível obter o polinômio característico através de um processo simplificado. Seja A uma matriz tridiagonal de ordem n: A = α β β α 2 β 2 β 2 α 3 β 2......... β n 2 α n β n β n α n Considere a sequência formada por α β β α 2 β 2 f k (λ) = det......... β k 2 α k β k β k α k para k n e f (λ). Assim f (λ) = α λ f 2 (λ) = (α λ)f (λ) β 2 f (λ). f k (λ) = (α k λ)f k (λ) β 2 k f k 2(λ) O processo descrito para obter o polinômio característico f n (λ) requer 2n 3 multiplicações. Podemos então considerar qualquer método numérico para encontrar os zeros do polinômio característico. Porém a sequência {f k (λ), k n} possui propriedades especiais e por isso é denominada por sequência de Sturm. Tais propriedades nos levarão a isolar facilmente os autovalores de A.

Propriedade da Sequência de Sturm: Seja a função de valores inteiros s(λ) que guarda o número de trocas de sinal de membros consecutivos da sequência {f k (λ)}. Dado um intervalo [a,b], o número de raízes da equação f n (λ) = (ou o número de autovalores de A) no intervalo [a,b] é igual a s(a) s(b). Se algum membro é nulo, ou seja, suponha que f j (λ) =. Neste caso, observa-se a troca de sinal entre os membros f j (λ) e f j+ (λ), pois se f j (λ) = então f j (λ). É possivel determinar o intervalo que contenha os autovalores de uma matriz. Suponha uma matriz A de ordem n. Seja λ um autovalor e q um autovetor correspondente, portanto Aq = λq suponha que o autovetor está normalizado, ou seja, existe uma componente q k = e q i < para i k, assim:............ a k a k2... a kk... a kn...... q.. q n = λ O produto da linha k com o vetor q gera a equação: a k q +a k2 +...+a kk +...+a kn = λ q.. q n Portanto λ a kk = j ka kj q j como q j < λ a kk j k a kj O intervalo que contém todos os autovalores é formado pela união de todos os intervalos definidos na expressão anterior, ou seja para todo k. Exemplo: A Sequência de Sturm da matriz é dada por A = 2 2 2 2

f (λ) = f (λ) = (2 λ) f 2 (λ) = (2 λ)f (λ) f 3 (λ) = (2 λ)f 2 (λ) f (λ) O intervalo que contém todos os autovalores é dado pela união dos intervalos: λ 2 λ 2 2 λ 2 TodososautovaloresdeAestãonointervalo[,4]. Observequef 3 (2) =, portanto λ = 2 é autovalor da matriz A. Na tabela a seguir calculamos um autovalor de A no intervalo (2,4), usando a propriedade de Sturm. O processo consiste inicialmente em observar o número de trocas de sinal que ocorre no intervalo [2,4], que é igual a 2 (sendo que λ = 2 é autovalor. Este fato, significa que existe somente um autovalor no intervalo (2,4). O processo iterativo deve continuar sempre particionando o intervalo que contém o autovalor ao meio até que uma determinada tolerância pré-fixada seja atingida. λ f f f 2 f 3 No. trocas de sinal 2 + - 4 + - + - 4. 3 3 + - +. 2 3.5 + - + -.375 3 3.25 + - + +.546875 2 3.375 + - + +.5396 2 3.4375 + - + -.954589 3 3.4625 + - + +.35856 2 3.42875 + - + -.62452 3 3.44625 + - + +.64 2 3.479688 + - + -.586 3 3.442968 + - + -.3333 3 2.4 Método da Iteração Inversa Seja Q a matriz que contém em cada coluna os autovetores de A e Λ a matriz diagonal contendo os autovalores correspondentes: onde AQ = QΛ 3

Q = q... q n e Λ = λ λ 2... λn Em particular Aq i = λ i q i p/ i =,2,...,n Sem perda de generalidades, pode-se assumir que q i = i. Seja λ uma aproximação de um autovalor λ k. Considere z () um vetor condição inicial para o cálculo do autovalor correspondente λ (ou λ k ). Define-se duas sequências {w (m) } e {z (m) } tq (A λi)w (m+) = z (m) e z (m+) = w (m+) w (m+) p/ m O processo que acabamos de apresentar é essencialmente o Método das potências aplicado a matriz (A λi). Porém a matriz (A λi) é malcondicionada, pois det(a λ k I) = sendo λ λ k O processo de obtenção do autovalor λ( λ k ) causa o acúmulo de erros de arredondamento na matriz (A λ k I), o que leva a concluir que estes erros equilibram a instabilidade. É possivel estudar com cautela este fato, porém neste texto não aprofundaremos esta discussão. O vetor z (m) gerado pelas sequências descritas converge para o autovetor correspondente de λ k. 2.4. Implementação do Método A fatoração LU será usada para decompor a matriz (A λi) e resolver o sistema (A λi)w (m+) = z (m). Portanto dado uma aproximação z (m) : LUw (m+) = z (m) Ly (m+) Uz (m+) = z (m) = y (m+) w (m+) w (m+) p/ m Como (A λi) é quase singular, o último elemento da diagonal de U pode ser bem pequeno. Caso seja nulo, é possível executar uma pequena alteração no seu valor ou alterar o valor aproximado λ e recalcular L e U. Este procedimento, em geral oferece bons resultados. 4

A condição inicial z (), a princípio, poderia ser um vetor com números randômicos de - a. Porém demonstra-se que o seguinte procedimento leva a melhores resultados: Assim onde Exemplo : A matriz A = z () = Le y () = y (2) = y (3) =. 2.976 5.9962. 2.979 5.9966 z () = Le onde e =. y () = e Uw () = e w (m+) z (m+) = w (m+) Ly (m+) = z (m) e Uw (m+) = y (m) 2 3 4 A.2679I = LU =. tem por autovalor λ =.2679.732.732 2.732.732..3659.3662. 2.737.4 w() = w (2) = w (3) = Norma de z (3) z (2) =. 5984.869 7.523 4283. 5986.3 72.373 4283.3 266.9365 947.837 74.2857 z () = z (2) = z (3) =..732.2679..732.2679..737.2683 5