Matemática Elementar II Caderno de Atividades Autor Leonardo Brodbeck Chaves 2009
2008 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. C512 Chaves, Leonardo Brodbeck. Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009. 196 p. ISBN: 978-85-7638-798-5 1. Matemática. 2. Matemática Estudo e ensino. I. Título. CDD 510 Todos os direitos reservados IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 Batel 80730-200 Curitiba PR www.iesde.com.br
Leonardo Brodbeck Chaves Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.
Sumário Contagem 11 1. A noção básica da Matemática: a contagem 11 2. O sistema de numeração decimal 13 Adição e subtração 17 1. A adição 17 2. A subtração 18 Multiplicação e divisão 21 1. A multiplicação 21 2. A divisão 23 Frações (I) 25 1. As frações 25 2. Resolução de problemas com frações 28 3. Frações próprias e impróprias 30 4. Simplificação de frações 31 Frações (II) 35 1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) 35 2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes 37 4. Multiplicação com frações 40 5. Divisão com frações 41 Potenciação 43 1. Potenciação 43
Expressões numéricas 47 1. Introdução 47 2. Regras para a resolução de expressões numéricas 47 Geometria (I) 53 1. Polígono 53 2. Ângulos 55 3. Triângulo 55 4. Quadrilátero 56 5. Perímetro de um polígono 57 6. Medida do comprimento da circunferência 62 Geometria (II) 65 1. Unidade de área 65 2. Áreas de figuras planas 66 3. Volumes 70 Razão e proporção 75 1. Razão 75 2. Proporção 79 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica 80 Grandezas proporcionais (I): regra de três simples 85 1. Grandezas diretamente proporcionais 85 2. Grandezas inversamente proporcionais 88 Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 95 1. Proporcionalidade composta 95 2. Regra de três composta 97
Porcentagem e juro 105 1. Porcentagem 105 2. Juro 111 Equações do 1. o grau 117 1. Introdução 117 Equações do 2. o grau 125 1. Noção de equação do 2. o grau 125 2. Forma geral 125 3. Solução de uma equação do 2. o grau 127 4. Resolução de problemas do 2. o grau 137 5. Problemas que envolvem equações do 2. o grau 138 Sistemas lineares 2 x 2 143 1. Introdução 143 2. Sistema de equações lineares 2 x 2 144 3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição 153 Radiciação 159 1. Introdução 159 2. Quadrados perfeitos 160 3. Raiz quadrada 161 Gráfico e função 163 1. Plano cartesiano 163 2. Função afim 164 3. Função quadrática 168
Apresentação O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma. Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas: a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia; c) um cristal de gelo com angulação precisa; d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade; e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros. Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos). Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade. A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória. Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.
Razão e proporção 1. Razão 1.1 Definição Razão é o quociente entre dois números, sendo que o segundo número é diferente de zero. A ou A : B com B 0 B Como você pode perceber, uma razão é também representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo: Número racional (representado por fração) Razão (representado por fração) 1 3 lê-se: um terço 1 3 lê-se: um para três ou um está para três 9 5 lê-se: nove quintos 9 5 lê-se: nove para cinco ou nove está para cinco 4 10 lê-se: quatro décimos 4 10 lê-se: quatro para dez ou quatro está para dez
76 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 1.2 Os termos de uma razão Vamos considerar a notação 3. O que ela representa? 7 A notação 3 é um numeral (fração) que representa o número três sétimos, em que 3 é o 7 numerador, e 7 o denominador. Porém, 3 é a representação também da razão três para sete, 7 em que 3 é denominado antecedente, e 7 é denominado conseqüente. Fração numerador denominador Razão antecedente conseqüente 1.3 Razões iguais e simplificação de uma razão Para obtermos razões iguais, basta aplicarmos a propriedade fundamental das razões, que é a seguinte: Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão igual à primeira. Acompanhe duas aplicações da propriedade fundamental das razões: 2x x3 x4 :2 :2 :3 2 3 4 6 6 9 8 12... 48 60 24 12 30 15 4 5 2x x3 x4 :2 :2 :3 Forma irredutível Observe que, no exemplo anterior, a razão 4 é a forma mais simples de 48 e não é possível 5 60 simplificá-la ainda mais, portanto, é chamada de irredutível.
Razão e proporção 77 Exercícios 1. Complete, indicando a leitura das seguintes razões: a) 3 4 : b) 1 : 5 : c) 4 9 : d) 9 7 : e) 5 : 10 : 2. Complete as frases com numerador, denominador, antecedente ou conseqüente: a) 4 é uma fração, em que 4 é o e 9 o. 9 b) 13 17 é uma razão, em que 13 é o e 17 o. c) 3 é uma fração, em que 3 é o e 7 o. 7 d) 1 é uma razão, em que 1 é o e 6 o. 6 3. Simplifique as razões a seguir até a forma irredutível: a) 18 24 b) 6 27
78 Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) 12 30 d) 15 16 e) 30 54 f) 56 88 4. Acompanhe os problemas resolvidos a seguir e, depois, resolva os exercícios: Você tem 25 anos de idade e seu irmão mais velho tem 30 anos. Qual é a razão entre a sua idade e a do seu irmão? Solução: 25 anos 5 30 anos 6 Qual é a razão entre 2 dias e uma semana? Solução: 1 semana 7 dias 2 dias 2 7 dias 7 a) Um casal possui 6 filhos, sendo 2 meninas e 4 meninos. Qual é a razão entre o número de meninos e de meninas? b) Um time de futebol marcou em um campeonato 17 gols e sofreu 21. Qual é a razão entre o número de gols marcados e sofridos? c) Uma colméia possuía 150 abelhas. Após três meses, esse número passou para 320 abelhas. Qual é a razão entre o número de abelhas depois e antes desse período?
Razão e proporção 79 2. Proporção 2.1 Definição A sentença que representa uma igualdade entre duas razões equivalentes constitui uma proporção. Então, 60 30 é uma proporção que se lê: sessenta está para quarenta, assim como 40 20 trinta está para vinte. 2.2 Termos de uma proporção A proporção formada pelas razões A B e C é dada por: D A C B D ou A : B C : D Onde A e D são os extremos e B e C são os meios. 2.3 Propriedade fundamental das proporções Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Assim, na proporção A C B D temos: A x D B x C
80 Matemática Elementar I Caderno de Atividades 3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica Você já se perguntou por que uma bolinha de isopor flutua na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume, afunda? Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Mas o que é densidade? Densidade volumétrica de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, que pode ser medida em quilograma (kg) ou grama (g) e o seu volume, que pode ser medido em metro cúbico (m³), centímetro cúbico (cm³) ou litro ( ), entre outras unidades de medida. A fórmula da densidade é representada por: d m v d: densidade m: massa v: volume A unidade da densidade pode ser kg/m³, g/cm³, entre outras. Note que a densidade é uma aplicação de razão. Observe alguns exemplos de substâncias e suas densidades: Substância Densidade (g/cm³) madeira 0,5 gasolina 0,7 álcool 0,8 alumínio 2,7 ferro 7,8 mercúrio 13,6
Razão e proporção 81 Observe os exercícios resolvidos: 1. Um artista esculpiu um enfeite em madeira que possui um volume de 500cm 3. Agora, ele quer construir uma réplica do objeto usando ferro. Se o ferro possui uma densidade volumétrica de 7,8g/cm 3, qual é a massa de ferro necessária? Como a densidade é a razão entre a massa e o volume: d m v, em que m é a massa e v é o volume. Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções: 7,8g m 1cm 3 500cm 3 m. 1 7,8. 500 m 3 900g ou 3,9kg Resposta: A massa de ferro necessária para construir o mesmo objeto é de 3,9kg. 2. Você seria capaz de calcular a massa de madeira inicialmente utilizada na construção do enfeite? De acordo com a tabela de densidades, a densidade volumétrica da madeira é 0,5g/ cm 3. Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções: 0,5g m 1cm 3 500cm 3 m. 1 0,5. 500 m 250g Resposta: A massa de madeira utilizada foi de 250g. A massa de madeira necessária para construir o mesmo objeto é menor do que a massa de ferro. Isso se deve ao fato de a densidade volumétrica da madeira ser inferior à densidade do ferro. Exercícios 5. Dê a leitura das seguintes proporções: a) 3 2 b) 4 5 c) 12 15 6 ou 3:2 6:4 lê-se: 4 8 ou 4:5 8:10 lê-se: 10 4 ou 12 :15 4:5 lê-se: 5
82 Matemática Elementar I Caderno de Atividades d) a b x ou a:b x:y lê-se: y 6. O termo x é desconhecido. Descubra seu valor em cada uma das proporções, aplicando a propriedade fundamental das proporções. Acompanhe o exercício resolvido a seguir: a) 4 3 x 6 3.x 4.6 3x 24 x 24 3 x 8 b) x 5 45 9 c) 48 x 12 5 d) 11 : 3 x : 6
Razão e proporção 83 7. Estude o problema resolvido a seguir e, depois, resolva os demais. a) Uma vara de 12cm encravada verticalmente no solo produz uma sombra de 15cm. Quanto deve medir o comprimento da vara para que ela produza uma sombra de 45cm? 12cm x 15cm 45cm 15. x 12. 45 15x 540 x x 36cm 540 15 b) Você tem um arquivo de imagem no computador medindo 9cm de largura por 12cm de comprimento. Se você ampliar essa fotografia usando um software de edição de imagens de modo que a medida de seu comprimento passe a ser de 60cm, quanto medirá sua nova largura? c) Na planta que representa o projeto de uma casa, as dimensões da sala são 6cm de largura e 10cm de comprimento. Ao construir a casa, a sala ficou com uma largura de 4,5m. Qual é a medida do comprimento da sala, em metros?
84 Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações
Gabarito Gabarito Razão e proporção 1. a) 3 lê-se: três para quatro ou três está para quatro. 4 b) 1:5 lê-se: um para cinco ou um está para cinco. 4 c) 9 lê-se: quatro para nove ou quatro está para nove. d) 9 lê-se: nove para sete ou nove está para sete. 7 e) 5:10 lê-se: cinco para dez ou cinco está para dez. 2. a) numerador; denominador. b) antecedente; conseqüente. c) numerador; denominador. d) antecedente; conseqüente. 3. a) 18 9 3 24 12 4 b) 6 2 27 9 c) 12 6 30 2 15 5 d) 15 5 60 1 20 4 e) f) 30 15 54 5 27 9 56 28 88 14 7 44 22 11 4. a) 4 meninos 2 2 meninas 1 b) 17 gols marcados 21 gols sofridos 17 21
Matemática Elementar I Caderno de Atividades c) 320 abelhas depois 150 abelhas antes 5. a) 3 6 2 4 320 160 150 75 32 15 ou 3 : 2 6 : 4 lê-se: três está para dois assim como seis está para quatro. b) 4 8 5 ou 4:5 8:10 lê-se: quatro está para cinco assim como oito está para dez. 10 c) 12 4 15 ou 12:15 4:5 lê-se: doze está para quinze assim como quatro está para cinco. 5 d) a x b ou a:b x:y lê-se: a está para b assim como x está para y. y 6. b) x 5 45 9 9.x 45.5 9x 225 x 225 9 c) 48 x x 25 12 5 x.12 48.5 12x 240 x 240 12 x 20 d) 11:3 x:6 11 3 x 6 3.x 11.6 3x 66 x 66 3 x 22
Gabarito 7. b) 9cm 12cm x 60 12.x 540 12x 540 x 540 12 x 45cm c) 6cm 10cm 4,5m x 6.x 10.4,5 6x 45 x 45 6 x 7,5m
Matemática Elementar I Caderno de Atividades Anotações