C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O 11 matemática Função: definição, domínio e imagem Elizabete Alves de Freitas
Governo Federal Ministério da Educação Projeto Gráfico Secretaria de Educação a Distância SEDIS equipe sedis universidade federal do rio grande do norte ufrn Coordenadora da Produção dos Materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira Design Gráfico Ivana Lima Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de Brito Vitor Gomes Pimentel Arte e ilustração Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin Revisão Tipográfica Adriana Rodrigues Gomes Design Instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade Revisão das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Adaptação para o Módulo Matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho Revisão Técnica Rosilene Alves de Paiva
Você verá por aqui......o início de um estudo sobre alguns elementos da Álgebra, como o Sistema de Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Geómetrie. Verá também o conceito de uma relação entre conjuntos e o conceito de função, como também os conceitos de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função, como elaborar o estudo do sinal de uma função e como determinar o domínio de uma função real. Na próxima aula, concluiremos o estudo sobre funções iniciado aqui, dando maior enfoque à construção de gráficos de funções de vários tipos. Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e disponibilizamos, após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões subjetivas) e, ao final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões objetivas). E, na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la. Na seção Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rápida que lhe auxiliará na resolução de atividades relacionadas com o conteúdo aqui estudado. Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas, localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como descrever as coordenadas de pontos situados em planos cartesianos. Saber conceituar relações entre conjuntos, bem como os conjuntos domínio, contradomínio e imagem de uma relação entre dois conjuntos. Saber conceituar função, assim como domínio, contradomínio e imagem de uma função. Saber realizar o estudo do sinal de uma função. Determinar o domínio de uma função real. Objetivo 1
Para começo de conversa Na compra de um tecido, o preço a se pagar depende da metragem comprada, ou seja, o preço da compra está em função do comprimento do tecido comprado. Em um termômetro de mercúrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela coluna desse elemento químico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura é dada em função da altura do mercúrio contido em sua coluna central. São muitas as situações do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo de função, porém no estudo de funções, precisamos compreender alguns conceitos mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na próxima. Vamos começar nossos estudos?
yeixo das ordenadas Conhecendo a Linguagem das funções Sistema de coordenadas cartesianas Quando você envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir informações sobre o destinatário (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a mensagem. Essas informações são as coordenadas para a localização do destinatário. Em outras situações do dia a dia também utilizamos sistemas de coordenadas, como o nome de um bairro, o nome de uma rua e um número nessa rua que indica a localização de um domicílio, por exemplo. Um ponto sobre a superfície terrestre pode ser localizado também por dois números chamados de latitude e de longitude. Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas. Regime de capitalização O conceito do que chamamos hoje de coordenadas cartesianas já era utilizado por alguns matemáticos, quando René Descartes (1596-1650), ou Cartesius (em latim), o formalizou em sua obra La Géométrie (1637). Plano cartesiano Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano. O plano cartesiano, como você pode ver no gráfico 1, é formado pela união de dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O origem de ambos os eixos. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo OX. O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo OY. II Q º quadrante I Q º quadrante Eixo das abscissas x º quadrante º quadrante III Q IV Q Gráfico 1 Plano Cartesiano
Os eixos dividem um plano formando quatro ângulos retos. Cada uma dessas partes do plano é chamada de quadrante. Os quadrantes são enumerados no sentido anti-horário. Temos assim, iniciando do canto superior à direita, primeiro quadrante (I Q), segundo quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q). No plano cartesiano, como pode ser visto no gráfico 2, cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par ordenado (a; b) de números reais, indicados entre parênteses, que representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado por um par ordenado de números chamados de coordenadas do ponto. II Q y I Q b P(a;b) a x III Q IV Q Gráfico 2 Localização do ponto P (a; b) Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traçar uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela ordenada b, como pode ser visto no Gráfico 2. As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) é (0; 0), ou seja, os dois eixos se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no Gráfico 3, é (4; 3). A abscissa é 4 e a ordenada é 3. Indicamos o ponto por P (4; 3). O primeiro número indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem, para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no gráfico 3: II Q x < e y > y I Q x > e y > R(;) P(;) x S(;) T(;) x < e y < III Q x > e y < IV Q Gráfico 3 Sinais das coordenadas em cada quadrante
Observe com atenção: os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum quadrante; todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula; todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula; dois pontos são iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais. Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n. Veja o exemplo a seguir. Exemplo 1 O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo OY, pois tem abscissa nula. O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo OX, pois tem ordenada nula. y A(;) B(;) x Gráfico 4 Pontos A e B no plano cartesiano Os pontos A e B não se localizam sobre nenhum quadrante.
Praticando... 1 1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos: A (0; 0) B ( 5; 0) v C (0; 5) D (3; 2) E (4; 2) F (2; 4) G ( 2; 3) H ( 1; -4) I (3; 0) J (0; 3) x 2. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m 5) se localize sobre o eixo das abscissas. 3. Calcule o valor real de r para que o ponto D( r 2 ; 5) se localize sobre 5 o eixo das ordenadas. 4. Calcule os valores reais de t para que o ponto H 7 5 ; t 2 2 pertença ao 2º quadrante. 5. Calcule entre os números reais os valores de a e de b de modo que pontos M(a 3; 2) e N(2; b + 5) sejam iguais. Responda aqui
Produto cartesiano Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. AXB = {(x; y) x A e y B} exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como você pode ver a seguir. A B AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)} Figura 1 Diagrama do produto cartesiano AXB B A BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)} Figura Diagrama do produto cartesiano BXA A A AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)} Figura Diagrama do produto cartesiano AXA Matemática a11 7
B B BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)} Figura Diagrama do produto cartesiano BXB Há duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas é a representação por um diagrama, como fi zemos no exemplo 2 ou por uma representação em um plano cartesiano. Veja como fazer uma representação de AXB no plano cartesiano, no exemplo a seguir. exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. y F G H C D E C (;) D (;) E (;) F (;) G (;) H (;) Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7), (2; 7), (3; 7)}, como você pode observar no gráfico 5. x Gráfico Produto cartesiano AXB 8 Matemática a11
Praticando... 2 1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos destacados no plano cartesiano do gráfico 6. Ponto Abscissa Ordenada A B C D E F G H I J K L M N P R T H I D E y T J B R P C N G F T A x Gráfico 6 Pontos em um plano cartesiano K L M 2. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}. Responda aqui
Relação entre conjuntos Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em uma relação R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a A e b B. Uma relação de A em B também é chamada de relação binária de A em B. exemplo Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7), (3; 7)} é uma relação, pois é um subconjunto do produto cartesiano AXB. Observe que 1 A, 2 A, 3 A e 7 B. y (;)(;)(;) x Gráfico 7 A relação R 1 no plano cartesiano D(R ) Im(R ) A B Figura Diagrama de R 1 10 Matemática a11
Na relação R 1, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elemento de cada par ordenado de R 1 formam o domínio da relação, cuja notação é D(R 1 ). Ou seja, D(R 1 ) = {1; 2; 3} = A. Na relação R 1, o conjunto de partida coincide com o domínio da relação. Os segundos elementos de cada par ordenado de R 1 compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im (R 1 ). Ou seja, Im(R 1 ) = {7}. Que tal mais um exemplo? exemplo Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o diagrama da relação R 2 = {(x; y) x C e y D, onde y = x 2 }. 1º. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir seus elementos correspondentes no interior dessas linhas. C D Figura Diagrama de R 2 º. Passo: indicar com setas as correspondências entre os elementos do domínio da relação e os do conjunto-imagem. Observe que, na relação R 2, o domínio não coincide com o conjunto de partida. O conjunto de partida é C e o domínio de R 2 é D(R 2 ) = { 2, 0, 2}. O conjunto de chegada (ou contradomínio) é D e o conjunto-imagem é Im(R 2 ) = {0, 4}. Matemática a11 11
Praticando... 3 1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem em cada uma das relações R:A B a seguir, quando: a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) AXB b = a 2} b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB b = 2 a} c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB b = 2 a 2 } d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) AXB b = a 2 } e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) AXB b = a 2 1} Responda aqui 12
Funções no Plano cartesiano Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relação de A em B descrita por R 3 = {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}. Observe a representação dessa relação no diagrama (Figura 7). A B Figura 7 Diagrama de R 3 Note que todo elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B. Com essa característica especial, essa relação é chamada de função. Toda relação de A em B, em que cada elemento do conjunto A é também elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Uma das notações mais comuns para representar uma função de A em B, é: f: A B. Veja que nem todas as relações são funções, como você pode observar nos dois exemplos a seguir. exemplo Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R 4 = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} não é uma função em AXB, pois o valor 1 do domínio da relação está associado a dois valores distintos do contradomínio, que são 5 e 7. A B Figura 8 Diagrama de R 4 Matemática a11 1
exemplo 7 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R 5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} não é uma função em AXB, pois nem todos os elementos domínio da relação (o conjunto A) estão associados a elementos do contradomínio (o conjunto B). Veja que o valor 3 (do domínio) não tem correspondente no contradomínio. A B Figura Diagrama de R 5 São três conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. O conjunto-imagem é o conjunto de valores que efetivamente se corresponde com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do contradomínio. Uma função f: A B continua sendo uma relação, por isso os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam válidos. Ou seja: se R é uma função f: A B, temos que: o domínio da relação R e da função f é o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A; O contradomínio da relação R e da função f é o conjunto B, ou seja, CD(R) = CD(f) = B. Agora observe os exemplos a seguir. 1 Matemática a11
Exemplo 8 Seja a função f: R R definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é a imagem de x = 2? O que precisamos determinar é o valor de f( 2), ou seja, o valor da função quando x = 2. Logo, basta substituir o valor de x por 2 e calcular o valor numérico da expressão resultante. Assim: f ( 2) = 2 + 2 f( 2) = 0. Ou seja, a imagem de 2 é 0. Exemplo 9 Seja a função f: R R definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é o elemento do domínio cuja imagem é igual a 2? O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor de x que tem f(x) igual a 2, ou seja: f(x) = 2 x + 2 = 2 x = 2 2 x = 4 O valor do domínio que tem imagem 2 é x = 4. Exemplo 10 O aluguel de imóveis teve reajuste anual de 12%. Qual é a lei de formação da função que calcula o novo valor após o reajuste do aluguel de imóveis? Quanto se pagará mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior? 15
Podemos calcular o valor após o reajuste multiplicando a taxa de reajuste (12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor original x. Assim, a lei de formação da função do reajuste do aluguel é f(x) = 0,12x + x f(x) = 1,12x. Calcular o novo valor do aluguel é o mesmo que calcular o valor de f(300), ou seja, é a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336. O valor a ser pago no novo contrato é R$ 336,00. Praticando... 4 1. Determine a imagem de x = 3 na função real f(x) = x 2 3 2. Qual é o elemento do domínio da função f: R R, f(x) = x + 3 que tem imagem igual a 2? 3. Na função f: R R, definida pela lei de formação f(x) = x 5, determine o valor de f 3. 2 4. Considere os conjuntos A = { 3, 1, 0, 1, 3} e B = { 9, 3, 0, 1, 3, 27}. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função f ={(x; y) com x A e y B y = 3x 2 }. 5. Certo modelo de automóvel tem depreciação anual de preço de 10% sobre o preço de compra x. Determine a lei de formação para a função f que calcula o valor do automóvel após depreciação do preço ao final de t anos.. 16
Responda aqui f(x) Domínio de uma função real e outras características Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação uma lei que associa elementos do domínio da função a elementos do contradomínio da função. Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a função f associa ao elemento x. Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu, entre outros trabalhos, a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função f de x. 17
exemplo 11 A função f: R R, tal que f(x) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio. R R Figura 10 Diagrama de f(x) = x + 1 exemplo 1 A função f: R R, tal que f(x) = x 2 é a função que relaciona todo o valor de x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x 2 ) no contradomínio. R R Figura 11 Diagrama de f(x) = x 2 18 Matemática a11
Quando queremos garantir que uma relação seja função, devemos definir para essa relação um domínio no qual sua lei de formação tenha sentido, ou seja, um domínio no qual, através dessa lei de formação, cada um dos seus elementos tenha um único correspondente no contradomínio. Em geral, quando não há indicação em contrário, o domínio de uma função f é um subconjunto de R, a não ser nos casos que isso está explicitamente indicado de outra forma. Toda função que tem como domínio um subconjunto de R é chamada de função real. É possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de formação dessa função. Quando a variável aparece no denominador ou no radicando de um radical de índice par, na lei de formação da função, temos que lembrar quais são as condições para que essa lei de formação resulte em um número real. Veja mais alguns exemplos: Exemplo 13 Determine o domínio da função real f(x) = x + 1 5 x. Como na expressão x + 1, o denominador tem que ser diferente de zero, 5 x temos: 5 x 0 x 5 x 5 Logo, o domínio da função real f(x) = x + 1 5 x é D (f) = {x R x 5}. Exemplo 14 Determine o domínio da função real f(x) = x 9. Para que o radical x 9 resulte em um número real, o radicando deve ser um número não negativo, ou seja, x 9 0 x 9 A função real f(x) = x 9 tem como domínio o conjunto: D(f)={x R x 9} 19
Exemplo 15 Determine o domínio da função real f(x) = x 2 x 4. Como o radical x 4 encontra-se no denominador, o radicando x 4 não pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x 4 > 0 x > 4. Assim, D(f) = {x R x > 4} é o domínio da função real f(x) = x 2 x 4. Cada função, nos exemplos a seguir, tem características distintas. As funções apresentam a mesma lei de formação, mas o domínio não é o mesmo. Observe qual é o conjunto imagem em cada exemplo: Exemplo 16 A função f: R R, definida pela lei de formação f(x) = x 2, apresenta D(f) = R, CD(f) = R e Im(f) = R +. Exemplo 17 A função f: [0,2] R, definida pela lei de formação f(x) = x 2, apresenta D(f) = [0,2], CD(f) = R e Im(f) = [0,4]. 20
Praticando... 5 1. Dada a função f: R R, tal que f(x) = 3 x, calcule: 1 a) f( 2) b) f( 1) c) f(0) d)f 2 2. Observe o gráfico da função f: A B, em que A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 3, 2, 1, 0, 1}. Determine: a) f( 2) b) f( 1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f) 2f( 2) f(2) + f( 1) 3. Considere: f: A B, em que A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 3, 2, 1, 0, 1}. Qual o valor do domínio de f possui como imagem o número 4: 4. Determine os valores do domínio da função f: R * R, definida pela lei de formaçãof(x) = x2 + 1 x que possui imagem igual a 2. 5. Determine o domínio de cada função real a seguir: a) f(x) = 3x 5 2 4x b) f(x) = 3x + 15 c)f(x) = 3x + 5 4 2x Responda aqui 21
Estudo de sinal de uma função Sendo uma função de domínio D, dizemos que: f é positiva para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) > 0; f é negativa para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) < 0; f é nula para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) = 0. Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento. Exemplo 18 Dada a função f: R R, definida pela lei de formação f(x) = 5 x, observe que o sinal da função para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x = 6 positivo. Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar para quais valores do domínio a função é positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir. 22
Exemplo 19 Considere a função f: R R, tal que f(x) = x 4. Determine o estudo do sinal da função. Para determinar para quais valores do domínio a função assume cada um dos sinais, basta substituir a lei de formação nas seguintes expressões: f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0. Assim: f(x) > 0 x 4 > 0 x > 4 f(x) = 0 x 4 = 0 x = 4 f(x) < 0 x 4 < 0 x < 4 Ou seja, o estudo do sinal da função é: f(x) > 0, quando x > 4 f(x) = 0, quando x = 4 f(x) < 0, quando x < 4 Praticando... 6 1. Determine o sinal da função f: R R, f(x) = x 5, para a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6 2. Elabore o estudo de sinal da função f: R R, definida pela lei de formação f(x) = x 3. 2 23
Responda aqui Agora que você resolveu todas as atividades, que tal resolver a lista de exercícios a seguir? 24
1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m 5; 2m + 1) se localiza no terceiro quadrante são a) todos os números reais menores que 5 3. b) todos os números reais maiores que 5 3. c) todos os números reais menores que 1 2. d) todos os números reais maiores que 1 2. m 7. O valor real de m para que o ponto A ; 1 pertença ao eixo das 2 2 ordenadas é a) 1. b) 7. c) 2. d) -7. 2. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 36) pertença ao eixo das abscissas são a) 1 e 1. b) 2 e 2. c) 3 e 3. d) 5 e 5. 8x 12. O domínio da função real f(x) = é formado por todos os 5x 1 números reais a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2. c) maiores que 0,2. d) menores que 0,2. REVISÃO. Um termômetro de parede apresenta as indicações de temperatura conforme o quadro a seguir. A lei de formação da função que relaciona a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercúrio do termômetro é exercícios a) f(x) = 8x 5 b) f(x) = 8 4x c) f(x) = 8x 12 5x 1 d) f(x) = 5x 12 Temperatura em Altura da coluna graus Celsius em milímetros 0 4 5 12 25 44 30 52 Matemática a11
Resposta Matemática a11
Nesta aula, você aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas, na localização de pontos; a representar relações entre conjuntos através de um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma relação entre conjuntos; a conceituar e identificar funções, o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma função e analisar o sinal de uma função. Auto-avaliação 1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos: A (0; 4) B ( 6; 0) C (0; 0) D (3; 2) E (5; 3) F ( 1; 6) G ( 2; 3) H (7; 4) I (5; 0) J (0; 6) 2. Calcule o valor real de m para que o ponto C sobre o eixo das abscissas. 7 5 ; 3 + 2m se localize 2 3. Determine o valor real de r para o ponto D (5;3r 2) se localizar sobre o eixo das ordenadas. 5 4. Determine os valores reais de a e de b de modo que: ( 5; 2a + 8) = (b + 5; 2). 5. Determine a imagem de x = 3 na função real f(x) = 2 x. 6 6. Dada a função f: R R tal que f(x) = 5 x, calcule: 1 3f( 5) a) f( 3) b) f(0) c) f d) 2 f(2) + f( 1) 7. Determine o sinal da função f: R R, 2 x f(x) =, para 6 a) x = 1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6 27
yeixo das ordenadas Para Consulta Sistema de Coordenadas Cartesianas II Q º quadrante I Q º quadrante Eixo das abscissas x º quadrante º quadrante III Q IV Q Gráfico 1 Plano Cartesiano Sinais das coordenadas em cada quadrante II Q x < e y > y I Q x > e y > R(;) P(;) x S(;) T(;) x < e y < III Q x > e y < IV Q Gráfico 3 Sinais das coordenadas em cada quadrante Produto Cartesiano Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB = {(x; y) x A e y B}. Relação entre conjuntos Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Na relação R:A B, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domínio da 28
relação, cuja notação é D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado de R compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im(R). Funções no Plano Cartesiano Toda relação de A em B, onde cada elemento do conjunto A é também elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: Uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Notação: f: A B. São três os conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio. O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se correspondem com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do contradomínio. Estudo de sinal de uma função Sendo uma função de domínio D, dizemos que: f é positiva para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) > 0; f é negativa para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) < 0; f é nula para um elemento x, com x D, se, e somente se, f(x) = 0. Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento. 29
Referências BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula: ensino médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 43-70. DANTE, Luiz Roberto. Funções. In: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2003. p. 30-48. PAIVA, Manoel. A linguagem das funções. In: PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2003. p. 56-67. PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. Ensino médio: relações e funções. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/fu ncoes/ funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008. WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/fun%c3% A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008. Anotações 30
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