Centro de Massa e Momento Linear Disciplina: Mecânica Básica Professor: Carlos Alberto
O Centro de Massa O centro de massa de um sistema de partículas é o ponto que se move como se (1) toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e (2) todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto. Sistema de partículas cm
O Centro de Massa Sistema de partículas Se x1 = 0 m1 = m 2 m1 > m2 cm cm
O Centro de Massa Sistema de partículas Podemos generalizar de duas partículas para um sistema de muitas partículas Em 3D (DEFINIÇÃO: CENTRO DE MASSA)
O Centro de Massa Corpos maciços Para cada componente Simetrias
Exemplo 9.1: (Halliday, p220) Três partículas de massa m 1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse sistema? cm
Exemplo 5.15: (Tipler, p148) Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como mostrado na figura abaixo. 0,2 m 0,2 m 0,4 m 0,8 m
Exemplo 5.15: (Tipler, p148) Encontre o centro de massa de uma folha uniforme de madeira compensada, como mostrado na figura abaixo. 0,2 m y m2 0,5 0,2 m1 0,4 0,2 m 0,4 m 0,7 x 0,8 m
Exemplo 9.2: (Halliday, p221) A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa. y x Placa P
Exemplo 9.2: (Halliday, p221) A figura mostra uma placa de metal uniforme P de raio 2R da qual um disco de raio R foi removido em uma linha de montagem. Usando o sistema de coordenadas xy da figura, localize o centro de massa da placa. y Placa Composta C=R+P CMR CMC CMP x
Encontrando o centro de massa por integração Barra uniforme y dm = λ dx x dx z
Encontrando o centro de massa por integração Anel semicircular y ds = R dθ dθ θ x
Movimento do centro de massa Derivando os dois lados: Derivando novamente os dois lados: 0
Movimento do centro de massa O centro de massa se um sistema se move como uma partícula de massa M = Σm sob a influência da força externa resultante que atua sobre o sistema. Movimento do CM Movimento do corpo (ou sistema de partículas) Movimento das partículas Em Relação ao CM
Exemplo 5.16: (Tipler, p152) Um projétil é disparado em uma trajetória tal que o faria aterrizar 55 m adiante. No entanto, ele explode no ponto mais alto da trajetória, partindo-se em dois fragmentos de mesma massa. Imediatamente após a explosão, um dos fragmentos possui uma velocidade instantânea igual a zero e, depois cai na vertical. Onde aterriza o outro fragmento? Despreze a resistência do ar. cm cm
Exemplo 8.14: (Young, p260) James está a uma distância de 20,0 m de Ramon, e ambos estão em pé sobre a superfície lisa de um lago congelado. Ramon possui massa de 60,0 kg e James possui massa de 90,0 kg. Na metade da distância entre os dois homens, uma caneca contendo a bebida favorita deles está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Quando James se desloca 6,0 m no sentido da caneca, em que sentido se desloca Ramon e qual é a distância percorrida por ele?
Exemplo 5.17: (Tipler, p153) Pedro (massa de 80 kg) e Davi (Massa de 120 kg) estão em um barco a remo (massa de 60 kg), em um lago calmo. Davi está próximo à proa, remando, e Pedro está na popa, a 2,0 m de Davi. Davi se cansa e para de remar. Pedro se oferece para remar, e, quando o barco atinge o repouso, eles trocam de lugar. De quanto o barco se move, quando eles trocam de lugar? (Despreze qualquer força horizontal exercida pela água)
Momento linear (quantidade de movimento) Para uma partícula: (DEFINIÇÃO) No SI, o momento linear tem como unidade kg m/s (quilograma vezes metro por segundo). 2ª Lei de Newton A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual a força resultante que atua sobre a partícula e tem a mesma orientação que essa força. Para um sistema de partículas:
Colisão e Impulso Colisão simples x (DEFINIÇÃO DE IMPULSO) (TEOREMA DO MOMENTO LINEAR E IMPULSO) No Sistema Internacional (SI), a unidade da grandeza impulso é N s (newton vezes segundo). Como N = kg m/s2, temos:
Colisão e Impulso Colisão simples Se a função é conhecida, podemos calcular integrando a função. Se temos um gráfico de em função de t, podemos obter J calculando a área entre a curva e o eixo t. Podemos definir uma força média como sendo a força constante capaz de produzir o mesmo impulso da força de intensidade variável. Isto é:
Exemplo 8.5: (Tipler, p.250) Com um eficiente golpe de karatê, você parte um bloco de concreto. Seja 0,70 kg a massa de sua mão, que se move a 5,0 m/s quando atinge o bloco, parando 6,00 mm além do ponto de contato. (a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre sua mão? (b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a força média que o bloco exerce sobre sua mão?
Exemplo 8.2: (Young, p.251) Suponha que você jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra uma parede. Ela colide com a parede quando está se movendo horizontalmente da direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente da esquerda para direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da força resultante sobre a bola durante sua colisão com a parede. (b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache a força horizontal média que a parede exerce sobre a bola durante a colisão. Comumente, o intervalo de tempo durante a qual uma bola de tênis permanece em contato com uma raquete é aproximadamente igual a 0,01 s. A bola visivelmente se achata por causa da enorme força exercida pela raquete.
Exemplo 9.5: (Halliday, p230) A figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida ao colidir com um muro de proteção. Antes da colisão o carro está se movendo com uma velocidade escalar vi = 70 m/s ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro. Após a colisão está se movendo com velocidade escalar vf = 50 m/s, ao longo de uma linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A massa m do piloto é de 80 kg. (a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido após a colisão? (b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força média que o piloto experimenta durante a colisão?
Questão 33: (Halliday, p250) Quando o cabo arrebenta e o sistema de segurança falha, um elevador cai em queda livre de uma altura de 36 m. Durante a colisão no fundo do poço do elevador a velocidade de um passageiro de 90 kg se anula em 5,0 ms (suponha que não há ricochete nem do passageiro nem do elevador.) Quais são os módulos (a) do impulso e (b) da força média experimentados pelo passageiro durante a colisão? Se o passageiro pula verticalmente para cima com uma velocidade de 7,0 m/s em relação ao piso do elevador quando o elevador está prestes a se chocar com o fundo do poço, quais são os módulos (c) do impulso e (d) da força média (supondo que o tempo que o passageiro leva para parar permaneça o mesmo)?
Conservação do momento linear Vimos que Sistema isolado Força resultante nula Sistema fechado # de partículas constante Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total do sistema não pode variar. Lei de Conservação do Momento Linear Não confunda Momento e Energia!!! Momento tem componentes x, y e z!
Exemplo 9.6: (Halliday, p.232) Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza com velocidade v = 4,0 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m 1 = 2,0 kg, se move no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m 2?
Exemplo 8.4: (Young p.255) Um atirador segura um rifle de massa m R = 3,0 kg frouxamente de modo que a arma possa recuar livremente ao disparar. Ele atira uma bala de massa m B = 5,0 g horizontalmente com velocidade relativa ao solo dada por v B = 300 m/s. Qual é a velocidade de recuo do rifle? Quais são os valores da energia cinética final e do momento linear total final da bala e do rifle?
Exemplo 9.8: (Halliday, p.233) Ao explodir, uma cabeça-de-negro colocada no interior de um coco vazio de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito, quebra o coco em três pedaços, que deslizam sobre a superfície. Uma vista superior é mostrada na figura abaixo. O pedaço C de massa 0,30M, tem uma velocidade escalar final vfc = 5,0 m/s. (a) Qual é a velocidade do pedaço B, de massa 0,20M? (b) Qual é a velocidade escalar do pedaço A?
Exemplo 8.6: (Young, p.257) Dois robôs em combate deslizam sobre uma superfície sem atrito conforme mostra a figura 'a'. O robô A, com massa 20 kg, move-se com velocidade 2,0 m/s paralelamente ao eixo Ox. Ele colide com o robô B, com massa de 12 kg, que está inicialmente em repouso. Depois da colisão, verifica-se que a velocidade do robô A é de 1,0 m/s com uma direção de faz um ângulo α = 30º com a direção inicial (figura 'b'). Qual é a velocidade final do robô B?
Momento e energia cinética em colisões Antes Depois Energia Cinética Conservada Colisão Elástica Perda de Energia Cinética Colisão inelástica Perda Máxima Perfeitamente Perfeitamenteinelástica inelástica
Colisões inelásticas em uma dimensão Colisão inelástica unidimensional Colisões perfeitamente inelásticas unidimensionais Antes Depois
Exemplo 9.9: (Halliday, p.236) O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade dos projéteis antes que os dispositivos eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na figura abaixo era composta por um bloco de madeira de massa M = 5,4 kg, pendurado por duas cordas compridas. Uma bala de massa m = 9,5 g é disparada conta o bloco e sua velocidade se anula rapidamente. O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro de massa subindo uma distância h = 6,3 cm antes de o pêndulo parar momentaneamente no final de uma trajetória em arco de circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da colisão?
Exemplo 8.9: (Young, p.261) Um carro compacto com massa de 100o kg está se deslocando do sul para o norte em linha reta a uma velocidade de 15 m/s quando colide contra um caminhão de massa 2000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Felizmente, todos os ocupantes usavam cinto de segurança e ninguém se feriu, porém os veículos se engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um único corpo. A seguradora pediu para você calcular a velocidade dos carros unidos após a colisão. Qual é a sua resposta?
Colisões Elásticas Antes Depois Pela conservação do momento: Pela conservação da energia cinética: Não é Solúvel!!!
Colisões elásticas em uma dimensão Casos particulares: i) Massas iguais Trocam velocidade ii) Alvo em repouso (a) (b)
Exemplo 8.13: (Tipler, p.258) Um bloco de 4,0 kg, movendo-se para direita a 6,0 m/s, sofre uma colisão elástica frontal com um bloco de 2,0 kg que se move para a direita a 3,0 m/s (figura). Encontre as velocidades finais dos dois blocos.
Exemplo 8.12: (Young, p.266) A situação descrita na figura abaixo é uma colisão elástica entre dois discos de hóquei sobre uma mesa de ar sem atrito. O disco A possui massa m A = 0,500 kg e o disco B possui massa mb = 0,300 kg. O disco A possui velocidade inicial de 4,0 m/s no sentido positivo do eixo Ox e uma velocidade final de 2,0 m/s cuja direção é desconhecida. O disco B está inicialmente em repouso. Calcule a velocidade final vb2 e os ângulos α e β indicados na figura.
Exemplo 8.5: (Young, p.256) Dois cavaleiros se deslocam em sentidos contrários em um trilho de ar linear sem atrito (figura 'a'). Depois da colisão (figura 'b'), o cavaleiro B se afasta com velocidade final de +2,0 m/s (figura 'c'). Qual a velocidade final do cavaleiro A?
Exemplo 8.7: (Young, p.259) Suponha que na colisão descrita no Exemplo 8.5 os dois cavaleiros não sejam rebatidos, mas permaneçam colados após a colisão. As massas e as velocidades são as mesmas do Exemplo anterior. Calcule a velocidade final v 2x, comum dos dois corpos depois da colisão, e compare a energia cinética inicial com a energia cinética final. Exemplo 8.10: (Young, p.264) Repetimos a experiência do trilho de ar do Exemplo 8.5, porém agora adicionamos para-choques de molas ideais nas extremidades dos cavaleiros para que as colisões sejam elásticas. Quais são as velocidades de A e de B depois da colisão?