Vinte um divisores naturais Série Problemas e soluções Objetivo 1. Entender e resolver um problema que envolve números primos e a fatoração de números naturais.
Vinte e um divisores naturais Série Problemas e Soluções Conteúdos Teorema fundamental da aritmética, números primos. Duração Aprox. 10 minutos. Objetivo 1. Entender e resolver um problema que envolve números primos e a fatoração de números naturais Sinopse Um problema de matemática básica é apresentado e resolvido passo a passo na conversa de dois amigos. O programa exige concentração e estimula a abstração ao resolver um problema elaborado de aritmética. Material relacionado Áudios: Triângulo ímpar; Experimentos: Morto ou vivo;
Introdução Sobre a série A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns comentários ou informações adicionais. Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor aproveitar o conteúdo. Sobre o programa O programa apresenta, interpreta e resolve o seguinte problema: Encontre o menor número natural que tem exatamente 21 divisores naturais. O uso de divisores, de números primos e suas combinações são os fundamentos da álgebra e é usado automaticamente em todas as transações criptografadas de cartões de créditos, números de CPF etc. Este é um assunto de primeiro semestre do ensino médio quando trata de conjuntos numéricos e o teorema fundamental da aritmética dos números naturais. O resultado do problema é o número 576, mas o procedimento para a sua solução é a parte mais relevante. Vinte e um divisores naturais 3/6
Sugestões de atividades Antes da execução A habilidade de fatorar números é útil para dividir coisas em várias maneiras (divisores). Por exemplo, para carregar seis pacotes, você pode carregar os seis de uma vez, carregar dois pacotes em três viagens, três pacotes em duas viagens ou um pacote por viagem. Isto é, há quatro maneiras de fazer o carregamento. Estas maneiras estão relacionadas com os divisores do número 6. Os divisores de 6 são: 6, 3, 2 e 1. Desta forma sugerimos uma atividade prática que envolve seis pequenos objetos que os alunos devem carregar de um local para o outro. Isto pode ser feito por um grupo que apresenta para toda a classe ou por vários grupos da turma. Durante a execução Incentivar os alunos a anotarem as informações à medida que são faladas no primeiro bloco. Durante o intervalo, desafiar os alunos para resolverem o problema. Assim que resolverem o problema ou se um tempo estabelecido se esgotar, pode-se apresentar o segundo bloco do programa, que contém a solução e algumas informações e curiosidades. Depois da execução O programa trata de algumas curiosidades dos números naturais. Sugerimos uma pesquisa em termos dos termos e nomes mencionados Vinte e um divisores naturais 4/6
no programa, como por exemplo, o que são números primos irmãos, primos sensuais etc. Vejamos como a fatoração de um número natural em primos e o Princípio Fundamental da Contagem fornecem um método para determinar o número de divisores positivos de um número natural. Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo Se uma decisão D 1 pode ser tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D 2 pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se tomar consecutivamente as decisões D 1 e D 2 é igual a pq. Se a fatoração em primos do número n é, que é única pelo Teorema Fundamental da Aritmética, então qualquer número da forma, com,,...,, é um divisor do número n. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos números deste tipo. Por outro lado, se um número m divide o número n, então n=km, sendo k natural. Agora, considerando um número primo p que divide o número m, como n=km, então p também divide n. Assim para algum i, com. Além disso, se divide m, também divide n. Assim,. Portanto, os divisores primos do número m pertencem ao conjunto e, na sua fatoração, que existe e é única pelo Teorema Fundamental da Aritmética, só aparecem primos deste conjunto. Logo, m é um dos números do tipo,,...,., com Assim, podemos concluir que o número de divisores de n é exatamente. Número de divisores positivos de um número natural O número de divisores positivos de um número natural é igual ao produto dos expoentes dos números que aparecem em sua fatoração, Vinte e um divisores naturais 5/6
adicionando a cada um deles uma unidade, ou seja, se a fatoração do número é dada por igual a., o número de divisores do número é Com estes resultados formalizados, podes provar que 576 é o menor número que tem exatamente 21 divisores. O problema dá como informação que o produto deve ser 21. Mas 21 por sua vez só pode ser fatorado da sequinte forma: 21=3 x 7. Assim temos duas informações que são traduzidas nas seguintes equações: k 1 +1=3 e k 2 +1=7 de onde concluímos que as duas potências para a fatoração do número proposto são k 1 =2 e k 2 =6. Não sabemos ainda quais seriam os primos que seriam as bases para estas potências. Mas o problema pede o menor número possível que tenha 21 divisores. Desta forma vamos usar os dois menores números primos possíveis, a saber, 2 e 3. Devemos então testar os dois casos: 2 2 x3 6 = 2916 e 2 6 x3 2 = 576. Portanto 576 é o número procurado, pois é o menor entre os dois casos. É interessante observar que 576 é um quadrado perfeito: 576=24 2. Ficha técnica Autor Samuel Oliveira, Claudina Rodrigues, Maria Lucia de Queiroz, Eliane Rezende Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira Vinte e um divisores naturais 6/6