Profa. Andréa Cardoso UNIFAL-MG MATEMÁTICA-LICENCIATURA 2015/1

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Aula 29: O cálculo de áreas 15/06/2015 2

Cálculo de área na Antiguidade Antes do século XVII, estudavam-se figuras e sólidos geométricos com lados retos e faces planas. Conheciam-se algumas fórmulas para se calcular áreas. 15/06/2015 3

Cálculo de área: Quadratura do Círculo Problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo com régua e compasso. Está relacionado à constante π, que Ferdinand Lindemann (1852-1939) provou ser um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. A transcendência de π estabelece a impossibilidade 15/06/2015 4 de se resolver o problema

Cálculo de área na Antiguidade Figuras mais complexas eram decompostas em triângulos e retângulos, e a área obtida pela soma das áreas destas figuras. Por exemplo, as Lúnulas de Hipócrates 15/06/2015 5

Quadratura da parábola É um problema de comparação da área limitada pela parábola e por um segmento de reta com a área de um triângulo tendo este segmento de reta como base. Arquimedes demonstrou que: Qualquer segmento limitado por uma parábola e uma corda OQ é igual a quatro terços do triângulo que tem a mesma base que o segmento e mesma altura que ele. 15/06/2015 6

Quadratura da parábola Resultado: Qualquer segmento limitado por uma parábola e uma corda AC é igual a quatro terços do triângulo que tem a mesma base que o segmento e mesma altura que ele. Arquimedes demonstra o resultado pelo clássico método da exaustão, demonstra que duas grandezas A e B são iguais mostrando-se que não se pode ter A>B e A<B. 15/06/2015 7

Quadratura da parábola Os gregos utilizavam diferentes tipos de figuras retilíneas para aproximar uma área curvilínea, como os triângulos utilizados por Arquimedes na quadratura da parábola. 15/06/2015 8

Cálculo de área no século XVII Bonaventura Cavalieri (1598-1647) discípulo de Galileu, desenvolveu um método geométrico para calcular áreas em 1635. calculava áreas usando a decomposição de uma figura. É considerado o precursor do Cálculo Integral. 15/06/2015 9

Argumentos de Cavalieri Cavalieri desenvolveu uma técnica baseada na decomposição de uma figura em tiras indivisíveis. Para ele, uma linha é composta por pontos um plano é feito de linhas um sólido é composto de planos 15/06/2015 10

O método de Cavalieri A área de um figura seria a soma de um número indefinido de segmentos de reta paralelos (os indivisíveis de área). O volume de um sólido seria a soma de um número indefinido de áreas paralelas os indivisíveis de volume). 15/06/2015 11

O princípio de Cavalieri Se dois sólidos têm a mesma altura e se as seções obtidas por cortes paralelos às suas bases estão, sempre, na mesma razão, os volumes dos sólidos estão um para o outro nesta mesma razão. Cavalieri usou este princípio para demonstrar que o volume do cone é 1/3 do volume do cilindro circunscrito. 15/06/2015 12

O princípio de Cavalieri Após estudar A Geometria de Descartes, Cavalieri usou coordenadas para calcular a quadratura da parábola, utilizando seu método. A praticidade do método fez com que fosse amplamente adotado pela comunidade científica. O método evitava os procedimentos infinitos indiretos usados pelos gregos. 15/06/2015 13

Outros pensadores utilizaram o método dos indivisíveis, concebendo a área como uma soma de retângulos infinitamente pequenos, em vez de uma soma de linhas, como: Fermat. Gilles Personne de Roberval (1602-1675) Pascal (1623-1662) Outras contribuições para o cálculo de área Roberval desenvolveu uma técnica para encontrar a tangente e a área delimitada por uma curva. (ciclóide) 15/06/2015 14

Nova maneira de cálculo de áreas Desenvolve-se um método sistemático que usava retângulos infinitamente finos para se obter áreas de figuras delimitadas por curvas, por meio de aproximações, que poderia ser melhorada aumentando-se a quantidade de retângulos. Fermat e Pascal, exemplificam o método dos indivisíveis na quadratura da parábola. 15/06/2015 15

Exemplo: quadratura da parábola Considere a parábola y = x 2 Bases d d d d Alturas d 2 4d 2 9d 2 n 2 d 2 Áreas d 3 4d 3 9d 3 n 2 d 3 Área d 3 + 4d 3 + 9d 3 + + n 2 d 3 Total S = d 3 1 + 2 2 + + n 2 = OB 3 1 3 + 1 2n + 1 6n 2 n (n + 1)(2n + 1) 6 S = OB3 3 15/06/2015 16

Cálculo de área após o século XVII Apesar da Matemática antiga ser capaz de obter a área de figuras planas delimitadas por segmentos de reta e algumas curvas, eram apenas casos particulares. O Cálculo estabelece um método geral para o cálculo de áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. 15/06/2015 17

Cálculo de área após o século XVII Com a nova matemática começou-se a resolver problemas onde as figuras passam a ter lados e faces curvas; Estudam-se grandezas que variam instantaneamente com o tempo; 15/06/2015 18

Cálculo de área após o século XVII Já não se quer apenas encontrar a raiz de uma equação, mas encontrar o valor máximo de uma função; Passa-se de uma visão estática da geometria euclidiana para o estudo do movimento e da variação. 15/06/2015 19

Referências ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012. SANTOS, A. R.; BIANCHINI, W. Aprendendo Cálculo com Maple. Rio de Janeiro: LTC, 2002. SEIXAS, A. Brincando com Euclides: o infinitamente divisível nas proposições 7 e 8 do elemento 2. Revista da Universidade Vale do Rio Verde, v. 9, n.2, p.143-153, 2011. 15/06/2015 20