SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas a partir da página seguinte não consideraram o centímetro como unidade. De facto, entende-se que o objetivo da consulta das soluções dos exercícios, na perspetiva do estudante, deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. De qualquer forma, considera-se relevante informar que a escala utilizada nas resoluções apresentadas foi de 1 / 2, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno corresponderá 0,5 cm nestas soluções. 13 PARALELISMO 1. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das retas p e p, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma reta de perfil têm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D também têm a mesma abcissa. Sobre a posição relativa das duas retas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes podem ser paralelas ou enviesadas. Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão, também elas, complanares. Recorreu-se a duas retas auxiliares, as retas r e s. A reta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A reta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As retas r e s não são complanares (não são paralelas nem con correntes), pelo que p e p' não são complanares logo, não são paralelas. 2. As projeções de p' determinaram-se imediatamente. No entanto, a reta p não fica totalmente definida, pois necessitamos de mais um ponto da reta (para além de M) para a definirmos. Como as retas p e p são paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas retas concorrentes com p e p serão igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma reta do plano definido pelas retas p e p a reta r, que está definida por A e M (que são os pontos de concorrência de r com p e p, respetivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra reta, a reta s, paralela à reta r e concorrente com a reta p no ponto B a reta s está definida por um ponto e uma direção e é complanar com as retas r e p. A reta s terá, também, de ser complanar com a reta p, pelo que, não sendo paralela a esta, será necessariamente concorrente o ponto N é o ponto de con corrência das retas s e p. A reta p, definida por M e N, é necessariamente paralela à reta p. 3. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções das duas retas, que estão coincidentes (as projeções), uma vez que as duas retas se situam no mesmo plano de perfil. Para averiguar o paralelismo entre as duas retas, na presente situação é mais conveniente recorrer ao rebatimento do plano de perfil que contém as duas retas. O plano π é o plano de perfil que contém as retas p e p. Efetuou-se o rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). Rebateram-se os pontos que definem as duas retas, obtendo-se p r (definida por F r e E r ) e p r (definida por M r e N r ). Em rebatimento observa-se que p r e p r são paralelas, pelo que, no espaço, as retas p e p são necessariamente paralelas. Note que este exercício poderia ser resolvido com o recurso, por exemplo, a uma mudança do diedro de projeção. 1

4. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, desenhou-se a projeção frontal da reta r r 2 passando por P 2 e fazendo, com o eixo X, o ângulo pedido. Para a reta r ser paralela ao plano ρ, terá de ser paralela a uma reta do plano. Para tal, recorreu-se a uma reta auxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela à reta r s 2 é paralela a r 2. A reta s está definida pelos seus traços (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, conduziu-se, por P 1, a projeção horizontal da reta r (r 1 ), paralela a s 1. A reta r é paralela ao plano ρ, pois é paralela a uma reta do plano (a reta s). 5. Em primeiro lugar representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, para determinar as projeções da reta h, paralela a α, é necessário que h seja paralela a uma reta do plano, reta essa que terá, necessariamente, de ser uma reta horizontal (de nível). O traço horizontal do plano é uma reta horizontal (de nível) do plano com cota nula, pelo que, para resolver o exercício, basta que a reta h, passando ponto P, seja paralela a h α a reta h fica, assim, paralela a uma reta do plano, pelo que é paralela ao plano. 6. Em primeiro lugar representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. Para que a reta m seja paralela ao plano θ, tem de ser paralela a uma reta do plano. Uma vez que o plano θ é projetante frontal (projeta todas as suas retas e pontos no Plano Frontal de Projeção, no seu traço frontal) qualquer reta do plano tem necessariamente a sua projeção frontal sobre f θ, sendo que a sua projeção horizontal pode ter uma posição qualquer, à exceção da vertical. Assim, para que m seja paralela ao plano θ, basta que m 2 seja paralela a f θ, podendo m 1 ter uma posição qualquer. Sublinha-se que o facto de m 2 ser paralela a f θ garante que a reta m é necessariamente paralela a uma reta qualquer do plano θ. 7. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto C, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano contenha o ponto C, o ponto C tem de pertencer a uma reta do plano. Por outro lado, para que o plano α seja paralelo à reta r, tem de conter uma reta paralela à reta r. Assim, há que conduzir, por C, uma reta paralela à reta r, que será uma reta do plano α a reta s. Determinaram-se os traços da reta s, pois os traços da reta têm de estar sobre os traços homónimos do plano (condição para que uma reta pertença a um plano). Em seguida, pelo traço frontal de s conduziu-se f α, com o ângulo pretendido (f α está definido por um ponto e uma direção) h α é concorrente com f α sobre o eixo X e contém H, o traço horizontal de s (h α está definido por dois pontos). O plano α é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano α contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 2

8. Ver relatório do exercício anterior. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de ρ, que são retas fronto-horizontais. O plano ρ é paralelo a r, pois contém uma reta paralela a r (a reta s). O plano ρ contém o ponto C, pois C pertence a uma reta do plano (a reta s). 9. Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, por N conduziu-se uma reta f, paralela a f, e determinou-se H, o seu traço horizontal (ver relatório do exercício 7). O plano δ tem os seus traços coincidentes, pelo que f δ e h δ têm a mesma direção (na folha de papel). Por outro lado, f δ é paralelo a f, pois retas frontais de um plano são paralelas entre si. Assim, por H conduziu-se h δ, com a direção de f δ (paralelo a f e f ) f δ é concorrente com h δ sobre o eixo X e é paralelo a f e f, pelo que f δ h δ. O plano δ é paralelo à reta f e tem os seus traços coincidentes. 10. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h, pelas suas projeções, e a projeção horizontal da reta r, em função dos dados. Em seguida, atendendo a que a reta r é paralela ao β 2/4, pelo que tem as suas projeções paralelas entre si, desenhou-se r 2, a projeção frontal da reta r, passando por P 2. Em seguida, determinaram-se os traços das duas retas e desenharam-se os traços do plano f α fica definido por F e F (os traços frontais das duas retas) e h α é concorrente com f α no eixo X, é paralelo a h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si) e contém H (o traço horizontal da reta r). 11. Em primeiro lugar representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida desenhou-se a 1, a projeção horizontal da reta a, passando por P 1 e com o ângulo pedido. Atendendo a que a reta a é paralela ao β 1/3, a projeção frontal da reta a fará, também, um ângulo de 50 (a.d.) com o eixo X, passando por P 2 este raciocínio permitiu-nos desenhar a 2. Em seguida, para determinar o ponto de interseção da reta a com o plano ρ (ponto I), e atendendo a que nem a reta nem o plano são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos, que consistiu em: 1. conduzir, pela reta, um plano auxiliar (o plano α é um plano vertical que contém a reta); 2. determinar a reta de interseção dos dois planos (a reta i, definida pelos seus traços, é a reta de interseção do plano α com o plano ρ); 3. o ponto de interseção das duas retas (reta a e reta i) é o ponto I. 3

12. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta h, em função dos dados. Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto R, o ponto da reta h que tem 4 cm de afastamento (R é o ponto de concorrência de h e p). Pelas projeções de R conduziram-se imediatamente as projeções da reta p. Estas, no entanto, não são suficientes para definir a reta p, pelo que necessitamos de um outro ponto para além de R. Para tal, recorreu-se a uma reta p, de perfil, contida no β 1/3 a reta p está definida por A e B, que são dois pontos do β 1/3. Por A e R conduziu-se uma reta r (ver relatório do exercício 2). Por B conduziu-se uma reta s, paralela a r a reta s é concorrente com a reta p em B e será concorrente com a reta p em S. O ponto S é, assim, um outro ponto da reta p (ver relatório do exercício 2). A reta p está definida por R e S. Para a determinação dos traços de θ, recorreu-se a uma outra reta horizontal (de nível), h, paralela a h e concorrente com a reta p em S. A partir desse raciocínio, o exercício resultou na determinação dos traços de um plano definido por duas retas horizontais paralelas f θ fica definido por F e F (os traços frontais das retas h e h ) e h θ é concorrente com f θ no eixo X e paralelo a h e h (retas horizontais de um plano são paralelas entre si). Note que os traços de θ ficam coincidentes. Uma outra forma de resolver o problema seria o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém a reta p, o que nos permitiria obter em rebatimento, e de forma simultânea, a reta p, paralela ao β 1/3, e os traços de p nos planos de projeção. 13. Para que dois planos sejam paralelos, duas retas concorrentes de um dos planos têm de ser paralelas a duas retas concorrentes do outro (os dois planos têm de ter duas «famílias» de retas em comum). Atendendo a que os traços de um plano oblíquo são duas retas concorrentes desse plano, para que o plano δ seja paralelo a α basta que os seus traços sejam paralelos aos traços homónimos de α. Por outro lado, para que o plano passe pelo ponto P, é necessário que P se situe numa reta do plano δ. Assim, em primeiro lugar há que conduzir, por P, uma reta do plano δ essa reta terá de ser uma reta frontal ou uma reta horizontal, que são as retas do plano δ que já conhecemos (f δ é uma reta frontal e h δ é uma reta horizontal). Optou-se pela segunda hipó tese a reta h, horizontal, que passa por P é uma reta do plano δ pois será paralela a h δ, uma vez que retas horizontais de um plano são paralelas entre si (e h δ é paralelo a h α, pelo que já sabemos a direção das retas horizontais de δ). Em seguida, determinou-se F, o traço frontal de h. Por F conduziu-se f δ, paralelo a f α e h δ é paralelo a h α (e a h) e concorrente com f δ no eixo X. O plano δ contém o ponto P e é paralelo a α. 14. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços. Dois planos de rampa, paralelos ou não, têm sempre os seus traços homónimos paralelos entre si tal deve-se ao facto de os dois traços de um plano de rampa serem retas da mesma «família» de retas (são retas fronto-horizontais). Para que se verifique o critério de paralelismo entre dois planos, é necessário encontrar uma outra «família» de retas comum aos dois planos. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, do plano ρ. Se houver, no plano σ, uma reta paralela à reta r, então os dois planos são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta s, pertencente ao plano σ, tentando que seja paralela à reta r para tal desenhou-se s 1 paralela a r 1. Determinaram-se os traços da reta s, o que nos permitiu desenhar s 2 e a sua projeção frontal. Observa-se que s 2 é paralela a r 2, pelo que r e s são paralelas. Logo, os planos ρ e σ são paralelos, pois têm duas «famílias» de retas em comum. 4

15. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. De acordo com o exposto no relatório do exercício anterior, os traços de σ serão sempre paralelos aos traços homónimos de ρ, quer os planos sejam paralelos ou não (são retas da mesma «família» de retas). Assim, há que recorrer a outra «família» de retas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano σ contenha o ponto M, é necessário que M pertença a uma reta do plano. Assim, desenharam-se as projeções de uma reta r, oblíqua, qualquer, de ρ. A reta r é uma reta de uma outra «família» de retas qualquer que tem de ser comum aos dois planos. Em seguida, por M conduziu-se uma reta s, paralela a r, e determinaram-se os seus traços. Pelos traços de s conduziram-se os traços homónimos de σ. O plano σ é paralelo a ρ (pois contém duas retas concorrentes paralelas a duas retas concorrentes do plano ρ) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta do plano a reta s). 16. Ver relatório do exercício 4. 17. Ver relatório do exercício 13. 18. Em primeiro lugar, representaram-se as retas a e h, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja paralelo a uma reta, esse plano tem de conter uma reta paralela à reta dada. Por outro lado, a reta h, por si, é insuficiente para definir o plano α, pelo que necessitamos de mais outro elemento do plano esse elemento pode ser, em função do que é pretendido, uma reta paralela à reta a. Essa reta terá de ser concorrente com a reta h, pois duas retas de um plano ou são paralelas ou são concorrentes. A reta r, concorrente com a reta h no ponto C, é a reta paralela à reta a a que se recorreu. O plano está definido, agora, por duas retas concorrentes a reta h e a reta r. Sobre a determinação dos traços do plano, ver relatório do exercício 10. O plano α contém a reta h e é para lelo à reta a, pois contém uma reta paralela a a a reta r. 5

19. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Para que o plano ρ seja paralelo à reta p, terá de conter uma reta paralela à reta p. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto R, R terá de se situar numa reta do plano. Assim, há que conduzir, por R, uma reta paralela à reta p, que será uma outra reta de perfil. Há ainda que ter em consideração que será necessário, em seguida, determinar os traços nos planos de projeção da reta de perfil paralela à reta p este procedimento implicará o recurso a processos geométricos auxiliares, nomeadamente o do rebatimento do plano de perfil. Assim, para conduzir, por R, uma reta de perfil paralela à reta p e resolver a situação num único rebatimento, com o recurso a retas fronto-horizontais, definiu-se uma reta a, de perfil, paralela a p e contida no mesmo plano de perfil do ponto R a reta a está definida por A e B, que são os pontos correspondentes de A e B que se situam no plano de perfil do ponto R. Em seguida conduziu-se, por R, uma reta paralela à reta p (e à reta a) a reta p. O plano π é o plano de perfil que contém o ponto R e as retas a e p. Rebateu- -se o plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se a r (passando por A r e B r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, paralela a a r. Em rebatimento, determinaram- -se os traços de p nos planos de projeção, determinando-se, em seguida, as suas projeções, através da inversão do rebatimento. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ contém o ponto R (pois R pertence a uma reta do plano ρ a reta p ) e é paralelo à reta p (pois contém uma reta paralela a p a reta p ). 14 PERPENDICULARIDADE E ORTOGONALIDADE 20. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h e o ponto S, pelas suas projeções, em função dos dados. Para desenhar as projeções da reta a, teve-se em conta que a projeção horizontal de uma reta frontal (de frente) nunca poderá ser perpendicular a h 1 (a ortogonalidade não se pode verificar em projeção horizontal), pelo que é necessário outro raciocínio. Atendendo a que a reta a é uma reta frontal (de frente), a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal, pelo que a 2 terá de ser perpendicular a h 2 a reta a terá, assim, necessa riamente de ser uma reta vertical (que é um caso particular das retas frontais) que passa por S. Já em relação à reta b, a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois ambas as retas (h e b) são horizontais (paralelas ao Plano Horizontal de Projeção) a reta b é ortogonal à reta h, pois b 1 é perpendicular a h 1. 21. Em primeiro lugar, representaram-se a reta f e o ponto N, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, e atendendo a que a reta f é uma reta paralela ao Plano Frontal de Projeção (a ortogonalidade entre a reta f e qualquer outra reta verifica-se diretamente em projeção frontal), para que a reta r seja ortogonal à reta f basta que r 2 seja perpendicular a f 2. Assim, por N 2 conduziu-se r 2 perpendicular a f 2, o que garante que as duas retas são ortogonais. A projeção horizontal de r, r 1, passa por N 1 e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. 6

22. a) Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B pelas suas projeções e desenharam-se as projeções das retas t e v, em função dos dados. b) As duas retas são enviesadas e são ortogonais (não são perpendiculares, pois não são complanares). c) Duas retas perpendiculares são, antes de mais, ortogonais. Uma reta ortogonal a uma reta vertical é uma reta horizontal (de nível) assim, a reta pre tendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (ou qualquer dos seus casos particulares). Por outro lado, uma reta ortogonal a uma reta de topo é uma reta frontal (de frente) a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta frontal (ou qualquer dos seus casos particulares). A reta pretendida é, assim, uma reta fronto-horizontal (reta g). Por outro lado, para ser perpendicular às retas v e t, a reta terá de ser concorrente com ambas. O ponto de concorrência das retas v e g é o ponto C, cuja projeção frontal se determinou imediatamente (t é projetante frontal) a partir de C 2 é possível desenhar g 2. Por outro lado, o ponto de concorrência das retas g e v é o ponto D, cuja projeção horizontal se determinou imediatamente (v é projetante horizontal) a partir de D 1 desenhou-se g 1. A partir das duas projeções da reta g determinaram-se as projeções em falta de C e D C 1 e D 2. 23. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que é pedida uma reta perpendicular à reta r, logo concorrente com esta, determinaram-se as projeções do ponto de concorrência o ponto P, que é o ponto de r que tem 3 cm de cota. Com os conhecimentos adquiridos, e atendendo a que a reta r não é paralela a nenhum dos planos de projeção, a reta pretendida terá necessariamente de ser uma reta horizontal (de nível) ou uma reta frontal (de frente), pois a ortogonalidade entre retas só se verifica diretamente em projeções caso uma das retas seja paralela a um dos planos de projeção. Optou-se pela segunda hipótese desenharam-se as projeções de uma reta frontal (de frente), perpendicular à reta r. A perpendicularidade está garantida fazendo f 2 perpendicular a r 2. Note que, caso se tivesse optado por uma reta horizontal (de nível), teria de se ter h 1 perpendicular a r 1. 24. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para desenhar as projeções da reta p, teve-se em conta que a reta, para ser ortogonal ao plano α, terá de ser ortogonal a duas retas concorrentes do plano (ou a duas «famílias» de retas do plano). Assim, passando por P 2 desenhou-se p 2, perpendicular a f α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas frontais (de frente) do plano α. Em seguida, por P 1 conduziu-se p 1, perpendicular a h α, o que nos garante que a reta p é ortogonal à «família» das retas horizontais (de nível) do plano α. Assim, as projeções da reta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, o que nos garante que a reta p é ortogonal a duas retas concorrentes do plano (os traços do plano). 25. Em primeiro lugar representou-se o plano δ pelos seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação das projeções da reta ortogonal ao plano, ver relatório do exercício anterior. Note que, não sendo dado nenhum ponto da reta, a reta apresentada é uma de entre as infinitas hipóteses, desde que se verifique, sempre, a perpendicularidade entre as projeções da reta e os traços homónimos do plano. Trata-se de uma reta horizontal (de nível). 7

26. Ver relatórios dos exercícios 24 e 25. Trata- -se de uma reta fronto-horizontal. 27. Ver relatório do exercício 24. Para determinar as projeções do ponto P, pertencente ao plano, recorreu-se a uma reta auxiliar do plano uma reta horizontal (de nível) h, com 3 cm de cota. Note que, na presente situação, as duas projeções da reta p são paralelas entre si trata-se de uma reta paralela ao β 2/4. 28. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeções da reta p, perpendiculares aos traços homónimos de ρ. A reta p é uma reta de perfil, que não se encontra totalmente definida, por não verificar o Critério de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da reta p, para além de R. A reta p, para ser ortogonal ao plano ρ, tem de ser ortogonal a duas «famílias» de retas do plano. A reta p já é ortogonal às retas fronto-horizontais de ρ é necessário que seja ortogonal a outra «família» de retas do plano (às retas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar π, de perfil. Em seguida, determinou-se a reta i, que é a reta de interseção de π com ρ a reta i é uma reta de perfil de ρ e está definida pelos seus traços. A reta p terá de ser perpendicular à reta i. É neces sário o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ), obtendo-se i r (definida por F r e H r ) e R r. Por R r conduziu-se p r, perpendicular a i r. Sobre p r representou-se arbitrariamente um outro ponto, para além de R S r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções de S a reta p, ortogonal a r, está definida por R e S. 29. Ver relatório do exercício anterior. O ponto U foi o ponto da reta p a que se recorreu para definir a reta. A reta p, ortogonal a ρ, está definida por T e U. 8

30. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ e o ponto A, em função dos dados. Em seguida, desenharam-se as projeções da reta p, ortogonal ao plano ρ e passando por A as projeções de p têm determinação direta. No entanto, e uma vez que se trata de uma reta de perfil, as suas projeções não são suficientes para definir a reta, pelo que necessitamos de um outro ponto da reta para além do ponto A. A reta p já é ortogonal às retas fronto - -horizontais do plano ρ, mas para ser ortogonal ao plano terá de ser ortogonal a uma outra reta do plano uma reta de perfil, por exemplo. Assim, pela reta p conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a reta i, a reta de interseção do plano π com o plano ρ. A reta i é uma reta de perfil do plano ρ trata-se de uma reta de perfil passante do plano ρ. A reta i está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto P, que é o ponto de interseção do plano π com a reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano ρ e passando por P. A reta p terá de ser ortogonal à reta i. Em seguida, resolveu-se o problema em rebatimento, rebatendo o plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta i r passa por P r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira. A reta p r passa por A r e é perpendicular à reta i r. Sobre p r marcou-se um outro ponto B r. Inverteu-se o rebatimento e obtiveram-se as projeções do ponto B. A reta p, de perfil, passando por A r e B r, é ortogonal ao plano ρ, pois é ortogonal a duas «famílias» de retas do plano as retas fronto-horizontais e as retas de perfil. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). 31. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano θ seja ortogonal à reta r, o plano θ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta r (duas «famílias» de retas ortogonais à reta r). Por outro lado, para que o plano θ contenha o ponto P, P terá de pertencer a uma reta do plano θ. Assim, por P conduziu-se uma reta h, horizontal (de nível), pertencente ao plano θ h é ortogonal à reta r, pois h 1 é perpendicular a r 1. Já temos uma «familía» de retas do plano θ que é ortogonal à reta r. Necessitamos de uma outra, que terá de ser a das retas frontais (de frente) de θ. Por F, traço frontal de h, conduziu-se f θ, perpendicular a r 2 f θ é uma reta frontal do plano θ e é ortogonal à reta r, pois a ortogonalidade verifica-se diretamente em projeção frontal. Em seguida desenhou-se h θ, que é concorrente com f θ num ponto do eixo X e é paralelo a h 1 (perpendicular a r 1 ). O plano θ é ortogonal à reta r (contém duas retas concorrentes ortogonais à reta r) e passa pelo ponto P, pois P pertence a uma reta do plano θ (a reta h). 32. Em primeiro lugar, representaram-se a reta s e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que o plano δ seja ortogonal à reta s, o plano δ tem de conter duas retas concorrentes ortogonais à reta s (duas «famílias» de retas ortogonais à reta s) essas retas terão de ser uma reta horizontal (de nível), h, e uma reta frontal (de frente), f, concorrentes em T. Estas retas são ortogonais a s, pois h 1 é perpendicular a s 1 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta h verifica-se diretamente em projeção horizontal, pois h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção) e f 2 é perpendicular a s 2 (a ortogonalidade entre a reta s e a reta f verifica-se diretamente em projeção frontal, pois a reta f é paralela ao Plano Frontal de Projeção). 9

33. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Os pontos A e B têm a mesma abcissa, pois situam-se na mesma reta de perfil. Um plano ortogonal a uma reta de perfil é, necessariamente, um plano de rampa. Assim, já sabemos uma das «famílias» das retas do plano que são ortogonais à reta p as retas fronto-horizontais. Por outro lado, para que o ponto P pertença ao plano, o ponto terá de pertencer a uma reta do plano essa reta poderá ser uma reta fronto-horizontal. Assim, por P conduziu-se uma reta g, fronto-horizontal, pertencente ao plano. Necessitamos de uma outra reta do plano essa reta terá, também ela, de ser ortogonal à reta p. Essa reta poderá ser uma reta de perfil. Conduziu-se, pela reta p, um plano de perfil π. A reta i, de perfil, é a reta de interseção do plano π com o plano de rampa ortogonal à reta p a reta i é necessariamente ortogonal à reta p e contém o ponto P, que é o ponto de interseção da reta g com o plano π. A reta i está, assim, definida por um ponto (o ponto P ) e por uma direção (é ortogonal à reta p). Resolveu-se o problema através do rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção. A reta p r está definida por A r e por B r. A reta i r passa por P r e é ortogonal à reta p r. Note que as retas p e i são perpendiculares, pois são concorrentes são complanares (estão contidas no mesmo plano de perfil). Em seguida, determinaram-se os traços da reta i, em rebatimento, e inverteu-se o rebatimento. Pelos traços da reta i conduziram-se os traços homónimos do plano ρ, de rampa, que é ortogonal à reta p. 34. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, uma vez que a ortogonalidade entre a reta r, que é oblíqua, e a reta p, que é também oblíqua, não se observa diretamente em nenhuma das projeções (nenhuma das duas retas é paralela a qualquer dos planos de projeção), é necessário fazer com que a reta p esteja contida num plano ortogonal à reta r. Por outro lado, uma vez que se pretende que a reta p contenha o ponto P, esse plano ortogonal à reta r tem, necessariamente, de conter o ponto P. Assim, conduziu-se, por P, um plano α perpendicular a r (para o que se recorreu a uma reta f, frontal) ver exercício 31. Todas as retas de α são ortogonais ou perpendiculares a r. A reta p é a reta do plano α que contém P tal que p 1 faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. A reta p tem de ter os seus traços sobre os traços homónimos do plano α, para pertencer a α. Determinaram-se os traços da reta F e H. A reta p está definida por H, P (a reta passa por P) e F, mas poderia estar definida, apenas, por H e P, por exemplo (bastavam dois pontos). 35. Ver relatório do exercício anterior. A reta f, frontal (de frente), foi a reta a que se recorreu para determinar o plano ortogonal à reta m que contém o ponto A. O plano δ é o plano que contém o ponto A e é ortogonal à reta r δ tem os seus traços coincidentes. A reta p, pretendida, por ser passante, tem de ser concorrente com os traços do plano δ num ponto do eixo X, tendo sido esse o raciocínio que nos permitiu desenhar as duas projeções da reta p. A reta p está definida por dois pontos A e o seu ponto de concor rência com o eixo X. 10

36. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para que o plano ρ seja ortogonal ao plano α, o plano ρ tem de conter uma reta ortogonal ao plano α. Por outro lado, para que o plano ρ contenha o ponto M, M tem de pertencer a uma reta do plano ρ. Assim, conduziu-se, por M, uma reta p, ortogonal ao plano α (ver exercício 24). Qualquer plano que contenha a reta p é ortogonal a α e contém o ponto M. Determinaram-se os traços da reta p F e H. Pelos traços de p conduziram-se os traços homónimos de ρ. O plano ρ é ortogonal ao plano α (pois contém uma reta ortogonal a α a reta p) e contém o ponto M (pois M pertence a uma reta de ρ a reta p). 37. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e o ponto T, pelas suas projeções, em função dos dados. Sobre a determinação dos traços do plano θ, ortogonal a δ, ver relatório do exercício anterior. A reta p é a reta auxiliar do plano θ a que se recorreu, passando por T é uma reta frontal (de frente). H é o traço horizontal de p h θ contém H e faz, com o eixo X, o ângulo pretendido. Em seguida, determinou- -se que o traço frontal de θ, f θ f θ é concorrente com h θ no eixo X e é paralelo a p. 38. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Para que um plano seja ortogonal a um plano horizontal (de nivel) é necessariamente uma reta do plano. Assim, por P conduziu-se uma reta v, vertical, ortogonal ao plano ν qualquer plano que contenha a reta v será necessariamente ortogonal ao plano ν e contém o ponto P. Optou-se por representar um plano vertical (projetante horizontal) qualquer. Note que existem infinitos planos verticais que podem conter a reta v, sendo que todos eles serão ortogonais ao plano ν. Assim, o presente problema admite infinitas soluções todos os planos verticais que contêm a reta v e, ainda, o plano frontal (de frente) e o plano de perfil que contêm a reta v. 39. Em primeiro lugar, representou-se o plano α pelos seus traços, em função dos dados os seus traços são coincidentes, pois o plano α é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, para que um ponto pertença a um plano, o ponto tem de pertencer a uma reta do plano. Assim, recorreu-se a uma reta frontal (de frente) do plano, com 3 cm de afastamento a reta f (que é o lugar geométrico dos pontos do plano com 3 cm de afastamento). O ponto A é o ponto da reta f que tem 4 cm de cota. 11

40. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e δ pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3, e o plano δ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Recorrendo ao caso geral da interseção entre planos, determinou-se imediatamente o traço frontal da reta i (a reta de interseção dos dois planos), o ponto F, que é o ponto de concorrência dos traços frontais dos dois planos. Já temos um ponto para definir a reta i falta-nos outro ponto ou uma direção. Os traços horizontais dos dois planos, por sua vez, não se intersetam nos limites do papel. Assim, recorreu-se a um plano auxiliar frontal (de frente) ϕ e determinaram-se as retas de interseção de ϕ com os planos α e δ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão, ambas, contidas em ϕ) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência das duas retas e é um outro ponto comum aos planos α e δ (I é um ponto comum aos três planos). A reta i está, assim, definida por dois pontos F, o seu traço frontal, e I. 41. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ρ e σ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ρ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X e σ tem os seus traços coincidentes (ver exercício anterior). Para a determinação das projeções da reta i ver relatório do exercicio 21. A reta de interseção entre dois planos é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem simultaneamente aos dois planos, o que resulta numa reta pertencente à única «família» de retas comum aos dois planos. A única «família» de retas comum a dois planos de rampa é a das retas fronto-horizontais, pelo que a reta de interseção de ρ com σ é necessariamente uma reta fronto-horizontal. Já temos a direção necessitamos de um ponto para a definirmos. Recorreu-se a um plano auxiliar α, vertical, e determinaram-se as retas de interseção de α com ρ e σ as retas a e b, respetivamente. As retas a e b são complanares (estão ambas contidas no plano auxiliar α) e não são paralelas, pelo que são concorrentes o ponto I é o ponto de concorrência de a com b e é o ponto comum aos três planos, logo é um ponto comum aos planos ρ e σ. I é, assim, necessariamente um ponto da reta de interseção dos planos ρ e σ. A reta i é a reta fronto-horizontal que passa por I. 42. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. O plano α tem traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. As projeções da reta r são perpendiculares aos traços homónimos do plano α, pois a reta é ortogonal ao plano α. Uma vez que nem a reta nem o plano são projetantes, para a determinação do ponto de interseção da reta com o plano recorreu-se ao método geral da interseção de retas com planos. Assim, conduziu-se, pela reta, um plano auxiliar o plano δ, que é um plano vertical. Em seguida, determinou-se a reta de interseção dos dois planos a reta i. O ponto de concorrência das retas r e i é o ponto I, o ponto de interseção da reta r com o plano α. 43. Ver relatório do exercício 30. O ponto da reta p que foi escolhido para a definir foi o seu traço frontal, F. A reta p, definida por P e por F, é ortogonal ao plano ρ. 12

44. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados a reta r é paralela ao β 1/3, pelo que a sua projeção frontal faz, com o eixo X, um ângulo de 30 (a.d.), que é igual ao ângulo que a sua projeção frontal faz com o eixo X. Em seguida, representou-se o ponto M. Uma vez que nem a reta r nem a reta pretendida são paralelas a qualquer dos dois planos de projeção, a ortogonalidade não se verifica diretamente em nenhuma das projeções. Assim, é necessário conduzir, por M, um plano ortogonal a r o plano α contém o ponto M e é ortogonal à reta r, pois os seus traços são perpendiculares às projeções homónimas da reta r. Todas as retas de α são perpendiculares a r. Tendo em conta que se pretende uma reta do β 1/3 que seja ortogonal à reta r, a reta p será a reta de interseção do plano α com o β 1/3. O ponto M é, já, um ponto dos dois planos, pelo que já temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a uma reta h, horizontal (de nível), do plano α e determinou-se o seu traço no β 1/3 o ponto Q. O ponto Q é, assim, um outro ponto que pertence aos dois planos (o plano α e o β 1/3 ). A reta p fica definida por M e Q. A reta p é uma reta do β 1/3, pois tem as suas projeções simétricas em relação ao eixo X, e é ortogonal à reta r, pois está contida num plano ortogonal à reta r o plano α. 15 PROCESSOS GEOMÉTRICOS AUXILIARES II 45. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [AB] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, em primeiro lugar transformou-se [AB] num segmento frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 4, paralelo a [AB] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o Plano Horizontal de Projeção (plano 1). Manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas dos pontos A e B. A 4 e B 4 são as projeções de A e B no plano 4, que se determinam em função das cotas dos pontos. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [AB] é frontal (de frente) e tem 2 cm de afastamento. Um segmento vertical é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, ortogonal a [AB]. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular à reta suporte de [A 4 B 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e o afastamento dos pontos, que passou a ser 2 cm (e está referenciado ao plano 4). A 5 e B 5 determinam-se em função do seu afastamento, que é 2 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [AB] é vertical e tem 2 cm de afastamento. A V.G. de A B é A 4 B 4. 46. Em primeiro lugar, representou-se o segmento de reta [MN] pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta fronto-horizontal é um caso particular das retas frontais (de frente) e das retas horizontais (de nível). Começou-se por transformar [MN] num segmento horizontal (de nível) com 3 cm de cota. Para tal, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a [MN] e a 3 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do Plano Frontal de Projeção (plano 2) com o plano 4. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos dos pontos M e N. M 4 e N 4 determinam-se em função dos seus afastamentos, que se mantêm. No novo diedro de projeção, o segmento de reta [MN] é horizontal (de nível) e tem 3 cm de cota. Um segmento fronto-horizontal é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a [MN] e a 2 cm deste. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a [M 4 N 4 ]. Manteve-se o plano 4, pelo que se mantiveram as projeções no plano 4 e a cota dos pontos, que passou a ser 3 cm (e está referenciada ao plano 4). M 5 e N 5 determinam-se em função das suas cotas, que é 3 cm. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, [MN] é fronto-horizontal e tem 3 cm de cota e 2 cm de afastamento. A V.G. de M N é M N 4 4 ou M N 5. 5 13

47. Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções a reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou- -se por transformar r numa reta horizontal (de nível) com 2 cm de cota. Nesse sentido, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, paralelo a r e a 2 cm desta, cuja reta de interseção com o Plano Frontal de Projeção (plano 2) é o eixo X. Mantêm-se as projeções frontais e os afastamentos. R 4 determinou-se em função do seu afastamento, que se mantém. Para definir a reta r no novo diedro de projeção necessitamos de um outro ponto para além de R. Assim, recorreu-se a um outro ponto de r F, o seu traço frontal. F 4 determinou-se em função do seu afastamento, que é nulo e se mantém r 4 fica definida por R 4 e F 4. No novo diedro de projeção, a reta r é uma reta horizontal (de nível). Uma reta de topo é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, ortogonal a r. O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é perpendicular a r 4. Mantêm-se as projeções no plano 4 e as cotas (agora referenciadas ao plano 4) note que, agora, todos os pontos da reta já têm a mesma cota, que é 2. R 5 e F 5 determinaram-se em função das suas cotas (e estão coincidentes) r 5, a projeção da reta r no plano 5, é um ponto, pois no diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5 a reta r é de topo (projetante frontal). 48. Em primeiro lugar, representou-se o triângulo [ABC], em função dos dados. Note que os traços de α são simétricos em relação ao eixo X, pois α é ortogonal ao β 1/3. Um plano frontal (de frente) é um caso particular dos planos projetantes horizontais. Nesse sentido, em primeiro lugar há que transformar α num plano projetante horizontal, para o que se substituiu o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 4, ortogonal a α. Manteve-se o Plano Frontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções frontais e os afastamentos. O eixo X' é a reta de interseção do plano 2 com o plano 4 e é perpendicular a f α. As projeções de A, B e C no plano 4 (A 4, B 4 e C 4 ) determinaram-se em função dos seus afastamentos, que se mantiveram. O traço do plano α no plano 4, h 4α, passa por A 4, B 4 e C 4 e é concorrente com f α no eixo X. No novo diedro de projeção, o plano α já é um plano vertical (projetante horizontal). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, em seguida, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 5, paralelo a α e situado a 2 cm deste (o afastamento pretendido). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a h 4α. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e as cotas, agora referenciadas ao plano 4. As projeções de A, B e C no plano 5 (A 5, B 5 e C 5 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No diedro de projeção formado entre o plano 4 e o plano 5, o plano α é frontal (de frente) com 2 cm de afastamento e não tem traço frontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [A 5 B 5 C 5 ]. 49. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços, em função dos dados. Os dados sobre os pontos P, Q e R permitem-nos, imediatamente, determinar as suas projeções frontais. A reta r foi a reta do plano ρ que foi utili zada para a determinação das projeções horizontais dos pontos P e Q r 2 contém P 2 e Q 2. Sobre a reta r represen tou-se um ponto R, com a cota de R. Note que os pontos R e R se situam, necessariamente, na mesma reta fronto-horizontal do plano, pelo que ambos têm a mesma cota e o mesmo afastamento, tendo, apenas, abcissas distintas. A partir das projeções dos três pontos desenharam-se as projeções do triângulo [PQR]. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é um caso particular dos planos projetantes frontais. Assim, em primeiro lugar, co meçou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal, substituindo o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um plano 4, ortogonal a ρ. O eixo X é a reta de interseção do plano 1 com o plano 4 e é perpendicular a h ρ. manteve-se o Plano Horizontal de Projeção, pelo que se mantiveram as projeções horizontais e as cotas. As projeções de P, (Continua na página seguinte) 14

Q e R no plano 4 (P 4, Q 4 e R 4 ) determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. O traço do plano ρ no plano 4, f 4 ρ, passa por P 4, Q 4 e R 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. No novo diedro de projeção (formado pelo Plano Horizontal de Projeção e pelo plano 4), o plano ρ é um plano de topo (projetante frontal). Um plano hori zontal é um plano de topo que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, em seguida substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) pelo plano 5, paralelo a ρ e situado a 1 cm deste (a cota pretendida). O eixo X é a reta de interseção do plano 4 com o plano 5 e é paralelo a f 4 ρ. Mantiveram-se as projeções no plano 4 e os afas tamentos, agora referenciados a este. As projeções de P, Q e R no plano 5 (P 5, Q 5 e R 5 ) determinaram-se em fun ção dos seus afastamentos, que se mantiveram. No diedro de projeção formado pelo plano 4 e pelo plano 5, o plano ρ é um plano horizontal (de nível) com 1 cm de cota e não tem traço horizontal. A V.G. do triângulo está no triângulo [P 5 Q 5 R 5 ]. 50. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [AB], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta de topo é um caso particular das retas horizontais (de nível). Assim, começou-se por transformar [AB] num segmento horizontal (de nível). São as cotas que se alteram (de forma a ficarem todas iguais), pelo que a ro tação se processa em planos frontais (de frente) o eixo é uma reta de topo, qualquer, cujas projeções se dese nha ram imediatamente (reta e). O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O [OP] é simultaneamente per - pendicular a [AB] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 2 B 2 ] ficar paralela ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [OP ] é perpendicular ao eixo X). O ponto P manteve o seu afastamento, tal como A e B. Note que se omitiu a representação dos planos frontais (de frente) que contêm os arcos da rotação de A, B e P, apesar de se ter recorrido a eles (através das paralelas ao eixo X que passam por A 1, B 1 e P 1 ). A 2 e B 2 rodaram até encontrarem a reta suporte de [A 2 B 2 ] (que é paralela ao eixo X e passa por P 2 ). [A B ] é o segmento [AB] rodado e é horizontal (de nível). Uma reta de topo é uma reta horizontal (de nível) que é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção assim, para transformar [A B ] num segmento de reta de topo, são os afastamentos que se alteram a rotação do segmento processa-se num plano horizontal (de nível), pelo que na rotação seguinte o eixo é vertical (o eixo e escolheu-se criteriosamente, de forma a ser P o ponto a rodar). O centro da rotação de P é Q [QP ] é simultaneamente perpendicular a [A B ] e a e. O ponto P rodou até a reta suporte de [A 1 B 1 ] ficar perpendicular ao eixo X (o ponto P é o ponto P rodado e [QP ] é paralelo ao eixo X). O ponto P manteve a sua cota, tal como A e B. A 1 e B 1 rodaram até encontrarem a reta su porte de [A 1 B 1 ] (que é perpendicular ao eixo X e passa por P 1 ([A B ] é [A B ] rodado). Na sua nova posição, [AB] é de topo e a sua V.G. é A 1 B 1. 51. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da reta r, em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que uma reta vertical é um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, começou-se por transformar r numa reta frontal (de frente). São os afastamentos que se alteram (de forma a ficarem todos iguais), pelo que a rotação se processa em planos horizontais (de nível) o eixo é uma reta vertical, qualquer, cujas projeções se desenharam imediatamente (reta e). O ponto que nos permite rodar a reta é A e o centro da sua rotação é O [OA] é simultaneamente perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até r 1 ficar paralela ao eixo X (A é o ponto A rodado e [OA ] é perpendicular ao eixo X). O ponto A manteve a sua cota, ao longo da sua rotação. Para definirmos uma reta necessitamos de dois pontos ou de um ponto e uma direção. Assim, é necessário o recurso a um outro ponto da reta r, para definirmos r 2. O ponto escolhido foi o seu traço frontal F. F 1 rodou até encontrar r 1, mantendo-se a cota de F r 2 fica definida por A 2 e F 2. A reta r é a reta r rodada e é frontal (de frente), na sua nova posição. Uma reta vertical é uma reta frontal (de frente) que é ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção assim, para transformar r numa reta vertical são as cotas que se alteram, mantendo-se os afastamentos. A rotação seguinte processa-se, assim, num plano frontal (de frente) e o eixo é e e é de topo (note que se escolheu e criteriosamente, de forma a A ser o ponto a rodar). O centro da rotação de A é Q [QA ] é perpendicular a r e a e. O ponto A rodou até a reta r 2 ficar perpendicular ao eixo X o ponto A é o ponto A rodado e [QA ] é paralelo ao eixo X. A manteve o seu afastamento na sua rotação. A reta r é vertical e passa por A, não tendo sido necessária a rotação de F para a determinação das projeções da reta na sua nova posição. A projeção horizontal da reta é, agora, um ponto. 15

52. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do segmento [RS], em função dos dados. Em seguida, teve-se em conta que um segmento fronto-horizontal é um caso particular tanto das retas frontais (de frente) como das retas horizontais (de nível). Assim, há que começar por transformar [RS] num segmento de reta horizontal (de nível) ou frontal (de frente). Optou-se pela segunda hipótese ver relatório do exercício anterior. A rotação processa-se em planos horizontais o eixo é uma reta e, vertical, qualquer. O ponto P é o ponto a rodar e o centro da sua rotação é O. P roda até [OP ] ficar perpendicular ao eixo X (P é o ponto P rodado) e a reta suporte de [R 1 S 1 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram as suas cotas. [R S ] é [RS] rodado e é frontal (de frente). A rotação seguinte processa-se em planos frontais (de frente), pois para transformar [R S ] num segmento fronto-horizontal, as alterações processar-se-ão ao nível das cotas e não dos afastamentos. O novo eixo, e, é de topo e escolheu-se de forma a ser P o ponto a rodar, cujo centro de rotação é Q. P roda até [QP ] ficar perpendicular ao eixo X e a reta suporte de [R 2 S 2 ] ficar paralela ao eixo X. P, R e S mantiveram os seus afastamentos. [R S ] é [R S ] rodado. Na sua nova posição, [RS] é de topo e a sua V.G. é R 1 S 1 ou R 2 S 2. 53. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e o triângulo [ABC], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Em seguida, teve-se em conta que um plano frontal (de frente) é projetante horizontal. Nesse sentido, começou-se por transformar o plano α num plano projetante horizontal (vertical) as retas frontais (de frente) de um plano vertical são verticais, pelo que f α tem de ficar perpendicular ao eixo X (vertical). Os afastamentos mantêm-se, pelo que a rotação se processa em planos frontais (de frente) o eixo da rotação, e, é uma reta de topo qualquer (por economia de traçados optou-se por conduzir e pelo ponto A). O ponto P é o ponto de f α que nos permite rodar o plano [OP] é simultaneamente perpendicular a f α e a e (O é o centro da rotação de P). O ponto P rodou até [OP] ficar paralelo ao eixo X f α, que é perpendicular a [OP], fica perpendicular ao eixo X e passa por P (que é o ponto P rodado). A A, pois A é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço horizontal de α, h α, é concorrente com f α, no eixo X e contém A 1, pois α, após a rotação, é projetante horizontal (é vertical). Os pontos B e C mantêm os afastamentos na sua rotação, o que nos permite determinar B 1 e C 1 sobre h α. B 2 e C 2 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de B 2 e C 2 foi igual à da rotação de P 2 ). Um plano frontal (de frente) é um plano projetante horizontal que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar α num plano paralelo ao Plano Frontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível dos afastamentos a rotação processa-se, pois, em planos horizontais (de nível), pelo que o eixo é vertical. O segundo eixo de rotação, e, escolheu-se por forma a A ser o ponto a rodar [QA ] é perpendicular a α e a e (Q é o centro da rotação de A ). A rodou até [QA ] ficar perpendicular ao eixo X h α, na sua nova posição (h α ) ficou paralelo ao eixo X. O plano α é, agora, frontal (de frente) e não tem traço frontal. B 1 e C 1 rodaram até (h α ), obtendo-se B 1 e C 1. B 2 e C 2 mantiveram as suas cotas, o que nos permitiu determinar B 2 e C 2 nas linhas de chamada de B 1 e C 1. O plano α, na sua nova posição, é um plano frontal (de frente), pelo que a V.G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A 2 B 2 C 2 ]. 54. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o triângulo [PQR], pelas suas projeções, pertencente ao plano. Sobre a determinação das projeções do triângulo [PQR], ver relatório do exercício 49. O ponto M foi o ponto da reta r que nos permitiu determinar as projeções do ponto R. Em seguida, teve-se em conta que um plano horizontal (de nível) é projetante frontal. Assim, começou-se por transformar o plano ρ num plano projetante frontal (de topo) as retas horizontais (de nível) de um plano de topo são retas de topo, pelo que h ρ tem de rodar até ficar perpendicular ao eixo X (de topo). As cotas mantêm-se, pelo que a rotação processa-se em planos horizontais (de nível) o eixo da rotação, e, é uma reta vertical qualquer (por economia de traçados, optou-se por conduzir e pelo ponto P). O ponto A é o ponto de h ρ que nos permite rodar o plano [OA] é simultaneamente perpendicular a h ρ e a e (O é o centro da rotação de A). O ponto A rodou até [OA] ficar paralelo ao eixo X h ρ, que é perpendicular a [OA], fica perpendicular ao eixo X e passa por A (que é o ponto A rodado). P P, pois P é um ponto do eixo da rotação (roda sobre si próprio, pois é fixo). O novo traço frontal de ρ, f ρ é concorrente com h ρ no eixo X e contém P 2, pois ρ, após a rotação, é projetante frontal (é de topo). Os pontos Q e R mantêm as cotas na sua rotação, o que nos permite determinar Q 2 e R 2 sobre f ρ. Q 1 e R 1 rodaram até às respetivas linhas de chamada (a amplitude da rotação de Q 1 e R 1 foi igual à da rotação de A 1 ). Um plano horizontal (de nível) é um plano projetante frontal que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção. Assim, na rotação seguinte, com vista a tornar ρ num plano paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, as alterações processam-se ao nível das cotas a rotação processa-se em planos frontais (de frente), (Continua na página seguinte) 16

pelo que o eixo é de topo. O segundo eixo de rotação, e, escolheu- -se por forma a Q ser o ponto a rodar [TQ ] é perpendicular a ρ e a e (T é o centro da rotação de Q ). Q rodou até [TQ ] ficar perpendicular ao eixo X f ρ na sua nova posição (f ρ ) ficou paralelo ao eixo X. O plano ρ é, agora, horizontal (de nível) e não tem traço horizontal. Q 2 e R 2 rodaram até (f ρ ), obtendo-se Q 2 e R 2. Q 1 e R 1 mantiveram os seus afastamentos, o que nos permitiu determinar Q 1 e R 1 nas linhas de chamada de Q 2 e R 2. O plano ρ, na sua nova posição, é um plano horizontal (de nível), pelo que a V.G. do triângulo [PQR] está no triângulo [P 1 Q 1 R 1 ]. 55. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e desenharam- -se as projeções do triângulo [ABC], contido no plano. O ponto C tem cota nula, pelo que é um ponto de h α. Em seguida, para determinar a V.G. do triân - gulo, rebateu-se o plano α para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h α, que se identificou imediatamente), por economia de traçados. Note que C é um ponto de h α, que é a charneira, pelo que C r C 1 este rebatimento, em alternativa ao rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projeção, permite-nos economizar o rebatimento de um ponto. Rebateu-se f α rebatendo F (o traço frontal da reta h, a reta horizontal a que se recorreu para determinar o ponto A) ao longo de θ, o plano ortogonal a h α que contém o arco do rebatimento de F. O ponto M é o ponto de concorrência dos dois traços do plano e é fixo, pois pertence à charneira. Com centro em M, transportou-se M F 2 2 para (h θ ), obtendo F r f αr passa por F r e M. Por F r conduziu-se h r, paralela a h αr A r está sobre h r, numa perpendicular a h αr (que corresponde ao traço horizontal do plano ortogonal a h α que contém o arco do rebatimento de A). Para rebater B rebateu-se F, através de uma perpendicular a h α esta é (h θ1 ), que é traço horizontal do plano θ 1, que é o plano ortogonal a h α que contém o arco do rebatimento de f. F r está sobre f αr. Por F r conduziu-se h r, paralela a h αr B r está sobre h r, numa perpendicular a h αr. A partir de A r, B r e C r, desenhou-se o triângulo [A r B r C r ], no qual está a V.G. do triângulo [ABC]. 56. Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o triângulo [PQR], pelas suas projeções. O plano γ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Rebateu-se γ para o Plano Frontal de Projeção (a charneira é f γ, que se identificou imediatamente), por economia de traçados. Note que Q é um ponto de f γ, que é a charneira, pelo que Q r Q 2 este rebatimento, em alternativa ao rebatimento do plano γ para o Plano Horizontal de Projeção, permite-nos economizar o rebatimento de um ponto. Rebateu-se P conduzindo, por P 2, uma perpendicular a f γ (que é o traço frontal do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de P θ). O centro do arco do rebatimento de P é M, que é o ponto de interseção de f γ com θ. Sobre uma paralela à charneira passando por P 2, representou-se o afastamento de P, obtendo-se P r1. O triângulo do rebatimento de P, em V.G., é [MP r1 P 2 ] e a V.G. do raio do arco do rebatimento de P é M P r 1. Com o compasso, fazendo centro em M e raio até P r1, transportou-se M P r 1 para (f θ ), obtendo-se P r. O procedimento foi idêntico para R. O arco do rebatimento de R está contido em θ 1 e o seu centro é N. O triângulo do rebatimento de R, em V.G., é [NR r1 R 2 ] e o raio do arco do rebatimento de R, em V.G., é M R r 1. A V.G. do triângulo [PQR] está no triângulo [P r Q r R r ]. 17

57. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos R e S, pelas suas projeções, e determinaram-se os traços do plano ρ. Para tal, conduziu-se, por R e S, uma reta r. Determinaram-se os traços de r e por estes conduziram-se os traços homónimos de ρ. Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto T (que pertence a h ρ, pois tem cota nula) e desenharam-se as projeções do triângulo [RST]. Para determinar a V. G. do triângulo optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção, por economia de traços (T é um ponto de h ρ, que é a charneira, pelo que se tem imediatamente T r T 1 ). A charneira é h ρ, pelo que se tem imediatamente h ρ e 1 h ρr. Rebateu- -se o ponto R conduzindo, por R 1, uma perpendicular a h ρ (que corresponde à representação do plano π, que é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de R). O centro do arco do rebatimento de R é M, que é o ponto de interseção de h ρ com π. Sobre uma paralela à charneira representou-se a cota de R, obtendo R r1. O triângulo do rebatimento de R em V.G. é [MR r1 R 1 ]e M R r 1 é a V. G. do raio do arco do rebatimento de R. Com o centro em M transportou-se M R r 1 para h π, obtendo-se R r. O procedimento foi idêntico para S, sendo π 1 o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de S. N é o ponto de interseção de π 1 com a charneira e é o centro do arco do rebatimento de S. O triângulo do rebatimento de S em V. G. é [NS 1 S r1 ]. A V. G. do triângulo [RST] está no triângulo [R r S r T r ]. 58. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções, e determinaram-se os traços do plano ρ (ver relatório do exercício anterior). Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto C (que pertence a f ρ, pois tem afastamento nulo) e desenharam-se as projeções do triângulo [ABC]. Para determinar a V. G. do triângulo optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Frontal de Projeção, por economia de traçados (C é um ponto de f ρ, que é a charneira, pelo que se tem imediatamente C r C 2 ). A charneira é f ρ, pelo que se tem imediatamente f ρ e 2 f ρr. Rebateu-se h ρ rebatendo um dos seus pontos H, que é o traço horizontal da reta r. Rebateu-se H ao longo do plano π, o plano ortogonal à charneira (f ρ ) que contém o arco do rebatimento de H, cujo o centro é o O (O é o ponto de interseção f ρ com π). Construiu-se o triângulo do rebatimento de H em V. G. (pelo rebatimento de π) numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X) representou-se o afastamento de H, obtendo H r1. O triângulo do rebatimento de H em V. G. é [OH r1 H 2 ]. Com centro em O transportou-se O H r 1 para f α, obtendo H r f ρr passa por H r e é paralelo ao eixo X. F r F 2, pois F é fixo (roda sobre si próprio, pois é um ponto da charneira). A reta r r fica definida por F r e por H r. Por A 2 e B 2 conduziram-se as perpendiculares à charneira (que correspondem aos raios traços frontais dos planos ortogonais à charneira que contêm os respetivos arcos do rebatimento) e obtiveram-se A r e B r sobre r r. A V. G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A r B r C r ]. 59. Em primeiro lugar, representaram-se os traços do plano ρ, no eixo X, e o ponto A, pelas suas projeções. Em seguida, representaram-se, ainda, as projeções horizontais de B e C, que os dados do exercício nos permitem representar. Para determinar as projeções do ponto B conduziu-se, por A 1 e B 1, r 1, que é a projeção horizontal de uma reta r (r é a reta que contém A e B) r 2 passa por A 2 e permite-nos determinar B 2. O procedimento foi idêntico para C s é a reta que passa por B e C. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira é o próprio eixo X. Rebateu-se A ao longo do plano π, o plano ortogonal à charneira (ao eixo X) que contém o arco do rebatimento de A, cujo centro é A o ( o ponto de interseção do eixo X com π). Numa paralela à charneira representou-se a cota de A, obtendo A r1. O triângulo do rebatimento de A em V. G., pelo rebatimento de π, é [A o A r1 A 1 ]. A o A r 1 é o raio do arco do rebatimento de A. Com centro em A o transportou-se A o A r 1 para h π, obtendo A r. O procedimento foi idêntico para B e C. O plano π 1 é o plano de perfil (ortogonal à charneira) que contém o arco do rebatimento de B, cujo centro é B o. O triângulo do rebatimento de B em V. G. pelo rebati- (Continua na página seguinte) 18

mento de π 1 é [B o B r1 B 1 ]. B o B r 1 é o raio do arco do rebatimento de B, em V. G. O plano π 2 é o plano de perfil (ortogonal à charneira) que contém o arco de rebatimento de C, cujo centro é C o. O triângulo do rebatimento de C em V. G., pelo rebatimento de π 2,é [C o C r1 C 1 ]. C o C r 1 é o raio do arco do rebatimento de C, em V. G. A V. G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A r B r C r ]. 60. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A, B e C, pelas suas projeções, pertencentes ao plano. Para um ponto pertencer a um plano tem de pertencer a uma reta do plano. Assim, recorreu-se a retas frontais (de frente) do plano para determinar as projeções dos três pontos (note que, para simplificar a leitura da resolução gráfica do exercício, se optou por omitir as notações referentes às retas). Em seguida, efetuou-se o requerido no enunciado, pela ordem pedida. 1. Substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) pelo plano 4, ortogonal a α. O novo eixo X eixo X é perpendicular a h α e é a reta de interseção do plano 1 com o plano 4. A 4, B 4 e C 4 determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram (ver exercício 49). 2. No novo diedro de projeção, o plano α é projetante frontal (é de topo). Assim, rebateu-se o plano α para o plano 1 (pelo rebatimento de planos projetantes), em torno do seu traço horizontal, que é a charneira do rebatimento. A V.G. do triângulo [ABC] está no triângulo [A r B r C r ]. 61. Em primeiro lugar, representou-se o plano α, pelos seus traços, e os pontos A, B e C, pelas suas projeções, pertencentes ao plano (ver exercício anterior). Em seguida, representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém o vértice A do triângulo. A charneira é a reta e, que é a reta de interseção do plano α com o plano ν (a charneira do rebatimento é a reta de interseção do plano a rebater com o plano para o qual se processa o rebatimento). Efetuando-se o rebatimento para um plano que não um dos planos de projeção, cada ponto, em rebatimento, situa-se no espaço, pelo que tem duas projeções. No entanto, convencionalmente, apenas se representa a projeção na qual se observa a V.G. do pretendido. Assim, e uma vez que rebatendo o plano α para um plano horizontal (que é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção), a V.G. do triângulo estará na projeção horizontal, representa-se apenas a projeção horizontal dos pontos em rebatimento (omitindo, inclusivamente, que se trata de uma projeção, pelo que se omite o índice 1 da projeção). A r A, pois A é fixo (A é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio). Rebateu-se o plano α para o plano ν através do triângulo do rebatimento. Numa paralela à charneira que passa por B 1 representou-se a cota de B em relação a ν (a distância d), obtendo B r1. Por B 1 conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de B). O centro do arco do rebatimento de B é M (que se representou de uma forma simplificada, meramente informativa, sem projeções), que é o ponto de interseção desse plano com e. O triângulo do rebatimento de B em V.G. (pelo rebatimento do plano ortogonal à charneira para o plano ν) é [MB 1 B r1 ]. O segmento [MB r1 ] é a hipotenusa do triângulo do rebatimento de B e o seu comprimento é o raio do arco do rebatimento de B. Com o compasso, fazendo centro em M, transportou-se M B r 1 para a perpendicular à charneira que passa por B 1, obtendo B r. O processo foi idêntico para o rebatimento de C. Note que, na construção do triângulo do rebatimento de C se teve em conta, também, a cota de C (relativa a ν) se refere à distância de C a ν. O centro do arco do rebatimento de C é N e o seu raio é N C r. 1 Note que as hipotenusas dos dois triângulos do rebatimento são paralelas entre si. A V.G. do triângulo está no triângulo [A r B r C r ]. Vantagens: economia de traçados. De facto, ao rebater o plano α para o plano ν, que contém um dos vértices do triângulo, é necessário, apenas, rebater dois vértices do triângulo. Ao rebater o plano α para qualquer dos dois planos de projeção teríamos de rebater os três vértices do triângulo. 62. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções, e determinaram-se os traços do plano ρ. A reta r, auxiliar, foi a reta a que se recorreu para determinar os traços de ρ a reta r passa pelos pontos A e B e os traços de ρ contêm os traços homónimos da reta r. Em seguida, representou-se a reta suporte do lado [BC], fronto-horizontal, e determinaram-se as projeções de C em função da medida do lado [BC] (que se projeta em V.G. nos dois planos de projeção). A partir das projeções do triângulo, representou-se o plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém o lado [BC] do polígono e determinaram-se as projeções da charneira do rebatimento (reta e), que é a reta de interseção dos dois planos (ver relatório do exercício anterior). B r B e C r C, pois B e C são dois pontos da charneira (são fixos, pois rodam sobre si próprios). Falta-nos rebater o ponto A, cujo rebatimento se processou através do triângulo do rebatimento. Numa paralela à (Continua na página seguinte) 19

charneira que passa por A 2 representou-se o afastamento de A em relação a ϕ (a distância d), obtendo A r1. Por A 2 conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de A. O centro do arco do rebatimento de A é O (que se representou de uma forma simplificada, meramente informativa, sem projeções), que é o ponto de interseção desse plano com e. O triângulo do rebatimento de A em V.G. (pelo rebatimento do plano ortogonal à charneira para o plano ϕ) é [OA 2 A r1 ]. O segmento [OA r1 ] é a hipotenusa do triângulo do rebatimento de A e o seu comprimento é o raio do arco do rebatimento de A. Com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se O A r 1 para a perpendicular à charneira que passa por A 2, obtendo A r. A V.G. do triângulo está no triângulo [A r B r C r ]. Vantagens: economia de traçados. De facto, ao rebater o plano ρ para o plano ϕ é necessário, apenas, rebater um vértice do triângulo, uma vez que dois dos seus vértices (os que estão contidos na charneira) estão automaticamente rebatidos. Ao rebater o plano ρ para qualquer dos dois planos de projeção, seria necessário efetuar o rebatimento dos três vértices do triângulo. Note que, para a resolução do exercício, não foi fundamental a determinação dos traços do plano ρ o exercício teria a mesma resolução, caso os traços do plano não tivessem sido determinados. 16 REPRESENTAÇÃO DE FIGURAS PLANAS III 63. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções, e desenharam-se as projeções da reta r, que por eles passa. Em seguida, determinaram-se os traços do plano δ, atendendo a que a reta r é uma reta de maior inclinação do plano f δ passa por A (que é o traço frontal da reta r) e é perpendicular a r 2, enquanto que h δ passa por H (traço horizontal da reta r) e é concorrente com f δ no eixo X. Em seguida, para determinar as projeções do triângulo, há que rebater previamente o plano δ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projeção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano α para o Plano Frontal de Projeção (a charneira é f δ ), pelo que se tem imediatamente A r A 2, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano δ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos o ponto H (traço horizontal da reta r), por exemplo. Para tal conduziu-se, por H, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (o plano θ, representado apenas pelo seu traço frontal). Note que o plano θ é, na presente situação, o plano projetante frontal da reta r. Os traços do plano δ são concorrentes no ponto K, que é um ponto fixo (é um ponto da charneira). A distância K H está em V.G. sobre h δ, e continua em V.G. em rebatimento. Assim, com o compasso, fazendo centro em K r, transportou-se K H 1 para (f θ ), obtendo-se H r h δr passa por H r e é concorrente com f δr em K r (h δr está definido por dois pontos). A reta r r fica definida por A r e H r. A utilidade da reta r para o rebatimento do ponto B é quase nula, pois não nos é possível determinar B r sem uma outra reta que contenha o ponto. Para tal, recorreu-se a uma reta h, horizontal (de nível), do plano, passando por B F é o traço frontal de h (situa-se sobre f δ ) e h é paralela a h δ. F 2 F r, pois F é um ponto da charneira. A reta h, em rebatimento (h r ), passa por F r e é paralela a h δr, pois retas horizontais (de nível) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano (o que se verifica no espaço, em projeções e em rebatimento) h r está, assim, definida por um ponto e uma direção. As reta r e h são concorrentes em B B r é, assim, o ponto de concorrência das retas r r e h r. A partir de A r e B r, construiu-se o triângulo [ABC] em V.G., em rebatimento, determinando-se C r. Para determinar as projeções do triângulo, inverteu-se o rebatimento do plano δ, invertendo o rebatimento de C. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma reta pelo ponto C a reta h, horizontal (de nível). A reta h r passa por C r e é paralela a h r (e a h δr ). A reta h r é concorrente com f δr em F r F é o traço frontal de h e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projeções de F. Pelas projeções de F conduziram-se as projeções homónimas de h (que é paralela a h). Em seguida conduziu-se, por C r, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento θ 1 (que foi representado, apenas, pelo seu traço frontal, razão pela qual se recorreu ao uso dos parênteses). O ponto de concorrência de (f θ1 ) com h 2 é C 2 C 1 situa-se sobre h 1, na linha de chamada de C 2. A partir das projeções de C, construíram-se as projeções do triângulo [ABC]. 20

64. Em primeiro lugar, representou-se o plano ψ pelos seus traços, que são coincidentes, pois o plano é ortogonal ao β 2/4. Em seguida determinaram-se as projeções de A e B A é um ponto de f ψ, pois tem afastamento nulo, e B é um ponto de h ψ, pois tem cota nula. Em seguida, para determinar as projeções do quadrado há que rebater previamente o plano ψ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projeção e o ponto B é um ponto do Plano Horizontal de Projeção, não há qualquer diferença quanto ao plano para o qual se deverá rebater o plano ψ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ψ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ψ ), pelo que se tem imediatamente B r B 1, pois B é um ponto da charneira. Para rebater o plano ψ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos o ponto A, por exemplo (poder-se-ia rebater um outro ponto qualquer de f ψ ). Para tal, conduziu-se, por A, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (o plano θ 1, representado apenas pelo seu traço horizontal). Os traços do plano ψ são concorrentes no ponto M, que é um ponto fixo (é um ponto da charneira). A distância M A está em V.G. sobre f ψ, e continua em V.G. em rebatimento. Assim, com o compasso, fazendo centro em M r, transportou-se M A 2 para (h θ1 ), obtendo-se A r f ψr passa por A r e é concorrente com h ψr e M r (f ψr está definido por dois pontos). A partir de A r e B r, construiu- -se o quadrado [ABCD] em V.G., em rebatimento, determinando-se C r e D r. Para determinar as projeções do quadrado, inverteu-se o rebatimento do plano ψ, invertendo o rebatimento de C e D. Para tal conduziu-se, em rebatimento, uma reta pelo ponto C a reta f, frontal (de frente). A reta f r passa por C r e é paralela a f ψr, pois retas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano (o que se verifica no espaço, em projeções e em rebatimento). A reta f r é concorrente com h ψr em H r H é o traço horizontal de f e é um ponto da charneira, pelo que se determinaram imediatamente as projeções de H. Pelas projeções de H conduziram-se as projeções homónimas de f (que é paralela a f ψ ). Em seguida, conduziu-se, por C r, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento θ 2 (que foi representado, apenas, pelo seu traço horizontal, razão pela qual se recorreu ao uso dos parênteses). O ponto de concorrência de (h θ2 ) com f 1 é C 1 C 2 situa-se sobre f 2, na linha de chamada de C 1. O procedimento repetiu-se para o ponto D. A reta f é a reta frontal (de frente) que contém o ponto D e H é o seu traço horizontal. O plano θ 3 é o plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de D. A partir das projeções de C e D, construíram-se as projeções do quadrado [ABCD]. 65. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e C, pelas suas projeções. Em seguida, conduziu-se, por A e C, uma reta r e determinaram-se os seus traços nos planos de projeção. Em seguida, desenharam-se os traços do plano ρ, passando pelos traços homónimos da reta r. Para determinar as projeções do quadrado, há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Uma vez que o ponto A é um ponto do Plano Horizontal de Projeção, no sentido de uma maior economia de traçados optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ ), pelo que se tem imediatamente A r A 1, pois A é um ponto da charneira. Para rebater o plano ρ há que rebater o seu traço frontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos o ponto F (traço frontal da reta r), por exemplo. Para tal, conduziu-se, por F, o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (o plano π, de perfil, representado apenas pelo seu traço horizontal). O ponto F rebateu-se através do seu triângulo do rebatimento. O é o ponto de interseção do plano π com a charneira e é o centro do arco do rebatimento de F. O triângulo do rebatimento de F é [OFF 1 ], que é retângulo em F 1, e o comprimento da sua hipotenusa ([OF]) é a distância que nos permite rebater F. Construiu-se o triângulo do rebatimento de F em V.G. (pelo rebatimento de π) numa paralela à charneira (ou seja, no próprio eixo X) representou-se a cota de F, obtendo F r1. O triângulo do rebatimento de F em V.G. é [OF r1 F 1 ]. Com centro em O transportou-se O F r 1 para (h π ), obtendo F r f ρr passa por F r e é paralelo ao eixo X (e a h ρr ). A reta r r fica definida por A r (A é o próprio traço horizontal da reta r) e F r. C r situa-se em r r, no plano de perfil que passa por C (e que contém o seu arco do rebatimento) note que se omitiu a representação deste plano, ao qual corresponde a perpendicular à charneira que passa por C 1. C r é, assim, o ponto de interseção de r r com a perpendicular à charneira que passa por C 1. A partir de A r e C r construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento, (Continua na página seguinte) 21

determinando B r e D r. Para determinar as projeções do quadrado inverteu-se o rebatimento do plano ρ, invertendo o rebatimento de B e D. Para tal, conduziu-se, em rebatimento, uma reta s r, do plano, passando por B r e D r. F e H são, respetivamente, o traço frontal e o traço horizontal da reta s. F e H determinaram-se previamente em rebatimento. H r H 1, pois H é um ponto da charneira. As projeções de F determinaram-se, sobre f ρ, recorrendo ao plano de perfil que contém o seu arco do rebatimento. As projeções de s ficam definidas pelas projeções homónimas de F e H. As projeções de B e D estão sobre as projeções homónimas da reta s, e obtiveram-se a partir dos planos de perfil que contêm os respetivos arcos do rebatimento. A partir das projeções dos quatro vértices do quadrado, desenharam-se as projeções do polígono. 66. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços, que são simétricos em relação ao eixo X, pois ρ é ortogonal ao β 1/3. Em seguida, determinaram-se as projeções do ponto O, recorrendo a uma reta auxiliar do plano a reta r. Para determinar as projeções do triângulo, há que rebater previamente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ ). O traço frontal do plano ρ rebateu-se, conforme exposto no relatório do exercício anterior a reta r r fica definida por H r e F r. Note que, no rebatimento de F, se omitiu a identificação de F r1, por tal não ser totalmente necessário. O r determinou-se sobre r r, conforme exposto no relatório do exercício anterior para o ponto C. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em O r e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao triângulo e construiu-se o triângulo [RST] em V.G., em rebatimento, obedecendo ao pretendido o lado [ST] é fronto-horizontal (é paralelo aos traços do plano em rebatimento) e R é o vértice de maior cota (é o vértice mais próximo de f ρr ). Em seguida, efetuou-se a inversão do rebatimento do plano ρ, obtendo-se as projeções dos pontos R e T conforme exposto no relatório do exercício anterior para B e D. A reta s foi a reta auxiliar do plano a que se recorreu para tal. Para determinar as projeções de S conduziram-se, pelas projeções de T, as projeções homónimas da reta m a reta m, fronto-horizontal, é a reta suporte do lado [ST]. As projeções de S, sobre as projeções homónimas da reta m, determinaram-se a partir do plano de perfil (ortogonal à charneira) que contém o seu arco do rebatimento. A partir das projeções dos três vértices do triângulo, desenharam-se as projeções do polígono. 67. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projeções do ponto A. Para determinar as projeções do triângulo, há que rebater previamente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto A recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento. Assim, por A conduziu-se o plano ortogonal à charneira que contém o arco do seu rebatimento (o plano π, de perfil, representado pelos seus traços). O é o ponto de interseção do plano π com a charneira e é o centro do arco do rebatimento de A (note que, por questões de simplificação da leitura da resolução gráfica, se optou por omitir a representação das projeções de O). O triângulo do rebatimento de A é [OAA 1 ], que é retângulo em A 1, e o comprimento da sua hipotenusa ([OA]) é a distância que nos permite rebater A. Construiu-se o triângulo do rebatimento de A em V.G. (pelo rebatimento de π) numa paralela à charneira que passa por A 1 representou-se a cota de A, obtendo A r1. O triângulo do rebatimento de A em V.G. é [OA r1 A 1 ]. Com centro em O transportou-se O A r 1 para h π, obtendo A r. A partir de A r, construiu-se o triângulo em V.G., em rebatimento, de acordo com os dados B r está no eixo X (B é um ponto do eixo X), tal que A B r r = 6 cm (que é a medida do lado do polígono). A construção do triângulo em rebatimento permitiu-nos obter também C r. Para determinar as projeções do triângulo, há que inverter o rebatimento e determinar as projeções de B e C. B é um ponto da charneira (roda sobre si próprio, pelo que é fixo), pelo que as suas projeções se determinam imediatamente. Para inverter o rebatimento de C conduziu-se, por C r, o plano ortogonal à charneira que contém o seu arco do rebatimento o plano π 1. Q é o ponto de (Continua na página seguinte) 22

interseção de π 1 com o eixo X e é o centro do arco do rebatimento de C (note que, à semelhança do referido para O, também se omitiu a representação das projeções de Q). Em seguida, construiu-se o triângulo do rebatimento de C em V.G., em rebatimento (pelo rebatimento de π 1 ), semelhante ao triângulo do rebatimento de A as hipotenusas dos dois triângulos são paralelas entre si, o que nos permitiu desenhar a reta suporte da hipotenusa do triângulo do rebatimento de C (que é paralela a [OA r1 ]). Por outro lado, Q C r é a medida do comprimento da hipotenusa do triângulo do rebatimento de C. Assim, com o compasso, fazendo centro em Q e com raio até C r, desenhou-se um arco até à reta suporte da hipotenusa, obtendo C r1. A partir de C r1 concluiu-se a construção do triângulo do rebatimento de C, que é retângulo em C 1. Em seguida determinou-se C 2, a projeção frontal de C, em função da sua cota, que é C C C 1 r. 1 A partir das projeções dos três pontos, desenharam-se as projeções do triângulo [ABC]. 68. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projeções do ponto A. Os dados permitiram-nos, ainda, determinar a projeção frontal do ponto B, em função da sua abcissa e da sua cota. Para determinar a projeção horizontal de B recorreu-se a uma reta auxiliar do plano (reta r), passando por A e B a reta r é necessariamente uma reta passante. Começou-se por desenhar r 2, passando por A 2 e B 2 e determinou-se o seu ponto de concorrência com o eixo X ponto M. A projeção horizontal da reta r, r 1, fica definida por A 1 e M 1 B 1 situa-se sobre r 1. Para determinar as projeções do triângulo, há que rebater previamente o plano ρ e construir o triângulo em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Tal como na situação anterior, na presente situação não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados, tendo-se optado por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto A recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento (ver exercício anterior). Em seguida rebateu-se a reta r, que é a reta suporte do lado [AB] do triângulo r r fica definida por A r e por M r (note que M é um ponto da charneira, pelo que é fixo roda sobre si próprio). Conduzindo, por B, o plano ortogonal à charneira (um plano de perfil) que contém o seu arco do rebatimento, determinou-se B r sobre r r. A partir de A r e B r construiu-se o triângulo [ABC], em V.G., em rebatimento, determinando C r. Para obter as projeções de C é necessário inverter o rebatimento, o que se processou recorrendo a uma reta auxiliar do plano (reta s), paralela a r e passando por C. Em primeiro lugar desenhou-se s r, passando por C r e paralela a r r, e determinou-se o seu ponto de concorrência com o eixo X (em rebatimento) N r. Note que a reta s é, também, uma reta passante. Atendendo a que o ponto N é um ponto fixo (é um ponto da charneira roda sobre si próprio), as projeções de N determinaram-se imediatamente e, em seguida, desenharam-se as projeções da reta s, paralelas às projeções homónimas da reta r. Por C r conduziu-se o plano ortogonal à charneira (o plano de perfil) que contém o seu arco do rebatimento e determinaram-se as projeções de C sobre as projeções homónimas da reta s. A partir das projeções de C, desenharam-se as projeções do triângulo. Note que, por questões de simplificação de traçados, se optou por omitir a identificação dos sucessivos planos de perfil (os planos ortogonais à charneira) a que se recorreu, bem como os centros dos arcos do rebatimento de cada um dos pontos (A, B e C), que se situam sempre na charneira (no eixo X). 69. Em primeiro lugar, representou-se o plano λ, pelos seus traços, e determinaram-se as projeções do ponto O, perten cente ao plano, para o que se recorreu a uma reta frontal (de frente) f, do plano, com 4 cm de afastamento. Para determinar as projeções da circunferência, há que rebater previamente o plano λ e construir a circunferência em V.G., em rebatimento, pois a figura não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano λ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano λ para o Plano Frontal de Projeção (a charneira é f λ ). Para reba ter o plano λ há que rebater o seu traço horizontal, o que se processa rebatendo um dos seus pontos o ponto H (traço horizontal da reta f), por exemplo. O rebatimento de H e de h λ processou-se conforme exposto no relatório do exercício 63. Note que, neste exercício, se optou por omitir a identificação dos planos ortogonais à charneira que con tém os arcos do rebatimento dos diversos pontos (a que correspondem, no entanto, as sucessivas perpendiculares à charneira que por eles se conduziram). A partir de H r desenhou-se f r, paralela a f λr retas frontais (de frente) de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano (no espaço, em projeções e em rebatimento). Em seguida, com o compasso, fazendo centro em O r e com 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência em V.G., em reba timento. Note que as duas projeções da circunferência serão elipses, ao contrário das situações estudadas no pri meiro ano de lecionação da disciplina. De facto, o estudo efetuado nessa altura (Capítulo 10) referia-se exclusiva mente a círculos e circunferências contidas em planos projetantes, sendo que uma (Continua na página seguinte) 23

das suas projeções ficava redu zida a um segmento de reta, em função, precisamente, de se tratar de planos projetantes (o que não é o caso). Assim, tratando-se de duas elipses, é necessário ter em conta que o desenho de cada uma requer alguns cui dados particulares, nomeadamente um mínimo de oito pontos e, se possível, os dois eixos (de cada uma) e um paralelogramo envolvente. A relação mais direta é a que existe entre a circunferência em V.G. e a elipse que é a sua projeção frontal, sendo uma relação homológica cujo eixo de homologia é f λ (a charneira do rebatimento). Tratemos, então, da elipse que é a projeção frontal da circunferência. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos ao eixo de homologia e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os extremos das medianas do quadrado são os pontos em que a circunferência é tangente aos quatro lados do quadrado e dão-nos, imediatamente, os extremos dos dois eixos da elipse que é a projeção frontal da circunferência. Assim, a projeção frontal do diâmetro [AC] corres ponderá ao eixo maior da referida elipse (por ser paralelo ao eixo de homologia e, assim, não sofrer qualquer deforma ção), enquanto que a projeção frontal do diâmetro [BD] corresponderá ao eixo menor da elipse (por ser aquele que é perpendicular ao eixo de homologia e, assim, sofrer a maior redução). Estes pontos serão, já, quatro pontos da elipse os outros quatro pontos serão os pontos de interseção da circunferência com as diagonais do quadrado em que aquela se inscreve. As projeções de A e C determinaram-se imediatamente através dos planos ortogonais à char neira que os contém, uma vez que são ambos pontos da reta f. As retas f e f são as duas retas frontais (de frente) do plano a que se recorreu para determinar as projeções de B e D note que f e f são, também, as retas suporte de dois lados do quadrado. Determinaram-se as projeções de B e D e do quadrado em que a circunferência se inscreve a projeção frontal do quadrado é um retângulo e a sua projeção horizontal é um paralelogramo. Já temos quatro pontos de cada uma das elipses. Em seguida desenharam-se, diretamente em projeções, as projeções das medianas e das diagonais do quadrado, que se bissetam duas a duas sobre as projeções homónimas do ponto O. Através de planos ortogonais à charneira, transportaram-se, para as projeções frontais das diagonais do quadrado, os pontos de interseção da circunferência com aquelas. A partir das projeções frontais desses quatro pontos, determinaram-se as suas projeções horizontais sobre as projeções horizontais das diagonais do quadrado. Já temos oito pontos para desenhar cada uma das duas curvas. No que respeita à elipse que é a projeção frontal da circunferência, [A 2 C 2 ] é o seu eixo maior, [B 2 D 2 ] é o seu eixo menor e a curva é tangente aos lados do retângulo em A 2, B 2, C 2 e D 2, precisamente. Já no que respeita à elipse que é a projeção horizontal da circunferência, optou-se por desenhála imediatamente, a partir dos oito pontos determinados e dos seus pontos de tangência ao paralelogramo envolvente (A 1, B 1, C 1 e D 1 ). No entanto, este desenho carece do rigor da outra elipse, uma vez que não foram determinados os seus dois eixos. Para tal bastaria, em rebatimento, determinar o diâmetro da circunferência que é paralelo a h λr e o outro que lhe é perpendi cular a projeção horizontal do primeiro seria o eixo maior dessa elipse e a projeção horizontal do segundo seria o eixo menor dessa mesma elipse. Esse procedimento dar-nos-ia mais quatro pontos da curva em cada uma das projeções, o que permitiria um desenho ainda mais preciso das duas elipses (com um total de doze pontos). No entanto, optou-se por não efetuar esses procedimentos na solução apresentada, uma vez que a quantidade de informação gráfica que tal iria provocar dificultaria, em muito, a leitura da resolução gráfica proposta. 70. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ pelos seus traços e determinaram-se as projeções do ponto O, recorrendo a uma reta auxiliar do plano a reta r. Para determinar as projeções da circunferência, há que rebater previamente o plano ρ e construir a circunferência em V.G., em rebatimento, pois a figura não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Na presente situação, não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados. Optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ ). O traço frontal do plano ρ, a reta r e o ponto O rebateram-se, conforme exposto no relatório do exercício 65. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em O r e com 3 cm de raio (o raio da circunferência pedida), desenhou-se a circunferência em V.G., em rebatimento. Tal como na situação do exercício anterior, as duas projeções da circunferência serão elipses. No entanto, na presente situação, o diâmetro que não sofre deformação em projeção frontal é o mesmo que também não sofre deformação em projeção horizontal, tal como o diâmetro da circunferência que sofre a deformação máxima em projeção frontal é o mesmo que também sofre a deformação máxima em projeção horizontal. Assim, os diâmetros que nos darão os eixos da elipse que é a projeção frontal da circunferência são os mesmos que nos darão os eixos da elipse que é a projeção horizontal da circunferência. O eixo de homologia é a charneira, que é f ρ. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado de lados paralelos a f ρ (o quadrado [ABCD]) e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado dão-nos, imediatamente, os extremos dos dois eixos das elipses a mediana fronto-horizontal é o diâmetro cujas projeções são os eixos maiores das duas elipses, enquanto que a mediana de perfil é o diâmetro cujas projeções são os eixos menores das duas elipses. Em seguida determinaram - -se as projeções do quadrado, a partir de dois dos seus vértices A e C. A reta s, que passa por A e C, foi a reta a que se recorreu para determinar as projeções de A e C. A partir destas, e atendendo a que o quadrado tem dois lados fronto-horizontais, determinaram-se as (Continua na página seguinte) 24

projeções de B e D e desenharam-se as duas projeções do polígono. Em seguida desenharam-se, imediatamente em projeções, as projeções das medianas e das diagonais do quadrado. Os pontos em que as medianas do quadrado se apoiam nos seus lados (em projeções) são, imediatamente, quatro pontos de cada uma das elipses e são, também, os pontos de tangência das elipses aos lados do quadrado. Já temos quatro pontos para o desenho de cada uma das elipses. Os outros quatro pontos são os pontos de interseção da circunferência com as diagonais do quadrado estes transportaram-se para as projeções das diagonais através dos planos de perfil (ortogonais à charneira) que contêm os respetivos arcos do rebatimento. A partir dos oito pontos assim conseguidos, desenharam-se as duas elipses que são as projeções da circunferência pedida. 71. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projeções do ponto O. Para determinar as projeções do quadrado há que rebater previamente o plano ρ e construir o quadrado em V.G., em rebatimento, pois o polígono não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Na presente situação não há qualquer diferença quanto ao plano de projeção para o qual se deverá rebater o plano ρ, no sentido de uma maior economia de traçados, tendo-se optado por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira é h ρ, que é o próprio eixo X). Para rebater o ponto O recorreu-se ao seu triângulo do rebatimento (ver exercício 67). Em seguida, com o compasso, fazendo centro em O r e com 4 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao quadrado, em V.G., em rebatimento, e construiu-se o polígono inscrito na circunferência, de acordo com os dados. Em primeiro lugar observou - -se que o lado [AB] faz um ângulo de 35 com o eixo X note que, de acordo com o enunciado, o ângulo referido não é em projeções mas, sim, no espaço, ou seja, é um ângulo que está contido no plano ρ e que, portanto, se encontra em V.G. em rebatimento. Como para construir um quadrado inscrito numa circunferência é necessário começar por um diâmetro inicial, que é uma das diagonais do quadrado, e atendendo a que as diagonais do quadrado fazem ângulos de 45 com os lados do polígono, começou-se por desenhar um diâmetro da circunferência que fizesse, com o eixo X, um ângulo de 80 (35 + 45 = 80 ). Por outro lado, atendendo a que o vértice A se situa à direita de B e tem afastamento inferior a B, esse dado permite-nos concluir o sentido da abertura do ângulo de 35 do lado [AB] esse ângulo terá, no espaço do 1.o Diedro, abertura para a esquerda. De acordo com as premissas atrás enunciadas, efetuou-se a construção do quadrado em V.G., em rebatimento, determinando todos os vértices do polígono (em rebatimento). Para determinar as projeções dos quatro vértices do polígono, inverteu-se o rebatimento do plano ρ, recorrendo a retas do plano. Assim, em primeiro lugar definiram-se, em rebatimento, as retas suportes dos lados [AD] e [BC] do polígono as retas a e b, respetivamente. Estas retas, porque pertencem ao plano ρ e são oblíquas, serão necessariamente retas passantes. Para determinar as projeções destas retas houve a necessidade de recorrer a uma outra reta do plano a reta r, paralela às retas a e b e passando por O. A reta r é também uma reta passante, e o seu ponto de concorrência com o eixo X é fixo (note que não se identificou esse ponto no desenho). Assim, as projeções da reta r determinaram-se imediatamente, a partir do seu ponto de concorrência com o eixo X e das projeções do ponto O. Em seguida, desenharam-se as projeções das retas a e b ficam definidas por um ponto (os respetivos pontos de concorrência com o eixo X, que são fixos) e por uma direção (são paralelas à reta r). A partir das projeções das retas a e b determinaram-se as projeções dos quatro vértices do quadrado conduzindo, por cada um deles, o plano ortogonal à charneira (o plano de perfil) que contém o respetivo arco do rebatimento, e determinando os pontos de interseção daqueles com as projeções das retas a e b. A partir das projeções de A, B, C e D, desenharam-se as projeções do quadrado. Note que as retas utilizadas correspondem a uma das muitas situações a que se pode recorrer para a resolução do exercício poder-se-ia ter recorrido, por exemplo, às retas suportes dos outros dois lados do quadrado. 25

17 PROBLEMAS MÉTRICOS 72. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções. Em seguida, desenharam-se as projeções do segmento [AB], que é o segmento representativo da distância de A a B (a distância entre os dois pontos é o comprimento do segmento). O segmento [AB] é horizontal (de nível), pelo que se projeta em V.G. no Plano Horizontal de Projeção a V.G. de A B está na projeção horizontal de [AB], ou seja, em A 1 B 1. 73. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos M e N, pelas suas projeções. Em seguida, desenharam-se as projeções do segmento [MN], que é o segmento representativo da distância de M a N. O segmento não é paralelo a nenhum dos dois planos de projeção, pelo que a distância entre os dois pontos não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. É, pois, necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar que, tal como é pedido no enunciado, deverá ser o rebatimento do plano projetante horizontal do segmento (plano α) para o plano horizontal (de nível) que contém o ponto N. Assim, em seguida representou-se o plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém N, e determinou-se a charneira do rebatimento reta e. Esta é a reta de interseção dos dois planos (é uma reta horizontal) e 2 (f ν ), pois ν é projetante frontal e, em projeção horizontal, e 1 está sobre [M 1 N 1 ], pois o plano α é projetante horizontal. N r N 1, pois N é um ponto da charneira (roda sobre si próprio). Em seguida conduziu-se, por M 1, uma perpendicular à charneira esta corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de M. Sobre esta perpendicular representou-se a distância de M a ν (3 cm a cota de M em relação a ν), obtendo M r. M N r r é a V.G. de M N. 74. Ver relatório do exercício anterior. É necessário recorrer a um processo geométrico auxiliar que, tal como é pedido no enunciado, deverá ser o rebatimento do plano projetante frontal do segmento [MN] (plano θ) para o plano frontal (de frente) que contém o ponto N. Assim, representou-se o plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém N e determinou-se a charneira do rebatimento. Esta é a reta e, que é a reta de interseção de ϕ com o plano projetante frontal de [MN] (plano θ) é uma reta frontal (de frente), sendo e 1 (h ϕ ), pois ϕ é projetante horizontal, e e 2 está sobre [M 2 N 2 ], pois θ é projetante frontal. N r N 2, pois N é um ponto da charneira (é fixo roda sobre si próprio). Em seguida, conduziu-se, por M 2, uma perpendicular à charneira esta corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de M. Sobre esta perpendicular representou-se a distância de M a ϕ (3 cm o afastamento de M em relação a ϕ), obtendo M r. M N r r é a V.G. de M N. 26

75. Em primeiro lugar, representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projeções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, da seguinte forma: 1. conduziu-se, por A, uma reta p, ortogonal a θ a reta p é uma reta frontal (de frente); 2. determinou-se o ponto I, o ponto de interseção da reta p com o plano θ; 3. o segmento [AI] é o segmento representativo da distância de A a θ, pelo que a distância de A a I é a distância de A a α. O segmento [AI] projeta-se em V.G. no Plano Frontal de Projeção, pois é paralelo a este A 2 I 2 é, assim, a V.G. da distância de A a θ. 76. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e o ponto P, pelas suas projeções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício anterior. A reta p, ortogonal a ν e que passa por P, é vertical é paralela ao Plano Frontal de Projeção. O segmento [PI] projeta-se, assim, em V.G. no Plano Frontal de Projeção, pois é paralelo a este P 2 I 2 é, assim, a V.G. da distância de P a ν. 77. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e o ponto T, pelas suas projeções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício 75. A reta p, ortogonal a ϕ e que passa por T, é de topo é paralela ao Plano Horizontal de Projeção. O segmento [TI] projeta-se, assim, em V.G. no Plano Horizontal de Projeção, pois é paralelo a este T 1 I 1 é, assim, a V.G. da distância de T a ϕ. 78. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto M, pelas suas projeções. O plano α tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício 75. Assim, tem-se: 1. por M conduziu-se uma reta p, ortogonal a γ (trata-se de uma reta oblíqua, cujas projeções são perpendiculares aos traços homónimos do plano γ); 2. determinou-se o ponto I, o ponto de interseção da reta p com o plano γ (o ponto I determinou-se com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos, uma vez que nem a reta p nem o plano γ são projetantes o plano α foi o plano auxiliar a que se recorreu); 3. a distância de M a I é a distância de M a γ, pelo que o segmento [MI] é o segmento representativo da distância de M a γ. O segmento não se projeta em V.G., pelo que se recorreu ao rebatimento do plano α (o plano projetante horizontal de [MI]) para o plano horizontal (de nível) que passa pelo ponto I (ver relatório do exercício 73). M I r r é a V.G. de M I. 27

79. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto P, pelas suas projeções. Sobre a determinação das projeções da distância do ponto P ao plano α, ver relatório do exercício anterior. [PI] é o segmento representativo da distância de P a α, que não se projeta em V.G, pelo que se recorreu ao rebatimento do plano θ (o plano projetante frontal de [PI]) para o plano frontal (de frente) que passa pelo ponto I (ver relatório do exercício 74). P I r r é a V.G. da distância de P a α (que é P I ). 80. Em primeiro lugar, representaram-se o plano μ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projeções. O plano μ tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Sobre a determinação das projeções da distância do ponto A ao plano μ, ver relatório do exercício 78. Note que a reta p, a reta ortogonal ao plano μ que passa por A, tem as suas projeções paralelas entre si. Sobre a determinação da V.G. dessa distância, ver relatório do exercício anterior. Note que se rebateu o plano θ (o plano projetante frontal da reta p) para o plano frontal (de frente) que passa por A. 81. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projeções. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício 75. 1. Por A conduziu-se uma reta p, ortogonal ao plano ρ a reta p é uma reta de perfil. 2. Em seguida, determinou-se o ponto I, o ponto de interseção da reta p com o plano ρ, com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos (pois nem a reta nem o plano são projetantes) e ao rebatimento do plano de perfil que contém p. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu e que contém a reta p. A reta i é a reta de interseção dos dois planos (é uma reta de perfil) e está definida pelos seus traços nos planos de projeção. A determinação do ponto de concorrência das duas retas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π ). A reta i r está definida por F r e H r. A reta p, em rebatimento (a reta p r ) contém A r e é perpendicular a i r. As retas p r e i r são concorrentes em I r. 3. A r- I r é a V.G. da distância de A a ρ. Em seguida inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projeções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as projeções do segmento [AI], que é o segmento representativo da distância de A a ρ. 28

82. Ver relatório do exercício anterior. 83. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projeções, e o plano ρ, indicando os seus traços (que estão coincidentes com o eixo X) e determinando as projeções do ponto A. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício 75. 1. Por P conduziu-se uma reta p, ortogonal ao plano ρ a reta p é uma reta de perfil. 2. Em seguida, determinou-se o ponto I, o ponto de interseção da reta p com o plano ρ, com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos (pois nem a reta nem o plano são projetantes) e ao rebatimento do plano de perfil que contém p. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu e que contém a reta p. A reta i é a reta de interseção dos dois planos é uma reta de perfil passante. Para definir a reta i, da qual já temos um ponto (o seu ponto de concorrência com o eixo X) recorreu - -se a uma reta auxiliar do plano ρ a reta g, fronto-horizontal, que passa por A. O ponto A é o ponto de interseção de g com o plano π e é outro ponto da reta i. A determinação do ponto de concorrência das duas retas processou-se com o recurso ao rebatimento do plano π (para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π ). A reta i r está definida por A r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X (que é fixo, pois é um ponto da charneira). A reta p, em rebatimento (a reta p r ) contém P r e é perpendicular a i r. As retas p r e i r são concorrentes em I r. 3. P I r r é a V.G. da distância de P a ρ. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano π, determinando as projeções do ponto I, o que nos permitiu desenhar as projeções do segmento [PI], que é o segmento representativo da distância de P a ρ. 84. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e γ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos, da seguinte forma: 1. conduziu-se uma reta p, qualquer, ortogonal aos dois planos a reta p é uma reta horizontal (de nível); 2. determinaram-se os pontos A e B, respetivamente os pontos de interseção da reta com os planos α e γ; 3. o segmento [AB] é um segmento representativo da distância entre os dois planos, pelo que a distância de A a B é a distância entre os planos α e γ. O segmento [AB] projeta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projeção, pois é paralelo a este A B 1 1 é a V.G. da distância entre os dois planos. 29

85. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ν e ν 1, pelos seus traços frontais, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos, conforme exposto no relatório do exercício anterior. A reta p é vertical, pelo que se projeta em V.G. no Plano Frontal de Projeção A 2 B 2 é a V.G. da distância de ν a ν 1. 86. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e μ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma reta p, qualquer, ortogonal aos dois planos a reta p é uma reta oblíqua. 2. Determinaram- -se os pontos A e B, respetivamente os pontos de interseção da reta p com os planos α e μ. Como nem a reta p nem os planos α e são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos. Assim, conduziu-se, pela reta p, um plano θ, auxiliar (é o plano projetante frontal da reta). Em seguida, determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos μ e θ (que está definida por F e H). O ponto de concorrência das retas i e p é B, que é o ponto de interseção de p com μ. Em seguida, determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos θ e α a reta i está definida por F (o seu traço frontal) e por uma direção (é paralela a i). O ponto de concorrência das retas i e p é A, que é o ponto de interseção de p com α. 3. O segmento [AB] é um segmento representativo da distância entre os dois planos, pelo que a distância de A a B é a distância entre os planos α e μ. O segmento [AB] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que se rebateu o seu plano projetante frontal (o plano θ) para o plano frontal (de frente) que passa por B (ver exercício 74). A r B r é a V.G. da distância de α a μ. 87. Em primeiro lugar, representaram-se os planos δ e θ, pelos seus traços, em função dos dados. Sobre a determinação da distância entre os dois planos, ver relatório do exercício anterior. A V.G. do segmento [AB] determinou-se rebatendo o seu plano projetante horizontal (o plano α) para o plano horizontal (de nível) que passa por B (ver exercício 73). 30

88. Em primeiro lugar, representaram-se os planos α e δ, pelos seus traços, em função dos dados. Ambos os planos têm os seus traços coincidentes, pois são ortogonais ao β 2/4. Para acompanhar a resolução do exercício apresentada, ver relatório do exercício anterior. 89. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços. Os dois planos, sendo paralelos ao β 2/4, são ortogonais ao β 1/3, pelo que ambos os planos têm os seus traços simétricos em relação ao eixo X. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma reta p, qualquer, ortogonal aos dois planos a reta p é uma reta de perfil. 2. Determinaram-se os pontos A e B, respetivamente os pontos de interseção da reta p com os planos ρ e σ. Como nem a reta p nem os planos ρ e σ são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos. Assim, conduziu-se, pela reta p, um plano π, auxiliar (um plano de perfil). Em seguida determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos π e ρ (que está definida por F e H, os seus traços). Não é possível determinar diretamente o ponto de concorrência das retas p e i. Em seguida determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos π e σ (que está definida por F e H, os seus traços). Também não é possível determinar diretamente o ponto de concorrência das retas i e p. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h π. A reta i r está definida por F r e H r e a reta i r está definida por F r e H r. Em rebatimento, desenhou-se p r, qualquer, perpendicular a i r e i r e determinaram-se os pontos de concorrência de p r com aquelas A r e B r, respetivamente. A é o ponto de interseção de p com ρ e B é o ponto de interseção de p com σ. 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. A B r r é, assim, a V.G. da distância entre os dois pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projeções de A e B. As projeções do segmento [AB] são as projeções de um segmento representativo da distância entre os dois planos. 90. Em primeiro lugar, representaram-se os traços dados dos planos ρ e σ. O plano ρ está definido pelos seus traços. O plano σ está definido pelo seu traço horizontal e pela sua orientação é paralelo a ρ. Sobre a determinação da distância entre os dois planos, ver relatório do exercício anterior. Note que a reta i, a reta de interseção do plano π com o plano ρ, está definida por um ponto (H, o seu traço horizontal) e por uma direção (é paralela à reta i, pois um plano corta dois planos paralelos segundo duas retas paralelas). Assim, em rebatimento, a reta i r passa por H r e é paralela à reta i r. Note que não se determinou o traço frontal do plano σ, por tal não ser essencial à resolução do exercício. O problema teria uma resolução mais simples caso se tivesse optado por uma mudança do diedro de projeção, conforme se expôs na página 120 do Manual. 31

91. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos o plano ρ está definido pelo eixo X e pelas projeções do ponto P, enquanto o plano σ está definido pelo seu traço horizontal e pela sua orientação (é paralelo a ρ). Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância entre dois planos. 1. Conduziu-se uma reta p, qualquer, ortogonal aos dois planos a reta p é uma reta de perfil. Com vista a uma maior economia de traçados, optou- -se por se situar a reta p no plano de perfil que contém o ponto P. 2. Determinaram-se os pontos A e B, respetivamente os pontos de interseção da reta p com os planos ρ e σ. Como nem a reta p nem os planos ρ e σ são projetantes, recorreu-se ao método geral da interseção entre retas e planos. Assim, conduziu-se, pela reta p, um plano π, auxiliar (um plano de perfil). Em seguida determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos π e ρ. A reta i é uma reta de perfil passante, que está definida pelo ponto P (que é um ponto dos dois planos) e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X. Não é possível determinar diretamente o ponto de concorrência das retas p e i. Em seguida determinou-se a reta i, a reta de interseção dos planos π e σ (que está definida por H, o seu traço horizontal, e por uma direção é paralela à reta i). Também não é possível determinar diretamente o ponto de concorrência das retas i e p. Há que resolver o exercício com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π. A reta i r está definida por P r e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo (é um ponto da charneira). A reta i r está definida por H r e pela sua direção é paralela a i r. Em rebatimento, desenhou-se p r, qualquer, perpendicular a i r e i r e determinaram- -se os pontos de concorrência de p r com aquelas A r e B r, respetivamente. A é o ponto de interseção de p com ρ e B é o ponto de interseção de p com σ. 3. A distância entre os dois pontos é a distância entre os dois planos. A B r r é, assim, a V.G. da distância entre os dois pontos (e da distância entre os dois planos). Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projeções de A e B. As projeções do segmento [AB] são as projeções de um segmento representativo da distância entre os dois planos. Note que se poderia ter conduzido a reta p pelo ponto P P seria, imediatamente, o ponto de interseção da reta p com o plano ρ. Note ainda que, no caso dos planos passantes, o recurso à mudança do diedro de projeção para a resolução do exercício teria ainda mais vantagens do que nas situações anteriores, pelo que se aconselha vivamente que o estudante efetue esse estudo. 92. Em primeiro lugar, representaram-se a reta h e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Uma vez que a distância de um ponto a uma reta é medida perpendicularmente à reta, há que conduzir, pelo ponto, uma reta perpendicular à reta h. Tal procedimento pode efetuar-se com o recurso ao método geral para a determinação da distância de um ponto a uma reta mas, atendendo a que a reta h é paralela ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que a perpendicularidade é direta em projeção horizontal, é possível conduzir, por P, uma reta perpendicular à reta h de forma direta a reta p. Assim conduziu-se p 1 por P 1, perpendicular a h 1 p 1 e h 1 são concorrentes em I 1, que é a projeção horizontal do ponto de concorrência das duas retas. I 2 situa-se sobre h 2, na linha de chamada de I 1 p 2 fica definida por P 2 e I 2. A reta p, definida por P e I, é a reta perpendicular à reta h que passa por P. [PI] é o segmento representativo da distância de P a h, que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (é oblíquo a ambos). Para determinar a V.G. de [PI], rebateu-se o plano projetante horizontal de [PI] para o plano horizontal (de nível) ν que passa por I (ver exercício 73). Note que o plano ν contém a reta h. P r I r é a V.G. da distância de P a h. 93. Em primeiro lugar, representaram-se a reta v e o ponto A, pelas suas projeções, em função dos dados. Uma vez que a distância de um ponto a uma reta é medida perpendicularmente à reta, há que conduzir, pelo ponto, uma reta perpendicular à reta h. Tal como no exercício anterior, atendendo a que a reta v é paralela ao Plano Frontal de Projeção (a perpendicularidade é direta em projeção frontal), é possível conduzir, por A, uma reta perpendicular à reta v de forma direta a reta p. Assim conduziu-se p 2 por A 2, perpendicular a v 2 p 2 e v 2 são concorrentes em I 2, que é a projeção frontal do ponto de concorrência das duas retas. A reta v é projetante horizontal, pelo que I 1 está coincidente com a projeção horizontal da reta (v 1 ) p 1 fica definida por A 1 e I 1. A reta p, definida por A e I, é a reta perpendicular à reta v que passa por A. A reta p é uma reta horizontal (de nível), pelo que o segmento [AI] se projeta em V.G. em projeção horizontal A I 1 1 é a V.G. da distância de A a v. 32

94. Em primeiro lugar, representaram-se a reta g e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Uma vez que a distância de um ponto a uma reta é medida perpendicularmente à reta, há que conduzir, pelo ponto, uma reta perpendicular à reta g. Uma reta fronto-horizontal é paralela aos dois planos de projeção, pelo que a perpendicularidade é direta em ambas as projeções uma reta perpendicular a uma reta fronto-horizontal é necessariamente uma reta de perfil, que seja concorrente com a reta fronto-horizontal. Assim, tal como nos exercícios anteriores, é possível evitar o recurso ao método geral e conduzir, por P, uma reta perpendicular à reta g de forma direta a reta p. A reta p, de perfil, passa por P e é concorrente com a reta g no ponto I, que se determinou diretamente. A reta p, definida por P e I, é a reta perpendicular à reta g que passa por P. [PI] é o segmento representativo da distância de P a g, que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a V.G. de [PI], recorreu-se a uma mudança do diedro de projeção transformou-se o segmento num segmento frontal (de frente). Para tal, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4), paralelo a [PI]. O eixo X é a reta de interseção do plano 1 com o plano 4 e as projeções de P e I no plano 4 determinaram-se em função das suas cotas, que se mantiveram. No novo diedro de projeção, o segmento [PI] é frontal (de frente), pelo que a V.G. de [PI] está na sua projeção no plano 4 P 4 I 4 é a V.G. da distância de P a g. 95. Em primeiro lugar, representaram-se a reta m e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. As projeções da reta m fazem, ambas, ângulos de 30 (a.e.) com o eixo X, pois a reta é paralela ao β 1/3. Optou-se por resolver o exercício a duas dimensões, no plano definido pela reta e pelo ponto. Assim, rebateu-se esse plano para o plano horizontal (de nível) ν que contém o ponto P a charneira do rebatimento (reta e) fica definida pelo ponto P e pelo ponto de interseção da reta m com o plano ν, que é o próprio traço frontal da reta (o ponto F note que F e P têm a mesma cota). P r P 1 e F r F 1, pois P e F são dois pontos da charneira. Já temos um ponto para definir a reta m em rebatimento. Recorreu-se a um outro ponto (o ponto A) da reta, para rebater a reta m r fica definida por A r e F r. Em rebatimento (no plano definido pela reta e pelo ponto), conduziu-se, por P r, uma perpendicular a m r, obtendo I r P I r r é a V.G. da distância de P a m. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, obtendo I 1 sobre m 1 e I 2, na mesma linha de chamada de I 1, sobre m 2. A partir das projeções de I, obtiveram-se as projeções de [PI], que é o segmento representativo da distância de P a m. 96. Em primeiro lugar, representaram-se a reta s e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. Sobre a determinação da distância do ponto à reta, ver relatório do exercício anterior. A charneira do rebatimento (reta e) está definida pelo ponto M e pelo ponto A, que é o ponto de interseção da reta s com o plano ν. O ponto a que se recorreu para rebater a reta foi o ponto S. 33

97. Em primeiro lugar, representaram-se a reta r e o ponto A, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r tem as suas projeções simétricas em relação ao eixo X, pois é uma reta do β 1/3. Sobre a determinação da distância do ponto à reta, ver relatório do exercício 95. A charneira do rebatimento (reta e) está definida pelo ponto A e pelo ponto B, que é o ponto de interseção da reta r com o plano ν. O ponto C foi o ponto da reta a que se recorreu para rebater a reta r. 98. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto P, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, recorrendo a uma mudança do diedro de projeção, transformou-se a reta p numa reta horizontal (de nível). Para tal, substituiu-se o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) por um plano 4, paralelo à reta p, criando um diedro de projeção no qual p é uma reta horizontal (de nível). As projeções da reta p e do ponto P no plano 4 determinaram-se em função dos afastamentos dos pontos, que se mantêm. Uma vez que, no novo diedro de projeção (formado pelo plano 2 e pelo plano 4), a reta é paralela ao plano 4, a perpendicularidade é direta neste plano. Assim, por P 4 conduziu-se uma perpendicular a p 4, obtendo I 4 I 2 situa-se sobre p 2, na linha de chamada de I 4. A projeção horizontal de I, I 1, determinou-se em função do seu afastamento (a distância de I 4 ao eixo X ). A partir das projeções de I no diedro de projeção inicial, desenharam-se as projeções do segmento [PI], que é o segmento representativo da distância de P a p [PI] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pois é oblíquo a ambos. Assim, para determinar a V.G. de P Ι recorreu-se ao rebatimento do plano projetante frontal de [PI] para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por P (ver exercício 74). P I r r é a V.G. da distância do ponto P à reta p. 99. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto A, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral para a determinação da distância de um ponto a uma reta. 1. Por A conduziu-se um plano ρ, ortogonal à reta p o plano ρ é um plano de rampa, que está definido por A e pela sua orientação (é ortogonal a p). 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta p com o plano ρ. Nem a reta nem o plano são projetantes, pelo que se recorreu ao método geral da interseção de retas com planos. Assim, por p conduziu-se um plano de perfil π e determinou-se a reta i, que é a reta de interseção de π com ρ. A reta i está definida por A e pela sua direção (é perpendicular a p). O ponto A obteve-se conduzindo, por A, uma reta do plano ρ a reta g, fronto-horizontal. O ponto de interseção de g com π é A, que é um ponto comum aos dois planos e, por isso, é um ponto da reta i. O ponto de concorrência das retas p e i determinou-se em rebatimento, rebatendo π para o Plano Frontal de Projeção. A reta p r está definida por M r e N r e a reta i r passa por A r e é perpendicular a p r p r e i r são concorrentes em I r (I é o ponto de interseção da reta p com o plano ρ). Invertendo o rebatimento obtiveram-se as projeções de I e do segmento [AI]. 3. A distância de A a I é a distância do ponto A à reta p [AI] é, assim, o segmento representativo da distância do ponto A à reta p. O segmento [AI] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que a determinação da sua V.G. se processou através do rebatimento do plano projetante horizontal do segmento para o plano horizontal (de nível) que passa por A (ver exercício 73) a charneira é a reta e. A r I r é a V.G. da distância do ponto A à reta p. 34

100. Em primeiro lugar, representaram-se a reta p e o ponto M, pelas suas projeções, em função dos dados. A determinação da distância do ponto M à reta p processou-se com o recurso a uma mudança do diedro de projeção, à semelhança do efetuado no exercício 98, pelo que se aconselha a leitura do respetivo relatório. Tal como no exercício 98, também aqui se determinou a V.G. da distância M M I rebatendo o plano projetante frontal do segmento [MI] para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por M. 101. Em primeiro lugar, representaram-se as retas f e f, pelas suas projeções, em função dos dados. As duas retas são concorrentes, pelo que definem um plano trata-se de um plano frontal (de frente). O ângulo formado entre as duas retas está contido nesse plano, que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção o ângulo formado entre as retas f e f projeta-se, assim, em V.G. no Plano Frontal de Projeção. O ângulo entre f e f é, assim, qualquer dos dois ângulos agudos entre f 2 e f 2, que têm vértice em A 2 e que se projetam em V.G. no Plano Frontal de Projeção. Assinalou-se um dos ângulos a traço forte (as semirretas que limitam o ângulo) e assinalou-se a V.G. da sua amplitude com αº. 102. Em primeiro lugar, representaram-se as retas h e h, pelas suas projeções, em função dos dados. As duas retas são enviesadas, pelo que não formam, diretamente, nenhum ângulo entre si. No entanto, o ângulo que formam entre si indiretamente é igual ao ângulo que duas retas concorrentes paralelas às retas dadas formam entre si. Assim, por um ponto P, da reta h, conduziu-se uma reta h, paralela à reta h as retas h e h são concorrentes e o ângulo que formam entre si (diretamente) é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo que as retas h e h formam entre si (indiretamente). Sendo concorrentes, as retas h e h definem um plano trata - -se de um plano horizontal (de nível). O ângulo entre as duas retas projeta-se, assim, em V.G. no Plano Horizontal de Projeção a V.G. do ângulo entre h e h é qualquer dos dois ângulos agudos formados entre h 1 e h 1, com vértice em P 1. Note que se poderia ter igualmente resolvido o exercício recorrendo a uma reta concorrente com a reta h e paralela à reta h. 103. Em primeiro lugar, representaram-se as retas r e s, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r é uma reta do β 1/3, pelo que as suas projeções são simétricas em relação ao eixo X. A reta s, sendo paralela ao β 2/4, tem as suas projeções paralelas entre si. As duas retas são concorrentes, pelo que definem um plano o ângulo entre as duas retas está contido nesse plano e tem vértice em P. Uma vez que o plano definido pelas duas retas não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas retas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas retas para um plano horizontal (de nível) ν. A charneira do rebatimento (reta e) é a reta de interseção dos dois planos e está definida pelos pontos A e B (os pontos de interseção do plano ν com as retas r e s, respetivamente). A r A 1 e B r B 1, pois A e B são pontos da charneira (são fixos rodam sobre si próprios). Rebateu-se o ponto P pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ν (a cota de P em relação a ν) r r fica definida por A r e P r e s r fica definida por B r e P r. A V.G. do ângulo entre r e s é qualquer dos dois ângulos agudos entre r r e s r, com vértice em P r identificou-se o ângulo através das semirretas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com αº. 35

104. Em primeiro lugar, representaram-se as retas m e n, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta n, sendo paralela ao β 2/4, tem as suas projeções paralelas entre si. As retas m e n são enviesadas, pelo que não formam nenhum ângulo diretamente. Assim, para determinar o ângulo formado entre m e n conduziu-se, por um ponto P da reta m, uma reta n, paralela a n as retas m e n são concorrentes, pelo que definem um plano e o ângulo que as retas m e n formam entre si está contido nesse plano (e tem vértice em P). Sobre a determinação do ângulo formado entre as retas m e n, ver relatório do exercício anterior. A V.G. do ângulo entre m e n está em qualquer dos dois ângulos agudos entre m r e n r, com vértice em P r identificou-se o ângulo através das semirretas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α. 105. Em primeiro lugar, representaram-se as retas n e p, pelas suas projeções, em função dos dados. As retas n e p são enviesadas, pelo que não formam nenhum ângulo diretamente. Assim, para determinar o ângulo formado entre n e p, conduziu-se, pelo ponto B da reta p, uma reta n, paralela a n as retas p e n são concorrentes, pelo que definem um plano e o ângulo que as retas p e n formam entre si está contido nesse plano (e tem vértice em B). Uma vez que o plano definido pelas duas retas não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, para determinar a V.G. do ângulo entre as duas retas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas retas para o plano frontal (de frente) ϕ que passa por A. A charneira do rebatimento (reta e) é a reta de interseção dos dois planos e está definida pelos pontos A e C (os pontos de interseção do plano ϕ com as retas p e n, respetivamente). A r A 2 e C r C 2, pois A e C são pontos da charneira (são fixos rodam sobre si próprios). Rebateu-se o ponto B pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ϕ (o afastamento de B em relação a ϕ) p r fica definida por A r e B r e n r fica definida por C r e B r. A V.G. do ângulo entre p e n é qualquer dos dois ângulos agudos entre p r e n r, com vértice em B r identificou-se o ângulo através das semirretas que limitam o ângulo e assina lando a sua amplitude com a letra θ. 106. Em primeiro lugar, representaram-se as retas r e h, pelas suas projeções, em função dos dados. As projeções da reta r fazem, ambas, ângulos de 45 (a.d.) com o eixo X, pois r é paralela ao β 1/3. As retas r e h são enviesadas, pelo que não formam nenhum ângulo diretamente. Para determinar o ângulo formado entre r e h conduziu-se, pelo ponto T da reta h, uma reta r, paralela a r as retas h e r são concorrentes, pelo que definem um plano e o ângulo que as retas h e r formam entre si está contido nesse plano (e tem vértice em T). O plano definido pelas duas retas não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que para determinar a V.G. do ângulo entre as duas retas é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano definido pelas duas retas para o plano horizontal (de nível) ν que contém a reta h. A charneira do rebatimento (reta e) é a reta de interseção dos dois planos, pelo que é a própria reta h (note que se poderia ter assinalado que h e e são a mesma reta, mas optou-se por omitir a representação da reta e) h r h 1, pois a reta h roda sobre si própria. T r T 1 pois T é um ponto da charneira. Para rebater a reta r é necessário o recurso a um ponto qualquer da reta o ponto A, por exemplo. A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância a ν (a cota de A em relação a ν). A reta r r está definida por T r e A r. A V.G. do ângulo entre r e h está em qualquer dos dois ângulos agudos entre h r e r r, com vértice em T r identificou-se o ângulo através das semirretas que limitam o ângulo e assinalando a sua amplitude com α. 36

107. Em primeiro lugar, representou-se a reta f, pelas suas projeções. Para determinar o ângulo que a reta f faz com o Plano Horizontal de Projeção executaram-se sequencialmente as três etapas do método geral para a determinação do ângulo entre uma reta e um plano. 1. Determinou-se o ponto de interseção da reta f com o Plano Horizontal de Projeção H. H é o traço horizontal da reta f. 2. Determinou-se a projeção ortogonal da reta f no Plano Horizontal de Projeção. Esta está imediatamente determinada, pois é f 1, a projeção horizontal da reta f (que é outra reta). 3. O ângulo entre a reta f e a reta f 1 é o ângulo entre a reta f e o Plano Horizontal de Projeção. O ângulo entre a reta f e a reta f 1 está contido no plano definido pelas duas retas (que é um plano frontal de frente) é um plano paralelo ao Plano Frontal de Projeção e é o plano ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção que contém a reta f. O ângulo entre f e f 1 projeta-se, assim, em V.G. no Plano Frontal de Projeção é qualquer dos ângulos agudos entre f 2 e o eixo X (a projeção frontal da reta f 1 está no eixo X), com vértice em H 2. 108. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ϕ, pelo seu traço horizontal, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. O ângulo entre a reta r e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a reta r e o Plano Frontal de Projeção. Assim, há que determinar o ângulo entre a reta r e o Plano Frontal de Projeção, o que se efetuou com o recurso ao método geral para a determinação do ângulo entre uma reta e um plano. 1. Determinou-se o ponto de interseção da reta r com o Plano Frontal de Projeção F. F é o traço frontal da reta r. 2. Determinou-se a projeção ortogonal da reta r no Plano Frontal de Projeção. Esta está imediatamente determinada, pois é r 2, a projeção frontal da reta r (que é outra reta). 3. O ângulo entre a reta r e a reta r 2 é o ângulo entre a reta r e o Plano Frontal de Projeção (e é igual ao ângulo entre a reta r e o plano ϕ). Este ângulo está contido no plano definido pelas retas r e r 2 é um plano de topo α e é o plano projetante frontal da reta r. O plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o ângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a VG. do ângulo pretendido optou-se por rebater o plano α para o plano horizontal (de nível) ν que passa por F. A charneira do rebatimento (reta e) é a reta de interseção dos dois planos que é uma reta de topo. F r F 1 pois F é um ponto da charneira. Em seguida rebateu-se o ponto B e a reta r r fica definida por F r e B r. A V.G. do ângulo entre r e ϕ está em qualquer dos ângulos agudos entre r r e o eixo X, com vértice em F r, e identificou-se com a letra θ. 109. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. As projeções da reta r são simétricas em relação ao eixo X, pois trata-se de uma reta do β 1/3. O ângulo entre a reta r e o plano ν é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a reta r e o Plano Horizontal de Projeção. Assim, há que determinar o ângulo entre a reta r e o Plano Horizontal de Projeção, o que se efetuou com o recurso ao método geral para a determinação do ângulo entre uma reta e um plano. 1. Determinou-se o ponto de interseção da reta r com o Plano Horizontal de Projeção H. H é o traço horizontal da reta r e é o seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma reta passante. 2. Determinou-se a projeção ortogonal da reta r no Plano Horizontal de Projeção. Esta está imediatamente determinada, pois é r 1, a projeção horizontal da reta r (que é outra reta). 3. O ângulo entre a reta r e a reta r 1 é o ângulo entre a reta r e o Plano Horizontal de Projeção (e é igual ao ângulo entre a reta r e o plano ν). Este ângulo está contido no plano definido pelas retas r e r 1 é um plano vertical γ e é o plano projetante horizontal da reta r. O plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o ângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a VG. do ângulo pretendido optou-se por rebater o plano γ para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebatimento (reta e) é a reta de interseção dos dois planos, que é uma reta vertical com afastamento nulo. H r H 2 pois H é um ponto da charneira. Em seguida rebateu-se um ponto A qualquer, da reta, e a reta r r fica definida por H r e A r. A V.G. do ângulo entre r e ν está em qualquer dos ângulos agudos entre r r e o eixo X, com vértice em H r, e tem α de amplitude. 37

110. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ν, pelo seu traço frontal, e a reta p, pelas suas projeções, em função dos dados. O ângulo entre a reta p e o plano ν é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo entre a reta p e o Plano Horizontal de Projeção. Assim, há que determinar o ângulo entre a reta p e o Plano Horizontal de Projeção, o que se efetuou com o recurso ao método geral para a determinação do ângulo entre uma reta e um plano. 1. Deter minou-se o ponto de interseção da reta p com o Plano Horizontal de Projeção H. H é o traço horizontal da reta p mas não tem determinação imediata, pois trata-se de uma reta de perfil. 2. Determinou-se a projeção ortogonal da reta p no Plano Horizontal de Projeção. Esta está imediatamente determinada, pois é p 1, a projeção horizontal da reta p (que é outra reta). 3. O ângulo entre a reta p e a reta p 1 é o ângulo entre a reta p e o Plano Horizontal de Projeção (e é igual ao ângulo entre a reta p e o plano ν). Este ângulo está contido no plano definido pelas retas p e p 1 é um plano de perfil π e é o plano projetante horizontal da reta p. Note que se tem necessariamente p 1 h π, pelo que o ângulo entre p e p 1 é o ângulo entre p e h π. O plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o ângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Para determinar a VG. do ângulo preten dido (o ângulo entre e h π ), optou-se por rebater o plano π para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebati mento é f π. A reta p r ficou definida por M r e N r. O ângulo entre p e ν é igual a qualquer dos ângulos agudos entre p r e h πr, com vértice em H r (que se determinou em rebatimento), e identificou-se com a letra θ. Note que, se bem que se tenha assumido, neste relatório, uma abordagem distinta da que é explicitada nas páginas do Manual, se mantêm rigorosamente os mesmos procedimentos e raciocínios. 111. Em primeiro lugar, representaram-se o plano θ, pelos seus traços, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados. A reta r é paralela ao β 1/3, pelo que as suas projeções fazem, ambas, ângulos de 30 (a.d.) com o eixo X. Uma vez que se trata do ângulo entre uma reta e um plano projetante, recorreu-se ao método geral para a determinação do ângulo entre uma reta e um plano. 1. Determinou-se o ponto I, o ponto de interseção de r com θ (I é o vértice do ângulo). 2. Determinou-se a projeção ortogonal da reta r no plano θ. Para tal conduziu-se, por A, uma reta p, ortogonal ao plano θ, e determinou-se o ponto de interseção da reta com o plano θ o ponto A. A é a projeção ortogonal do ponto P no plano θ. A reta r, definida por I e por A, é a projeção ortogonal da reta r no plano θ. A reta p é uma reta frontal (de frente). 3. O ângulo entre a reta r e a reta r é o ângulo entre a reta r e o plano θ. Este ângulo está contido no plano definido pelas retas r e r é um plano oblíquo. Note que o plano contém, também, a reta p. O ângulo não se projeta em V.G., pelo que se recorreu ao rebatimento do plano definido pelas duas retas para o plano frontal (de frente) ϕ que contém a reta f. A reta f é a própria charneira, pois é a reta de interseção dos dois planos. Tem-se imediatamente A r A 2 e A r A 2, pois A e A são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto I pelo triângulo do rebatimento. A reta r r fica definida por A r e I r e a reta r r fica definida por A r e por I r. O ângulo entre r e θ é qualquer dos ângulos agudos entre r r e r r, com vértice em I r, e identificou-se com α. 112. Em primeiro lugar, representaram-se o plano δ, pelos seus traços, e a reta m, pelas suas projeções, em função dos dados. O plano δ é ortogonal ao β 1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. Uma vez que se trata do ângulo entre uma reta e um plano não projetante, recorreu-se ao método do ângulo complementar. 1. Pelo ponto M, da reta, conduziu-se uma reta p, ortogonal ao plano. 2. O ângulo formado entre as duas retas está contido no plano definido pelas mesmas, e não se projeta em V.G. recorreu-se ao rebatimento do plano definido pelas duas retas para um plano frontal (de frente) ϕ. A charneira é a reta e, que é a reta de interseção dos dois planos e está definida pelos pontos A e B. Tem-se imediata - mente A r A 2 e B r B 2, pois A e B são dois pontos da charneira. Rebateu-se o ponto M pelo triângulo do rebatimento. A reta m r fica definida por A r e M r e a reta p r fica definida por B r e por M r. O ângulo entre m e p é qualquer dos ângulos agudos entre m r e p r, com vértice em M r, e identificou-se com 90 α, pois é o ângulo complementar do ângulo pretendido. 3. O ângulo entre a reta m e o plano δ é o ângulo complementar do ângulo 90 α assim, por M r conduziu-se uma perpendicular a p r. O ângulo pretendido é o ângulo entre esta perpendicular e m r, e identificou-se com α. 38

113. Em primeiro lugar, representaram-se o plano π, pelos seus traços, e a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados (ver relatório do exercício 111). Apesar de o plano π ser um plano projetante, optou-se por se recorrer ao método do ângulo complementar para que se possa observar a universalidade do método, pelo que se aconselha a leitura do relatório do exercício anterior. A reta p é uma reta fronto-horizontal. A V.G. do ângulo entre a reta r e a reta p (o ângulo 90 α ) determinou- -se rebatendo o plano definido pelas duas retas (o plano que contém o ângulo) para o plano horizontal (de nível) ν que contém a reta p a charneira é a própria reta p, que é a reta de interseção dos dois planos. Tem-se imediatamente p r p 1 e A r A 1. A reta r rebateu-se com o recurso a um ponto B, qualquer, da reta. 114. Em primeiro lugar, representaram-se o plano ρ, pelos seus traços, e a reta p, pelas suas projeções, em função dos dados. O ângulo entre uma reta de perfil p e um plano de rampa ρ é o ângulo entre a reta p e uma reta i, que é a reta de interseção do plano de rampa com o plano que contém a reta p e que é ortogonal ao plano ρ (e é um plano de perfil) a reta i será a projeção ortogonal da reta p sobre o plano ρ. No entanto, tratando-se do ângulo entre uma reta de perfil e um plano de rampa, o processo mais simples consiste em efetuar uma mudança do diedro de projeção, transformando o plano ρ num plano projetante e a reta p numa reta frontal (de frente) ou horizontal (de nível). Note que se trata de uma abordagem diferente da explicitada nas páginas do Manual, mas que permite simplificar em muito os traçados a efetuar, bem como os raciocínios que lhes estão inerentes. No entanto, salienta-se que o exercício poderia, igualmente, ter sido resolvido recorrendo aos processos usuais. Assim, optou-se por substituir o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4), paralelo à reta p e ortogonal ao plano ρ. No novo diedro de projeção, a reta p é uma reta frontal (de frente) e o plano ρ é um plano de topo. A projeção da reta p no plano 4, p 4, determinou-se a partir das projeções dos pontos A e B no plano 4 A 4 e B 4 determinaram-se em função das cotas de A e B, que se mantiveram. Para determinar o traço do plano ρ no plano 4 recorreu-se a um ponto C, de f ρ C 4 determinou-se em função da cota de C, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projeção, o plano ρ é projetante, f 4ρ passa por C 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. O ângulo entre a reta p e o plano ρ está contido num plano paralelo ao plano 4 (o plano ortogonal ao plano ρ que contém a reta p), pelo que se projeta em V.G. no plano 4 é qualquer dos dois ângulos agudos entre p 4 e f 4ρ, e identificou-se com α. 115. Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e a reta p, pelas suas projeções, em função dos dados. Uma vez que se trata do ângulo entre uma reta e um plano não projetante, recorreu-se ao método do ângulo complementar ver relatório do exercício 112. A reta r, que passa por M, é a reta ortogonal ao plano γ. Determinou-se a V.G. do ângulo formado entre as retas p e r (o ângulo 90 α ) rebatendo o plano definido pelas duas retas (o plano que contém o ângulo) para o plano horizontal de nível) ν que passa por N. A charneira é a reta e, que está definida pelos pontos N (o ponto de interseção de ν com p) e A (o ponto de interseção de ν com r). 39

116. Em primeiro lugar, representaram-se os planos θ e ν, pelos respetivos traços, em função dos dados. O plano θ é projetante frontal, pelo que f θ passa por A 2. Em seguida, e uma vez que a reta de interseção dos dois planos é uma reta de topo (reta i), constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro (reta i) é projetante (é frontal) e tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 1. o Processo. 1. A aresta do diedro já está identificada é uma reta de topo. 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro o próprio Plano Frontal de Projeção (que é um plano frontal com afastamento nulo). 3. Determinaram-se as retas de interseção do Plano Frontal de Projeção (o plano auxiliar) com os dois planos estas são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos (f θ e f ν ), pelo que já estão determinadas. 4. O ângulo entre as duas retas é o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre f θ e f ν está contido no Plano Frontal de Projeção e está em V.G. é qualquer dos dois ângulos agudos entre as duas retas e identificou-se com α. Salienta-se que não é estritamente necessária a determinação da reta i, para a resolução do exercício. Note que, na etapa 1. do 1. o Processo, está explicitamente identificar a reta de interseção dos dois planos e não determinar a reta de interseção dos dois planos. De facto, a determinação da reta de interseção dos dois planos não é essencial à resolução do exercício essencial é, sim, a sua identificação, o que nos permite conduzir um plano qualquer que lhe seja ortogonal. 117. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ψ e ϕ, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ψ é ortogonal ao β 1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. O ângulo entre o plano ψ e o plano ϕ é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo formado entre o plano ψ e o Plano Frontal de Projeção, pelo que a resolução do problema pode passar pela determinação do ângulo entre o plano ψ e o Plano Frontal de Projeção, que foi o que se efetuou na resolução apresentada. A determinação do ângulo entre os dois planos (o plano ψ e o Plano Frontal de Projeção) processar-se-ia com o recurso ao 1. o Processo, pois a reta de interseção dos dois planos é f ψ e o plano que lhe é ortogonal é projetante (é de topo) e tem determinação imediata. No entanto, ao invés de se recorrer a qualquer dos dois processos apresentados, optou-se por recorrer a uma reta de maior inclinação do plano ψ como se fez referência na página 157 do Manual, o ângulo que um determinado plano oblíquo faz com o Plano Frontal de Projeção é igual ao ângulo que qualquer das suas retas de maior inclinação faz com o Plano Frontal de Projeção. Assim, em primeiro lugar desenharam-se as projeções de uma reta i, uma reta de maior inclinação do plano ψ (que está definida pelos seus traços). O problema consiste, agora, na determinação do ângulo entre uma reta (reta i) e um plano (o Plano Frontal de Projeção) ver exercício 108. Esse ângulo está contido num plano ortogonal ao Plano Frontal de Projeção que contém a reta i é um plano de topo (é o plano projetante frontal da reta i). A reta i 2 (a projeção frontal da reta i) é a projeção ortogonal da reta i no Plano Frontal de Projeção. Rebateu-se o plano de topo para o Plano Frontal de Projeção a charneira é a própria i 2, que roda sobre si própria, ficando i 2r i 2. F r F 2, pois F é um ponto da charneira. A reta i rebateu-se com o recurso ao rebatimento do seu traço horizontal H i r fica definida por F r e H r. O ângulo entre a reta i e o Plano Frontal de Projeção (que é igual ao ângulo entre o plano ψ e o plano ϕ) é qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e i 2r, tem vértice em F r e identificou-se com α. 118. Em primeiro lugar, representou-se o plano λ pelos seus traços, em função dos dados os seus traços estão coincidentes, pois o plano λ é ortogonal ao β 2/4. A determinação do ângulo entre o plano λ e o Plano Horizontal de Projeção poderia processar-se com o recurso ao 1. o Processo, pois a reta de interseção dos dois planos é h λ e o plano que lhe é ortogonal é projetante (é vertical) e tem determinação imediata. No entanto, ao invés de se recorrer a qualquer dos dois processos apresentados, optou-se por recorrer a uma reta de maior declive do plano λ como se fez referência na página 157 do Manual, o ângulo que um determinado plano oblíquo faz com o Plano Horizontal de Projeção é igual ao ângulo que qualquer das suas retas de maior declive faz com o Plano Horizontal de Projeção. Assim, em primeiro lugar desenharam-se as projeções de uma reta d, uma reta de maior declive do plano λ (que está definida pelos seus traços). O problema consiste, agora, na determinação do ângulo entre uma reta (reta d) e um plano (o Plano Horizontal de Projeção) ver exercício 109. Esse ângulo está contido num plano ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção que contém a reta d é um plano vertical (é o plano projetante horizontal da reta d). A reta d 1 (a projeção horizontal da reta d) é a projeção ortogonal da reta d no Plano Horizontal de Projeção. Rebateu-se o plano vertical para o Plano Horizontal de Projeção a charneira é a própria d 1, que roda sobre si própria, ficando d 1r d 1. H r H 1, pois H é um ponto da charneira. A reta d rebateu-se com o recurso ao rebatimento de um ponto qualquer da reta, o ponto A d r fica definida por H r e A r. O ângulo entre a reta d e o Plano Horizontal de Projeção (que é igual ao ângulo entre o plano λ e o Plano Horizontal de Projeção) é qualquer dos dois ângulos agudos entre d r e d 1r, tem vértice em H r e identificou-se com α. 40

119. Em primeiro lugar, representaram-se os planos ρ e ν, pelos respetivos traços, em função dos dados. O ângulo entre o plano ρ e o plano ν é igual (tem a mesma amplitude) ao ângulo formado entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projeção, pelo que a resolução do problema pode passar pela determinação do ângulo entre o plano ρ e o Plano Horizontal de Projeção, que foi o que se efetuou na resolução apresentada. A determinação do ângulo entre os dois planos (o plano ρ e o Plano Horizontal de Projeção) processou-se com o recurso ao 1. o Processo, pois a reta de interseção dos dois planos é f ρ, que é fronto-horizontal, e o plano que lhe é ortogonal é projetante (é de perfil) e tem determinação imediata. 1. A aresta do diedro já está identificada é uma reta fronto-horizontal. 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro o plano π (é um plano de perfil). 3. Determinaram-se as retas de interseção do plano π (o plano auxiliar) com os dois planos i (é uma reta de perfil do plano ρ) e f π. 4. O ângulo entre as duas retas é o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre p e f π está contido no plano de perfil, pelo que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Assim, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π. F r F 2, pois F é um ponto da charneira p r fica definida por F r e H r e h πr está coincidente com o eixo X. A V.G. do diedro formado entre o plano ρ e o plano ν está em qualquer dos dois ângulos agudos entre p r e h πr, tem vértice em H r e identificou-se com α. 120. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que a reta de interseção dos dois planos é uma reta oblíqua, constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro não é projetante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2. o Processo. 1. Por um ponto P, qualquer, exterior aos planos, conduziram-se duas retas uma reta p, ortogonal a α, e uma reta p, ortogonal a θ. A reta p é uma reta frontal (de frente). 2. O ângulo entre as retas p e p é o ângulo entre os planos α e θ. Esse ângulo está contido no plano definido pelas duas retas, que não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o ângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Assim, rebateu-se o plano definido por p e p para o plano frontal (de frente) ϕ, que contém a reta p p é a charneira (que é a reta de interseção dos dois planos), pelo que se tem imediatamente p r p 2 e P r P 2 (P é um ponto da charneira). A reta p rebateu-se com o recurso a um ponto A, de p (A rebateu-se com o recurso ao triângulo do rebatimento) p r está definida por A r e P r. A V.G. do ângulo entre α e θ está no ângulo entre p r e p r, com vértice em P r, e identificou-se com β. 121. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que a reta de interseção dos dois planos é uma reta oblíqua, constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro não é projetante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2. o Processo ver relatório do exercício anterior. Para determinar a V.G. do ângulo, rebateu-se o plano definido pelas retas p e p para um plano horizontal (de nível) ν. A charneira é a reta e, que está definida pelos pontos A e B A e B são, respetivamente, os pontos de interseção de ν com as retas p e p. A r A 1 e B r B 1, pois A e B são dois pontos da charneira. O ponto P rebateu-se pelo triângulo do rebatimento p r está definida por A r e P r e p r está definida por B r e P r. A V.G. do ângulo entre α e δ está no ângulo entre p r e p r, com vértice em P r, e identificou-se com β. 41

122. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, e uma vez que a reta de interseção dos dois planos é uma reta oblíqua, constatou-se que o plano ortogonal à aresta do diedro não é projetante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2. o Processo ver relatório do exercício 120. A reta p é a reta que passa por P e é ortogonal ao plano ρ (é uma reta de perfil) e a reta p é a reta que passa por P e é ortogonal ao plano γ (é uma reta horizontal). Para definir a reta p, ortogonal a ρ, recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil π que a contém a reta i é a reta de interseção de π com ρ e está definida pelos seus traços. Em rebatimento, a reta p r é perpendicular a i r e passa por P r. Em rebatimento, determinou-se um outro ponto da reta p o ponto A, cujas projeções se determinaram através da inversão do rebatimento do plano π. A reta p está, assim, definida por P e A. Para determinar o ângulo entre as retas p e p (que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção), rebateu-se o plano definido pelas duas retas para o plano horizontal (de nível) que contém a reta p p é a charneira, pelo que s tem imediatamente p r p 1 e P r1 P 1 (P r1 é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano oblíquo é o segundo rebatimento de P). Para rebater a reta p (o segundo rebatimento da reta), foi necessário rebater o ponto A (A r1 é o ponto A rebatido pelo seu segundo rebatimento pelo rebatimento do plano definido por p e p ) p r1 fica definida por P r1 e A r1. A V.G. do ângulo entre γ e ρ está no ângulo entre p r e p r1, com vértice em P r1, e identificou-se com α. 123. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano σ é ortogonal ao β 1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A reta de interseção dos dois planos é uma reta fronto-horizontal, e o plano que lhe é ortogonal é projetante (é de perfil) e tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 1. o Processo para a determinação do ângulo entre os dois planos. 1. A aresta do diedro já está identificada é uma reta fronto-horizontal. 2. Recorreu-se a um plano auxiliar, ortogonal à aresta do diedro o plano π (é um plano de perfil). 3. Determinaram-se as retas de interseção do plano π (o plano auxiliar) com os dois planos i (é uma reta de perfil do plano ρ e está definida pelos seus traços) e i (é uma reta de perfil do plano σ e também está definida pelos seus traços). 4. O ângulo entre as duas retas é o ângulo entre os dois planos. O ângulo entre i e i está contido no plano de perfil, pelo que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Assim, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h π. H r H 1 e H r H 1, pois H e H são dois pontos da charneira i r fica definida por F r e H r e i r fica definida por F r e H r. A V.G. do diedro formado entre o plano ρ e o plano σ está em qualquer dos dois ângulos agudos entre i r e i r e identificou-se com α. 124. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos seus traços, em função dos dados. O plano σ é ortogonal ao β 1/3, pelo que os seus traços são simétricos em relação ao eixo X. A reta de interseção dos dois planos é uma reta fronto-horizontal, e o plano que lhe é ortogonal é projetante (é de perfil) e tem determinação imediata, pelo que, à partida, o problema pode resolver-se com o recurso ao 1. o Processo para a determinação do ângulo entre os dois planos. No entanto, optou-se por uma resolução diferente recorreu-se a uma mudança do diedro de projeção, transformando os dois planos em planos projetantes, o que faz com que o problema passe a ter uma resolução direta. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4) ortogonal aos dois planos, criando um novo diedro de projeção neste, os dois planos são planos de topo. O traço do plano σ no plano 4 (f 4σ ) determinou-se a partir da projeção do ponto P no plano 4 P 4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projeção, o plano σ é projetante frontal, f 4σ passa por P 4 e é concorrente com h σ no eixo X. De forma idêntica, o traço do plano ρ no plano 4 determinou-se com o recurso a um ponto A, de f ρ A 4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Tal como o plano σ, no novo diedro de projeção o plano ρ é projetante frontal, pelo que f 4ρ passa por A 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. Trata-se, agora, de determinar o ângulo entre dois planos de topo, que está contido num plano frontal (de frente) no novo diedro de projeção, esse plano frontal (de frente) pode ser o próprio plano 4. As retas de interseção do plano 4 com os planos ρ e σ são, respetivamente, f 4ρ e f 4σ o ângulo entre f 4ρ e f 4σ está em V.G. no plano 4 e identificou-se com α. 42

125. Em primeiro lugar, representou-se o ponto A, pelas suas projeções não é necessário representar o β 1/3 pelos seus traços. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas do método geral da distância de pontos a planos, conforme exposto no relatório do exercício 83, pelo que se aconselha a leitura do mesmo. A reta i é a reta de interseção do plano π com o β 1/3 é uma reta de perfil que faz ângulos de 45 com os dois planos de projeção e atravessa os 1. o e 3. o Diedros. Em rebatimento, a reta i r passa pelo quadrante em que se localiza A r (note que A é um ponto do 1. o Diedro). O segmento [AI], representado pelas suas projeções, é o segmento representativo da distância de A ao β 1/3 e A r I r é a sua V.G. 126. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços, em função dos dados. Note que este exercício consiste numa variante da situação da distância entre dois planos de rampa. Assim, a distância entre os dois planos existe numa reta ortogonal aos dois planos, que é uma reta de perfil. Nesse sentido conduziu-se uma reta p, de perfil, qualquer, ortogonal aos dois planos. A reta ainda não está totalmente definida. Para tal, recorreu-se a uma mudança do diedro de projeção, substituindo o Plano Horizontal de Projeção (plano 1) por um novo plano de projeção (o plano 4), ortogonal ao plano ρ no novo diedro de projeção (formado entre o Plano Frontal de Projeção, que se mantém, e o plano 4), o plano ρ é um plano vertical e a reta p é uma reta horizontal (de nível). O traço do plano ρ no plano 4 determinou - -se com o recurso a um ponto P, qualquer, de h ρ P 4, a projeção de P no plano 4, determinou-se em função do seu afastamento que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projeção, o plano ρ é projetante horizontal, o traço do plano ρ no plano 4 (h 4ρ ) passa por P 4 e é concorrente com f ρ no eixo X. A projeção da reta p no plano 4 (p 4 ) é ortogonal a h 4ρ. Determinou-se A 4, a projeção no plano 4 do ponto de interseção da reta p com o plano ρ. A reta p é paralela ao plano 4, pelo que se projeta em V.G. no plano 4 a partir de A 4, sobre p 4, mediram-se os 2 cm (a distância entre os dois planos), obtendo-se um ponto B 4, que será o ponto de interseção da reta p com o plano σ (o plano paralelo a ρ que é pretendido). Note que se teve em atenção que o plano σ tem de se situar entre o plano ρ e o eixo X, pelo que o traço frontal de σ tem de ter cota inferior a f ρ. Por B 4 conduziu-se h 4σ, que é o traço do plano σ no plano 4 f σ tem de ser concorrente com h 4σ no eixo X. Para determinar h σ recorreu-se a um ponto C, de h σ o ponto C determinou-se em primeiro lugar no diedro de projeção formado entre o Plano Frontal de Projeção e o plano 4 e C 1 determinou-se em função do seu afastamento, que se manteve. Por C 1 conduziu-se h σ, o traço horizontal do plano σ, que, assim, fica definido pelos seus traços. Note que não se determinaram as projeções dos pontos A e B no diedro de projeção inicial, por tal não ser necessário para a conclusão do exercício. 127. Em primeiro lugar, representaram-se os traços do plano ρ (que estão coincidentes com o eixo X) e as projeções do ponto P, o ponto que define o plano. A reta de interseção do plano ρ com o Plano Horizontal de Projeção é o próprio eixo X, que é uma reta fronto-horizontal qualquer plano ortogonal ao eixo X é projetante (é de perfil) e tem determinação imediata, pelo que, à partida, o problema pode resolver-se com o recurso ao 1. o Processo para a determinação do ângulo entre os dois planos. No entanto, optou-se por uma resolução diferente recorreu-se a uma mudança do diedro de projeção, à semelhança do efetuado no exercício 124. Assim, substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4) ortogonal ao plano ρ, criando um novo diedro de projeção neste, o plano ρ é um plano de topo. O traço do plano ρ no plano 4 (f 4ρ ) determinou- -se a partir da projeção do ponto P no plano 4 P 4 determinou-se em função da sua cota, que se manteve. Uma vez que, no novo diedro de projeção, o plano ρ é projetante, f 4ρ passa por P 4 e é concorrente com h ρ no eixo X. Trata-se, agora, de determinar o ângulo entre um plano de topo e o Plano Horizontal de Projeção, que está contido num plano frontal (de frente) no novo diedro de projeção, esse plano frontal (de frente) pode ser o próprio plano 4. As retas de interseção do plano 4 com o plano ρ e o Plano Horizontal de Projeção são, respetivamente, f 4ρ e o eixo X o ângulo entre f 4ρ e o eixo X está em V.G. no plano 4 e identificou-se com α. 43

128. Em primeiro lugar, representaram-se os dois planos, pelos elementos que os definem δ está definido pelos seus traços e ρ está definido pelo eixo X e pelo ponto A. Uma vez que a reta de interseção dos dois planos é uma reta oblíqua, o plano ortogonal à aresta do diedro não é projetante nem tem determinação imediata, pelo que se recorreu ao 2. o Processo ver relatório do exercício 120. A reta p é a reta que passa por P e é ortogonal ao plano ρ (é uma reta de perfil) e a reta p é a reta que passa por P e é ortogonal ao plano δ (é uma reta oblíqua). Para definir a reta p, ortogonal a ρ, recorreu-se ao rebatimento do plano de perfil π que a contém. A reta i é a reta de interseção de π com ρ é uma reta de perfil passante e está definida pelo seu ponto de concorrência com o eixo X e pelo ponto A. Note que, com vista a uma simplificação dos traçados a efetuar, teve-se o cuidado de fazer com que o ponto P (o ponto exterior aos dois planos) tivesse a mesma abcissa do ponto A, o que torna mais simples a definição da reta ortogonal ao plano ρ que passa por P. Em rebatimento, a reta p r é perpendicular a i r e passa por P r. Em rebatimento, determinou-se um outro ponto da reta p o ponto B, cujas projeções se determinaram através da inversão do rebatimento do plano π. Note que, com vista a uma maior economia de traçados, se optou por fazer com que B tenha o afastamento do ponto A os respetivos arcos do rebatimento estão coincidentes em projeção horizontal. A reta p está, assim, definida por P e B. Para determinar o ângulo entre as retas p e p (que não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção), rebateu-se o plano definido pelas duas retas para o plano horizontal (de nível) ν que passa pelo ponto B (que é o ponto da reta p determinado anteriormente). A charneira deste segundo rebatimento é a reta e, que está definida por B e C B e C são, respetivamente, os pontos de interseção do plano ν com as retas p e p. B r1 B 1 e C r C 1, pois B e C são pontos da charneira (B r1 é o ponto B rebatido pelo seu segundo rebatimento pelo rebatimento do plano definido por p e p ). Em seguida, rebateu-se o ponto P, pelo triângulo do rebatimento (P r1 é o ponto P rebatido pelo seu segundo rebatimento pelo rebatimento do plano definido por p e p ) p r fica definida por P r1 e C r e p r1 fica definida por P r1 e B r1 (p r1 é a reta p rebatida pelo segundo rebatimento). A V.G. do ângulo entre δ e ρ está no ângulo entre p r e p r1, com vértice em P r1 e identificou-se com α. 18 REPRESENTAÇÃO DE SÓLIDOS III 129. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A, B e K, pelas suas projeções. Em seguida, desenharam-se os traços do plano δ f δ fica definido por K 2 e A 2 e h δ fica definido por K 1 e B 1. Uma vez que o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções da base da pirâmide, rebateu-se o plano δ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h δ. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater f δ e B r B 1, pois B é um ponto da charneira. Em rebatimento, construiu-se o triângulo [ABC] em V.G. e determinou-se O r, o centro do triângulo em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas frontais (de frente) do plano, obtendo-se as projeções de C e O (ver exercício 64) note que se omitiram as notações referentes às retas frontais que nos permitiram contrarrebater C r e O r, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Em seguida, pelas projeções de O conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a δ a reta p é a reta suporte do eixo da pirâmide. O vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O. Como a reta p é oblíqua aos dois planos de projeção, o segmento [OV] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projetante horizontal da reta p (o plano θ) para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f θ (reta e ). A reta p rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos O e F, o seu traço frontal. A reta p r fica definida por O r1 e F r (note que O r1 é o ponto O no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano θ). Sobre p r, a partir de O r1, mediram-se os 8 cm (a altura da pirâmide), obtendo-se V r (garantindo que V se situa no 1. o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de θ, obtendo-se as projeções de V sobre as projeções homónimas da reta p. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [B 2 C 2 V 2 ] e o contorno aparente horizontal é [A 1 C 1 V 1 ]. Em projeção frontal, existe um único vértice (Continua na página seguinte) 44

que não integra o contorno aparente o vértice A. Como este é o vértice de menor afastamento do sólido, é invisível (em projeção frontal), bem como todas as arestas que nele convergem. Em projeção horizontal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente o vértice B. Como este é o vértice de menor cota do sólido, é invisível (em projeção horizontal), bem como todas as arestas que nele convergem. 130. Em primeiro lugar, representou-se o plano δ, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, desenharam- -se as projeções da reta p, de perfil, e determinaram-se imediatamente os seus traços, sobre os traços homónimos do plano δ F e H são dois vértices do quadrado. Uma vez que o quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano δ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h δ. O ponto A foi o ponto que nos permitiu rebater f δ. Em rebatimento, construiu-se o quadrado [FGHI] em V.G.. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas frontais (de frente) do plano, obtendo- -se as projeções de G e I (ver exercício 64) note que se omitiram as notações referentes às retas frontais que nos permitiram contrarrebater G r e I r, com vista a não carregar visualmente a resolução gráfica apresentada. O enunciado refere expressamente que o quadrado [FGHI] é a base inferior do prisma, pelo que se conclui que o sólido se situa no espaço do 1. o Diedro. Assim, em seguida conduziu-se, por I, uma reta r, ortogonal a δ r é a reta suporte da aresta lateral [ΙΙ ] do prisma, que mede 7 cm. Como a reta r é oblíqua aos dois planos de projeção, o segmento [II ] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano projetante horizontal da reta r (o plano α) para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f α (reta e ). A reta r rebateu-se com o recurso a dois dos seus pontos I e F, o seu traço frontal. A reta r r fica definida por I r1 e F r (note que I r1 é o ponto I no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano α). Sobre r r, a partir de I r1, mediram-se os 7 cm (a altura do prisma), obtendo - -se I r (garantindo que I se situa no 1. o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de α, obtendo-se as projeções de I sobre as projeções homónimas da reta r. As projeções de F, G e H, os restantes vértices da base superior, determinaram-se atendendo a que os lados do quadrado [F G H I ] são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [FGHI] e que os seus vértices estão sobre as retas ortogonais a δ (paralelas à reta r) que contêm as respetivas arestas laterais. Assim, pelas projeções de I conduziram-se as projeções da reta suporte do segmento [F I ], até encontrarem as projeções homónimas da reta suporte da aresta lateral [FF ] o ponto de concorrência das duas retas é F. Repetiu-se o processo para H, a partir de I, e ainda para G, a partir de F ou de H. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [H 2 G 2 G 2 F 2 I 2 I 2 ] e o contorno aparente horizontal é [F 1 G 1 G 1 H 1 I 1 I 1 ]. Em projeção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice H (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice F (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem). Em projeção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice F (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice H (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem). 131. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções. Em seguida, desenharam-se os traços do plano ρ A tem cota nula, pelo que h ρ passa por A 1, e B tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa por B 2. Uma vez que o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ. B foi o ponto que nos permitiu rebater f ρ e A r A 1, pois A é um ponto da charneira. Em rebatimento, construiu-se o triângulo [ABC] em V.G. e determinou-se O r, o centro do triângulo em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas oblíquas do plano, obtendo-se as projeções de C e O (ver exercícios 65 e 66) note que se omitiram as notações referentes às retas que nos permitiram contrarrebater C r e O r, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Em seguida, pelas projeções de O conduziram-se as projeções (Continua na página seguinte) 45

de uma reta p, ortogonal a ρ a reta p é a reta suporte do eixo da pirâmide e é uma reta de perfil (que está definida por um ponto O e pela sua direção é ortogonal a ρ). A reta p é ortogonal às retas de perfil do plano ρ. Para definir a reta p conduziu-se, pela reta, um plano de perfil π e determinou-se a reta de interseção de π com ρ reta i (que está definida pelos seus traços, F e H). A reta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a reta p também as duas retas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 8 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção e que a reta p não está totalmente definida, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π (reta e ). A reta i r fica definida por F r e H r. Note que o ponto O r 1 tem também de se situar sobre i r, pois O é um ponto da reta i (O r1 é o ponto O no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano π). A reta p r passa por O r1 e é perpendicular a i r em O r1. Sobre p r, a partir de O r1, mediram-se os 8 cm, obtendo-se V r (garantindo que V se situa no 1. o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projeções de V. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [A 2 B 2 V 2 C 2 ] e o contorno aparente horizontal é [A 1 B 1 C 1 V 1 ]. Em projeção frontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, a base do sólido é invisível, bem como a face lateral [BCV], pelo que a aresta [BC] é a única aresta invisível. Também em projeção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, a base do sólido também é invisível em projeção horizontal, bem como a face lateral [ACV], pelo que a aresta [AC] é a única aresta invisível. 132. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e C, pelas suas projeções. Em seguida, desenhou-se o traço frontal do plano C tem afastamento nulo, pelo que f ρ passa por C 2. Para determinar o traço horizontal do plano, recorreu-se a uma reta r do plano (definida por A e C) e determinou-se o seu traço horizontal, H h ρ passa por H 1. Uma vez que o quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ. C foi o ponto que nos permitiu rebater f ρ. A reta r r fica definida por C r e por H r (H r H 1, pois H é um ponto da charneira). A r situa-se sobre r r. Em rebatimento, construiu-se o quadrado [ABCD] em V.G.. Em seguida inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas oblíquas do plano (paralelas à reta r), obtendo-se as projeções de B e D (ver exercícios 65 e 66) note que se omitiram as notações referentes às retas que nos permitiram contrarrebater B r e C r, com vista a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Em seguida, pelas projeções de B conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a ρ a reta p é a reta suporte da aresta lateral [BB ] e é uma reta de perfil (que está definida por um ponto B e pela sua direção é ortogonal a ρ). A reta p é ortogonal às retas de perfil do plano ρ. Para definir a reta p conduziu-se, pela reta, um plano de perfil π e determinou-se a reta de interseção de π com ρ reta i (que está definida pelos seus traços, F e H ). A reta i contém o ponto B (que é um ponto dos dois planos) e a reta p também as duas retas são per- (Continua na página seguinte) 46

pendiculares no ponto B. Por outro lado, ο vértice B situa-se sobre p, a 7 cm de B (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [BB ] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção e que a reta p não está totalmente definida, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π (reta e ). A reta i r fica definida por F r e H r. Note que o ponto B r1 tem também de se situar sobre i r, pois B é um ponto da reta i (B r1 é o ponto B no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano π). A reta p r passa por B r1 e é perpendicular a i r em B r1. Sobre p r, a partir de B r1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se B r (garantindo que B se situa no 1. o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projeções de B. A partir das projeções de B desenharam-se as projeções do quadrado [A B C D ], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do quadrado [ABCD] A, C e D estão nas retas de perfil ortogonais a ρ que contêm A, C e D, respetivamente. Assim, pelas projeções de B conduziram-se as projeções da reta suporte do segmento [B A ], até encontrarem as projeções homónimas da reta de perfil que contem a aresta lateral [AA ] o ponto de concorrência das duas retas é A. Repetiu-se o processo para C, a partir de B, e ainda para D, a partir de A ou de C. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [A 2 B 2 B 2 C 2 D 2 D 2 ] e o contorno aparente horizontal é [B 1 C 1 D 1 D 1 A 1 B 1 ]. Em projeção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice A (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projeção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice C (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível bem como todas as arestas que nele convergem). 133. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelo ponto O. Uma vez que o quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ (que é o próprio eixo X). O ponto O rebateu-se pelo triângulo do rebatimento. Em rebatimento, construiu-se o quadrado [ABCD] em V.G., em função dos dados. O ângulo que o lado [AB] faz com o eixo X é o ângulo real, no espaço, e não em projeções, pelo que só é possível medir esse ângulo em V.G., em rebatimento. A diagonal [AC] faz um ângulo de 45 com o lado [AB] que, por sua vez, faz um ângulo de 30 com o eixo X a diagonal [AC] faz, assim, um ângulo de 75 com o eixo X (30 +45 = 75 ). Este raciocínio permitiu-nos efetuar a construção do quadrado, em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas oblíquas do plano (que são retas passantes) as retas que nos permitiram obter as projeções dos quatro vértices do quadrado são paralelas à reta r, que é uma reta do plano que passa por O (ver exercício 71). Em seguida, pelas projeções de O conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a ρ a reta p é a reta suporte do eixo da pirâmide e é uma reta de perfil (que está definida por um ponto O e pela sua direção é ortogonal a ρ). A reta p é ortogonal às retas de perfil do plano ρ. Para definir a reta p conduziu-se, pela reta, um plano de perfil π e determinou-se a reta de interseção de π com ρ reta i (que está definida pelo ponto O e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma reta de perfil passante). A reta i contém o ponto O (que é um ponto dos dois planos) e a reta p também as duas retas são perpendiculares no ponto O. Por outro lado, ο vértice V, da pirâmide, situa-se sobre p, a 6 cm de O (a altura da pirâmide). Atendendo a que o segmento [OV] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção e que a reta p não está totalmente definida, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π (reta e ). A reta i r fica definida por O r1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (O r1 é o ponto O no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano π). A reta p r passa por O r1 e é perpendicular a i r em O r1. Sobre p r, a partir de O r1, mediram - -se os 6 cm, obtendo-se V r (garantindo que V se situa no 1 o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projeções de V. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [A 2 B 2 V 2 D 2 ] e o contorno aparente horizontal é [A 1 B 1 C 1 D 1 ]. Em projeção frontal, o único vértice que não integra o contorno aparente é C, que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. A aresta lateral [AV] é invisível, em projeção frontal. Em projeção horizontal, o único vértice que não integra o contorno aparente é V, que é o vértice de maior cota, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Em projeção horizontal, não há quaisquer arestas invisíveis. Note que a base da pirâmide é visível em projeção frontal mas é invisível em projeção horizontal. 47

134. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelo ponto R. Os dados do exercício permitiram-nos, de forma imediata, determinar as projeções do vértice S do triângulo o lado [RS] é fronto-horizontal, pelo que se projeta em V.G. nos dois planos de projeção. Uma vez que o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu- -se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ (que é o próprio eixo X). O ponto R rebateu-se pelo triângulo do rebatimento. Conduzindo, por R r, a fronto-horizontal que é a reta suporte do lado [RS], em rebatimento, determinou-se S r. Em rebatimento, construiu-se o triângulo [RST] em V.G. Inverteu-se o rebatimento do plano ρ, com o recurso à reta suporte do lado [RT] do triângulo (que fica definida, em projeções, pelo ponto R e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X). Em seguida, pelas projeções de R conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a ρ a reta p é a reta suporte da aresta lateral [RR ] e é uma reta de perfil (que está definida por um ponto R e pela sua direção é ortogonal a ρ). A reta p é ortogonal às retas de perfil do plano ρ. Para definir a reta p conduziu-se, pela reta, um plano de perfil π e determinou-se a reta de interseção de π com ρ reta i (que está definida pelo ponto R e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, pois trata-se de uma reta de perfil passante). A reta i contém o ponto R (que é um ponto dos dois planos) e a reta p também as duas retas são perpendiculares no ponto R. Por outro lado, ο vértice R situa-se sobre p, a 7 cm de R (a altura do prisma). Atendendo a que o segmento [RR ] não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção e que a reta p não está totalmente definida, recorreu-se ao rebatimento do plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π (reta e ). A reta i r fica definida por R r1 e pelo seu ponto de concorrência com o eixo X, que é fixo, pois é um ponto da charneira (R r1 é o ponto R no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano π). A reta p r passa por R r1 e é perpendicular a i r em R r1. Sobre p r, a partir de R r1, mediram-se os 7 cm, obtendo-se B r (garantindo que B se situa no 1 o Diedro). Inverteu-se o rebatimento de π, obtendo-se as projeções de R. A partir das projeções de R desenharam-se as projeções do triângulo [R S T ], cujos lados são paralelos aos lados correspondentes do triângulo [RST] - S e T estão nas retas de perfil ortogonais a ρ que contêm S e T, respetivamente. Assim, pelas projeções de R conduziram-se as projeções da reta suporte do segmento [R T ], até encontrarem as projeções homónimas da reta de perfil que contém a aresta lateral [TT ] o ponto de concorrência das duas retas é T. Repetiu-se o processo para S, atendendo a que a aresta [R S ] é fronto-horizontal. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [R 2 T 2 S 2 S 2 R 2 ] e o contorno aparente horizontal é [R 1 S 1 S 1 T 1 R 1 ]. Em projeção frontal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente o vértice T (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível bem como todas as arestas que nele convergem). Em projeção horizontal, existe também um único vértice que não integra o contorno aparente o vértice T (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. Note que a base [RST] é visível em projeção horizontal e invisível em projeção frontal, enquanto que a base [R S T ] é visível em projeção frontal e invisível em projeção horizontal. 135. Relatório Em primeiro lugar, representou-se a reta r, pelas suas projeções, em função dos dados as projeções da reta r são paralelas entre si, pois a reta é paralela ao β 2/4. As projeções do ponto C, pertencentes à reta r, determinaram-se em função da sua abcissa. Em seguida, determinaram-se os traços da reta r, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano α f α é perpendicular a r 2, pois r é uma reta de maior inclinação do plano. A construção das projeções do quadrado [ABCD] obrigou ao rebatimento do plano α (pois aquele não se projeta em V.G.) e à construção da figura em rebatimento. Invertendo o rebatimento (com o recurso à reta suporte da diagonal [BD], que é uma reta frontal, paralela a f α ), determinaram-se as projeções de B e D e, consequentemente, as projeções do quadrado. Note que as retas frontais (de frente) de um plano são perpendiculares às retas de maior inclinação desse plano é isso que justifica o facto de a diagonal [BD] (que é perpendicular à diagonal [AC]) estar contida numa reta frontal do plano (a diagonal [AC] está contida numa reta de maior inclinação do plano). Em seguida, pelas projeções de B conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a α a reta p é a reta suporte da aresta [BB ]. Sobre a determinação de B, ver relatório do exercício 130. Note que a medida da aresta [BB ] é igual à medida do lado do quadrado [ABCD], que está em V.G. em rebatimento. A partir das projeções de B, as projeções dos restantes vértices da face superior do sólido (A, C e D ) determinaram-se conforme exposto no relatório do exercício 130. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [A 2 B 2 B 2 C 2 D 2 D 2 ] e o contorno aparente horizontal é [B 1 C 1 D 1 D 1 A 1 B 1 ]. Em projeção frontal, existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice A (que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice C (que é o vértice de menor afastamento, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem). Em projeção horizontal, também existem dois vértices que não integram o contorno aparente o vértice C (que é o vértice de maior cota, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem) e o vértice A (que é o vértice de menor cota, pelo que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem). (Resolução na página seguinte) 48

135. Resolução 136. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços os traços do ρ são simétricos em relação ao eixo X, pois ρ é ortogonal ao β 1/3. Em seguida, recorreu-se a uma reta r, oblíqua, pertencente ao plano, para determinar as projeções do ponto A, em função do seu afastamento. Uma vez que A e B têm o mesmo afastamento, a reta que contém os dois pontos é fronto-horizontal o segmento [AB] projeta-se, assim, em V.G. nos dois planos de projeção, o que nos permitiu determinar as projeções de B (a aresta do tetraedro mede 6 cm). Uma vez que o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ. F, o traço frontal da reta r, foi o ponto que nos permitiu rebater f ρ e H r H 1, pois H (o traço horizontal da reta r) é um ponto da charneira. A reta r r fica definida por F r e H r e A r é um ponto de r r. Conduzindo, por A r, a fronto-horizontal que passa por A e B em rebatimento, determinou-se B r. Em rebatimento, construiu-se o triângulo [ABC] em V.G. e determinou-se O r, o centro do triângulo em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas oblíquas do plano, obtendo-se as projeções de C e O (ver exercícios 65 e 66). Um tetraedro toma a forma aparente de uma pirâmide triangular regular, cuja altura é desconhecida as suas arestas são todas iguais e é esse o dado que nos permite construir o sólido, e não a sua altura. De qualquer forma, a reta p, ortogonal ao plano ρ e passando por O, é a reta suporte do eixo do sólido relativo à face [ABC]. A reta p é uma reta de perfil. O vértice D (o quarto vértice do tetraedro) é um ponto da reta p, tal que as arestas [AD], [BD] e [CD] medem 6 cm (a medida da aresta do sólido). A aresta [CD] é de perfil, pelo que está contida no mesmo plano de perfil que contém a reta p o exercício implica o recurso a um processo geométrico auxiliar (ver exercício 131). Resolveu-se o exercício em rebatimento i r está definida por F r e H r (os seus traços em rebatimento) e O r1 e C r1 são dois pontos de i r (note que O r1 e C r1 são os pontos O e C, no seu segundo rebatimento no rebatimento do plano π). A reta p r passa por O r1 e é perpendicular a i r. Com o compasso, fazendo centro em C r1 e com 6 cm de raio (a medida da aresta do sólido), determinou-se D r sobre p r. Note que o segmento [C r1 D r ] é a aresta [CD] em rebati mento, e que o segmento [O r1 D r ] é o eixo do sólido, também em rebatimento [OD] e [CD] são concorrentes em D. Invertendo-se o rebatimento, obtiveram-se as projeções de D. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente (Continua na página seguinte) 49

frontal é [A 2 B 2 D 2 ] e o contorno aparente horizontal é [A 1 D 1 B 1 C 1 ]. Em projeção frontal, existe um único vértice que não integra o contorno aparente o vértice C. Este é o vértice de menor afastamento do sólido, pelo que é nvisível, bem como todas as arestas que nele convergem. Em projeção horizontal, todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, a face [ABC] do sólido é invisível em projeção horizontal, bem como a face [ABD], pelo que a aresta [AB] é a única aresta invisível. 137. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços e pelo ponto A. Representou-se, ainda, o ponto B, que é um ponto do eixo X. Uma vez que o quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, para construir as suas projeções rebateu-se o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h ρ (que é o próprio eixo X). O ponto A rebateu-se pelo triângulo do rebatimento e o ponto B é fixo, pois é um ponto da charneira. Em rebatimento, construiu-se o quadrado [ABCD] em V.G., em função dos dados, e determinou-se o seu centro (o ponto O), em rebatimento. Inverteu-se o rebatimento, através do triângulo do rebatimento de cada ponto (note que se poderia ter recorrido a retas do plano, à semelhança do efetuado nos exercícios 133 e 134). Sabe-se que a aresta [BV] está contida no Plano Frontal de Projeção, pelo que o vértice da pirâmide (V) tem afastamento nulo. Em seguida, pelas projeções de O conduziram-se as projeções de uma reta p, ortogonal a ρ ver exercício 133. O vértice V, da pirâmide, porque tem afastamento nulo, é o traço frontal da reta p. V r tem, assim, determinação imediata é o ponto de interseção de p r com f πr. V é um ponto da charneira, pelo que as suas projeções se determinam imediatamente V 2 V r e V 1 está no eixo X. A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se os seus contornos aparentes o contorno aparente frontal é [A 2 B 2 C 2 V 2 ] e o contorno aparente horizontal é [A 1 B 1 V 1 C 1 D 1 ]. Em projeção frontal, o único vértice que não integra o contorno aparente é D, que é o vértice de maior afastamento, pelo que é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. A aresta lateral [AV] é invisível, em projeção frontal. Note que a base do sólido é visível em projeção frontal. Em projeção horizontal, todos os vértices do sólido integram o contorno aparente. No entanto, a base é invisível em projeção horizontal, bem como a face lateral [BCV], pelo que a aresta [BC] é a única aresta invisível, em projeção horizontal. 19 PLANOS TANGENTES ÀS SUPERFÍCIES CÓNICA E CILÍNDRICA 138. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do cone, em função dos dados. Para determinar as projeções do ponto T determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 3 cm de afastamento. Para tal recorreu-se a um plano frontal (de frente) ϕ, com 3 cm de afastamento, e determinou-se a circunferência resultante da interseção desse plano com a superfície lateral do cone o ponto A é o ponto de interseção de ϕ com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal. O ponto T é o ponto dessa circunferência que tem 5 cm de cota e se situa à direita do eixo do sólido. Em seguida, desenharam-se as projeções da geratriz g, que contém o ponto T a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por T e por V F, o traço frontal da geratriz, é o ponto da mesma que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma reta tangente à superfície lateral do cone no ponto T já temos uma reta para definir o plano θ. Necessitamos de outra reta. Recorreu-se à reta t, outra reta tangente à superfície no ponto T. A reta t é uma reta frontal (de frente) e é a reta de interseção do plano θ com o plano ϕ (o plano auxiliar a que se recorreu para determinar as projeções de T). Já temos duas retas para definir o plano θ g e t. Em seguida determinaram-se os traços do plano θ f θ passa por F (traço frontal de g) e é paralelo a t (retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo), estando definido por um ponto e uma direção. O traço horizontal do plano, h θ, passa por H (o traço horizontal da reta t) e é concorrente com f θ no eixo X h θ está definido por dois pontos. Note que f θ é uma reta tangente à base do cone em F, pelo que é perpendicular ao raio da base no ponto F, tal como a reta t é também perpendicular ao raio da circunferência (que contém T) em T. 50

139. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do cone, em função dos dados. A reta h é a reta suporte do eixo do sólido. O vértice do cone é o ponto da reta h que tem 8 cm de afastamento (2 + 6 = 8), pois a altura do cone mede-se perpendicularmente ao plano da base. Para determinar as projeções do ponto P determinou-se, previamente, o lugar geométrico dos pontos da superfície lateral do cone que têm 5 cm de afastamento. Para tal, recorreu-se a um plano frontal (de frente) ϕ, com 5 cm de afastamento, e determinou-se a circunferência resultante da interseção desse plano com a superfície lateral do cone essa circunferência tem centro em Q (o ponto de interseção do plano ϕ com a reta h) e raio Q A, sendo A o ponto de interseção do plano ϕ com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal do cone. O ponto P é o ponto dessa circunferência que tem 4 cm de cota e se situa mais à esquerda. Em seguida, desenharam-se as projeções da geratriz g, que contém o ponto P a geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano é tangente à superfície lateral do cone. A geratriz g fica definida por P e por V B é o ponto da geratriz que pertence à base do cone. A geratriz g é, já, uma reta tangente à superfície lateral do cone no ponto P já temos uma reta para definir o plano θ. Necessitamos de outra reta. Recorreu-se à reta t, a reta segundo a qual o plano θ é tangente à base do cone no ponto B (o ponto da geratriz que pertence à base do cone). A reta t é a reta de interseção do plano θ (o plano tangente) com o plano ϕ (o plano da base do cone) e é perpendicular ao raio da base no ponto B. A reta t é uma reta frontal (de frente). Já temos duas retas para definir o plano θ g e t. Em seguida determinaram-se os traços do plano θ f θ passa por F (traço frontal de g) e é paralelo a t (retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo), estando definido por um ponto e uma direção. O traço horizontal do plano, h θ, passa por H (o traço horizontal da reta t) e é concorrente com f θ no eixo X h θ está definido por dois pontos. 140. Em primeiro lugar, representaram-se o cone e o ponto P, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e P con duziu-se uma reta (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base (que é o próprio Plano Frontal de Projeção) é o traço frontal da reta i, que se identificou imediatamente com a letra F. 3. Por F conduziram-se as retas tangentes à base do cone, que são ime diatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Frontal de Projeção, e só por isso). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas pelo seu traço frontal e pela reta i. Note que as tangentes à base (os traços frontais dos planos) se determinaram através do processo rigo ro so para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é F 2. Os pontos de tangência são T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g está definida por V e T e g está definida por V e T. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas, mas basta-nos determinar o traço horizontal da reta i para determinarmos os traços horizontais dos planos tan gen tes h θ1 passa por H 1 e é concorrente com f θ1 no eixo X e h θ2 passa também por H 1 e é concorrente com f θ2 no eixo X. 51

141. Em primeiro lugar, representaram-se o cone e o ponto A, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu- -se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V e A conduziu-se uma reta (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base ponto I. 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base do cone t e t (t e t são as retas de interseção dos dois planos tangentes com o plano da base e são retas frontais). Note que as retas tangentes à base (t e t ) se determinaram através do processo rigoroso para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I 2. Os pontos de tangência são T e T. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas θ 1 está definido por t e i e θ 2 está definido por t e i. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g está definida por V e T e g está definida por V e T. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas, mas basta-nos determinar os traços da reta i para determinarmos os traços dos planos tangentes. f θ1 passa por F 2 e é paralelo à reta t (retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo). De forma semelhante, f θ2 passa por F 2 e é paralelo a t. h θ1 passa por H 1 e é concorrente com f θ1 no eixo X e h θ2 passa também por H 1 e é concorrente com f θ2 no eixo X. 142. Em primeiro lugar, representaram-se o cone e a reta h, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma reta paralela à reta h (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base (que é o próprio Plano Frontal de Projeção) é o traço frontal da reta i, que se identificou imediatamente com a letra F. 3. Por F conduziram-se as retas tangentes à base do cone, que são ime diatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Frontal de Projeção, e só por isso). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas pelo seu traço frontal e pela reta i. Note que as tangentes à base (os traços frontais dos planos) se determinaram através do processo rigo - ro so para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é F 2. Os pontos de tangência são T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g está definida por V e T e g está definida por V e T. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas. Uma vez que a reta i (que é uma reta comum aos dois planos) é horizontal (de nível), sabe-se imediatamente que os traços horizontais dos dois planos são paralelos à reta i (retas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma reta horizontal do plano com cota nula). Assim, h θ2 é concorrente com f θ2 no eixo X e é paralelo a i 1 (h θ2 está definido por um ponto e uma direção). No entanto, o ponto de concorrência de f θ1 com o eixo X está fora dos limites do papel, pelo que, embora tenhamos a direção de h θ1, falta-nos um ponto. Por outro lado, o traço horizontal da geratriz g, que é outra reta do plano, também se situa fora dos limites do desenho. Assim, recorreu-se a uma reta auxiliar do plano θ 1 a reta f. A reta f é uma reta frontal (de frente) do plano, pelo que é paralela a f θ1 e passa por V (que é um ponto do plano). Determinou-se H, o traço horizontal de f h θ1 passa por H 1 e é paralelo a i 1. 52

143. Em primeiro lugar, representaram-se o cone e a reta r, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma reta paralela à reta r (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base ponto I. 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base do cone t e t (t e t são as retas de interseção dos dois planos tangentes com o plano da base). Note que a reta t é uma reta frontal (de frente), mas que a reta t é uma reta fronto-horizontal (é um caso particular das retas frontais). As retas t e t determinaram-se através do processo rigoroso para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I 2. Os pontos de tangência são T e T. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas θ 1 está definido por t e i e θ 2 está definido por t e i. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g está definida por V e T e g está definida por V e T. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas, mas basta-nos determinar os traços da reta i para determinarmos os traços dos planos tangentes. f θ1 passa por F 2 e é paralelo à reta t (retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo). De forma semelhante, f θ2 passa por F 2 e é paralelo a t (note que o plano θ 2 é necessariamente um plano de rampa, pois está definido por uma reta oblíqua e por uma reta fronto-horizontal) f θ2 é uma reta fronto-horizontal. h θ1 passa por H 1 e é concorrente com f θ1 no eixo X. h θ2 passa também por H 1 e é paralelo a f θ2 (h θ2 também é uma reta fronto-horizontal, pois θ 2 é um plano de rampa). 144. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, os dados do exercício permitiram-nos localizar a projeção frontal do ponto T este, porque é um ponto da superfície lateral do sólido, tem de pertencer a uma geratriz da superfície que o limita, pelo que, por T 2, se conduziu a projeção frontal da geratriz g que o contém. A projeção horizontal da geratriz obteve-se a partir do ponto A (o ponto da geratriz que se situa na base de menor afastamento) e da sua direção (é paralela ao eixo do cilindro) T 1 situa-se sobre g 1. A geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano θ será tangente à superfície lateral do cilindro. A geratriz g é, já, uma reta tangente à superfície lateral do cone no ponto T já temos uma reta para definir o plano θ. Necessitamos de outra reta. Essa reta pode ser a tangente à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) no ponto A (o ponto da geratriz que pertence àquela base). Uma vez que o ponto A é o próprio traço frontal da geratriz, a tangente à base do cilindro é, imediatamente, f θ note que f θ é perpendicular ao raio da base no ponto A. Para definir h θ já temos um ponto o ponto do eixo X em que os dois traços são concorrentes. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a uma reta auxiliar do plano a reta t, que passa por T. A reta t é outra reta tangente à superfície lateral do cilindro no ponto T t é uma reta frontal do plano θ (é paralela a f θ ) e é concorrente com g no ponto T. Determinou-se H, o traço horizontal de t h θ passa por H 1 e é concorrente com f θ no eixo X. 53

145. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro, pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano da base de menor afastamento do sólido e o plano ϕ 1 (que está a 6 cm a altura do sólido do plano ϕ) é o plano da sua base de maior afastamento. Uma vez que se trata de um cilindro de revolução, com geratrizes de topo (todos os pontos de uma reta de topo têm a mesma cota), para determinar o ponto P recorreu-se a uma geratriz g da superfície lateral do cilindro com 5 cm de cota a geratriz que se situa à direita do eixo do sólido. O ponto P é o ponto da geratriz g que tem 5 cm de afastamento. A geratriz g é a geratriz de contacto (ou de tangência) e é a geratriz ao longo da qual o plano θ será tangente à superfície lateral do cilindro. A geratriz g é, já, uma reta tangente à superfície lateral do cone no ponto T já temos uma reta para definir o plano θ. Necessitamos de outra reta. Essa reta pode ser a tangente à base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) no ponto A (o ponto da geratriz que pertence àquela base). A reta t é a tangente à base de menor afastamento do cilindro no ponto A t é uma reta frontal e é perpendicular ao raio da base no ponto A. Já temos duas retas para definir o plano θ. Note que a reta t é a reta de interseção do plano θ com o plano ϕ. Determinou-se F, o traço frontal da geratriz g por F 2 conduziu-se f θ, paralelo a t, pois retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano, que é uma reta frontal do plano com afastamento nulo (f θ t 2, pois θ é um plano de topo). Para definir h θ já temos um ponto (o ponto do eixo X em que os dois traços são concorrentes) e uma direção h θ é paralelo à geratriz g, pois g é uma reta horizontal (é um caso particular das retas horizontais) e retas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano, que é uma reta horizontal do plano com cota nula. Note que, atendendo a que a geratriz g é uma reta de topo, sabia-se, à partida, que o plano θ era um plano de topo, o que poderia ter evitado algum traçado, como a representação da reta t, por exemplo. 146. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro e o ponto P, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por P con duziu-se uma reta paralela às geratrizes do cilindro (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base de referência (a base de menor cota), que é o próprio Plano Horizontal de Projeção. O ponto I é o próprio traço horizontal da reta i, que se identificou imediatamente com a letra H. 3. Por H conduziram-se as retas tangentes à base de referência do cilindro, que são ime diatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes (uma vez que o plano da base é o próprio Plano Horizontal de Projeção, e só por isso). Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas pelo seu traço horizontal e pela reta i. Note que as tangentes à base (os traços horizontais dos planos) se determinaram através do processo rigo ro so para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é H 1. Os pontos de tangência são T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g passa por T e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas (a reta i, a respetiva geratriz de contacto e o respetivo traço horizontal). Para determinar os traços frontais dos dois planos, determinou-se F, o traço frontal da reta i. f θ2 passa por F 2 e é concorrente com h θ2 no eixo X f θ2 está definido por dois pontos. Atendendo a que o ponto de concorrência de h θ1 com o eixo X está fora dos limites do desenho, só temos um ponto para definir f θ1, que é F 2 falta-nos outro ponto ou uma direção. Recorreu-se a uma reta auxiliar do plano a reta t. A reta t é uma reta horizontal do plano θ 1 t é concorrente com a geratriz g no ponto A e é paralela a h θ1. Note que a reta t é outra reta do plano θ 1 que é tangente à superfície lateral do cilindro (no ponto A). Determinou-se F, o traço frontal da reta t f θ1 passa por F 2 e por F 2 (está definido por dois pontos). 54

147. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro e o ponto P, pelas respetivas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano da base de menor afastamento (base de referência) e o plano ϕ 1 é o plano da base de maior afastamento e dista 6 cm (a altura do cilindro) do plano ϕ. Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por P con duziu-se uma reta paralela às geratrizes do cilindro (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base de referência ponto I. 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base de referência do cilindro, t e t estas são as retas de interseção dos planos tangentes com o plano da base de referência (o plano ϕ). As retas t e t são retas dos planos tangentes. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas θ 1 está definido por t e i e θ 2 está definido por t e i. Note que as tangentes à base (t e t ) se determinaram através do processo rigo ro so para a determinação das retas tangentes a uma circunferência que passam por um ponto exterior que, neste caso, é I 2. Os pontos de tangência são T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro, tal como g passa por T e é também paralela ao eixo do sólido. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas a reta i, a respetiva geratriz de contacto e a respetiva tangente (à base de referência). Para determinar os traços frontais dos dois planos, determinou-se F, o traço frontal da reta i f θ1 passa por F 2 e é paralelo a t 2 e f θ2 passa por F 2 e paralelo a t 2 (retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano). Em seguida, determinou-se H, o traço horizontal da reta i h θ1 passa por H 1 e é concorrente com f θ1 no eixo X, tal como h θ2 passa por H 1 e é concorrente com f θ2 no eixo X. 148. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro e a reta h, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de retas que se conhecem a «família» da reta dada (reta h) e a «família» das geratrizes do cilindro. Assim, por um ponto qualquer, há que conduzir uma reta paralela à reta h e uma reta paralela às geratrizes do cilindro. Optou-se, com vista a uma maior economia de traçados, por escolher o ponto P, da reta h, como o ponto exterior ao cilindro. Assim, por P conduziu-se uma reta r, paralela às geratrizes do sólido o plano definido pelas retas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Determinou-se a reta de interseção do plano θ (o plano definido por r e h) com o plano da base de referência f θ (que é, imediatamente, o traço frontal do plano θ). Optou-se por determinar também o traço horizontal do plano θ, h θ, apesar de, à partida, não ser necessário. 3. Conduziram-se as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas a f θ estas são, imediatamente, os traços frontais dos planos tangentes (f θ1 e f θ2 ). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangên- (Continua na página seguinte) 55

cia), g e g g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g passa por T e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas retas (o respetivo traço frontal e a respetiva geratriz de contacto) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, cujos traços já conhecemos). Assim, a determinação do traço horizontal de θ 1 é imediata h θ1 é concorrente com f θ1 no eixo X e é paralelo a h θ (plano paralelos têm os seus traços homónimos paralelos entre si, à exceção dos planos de rampa). Em relação ao plano θ 2, observa-se que o ponto de concorrência dos dois traços se situa fora dos limites do desenho, pelo que temos, apenas, a direção de h θ2 é paralelo a h θ. Falta-nos um ponto. Recorreu-se a uma reta auxiliar do plano θ 2 a reta t. A reta t é uma reta frontal do plano θ 2 t é concorrente com a geratriz g no ponto A e é paralela a f θ2. Note que a reta t é outra reta do plano θ 2 que é tangente à superfície lateral do cilindro (no ponto A). Determinou-se H, o traço horizontal da reta t h θ2 passa por H 1 e é paralelo a h θ. 149. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro e a reta r, pelas respetivas projeções, em função dos dados. A reta r tem as suas projeções paralelas entre si, pois é paralela ao β 2/4. O plano ϕ é o plano que contém a base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) e o plano ϕ 1 é o plano que contém a base de maior afastamento do sólido. Os planos ϕ e ϕ 1 distam 7 cm (a altura do cilindro). Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de retas que se conhecem a «família» da reta dada (reta r) e a «família» das geratrizes do cilindro. Pelo ponto P, da reta r, conduziu-se uma reta h, paralela às geratrizes do sólido o plano definido pelas retas r e h (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. 2. Ao invés de determinar a reta de interseção do plano θ (o plano definido por r e h ) com o plano da base de referência (o plano ϕ), conforme exposto na situação anterior, optou-se por determinar a reta de interseção do plano θ com o Plano Frontal de Projeção f θ. Tal justifica-se pelo facto de um dado plano cortar dois planos paralelos segundo duas retas paralelas. Assim, a reta de interseção do plano θ com o plano ϕ (o plano da base de referência) é paralela à reta de interseção do plano θ com o Plano Frontal de Projeção, pois o plano ϕ é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Optou-se por determinar também o traço horizontal do plano θ, h θ, apesar de, à partida, não ser necessário h θ é concorrente com f θ no eixo X e é paralelo a h. 3. Conduziram-se as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas a f θ t e t. Estas são retas frontais (de frente) e são as retas de interseção dos planos tangentes com o plano ϕ (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro e g passa por T e é também paralela ao eixo do cilindro. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas retas (θ 1 está definido por t e g e θ 2 está definido por t e g ) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, cujos traços já conhecemos). Note que cada um dos planos está definido por uma reta horizontal (a geratriz, g ou g ) e por uma reta frontal (a reta tangente, t ou t ). Para determinar os traços dos dois planos bastou-nos determinar os traços horizontais das retas t e t, H e H, respetivamente h θ1 passa por H 1 e é paralelo a g (e a h θ ) e h θ2 passa por H 1 e é paralelo a g (e a h θ ). f θ1 é concorrente com h θ1 no eixo X e é paralelo a t (e a f θ ) e f θ2 é concorrente com h θ2 no eixo X e é paralelo a t (e a f θ ). 150. Relatório Em primeiro lugar, representaram-se o cone e a reta f, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Por V conduziu-se uma reta paralela à reta f (reta i), que é a reta de interseção dos dois planos tangentes. 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base ponto I. A reta f é paralela ao plano da base (plano ϕ), pelo que o ponto I é um ponto impróprio (um ponto do infinito) o ponto I situa-se, assim, no infinito. 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base do cone t e t. Uma vez que o ponto I é um ponto do infinito, as retas t e t são concorrentes com a reta i num ponto do infinito, pelo que são necessariamente paralelas à reta f (retas paralelas são retas que são concorrentes num ponto do infinito). As retas t e t, paralelas à reta f (e à reta i), são as retas de interseção dos dois planos tangentes com o plano da base. Os pontos de tangência são T e T. Cada um dos dois planos tangentes já está definido por duas retas paralelas θ 1 está definido por t e i e θ 2 está definido por t e i. 4. Determinaram-se as geratrizes de tangência (ou de contacto), g e g g está definida por V e T e g está definida por V e T. 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por três retas. Determinaram-se os traços horizontais das retas i, t e t h θ1 passa por H 1 e H 1 e h θ2 passa por H 1 e por H 1. f θ1 é concorrente com h θ1 no eixo X e paralelo a t e a i e f θ2 é concorrente com h θ2 no eixo X e é paralelo a t e a i. (Resolução na página seguinte) 56

150. Resolução 151. Em primeiro lugar, representou-se o cilindro e a reta f, pelas respetivas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano que contém a base de menor afastamento do cilindro (a base de referência) e o plano ϕ 1 é o plano que contém a base de maior afas tamento do sólido. Os planos ϕ e ϕ 1 distam 6 cm (a altura do cilindro). Atendendo a que o eixo do cilindro está contido numa reta de perfil, sabe-se que os centros das duas bases têm a mesma abcissa, o que nos permitiu determinar as projeções do ponto Q (o centro da base de menor afastamento do sólido). Em segui da, procedeu-se à execução sequencial das etapas que nos conduzem à resolução do problema. 1. Determinar a orientação dos planos tangentes, definindo um plano paralelo aos planos tangentes através das duas «famílias» de retas que se conhecem a «família» da reta dada (reta f) e a «família» das geratrizes do cilindro. Pelo ponto A, da reta f, conduziu-se uma reta p, de perfil, paralela às geratrizes do sólido o plano definido pelas retas f e p (plano θ) é paralelo aos planos tangentes. Note que se definiu a reta p por dois pontos A e B. Garantiu-se que a reta p é paralela ao eixo do sólido, com o recurso a duas retas auxiliares as retas a e b (ver exercício 2). Se a reta p e o eixo do cilindro são paralelos, então são complanares as retas a e b, são duas retas desse plano e, por isso, também elas são complanares entre si. A reta a passa por O e por A. A reta b passa por Q e, sendo complanar com a reta a, optou-se por fazê-la concorrente com a reta a num ponto R. A reta b, sendo complanar com a reta p, é concorrente com esta num ponto o ponto B. Este raciocínio garantiu-nos que a reta p, definida por A e B, é paralela ao eixo do sólido. 2. Tal como no exercício 149, ao invés de determinar a reta de interseção do plano θ (o plano definido por f e p) com o plano da base de referência (o plano ϕ), optou-se por determinar a reta de interseção do plano θ com o Plano Frontal de Projeção f θ. A reta de interseção do plano θ com o plano ϕ (o plano da base de referência) é paralela à reta de interseção do plano θ com o Plano Frontal de Projeção, pois o plano ϕ é paralelo ao Plano Frontal de Projeção (um dado plano corta dois planos paralelos segundo duas retas paralelas). Para determinar f θ foi necessário o recurso ao rebatimento da reta p, através do rebatimento do plano π, de perfil, que a contém. Em rebatimento, determinou-se o traço frontal da reta p (F), cujas projeções se obtiveram com a inversão do rebatimento f θ passa por F 2 e é paralelo a f. h θ é concorrente com f θ no eixo X e contém H, o traço horizontal da reta f (note que se optou por determinar também o traço horizontal do plano θ, h θ, apesar de, à partida, não ser necessário). 3. Conduziram-se as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas a f θ t e t. Estas são retas frontais (de frente) e são as retas de interseção dos planos tangentes com o plano ϕ (o plano da base de referência). As tangentes à base de referência permitem-nos, ainda, determinar os pontos de tangência, T e T. 4. Determinaram-se as geratrizes de contacto (ou de tangência), g e g, que são também de perfil g passa por T e é paralela ao eixo do cilindro (está definida por um ponto e uma direção) e g passa por T e é também paralela ao eixo do (Continua na página seguinte) 57

cilindro (está igualmente definida por um ponto e uma direção). 5. Cada um dos dois planos tangentes está definido por duas retas (θ 1 está definido por t e g e θ 2 está definido por t e g ) e pela sua orientação (são, ambos, paralelos ao plano θ, cujos traços já conhecemos). Para determinar os traços dos dois planos bastou-nos determinar os traços horizontais das retas t e t, H e H, respetivamente h θ1 passa por H 1 e é paralelo a h θ e h θ2 passa por H 1 e é paralelo a h θ. f θ1 é concorrente com h θ1 no eixo X e é paralelo a t (e a f θ ) e f θ2 é concorrente com h θ2 no eixo X e é paralelo a t (e a f θ ). 20 SECÇÕES PLANAS 152. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante (o plano ϕ), pelo seu traço horizontal, em função dos dados. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono semelhante ao hexágono da base, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do hexágono da base. Por outro lado, uma vez que o plano ϕ (o plano secante) é projetante horizontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projeções horizontais tratou-se de determinar os pontos de interseção das arestas laterais (que estão contidas em retas não projetantes) com um plano projetante horizontal (o plano ϕ). A partir das projeções dos seis vértices da figura da secção (aos quais não se atribuiu nenhum nome, para simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada), desenharam-se as projeções da figura (que é um hexágono regular, com lados fronto-horizontais, tal como a base). Em projeção horizontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de reta, pois o plano secante é projetante horizontal. Já em projeção frontal, o hexágono projeta-se em V.G. mas, atendendo a que não houve a desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção) há que representar as suas invisibilidades. Os lados invisíveis da figura da secção são os que estão contidos nas faces invisíveis (em projeção frontal) da pirâmide as faces laterais [CDV] e [DEV]. Os outros quatro lados da figura da secção são visíveis, por estarem contidos em faces visíveis da pirâmide (em projeção frontal). 153. Em primeiro lugar, representou-se o prisma, pelas suas projeções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base inferior do prisma e o plano ν 1 o plano que contém a sua base superior. O plano ν 2 é o plano secante. Uma vez que o plano secante é paralelo aos planos das bases, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono geometricamente igual aos quadrados das bases, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes daqueles. Por outro lado, uma vez que o plano ν 2 (o plano secante) é projetante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projeções frontais tratou-se de determinar os pontos de interseção das arestas laterais (que estão contidas em retas não projetantes) com um plano projetante frontal (o plano ν 2 ). A partir das projeções dos quatro vértices da figura da secção (aos quais não se atribuiu nenhum nome, para simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada), desenharam-se as projeções da figura (que é um quadrado) e as projeções do sólido resultante da secção (a parte do prisma compreendida entre o plano secante e a base inferior). Note que se representou, a traço forte, o sólido resultante da secção, por ser esse o pretendido a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e a base superior) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objetivo do exercício. O sólido resultante da secção é, no presente caso, um outro prisma um prisma quadrangular oblíquo, com bases horizontais (de nível), cuja base inferior é o quadrado [ABCD] e com 4 cm de altura (a diferença das cotas do plano ν e do plano ν 2 ). Assim, representaram-se os contornos aparentes (horizontal e frontal) desse novo sólido, bem como as respetivas invisibilidades. Por fim, atendendo a que, em projeção horizontal, a figura da secção é visível (a superfície da figura, ou seja, a área do corte), identificou - -se a figura a tracejado (em projeção horizontal). 58

154. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelo seu traço frontal, em função dos dados. Considerou-se A o vértice de maior afastamento da base o lado oposto do pentágono (o lado [CD]) é fronto-horizontal e a aresta lateral [AV] é de perfil, conforme foi expressamente pedido no enunciado. Em seguida, atendendo a que o plano secante é paralelo ao plano da base, sabe-se imediatamente que a figura da secção será um polígono semelhante ao pentágono da base, e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do pentágono da base. Por outro lado, uma vez que o plano ν 1 (o plano secante) é projetante frontal, os vértices da figura da secção foram determinados a partir das suas projeções frontais tratou-se de determinar os pontos de interseção das arestas laterais (que estão contidas em retas não projetantes) com um plano projetante frontal (o plano ν 1 ). No entanto, o ponto A, que é o ponto em que o plano ν 1 corta a aresta [AV] (a aresta lateral de perfil), não teve determinação imediata a partir da sua projeção frontal (como os pontos B, C, D e E ), uma vez que não é possível determinar, de forma direta, as projeções de pontos pertencentes a retas de perfil as projeções de uma reta de perfil não verificam o Critério de reversibilidade, pelo que a condição para que um ponto pertença a uma reta é condição necessária, mas não suficiente. No entanto, atendendo a que a figura da secção (o polígono [A B C D E ]) é um pentágono regular, de lados paralelos aos lados correspondentes do pentágono da base, sabe-se que o lado [A B ] é paralelo ao lado [AB], da base, tal como o lado [A E ] é paralelo ao lado [AE], da base. Com esse raciocínio, conduziu-se, por B 1, uma paralela a [A 1 B 1 ], obtendo A 1 sobre [A 1 V 1 ] o ponto A 1, assim determinado, garante-nos também que [A 1 E 1 ] é paralelo a [A 1 E 1 ]. A partir das projeções dos cinco vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projeções a sua projeção frontal reduz-se a um segmento de reta (o plano secante é projetante frontal) e a sua projeção horizontal está em V.G. (é o pentágono regular [A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 ]). No entanto, não havendo a desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção), há que representar as suas invisibilidades. A figura da secção é totalmente invisível em projeção horizontal, pois os seus lados estão contidos nas faces laterais do sólido que, em projeção horizontal, são todas invisíveis. 155. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A circunferência circunscrita ao pentágono da base tem centro em Q e raio Q A, pois A é um dos pontos do pentágono. A reta h é a reta horizontal (de nível) que é a reta suporte da aresta lateral [AV] h faz, com o Plano Frontal de Projeção, o ângulo pretendido. A aresta [AV] é paralela ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que se projeta em V.G. no Plano Horizontal de Projeção a partir de A 1, sobre h 1, mediram-se os 8 cm (o comprimento da aresta [AV]), obtendo V 1 (garantindo que o vértice é invisível em projeção frontal, ou seja, que tem afastamento infe rior a A). A partir de todos os vértices do sólido, desenharam-se as suas projeções, atendendo às invisibilidades. O plano secante passa pelo vértice B, da base. Além disso, o plano α corta uma aresta da base (a aresta [DE], no ponto M) e duas arestas laterais (as arestas [AV] e [EV], nos pontos O e N, respetivamente). A figura da secção tem, assim, quatro vértices é um quadrilátero. Uma vez que não existe desagregação do sólido (é pedida a figura da sec ção e não o sólido resultante da secção), há que representar as invisibilidades da figura da secção (se as houver). Em projeção horizontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de reta, pois o plano secante é projetante hori zontal. Em projeção frontal, apenas a base do sólido é visível, pelo que apenas o lado da figura da secção que está contido na base do sólido é visível o lado [BM]. Os lados [MN], [NO] e [BO], da figura da secção, são invisíveis em projeção frontal, pois estão contidos em faces do sólido que são invisíveis em projeção frontal as faces laterais [DEV], [AEV] e [ABV], respetivamente. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) não é visível em nenhuma das projeções, pois não há a desagregação do sólido, pelo que não há lugar à execução de tracejado. 156. Em primeiro lugar, representou-se o cubo, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a face de menor afastamento do cubo. O plano ϕ 1 é o plano frontal (de frente) que contém a face de maior afastamento do cubo ϕ 1 tem 7 cm de afastamento (2 + 5 = 7), ou seja, dista 5 cm (a medida da aresta do cubo) do plano ϕ. Uma vez que o cubo tem faces contidas em planos projetantes frontais, sabe-se imediatamente que o cubo tem arestas de topo (projetantes frontais). Assim, a aresta do cubo que pertence ao Plano Horizontal de Projeção (a única aresta pela qual o cubo assenta no Plano Horizontal de Projeção) é necessariamente de topo. Uma das faces laterais contíguas a essa aresta faz um ângulo de 30 (a.d.) com o Plano Horizontal de Projeção isso permitiu-nos perceber a posição dos quadrados das faces que estão contidas nos pla nos frontais (de frente) e, dessa forma, concluir a construção das projeções do sólido. Note que não se atribuíram nomes aos vértices do sólido, de forma a simplificar a leitura da resolução gráfica apresentada. (Continua na página seguinte) 59

a) Analisando a posição do plano secante em relação ao sólido, constata-se que o plano α (o plano secante) corta duas arestas da face frontal (de frente) de maior afastamento (nos pontos A e B), a aresta de topo de menor cota (no ponto C), a aresta de topo de maior cota (no ponto D) e duas arestas da face frontal (de frente) de menor afas tamento (nos pontos E e F). A figura da secção tem, assim, seis vértices é um hexágono (irregular). Uma vez que é pedido o sólido resultante da secção (a parte do sólido compreendida entre o plano secante e o Plano Frontal de Projeção), que é um outro sólido, foi esse sólido que se representou a traço forte a parte do sólido que é desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o plano ϕ 1 ) representou-se a traço leve, pois trata-se de uma construção auxiliar para atingir o objetivo do exercício (que se representa a traço forte). Note que a superfície da figura da secção (a área do corte), após a desagregação do sólido, é visível em projeção frontal, razão pela qual se identificou com tracejado. b) A figura da secção não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pois o plano secante (o plano α) não é paralelo e nenhum dos planos de projeção. Assim, é necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se pelo rebatimento do plano α (o plano secante) para o Plano Frontal de Projeção. A charneira foi f α. Após o rebatimento dos seis vértices da figura da secção, desenhou-se o polígono da mesma em V.G. (em rebati mento). 157. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Note que, para a construção das projeções da pirâmide, se recorreu ao rebatimento do plano de perfil π que contém a base do sólido para, dessa forma, se obterem as projeções do quadrado. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π. A partir de A r, mediu-se o ângulo de 30 que o lado [AB] faz com o Plano Horizontal de Projeção esse ângulo é igual ao ângulo que o lado [AB] faz com h π e que está em V.G. no ângulo que o [A r B r ] faz com h πr. Note que se garantiu que o quadrado, após a sua construção, se situa no 1 o Diedro e que o ponto B tem cota superior a A. Sobre o lado do ângulo, a partir de A r, mediram-se os 5 cm (a medida do lado do quadrado) e construiu-se o polígono em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projeções do quadrado note que se teve o cuidado de determinar, ainda, as projeções o centro do quadrado, o ponto O (que foi determinado previamente em rebatimento). O eixo da pirâmide está contido numa reta fronto-horizontal (ortogonal ao plano π) que passa por O e o seu comprimento (que corresponde à altura da pirâmide) projeta-se em V.G. nos dois planos de projeção determinou-se V, o vértice da pirâmide, que se situa à esquerda do plano da base (conforme é pedido no enun ciado) e desenharam-se as projeções do sólido, atendendo às respetivas invisibilidades. O ponto M é o ponto médio do eixo da pirâmide e o plano δ (o plano secante) contém M. O plano secante corta as quatro arestas laterais da pirâmide, pelo que a figura da secção tem quatro vértices é um quadrilátero. Uma vez que não existe desagregação do sólido (é pedida a figura da sec ção e não o sólido resultante da secção), há que representar as invisibilidades da figura da secção (se as houver). Em projeção horizontal, a figura da secção reduz-se a um segmento de reta, pois o plano secante é projetante hori zontal. Em projeção frontal, as faces laterais visíveis são as faces [ABV] e [BCV] as faces laterais [CDV] e [ADV] são invisíveis, em projeção frontal. Assim, os lados [KL] e [LM], da figura da secção, são visíveis em projeção frontal (por estarem contidos em faces laterais visíveis) enquanto que os lados [MN] e [KN], da figura da secção, são invisíveis em projeção frontal (por estarem contidos em faces laterais invisíveis). Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) não é visível em nenhuma das projeções, pois não há a desagrega - ção do sólido, pelo que não há lugar à execução de tracejado. 60

158. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A aresta lateral [AV] é de perfil, pelo que V tem a mesma abcissa de A. A aresta lateral [BV] é frontal (de frente), pelo que V tem o mesmo afastamento de B. Estes dois dados permitiram- -nos determinar V 1 a projeção hori zontal de V V 2 determinou- -se em função da altura da pirâmide. Em seguida, averiguou-se se o plano secante corta a base. A reta de interseção do plano ρ (o plano secante) com o plano da base é h ρ h ρ é exterior à base (não corta a base), pelo que o plano ρ não corta a base da pirâmide. O plano cortará, então, apenas as arestas laterais da pirâmide, pelo que a figura da secção terá quatro vértices será um quadrilátero. Assim, determinaram-se os pontos em que o plano ρ corta as arestas laterais do sólido. Começou-se por determinar o ponto de interseção da aresta lateral [BV] com o plano ρ para tal recorreu-se ao método geral da interseção de retas com planos. O plano ϕ, frontal (de frente) é o plano auxiliar que contém a aresta [BV] (ϕ é o plano projetante horizontal da aresta). A reta m é a reta de interseção de ϕ com ρ m determinou-se com o recurso a uma reta auxiliar r do plano ρ. A reta m é fronto-hori zontal e passa por M, o ponto de interseção de r com ϕ. B é o ponto de interseção da reta m com a aresta [BV] B é o ponto de interseção da aresta [BV] com o plano secante. Já temos um ponto da figura da secção o ponto B. Em seguida, determi nou-se a reta de interseção do plano que contém a face lateral [ABV] (o plano ABV) com o plano secante a reta i. Para definir a reta i necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos um ponto B. B é um ponto que pertence ao plano ρ (pois pertence à reta m, que pertence ao plano ρ) e pertence ao plano ABV (pois pertence à reta BV, que pertence ao plano ABV). Falta-nos outro ponto ou uma direção. Desenhou-se a reta suporte da aresta [AB], da base a reta AB. A reta AB é a reta de interseção do plano ABV com o plano da base (o Plano Horizontal de Projeção). A reta AB e h ρ são complanares (h ρ é a reta de interseção do plano ρ com o plano da base) e não são paralelas, pelo que são concorrentes I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois pla nos (o plano ABV e o plano ρ). A reta i (a reta de interseção do plano ABV com o plano ρ) fica definida por B e por I. A reta i interseta a aresta [AV] no ponto A A é, assim, outro ponto da figura da secção. Em seguida, determinou-se a reta de interseção do plano que contém a face lateral [BCV] (o plano BCV) com o plano secante a reta i. Para definir a reta i necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos um ponto B. B é um ponto que pertence ao plano ρ e pertence ao plano BCV (pois pertence à reta BV, que pertence ao plano BCV). Falta-nos outro ponto ou uma direção. Desenhou-se a reta suporte da aresta [BC], da base a reta BC. A reta BC é a reta de interseção do plano BCV com o plano da base (o Plano Horizon tal de Projeção). A reta BC e h ρ são complanares (h ρ é a reta de interseção do plano ρ com o plano da base) e não são paralelas, pelo que são concorrentes I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano BCV e o plano ρ). A reta i (a reta de interseção do plano BCV com o plano ρ) fica definida por B e por I. A reta i interseta a aresta [CV] no ponto C C é, assim, outro ponto da figura da secção. Por fim, deter minou-se o ponto de interseção da aresta lateral [DV] com o plano ρ para tal recorreu-se novamente ao método geral da interseção de retas com planos. O plano θ, vertical, é o plano auxiliar que contém a aresta [DV] (θ é o plano projetante horizontal da aresta). A reta i é a reta de interseção de θ com ρ i está definida pelos seus traços nos planos de projeção, F e H. D é o ponto de interseção da reta i com a aresta [DV] D é o ponto de interseção da aresta [DV] com o plano secante. Já temos outro ponto da figura da secção o ponto D. A partir dos quatro vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projeções. Em seguida, desenharam-se as projeções do sólido resul tante da secção a parte compreendida entre o plano secante e a base, que se representou a traço forte, sendo que a parte desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) se representou a traço leve. Note que o contorno aparente frontal do sólido resultante da secção é [B 2 B 2 C 2 D 2 D 2 A 2 ]. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em ambas as projeções, o que se identificou com tracejado (paralelo ao eixo X) em ambas as projeções. Salienta-se que o processo exposto consiste na aplicação do terceiro processo para a determinação de secções produzida por planos não projetantes (o método misto). No entanto, poder-se-ia ter recorrido ao segundo processo, ou seja, ao recurso exclusivo do método geral da interseção de retas com planos, para a determinação dos pontos de interseção de cada uma das arestas com o plano secante. 159. Em primeiro lugar, representou-se o prisma, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O triângulo [ABC] é retângulo em A, pelo que os lados [AC] e [AB] são perpendiculares entre si o vértice C, do triângulo, determinou-se em função do comprimento do lado [AC] (que é 3 cm). O plano ϕ (o plano da base de maior afastamento) tem 7 cm de afastamento, que é a altura do sólido. O plano α (o plano secante) tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3. Em seguida, averiguou-se se o plano secante corta as bases. A reta de interseção do plano ρ (o plano secante) com o plano da base de menor afastamento é f α f α é exterior à base [ABC] (não corta a base), pelo que o plano ρ não corta a base de menor afastamento do prisma. Note que não se determinou a reta de interseção do plano α (o plano secante) com o plano ϕ (o plano da base de maior afastamento do prisma), com vista a não tornar ainda mais difícil a leitura da resolução gráfica apresentada. No entanto, caso se tivesse determinado a reta de interseção dos dois planos, constatar-se-ia que a reta seria exterior à base [A B C ], pelo que o plano α também não corta a base de maior afastamento do sólido. Assim, o plano cortará, apenas, as arestas laterais do prisma, pelo que a figura da secção terá três vértices será um triângulo. Começou-se por (Continua na página seguinte) 61

determi nar o ponto de interseção da aresta lateral [AA ] com o plano α para tal recorreu-se ao método geral da interseção de retas com planos. O plano ν, horizontal (de nível), é o plano auxiliar que contém a aresta [AA ] (ν é o plano projetante frontal da aresta). A reta h é a reta de interseção de ν com α h está definida por um ponto (o seu traço fron tal, F) e por uma direção (é paralela a h α, pois é uma reta horizontal de α e retas horizontais de um plano são para lelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). K é o ponto de interseção da reta h com a aresta [AA ] K é o ponto de interseção da aresta [AA ] com o plano secante. Já temos um ponto da figura da secção o ponto K. Em seguida, determinou-se o ponto de interseção da aresta lateral [CC ] com o plano α, pelo mesmo processo. O plano ν, horizontal (de nível), é o plano auxiliar que contém a aresta [CC ] (ν é o plano projetante frontal da aresta). A reta h é a reta de interseção de ν com α h está definida por um ponto (o seu traço frontal, F ) e por uma direção (é paralela a h α ). N é o ponto de interseção da reta h com a aresta [CC ] N é o ponto de interseção da aresta [CC ] com o plano secante. Já temos outro ponto da figura da secção o ponto N. Em seguida, determinou-se a reta de interseção do plano que contém a face lateral [AA B B] (o plano AA B) com o plano secante a reta i. Para definir a reta i necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos um ponto K. K é um ponto que pertence ao plano α (pois pertence à reta h, que pertence ao plano α) e pertence ao plano AA B (pois pertence à reta AA, que pertence ao plano AA B). Falta-nos outro ponto ou uma direção. Desenhou-se a reta suporte da aresta [AB], da base [ABC] a reta AB. A reta AB é a reta de interseção do plano AA B com o plano da base (o Plano Frontal de Projeção). A reta AB e f α são complanares (f α é a reta de interseção do plano α com o plano da base [ABC]) e não são paralelas, pelo que são concorrentes I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano AA B e o plano α). A reta i (a reta de interseção do plano AA B com o plano α) fica definida por K e por I. A reta i interseta a aresta [BB ] no ponto L L é, assim, outro ponto da figura da secção. A partir dos três vértices da figura da secção (o triângulo [KLN]), desenharam-se as suas projeções. Em projeção horizontal, os lados [LN] e [KN], da figura da secção, são invisíveis, pois estão contidos em faces invisíveis do sólido (em projeção horizontal) as faces [BB C C] e [AA C C]. Em projeção frontal, os lados [KL] e [KN], da figura da secção, são invi síveis, pois estão contidos em faces invisíveis do sólido (em projeção frontal) as faces [AA B B] e [AA C C]. A superfície da figura da secção (a área do corte) é invisível em ambas as projeções (pois não houve a desagregação do sólido), pelo que não há lugar à execução de tracejado. Salienta-se que o processo exposto consiste na aplicação do terceiro processo para a determinação de secções produzida por planos não projetantes (o método misto). No entanto, poder-se-ia ter recorrido ao segundo processo, ou seja, ao recurso exclusivo do método geral da interseção de retas com planos, para a determinação dos pontos de interseção de cada uma das arestas com o plano secante. 160. Em primeiro lugar, representou-se o cubo, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O quadrado [ABCD] é a face do cubo que está contida no Plano Horizontal de Projeção. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a face superior do cubo. O plano γ (o plano secante) tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, averiguou-se se o plano secante corta as faces horizontais (de nível) do cubo. A reta de interseção do plano γ (o plano secante) com o plano da face inferior (o quadrado [ABCD]) do cubo é h γ h γ é exterior ao quadrado [ABCD], pelo que o plano γ não corta a face inferior do sólido. Em seguida determinou-se a reta de interseção do plano γ (o plano secante) com o plano ν (o plano que contém a face superior do sólido) a reta h. A reta h está definida por um ponto (o seu traço frontal, F) e por uma direção (é paralela a h γ pois retas horizontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço horizontal do plano). A reta h corta o quadrado da face superior do cubo nos pontos K e L K e L são, assim, dois pontos da figura da secção (são os pontos em que o plano γ corta as arestas da face superior do cubo). Em seguida, determinou-se a reta de interseção do plano que contém a face verti cal que contém a aresta [AB] (o plano ABK) com o plano secante a reta i. Para definir a reta i necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos um ponto K. K é um ponto que pertence ao plano γ (pois pertence à reta h, que pertence ao plano γ) e pertence ao plano ABK. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Desenhou-se a reta suporte da aresta [AB], da face [ABCD] a reta AB. A reta AB é a reta de interseção do plano ABC com o plano da face inferior do cubo (o Plano Horizontal de Projeção). A reta AB e h γ são complanares (h γ é a reta de interseção do plano γ com o plano da face [ABCD]) e não são paralelas, pelo que são concorrentes I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano ABK e o plano γ). A reta i (a reta de interseção do plano ABK com o plano γ) fica definida por K e por I. A reta i interseta a aresta vertical que passa por A no ponto N N é, assim, outro ponto da figura da secção. Determinou-se, em (Continua na página seguinte) 62

seguida, a reta de interseção do plano que contém a face vertical que contém a aresta [CD] (o plano CDL) com o plano secante a reta i. Para definir a reta i necessitamos de dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos um ponto L. L é um ponto que per tence ao plano γ (pois pertence à reta h, que pertence ao plano γ) e pertence ao plano CDL. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Desenhou-se a reta suporte da aresta [CD], da face [ABCD] a reta CD. A reta CD é a reta de interseção do plano ABC com o plano da face inferior do cubo (o Plano Horizontal de Projeção). A reta CD e h γ são complanares (h γ é a reta de interseção do plano γ com o plano da face [ABCD]) e não são paralelas, pelo que são concorrentes I é o ponto de concorrência. O ponto I é, assim, outro ponto comum aos dois planos (o plano CDL e o plano γ). A reta i (a reta de interseção do plano CDL com o plano γ) fica definida por L e por I. A reta i interseta a aresta vertical que passa por D no ponto M M é, assim, outro ponto da figura da secção. O plano secante corta, assim, duas arestas verticais do cubo e duas arestas horizontais (de nível) da face superior a figura da secção tem quatro vértices (é um quadrilátero). A partir dos quatro vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projeções. Em seguida, desenharam-se as projeções do sólido resultante da secção a parte compreendida entre o plano secante e o Plano Horizontal de Projeção, que se representou a traço forte, sendo que a parte desprezada (a parte compreendida entre o plano secante e o plano ν, da face superior) se representou a traço leve. A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível apenas em projeção horizontal (note que o plano secante é um plano em tensão, pelo que a face visível da figura, em ambas as projeções, não é a mesma), o que se identificou com tracejado (paralelo ao eixo X). Salienta-se que a superfície da figura da secção (a área do corte) é invisível em projeção frontal, razão pela qual não há lugar à execução de tracejado, em projeção frontal. Salienta-se ainda que o processo exposto consiste na aplicação do terceiro processo para a determinação de secções produzida por planos não projetantes (o método misto). No entanto, poder-se-ia ter recorrido ao segundo processo, ou seja, ao recurso exclusivo do método geral da interseção de retas com planos, para a determinação dos pontos de interseção de cada uma das arestas com o plano secante. 161. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. A altura da pirâmide é 8 cm, pelo que o vértice V tem 8 cm de afastamento. As arestas laterais [AV] e [DV] são de perfil, o que significa que V tem a mesma abcissa de A e D. A aresta lateral [BV] é horizontal (de nível), o que significa que V tem a mesma de B. Foram estes os raciocínios que nos permitiram determinar as projeções de V e as projeções da pirâmide. a) O plano secante corta as cinco arestas laterais da pirâmide, pelo que a figura da secção tem cinco vértices é um pentágono (irregular, pois o plano secante não é paralelo ao plano da base). O plano secante corta as arestas laterais [BV], [CV] e [EV] nos pontos R, Q e U, respetivamente estes pontos têm determinação imediata a partir das suas projeções horizontais (o plano secante é projetante horizontal). O plano δ corta as arestas laterais [AV] e [DV] (as arestas de perfil) nos pontos S e T, respetivamente as projeções horizontais destes pontos determinam-se imediatamente, o mesmo não acontecendo com as suas projeções frontais, pois as projeções de retas de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade. Os pontos S e T são, assim, os pontos «problemáticos» da secção. A determinação destes pontos processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base. Conduziu-se um plano frontal (de frente) ϕ um plano paralelo à base pelos pontos S e T. Em seguida, desenhou-se parte da secção produzida por ϕ na pirâmide, da qual S e T são dois vértices ϕ corta as arestas [CV] e [BV] nos pontos M e N, respetivamente. A figura da secção produzida por ϕ na pirâmide será um pentágono (regular), semelhante ao pentágono da base e com os seus lados paralelos aos lados correspondentes do pentágono [ABCDE]. Assim, por M 2 conduziu-se uma paralela a [C 2 D 2 ], obtendo T 2 sobre [D 2 V 2 ]. Em seguida, por N 2 conduziu-se uma paralela a [A 2 B 2 ], obtendo S 2 sobre [A 2 V 2 ]. A partir das projeções dos cinco vértices da figura da secção (a secção produzida pelo plano δ na pirâmide), desenharam-se as suas projeções, representando-se as projeções do sólido pedido a traço forte o sólido resultante da secção (a parte compreendida entre o plano secante e a base ou o Plano Frontal de Projeção). A parte desprezada da pirâmide (a parte compreendida entre o plano secante e o vértice) representou-se a traço leve. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projeção frontal, razão pela qual se identificou com tracejado. Sublinha-se que a determinação dos pontos S e T (os pontos «problemáticos» da secção) se poderia ter processado com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém as arestas [AV] e [DV]. b) Para determinar a V.G. da secção, e uma vez que o plano que a contém (o plano secante) não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, recorreu-se ao rebatimento do plano δ para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f δ. O pentágono irregular [Q r R r S r U r T r ] é a figura da secção em V.G., em rebatimento. 162. Em primeiro lugar, representou-se a pirâmide, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. O plano secante corta três arestas laterais e duas arestas da base da pirâmide, pelo que a figura da secção tem cinco vértices é um pentágono (irregular). O plano secante corta as arestas laterais [BV] e [CV] nos pontos T e S, respetivamente estes pontos têm determinação imediata a partir das suas projeções horizontais, pois o plano secante é projetante horizontal. O plano δ corta as arestas da base [AB] e [DE] nos pontos U e Q, respetivamente estes pontos também têm determinação imediata a partir das suas projeções horizontais. O plano secante (Continua na página seguinte) 63

corta a aresta lateral [DV] (que é de perfil) no ponto R R 1 determina-se imediatamente, o mesmo não acontecendo com R 2, pois as projeções de retas de perfil não verificam o Critério de reversibilidade. O ponto R é, assim, o ponto «problemático» da secção. A determinação deste ponto processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base, mas com um raciocínio diferente do do exercício anterior, pois trata-se da situação inversa. Note que, nesta situação, se tem a projeção que nos faltava no exercício anterior não é possível conduzir, por R 1, um plano horizontal (de nível), pois não se sabe a cota de R. No entanto, considerou-se que R resulta da secção produzida por um plano horizontal (de nível) ν um plano paralelo à base. Assim, a partir de R 1, desenhou-se parte da secção produzida por ν na pirâmide, da qual R é um vértice ν corta a aresta [EV] num ponto K e, uma vez que ν é paralelo à base, o segmento [RK] é necessariamente paralelo ao segmento [DE] (o lado correspondente da base). Assim, por R 1 conduziu-se uma paralela a [D 1 E 1 ], obtendo K 1 sobre [E 1 V 1 ] a projeção frontal de K, K 2, situa-se sobre [E 2 V 2 ]. Uma vez que o segmento [RK] é parte da secção produzida na pirâmide por um plano horizontal (de nível) ν, por K 2 conduziu- -se o traço frontal de ν (f ν ). Este permitiu-nos determinar R 2, que é o ponto de interseção de (f ν ) com [D 2 V 2 ]. A partir dos cinco vértices da figura da secção, desenharam-se as suas projeções, atendendo às suas invisibilidades (note que é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção). Note que o lado [QU], da figura da secção, está contido num plano projetante frontal o plano que contém a base. Da mesma forma, também o lado [ST], da figura da secção, está contido num plano projetante frontal o plano que contém a face lateral [BCV]. Assim, apenas o lado [TU] da figura da secção é invisível em projeção frontal. A projeção horizontal da figura da secção reduz-se a um segmento de reta, pois o plano secante é projetante horizontal. Salienta-se que a superfície da figura da secção (a área do corte) não é visível em nenhuma das suas projeções, pois não houve a desagregação do sólido. Sublinha-se ainda que a determinação do ponto R (o ponto «problemático» da secção) se poderia ter processado com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contém a aresta [DV] (a aresta de perfil à qual o ponto R pertence). 163. Em primeiro lugar, representou-se o cone, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano α produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano δ, paralelo a α. Uma vez que o plano α é um plano vertical, o plano δ será igualmente um plano vertical (projetante horizontal), com os seus traços paralelos aos tra ços homónimos do plano α. Sendo um plano projetante horizontal, para que o plano δ contenha o vértice V do cone, basta que h δ passe por V 1. 2. Determinou-se a reta de interseção do plano δ com o plano da base do cone, que é o próprio Plano Horizontal de Projeção. Assim, a reta de interseção do plano δ com o Plano Horizontal de Projeção é h δ, que já está determinado. 3. Analisou-se a posição de h δ em relação à base do cone h δ é exterior à base do cone, pelo que a secção que o plano α produz no cone é uma elipse (ou, mais corretamente, um segmento da elipse, uma vez que o plano α corta a base do sólido). 164. Em primeiro lugar, representou-se o cone, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, executaram-se sequencialmente as três etapas que nos permitem identificar o tipo de secção que o plano ψ produz no cone. 1. Conduziu-se, pelo vértice do cone, um plano α, paralelo a ψ. Para tal, e uma vez que o plano ψ não é um plano projetante (o plano α também não será projetante), é necessário conduzir, por V, uma reta do plano α, para que V pertença ao plano (condição (Continua na página seguinte) 64

para que um ponto pertença a um plano). Recorreu-se a uma reta f, frontal (de frente), paralela às retas frontais do plano ψ (a retas frontais de α são necessariamente paralelas às retas de ψ). Determinou-se H, o traço horizontal da reta f, pelo qual se conduziu h α f α é paralelo a f (e a f ψ ) e é concorrente com h α no eixo X. O plano α, definido pelos seus traços, é paralelo a ψ e contém V. 2. Determinou-se a reta de interseção do plano α com o plano da base do cone (o plano frontal ϕ) reta i. A reta i é uma reta frontal (de frente) do plano α e está definida por um ponto (o seu traço horizontal, H ) e por uma direção (a direção das retas frontais de α). 3. Analisou-se a posição da reta i em relação à base do cone i é secante à base do cone, pelo que a secção que o plano ψ produz no cone é uma hipérbole (ou, mais corretamente, um ramo da hipérbole, uma vez se trata de um cone e não se uma superfície cónica). 165. Em primeiro lugar, representaram-se o cone, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, efetuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano θ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a θ o plano θ 1 (o que se processou de forma direta, pois θ é projetante frontal pelo que, para que θ 1 contenha V, basta que f θ1 passe por V 2 ). 2. Determinou - -se a reta de interseção do plano θ 1 com o plano da base (o plano ν) a reta i (a reta i é uma reta de topo, pois trata-se da reta de interseção entre dois planos projetantes frontais). 3. Averiguou-se a posição relativa da reta i e da base do cone a reta i é exterior à base do cone, pelo que a secção que o plano θ produz no cone é uma elipse. Já sabendo que tipo de curva a secção vai gerar, procedeu - -se à sua determinação. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano θ (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano θ corta o contorno aparente frontal em dois pontos A e B (os pontos em que o plano θ corta as geratrizes mais à esquerda e mais à direita do contorno aparente frontal, respetivamente). A é o ponto de menor cota da secção e B o seu ponto de maior cota. O plano θ não corta o contorno aparente horizontal. Já temos dois pontos da curva da secção, que são os dois extremos do eixo maior da elipse (e que definem o espaço útil para os planos auxiliares). Para determinar o eixo menor recorreu-se ao ponto médio de [AB] (o ponto M, que se determinou com o recurso à mediatriz de [AB]), pelo qual se conduziu o primeiro plano auxiliar paralelo à base o plano horizontal (de nível) ν 1. O plano ν 1 corta o cone segundo uma circunferência esta tem centro em Q (o ponto em que ν 1 corta o eixo do sólido) e raio Q P (P é o ponto em que ν 1 corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal). A reta de interseção do plano ν 1 com o plano θ (o plano secante) é também uma reta de topo, que corta a circunferência nos pontos C e D C e D são mais dois pontos da secção e são os extremos do eixo menor da elipse. Já temos quatro pontos da curva da secção. Repetiu-se o processo com mais dois planos auxiliares paralelos à base (os planos horizontais ν 2 e ν 3 ), distribuídos uniformemente entre os pontos já determinados cada um destes planos permitiu-nos determinar mais dois pontos da elipse. Com um total de oito pontos, desenharam-se as projeções da figura da secção (que não apresenta quaisquer invisibilidades) a projeção frontal é um segmento de reta (o plano é projetante frontal) e a projeção horizontal é outra elipse, cujo desenho, a partir dos dois pontos determinados, foi relativamente preciso. 166. Em primeiro lugar, representaram-se o cone, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Para a construção do cone, e uma vez que não é dada a sua altura mas, sim, o comprimento das geratrizes, teve-se em conta que as geratrizes do contorno aparente horizontal são horizontais (de nível), pelo que se projetam em V.G. em projeção horizontal, o que nos permitiu determinar V 1. Em seguida, efetuaram-se os traçados necessá rios à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a α o plano α 1 (o que se processou de forma direta, pois α é projetante horizontal pelo que, para que α 1 contenha V, basta que h α1 passe por V 1 ). 2. Determinou-se a reta de interseção do plano α 1 com o plano da base (o Plano Horizontal de Projeção), que é f α1. 3. Averiguou-se a posição relativa de f α1 com a base do cone f α1 é tangente à base do cone, pelo que a secção que o plano α produz no cone é uma parábola (note que o plano α é paralelo à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal). Já sabendo a cónica que a secção vai gerar, procedeu-se à sua determinação. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano α (o plano secante) corta os contornos aparentes. O plano α corta o contorno aparente horizontal em três pontos os pontos A e B (os pontos em que o plano α corta a base) e o ponto C (o ponto em que o plano α corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal). O plano não corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal (é paralelo a esta). O plano α corta o contorno aparente frontal em dois pontos os pontos A e B (já determinados). Já temos três pontos da curva da secção, que definem o espaço útil para os planos auxiliares é o espaço compreendido entre o ponto C e a base do cone (C é o ponto de maior afastamento da secção e A e B os seus pontos de menor afastamento). Recorreu-se a três planos auxiliares paralelos à base planos frontais (de frente). Estes foram distribuídos uniformemente pelo espaço útil note que se omitiu a identificação dos planos (as notações referentes aos seus traços horizontais). (Continua na página seguinte) 65

Cada um dos planos auxiliares corta o cone segundo uma circunferência (ver relatório do exercício anterior) e o plano secante segundo uma reta vertical. Cada reta de interseção corta a circunferência correspondente em dois pontos, que são dois pontos da secção. Desta forma, cada um dos três planos auxiliares permitiu-nos determinar dois pontos da secção, o que resulta em seis pontos já temos, então, nove pontos da secção (os seis agora determinados e os três primeiros). A partir dos nove pontos, desenharam-se as projeções da parábola e do sólido resultante da secção, que se representou a traço forte (a parte desprezada fica a traço leve). A superfície da figura da secção (a área do corte), porque é visível em projeção frontal, identificou-se com tracejado paralelamente ao eixo X (em projeção fron tal). Por fim, para determinar a V.G. da figura da secção, optou-se por rebater o plano α (o plano secante, que contém a figura da secção) para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f α. 167. Em primeiro lugar, representaram-se o cone, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida, efetuaram-se os traçados necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano θ no sólido. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a π o plano π 1 (o que se processou de forma direta, pois π é projetante). 2. Determinou-se a reta de interseção do plano π 1 com o plano da base (o plano ϕ) a reta i (a reta i é uma reta vertical, pois trata-se da reta de interseção entre dois planos projetantes horizontais). 3. Averiguou-se a posição relativa da reta i e da base do cone a reta i é secante à base do cone, pelo que a secção que o plano π produz no cone é uma hipérbole (mais corretamente é um ramo da hipérbole, pois o cone é limitado lateralmente por uma única folha de uma superfície cónica). Já sabendo o tipo de cónica gerada, procedeu-se à sua determinação. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano secante corta os contornos aparentes. O plano π corta o contorno aparente horizontal em três pontos os pontos A e B (os pontos em que o plano π corta a base) e o ponto C (o ponto em que o plano π corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal). O plano não corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal no espaço compreendido entre o vértice do cone e a sua base). O plano π corta o contorno aparente frontal em dois pontos os pontos A e B (já determinados). Já temos três pontos da curva da secção, que definem o espaço útil para os planos auxiliares é o espaço compreendido entre o ponto C e a base do cone (C é o ponto de maior afastamento da secção e A e B os seus pontos de menor afastamento). Note que, atendendo a que o plano π é duplamente projetante, caso fosse pedido, apenas, as projeções da figura da secção (e é pedida, também, a sua V.G.), o problema estaria concluído, pois as duas projeções da figura da secção se reduzem, ambas, a segmentos de reta. Assim, recorreu- -se a três planos auxiliares paralelos à base os planos frontais (de frente) ϕ 1, ϕ 2 e ϕ 3 (ver relatório do exercício anterior). Cada um dos três planos auxiliares permitiu-nos determinar dois pontos da secção, o que resulta em seis pontos. Uma vez que já tínhamos as projeções da figura da secção, os nove pontos serão necessários para determinar a V.G. da figura da secção, o que se processa com o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se pela mudança do diedro de projeção. Substituiu-se o Plano Frontal de Projeção (plano 2) por um novo plano de projeção (plano 4), paralelo ao plano π e criando um diedro de projeção (formado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual o plano π seja um plano frontal (de frente) e a figura se projete em V.G. no plano 4. As projeções dos nove pontos no plano 4 foram determinadas a partir das respetivas cotas, que se mantêm. 66

168. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano secante, pelos seus traços, em função dos dados. Para a construção das projeções do sólido, representou-se, em primeiro lugar, o vértice da superfície, o que nos permitiu, em seguida, determinar as projeções dos centros das duas bases do sólido (trata-se de uma superfície de revolução e as bases do sólido estão contidas em planos frontais, pelo que o eixo da superfície é de topo). Em seguida, desenhou-se a base de menor afastamento e, a partir das geratrizes do contorno aparente horizontal do sólido, determinou-se a sua base de maior afastamento. a) Para determinar a secção produzida por γ no sólido efetuaram-se, em primeiro lugar, os traçados necessários à identificação do tipo de cónica gerada. 1. Conduziu-se, por V, um plano paralelo a γ o plano γ 1 (o que se processou de forma direta, pois γ é projetante frontal). 2. Determinou-se a reta de interseção do plano γ 1 com o plano da base de menor afastamento (o Plano Frontal de Projeção) f γ1. 3. Averiguou-se a posição relativa entre f γ1 e a base de menor afastamento do sólido f γ1 é secante à base de menor afastamento do sólido, pelo que a secção que o plano γ produz no sólido é uma hipérbole (note que, ao contrário da situação anterior, se verificará a existência dos dois ramos da hipérbole, o pois o sólido é limitado lateralmente pelas duas folhas da superfície cónica). Já sabendo o tipo de cónica gerada, procedeu-se à sua determinação. Assim, determinaram-se, antes de mais, os pontos em que o plano secante corta os contornos aparentes. O plano γ corta o contorno aparente frontal em dois pontos A e B (são os pontos em que o plano γ corta a base de maior afastamento do sólido). O plano γ corta o contorno aparente horizontal em seis pontos, que são: os pontos A e B (já determinados), os pontos C e D (os pontos em que o plano γ corta a base de maior afastamento do sólido), o ponto E (o ponto em que o plano γ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal da folha de menor afastamento da superfície) e o ponto F (o ponto em que o plano γ corta a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal da folha de maior afastamento da superfície). Já temos seis pontos da curva da secção. No entanto ainda não está definido o espaço útil de cada um dos ramos da hipérbole, pois os pontos E e F não são os vértices dos respetivos ramos. Assim, há que determinar os vértices de cada um dos ramos (o ponto de maior afastamento de um dos ramos e o de menor afastamento do outro ramo). Para tal, recorreu-se a duas retas tangentes (uma para cada folha da superfície) à base de menor afastamento do sólido e paralelas a f γ t e t. Os pontos de tangência são os pontos T e T, respetivamente. Em seguida conduziram-se as geratrizes que passam por aqueles pontos g e g, respetivamente. O plano γ corta a geratriz g no ponto M M é, assim, o ponto de maior afastamento do ramo da hipérbole que se situa na folha de menor afastamento da superfície. O plano γ corta a geratriz g no ponto N N é, assim, o ponto de menor afastamento do ramo da hipérbole que se situa na folha de maior afastamento da superfície. Já sabemos a localização dos dois ramos da hipérbole. Um ramo está compreendido entre o ponto M (o seu ponto de maior afastamento) e os pontos A e B (que são os pontos de menor afastamento deste ramo). O espaço útil para os planos auxiliares é, assim, o espaço compreendido entre o Plano Frontal de Projeção e o ponto M. O outro ramo está compreendido entre o ponto N (o seu ponto de menor afastamento) e os pontos C e D (que são os pontos de maior afastamento deste ramo). O espaço útil para os planos auxiliares é, assim, o espaço compreendido entre o plano ϕ e o ponto N. Assim, recorreu-se a três planos auxiliares paralelos à base os planos frontais (de frente) ϕ 1, ϕ 2 e ϕ 3. Estes planos foram distribuídos mais ou menos uniformemente pelo espaço útil de cada ramo, mas, mais do que isso, preferiu-se simplificar a resolução gráfica. Assim, note que se deu preferência a um traçado mais simples conseguindo, por exemplo, que a secção (circunferência) que o plano ϕ 1 produz no sólido tenha a sua projeção frontal coincidente com a projeção frontal da base de maior afastamento do sólido. De forma semelhante, também as secções (circunferências) que os planos ϕ 2 e ϕ 3 produzem no sólido têm as suas projeções frontais coincidentes. Note que, com este cuidado, foi possível evitar o desenho de duas circunferências e, dessa forma, simplificar a resolução gráfica. O plano ϕ 1 permitiu-nos determinar os pontos G e H da secção. O plano ϕ 2 permitiu-nos determinar os pontos I e K da secção. O plano ϕ 3 permitiu-nos determinar os pontos J e L da secção. A partir dos catorze pontos determinados (oito para um ramo e seis para o outro) desenharam-se as projeções da figura da secção e do sólido pretendido, que se representou a traço forte. Tenha em conta que a figura da secção é tangente ao contorno aparente horizontal nos pontos E e F. Note que a superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projeção horizontal, razão pela qual se identificou a tracejado. b) Para determinar a V.G. da figura da secção optou-se pelo rebatimento do plano secante (o plano γ) para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h γ. 67

169. Antes de mais representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano λ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano λ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3. Em seguida efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano λ no cone. 1. Em primeiro lugar conduziu-se, pelo vértice, um plano paralelo ao plano λ (o plano secante) para determinar o tipo de secção que o plano λ produz no cone note que se omitiram estes traçados, mas sugere-se que o aluno o faça. A reta de interseção desse plano paralelo a λ com o plano da base (o Plano Horizontal de Projeção) é exterior à base, pelo que a secção produzida por λ no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido ou não. A reta de interseção do plano λ com o plano da base é h λ h λ é secante à base do cone, pelo que λ corta a base do sólido nos pontos A e B. Já temos dois pontos da secção e já se sabe que a secção será um segmento de elipse, pois o plano secante corta a base. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano λ corta os contornos aparentes, o que se processou, no caso das geratrizes dos contornos aparentes, através do método geral da interseção de retas com planos, pois nenhuma das geratrizes é projetante e o plano secante também não. O plano α é o plano (vertical) auxiliar a que se recorreu para determinar o ponto de interseção da geratriz mais à esquerda do sólido com o plano secante a geratriz mais à esquerda é uma das geratrizes do contorno aparente frontal. A reta i é a reta de interseção do plano α com o plano λ (o plano secante). A reta i interseta a geratriz no ponto C C é, assim, mais um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projeção frontal (note que para se determinar o ponto C foi necessário desenhar a projeção horizontal da geratriz em questão). É possível constatar que, pela posição do plano secante e atendendo a que o plano corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, o plano não corta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. O plano ϕ é o plano (frontal) auxiliar a que se recorreu para determinar o ponto de interseção da geratriz de menor afastamento com o plano secante a geratriz de menor afastamento é uma das geratrizes do contorno aparente horizontal. A reta f é a reta de interseção do plano ϕ com o plano λ (o plano secante). A reta f interseta a geratriz no ponto E E é, assim, mais um ponto da secção e é o ponto em que a figura da secção será tangente àquela geratriz, em projeção horizontal (note que para se determinar o ponto E foi necessário desenhar a projeção frontal da geratriz em questão). É possível constatar que, pela posição do plano secante e atendendo a que ele corta a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal, o plano não corta a outra geratriz do contorno aparente horizontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano λ corta a base do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de menor cota da secção (recorde que o plano secante corta o sólido segundo um segmento de elipse o ponto de menor cota da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de maior cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a h λ (que intersetam o plano secante segundo retas horizontais). Para tal conduziu-se, por V, uma reta h, paralela a h λ h interseta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas a h e que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tangentes). Em seguida determinaram-se os traços frontais dos planos tangentes θ 1 e θ 2. O plano θ 1 é o que os permite determinar o ponto de menor cota da secção que, como se referiu, está fora dos limites do sólido. O plano θ 2 é o plano que nos permite determinar o ponto de maior cota da secção. Determinou-se a geratriz de contacto (a geratriz [TV]) e a reta de interseção de θ 2 com o plano λ (o plano secante) a reta h. A reta h e a geratriz [TV] são concorrentes no ponto D D é outro ponto da secção e é o seu ponto de maior cota. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que o plano λ corta a base do sólido nos pontos A e B, e A tem afastamento superior a B, o ponto A é, imediatamente, o ponto de maior afastamento da secção (recorde que a secção é um segmento de elipse o ponto de maior afastamento da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de menor afastamento da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a f λ (que intersetam o plano secante segundo retas frontais). No entanto, uma vez que a geratriz de menor afastamento do sólido é frontal (de frente), sabe-se que todos os seus pontos têm o mesmo afastamento e que não há nenhum ponto do sólido com afastamento inferior ao dos pontos da geratriz. Assim, o ponto E (o ponto em que o plano secante corta a geratriz de menor afastamento do sólido e que foi anteriormente determinado) é, imediatamente, o ponto de menor afastamento da secção. Já temos cinco pontos da secção A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução (Continua na página seguinte) 68

do problema. O plano ν 1 é um plano horizontal (de nível), paralelo à base. O plano ν 1 corta o cone segundo uma circunferência e interseta o plano λ (o plano secante) segundo uma reta esta é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações nem à reta de interseção dos dois planos nem aos dois pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com um outro plano ν 2, que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção (e, mais uma vez, se omitiram as notações referentes a estes traçados). Já temos nove pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva esta é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal, em projeção frontal, no ponto C 2 e é tangente à geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal, em projeção horizontal, no ponto E 1. Uma vez que é pedida a figura da secção, representaram-se as invisibilidades da curva e não há lugar à execução de tracejado, pois a superfície da figura (a área do corte) não é visível em nenhuma das projeções. Em projeção horizontal, a parte da curva compreendida entre E e B é invisível (está na parte invisível da superfície lateral do cone), bem como o segmento [AB] (que está contido da base, que é invisível em projeção horizontal). Em projeção frontal, é a parte da curva que está compreendida entre os pontos C e B que é invisível (por estar contida na parte invisível da superfície lateral do sólido). 170. Antes de mais representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. Note que f ρ é tangente à base do sólido. Em seguida, efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cone, tal como referido no relatório do exercício anterior. 1. Em primeiro lugar conduziu-se, pelo vértice, um plano paralelo ao plano ρ (o plano secante) para determinar o tipo de secção que o plano ρ produz no cone o plano ρ 1. A reta r é uma reta qualquer do plano ρ, à qual é paralela a reta s, que se conduziu pelo vértice do sólido. Determinaram-se os traços da reta s, pelos quais se conduziram os traços homónimos do plano ρ 1. A reta de interseção do plano ρ 1 com o plano da base (o Plano Frontal de Projeção), que é f ρ1, é exterior à base, pelo que a secção produzida por ρ no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido ou não o plano ρ não corta a base do cone (a reta de interseção do plano ρ com o plano da base é f ρ, que é tangente à base no ponto A), pelo que a secção será uma elipse. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano ρ corta os contornos aparentes. O plano ρ é tangente ao contorno aparente frontal no ponto A, pelo que o plano ρ não corta o contorno aparente frontal. No entanto, A já é um ponto da secção. Já no caso das geratrizes do contorno aparente horizontal, foi necessário o recurso ao método geral da interseção de retas com planos, pois nenhuma das geratrizes é projetante e o plano secante também não. O plano ν é o plano (horizontal) auxiliar a que se recorreu ν contém as duas geratrizes do contorno aparente horizontal. A reta i é a reta de interseção do plano ν com o plano ρ (o plano secante) a reta i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de interseção do plano ν com a reta r. A reta i interseta a geratriz mais à esquerda no ponto B e a geratriz mais à direita no ponto C B e C são, assim, mais dois pontos da secção e são os pontos em que a figura da secção será tangente ao contorno aparente horizontal, em projeção horizontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. O ponto A é, imediatamente, o ponto de maior cota da secção, pois é um ponto da secção e é o ponto de maior cota do sólido (não há nenhum ponto do sólido com cota superior a A). Assim, para determinar o ponto de menor cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a h ρ (que intersetam o plano secante segundo retas horizontais). Para tal conduziu-se, por V, uma reta i, paralela a h ρ i (que é uma reta fronto-horizontal) interseta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as tangentes à base (que são paralelas a i e que são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes, σ e σ 1 ). Note que os planos tangentes são, também, planos de rampa, pois estão definidos, cada um, por duas retas fronto-horizontais. Note ainda que não é necessária a determinação dos traços horizontais dos dois planos tangentes. O plano σ é o que nos permite determinar o ponto de maior cota da secção que, como se referiu, é o ponto A. O plano σ 1 é o plano que nos permite determinar o ponto de menor cota da secção. Determinaram-se as geratrizes de contacto (g e g ). A geratriz g é a que contém o ponto A o ponto de maior cota da secção. A geratriz g é a que contém o ponto de menor cota da sec- (Continua na página seguinte) 69

ção este pode ser determinado através da reta de interseção do plano σ 1 com o plano ρ, mas atendendo a que se trata de dois planos de rampa, cuja interseção não é imediata, optou-se por determinar o ponto de interseção da geratriz g com o plano ρ esse ponto será necessariamente o ponto pretendido (o ponto de menor cota da secção). Para tal recorreu-se, mais uma vez ao método, geral da interseção de retas com planos. O plano π é o plano auxiliar a que se recorreu e que contém a geratriz g (é um plano de perfil). A reta i é a reta de interseção do plano π com o plano ρ. O ponto D é o ponto de interseção da reta i com a geratriz g e determinou-se com o recurso ao rebatimento do plano π D é o ponto em que o plano ρ corta a geratriz g e é o ponto de menor cota da secção. Já temos quatro pontos da secção A, B, C e D. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que a base do sólido é frontal (de frente) e todos os seus pontos têm o mesmo afastamento, não havendo qualquer ponto do sólido com afastamento inferior à base, o ponto A, que é um ponto da base, é já o ponto de menor afastamento da secção. Para determinar o ponto de maior afastamento da secção é necessário recorrer aos planos tangentes ao cone que são paralelos a f ρ os planos tangentes ao cone que intersetam o plano ρ segundo retas frontais (de frente). Ora, as retas fronto-horizontais são um caso particular das retas horizontais (de nível) e, simultaneamente, um caso particular das retas frontais (de frente). Assim, os planos tangentes σ e σ 1, que são os planos que intersetam o plano ρ segundo retas fronto-horizontais, permitem-nos determinar, em simultâneo, os pontos de maior e menor cota e os pontos de maior e de menor afastamento. O ponto A é, assim, o ponto de maior cota da secção e o seu ponto de menor afastamento. Por sua vez, o ponto D é, simultaneamente, o ponto de menor cota da secção e o seu ponto de maior afastamento. 6. Atendendo a que os quatro pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ϕ 1 é um plano frontal (de frente), paralelo à base. O plano ϕ 1 corta o cone segundo uma circunferência e interseta o plano ρ (o plano secante) segundo uma reta a reta m. A reta m é fronto-horizontal e passa pelo ponto M, que é o ponto de interseção do plano ϕ 1 com a reta r. A reta m é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações aos dois pontos determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com um outro plano ϕ 2, o que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção. Repetiu-se o processo como no outro plano ϕ 3, o que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção. Já temos dez pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva esta, em projeção horizontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente horizontal em B 1 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal em C 1. Uma vez que é pedido o sólido resultante da secção, representaram-se as projeções da sólido pedido, identificando a tracejado a figura da secção em ambas as projeções, pois a superfície da figura (a área do corte) é visível em ambas as projeções. 171. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém a base inferior do sólido e o plano ν 1 o plano que contém a base superior. A reta e é a reta suporte do eixo do sólido. Em seguida, efetuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ρ no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos horizontais (de nível) e o plano secante é um plano de rampa, que não é paralelo aos planos das bases a figura da secção não é uma circunferência. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. Para tal determinaram-se as projeções de uma reta r, do plano ρ, tal que r 2 é paralela a e 2 (e é a reta suporte do eixo do cilindro). A reta r não é paralela à reta e (as suas projeções horizontais não são paralelas), pelo que o plano ρ também não é paralelo ao eixo do cilindro a figura da secção é, então, uma elipse (ou um segmento de elipse, caso o plano secante corte uma ou as duas bases do sólido). 70

172. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano γ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base de maior afastamento do sólido. A reta h é a reta suporte do eixo do sólido. Os traços do plano γ são simétricos em relação ao eixo X, pois γ é um plano ortogonal ao β 1/3. Em seguida, efetuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos frontais (de frente) e o plano secante é um plano oblíquo, que não é paralelo aos planos das bases a figura da secção não é uma circunferência. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. Para tal recorreu-se a h γ, que é uma reta horizontal (de nível) do plano γ h γ é paralelo à reta h (a reta suporte do eixo do cilindro), pelo que o plano γ é paralelo ao eixo do sólido (e às geratrizes do cilindro) a secção produzida é um paralelogramo. 173. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções (ver relatório do exercício anterior), e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. Depois, efetuaram-se os raciocínios necessários à identifi cação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano α no sólido. 1. Em primeiro lugar, analisou-se a posição do plano secante em relação aos planos das bases. As bases estão contidas em planos frontais (de frente) e o plano secante é um plano vertical, que não é paralelo aos planos das bases a figura da secção não é uma circunferência. 2. Analisou-se a posição do plano secante em relação ao eixo do sólido. Para tal recorreu-se a h α, que é uma reta horizontal (de nível) do plano α h α é paralelo à reta h (a reta suporte do eixo do cilindro), pelo que o plano α é paralelo ao eixo do sólido (e às geratrizes do cilindro). A secção produzida é um paralelogramo. Em seguida, efetua ram-se os traçados necessários à determinação do paralelogramo que é a secção. A reta de interseção do plano α (o plano secante) com o plano da base de menor afastamento (o Plano Frontal de Projeção) é f α f α corta aquela base nos pontos A e B que são, assim, dois vértices do paralelogramo. Uma vez que a secção produzida é um parale logramo, sabe-se que o plano α corta a superfície lateral do sólido ao longo das geratrizes que passam por A e B. Por outro lado, o plano α corta a base de maior afastamento do cilindro nos pontos A e B estes determinaram-se ime diatamente a partir das suas projeções horizontais, pois o plano α é projetante horizontal. Note que A e B se pode riam também ter determinado com o recurso à reta de interseção do plano α (o plano secante) com o plano ϕ (o plano que contém a base de maior afastamento do cilindro), que seria uma reta vertical. Em seguida, desenharam-se as projeções das geratrizes [AA ] e [BB ], que são dois lados do paralelogramo. A partir dos quatro vértices da figura (o paralelogramo [AA B B]), desenharam-se as suas projeções, atendendo às invisibilidades. Em projeção frontal, o lado [AB] é invisível (está contido na face de menor afastamento, que é invisível em projeção frontal), bem como os lados [AA ] e [BB ], pois estão contidos na parte invisível (em projeção frontal) da superfície lateral do sólido. Em projeção horizontal, a figura reduz-se a um segmento de reta sobre h α, pois α é um plano projetante horizontal. Note que, não havendo desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção), a superfície da figura (a área do corte) nunca é visível, pelo que não há lugar à execução de tracejado. 71

174. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ψ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O ponto M é o ponto médio do segmento [OO ], que é o eixo do sólido h α passa por M 1 e faz, com o eixo X um ângulo de 45 (a.d.). Depois, efetuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano ψ no sólido. 1. O plano secante não é paralelo aos planos das bases (que são planos frontais), pelo que a figura da secção não é uma circunferência. 2. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma elipse. Atendendo a que o plano é projetante horizontal, a projeção horizontal da elipse tem determinação imediata reduz-se a um segmento de reta sobre h ψ. Por outro lado, aten dendo a que as geratrizes do cilindro são projetantes frontais, a projeção frontal da elipse também tem determina ção imediata é uma circunferência, que está coincidente com o contorno aparente frontal do cilindro. As projeções da figura da secção estão imediatamente determinadas. No entanto, uma vez que é também pedida a V.G. da figura da secção, é necessária a determinação de alguns pontos da curva para o respetivo desenho em V.G. oito pontos, no mínimo. Assim, começou-se por determinar os pontos em que o plano ψ (o plano secante) corta o contorno apa rente horizontal os pontos A e B, que têm determinação imediata a partir das suas projeções horizontais. [AB] é imediatamente o eixo maior da elipse, que é horizontal (de nível). O ponto M é o ponto médio do segmento [AB], pelo que é o ponto em que se bissetam os dois eixos da elipse. O eixo menor da elipse é vertical (é perpendicular a [AB]), e é o segmento [CD] C e D são os pontos em que o plano secante corta as geratrizes g e g, que são as geratrizes de maior e de menor cota do cilindro, respetivamente. Já temos quatro pontos da secção, que são os vértices da elipse. Para determinar mais pontos da elipse recorreu-se ao método das geratrizes. Desenharam-se as projeções de duas geratrizes quaisquer, g e g, tais que as suas projeções horizontais estão coincidentes. Os pontos E e F são os pontos em que o plano secante corta as geratrizes g e g, respetivamente. Recorreu-se a mais três pares de geratrizes em situações semelhantes (cada par tem as suas projeções horizontais coincidentes) e localizados de forma a permitirem-nos uma distribuição uniforme dos pontos da curva cada par de geratrizes permite-nos determinar dois pontos. Assim, obteve-se um total de doze pontos da curva, o que nos irá permitir um desenho relativamente pre ciso da mesma. Em seguida rebateu-se o plano α (o plano secante, que contém a elipse) para o Plano Frontal de projeção a charneira foi f α. A partir dos doze pontos da curva em rebatimento (os pontos que haviam sido previamente determinados), quatro dos quais são os vértices e extremos dos eixos da elipse, foi possível desenhá-la em V.G., com alguma precisão. Note que, não havendo desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção), a superfície da figura (a área do corte) nunca é visível, pelo que não há lugar à execução de tracejado. 175. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano θ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. Depois, efetuaram-se os raciocínios necessários à identificação do tipo de cónica que é a sec ção produzida pelo plano θ no sólido. 1. O plano secante não é paralelo aos planos das bases (que são planos hori zontais), pelo que a figura da secção não é uma circunferência. 2. O plano secante não é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). Uma vez que o plano θ é projetante frontal, constata-se que θ corta a base superior do sólido, pelo que a secção é um segmento de elipse. O procedimento seguinte foi determinar os pontos em que o plano θ (o plano secante) corta as linhas dos contornos apa rentes. O plano θ corta a base superior nos pontos A e B e corta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C A, B e C são, assim, três pontos da figura da secção. É possí vel observar que o plano secante não corta nenhuma das linhas do contorno aparente horizontal o plano não corta a base inferior, não corta a base superior na parte que integra o contorno aparente horizontal e não corta as geratrizes do contorno aparente horizontal. A determinação da mais pontos da figura da secção processou-se com o recurso ao método dos planos paralelos à base. O plano ν é um plano horizontal (de nível) auxiliar, paralelo às bases ν corta a superfície lateral do sólido segundo uma circunferência com centro em Q (Q é o ponto de interseção do eixo do sólido com ν) e raio Q M (M é o ponto em que ν corta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal), cujas projeções se desenharam. Note que esta circunferência tem o mesmo raio das bases. Em seguida, determinou-se a reta de interseção do plano ν com o plano θ, que é uma reta de topo e cujas projeções não se identificaram. A reta de interseção dos dois planos corta a circunferência de centro em Q e raio Q M em dois pontos (Continua na página seguinte) 72

D e E. D e E são, assim, mais dois pontos da figura da secção. Repetiu-se o procedimento exposto com um outro plano horizontal (de nível) auxiliar, paralelo às bases o plano ν 1. Este, de forma semelhante à exposta para o plano ν, permitiu-nos deter minar mais dois pontos, que não se identificaram. A partir dos sete pontos determinados, desenharam-se as projeções da figura da secção e do sólido resultante da secção (que se identificou a traço forte). A superfície da figura da secção (a área do corte) é visível em projeção horizontal, razão pela qual se identificou a tracejado paralelo ao eixo X. 176. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano γ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados (ver relatório do exercício 172). Depois, averiguou-se o tipo de cónica que é a secção produzida pelo plano γ no sólido de acordo com o exercício 172 (cujo objetivo era, precisamente, determinar o tipo de secção produzida por γ no sólido), sabe-se imediatamente que a secção é um paralelogramo. Em seguida, efetuaram-se os traçados necessários à determinação do paralelogramo que é a secção. A reta de interseção do plano γ (o plano secante) com o plano da base de menor afastamento (o Plano Frontal de Projeção) é f γ f γ corta aquela base nos pontos A e B que são, assim, dois vértices do paralelogramo. Uma vez que a secção produzida é um paralelogramo, sabe-se que o plano γ corta a superfície lateral do sólido ao longo das geratrizes que passam por A e B. Desenharam - -se as projeções destas geratrizes e determinaram-se, assim, os pontos em que o plano γ corta a base de maior afastamento do sólido A e B. Estes dois pontos são os outros dois vértices do paralelogramo. Note que A e B se poderiam ter determinado com o recurso à reta de interseção do plano γ (o plano secante) com o plano ϕ (o plano que contém a base de maior afastamento do cilindro). A partir dos quatro vértices da figura (o paralelogramo [AA B B]), desenharam-se as suas projeções, atendendo às invisibilidades. Em projeção frontal, o lado [AB] é invisível (está contido na face de menor afastamento, que é invisível em projeção frontal), bem como o lado [BB ], que está contido na parte invisível (em projeção frontal) da superfície lateral do sólido. Em projeção horizontal, o lado [AA ] é invisível, pois situa-se na parte invisível (em projeção horizontal) da superfície lateral do sólido. Note que, não havendo desagregação do sólido (é pedida a figura da secção e não o sólido resultante da secção), a superfície da figura (a área do corte) nunca é visível. 73

177. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ρ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. Em seguida efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ρ no cilindro. 1. Em primeiro lugar, identificou-se o tipo de cónica que é a sec ção produzida pelo plano ρ no sólido o plano secante não é paralelo aos planos das bases nem é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A reta de interseção do plano ρ com o plano da base inferior é h ρ h ρ é secante à base inferior do cilindro, pelo que ρ corta a base inferior do sólido nos pontos A e B. Já temos dois pontos da secção e já se sabe que a secção será um segmento de elipse, pois o plano secante corta uma base. Apesar de não se ter determinado, a reta de interseção do plano ρ com o plano da base superior é uma reta fronto-horizontal que se situa no 2 o Diedro, pelo que se conclui que o plano ρ não corta a base superior do sólido. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano ρ corta os contornos aparentes. Em função da etapa anterior, já se sabe que o plano ρ corta o contorno aparente horizontal nos pontos A e B. Falta averiguar se o plano ρ corta as geratrizes do contorno aparente frontal, o que se processou com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos. O plano ϕ é o plano (frontal) auxiliar a que se recorreu o plano ϕ contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A reta i, fronto-horizontal, é a reta de interseção do plano ϕ com o plano ρ i passa por I, que é o ponto de interseção do plano ϕ com uma reta r, auxiliar, do plano ρ. A reta i é concorrente com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C e é concorrente com a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D C e D são, assim, os pontos em que o plano ρ corta aquelas geratrizes e são os pontos nos quais a projeção frontal da curva da secção será tangente às geratrizes do contorno aparente frontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano ρ corta a base do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de menor cota da secção (recorde que o plano secante corta o sólido segundo um segmento de elipse o ponto de menor cota da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de maior cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a h ρ (que intersetam o plano secante segundo retas horizontais). Os planos tangentes são necessariamente projetantes horizontais, pois têm de conter uma geratriz do cilindro e as geratrizes do cilindro são projetantes horizontais os planos tangentes são, assim, planos frontais (de frente), pelo que está determinada a orientação dos planos tangentes. O plano ϕ 1 é o plano tangente à superfície do cilindro ao longo da sua geratriz de menor afastamento, na qual se situará o ponto de maior cota da secção note que o outro plano tangente (que não se representou) seria tangente ao cilindro ao longo da sua geratriz de maior afastamento e o plano secante não corta essa geratriz (o ponto de menor cota da elipse está fora dos limites do sólido). A reta i é a reta de interseção de ϕ 1 com ρ i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de interseção de ϕ 1 com a reta r (a reta auxiliar do plano ρ). A reta i é concorrente com a geratriz de menor afastamento do cilindro no ponto E E é o ponto em que a tangente é horizontal e é o ponto em que o plano ρ corta aquela geratriz. E é o ponto de maior cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Para tal, é necessário recorrer aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f ρ (que intersetam o plano secante segundo retas frontais) são os planos tangentes que intersetam o plano ρ segundo retas fronto-horizontais (as retas fronto-horizontais são simultaneamente casos particulares das retas horizontais e das retas frontais). Trata-se, portanto, de planos frontais (de frente), o que redunda na etapa anterior. De facto, uma vez que o plano secante é um plano de rampa (cujas retas horizontais são também frontais e vice-versa), os planos tangentes que nos permitem determinar os pontos de maior e de menor cota da secção são os mesmos que nos permitem determinar os pontos de maior e de menor afastamento, pois as tangentes horizontais são também as tangentes frontais (são fronto-horizontais). Face ao exposto, conclui-se que o ponto de maior afastamento da elipse (que é o ponto de menor cota) está fora dos limites da secção (que é um segmento de elipse) e que E é o ponto de menor afastamento da secção. Já temos cinco pontos da secção A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método das geratrizes, determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ϕ 2 é um plano auxiliar (frontal) que contém duas geratrizes da superfície lateral do sólido, localizadas de forma a colmatar a lacuna que existe, ao nível dos pontos da secção, entre os pontos C e E e os pontos D e E. A reta i é a reta de interseção de ϕ 2 com ρ i é fronto-horizontal e passa pelo ponto I, que é o ponto de interseção de ϕ 2 com a reta r (a reta auxiliar do plano ρ). A reta i permite-nos determinar os pontos M e N, que são os seus pontos de concorrência com as geratrizes que o plano ϕ 2 contém. Os sete pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso da curva esta, em projeção frontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C 2 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D 2. Uma vez que é pedida a figura da secção, representaram-se as invisibilidades da curva e não há lugar à execução de tracejado, pois a superfície da figura (a área do corte) não é visível em nenhuma das projeções. Em projeção horizontal, o segmento de reta [AB] é invisível, pois situa-se na base inferior do sólido, que é invisível em projeção horizontal. Em projeção frontal, é a parte da curva que está compreendida entre os pontos C e D e que contém o ponto E que é invisível (por estar contida na parte invisível da superfície lateral do sólido). 74

178. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano da base superior (o plano ν) tem 6 cm de cota, pois a base inferior tem cota nula e o sólido tem 6 cm de altura). Em seguida efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cilindro, conforme exposto no relatório do exercício anterior. 1. Em primeiro lugar identificou-se o tipo de cónica que é a sec ção produzida pelo plano α no sólido o plano secante não é paralelo aos planos das bases nem é paralelo ao eixo do sólido, pelo que a secção produzida é uma elipse (ou um segmento de elipse, se o plano secante cortar qualquer das bases do sólido). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido ou não. A reta de interseção de α com o plano da base inferior é h α h α é exterior à base inferior do cilindro, pelo que α não corta a base inferior do sólido. Em seguida, determinou-se a reta de interseção de α com ν (o plano da base superior) a reta h. A reta h é exterior à base superior do sólido, pelo que α também não corta a base superior a secção é uma elipse completa. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano α corta os contornos aparentes, o que se processou com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos. O plano γ é o plano (de topo) auxiliar que contém as duas geratrizes do contorno aparente horizontal. A reta i é a reta de interseção do plano γ com o plano α. A reta i é concorrente com a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal no ponto A e é concorrente com a geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal no ponto B A e B são, assim, os pontos em que o plano α corta aquelas geratrizes e são os pontos nos quais a projeção horizontal da curva da secção será tangente às geratrizes do contorno aparente horizontal. O plano ϕ é o plano (frontal) auxiliar que contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A reta f, frontal (de frente), é a reta de interseção do plano ϕ com o plano α. A reta f é concorrente com a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C e é concorrente com a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D C e D são, assim, os pontos em que o plano α corta aquelas geratrizes e são os pontos nos quais a projeção frontal da curva da secção será tangente às geratrizes do contorno aparente frontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersetam o plano α segundo retas horizontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a h α ). Omitiram-se os traçados referentes à determinação da orientação desses planos, uma vez que se sabe que os seus traços horizontais são paralelos a h α e que os seus traços frontais são paralelos às geratrizes do cilindro (que são retas frontais). Assim, conduziram-se, imediatamente, as tangentes à base inferior do sólido (a base de referência) que são paralelas a h α estas são, imediatamente, h θ1 e h θ2, os traços horizontais dos dois planos tangentes. Os respetivos traços frontais determinaram-se em seguida, paralelos às geratrizes do cilindro. Determinaram-se as geratrizes de contacto, g e g, e as retas de interseção dos planos tangentes com o plano α, t e t (que são as tangentes horizontais nos pontos de maior e de menor cota da secção). O ponto M é o ponto de concorrência de t e g e é o ponto de maior cota da secção. O ponto N é o ponto de concorrência de t e g e é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção, para o que é necessário determinar os planos tangentes ao cilindro que intersetam o plano α segundo retas frontais (os planos tangentes ao cilindro que são paralelos a f α ). Uma vez que as geratrizes do cilindro são retas frontais (de frente), estes planos estão definidos por duas retas frontais (de frente), pelo que são planos frontais (de frente). As geratrizes de contacto são, imediatamente, as duas geratrizes do contorno aparente horizontal, pelo que os pontos de maior e de menor afastamento da secção já estão determinados são B e A, respetivamente. Já temos seis pontos da secção A, B, C, D, M e N. 6. Atendendo a que os seis pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu - -se ao método dos planos paralelos às bases, determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. O plano ν 1 é um plano auxiliar (horizontal) ν 1 corta a superfície do sólido segundo uma circunferência e corta o plano α segundo uma reta horizontal (paralela a h α ). A reta de interseção dos dois planos corta a circunferência em dois pontos, que são mais dois pontos da secção. O plano ν 2 é outro plano auxiliar (horizontal) ν 2 corta a superfície do sólido segundo uma circunferência e corta o plano α segundo outra reta horizontal (paralela a h α ). A reta de interseção dos dois planos corta a circunferência em outros dois pontos, que são mais dois pontos da secção. Note que se omitiram as notações das retas de interseção dos planos auxiliares com o plano α, bem como as notações dos quatro pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar em demasia a resolução gráfica apresentada. Tenha em conta que os dois planos auxiliares se localizaram de forma a colmatar as lacunas existentes, ao nível dos pontos da secção, entre os pontos A e C e os pontos B e D. Os dez pontos da secção já determinados permitem-nos um desenho relativamente preciso da curva. A secção, em projeção frontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto C 2 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto D 2. Já em projeção horizontal, a secção é tangente à geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal no ponto A 1 e é tangente à geratriz de maior afastamento do contorno aparente horizontal no ponto B 1. Em seguida, desenharam-se as projeções do sólido resultante da secção e tracejaram-se paralelamente ao eixo X as duas projeções da figura da secção, pois a superfície da figura (a área do corte) é visível em ambas as projeções. 75

179. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ϕ (o plano secante), pelo seu traço hori zontal, em função dos dados. A esfera é tangente aos dois planos de projeção, pelo que o seu centro, o ponto O, tem 3,5 cm (o raio da esfera) de cota e de afastamento. A secção produzida por ϕ na esfera é um círculo cujo centro é o ponto de interseção do plano ϕ com o raio da esfera que é ortogonal a ϕ. Q é o ponto de interseção do plano ϕ com a reta de topo (ortogonal a ϕ) que passa por O Q é o centro da figura da secção. Para determinar o raio da figura da secção determinou-se um dos pontos em que o plano secante corta o contorno aparente horizontal da esfera o ponto A. A figura da secção é, assim, um círculo com centro no ponto Q e raio Q A. A projeção horizontal da figura da sec ção reduz-se a um segmento de reta, pois o plano secante é projetante horizontal. A projeção frontal da figura da secção está em V.G., mas é invisível na sua totalidade, pois situa-se na parte invisível (em projeção frontal) da super fície esférica que limita o sólido. Note que, sendo pedida a figura da secção, não existe desagregação do sólido, pelo que a área do corte nunca é visível em nenhuma das projeções, razão pela qual não há lugar à execução de trace jado. 180. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano γ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. A secção produzida por γ na esfera é um círculo, cujo centro é o ponto de interseção do plano γ com o raio da esfera que é ortogonal a γ. A reta f é a reta que passa por O (o centro da esfera) e é ortogonal a γ (é uma reta frontal). O ponto Q é o ponto de interseção do plano γ com a reta f Q é o centro da figura da secção. Ao contrário da situação anterior, a figura da secção não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pois o plano secante não é paralelo a nenhum dos planos de projeção. A projeção frontal da figura da secção será um segmento de reta (o plano secante é projetante frontal) e a sua projeção horizontal será uma elipse. Em seguida, determinaram-se os pontos em que o plano γ corta os contornos aparentes da esfera os pontos A e B são os pontos em que o plano γ corta o contorno aparente frontal da esfera (estão contidos numa reta frontal) e [A 1 B 1 ] será o eixo menor da elipse. O eixo maior será perpendicular a [A 1 B 1 ], pelo que será de topo. Por outro lado, [AB] é um diâmetro da figura da secção. Os pontos E e F, por sua vez, são os pontos em que o plano γ corta o contorno aparente horizon tal. Para a construção da elipse, que é a projeção horizontal da figura da secção, optou-se pelo método do rebati - mento, em função do rigor que proporciona. Assim, procedeu-se ao rebatimento do plano secante, para a determina ção, em rebatimento, dos pontos que nos permitem desenhar a elipse que é a projeção horizontal da figura da secção. Rebateu-se o plano para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira foi h γ ), obtendo Q r, A r e B r. Em rebatimento, desenhou-se a circunferência em V.G., com centro em Q r e passando por A r e B r ([AB] é um diâmetro da circunferên cia). Ainda em rebatimento, determinou-se o diâmetro perpendicular a [AB] (o diâmetro [CD]), cuja projeção horizontal será o eixo maior da elipse, bem como mais quatro pontos da circunferência esses quatro pontos, em conjunto com os pontos A, B, C e D, são os oito pontos necessários ao desenho da elipse. Note que não foi necessário transportar para a circunferência em rebatimento os pontos E e F. Inverteu-se o rebatimento, obtendo as projeções dos seis pon tos assim determinados. A partir das projeções horizontais dos dez pontos, desenhou-se a elipse, que é a projeção horizontal do círculo (a figura da secção) note que a elipse é tangente ao contorno aparente horizontal nos pontos E e F. Em seguida, representou-se o sólido resul - tante da secção a traço forte e tracejou-se a superfície da figura da sec ção (a área do corte) em projeção horizontal, por ser visível. 76

181. Em primeiro lugar, representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano δ (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano δ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo X, pois é ortogonal ao β 1/3. Para a construção das projeções do tetraedro, foi necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois as arestas que não estão contidas no Plano Horizontal de Projeção não se projetam em V.G. em nenhum dos planos de projeção. Assim, os dados do exercício permitiram-nos construir, imediatamente, a projeção horizontal do sólido. Em seguida, conduziu-se, pela aresta [AD], um plano auxiliar α, e rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f α ), obtendo A r e a referência de D r com o compasso, fazendo centro em A r e com raio igual à medida do lado do triângulo [ABC], determinou-se D r sobre a perpendicular ao eixo X que passa pela sua referência em rebati mento. Invertendo o rebatimento, determinou-se D 2 e construiu-se a projeção frontal do sólido. a) Para determinar a secção produzida pelo plano δ no sólido verificou-se, em primeiro lugar, que o plano δ corta a face horizontal do tetraedro, pois h δ é secante ao triângulo [ABC] nos pontos M e N estes são, imediatamente, dois pontos da secção. Em seguida determinou-se o ponto em que o plano δ corta a aresta [AD], com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos. O plano α é o plano que contém a aresta [AD] e a reta i é a reta de interseção do plano α com o plano δ. A reta i é concorrente com a aresta [AD] no ponto L L é o ponto em que o plano δ corta a aresta [AD] e é outro ponto da secção. Por fim determinou-se o ponto em que o plano δ corta a aresta [BD], de novo com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos. O plano γ é o plano (de topo) que contém a aresta [BD] e a reta i é a reta de interseção do plano γ com o plano δ. A reta i é concorrente com a aresta [BD] no ponto K K é o ponto em que o plano δ corta a aresta [BD] e é outro ponto da secção. O plano δ não corta a aresta [CD], pelo que a figura da secção é um quadrilátero o quadrilátero [KLMN]. Desenharam-se as projeções do sólido resultante da secção e identificou-se a área do corte em ambas as projeções, com tracejado, pois é visível em ambas as projeções. b) Para determinar a V.G. da figura da secção, que está contida no plano δ, recorreu-se ao rebatimento do plano δ para o Plano Horizontal de Projeção a charneira foi h δ. Rebateu-se o plano δ através dos seus traços. M r M 1 e N r N 1, pois M e N são dois pontos da charneira. Rebateu-se a reta i através dos seus traços e determinou-se L r sobre i r, no plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento de L. Rebateu-se a reta i igualmente através dos seus traços e determinou-se K r sobre i r, no plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebati mento de K. A V.G. da figura da secção está no quadrilátero [K r L r M r N r ]. 182. Antes de mais representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano α (o plano secante), pelos seus traços, em função dos dados. O plano α tem os seus traços coincidentes, pois é ortogonal ao β 2/4. Em seguida, efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano α no cone. 1. Em primeiro lugar conduziu-se, pelo vértice, um plano paralelo ao plano α (o plano secante) para determinar o tipo de secção que o plano α produz no cone. A reta h é a reta paralela a h α que passa pelo vértice. Por F, traço frontal de h, conduziu-se f α1, paralelo a f α e h α1, que está coincidente com f α1. A reta h é a reta de interseção do plano α 1 com o plano ν (o plano da base do cone) h é exterior à base, pelo que a secção que o plano α produz no cone é uma elipse (ou um segmento de elipse). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta a base do sólido. A reta de interseção do plano α com o plano da base é h h é secante à base do cone, pelo que α corta a base do sólido nos pontos A e B. Já temos dois pontos da secção, e já se sabe que a secção será um segmento de elipse. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano α corta os contornos aparentes, o que se processou, no caso das geratrizes do contorno aparente frontal, com o recurso ao método geral da interseção de retas com planos. O plano ϕ é o plano (frontal) auxiliar a que se recorreu ϕ contém as duas geratrizes do contorno aparente frontal. A reta f é a reta de interseção do plano ϕ com o plano α (o plano secante) a reta f interseta a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto A e interseta a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C A e C são, assim, mais dois pontos da secção e são os pontos em que a figura da secção será tangente ao contorno aparente frontal. Note que o plano α corta o contorno aparente horizontal nos pontos A e B já determinados. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de maior cota da secção (recorde que o plano secante corta o sólido segundo um segmento de elipse o ponto de maior cota da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de menor cota da secção é necessário determinar os planos tangentes ao cone que são paralelos a h α (que intersetam o plano secante segundo retas horizontais). Para tal, recorreu-se à reta h que passa por V e é paralela a h α h interseta o plano da base num ponto do infinito. Por esse ponto conduziu-se uma tangente à base (que é paralela a h) a reta t (note que basta a tangente que nos dá o ponto de menor cota, (Continua na página seguinte) 77

pois a outra não tem importância para a resolução do problema). O plano θ, definido por t e por h, é o plano tangente. A geratriz g (definida por T e V) é a geratriz de contacto. O ponto D é o ponto de concorrência de t e g e é o ponto de menor cota da secção. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que o plano α corta a base do sólido nos pontos A e B, e B tem afastamento superior a A, o ponto B é, imediatamente, o ponto de maior afastamento da secção (recorde que a secção é um segmento de elipse o ponto de maior afastamento da elipse está fora dos limites do sólido). Assim, para determinar o ponto de menor afastamento da secção é necessário determinar o plano tangente ao cone que é paralelo a f α (que interseta o plano secante segundo uma reta frontal). Para tal, conduziu-se, por V, uma reta f, paralela a f α e determinou-se o ponto de interseção de f com o plano da base I. Por I conduziu-se uma tangente à base a reta t (note que basta a tangente que nos dá o ponto de menor afastamento, pois a outra não tem importância para a resolução do problema). O plano θ 1, definido por t e por f, é o plano tangente. A geratriz g (definida por T e V) é a geratriz de contacto. O ponto E é o ponto de concorrência de t e g e é o ponto de menor afastamento da secção. Já temos cinco pontos da secção A, B, C, D e E. 6. Atendendo a que os cinco pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos da secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Note que o espaço útil para os planos auxiliares é o espaço entre o ponto D (o ponto de menor cota da secção) e a base do sólido. O plano ν 1 é um plano horizontal (de nível), paralelo à base. O plano ν 1 corta o cone segundo uma circunferência e interseta o plano α (o plano secante) segundo uma reta esta é secante à circunferência, o que nos permite obter mais dois pontos da secção. Note que não se atribuíram notações nem à reta de interseção dos dois planos nem aos dois pontos assim determinados, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada. Repetiu-se o processo com um outro plano ν 2, que nos permitiu determinar mais dois pontos da secção (e, mais uma vez, se omitiram as notações referentes a estes traçados). Já temos nove pontos da secção, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso da curva esta, em projeção frontal, é tangente à geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal no ponto A 2 e é tangente à geratriz mais à direita do contorno aparente frontal no ponto C 2. Em seguida, representou-se o sólido resultante da secção a traço forte e identificou-se a área do corte a tracejado (paralelo ao eixo X) em projeção frontal, apenas, pois a superfície da figura da secção é invisível em projeção horizontal. Note que, em projeção horizontal, a figura da secção é invisível. 183. Antes de mais representaram-se o sólido, pelas suas projeções, e o plano ϕ (o plano secante), pelo seu traço horizontal, em função dos dados. Note que as projeções do sólido se determinaram a partir das projeções das suas bases. Pelo ponto mais à esquerda da projeção frontal da base inferior e pelo ponto mais à direita da projeção frontal da base superior conduziu-se a projeção frontal de uma das geratrizes do contorno aparente frontal e desenhou-se, igualmente, a respetiva projeção horizontal. Em seguida, pelo ponto mais à direita da projeção frontal da base inferior e pelo ponto mais à esquerda da projeção frontal da base superior conduziu-se a projeção frontal da outra geratriz do contorno aparente frontal e desenhou-se, igualmente, a respetiva projeção horizontal. Este procedimento permitiu-nos determinar o vértice do sólido (o ponto de concorrência das duas geratrizes) e verificar que o contorno aparente horizontal não integra qualquer geratriz. Em seguida, efetuaram-se todos os procedimentos que nos conduzem à determinação da figura da secção produzida pelo plano ϕ no cone. (Continua na página seguinte) 78

1. Em primeiro lugar conduziu-se, pelo vértice, um plano paralelo ao plano ϕ (o plano secante) para determinar o tipo de secção que o plano ϕ produz no sólido o plano ϕ 1 é o plano paralelo a ϕ que contém o vértice do sólido. A reta de interseção do plano ϕ 1 com o plano da base do sólido (h ϕ1 ) é secante à base, pelo que a secção produzida é uma hipérbole (os dois ramos da hipérbole, pois o sólido apresenta as duas folhas da superfície cónica). 2. Em segundo lugar, verificou-se se o plano secante corta as bases do sólido. O plano secante corta a base inferior do sólido nos pontos A e B e corta a base superior nos pontos C e D. Já temos dois pontos de cada um dos ramos da hipérbole. 3. Em terceiro lugar, verificou-se se o plano ϕ corta os contornos aparentes. O plano ϕ corta o contorno aparente horizontal nos pontos acima determinados (os pontos em que corta as bases). A partir das projeções horizontais das geratrizes do contorno aparente frontal, verifica-se que o plano ϕ não corta o contorno aparente frontal. 4. A quarta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor cota da secção. Atendendo a que o plano ϕ corta a base inferior do sólido nos pontos A e B, estes são, imediatamente, os pontos de menor cota do ramo inferior da hipérbole. Por sua vez, os pontos C e D (os pontos em que o plano ϕ corta a base superior) são os pontos de maior cota do ramo superior da hipérbole. Para determinar o ponto de maior cota do ramo inferior da hipérbole e o ponto de menor cota do ramo superior da hipérbole, é necessário recorrer aos planos tangentes ao sólido que intersetam o plano secante segundo retas horizontais (que são paralelos a h ϕ ). Para tal, conduziu-se, por V, uma reta i, paralela a h ϕ i interseta os planos das bases num ponto do infinito. Por esse ponto conduziram-se as retas tangentes à base inferior (base de referência) e que são paralelas a i essas retas (que são fronto-horizontais) são imediatamente h ρ1 e h ρ2, os traços horizontais dos dois planos tangentes (que são planos de rampa). Em seguida, determinaram-se as geratrizes de contacto, g e g. O ponto E é o ponto em que o plano ϕ corta a geratriz g e é o ponto de maior cota do ramo inferior da hipérbole. O ponto F é o ponto em que o plano ϕ corta a geratriz g e é o ponto de menor cota do ramo superior da hipérbole. Note que, para esta etapa, não foi necessária a determinação dos traços frontais dos dois planos tangentes nem sequer as respetivas retas de interseção com o plano secante. 5. A quinta etapa consiste em determinar os pontos de maior e menor afastamento da secção. Atendendo a que o plano ϕ é frontal (de frente), e todos os seus pontos têm o mesmo afastamento, esta etapa não tem sentido no contexto deste exercício. Já temos três pontos para cada ramo da secção. 6. Atendendo a que os três pontos já determinados não são suficientes para um desenho relativamente preciso da curva, recorreu-se ao método dos planos paralelos à base para determinar mais pontos de cada um dos ramos secção, o que consiste na sexta etapa para a resolução do problema. Note que o espaço útil para os planos auxiliares é o espaço entre o ponto E e a base inferior (para o ramo inferior da hipérbole) e o espaço entre o ponto F e a base superior (para o ramo superior da hipérbole). O plano ν 1 é um plano horizontal (de nível), paralelo à base. O plano ν 1 corta a folha inferior do sólido segundo uma circunferência, circunferência esta que é cortada pelo plano ϕ em dois pontos esses são mais dois pontos do ramo inferior da secção (note que se omitiram as notações desses dois pontos). Repetiu-se este processo com mais dois planos horizontais (de nível) para o ramo inferior, que nos permitiram determinar mais quatro pontos do ramo inferior da hipérbole. Note que se processou a uma distribuição uniforme dos planos auxiliares pelo espaço útil. Para o ramo superior bastou-nos o recurso a um plano horizontal (de nível), equidistante dos limites do espaço útil, que nos permitiu determinar dois pontos da secção. Assim, já temos nove pontos para o ramo inferior da hipérbole e cinco pontos para o ramo superior, o que nos permitiu um desenho relativamente preciso das duas curvas. Sendo pedida a figura da secção, não houve desagregação do sólido nem a superfície da figura é visível em qualquer das suas projeções, pelo que não há lugar à execução de tracejado. Também não se registam invisibilidades. Note que a hipérbole se projeta em V.G. no Plano Frontal de Projeção, pois o plano ϕ é paralelo ao Plano Frontal de Projeção. 79

21 SOMBRAS 184. Em primeiro lugar, representou-se o ponto A pelas suas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de A conduziu-se, por A, um raio luminoso l, com a direção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direção) tratando-se da direção convencional da luz, l, faz, em ambas as projeções, ângulos de 45 (a.e.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projeção o traço horizontal situa-se no SPHA e o traço frontal situa-se no SPFI. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço horizontal de l é, então, a sombra real de A (A s1 ) e o traço frontal de l é a sombra virtual de A (A v2 ). Note que se omitiram as notações identificadoras das projeções que se situam no eixo X, por estas não serem necessárias. 185. Em primeiro lugar, representou-se o ponto P pelas suas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de P conduziu-se, por P, um raio luminoso l, com a direção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direção) l 1 faz um ângulo de 45 (a.d.) com o eixo X e l 2 faz um ângulo de 30 (a.d.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projeção o traço frontal situa-se no SPFS e o traço horizontal situa-se no SPHP. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço frontal de l (que se situa no SPFS) é, então, a sombra real de P (P s2 ) e o traço frontal de l (que se situa no SPHP) é a sombra virtual de P (P v1 ). Note que se omitiram as notações identificadoras das projeções que se situam no eixo X, por estas não serem necessárias. 186. Em primeiro lugar, representaram-se o ponto R e o foco luminoso L, pelas respetivas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de R conduziu-se, por R, um raio luminoso l l passa por R e pelo foco luminoso L (está definido por dois pontos). Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projeção o traço horizontal situa-se no SPHA e o traço frontal situa-se no SPFI. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço horizontal de l (que se situa no SPHA) é, então, a sombra real de R (R s1 ) e o traço frontal de l (que se situa no SPFI) é a sombra virtual de R (R v2 ). 187. Em primeiro lugar, representou-se o ponto M pelas suas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de M conduziu-se, por M, um raio luminoso l, com a direção luminosa dada (está definido por um ponto e uma direção) l é uma reta frontal (de frente) cuja projeção frontal faz um ângulo de 40 (a.e.) com o eixo X. Em seguida, determina ram-se os traços de l nos planos de projeção o traço horizontal situa-se no SPHA e o traço frontal não existe (situa-se no infinito, pois o raio luz/sombra l é frontal, pelo que é paralelo ao Plano Frontal de Projeção). O traço horizontal de l (que se situa no SPHA) é a sombra real de M (M s1 ) M não tem sombra virtual (a sombra virtual de M situa-se no infinito). 80

188. Em primeiro lugar, representaram-se o ponto G e o foco luminoso L, pelas respetivas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de G conduziu-se, por G, um raio luminoso l l passa por G e pelo foco luminoso L. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projeção o traço frontal situa-se no SPFS e o traço horizontal situa-se no SPHP. Atendendo a que as sombras reais se situam sempre no SPHA ou no SPFS, o traço frontal de l (que se situa no SPFS) é, então, a sombra real de G (G s2 ) e o traço horizontal de l (que se situa no SPHP) é a sombra virtual de G (G v1 ). 189. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A, B e C, pelas respetivas projeções as projeções dos três pontos situam-se na mesma linha de chamada, pois os pontos situam-se no mesmo plano de perfil. a) A reta l é o raio luz/sombra que passa por A A s1 é a sombra real de A (é o traço horizontal de l) e situa-se no SPHA. A reta l é o raio luz/sombra que passa por B (é uma reta passante) B s é a sombra de B e situa-se no eixo X. A reta l é o raio luz/sombra que passa por C C s2 é a sombra real de C (é o traço frontal de l ) e situa-se no SPFS. b) A situa-se no 1. o Octante e A s1 situa-se no SPHA. B situa-se no β 1/3 e B s situa-se no eixo X. C situa- -se no 2. o Octante e C s2 situa-se no SPFS. Conclusões: se o afastamento de um ponto é maior do que a sua cota (é um ponto do 1. o Octante), a sua sombra (real) situa-se no SPHA; se o afastamento e a cota de um ponto são iguais (é um ponto do β 1/3 ), a sua sombra situa-se no eixo X; se a cota de um ponto é maior do que o seu afastamento (é um ponto do 2. o Octante), a sua sombra situa-se no SPFS. ATENÇÃO: estas conclusões referem-se, apenas, à direção convencional da luz. 190. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas respetivas projeções. A reta l é o raio luz/sombra que passa por A A s1 é a sombra real de A (é o traço horizontal de l) e situa-se no SPHA (está coincidente com A 1 ). A reta l é o raio luz/sombra que passa por B B s2 é a sombra real de B (é o traço frontal de l ) e situa-se no SPFS (está coincidente com B 2 ). Conclusões: a sombra real de um ponto do Plano Horizontal de Projeção está coincidente com a projeção horizontal do ponto (e com o próprio ponto); a sombra real de um ponto do Plano Frontal de Projeção está coincidente com a projeção frontal do ponto (e com o próprio ponto). 191. Em primeiro lugar, representou-se o ponto A pelas suas projeções. Para determinar as sombras real e virtual de A conduziu-se, por A, um raio luminoso l, com a direção luminosa dada l é uma reta de perfil paralela ao β 1/3. Em seguida, determinaram-se os traços de l nos planos de projeção para tal foi necessário o recurso a um processo geométrico auxiliar, pois as projeções de uma reta de perfil não verificam o Critério de Reversibilidade. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil que contém l o plano π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). A r é o ponto A em rebatimento l r é o raio luz/sombra que passa por A, em rebatimento (l r faz ângulos de 45 com f ρ e h πr ). Determinaram-se os traços de l, em rebatimento A sr é o traço horizontal de l em rebatimento (situa-se no SPHA, pelo que é a sombra real de A em rebatimento) e A vr é o traço frontal de l, em rebatimento (situa-se no SPFI, pelo que é a sombra virtual de A, em rebatimento). Inverteu-se o rebatimento, obtendo-se as projeções de A s (omitiu-se a representação de A s2, que está no eixo X) e de A v (omitiu-se a representação de A v1, que está no eixo X). A s1 é a sombra real de A e A v2 é a sombra virtual de A. 81

192. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [AB], pelas suas projeções. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento l é o raio luminoso que passa por A e A s2 é a sombra real de A, enquanto l é o raio luminoso que passa por B e B s2 é a sombra real de B. A s2 situa-se no SPFS, tal como B s2 uma vez que as sombras reais dos dois extremos do segmento se situam no mesmo plano (no SPFS), a sombra do segmento não admite a existência de pontos de quebra. [A s2 B s2 ] é a sombra real de [AB] e existe, na totalidade, no SPFS. 193. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [RS], pelas suas projeções. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras de R e S no Plano Frontal de Projeção R v2 é a sombra virtual de R (situa-se no SPFI) e S s2 é a sombra real de S (situa-se no SPFS). R v2 e S s2 são os traços frontais dos raios luminosos que passam por R e S, respetivamente. O segmento [R v2 S s2 ] é a sombra do segmento no Plano Frontal de Projeção (que era o pedido no enunciado), se bem que não seja a sombra real do segmento apenas a parte compreendida entre o eixo X e S s2 é real (situa-se no SPFS), pois a parte compreendida entre o eixo X e R v2 é virtual (situa-se no SPFI). 194. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [RS], pelas suas projeções. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras de R e S no Plano Horizontal de Projeção R s1 é a sombra real de R (situa-se no SPHA) e S v1 é a sombra virtual de S (situa-se no SPHP). R s1 e S v1 são os traços horizontais dos raios luminosos que passam por R e S, respetivamente. O segmento [R s1 S v1 ] é a sombra do segmento no Plano Horizontal de Projeção (que era o pedido no enunciado), se bem que não seja a sombra real do segmento apenas a parte compreendida entre o eixo X e R s1 é real (situa-se no SPHA), pois a parte compreendida entre o eixo X e S v1 é virtual (situa-se no SPHP). 195. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [RS], pelas suas projeções. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras reais de R e S R s1 é a sombra real de R (é o traço horizontal do raio luminoso que passa por R e situa-se no SPHA) e S s2 é a sombra real de S (é o traço frontal do raio luminoso que passa por S e situa-se no SPFS). As sombras reais dos extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite necessariamente um ponto de quebra. Para determinar o ponto de quebra recorreu-se à sombra virtual de R (R v2 ) e à sombra do segmento [RS] no Plano Frontal de Projeção o segmento [R v2 S s2 ]. O ponto de interseção do segmento [R v2 S s2 ] (a sombra do segmento no Plano Frontal de Projeção) com o eixo X é o ponto de quebra Q s (Q s é a sombra de um ponto Q, do segmento [RS], que não se determinou, por não ser necessário). O segmento [Q s S s2 ] é a parte real da sombra do segmento no Plano Frontal de Projeção. O segmento [R s1 Q s ] é, assim, a sombra real de [RS] no Plano Horizontal de Projeção. A linha quebrada aberta [R s1 Q s S s2 ] é a sombra real do segmento [RS] nos planos de projeção. 82

196. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [JK], pelas suas projeções. A reta h é a reta suporte de [JK] o segmento é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que se projeta em V.G. em projeção horizontal. Assim, sobre h 1, a partir de J 1, mediram-se os 6 cm (o comprimento do segmento), o que nos permitiu determinar as projeções de K e, dessa forma, as projeções do segmento. Note que se garantiu que K se situa no 1. o Diedro, pois o segmento situa-se, na totalidade, no espaço do 1. o Diedro, como é expressamente referido no enunciado. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras reais dos extremos do segmento J s1 é a sombra real de J e K s1 é a sombra real de K. J s1 situa-se no SPHA, tal como K s1 uma vez que as sombras reais dos dois extremos do segmento se situam no mesmo plano (no SPHA), a sombra do segmento não admite a existência de pontos de quebra. [J s1 K s1 ] é a sombra real de [JK] e existe, na totalidade, no SPHA [J s1 K s1 ] é paralelo a [JK]. 197. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [JK], pelas suas projeções (ver relatório do exercício anterior), bem como o ponto L (o foco luminoso). Em seguida conduziram- -se, pelos extremos do segmento, raios luminosos (passando por L) e determinaram-se as sombras reais de J e K J s2 é a sombra real de J (é o traço frontal do raio luminoso que passa por J e situa-se no SPFS) e K s1 é a sombra real de K (é o traço horizontal do raio luminoso que passa por K e situa-se no SPHA). As sombras reais dos extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite necessariamente um ponto de quebra. Este poder-se-ia ter determinado com o recurso à sombra virtual de um dos extremos do segmento, conforme se expôs no relatório do exercício 194, mas, uma vez que [JK] é horizontal (de nível), optou-se por outra situação, mais fácil, mais rápida e com menos traçado. A sombra que o segmento [JK] produz no Plano Horizontal de Projeção é necessariamente paralela ao segmento, pois [JK] é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção assim, por K s1 conduziu-se uma paralela a [J 1 K 1 ], até ao eixo X, onde se situa Q s, o ponto de quebra. O segmento [Q s K s1 ] é, imediatamente, a sombra real de [JK] no Plano Horizontal de Projeção. Em seguida desenhou-se o segmento [J s2 Q s ], que é a sombra real de [JK] no Plano Frontal de Projeção. A linha quebrada aberta [J s2 Q s K s1 ] é a sombra real do segmento [JK] nos planos de projeção. 198. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [AB] e o ponto L (o foco luminoso), pelas respetivas projeções. Em seguida conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos (passando por L) e determinaram-se as som bras reais de A e B A s2 é a sombra real de A (situa-se no SPFS) e B s1 é a sombra real de B (situa-se no SPHA). As sombras reais dos extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite necessariamente um ponto de quebra. Este determinou - -se com o recurso à sombra virtual de A (A v1 ) e à sombra do segmento [AB] no Plano Horizontal de Projeção o segmento [A v1 B s1 ]. O ponto de interseção do segmento [A v1 B s1 ] (a sombra do segmento no Plano Horizontal de Projeção) com o eixo X é o ponto de quebra Q s. O segmento [B s1 Q s ] é a parte real da sombra do segmento no Plano Horizontal de Projeção. O segmento [A s2 Q s ] é a sombra real de [AB] no Plano Frontal de Projeção. A linha quebrada aberta [A s2 Q s B s1 ] é a sombra real do segmento [AB] nos planos de projeção. 83

199. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [ST], pelas suas projeções. Em seguida, conduziram-se, pelos extremos do segmento, raios luminosos e determinaram-se as sombras reais de S e T S s1 é a sombra real de S (situa-se no SPHA) e T s2 é a sombra real de T (situa-se no SPFS). As sombras reais dos extremos do segmento situam-se em planos distintos, pelo que a sombra do segmento admite necessariamente um ponto de quebra. Este poder-se-ia ter determinado com o recurso à sombra virtual de um dos extremos do segmento, conforme se expôs nos relatórios dos exercícios 194 e 197, mas, uma vez que [ST] é frontal (de frente), optou-se por outra situação, com menos traçado. A sombra que o segmento [ST] produz no Plano Frontal de Projeção é necessariamente paralela ao segmento, pois [ST] é paralelo ao Plano Frontal de Projeção assim, por T s2 conduziu-se uma paralela a [S 2 T 2 ], até ao eixo X, onde se situa Q s, o ponto de quebra. O segmento [Q s T s2 ] é, imediatamente, a sombra real de [ST] no Plano Frontal de Projeção. Em seguida, desenhou-se o segmento [S s1 Q s ], que é a sombra real de [ST] no Plano Horizontal de Projeção. A linha quebrada aberta [S s1 Q s T s2 ] é a sombra real do segmento [ST] nos planos de projeção. 200. Em primeiro lugar, representou-se a reta r pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da reta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da reta suscetível de produzir sombra a parte da reta que se situa no 1. o Diedro. Determinaram-se os traços da reta nos planos de projeção (F e H) e identificou-se a parte da reta que se situa no 1. o Diedro o segmento [FH]. F s2 F 2, pois F é um ponto do Plano Frontal de Projeção. H s1 H 1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projeção. F s2 e H s1 situam-se em planos distintos, pelo que a sombra da reta (do segmento [FH]) admite um ponto de quebra. Este poder-se-ia ter determinado com o recurso às sombras virtuais a sombra virtual de H ou de F. No entanto, optou-se por uma situação diferente. Considerando que o ponto B é um ponto do segmento [FH], determinou-se a sombra de B B s2. B s2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra de [FH] no SPFS passa por B s2. Assim, conduziu-se uma linha reta por F s2 e por B s2, até ao eixo X, onde se situa Q, o ponto de quebra da sombra. A sombra que o segmento [FH] produz no SPFS é o segmento [F s2 Q]. A sombra que o segmento [FH] produz no SPHA é o segmento [H s1 Q]. A sombra projetada da reta nos planos de projeção é a linha quebrada [H s1 QF s2 ]. 201. Ver relatório do exercício anterior. Atendendo a que o ponto A é um ponto do segmento [FH], a determinação do ponto de quebra processou-se com o recurso à sombra do ponto A A s1. A s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra de [FH] no SPHA passa por A s1. Assim, conduziu-se uma linha reta por H s1 e por A s1, até ao eixo X, onde se situa Q, o ponto de quebra da sombra. 84

202. Em primeiro lugar, representou-se a reta h pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da reta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da reta suscetível de produzir sombra a parte da reta que se situa no 1. o Diedro. Determinou-se o traço frontal da reta, F (a reta não tem traço horizontal), e identificou-se a parte da reta que se situa no 1. o Diedro a semirreta FA, sendo A um ponto qualquer da reta. F s2 F 2, pois F é um ponto do Plano Frontal de Projeção. Por outro lado, a sombra da reta no Plano Horizontal de Projeção será paralela à reta, pois a reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção. É possível perceber que a reta (a semirreta) produz sombra nos dois planos de projeção, pelo que a sombra admite um ponto de quebra. É possível determinar esse ponto de quebra recorrendo à sombra virtual de F, mas optou-se por determinar a sombra real de A A s1. A s1 situa-se no SPHA e a sombra da reta (da semirreta) no SPHA é uma semirreta paralela a h. Assim, conduziu-se, por A s1, uma paralela à reta h, determinando o ponto Q, o ponto em que aquela interseta o eixo X esse ponto é o ponto de quebra. A sombra da reta h no SPHA é a semirreta QA s1. A sombra da reta h no SPFS é o segmento de reta [F s2 Q]. A sombra projetada da reta nos planos de projeção é a linha quebrada aberta que tem extremo em F s1 e passa por Q e A s1. 203. Em primeiro lugar, representou-se a reta p pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, para determinar a sombra da reta, é necessário, em primeiro lugar, determinar a parte da reta suscetível de produzir sombra a parte da reta que se situa no 1. o Diedro. Para tal, há que determinar os traços da reta, o que se processa com o recurso a um processo geométrico auxiliar. No entanto, optou-se por uma resolução diferente, que economiza bastante traçado e que consiste em conduzir, pela reta, o respetivo plano luz/sombra a sombra da reta nos planos de projeção estará sobre os traços do plano luz/sombra da reta. O plano luz/sombra da reta p está definido pela reta p e pela direção luminosa. Assim, por M conduziu-se um raio luminoso l, com a direção luminosa dada, e determinou-se a sombra real de M M s1 (M s1 é o traço horizontal da reta l). Em seguida conduziu-se, por N, um outro raio luminoso l, paralelo a l, e determinou-se a sombra real de N N s2 (N s2 é o traço frontal de l ). Note que, se bem que a reta p não nos permita obter quaisquer outros pontos da reta (nomeadamente os seus traços) sem o recurso a qualquer processo geométrico auxiliar, já temos outras duas retas do plano luz/sombra da reta p as retas l e l. Assim, recorrendo exclusivamente a estas retas, é possível determinar os traços do plano λ (o plano luz/sombra da reta p). Determinou-se N v1, a sombra virtual de N (N v1 é o traço horizontal da reta l ) h λ (o traço horizontal do plano luz/sombra) fica definido por M s1 e N v1 (que são os traços horizontais das retas l e l ). Por sua vez, f λ (o traço frontal do plano luz/sombra da reta p) é concorrente com h λ no eixo X (no ponto Q) e passa por N s2 (que é o traço frontal de l ). Como a reta p pertence ao plano λ, os seus traços têm de estar sobre os traços homónimos do plano este raciocínio permitiu-nos determinar os traços da reta, F e H. A parte da reta que produz sombra é o segmento [FH]. F s2 F 2 e H s1 H 1. O ponto Q (o ponto de concorrência de f λ com h λ ) é o ponto de quebra da sombra da reta. A sombra da reta no SPFS é o segmento [QF s2 ]. A sombra da reta no SPHA é o segmento [QH s1 ]. 204. Ver relatório do exercício anterior. O plano luz/sombra da reta p (o plano λ) está definido pela p e por L. 85

205. Em primeiro lugar, representou-se a reta m pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, é necessário determinar a parte da reta suscetível de produzir sombra a parte que se situa no 1º Diedro. Determinaram-se os traços da reta nos planos de projeção (F e H) e identificou-se a parte da reta que se situa no 1. o Diedro a semirreta HS, sendo S um qualquer dos dois pontos dados da reta. H s1 H 1, pois H é um ponto do Plano Horizontal de Projeção. Em seguida, para averiguar se a reta produz sombra nos dois planos de projeção, determinou-se a sombra do ponto S S s2. S s2 situa-se no SPFS e H s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra da reta admite um ponto de quebra. Este determinou-se com o recurso à sombra de F no Plano Frontal de Projeção F situa-se no SPFI, pelo que qualquer que seja a sua sombra será sempre uma sombra virtual. Atendendo a que é um ponto do Plano Frontal de Projeção, a sua sombra no Plano Frontal de Projeção está coincidente com o próprio ponto F v2 F 2. A sombra (real e virtual) da reta no Plano Frontal de Projeção é a reta que passa por F v2 e por S s2 o ponto de interseção desta com o eixo X (ponto Q) é o ponto de quebra da sombra da reta dada (da semirreta que produz sombra). A sombra da reta no SPHA é o segmento [H s1 Q]. A sombra da reta no SPFS é a semirreta QS s2. 206. Em primeiro lugar, representou-se o triângulo [ABC] pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ν é o plano horizontal (de nível) que contém o polígono. Em seguida, conduziram-se raios luminosos (paralelos entre si) pelos três vértices do triângulo e determinaram-se as respetivas sombras reais. A s1, B s1 e C s1 são as sombras reais de A, B e C, respetivamente (são os traços horizontais dos raios luminosos que por eles passam), e situam-se todas no SPHA, pelo que a sombra do triângulo não admite pontos de quebra. O triângulo [A s1 B s1 C s1 ] é a sombra do triângulo [ABC]. Optou-se por identificar a sombra com tracejado, que se executou perpendicularmente à projeção horizontal da direção luminosa. Note que a parte da sombra que se situa por debaixo do triângulo (e que, por isso mesmo, está oculta) é invisível e se identificou a traço interrompido. Na parte invisível da sombra também não há lugar à execução de tracejado. 207. Ver relatório do exercício anterior. Os raios luminosos são concorrentes entre si no ponto L (o foco luminoso). A parte visível da sombra identificou-se através de uma mancha clara e uniforme. 86

208. Ver relatório do exercício 206. A parte visível da sombra identificou-se através de uma mancha clara e uniforme. 209. Em primeiro lugar, representou-se o quadrado [ABCD] pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém o polígono. Em seguida conduziram-se raios luminosos (paralelos entre si) pelos vértices do quadrado e determinaram-se as respetivas sombras reais. A s1 é a sombra real de A e situa-se no SPHA. B s2, C s2 e D s2 são as sombras reais de B, C e D, respetivamente, e situam-se todas no SPFS. Há vértices do quadrado com sombras reais em planos distintos, pelo que a sombra do quadrado admite dois pontos de quebra um entre A s1 e B s2 e outro entre A s1 e D s2. Os dois pontos de quebra, Q e Q, determinaram-se a partir do paralelismo que existe entre os lados do quadrado e as suas sombras no Plano Frontal de Projeção (todos os lados do quadrado são segmentos de reta frontais). Assim, por D s2 conduziu-se uma paralela ao lado [AD] até ao eixo X, onde se situa um ponto de quebra Q. [D s2 Q] é a sombra de [AD] no SPFS e [QA s1 ] é a sombra de [AD] no SPHA. Por B s2 conduziu-se uma paralela ao lado [AB] até ao eixo X, onde se situa o outro ponto de quebra Q. [Q B s2 ] é a sombra de [AB] no SPFS e [Q A s1 ] é a sombra de [AB] no SPHA. A partir de todos os vértices da sombra e dos pontos de quebra, desenhou-se o contorno da sombra, atendendo às suas invisibilidades, e preencheu-se a área visível da sombra com tracejado, perpendicularmente à direção luminosa em ambas as projeções.. 210. Ver relatório do exercício anterior. A s1 e D s1 são as sombras reais de A e D, respetivamente, e estão ambas no SPHA. B s2 e C s2 são as sombras reais de A e B, respetivamente, e estão ambas no SPFS. A sombra do quadrado admite dois pontos de quebra um que se situa entre A s1 e B s2 e o outro entre C s2 e D s1. Os pontos de quebra determinaram-se com procedimentos semelhantes aos explicitados no relatório do exercício anterior. A sombra é visível na totalidade e identificou-se através de uma mancha clara e uniforme. 87

211. Em primeiro lugar, representou-se o círculo pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, a primeira etapa consistiu em averiguar a eventual existência de pontos de quebra na sombra da figura, o que se processou através do método do plano luz/sombra passante. O plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e por raio luminoso l, qualquer, passante. O ponto I é o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano ϕ. A reta i, fronto-horizontal e passando por I, é a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ. A reta i é exterior ao círculo, pelo que a sua sombra não admite pontos de quebra situa-se, na totalidade, no SPHA ou no SPFS. A sombra real de O (O s2 ) situa-se no SPFS, pelo que a sombra do círculo se situa, na totalidade, no SPFS e não apresenta deformação, pois o círculo é frontal (de frente) paralelo ao Plano Frontal de Projeção. Assim, trata-se de uma isometria, pelo que o raio da sombra é igual ao raio da sombra do círculo dado será um outro círculo, com centro em O s2 e 2,5 cm de raio. Desenhou-se esse círculo (que é a sombra da figura dada), atendendo às invisibilidades existentes, e identificou-se a área visível da sombra com tracejado, perpendicularmente à projeção frontal da direção luminosa. 212. Em primeiro lugar, representou-se o círculo pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, a primeira etapa consistiu em averiguar a eventual existência de pontos de quebra na sombra da figura, o que se processou através do método do plano luz/sombra passante (que fica definido pelo eixo X e por um raio luminoso qualquer, passante). Determinou-se a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ. A reta i é exterior ao círculo, pelo que a sua sombra não admite pontos de quebra situa-se, na totalidade, no SPHA ou no SPFS (note que, apesar de se terem omitido todos os traçados referentes à etapa atrás descrita, é necessária a sua execução). A sombra real de O (O s1 ) situa-se no SPHA, pelo que a sombra do círculo se situa, na totalidade, no SPHA. O círculo não é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que a sua sombra não será outro círculo mas, sim, uma elipse (um círculo com deformação). Para um desenho relativamente preciso da elipse são necessários, pelo menos, oito pontos e o paralelogramo envolvente. Para tal, há que inscrever o círculo num qua drado de lados paralelos ao eixo X, desenhando em seguida as respetivas diagonais e medianas. Os pontos A, C, E e G são os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado. Os pontos B, D, F e H são os pontos em que as diagonais do quadrado cortam a circunferência. Em seguida, há que determinar a sombra do quadrado no Plano Horizontal de projeção, bem como das suas medianas e dia gonais. A sombra do quadrado no Plano Horizontal de projeção é um paralelogramo a elipse es tará inscrita neste paralelo gramo. A sombra do quadrado determinou-se a partir das sombras de três dos seus vértices e atendendo ainda que as sombras dos seus lados fronto - -horizontais são também fronto-horizontais. A s2, C s1, E s1 e G s1 são, imediatamente, os pontos em que as medianas do paralelo gramo se apoiam nos lados do polígono são os pontos em que elipse será tangente aos lados do paralelogramo (uma vez que o círculo é tangente aos lados do qua dra do em que se inscreve nos pontos A, C, E e G). B, D, F e H são pontos das diagonais do quadrado B s1, D s1, F s1 e H s1 situar-se-ão necessariamente sobre as diagonais do paralelogramo (que são as sombras das diagonais do quadrado). Pelas projeções horizontais de B, D, F e H conduziram-se as projeções horizontais dos raios luminosos que por eles passam os pon tos em que es tas intersetam as dia go nais do paralelogramo são B s1, D s1, F s1 e H s1. Os oito pontos determinados permi tiram um desenho relativamente preciso da elipse. 88

213. Em primeiro lugar, representou-se o círculo pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, averiguou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra da figura, o que se processou através do método do plano luz/sombra passante (que fica definido pelo eixo X e por um raio luminoso l, qualquer, passante). Determinou-se a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ reta i (ver relatório do exercício 211). A reta i é secante ao círculo, cortando a circunferência que o delimita em dois pontos (Q e Q ), pelo que a sombra do círculo admite dois pontos de quebra os pontos de quebra serão, precisamente, as sombras de Q e Q, que se situam no eixo X. Note que apenas se determinaram as projeções frontais de Q e Q, pois estas são suficientes para a resolução do exercício Q s e Q s estão sobre o eixo X e determinaram-se com o recurso às projeções frontais dos raios luminosos que por eles passam. Parte da sombra real do círculo está no SPFS (que é um segmento de círculo, pois a figura é paralela ao Plano Frontal de Projeção) e outra parte está no SPHA (é um segmento de elipse). Determinaram-se as sombras real e virtual de O O s2 é a sombra real de O e está no SPFS, enquanto que O v1 é a sombra virtual de O e está no SPHP. A sombra do círculo no SPFS terá o mesmo raio do círculo dado, uma vez que se trata de uma isometria assim, a sombra no SPFS é um segmento de círculo com centro em O s2 e raio O 2 Q 2 = O s 2 Q s = O s 2 Q s = 3 cm e limitado pelo segmento [Q s Q s ]. A parte da sombra do círculo no SPHA (que é um segmento de elipse) determinou-se conforme exposto no relatório do exercício anterior, inscrevendo previamente o arco ADB na parte correspondente de um quadrado de lados paralelos ao eixo X e determinando a sua sombra (real e virtual) no Plano Horizontal de Projeção. Após o desenho da curva do segmento da elipse, tem-se o contorno da sombra e assinalou-se adequadamente a parte invisível da sombra (a que está por detrás do círculo), preenchendo a sua parte visível com uma mancha clara e uniforme. 214. Em primeiro lugar, representou-se o círculo pelas suas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a figura. Em seguida, averiguou-se a eventual existência de pontos de quebra na sombra da figura, o que se processou através do método do plano luz/sombra passante (que fica definido pelo eixo X e por um raio lumi - noso l, qualquer, passante). Determinou-se a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ reta i (ver relatório do exercício 211). A reta i é secante ao círculo, cortando a circunferência que o delimita em dois pontos (Q e Q ), pelo que a sombra do círculo admite dois pontos de quebra, que serão as sombras de Q e Q. Note que não se determina - ram as projeções horizontais de Q e Q, por serem desnecessárias Q s e Q s estão sobre o eixo X e determinaram-se com o recurso às projeções frontais dos raios luminosos que por eles passam. Parte da sombra real do círculo está no SPFS (que é um segmento de círculo, pois a figura é paralela ao Plano Frontal de projeção) e outra parte está no SPHA (é um segmento de elipse). Determinaram-se as sombras real e virtual de O O s1 é a sombra real de O e está no SPHA, enquanto que O v2 é a sombra virtual de O e está no SPFI. Uma vez que a situação luminosa é um foco luminoso, a sombra do círculo no Plano Frontal de Projeção sofre uma ampliação o segmento de círculo tem centro em O v2 e raio O v 2 Q s = O v 2 Q s e está limitado pelo segmento [Q s Q s ]. A parte da som - bra do círculo no SPHA (que é um segmento de elipse) determinou-se conforme exposto no relatório do exercício ante rior, inscrevendo previamente o arco QDQ na parte correspondente de um quadrado de lados paralelos ao eixo X e determinando a sua sombra no Plano Horizontal de Projeção. Após o desenho da curva do segmento da elipse, tem-se o contorno da sombra e assinalou-se adequadamente a parte invisível da sombra (a que está por detrás do círculo), preenchendo a sua parte visível com uma mancha clara e uniforme. 89

215. Em primeiro lugar, representaram-se o plano γ, pelos seus traços, e o ponto A, pelas suas projeções, pertencente ao plano. O quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (o plano γ não é paralelo a nenhum dos planos de projeção), pelo que a construção das suas projeções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Note que o ângulo dado (o ângulo que o lado [AB] faz com o Plano Horizontal de Projeção) também não se projeta em V.G., pois está contido no plano γ é o ângulo que o lado faz, no espaço, com h γ. Rebateu-se o plano γ para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f γ. Em V.G., a partir de A r, mediu-se o ângulo de 20, garantindo-se que B tem afastamento inferior a A e que o quadrado se situa, na totalidade, no espaço do 1. o Diedro das duas hipó teses possíveis, apenas a apresentada verifica todas as condições enunciadas. A partir de B r, que está a 5 cm de A r, construiu-se o quadrado em V.G., em rebatimento. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções dos res tantes três vértices do polí gono e desenharam-se as suas projeções. Em seguida conduziram-se, pelos quatro vérti ces do quadrado, raios luminosos (com a direção dada) e determinaram-se as sombras reais daqueles. A s1 é a som bra real de A e situa-se no SPHA. B s2, C s2 e D s2 são as sombras reais de B, C e D e situam-se no SPFS. Há sombras reais em planos distintos, pelo que a sombra do quadrado tem pontos de quebra um entre A s1 e B s2 e o outro entre A s1 e D s2. Os pontos de quebra determinaram-se com o recurso à sombra virtual de A, A v2. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra do polígono, assinalando convenientemente as invisibilidades e preenchendo, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra. A face do quadrado que é visível em projeção frontal está iluminada, pois a sequência dos vértices do quadrado, em projeção frontal, e a sequência dos vértices da sua sombra apresentam a mesma ordem. 216. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos R e S, bem como o foco luminoso L, pelas respetivas projeções. Em seguida determinaram-se os traços do plano π, o plano de perfil que contém a figura. O triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (o plano π não é paralelo a nenhum dos planos de projeção), pelo que a construção das suas projeções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Rebateu-se o plano π para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f π. Em V.G., a partir de R r e S r, construiu-se o triângulo em V.G., em reba timento, garantindo, como se refere no enunciado, que R é o vértice de maior afastamento do triângulo. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções do vértice T do triângulo e desenharam-se as suas projeções (que são dois segmentos de reta, pois o plano π é duplamente projetante). Em seguida conduziram-se, pelos três vértices do triângulo, raios luminosos (oriundos do foco luminoso L) e determinaram-se as respetivas sombras reais. R s1 é a sombra real de R e situa-se no SPHA. S s2 e T s2 são as sombras reais de S e T e situam-se no SPFS. Há sombras reais em planos distintos, pelo que a sombra do triângulo tem pontos de quebra um entre R s1 e S s2 e o outro entre R s1 e T s2. A determinação dos pontos de quebra processou-se com o recurso às sombras virtuais. Note que a sombra virtual de R (que nos permitiria determinar os dois pontos de quebra) se situa fora dos limites do papel, pelo que foi necessá rio o recurso às sombras virtuais de S e T. Em seguida, desenhou-se o contorno da sombra do polígono (que não apre senta invisibilidades) e preencheu-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra (que é a totalidade da sombra). 217. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas respetivas projeções. Em seguida, determinaram-se os traços do plano α, que são coincidentes, pois o plano é ortogonal ao β 2/4 note que f α contém o ponto A (que tem afastamento nulo) e h α contém o ponto B (que tem cota nula). O triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projeção), pelo que a construção das suas projeções se processou com o recurso ao rebatimento do plano α para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira foi h α ). B r B 1, pois B é um ponto da charneira. O ponto A, que pertence a f α foi o ponto utilizado para rebater f α. Em V.G., a partir de A r e B r, construiu-se o triângulo em V.G., em reba timento, garantindo que o triângulo se situa no espaço do 1. o Diedro. Para inverter o (Continua na página seguinte) 90

rebatimento, recorreu-se a uma reta frontal (de frente) f, que contém o ponto C. As projeções da reta f determinaram-se imediatamente a partir do seu traço horizontal, que é fixo (note que não se identificou o traço horizontal da reta f, de forma a não sobrecarregar visualmente a resolução gráfica apresentada). A partir das projeções de C, desenharam-se as projeções do triângulo. A s2 A 2, pois A é um ponto do Plano Frontal de Projeção (A s2 situa-se no SPFS). B s1 B 1, pois B é um ponto do Plano Horizontal de Projeção (B s1 situa-se no SPHA). Por C conduziu-se um raio luminoso (com a direção luminosa convencional) e determinou-se C s1, a sua sombra real (que se situa no SPHA). Há sombras reais em planos distintos, pelo que a sombra do triângulo tem pontos de quebra um entre B s1 e A s2 e o outro entre C s1 e A s2. A determinação dos pontos de quebra processou-se com o recurso à sombra virtual de A A v1. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra do polígono (assinalando convenientemente as invisibilidades) e preencheu - -se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra. O plano α é um plano em tensão, pelo que as duas projeções do triângulo mostram faces diferentes do polígono. A face do triângulo que é visível em projeção frontal está iluminada, pois a sequência dos vértices do triângulo, em projeção frontal, e a sequência dos vértices da sua sombra apresentam a mesma ordem. A face do triângulo que é visível em projeção horizontal está em sombra (sombra própria da figura), pois a sequência dos vértices do triângulo, em projeção horizontal, e a sequência dos vértices da sua sombra não apresentam a mesma ordem. 218. Em primeiro lugar, representaram-se o plano α, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projeções, pertencente ao plano. O círculo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projeção), pelo que a construção das suas projeções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar. Optou-se por rebater o plano α para o Plano Frontal de Projeção a charneira foi f α. Com centro em O r e 2,5 cm de raio desenhou-se a circunferência que delimita e figura em V.G., em rebatimento. A projeção horizontal da figura será um segmento de reta (o plano α é projetante horizontal), mas a sua projeção frontal será uma elipse, cujo desenho requer um mínimo de oito pontos e, se possível, os seus eixos. Assim, inscreveu-se a circunferência num quadrado, de lados paralelos à charneira, e desenharam-se as suas medianas e as suas diagonais. Os pontos A, C, E e G são os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do quadrado e são, imediatamente, quatro pontos que nos vão permitir desenhar a elipse a projeção frontal do segmento [AE] será o eixo maior da elipse e o seu eixo menor será a projeção frontal do segmento [CG]. Os pontos B, D, F e H são os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado e são mais quatro pontos que nos permitirão desenhar a curva. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, determinando as projeções do quadrado, cuja projeção frontal é um retângulo diretamente em projeção frontal, desenharam-se as medianas e as diagonais do retângulo. As projeções frontais dos pontos A, C, E e G determinaram-se imediatamente A 2, C 2, E 2 e G 2 são os pontos em que a elipse será tangente aos lados do retângulo. As projeções frontais dos outros quatro pontos transportaram-se para a projeção frontal do retângulo, o que os permitiu obter os oito pontos de que necessitávamos. No entanto, não se desenhou imediatamente a curva, pois caso a sua sombra admita pontos de quebra, determinar-se-ão mais pontos da elipse. Assim, recorrendo a um raio luminoso l, passante, determinou-se a reta de interseção do plano α com o plano luz/sombra passante a reta i, que passa pelo ponto I (o ponto de interseção de l com α) e é uma reta passante. Rebateu-se o ponto I para o rebatimento já efetuado, e desenhou-se i r i r é secante à circunferência nos pontos M e N, cujas sombras serão os pontos de quebra da sombra do círculo. Inverteu-se o rebatimento, transportando os pontos M e N para as projeções da reta i e, dessa forma, obtiveram-se dez pontos para desenhar a elipse, o que nos garantiu um desenho relativamente preciso da curva. M s e N s são as sombras de M e N situam-se no eixo X e são os pontos de quebra da sombra da figura note que M s e N s se determinaram apenas com o recurso às projeções frontais dos raios luminosos que por eles passam. A parte superior do círculo produz sombra no SPFS (que será um segmento de elipse) e a sua parte inferior produz sombra no SPHA (que será outro segmento de elipse). Determinaram-se as sombras reais dos pontos B, A, H, G e F, que se situam na parte superior do círculo as sombras destes pontos (que estão no SPFS) e os pontos de quebra perfazem um total de sete pontos para um desenho relativamente preciso do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS. Em seguida determinaram-se as sombras reais dos pontos C, D e E, que se situam na parte inferior do círculo as sombras destes pontos (que estão no SPHA) e os pontos de quebra perfazem um total de cinco pontos para um desenho relativamente preciso do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra da figura (assinalando convenientemente as invisibilidades) e preencheu-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra. A face do círculo que é visível em projeção frontal está iluminada, pois a sequência dos pontos, em projeção frontal, e a sequência dos pontos correspondentes da sua sombra apresentam a mesma ordem. 91

219. Em primeiro lugar, representou-se o plano ρ, pelos seus traços os traços de ρ são simétricos em relação ao eixo X, pois ρ é ortogonal ao β 1/3 (note que não é possível, de forma imediata, saber a posição do foco luminoso L, pois não se conhecem as projeções do centro do círculo). O círculo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção (o plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projeção), pelo que a construção das suas projeções implicou o recurso a um processo geométrico auxiliar optou-se por rebater o plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (ver exercício 70). Note que o centro da figura foi determinado em rebatimento, pois uma vez que o círculo é tangente aos dois planos de projeção, é tangente aos dois traços do plano, o que só é possível efetuar rigorosamente em V.G., em rebatimento o centro da figura está, assim, equidistante dos dois traços do plano, em rebatimento (e também em projeções). A determinação das projeções dos oito pontos que nos permitem desenhar as projeções da figura processou-se conforme explicitado no relatório do exercício 70. A partir das projeções do centro da figura, desenharam-se as projeções do ponto L. Por outro lado, e à semelhança do referido no relatório do exercício anterior, optou-se por desenhar a elipse apenas depois de averiguar a existência de pontos de quebra na sombra da figura. Assim, recorreu-se ao método do plano luz/sombra passante para a determinação dos pontos de quebra o plano luz/sombra passante está definido pelo eixo X e pelo raio luminoso l, passante. A reta de interseção dos dois planos (reta i) é fronto-horizontal já temos uma direção, falta-nos um ponto. É necessário determinar o ponto de interseção do plano ρ com o raio luminoso l nem a reta nem o plano são projetantes, pelo que se recorreu ao método geral da interseção de retas com planos. O plano α, que contém o raio luminoso l, é plano auxiliar a que se recorreu. A reta r é a reta de interseção do plano α com o plano ρ. O ponto I é o ponto de concorrência de l com r I é o ponto de interseção de l com ρ. A reta i passa por I e é fronto-horizontal. Em seguida, rebateu-se a reta i para o rebatimento do plano ρ previamente efetuado para determinar as projeções do círculo para tal rebateu-se o ponto I (através do rebatimento da reta r) e por I r conduziu-se i r. A reta i r corta a circunferência que delimita o círculo nos pontos Q r e Q r, cujas sombras serão os pontos de quebra da sombra do círculo. Inverteu-se o rebatimento, transportando os pontos Q e Q para as projeções da reta i e, dessa forma, obtiveramse dez pontos para desenhar cada uma das elipses, o que nos garantiu um desenho relativamente preciso das curvas. Q s e Q s são as sombras de Q e Q, situam-se no eixo X e são os pontos de quebra da sombra da figura note que Q s e Q s se determinaram apenas com o recurso às projeções horizontais dos raios luminosos que por eles passam. A parte superior do círculo produz sombra no SPFS (que será um segmento de elipse) e a sua parte inferior produz sombra no SPHA (que será outro segmento de elipse). As sombras reais dos três pontos que se situam na parte superior do círculo (que estão no SPFS) e os pontos de quebra perfazem um total de cinco pontos, para um desenho relativamente preciso do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPFS. As sombras reais dos cinco pontos que se situam na parte inferior do círculo (que estão no SPHA) e os pontos de quebra perfazem um total de sete pontos para um desenho relativamente preciso do segmento de elipse que é a sombra do círculo no SPHA. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra da figura (assinalando convenientemente as invisibilidades) e preencheu-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra. A face visível do círculo (que é a mesma em projeção frontal e em projeção horizontal) está iluminada, pois as sequências dos pontos, em projeção frontal e em projeção horizontal, e a sequência dos pontos correspondentes da sua sombra apresentam a mesma ordem. 220. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções da pirâmide, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, o que se efetuou através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direção convencional da luz). 2. Determinou-se o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano da base ponto I (note que I é, imediatamente, o traço frontal de l, pois a base da pirâmide está no Plano Fron - tal de Projeção). 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base que são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra f λ1 e f λ2. 4. As retas f λ1 e f λ2 são tangentes à base nos pontos F e C, respetivamente as arestas laterais [FV] e [CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. Note que as arestas laterais [CV] e [FV] são as arestas segundo as quais os planos λ 1 e λ 2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [CV] e [FV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra dada a proveniência da luz (de cima, de trás e da esquerda), as faces [CDV], [DEV] e [EFV] estão iluminadas enquanto que as faces [AFV], [ABV] e [CDV] estão em sombra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [CVFED]. A sombra própria da pirâmide integra as faces [AFV], [ABV] e [CDV] e a base da pirâmide. Em projeção frontal, apenas a base é invisível (as faces laterais são todas visí veis (Continua na página seguinte) 92

em projeção frontal), pelo que se assinalou a sombra própria visível. Já em projeção horizontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [BCV] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Note que a sombra própria se tracejou paralelamente ao eixo X, em ambas as projeções. Em seguida determinaram-se as som bras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra F s2, E s2, D s2 e C s2 situam-se no SPFS e V s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra projetada da pirâmide tem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V V v2. Após o desenho do contorno da sombra, tracejou-se a área visível da mesma perpendicu - larmente à direção luminosa. Note que a porção de sombra que está por baixo da base está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à representação a tracejado, pois não se vê a sombra). 221. Em primeiro lugar, representaram-se a pirâmide e o foco luminoso L, pelas respetivas projeções, em função dos dados. O plano ϕ é o plano frontal (de frente) que contém a base da pirâmide. Em seguida, procedeu-se à determina ção da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, o que se efetuou através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (oriundo de L). 2. Determinou-se o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano ϕ (o plano da base) ponto I (note que o ponto I teve determinação direta a partir da sua projeção horizontal, pois o plano ϕ é projetante hori zontal). 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base t e t. 4. As retas t e t são tangentes à base nos pontos C e A, respetivamente as arestas laterais [AV] e [CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. Note que as arestas laterais [AV] e [CV] são as arestas segundo as quais os planos λ 1 e λ 2 (os planos tangentes luz/sombra) são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [AV] e [CV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra dada a proveniência da luz, as faces [ABV] e [BCV] estão iluminadas enquanto que a face [ACV] está em sombra. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [AVCB]. A sombra própria da pirâmide integra a face [ACV] e a base da pirâmide. Em projeção frontal, apenas a face lateral [ACV] é visível (a base é invisí vel em projeção frontal), pelo que se assinalou a sombra própria visível. Já em projeção horizontal, tanto a base como a face late ral [ACV] são invisíveis, pelo que não há lugar à representação de sombras próprias em projeção horizontal. Note que se identificou a sombra própria com mancha uniforme. Em seguida, determinaram-se as som bras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra B s2, C s2 e V s2 situam-se no SPFS e A s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra projetada da pirâmide tem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de A A v2. Por fim desenhou-se o contorno da sombra (assinalando convenientemente as partes invisíveis da sombra) e identificou-se a área visível da mesma com mancha uniforme. 222. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do prisma, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por L, uma reta t, paralela às arestas laterais do sólido (a reta t é a reta de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra). 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta t com o plano da base de menor afastamento (a base de referência) ponto I (note que I é o traço frontal de t, pois a base de menor afastamento do prisma está no Plano Fron tal de Projeção). 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base que são, imediatamente, os traços frontais dos dois planos tangentes luz/sombra f λ1 e f λ2. 4. As retas f λ1 e f λ2 são tangentes à base nos pontos F e C, respetivamente as arestas laterais [FF ] e [CC ] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [CC ] e [FF ] são as arestas segundo as quais os planos λ 1 e λ 2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [CC ] e [FF ] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra dada a proveniência da luz, as faces [CC D D], [DD E E] e [EE F F] estão iluminadas enquanto que as faces [AA F F], [AA B B] e [BB C C] estão em sombra. A base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz (Continua na página seguinte) 93

luz/sombra é a linha quebrada fechada [CC B A F FED]. A sombra própria do prisma integra as faces [AA F F], [AA B B] e [BB C C] e a base de menor afastamento do prisma. Em projeção frontal, as faces laterais são todas invisí veis (são projetantes frontais), bem como a base de menor afastamento, pelo que não há lugar à representação de sombra própria em projeção frontal. Já em projeção horizontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [AA F F] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Identificou-se a sombra própria com uma mancha uniforme. Em seguida, determinaram-se as som bras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra F s2, E s2, D s2, C s2 e F s2 situam-se no SPFS e C s1, B s1 e A s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projetada do prisma tem pontos de quebra. Estes determinaram-se atendendo às situações de paralelismo entre as arestas e os planos nos quais produzem sombra. A aresta lateral [CC ] é de topo, pelo que a sombra que [CC ] produz no Plano Horizontal de Projeção é paralela a [CC ] este raciocínio permitiu - -nos determinar o ponto de quebra que se situa entre C s1 e C s2. A aresta [A F ], da base, é frontal (de frente), pelo que a sombra que [A F ] produz no Plano Frontal de Projeção é paralela a [A F ] este raciocínio permitiu-nos determinar o ponto de quebra que se situa entre A s1 e F s2. Após o desenho do contorno da sombra, identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme. Note que a porção de sombra que está por baixo da base de menor afastamento do sólido está oculta pelo sólido, pelo que é invisível (não há lugar à execução de mancha, pois não se vê a sombra). 223. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do prisma, em função dos dados. O plano ϕ é o plano da base de referência do sólido (a base de menor afastamento). A distância entre os planos das duas bases é 5 cm, que é a altura do prisma. Em seguida, procedeu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas retas uma reta h, paralela às arestas laterais do sólido, e um raio luminoso l. Estas duas retas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). 2. Determinou-se a reta de interseção do plano λ (o plano definido pelas retas h e l) com o plano da base de referência (a base de menor afastamento) reta t. 3. Conduziram-se as retas tangentes à base que são paralelas à reta t t e t. Estas são as retas de interseção dos planos tangentes luz/sombra (os planos λ 1 e λ 2 ) com o plano ϕ (o plano da base de referência). 4. As retas t e t são tangentes à base (de referência) nos pontos A e C, respetivamente as arestas laterais [AA ] e [CC ] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. As arestas laterais [AA ] e [CC ] são as arestas segundo as quais os planos λ 1 e λ 2 são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [AA ] e [CC ] separam a parte da superfície lateral do prisma que está iluminada da que está em sombra dada a proveniência da luz, a face lateral [AA C C] é a única face iluminada, enquanto que as faces [AA B B] e [BB C C] estão em sombra. A base de menor afastamento do prisma também está em sombra e a sua base de maior afastamento está iluminada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha quebrada fechada [AA B C C]. A sombra própria da pirâmide integra as faces [AA B B] e [BB C C] e a base de menor afastamento do prisma. Em projeção frontal, a face lateral [BB C C] é invisí vel, bem como a base de menor afastamento, pelo que a face [AA B B] é a única sombra própria a assinalar em projeção frontal. Já em projeção horizontal, de todas as partes em sombra apenas a face lateral [BB C C] é visível, pelo que é a única sombra própria a assinalar. Identificou-se a sombra própria com uma mancha uniforme. Em seguida determinaram-se as som bras reais de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra A s2 e C s2 situam-se no SPFS e A s1, B s1 e C s1 situam-se no SPHA, pelo que a sombra projetada do prisma tem pontos de quebra. Estes determinaram-se atendendo às situações de paralelismo entre as arestas e os planos nos quais produzem sombra. A aresta lateral [AA ] é horizontal, pelo que a sombra que [AA ] produz no Plano Horizontal de Projeção é paralela a [AA ] este raciocínio permitiu-nos determinar o ponto de quebra que se situa entre A s1 e A s2. Raciocínio idêntico se teve para a aresta [CC ], que nos permitiu determinar o ponto de quebra que se situa entre C s2 e C s1. Após o desenho do contorno da sombra (no qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades), identificou-se a área visível da mesma com uma mancha uniforme. Note que na porção de sombra que oculta pelo sólido não há lugar à execução de mancha, pois não se vê a sombra. 224. Em primeiro lugar, representaram-se o cone e o foco luminoso L, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida, procedeu - -se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (oriundo de L). 2. Determinou-se o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano da base ponto I (note que I é, imediatamente, o traço horizontal de l, pois a base da pirâmide está no Plano Horizontal de Projeção). 3. Por I conduziram-se as retas tangentes à base que são, imediatamente, os traços horizontais dos dois planos tan gentes luz/sombra h λ1 e h λ2. 4. As retas h λ1 e h λ2 são tangentes à base nos pontos T e T, respetivamente as geratrizes [TV] e [T V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos λ 1 e λ 2 são tangentes ao cone). As geratrizes [TV] e [T V] separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra a parte da (Continua na página seguinte) 94

superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco maior TT, enquanto que a parte que corresponde ao arco menor TT está em sombra. A base do cone também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha fechada [T V TT ] (note que o arco que integra a linha separatriz luz/sombra é o arco maior TT ). Após a determinação da linha separa triz luz/sombra, determina ram-se as sombras reais dos seus vértices T s1, T s1 e V s2. Atendendo a que exis tem sombras em planos distintos, as sombras projetadas das geratrizes [TV] e [T V] admitem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à sombra virtual de V V v1. Em seguida desenhou-se o contorno da sombra projetada do cone, atendendo às invisibili dades existentes, e tracejou- -se a sua parte visível a 45 (a.d.) em ambas as projeções. Note que a sombra do arco TT é o próprio arco, pois este situa-se no SPHA. No que respeita à sombra própria do cone, a superfície late ral em som bra é visível na totalidade em projeção horizontal mas não em projeção frontal em projeção frontal, atendendo a que a geratriz [T V] é invisível, a parte visível da sombra própria é a que está compreendida entre a gera triz [TV] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal. Note que a base é invisível em ambas as projeções. A sombra própria visível identificou-se com tracejado paralelo ao eixo X, em ambas as projeções. 225. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do cone, em função dos dados. Em seguida, procedeu-se à determi nação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direção lumi nosa dada). 2. Determinou-se o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano da base ponto I. 3. Por I condu ziram-se as retas tangentes à base t e t. Estas são reta horizontais (de nível) e são as retas de interseção dos dois planos tan gentes luz/sombra com o plano ν (o plano da base). 4. As retas t e t são tangentes à base do cone nos pontos T e T, respetivamente as geratrizes [TV] e [T V] são, imediatamente, duas linhas da linha separatriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cone). As geratri zes [TV] e [T V] separam a parte da superfície lateral do cone que está iluminada da que está em sombra dada a pro veniência da luz (de cima, de trás e da direita), a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor TT, enquanto que a parte que corresponde ao arco maior TT está em sombra. A base do cone está ilumi nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha fechada [T V TT ] (note que o arco que integra a linha separa triz luz/sombra é o arco menor TT ). Após a determinação da linha separa - triz luz/sombra, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices T s2, T s2 e V s1. Atendendo a que exis tem sombras em planos distintos, as som bras projetadas das geratrizes [TV] e [T V] admitem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso à som bra virtual de V V v2. Uma vez que os extremos do arco TT produzem, ambos, sombra no SPFS, é possível concluir, de forma empírica, que o arco TT produz sombra exclusivamente no SPFS. No entanto, optou-se por certificar essa ideia, através do processo rigoroso que existe para a determinação dos pontos de quebra o método o plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso passante l. I é o ponto de interseção de l com o plano ν (o plano que contém o arco TT ). A reta i, fronto-horizontal e passando por I, é, assim, a reta de interseção do plano (Continua na página seguinte) 95

luz/sombra passante com o plano ν i é exterior ao arco TT, pelo que a sombra do arco não tem pontos de quebra (está confirmado que o arco produz sombra exclusivamente no SPFS) a sombra será um arco de elipse. A determinação da sombra do arco TT processou-se determinando sucessivamente as sombras de alguns dos seus pontos aconselha-se, no entanto, que se recorra à inscrição do arco na parte correspondente de um qua drado (o quadrado em que se inscreve a base do cone) de lados paralelos ao eixo X, conforme foi explicitado nas pági nas do Manual. Não se recorreu a esse processo para não sobrecarregar em demasia a resolução gráfica apresentada. Note que o arco de elipse (a sombra do arco TT ) é concordante som a sombra da geratriz [TV] em T s2 tal como é concor dante com a sombra da geratriz [T V] em T s2. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projetada do cone, atendendo às invisibili dades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme. No que respeita à sombra própria do sólido, esta não é visível em projeção horizontal (a superfície lateral do cone é invisível em projeção hori zontal) e, em projeção frontal, apenas é visível a parte que está compreendida entre a geratriz [T V] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal (note que a geratriz [TV] é invisível em projeção frontal). 226. Em primeiro lugar, representaram-se o cilindro e o foco luminoso L, pelas respetivas projeções, em função dos dados. O plano ν é o plano que contém a base inferior e o plano ν 1 é o plano que contém a base superior. Em seguida, proce deu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos pla nos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por L, uma reta v, paralela às geratrizes do sólido (a reta v é a reta de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra). 2. Determinou-se o ponto de interseção da reta v com o plano da base inferior do cilindro (a base de referência) ponto I. 3. Por I con duziram-se as retas tangentes à base (de referência) t e t (estas são retas horizontais e são as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base inferior do cilindro). 4. As retas t e t são tangentes à base nos pontos A e B, respetivamente as geratrizes [AA ] e [BB ] são, imediatamente, duas linhas da linha sepa ratriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). As geratri zes [AA ] e [BB ] separam a parte da superfície lateral do cilindro que está iluminada da que está em sombra dada a pro veniência da luz, a parte da superfície que está iluminada é a que corresponde ao arco menor AB, enquanto que a parte que corresponde ao arco maior AB está em sombra. A base inferior do cilindro está em som bra e a sua base superior está ilumi nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha fechada [AA A B BA]. Sublinha-se que o arco da base inferior que integra a linha separa triz luz/sombra é o arco menor AB. Já no que res peita à base superior, o arco que integra a linha separatriz luz/sombra é o arco maior A B. Após a determina ção da linha separa triz luz/sombra, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices A s1, B s1, A s1 e B s2. A geratriz [AA ] produz sombra exclusivamente no SPHA, o mesmo não acontecendo com a geratriz [BB ] o ponto de quebra da sombra desta determinou-se atendendo a que [BB ] é paralela ao Plano Frontal de Projeção a sombra que [BB ] produz no SPFS é paralela a [BB ]. Uma vez que os extremos do arco AB produzem, ambos, sombra no SPHA, e que o arco AB é paralelo ao Plano Horizontal de Projeção, é possível concluir, de forma empírica, que o arco menor AB produz sombra exclusivamente no SPHA e que essa sombra será um arco de circunferência. No entanto, optou - -se por certificar essa conclusão através do processo rigoroso que existe para tal o método o plano luz/sombra passante. Este está definido pelo eixo X e por um raio luminoso passante l. N é o ponto de interseção de l com o plano ν (o plano que contém o arco AB). A reta n, fronto-horizontal e passando por N, é, assim, a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ν n é exterior ao arco AB, pelo que a sombra do arco não tem pontos de quebra (está confirmado que o arco produz sombra exclusivamente no SPHA). Assim, determinou-se O s1, a sombra do centro do arco AB. Com o compasso, fazendo centro em O s1 e raio até A s1 (ou B s1, pois O s A 1 s 1 = O s B s ) 1 desenhou-se um arco de circunferência que tem extremos em A s1 e em B s1. Note que o arco é concordante com [A s1 A s1 ] em A s1, tal como é concordante com a sombra de [BB ] em B s1. Já o arco maior A B produz sombra nos dois planos de projeção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O ponto de quebra da sombra do arcoa B determinou-se pelo método o plano luz/sombra passante, de novo. O ponto M é o ponto de interseção de l (o raio luminoso passante) com o plano ν 1 (o plano que contém o arco A B ). A reta m, fronto-horizon tal e passando por M, é, assim, a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ν 1 m corta 96

o arco A B no ponto Q. A sombra de Q será, assim, o ponto de quebra da sombra do arco A B. A sombra que o arco A B produz no SPHA (que é um arco de circunferência) determinou-se com o recurso à sombra de O (o centro do arco) no Plano Horizontal de Projeção O v1. Com o compasso, fazendo centro em O v1 e raio até A s1, desenhou-se um arco até ao eixo X, onde se situa Q s note que o arco é concordante com [A s1 A s1 ] em A s1. A sombra que o arco A B produz no SPFS (que é um arco de elipse) obteve-se determinando sucessivamente as sombras de alguns dos seus pontos aconselha-se, no entanto, que se recorra à inscrição do arco na parte correspondente de um qua - drado (o quadrado em que se inscreve a base do cone) de lados paralelos ao eixo X, conforme foi explicitado nas pági nas do Manual. Não se recorreu a esse processo para não sobrecarregar em demasia a resolução gráfica apresentada. Note que o arco de elipse (a sombra do arco A B ) é concordante som a sombra da geratriz [BB ] em B s2. Por fim, dese nhou-se o contorno da sombra projetada do cilindro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme. No que respeita à sombra própria do sólido, esta não é visível em projeção horizontal (as geratrizes são projetantes horizontais) e, em projeção frontal, apenas é visível a parte que está compreendida entre a geratriz [AA ] e a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal (note que a geratriz [BB ] é invisível em projeção frontal). 227. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeções do cilindro, em função dos dados. A base superior é tangente ao Plano Frontal de Projeção, pelo que as bases do sólido têm 3 cm de raio. O plano ν é o plano que contém a base supe rior do cilindro. Em seguida, proce deu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos pla nos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas retas uma reta r, paralela às arestas laterais do sólido, e um raio lumi noso l. Estas duas retas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). 2. Determinou-se h λ, que é a reta de interseção do plano λ (o plano definido pelas retas r e l) com o Plano Horizontal de Projeção (o plano da base de referência, que é a base inferior). 3. Conduziram-se as retas tangentes à base que são paralelas a h λ h λ1 e h λ2. Estas são, imediatamente, os traços horizontais dos planos tan - gentes luz/sombra (os planos λ 1 e λ 2 ) são as retas de interseção dos dois planos com o plano da base de referên cia do cilindro. 4. As retas h λ1 e h λ2 são tangentes à base (de referência) nos pontos A e B, respetivamente as geratrizes [AA ] e [BB ] são, imediatamente, duas linhas da linha sepa ratriz luz/sombra (são as geratrizes ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes ao cilindro). Dada a pro veniência da luz, a parte da superfície que está iluminada é a parte superior, enquanto que a parte em sombra é a parte inferior. A base inferior do cilindro está em som bra e a sua base superior está ilumi nada, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha fechada [AA A B BA]. Após a determina ção da linha separa triz luz/sombra, determinaram-se as sombras reais dos seus vértices A s1, B s1, A s1 e B s2. A geratriz [AA ] produz sombra exclusivamente no SPHA, o mesmo não acontecendo com a geratriz [BB ] o ponto de quebra da sombra desta determinou-se atendendo a que sendo [BB ] paralela a [AA ], a sombra que [BB ] pro duz no SPHA é paralela à sombra que [AA ] produz no SPHA. O arco AB está contido no Plano Horizontal de Projeção, pelo que a sua sombra está coincidente com o próprio arco. O arco A B produz sombra nos dois planos de projeção, pois as sombras dos seus extremos situam-se em planos distintos. O ponto de quebra da sombra do arco A B determinou-se pelo método o plano luz/sombra passante este está definido pelo eixo X e pelo raio luminoso l, passante. O ponto I é o ponto de interseção de l com o plano ν (o plano que contém o arco A B ). A reta i, fronto - -horizon tal e passando por I, é a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ν i corta o arco A B no ponto Q. A sombra de Q será, assim, o ponto de quebra da sombra do arco A B. A sombra que o arco A B produz no SPHA (que é um arco de circunferência) determinou-se com o recurso à sombra de O (o centro do arco) no Plano Horizontal de Projeção O v1. Com o compasso, fazendo centro em O v1 e raio até A s1, desenhou-se um arco até ao eixo X, onde se situa Q s note que o raio do arco é igual ao raio das bases (trata-se de uma isometria) e que arco é concordante com [A s1 A s1 ] em A s1. A sombra que o arco A B produz no SPFS (que é um arco de elipse) obteve-se determinando sucessivamente as sombras de alguns dos seus pontos aconselha-se, no entanto, que se recorra à inscrição do arco na parte correspondente de um qua drado (o quadrado em que se inscreve a base do cone) de lados paralelos ao eixo X, conforme foi explicitado nas pági nas do Manual. Não se recorreu a esse processo para não sobrecarregar em demasia a resolução gráfica apresentada. Note que o arco de elipse (a sombra do arco A B ) é concordante som a sombra da geratriz [BB ] em B s2. Por fim, dese - nhou-se o contorno da sombra projetada do cilin dro, atendendo às invisibilidades, e identificou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme. No que respeita à sombra própria do sólido, a única parte visível em projeção horizontal é a que está compreendida entre a geratriz [BB ] e a geratriz de menor afastamento do contorno aparente horizontal (note que a geratriz [AA ] é invisível em projeção horizontal). Em projeção frontal, apenas é visível a parte que está compreendida entre a geratriz [AA ] e a geratriz mais à direita do contorno aparente frontal (note que a geratriz [BB ] é invisível em projeção frontal). 97

228. Ver relatório do exercício 225. A reta t é vertical e t é fronto-horizontal. A base está iluminada e a superfície lateral em sombra corresponde a 3 / 4 da superfície lateral total do sólido é a superfície lateral do cone compreendida entre as geratrizes [TV] e [T V] correspondente ao arco maior TT. A determinação dos pontos de quebra processou-se com o recurso ao método do plano luz/sombra passante a reta i é a reta de interseção do plano luz/sombra passante com o plano ϕ (o plano da base do sólido). A reta i corta o arco TT em T (que é um vértice da linha separatriz luz/sombra) e em Q este é o ponto cuja sombra é o ponto de quebra da sombra do arco maior TT. 229. Em primeiro lugar, construíram-se as projeções da base do sólido. Não sendo dada a altura do cone mas, sim o ângulo que as geratrizes fazem com o plano da base (ângulo com ϕ de amplitude), é necessário, antes de mais, determinar graficamente a V.G. daquela amplitude. Para tal, conduziu-se um raio luminoso l, qualquer, passante, e determinou-se o ângulo que l faz com o Plano Frontal de Projeção (que é um plano paralelo ao plano da base do sólido) esse ângulo (com ϕ de amplitude) existe no plano projetante frontal de l (plano α) e determinou-se rebatendo o plano α para o Plano Horizontal de Projeção. O ângulo de ϕ de amplitude está em V.G. no ângulo entre l r e o eixo X. O ângulo que a geratriz mais à direita do contorno aparente horizontal do cone faz com o plano da base é um ângulo de lados diretamente paralelos ao ângulo determinado e projeta-se em V.G. no Plano Horizontal de Projeção este raciocínio permitiu-nos desenhar imediatamente a projeção horizontal dessa geratriz e, assim, determinar V 1, após o que se concluiu a construção da projeção horizontal do sólido. Ao efetuar os traçados necessários à determinação da linha separatriz luz/sombra e dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 225, concluiu-se que existe apenas um único plano tangente luz/sombra o raio luminoso l que passa por V interseta o plano da base num ponto da circunferência que delimita a base. A reta t é a reta tangente à base no ponto I é a reta de interseção do único plano tangente luz/sombra com o plano ϕ (o plano da base). A geratriz [IV] é única geratriz em sombra da superfície lateral do sólido a sombra própria integra a geratriz [IV] e a base. A sombra projetada do cone corresponde à sombra projetada da sua base, que se determinou conforme exposto no relatório do exercício 213. 230. Em primeiro lugar, construíram-se as projeções do sólido, de acordo com os dados. Em seguida, efetuaram-se os traçados necessários à determinação da linha separatriz luz/sombra e dos planos tangentes luz/sombra, conforme exposto no relatório do exercício 225, concluiu-se que não existe nenhum plano tangente luz/sombra o raio luminoso l que passa por V interseta o plano da base num ponto interior à circunferência que delimita a base, o que significa que qualquer plano que passe por I é um plano secante à base. A superfície lateral do sólido está totalmente iluminada e a sua base está em sombra. A sombra projetada do cone corresponde à sombra projetada da sua base, que se determinou conforme exposto no relatório do exercício 213. 98

231. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções, e o plano π (o plano da base), pelos seus traços, contendo A e B, em função dos dados. Uma vez que o plano π (o plano que contém a base) não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que foi necessário o recurso ao rebatimento do plano π rebateu-se π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). Note que, na construção do triângulo em rebatimento (em V.G.), se garantiu que B é o vértice de maior afastamento da base. O sólido é uma pirâmide regular, pelo que o seu eixo está contido numa reta que passa pelo centro da base e é ortogonal ao plano da base nesse sentido, foi necessário determinar as projeções do ponto O (o centro da base). Pelas projeções de O conduziram-se as projeções de uma reta ortogonal ao pla no da base (a reta suporte do eixo da pirâmide), que é uma reta fronto - -horizontal. A altura da pirâmide mede-se perpendicularmente ao plano da base, pelo que se mede sobre a reta suporte do eixo, que se projeta em V.G. nos dois planos de projeção. A partir das projeções do vértice do sólido e da sua base, desenharam-se as projeções da pirâmide, respeitando as invisibilidades. No que respeita à determinação da sombra, salienta-se que esta situação não difere das restantes situações de sombras de pirâmides, pelo que se recomenda a leitura do relatório do exercício 221. Note, no entanto, que só é possível analisar a questão da tangência das retas t e t à base do sólido em rebati mento, pelo que foi necessário rebater o ponto I e as retas t e t para o rebatimento previamente efetuado (para a construção das projeções da base) para, em rebatimento, perceber em que vértices é que as retas são tangentes à base da pirâmide t r passa por I r e é tangente à base em rebatimento no vértice A r e t r passa por I r e é tangente à base em rebatimento no vértice B r. As arestas late rais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [AV] e [BV] estas arestas separam a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz, as faces laterais [BCV] e [ACV] estão em sombra e a face lateral [ABV] e a base do sólido estão iluminadas. Assim sendo, a linha separatriz luz/sombra é [AVBC]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra, determinaram-se os pontos de quebra e desenhou-se o contorno da sombra projetada da pirâmide, atendendo às invisibilidades observadas. Por fim, assinalou-se a parte visível da sombra projetada com uma mancha uniforme, tal como as faces em sombra própria que são visíveis. 232. Em primeiro lugar, representaram-se os pontos A e B, pelas suas projeções, e o plano π (o plano da base mais à esquerda do prisma), pelos seus traços, contendo A e B, em função dos dados. Uma vez que o plano π (o plano que contém a base [ABCD]) não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, o quadrado não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção, pelo que foi necessário o recurso ao rebatimento do plano π rebateu-se π para o Plano Frontal de Projeção (a charneira foi f π ). Note que, na construção do quadrado em rebatimento (em V.G.), se garantiu o polígono se situa no espaço do 1. o Diedro. O plano α é o plano da base mais à direita do sólido é outro plano de perfil que dista 6 cm (a altura do prisma) do plano π. O sólido é um prisma regular, pelo que as suas arestas laterais estão contidas em retas ortogonais aos planos das bases retas fronto-hori zontais. A partir das projeções da base do sólido e das retas suporte das suas arestas laterais é possível obter a sua base mais à direita e, dessa forma, desenhar as projeções do prisma, respeitando as invisibilidades existentes. No que respeita à de terminação da sombra, salienta-se que este exercício não difere das restantes situações de sombras de prismas, pelo que se recomenda a leitura do relatório do exercício 223. A base de referência é a base mais à esquerda do prisma. A reta i é (Continua na página seguinte) 99

uma reta de perfil que está contida em π, tal como as retas t e t (as retas tangentes à base de referência do prisma que são paralelas a i). Note, no entanto, que só é possível analisar a questão da tangência das retas t e t à base do sólido em rebati mento, pelo que foi necessário rebater a reta i (rebatendo os pontos I e I ) e as retas t e t para o rebatimento previamente efetuado (para a construção das projeções da base). Em rebatimento, i r passa por I r e por I r t r é paralela a i r e é tangente à base em rebatimento no vértice D r e t r é paralela a i r e é tangente à base em rebatimento no vértice B r. As arestas late rais que integram a linha separatriz luz/sombra são as arestas [BB ] e [DD ] estas arestas separam a parte em sombra da superfície lateral do sólido da que está iluminada. Dada a proveniência da luz, a base mais à esquerda e as faces laterais [BB C C] e [CC D D] estão iluminadas, enquanto que a base mais à direita e as outras duas faces (as faces laterais [AA B B] e [AA D D]) estão em sombra a linha separatriz luz/sombra é [BB C D DA]. Em seguida, determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra, determinaram-se os pontos de quebra e desenhou-se o contorno da sombra projetada do prisma, atendendo às invisibilidades observadas. Por fim, assinalou-se a parte visível da sombra projetada com uma mancha uniforme, tal como as faces visíveis que estão em sombra própria. 233. Em primeiro lugar, representaram-se o ponto O, pelas suas projeções, e o plano π (o plano que contém a base), pelos seus traços, em função dos dados. Note que é possível desenhar imediatamente as projeções da base do sólido sem sequer recorrer ao rebatimento do plano π, pois a base, sendo tangente ao Plano Frontal de Projeção, tem 3 cm de raio e as suas duas projeções são segmentos de reta. Assim, é possível construir as projeções do cone sem o recurso a qualquer rebatimento. No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respetiva parte curva, optou-se por efetuar o rebati mento. Tal como o referido no relatório do exercício 231, e porque se trata de uma situação semelhante, o eixo do sólido está contido numa reta fronto-horizontal e a altura do sólido projeta-se em V.G. em ambas as projeções. Após a determinação das projeções do sólido, procedeu-se à determinação da linha sepa ratriz luz/sombra e dos planos tangentes luz/sombra, de acordo com o exposto no relatório do exercício 225 (subli nha-se que este exercício não difere das restantes situações de sombras de cones). A reta l é o raio luz/sombra que passa pelo vértice e que interseta o plano da base em I. Por I conduziram-se as retas tangentes à base, t e t. Note, no entanto, que só é possível analisar a questão da tangência das retas t e t à base do sólido em rebati mento, pelo que foi necessário rebater o ponto I e as retas t e t para o rebatimento previamente efetuado para, em rebatimento, determinar os pontos nos quais as retas são tangentes à base do cone t r passa por I r e é tangente à base em reba timento no ponto T r e t r passa por I r e é tangente à base em rebatimento no ponto T r. Note que t r e t r são, em rebati mento, as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base do sólido. As geratrizes que integram a linha separatriz luz/sombra são [TV] e [T V] estas geratrizes separam a parte em sombra da super fície lateral do sólido da que está iluminada. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeções de T e T e desenharam-se as projeções das geratrizes separatrizes, atendendo às respetivas invisibilidades. Dada a proveniên cia a luz, a base do sólido está iluminada. A linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [TV T T] (integra as geratrizes [TV] e [T V] e o arco maior T T). Em seguida determinaram-se as sombras reais dos vértices da linha separa triz luz/sombra T, T e V. T s2 e V s2 estão, ambas, no SPFS, pelo que a sombra da geratriz [T V] não admite nenhum ponto de quebra. Já T s1 se situa no SPHA, pelo que existe um ponto de quebra entre T s1 e V s2, que se determinou com o re curso à sombra virtual de T T v2. Uma vez que as sombras dos extremos do arco maior T T estão em (Continua na página seguinte) 100

planos distin tos, conclui-se que a sombra do arco admite um ponto de quebra. Este determinou-se com o recurso ao método do plano luz/sombra passante que, dado o facto da direção luminosa ser a convencional, é o próprio β 1/3. Assim, com vista a uma maior economia de traçados que possibilite uma melhor leitura da resolução proposta, não se dese nharam as projeções do raio luminoso que nos permitiria determinar a reta i (a reta de interseção do plano π com o plano luz/sombra passante o β 1/3 ), mas desenharam-se imediatamente as suas projeções, pois sabe-se que a reta de interseção de π com o β 1/3 é necessariamente uma reta de perfil passante, que faz ângulos de 45 com os traços do plano π. Note que, caso a direção luminosa não fosse a convencional, a determinação da reta i passaria necessa - riamente pela determinação do ponto de interseção de π com um raio luz/sombra pas sante com a direção luminosa dada. Desenhou-se a reta i em rebatimento i r e determinou-se o ponto em que a reta corta o arco maior T T. O ponto Q, determinado em rebatimento, é o ponto cuja sombra é o ponto de quebra da sombra do arco maior T T. Sobre a determinação da sombra do arco maior T T, ver relatório do exercí cio 218. Note que o arco de elipse que existe no SPHA (a sombra do arco maior T T no SPHA) é concordante com a sombra da geratriz [TV] em T s1. Da mesma forma, o arco de elipse que existe no SPFS (a sombra do arco maior T T no SPFS) é concordante com [T s2 V s2 ] em T s2. Por fim, desenhou-se o contorno da sombra projetada do cone, atendendo às invisibilidades obser vadas, e assinalou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme, tal como as partes visíveis de sombra própria. 234. Em primeiro lugar, representaram-se o ponto O, pelas suas projeções, e o plano π (o plano que contém a base mais à esquerda), pelos seus traços, em função dos dados. Note que é possível desenhar imediatamente as projeções da base do sólido sem sequer recorrer ao rebatimento do plano π, pois a base, sendo tangente ao Plano Frontal de Projeção, tem 4 cm de raio e as suas duas projeções são segmentos de reta. Assim, é possível construir as projeções do cilindro sem o recurso a qualquer rebatimento. No entanto, com vista à futura determinação da sombra do sólido e da respetiva parte curva, optou-se por efetuar o rebati mento. O plano α é o plano da base mais à direita do sólido é outro plano de perfil que dista 6 cm (a altura do cilindro) do plano π. O sólido é um cilindro de revolução, pelo que as suas geratrizes estão contidas em retas ortogonais aos planos das bases retas fronto-hori zontais. A partir das projeções da base mais à esquerda do sólido e das retas suporte das suas arestas laterais é possível obter a sua base mais à direita e, dessa forma, desenhar as projeções do cilindro. Após a determinação das projeções do sólido, procedeu-se à determinação da linha sepa ratriz luz/sombra e dos planos tangentes luz/sombra, de acordo com o exposto no relatório do exercício 227 (subli nha-se que este exercício não difere das restantes situações de som bras de cilindros). O ponto P e o ponto exterior pelo qual se conduziram duas retas uma reta g, paralela às geratri zes do cilindro, e um raio luminoso l. I e I são, respetivamente, os pontos de interseção de g e l com o plano da base de referência (o plano π) e a reta i (definida pelos pontos I e I ) é a reta de interseção do plano π com o plano definido pelas retas g e l. Note que a reta i é necessariamente uma reta de perfil. As retas t e t, que são também retas de perfil, são as retas tangentes à base (de referência) que são paralelas à reta i. Uma vez que o plano que contém a base é de perfil, só é possível analisar corretamente posição das retas tangentes à base em (Continua na página seguinte) 101

rebatimento. Nesse sentido, rebateu-se a reta i i r está definida por I r e I r. Em rebatimento, desenharam-se as retas t r e t r, paralelas a i r, o que nos permitiu identificar os pontos de tangência em rebatimento A r e B r. As retas tangentes t r e t r são, em rebatimento, as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base mais à esquerda do sólido. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projeções de A e B, bem como das geratrizes separa trizes luz/sombra as geratrizes [AA ] e [BB ]. Dada a proveniência da luz, a base mais à esquerda do sólido está ilu minada e a mais à direita em sombra, o que nos permitiu identificar claramente a linha separatriz luz/sombra é a linha mista fechada [AA A B BA] (integra as geratrizes [AA ] e [BB ] e os arcos AB e A B ). Determinaram-se as sombras reais dos quatro vértices da linha separatriz luz/sombra e analisou-se a existência de pontos de quebra. A sombra da geratriz [AA ] situa-se, na totalidade, no SPFS, tal como a sombra da geratriz [BB ] se situa no SPHA na totalidade. Assim sendo, os pontos de quebra da sombra do sólido situam-se nas sombras dos arcos que integram a linha separatriz luz/sombra. A determinação dos pontos de quebra processou-se, assim, com o recurso ao método do plano luz/sombra passante que, nesta situação (uma vez que se trata da direção luminosa convencional), é o β 1/3. Assim, com vista a uma maior economia de traçados que possibilite uma melhor leitura da resolução proposta, não se desenharam as projeções do raio luminoso que nos permitiria determinar a reta i (a reta de interseção do plano π com o plano luz/sombra passante o β 1/3 ), mas desenharam-se imediatamente as suas projeções, pois sabe-se que a reta de interseção de π com o β 1/3 é necessariamente uma reta de perfil passante, que faz ângulos de 45 com os traços do plano π. Note que, caso a direção luminosa não fosse a convencional, a determinação da reta i passaria, necessariamente pela determinação do ponto de interseção de π com um raio luz/sombra passante com a direção luminosa dada. Desenhou-se a reta i em rebatimento i r e determinaram-se os pontos em que a reta corta os dois arcos da circunferência R r e S r. Invertendo o rebatimento, obtiveram-se as projeções dos pontos R e S. Note que dos dois pontos, R e S, apenas o ponto R se situa num arco que produz sombra. Efetivamente, o arco no qual se situa o ponto S não integra a linha separatriz luz/sombra. No entanto, o ponto S corresponde a um outro ponto S, que se situa na base mais à direita e que, esse sim, pertence a um arco que integra a linha separatriz luz/sombra. O facto de se ter determinado o ponto S no rebatimento da base mais à esquerda do sólido permitiu-nos economizar o rebatimento da base mais à direita para a determinação do ponto S. Sobre a determinação das sombras dos dois arcos (o arco AB e o arco A B ) ver relatório do exercício 218. Note que as sombras dos arcos AB e A B no SPHA (que são arcos de elipse) são, ambas, concordantes com [B s1 B s1 ] em B s1 e em B s1, respetivamente. Da mesma forma, as sombras dos arcos AB e A B no SPFS (que são também arcos de elipse) são, ambas, concordantes com [A s2 A s2 ] em A s2 e em A s2, respetivamente. Por fim, desenhou- -se o contorno da sombra projetada do cilindro, aten dendo às invisibilidades obser vadas, e assinalou-se a sua parte visível com uma mancha uniforme, tal como as partes visíveis de sombra própria. 102

235. Em primeiro lugar, representou-se o segmento [FH], pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida, dese nharam-se os traços do plano ρ, o plano de rampa que contém o triângulo f ρ passa por F (que tem afastamento nulo) e h ρ passa por H (que tem cota nula). O plano ρ não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que o triângulo não se projeta em V.G. em nenhum dos planos de projeção para a construção das projeções do triângulo recor reu-se ao rebatimento do plano ρ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira foi h ρ ). Note que se atendeu a que G é o seu vértice mais à direita. Para inverter o rebatimento, recorreu-se a uma reta r, do plano ρ a reta r é a reta suporte do lado [GH] do triângulo. F é o traço frontal de r. A partir das projeções de G desenharam-se as projeções do triângulo. Para determinar a sombra do polígono determinaram-se as sombras reais dos seus três vértices. F s2 F 2, pois F é um ponto do SPFS. H s1 H 1, pois H é um ponto do SPHA. G s situa-se no eixo X (note que G é necessaria mente um ponto do β 1/3 ). G s é simultaneamente um ponto do SPHA e do SPFS a sombra de [FG] e de [GH] não têm pontos de quebra. A sombra do triângulo tem um único ponto de quebra, situado entre F s2 e H s1 este determinou-se com o recurso à sombra virtual de H (H v2 ). Em seguida, desenhou-se a sombra projetada do triângulo, atendendo às invisibilidades. A face visível do triângulo (que é a mesma em ambas as projeções) está ilumi nada, pois, considerando um movimento rotativo qualquer e partindo de um mesmo vértice, as sequências dos vértices da projeção frontal, da projeção horizontal e da sombra do triângulo apresentam a mesma ordem. 236. Note que os dados nos permitem construir, imediatamente, a projeção horizontal do sólido, mas não a sua projeção frontal, pois é desconhecida a cota do plano da base. No entanto, é possível determinar imediatamente V 2, a projeção frontal do vértice do cone (que tem cota nula). Por outro lado, é conhecido o comprimento das geratrizes do sólido que são todas iguais, pois trata-se de um cone de revolução. De todas as suas geratrizes, as únicas que se projetam imediatamente em V.G. (no Plano Frontal de Projeção) são as geratrizes frontais (de frente) que são, afinal, as geratrizes do contorno aparente frontal. Consideremos a geratriz mais à esquerda do contorno aparente frontal a geratriz [AV]. Já é conhecida a sua projeção horizontal. Com o recurso ao compasso, fazendo centro em V 2 e com 8,5 cm de raio (o comprimento das geratrizes), desenhou-se um arco de circunferência cortando a linha de chamada de A num ponto que será A 2 a projeção frontal de A. A projeção frontal de A dá-nos, graficamente, a cota do plano horizontal (de nível) da base do sólido e permite-nos, assim, concluir a construção das projeções do sólido. Sobre a determinação das sombras própria e projetada do cone, ver exercício 235 e respetivo relatório. Note que, neste exercício, se optou por determinar a sombra do arco TT com o recurso à parte correspondente do quadrado (de lados paralelos ao eixo X) em que a base se inscreve (ver exercício 213 e respetivo relatório). 103

237. Em primeiro lugar, representou-se o plano θ, pelos seus traços, e o ponto O, pelas suas projeções, pertencente ao plano. Em seguida, uma vez que o plano θ não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, a construção das projeções do pentágono da base processou-se com o recurso ao rebatimento de θ rebateu-se θ para o Plano Horizontal de Projeção (a charneira foi h θ ). Após a determinação das projeções da base, desenharam - -se as projeções da reta suporte do eixo da pirâmide é uma reta frontal (de frente) ortogonal ao plano θ (a pirâmide é regular) que passa por O. A altura da pirâ mide pode medir-se em V.G. sobre a reta suporte do eixo, em projeção frontal, o que nos permitiu obter as projeções de V, o vértice da pirâ mide, e, por fim, construir as projeções do sólido. Em seguida, procedeu-se à determina ção da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos planos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito. 1. Conduziu-se, por V, um raio luminoso l (com a direção lumi nosa). 2. Determi nou-se o ponto de interseção do raio luminoso l com o plano θ (o plano da base) ponto I (note que o ponto I teve determinação direta a partir da sua projeção frontal, pois o plano θ é projetante frontal). 3. Por I conduzi ram-se as retas tangentes à base t e t. 4. As retas t e t são tangentes à base nos pontos A e C, respetivamente as arestas late rais [AV] e [CV] são, imediatamente, duas arestas da linha separatriz luz/sombra. Note que as arestas late rais [AV] e [CV] são as arestas segundo as quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes (ou rasantes) ao sólido. As arestas [AV] e [CV] separam a parte da superfície lateral da pirâmide que está iluminada da que está em sombra dada a prove niência da luz, as faces laterais [ABV] e [BCV] estão em sombra, enquanto que as faces laterais [AEV], [CDV] e [DEV] estão iluminadas. A base da pirâmide também está em sombra, pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha que brada fechada [AVCDE]. A sombra própria da pirâmide integra as faces laterais [ABV] e [BCV] e a base da pirâmide. Em projeção frontal, nenhuma das faces laterais em sombra é visível (a base também é invisí vel em projeção frontal), pelo que não há lugar à identificação de sombra própria em projeção frontal. Já em projeção horizontal, a base é invisí vel, mas as faces late rais [ABV] e [BCV] são visíveis, pelo que se identificaram estas como sombra própria em projeção horizontal. Em seguida, determinaram-se as som bras reais dos vértices da linha separatriz luz/sombra C s1, D s1 e E s1 situam-se no SPHA e A s2 e V s2 situa-se no SPFS, pelo que a sombra projetada da pirâmide tem pontos de quebra. Estes determinaram-se com o recurso às sombras virtuais de E e de C. Por fim desenhou-se o contorno da sombra projetada (assinalando convenientemente as suas partes invisíveis) e identificou-se a área visível da mesma com mancha uniforme. 23 AXONOMETRIAS ORTOGONAIS: ISOMETRIA, DIMETRIA E TRIMETRIA 238. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados, que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida desenharam - -se apenas dois lados do triângulo fundamental [RST] (os lados [RS] e [ST]), por estes serem suficientes para a resolução do problema (sublinha-se que nem sempre é necessária a representação da totalidade do triângulo fundamental). Para determinar o coeficiente de redução dos três eixos, que é o mesmo, optou-se por rebater o eixo Z para o plano axonométrico através do rebatimento do seu plano projetante (que é ortogonal ao plano axono métrico), mas poder-se-ia ter rebatido qualquer dos outros dois eixos. A reta TQ (que é a perspetiva do eixo Z a reta suporte do segmento [TQ]) é a charneira é a reta de interseção do plano a rebater (o plano projetante do eixo Z) com o plano axonométrico (o plano para o qual se processa o rebatimento). Q é o ponto em que o plano projetante do eixo Z corta o lado [RS] do triângulo fundamental. Determi nou-se o ponto médio de [TQ] e desenhou-se a semicircunferência de que [TQ] é um diâmetro. A reta projetante de O, em rebatimento, fica perpendicular à charneira (que é a reta TQ a perspetiva do eixo Z) e é secante à semicir cunferência em O r. O eixo Z r fica definido por O r e T, que é fixo (T é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si pró prio). O triângulo [TO r Q] é retângulo em O r. Sobre o eixo Z r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representa ram-se as três coordenadas de A, em V.G. (4 cm de abcissa, 2 cm de afastamento e 5 cm de cota). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira, obtiveram-se, na perspetiva do eixo Z, as coordenadas de A já reduzidas sobre a perspetiva do eixo Z, a partir de O estão as perspetivas das três coordenadas de A (abcissa, afastamento e cota). Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportaram-se as perspetivas da abcissa e do afastamento para, respetivamente, a perspetiva do eixo X e a perspetiva do eixo Y. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto A determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (A 1, A 2 e A 3 ), recorrendo aos três paralelogramos de que as perspetivas das coordenadas são dois lados (duas a duas) e que têm um vértice em O e o outro na respetiva projeção de A. Em seguida, procedeu-se à (Continua na página seguinte) 104

determinação da perspetiva de A. Para tal, conduziu-se, pela perspetiva de A 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de A (que é paralela à perspetiva do eixo Z), pela perspetiva de A 2 conduziu-se a perspetiva da reta projetante frontal de A (que é paralela à perspetiva do eixo Y) e pela perspetiva de A 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de A (que é paralela à perspetiva do eixo X) as três retas intersetam- -se num ponto, que é a perspetiva propriamente dita de A, definindo a perspetiva de um paralelepípedo de que O e a perspetiva propria mente dita de A são dois vértices espacialmente opostos. 239. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é o que sofre uma redução isolada, sabe-se que a sua perspetiva faz, com as perspetivas dos outros dois eixos, dois ângulos iguais. As perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100 a diferença é 260 (360 100 = 260 ). Assim, a perspetiva do eixo Y fará, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos de 130 (260 : 2 = 130 ). Em seguida, desenharam-se apenas dois lados do triângulo fundamental, por serem suficientes para a resolução do problema. O eixo Y é aquele que sofre uma redução isolada o eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução. Conclui-se portanto que, entre o eixo X e o eixo Z, basta rebater apenas um deles e efetuar o transporte de um para o outro, conforme exposto no relatório do exercício anterior. Já o eixo Y, que possui um coeficiente de redução isolado, carece de rebatimento, pois não é possível efetuar nenhum transporte dos outros dois eixos para o eixo Y. Rebateu-se o eixo Y para o plano axonométrico, pelo processo exposto no relatório do exercício anterior para o eixo Z a charneira é a perspetiva do eixo Y e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Y. Sobre o eixo Y r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se o afastamento de M (4 cm) em V.G. em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, e obteve-se, sobre a perspetiva do eixo Y, a perspetiva do afastamento de M. Em seguida, rebateu-se o eixo Z para o plano axo nométrico (ver relatório do exercício anterior) a charneira é a perspetiva do eixo Z e o rebatimento do ponto O pro cessa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Z. Sobre o eixo Z r, a partir de O r, representou-se a abcissa e a cota de M (2 cm e 3 cm, respetivamente). Em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, e obtiveram-se, sobre a perspetiva do eixo Z, as perspetivas da abcissa e da cota de M. Com o recurso ao compasso e fazendo centro em O, transportou-se a perspetiva da abcissa de M para a perspetiva do eixo X. A partir das perspetivas das três coordenadas de M, determinaram-se as perspetivas das suas três projeções (M 1, M 2 e M 3 ), bem como a sua perspetiva propriamente dita, conforme exposto no relatório do exercí cio anterior. 240. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados o ângulo entre as perspetivas do eixo Z e do eixo Y é 110, pois o somatório dos três ângulos é 360. Em seguida desenharam-se os três lados do triângulo fun damental, por serem todos necessários para a resolução do problema os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos, pelo que é necessário rebater os três eixos. Rebateu-se o eixo Y para o plano axonométrico, pelo processo exposto no relatório do exercício 238 para o eixo Z a charneira é a perspetiva do eixo Y e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Y. Sobre o eixo Y r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se o afastamento de T (2 cm) em V.G. em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, e obteve-se, sobre a perspetiva do eixo Y, a perspetiva do afastamento de T. Em seguida, rebateu-se o eixo Z para o plano axonométrico, pelo processo exposto no relatório do exercício 238 a char neira é a perspetiva do eixo Z e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Z. Sobre o eixo Z r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a cota de T (3 cm) em V.G. em (Continua na página seguinte) 105

seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, e obteve-se, sobre a perspetiva do eixo Z, a perspetiva da cota de T. Por fim, rebateu-se o eixo X para o plano axonométrico, pelo processo exposto no relatório do exercício 238 para o eixo Z a charneira é a perspetiva do eixo X e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo X. Sobre o eixo X r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a abcissa de T (5 cm) em V.G. em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, e obteve-se, sobre a perspetiva do eixo X, a perspetiva da abcissa de T. A partir das perspetivas das três coordenadas de T, determinaram-se as perspetivas das suas três projeções (T 1, T 2 e T 3 ), bem como a sua perspetiva propriamente dita, conforme exposto no relatório do exercício 238. O eixo que sofre maior deformação perspética é o eixo X, pois é aquele que faz, com o plano axonométrico, o maior ângulo (o ângulo que o eixo X faz com o plano axonométrico é o ângulo entre o eixo X r e a perspetiva do eixo X). 241. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. Assim, a partir de O há que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. Começou-se, então, por desenhar as perspetivas dos três eixos coordenados, que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida desenharam-se dois lados do triângulo fundamental, por tal ser suficiente para a resolução do problema. Rebateu-se o eixo Y para o plano axonométrico (mas poder-se-ia ter rebatido qualquer dos outros dois eixos, pois os três eixos têm o mesmo coeficiente de redução), pelo processo exposto no relatório do exercício 238 para o eixo Z a charneira é a perspetiva do eixo Y e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o seu arco o rebatimento). O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Y. Sobre o eixo Y r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a medida da aresta do cubo (4 cm) em V.G. em seguida, inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, e obteve-se, sobre a perspetiva do eixo Y, a perspetiva medida da aresta do cubo, já reduzida. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportou-se a perspetiva da aresta do cubo para as perspetivas do eixo X e do eixo Y. A partir das arestas situadas em cada um dos eixos, e atendendo a que um cubo é um paralelepípedo particular, desenhou-se a a perspetiva do sólido, com um raciocínio semelhante ao exposto no relatório do exercício 238, para a determinação da perspetiva do paralelepípedo que nos permitiu determinar a perspetiva do ponto A. Note que se identificaram convenientemente as arestas invisíveis do sólido (que são precisamente as que estão contidas nos eixos coordenados). 242. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é o que sofre uma redução isolada, sabe-se que a sua perspetiva faz, com as perspetivas dos outros dois eixos, dois ângulos iguais. As perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 130 a diferença é 230 (360 130 = 230 ). Assim, a perspetiva do eixo Y fará, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos de 115 (230 : 2 = 115 ). Em seguida desenharam-se apenas dois lados do triângulo fundamental, por serem suficientes para a resolução do problema. O eixo Y é aquele que sofre uma redução isolada o eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução. Conclui-se portanto que, entre o eixo X e o eixo Z, basta rebater apenas um deles e efetuar o transporte de um para o outro, conforme exposto no relatório do exercício 238. Já o eixo Y, que possui um coeficiente de redução isolado, carece de rebatimento, pois não é possível efetuar nenhum transporte dos outros dois eixos para o eixo Y. Rebateu-se o eixo Y para o plano axonométrico, pelo processo exposto no relatório do exercício 238 para o eixo Z a charneira é a perspetiva do eixo Y e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira. O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Y. Graduou-se o eixo Y r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, de 0 a 5 unidades, uma vez que o afastamento máximo entre os três pontos é 5. Em seguida inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, e obteve-se a perspetiva do eixo Y graduada de 0 a 5 unidades. Em seguida, rebateu-se o eixo Z para o plano axonométrico (ver relatório do exercício 238) a charneira é a perspetiva do eixo Z e o rebatimento do ponto O processa-se numa perpendicular à charneira. O r é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo Z. Graduou-se o eixo Z r, a partir de O r e no sentido positivo do eixo, de 0 a 6 unidades, uma vez que entre as cotas e as abcissas dos três pontos, o valor máximo é 6. Em seguida inverteu-se o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, e obteve-se a perspetiva do eixo Z graduada de 0 a 6 unidades. Com o recurso ao compasso e fazendo centro em O, transportou-se a escala de 0 a 4 unidades para a perspetiva do eixo X (note que o valor máximo da abcissa entre os três pontos é 4). A partir da graduação já existente nas perspetivas dos três (Continua na página seguinte) 106

eixos, determinaram-se as perspetivas dos três pontos (ver relatório do exercício 238), bem como a perspetiva do triângulo. O ponto R é um ponto do plano XZ (tem afastamento nulo), pelo que se tem R R 2. O ponto S é um ponto do plano YZ (tem abcissa nula), pelo que se tem S S 3. Note que, se bem não sendo estritamente necessária, desenhou-se a perspetiva da projeção horizontal do triângulo [RST] esta constitui-se, apenas, como uma referência que permite uma melhor visualiza ção da forma no espaço, bem como a verificação do Critério de Reversibilidade. 243. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados, que fazem, entre si, ângulos de 120. Para determinar o coeficiente de redução dos três eixos, que é o mesmo, optou-se por rebater o plano XY para o plano axonométrico, mas poder-se-ia ter rebatido qualquer dos outros dois planos coordenados. Assim, desenhou - -se apenas um dos lados do triângulo fundamental [RST] (o lado [RS]), por este ser suficiente para a resolução do problema (recorda-se que nem sempre é necessária a representação da totalidade do triângulo fundamental). No rebatimento do plano XY, a charneira é a reta RS (a reta suporte do lado [RS] do triângulo fundamental), que é a reta de interseção do plano XY (o plano a rebater) com o plano axonométrico (o plano para o qual se processa o rebatimento). Determi nou-se o ponto médio de [RS] e desenhou-se a semicircunferência de que [RS] é um diâmetro. O rebatimento de O processa-se num plano ortogonal à charneira (o plano projetante do eixo Z) por O conduz-se uma perpendicu lar à charneira (que é a perspetiva do eixo Z) e o ponto em que esta corta a semicircunferência é O r. Os pontos R e S são fixos (rodam sobre si próprios), pois situam-se na charneira. O eixo X r fica definido por O r e R e o eixo Y r fica defi nido por O r e S. O triângulo [RO r S] é retângulo em O r. Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a abcissa de A em V.G. (3 cm). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, represen tou-se o afastamento e a cota de A em V.G. (5 e 2 cm, respetivamente). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (paralelas à perspetiva do eixo Z), obtiveram - -se as coordenadas de A, já reduzidas sobre a perspetiva do eixo X está a perspetiva da abcissa de A e sobre a perspetiva do eixo Y estão as perspetivas do afastamento e da cota de A. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportou-se a perspetiva da cota de A para a perspetiva do eixo Z. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto A determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (A 1, A 2 e A 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto A, conforme exposto no relatório do exercício 238. Note que se poderia ter representado a cota de A sobre o eixo X r e, após a inversão do rebatimento, ter efetuado o transporte da perspetiva da cota da perspetiva do eixo X para a perspetiva do eixo Z. 244. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é o que sofre uma redução isolada, sabe-se que a sua perspetiva faz, com as perspetivas dos outros dois eixos, dois ângulos iguais. As perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 110 a diferença é 250 (360 110 = 250 ). Assim, a perspetiva do eixo Y fará, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos de 125 (250 : 2 = 125 ). Uma vez que existem dois coeficientes de redução distintos e que o método do rebatimento dos planos coordenados nos permite rebater dois eixos em simultâneo, convirá que se rebata um plano coordenado que contenha dois eixos com coeficientes de redução distintos o plano XY ou o plano YZ. Note que o plano XZ contém dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que o rebatimento deste plano coordenado obrigar-nos-ia a um segundo rebatimento para determinar o coe ficiente de redução do eixo Y. Optou-se por rebater o plano XY. Nesse sentido, é suficiente representar o lado do triângulo fundamental que está contido na reta de interseção do plano XY com o plano axonométrico, que será a charneira do rebatimento. Determi nou-se o ponto médio desse lado do triângulo fundamental e desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro. O rebatimento de O processa-se num plano ortogonal à charneira (o plano projetante do eixo Z) por O conduz-se uma perpendicular à charneira (que é a perspetiva do eixo Z) e o ponto em que esta corta a semicircunferência é O r (ver relatório do exercício anterior). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se o afastamento de M em V.G. (4 cm). Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, repre sentaram-se a abcissa e a cota de M em V.G. (6 e 4 cm, respetivamente) recorde que o eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução. Invertendo o reba - timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (parale las à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se as coordenadas de M, já reduzidas sobre a perspetiva do eixo X estão as perspetiva da abcissa e da cota de M e sobre a perspetiva do eixo Y está a perspetiva do afastamento de M. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportou-se a perspetiva da cota de M para a perspetiva do eixo Z. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto M determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (M 1, M 2 e M 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto M, conforme exposto no relatório do exercício 238. 107

245. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados o ângulo entre as perspetivas do eixo Z e do eixo Y é 120, pois o somatório dos três ângulos é 360. Uma vez que existem três coeficientes de redução distintos e que o método do rebatimento dos planos coordenados nos permite rebater dois eixos em simultâneo, será necessário rebater dois planos coordenados. Começou-se por rebater o plano XY, para o que foi necessário representar o lado do triângulo fundamental que está contido na reta de interseção do plano XY com o plano axonométrico, que será a charneira do rebatimento. Determi nou-se o ponto médio desse lado do triângulo fundamental e desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro. O rebatimento de O processa-se num plano ortogonal à charneira (o plano projetante do eixo Z) por O conduz-se uma perpendicular à charneira (que é a perspetiva do eixo Z) e o ponto em que esta corta a semicircunferência é O r (ver relatório do exercício 242). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou- -se o afastamento de R em V.G. (5 cm). Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, repre sentou-se a abcissa de R em V.G. (4 cm). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (parale las à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se as perspetivas da abcissa e do afastamento de R, já reduzidas, sobre as perspetivas dos eixos correspondentes o eixo X e o eixo Y, respetivamente. Para determinar a perspetiva da cota de R é necessário rebater o eixo Z, o que se pode efetuar por dois processos distintos o do rebatimento do seu plano projetante (que nos permite rebater o eixo Z isoladamente), ou o do rebatimento de um plano coordenado que contenha o eixo Z (que irá repetir o rebatimento de um dos outros dois eixos, uma vez que o rebatimento dos planos coordenados rebate dois eixos em simultâneo). Optou-se pela segunda hipótese rebateu-se o o plano XZ, para o que foi necessário representar o lado do triângulo fundamental que está contido na reta de interseção do plano XZ com o plano axonométrico, que será a charneira do rebatimento. Determi nou-se o ponto médio desse lado do triângulo fundamental e desenhou-se a semicircunferência de que esse lado é um diâmetro. O rebatimento de O processa-se num plano ortogonal à charneira (o plano projetante do eixo Y) por O conduz-se uma perpendicular à charneira (que é a perspetiva do eixo Y) e o ponto em que esta corta a semicircunferência é O r (ver relatório do exercício 243). Neste rebatimento omitiu-se a representação do eixo X r, pois este já tinha sido utilizado no rebatimento do plano XY. Sobre o eixo Z r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a cota de R em V.G. (3 cm). Invertendo o reba - timento, com o recurso a uma perpendicular à charneira (parale la à perspetiva do eixo Y), obteve-se a perspetiva da cota de R, já reduzida, sobre a perspetiva do eixo Z. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto R, determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (R 1, R 2 e R 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto R, conforme exposto no relatório do exercício 238. 246. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. Assim, seguindo todas as etapas expostas no relatório do exercício anterior para a determinação das perspetivas da abcissa do ponto R (sobre a perspetiva do eixo X), do afastamento do ponto R (sobre a perspetiva do eixo Y) e da cota do ponto R (sobre a perspetiva do eixo Z), é possível representar, sobre cada uma das perspetivas dos três eixos, a medida da aresta do cubo e, dessa forma, desenhar a perspetiva do sólido (ver relatório do exercício 241). 247. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados, que fazem, entre si, ângulos de 120. Para determinar o coeficiente de redução dos três eixos, que é o mesmo, optou-se por rebater o plano XY para o plano axonométrico (conforme exposto no relatório do exercício 243), mas poder-se-ia ter rebatido qualquer dos outros dois planos coordenados. Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representaram-se as abcissas de B e C, em V.G. (5 e 3 cm, respetivamente A tem abcissa nula), bem como as cotas de A e B (5 e 2 cm, respetivamente C tem cota nula). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, represen taram-se os afastamentos de A, B e C, em V.G. (3, 1 e 5 cm, respetivamente). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (paralelas à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se as perspetivas das coordenadas, já reduzidas, sobre as perspetivas dos eixos correspondentes. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportaram-se as perspetivas das cotas de A e B para a perspetiva do eixo Z. A partir das perspetivas das três coordenadas de cada ponto, determinaram-se as perspetivas dos três pontos (ver relatório do exercício 238), bem como a perspetiva do triângulo. O ponto A é um ponto do plano YZ (tem abcissa nula), pelo que se tem A A 3. O (Continua na página seguinte) 108

ponto C é um ponto do plano XY (tem cota nula), pelo que se tem C C 1. Note que, se bem não sendo estritamente necessária, desenhou - -se a perspetiva da projeção horizontal do triângulo [ABC] esta constitui-se, apenas, como uma referência que permite uma melhor visualiza ção da forma no espaço, bem como a verificação do Critério de Reversibilidade. Note ainda que, sendo o triângulo [ABC] uma figura opaca, se assinalou convenientemente a parte da projeção horizontal do triângulo que é invisível, por estar oculta pela superfície do triângulo. 248. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados, que fazem, entre si, ângulos de 120. Para determinar o coeficiente de redução dos três eixos, que é o mesmo, optou-se por rebater o plano XY para o plano axonométrico (ver relatório do exercício 243) no entanto, com vista à utilização do método dos cortes, esse rebatimento processou-se para o interior da pirâmide axonométrica, e não para o seu exterior, como no exercício 243. Em seguida, efetuou-se a translação do plano XY, em rebatimento, ao longo da direção perpendicular à charneira do rebatimento (ao longo da perspetiva do eixo Z), para fora da pirâmide axonométrica. O ponto O r é o ponto O rebatido e após a translação efetuada segundo uma distância qualquer. O eixo X r é paralelo ao eixo X r, tal como o eixo Y r é paralelo ao eixo Y r. O plano XY, rebatido e transladado, é o plano X r O r Y r. Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a abcissa de M em V.G. (4 cm). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, represen tou-se o afastamento e a cota de M em V.G. (3 e 5 cm, respetivamente). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (paralelas à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se as coordenadas de M, já reduzidas sobre a perspetiva do eixo X está a perspetiva da abcissa de M e sobre a perspetiva do eixo Y estão as perspetivas do afastamento e da cota de M. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportou-se a perspetiva da cota de M para a perspetiva do eixo Z. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto M determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (M 1, M 2 e M 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto M, conforme exposto no relatório do exercício 238. Note que, no plano XY rebatido e transladado, se representou a projeção horizontal de M em rebatimento (M 1r ), em função da abcissa e do afastamento de M em V.G. a inversão do rebatimento, com o recurso a uma reta perpendicular à charneira que passa por M 1r, permite-nos obter a referência da perspetiva de M 1 e de M (que se situam na mesma reta projetante horizontal, cuja perspetiva coincide com a perpendicular à charneira que passa por M 1r ). Note ainda que se poderia ter representado a cota de M sobre o eixo X r e, após a inversão do rebatimento, ter efetuado o transporte da perspetiva da cota da perspetiva do eixo X para a perspetiva do eixo Z. 249. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é aquele cuja perspetiva faz ângulos iguais com as perspetivas dos outros dois eixos, o eixo Y é o que sofre uma redução isolada. A soma dos ângulos que a perspetiva do eixo Y faz com as perspetivas dos outros dois eixos é 250, pelo que as perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 110 (360 250 = 110 ). Uma vez que existem dois coeficientes de redução distintos e que o método dos cortes nos permite rebater dois eixos em simultâneo, convirá que se rebata um plano coordenado que contenha dois eixos com coeficientes de redução distintos o plano XY ou o plano YZ. Note que o plano XZ contém dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que o rebatimento deste plano coordenado obrigar-nos-ia a um segundo rebatimento para determinar o coeficiente de redução do eixo Y. Optou-se por rebater o plano XY. Nesse sentido, é suficiente representar o lado do triângulo fundamental que está contido na reta de interseção do plano XY com o plano axonométrico ver relatório do exercício anterior. Após o rebatimento do plano XY para o interior da pirâmide axonométrica, efetuou-se a translação do plano XY, em rebatimento, ao longo da direção perpendicular à charneira do rebatimento (ao longo da perspetiva do eixo Z), para fora da pirâmide axonométrica. O ponto O r é o ponto O rebatido e após a translação efetuada segundo uma distância qualquer. O eixo X r é paralelo ao eixo X r, tal como o eixo Y r é paralelo ao eixo Y r. O plano XY, rebatido e transladado, é o plano X r O r Y r. Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representaram-se a abcissa e a cota de A em V.G. (5 e 3 cm, respetivamente). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, represen tou-se o afastamento de A em V.G. (3 cm). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (paralelas à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se as coordenadas de A, já reduzidas sobre a perspetiva do eixo X estão as perspetivas da abcissa e da cota de A e sobre a perspetiva do eixo Y está a perspetiva do afastamento de A. Com o recurso ao compasso, e fa zendo centro em O, transportou-se a perspetiva da cota de A para a perspetiva do eixo Z (que tem o mesmo coeficiente de redução do eixo X). A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto A, determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (A 1, A 2 e A 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto A, conforme exposto no relatório do exercício 238. 109

250. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados o ângulo entre as perspetivas do eixo X e do eixo Y é 120, pois o somatório dos três ângulos é 360. Uma vez que existem três coeficientes de redução distintos e que o método dos cortes nos permite rebater dois eixos em simultâneo, será necessário rebater dois planos coordenados. Começou-se por rebater o plano XY, para o que é necessário representar o lado do triângulo fundamental que está contido na reta de interseção do plano XY com o plano axonométrico ver relatório do exercício 248. Rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora da pirâmide axonométrica ver exercício 248. O ponto O r é o ponto O rebatido e após a translação efetuada segundo uma distância qualquer. O eixo X r é o eixo X r após a translação, tal como o eixo Y r é o eixo Y r após a translação. O plano XY, rebatido e transladado, é o plano X r O r Y r. Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a abcissa de T em V.G. (4 cm). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, represen tou-se o afastamento de T em V.G. (4 cm). Invertendo o reba timento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira (paralelas à perspetiva do eixo Z), obtiveram-se aquelas coordenadas de T, já reduzidas sobre a perspetiva do eixo X está a perspetiva da abcissa de T e sobre a perspetiva do eixo Y está a perspetiva do afastamento de T. Para determinar o coeficiente de redução do eixo Z, há que rebater um dos planos coordenados que contém o eixo Z optou-se pelo plano YZ. Rebateu-se o plano YZ para o interior da pirâmide axonométrica O r1 é o ponto O rebatido pelo rebatimento do plano YZ. Em seguida, efetuou-se a translação do plano YZ rebatido para fora da pirâmide axonométrica, ao longo da direção perpendicular à charneira (a direção da perspetiva do eixo X), com uma distância qualquer. O ponto O r é o ponto O rebatido e após a translação efetuada. O eixo Z r é o eixo Z r após a translação (é paralelo ao eixo Z r ), tal como o eixo Y r é o eixo Y r, rebatido pelo rebatimento do plano YZ e após a translação daquele. O plano YZ, rebatido e transladado, é o plano Z r O r Y r. Sobre o eixo Z r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representou-se a cota de T em V.G. (4 cm). Invertendo o reba timento, com o recurso a uma reta perpendicular à charneira (paralela à perspetiva do eixo X), obteve-se a perspetiva da cota de T, já reduzida sobre a perspetiva do eixo Z está a perspetiva da cota de T. A partir das perspetivas das três coordenadas do ponto T, determinaram-se as perspetivas das suas projeções nas faces do triedro (T 1, T 2 e T 3 ), bem como a perspetiva propriamente dita do ponto T, conforme exposto no relatório do exercício 238. 251. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. Assim, seguindo todas as etapas expostas no relatório do exercício 249 para a determinação das perspetivas da abcissa do ponto A (sobre a perspetiva do eixo X), do afastamento do ponto A (sobre a perspetiva do eixo Y) e da cota do ponto A (sobre a perspetiva do eixo Z), é possível representar, sobre cada uma das perspetivas dos três eixos, a medida da aresta do cubo e, dessa forma, desenhar a perspetiva do sólido (ver relatório do exercício 241). 252. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício 250). Em se gui da, para determinar os coeficientes de redução dos eixos coordenados, procedeu-se ao rebatimento dos planos coordena dos, pelo método dos cortes, conforme exposto no relatório do exercício 250. Note, no entanto, que, no rebati mento do pla no YZ, se omitiu a representação do eixo Y rebatido, por este não ser necessário (já se havia rebatido no eixo Y no reba timento do plano XY). Sobre o eixo X r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representaram-se as abcis sas de A e B em V.G. (4 e 2 cm, respetivamente C tem abcissa nula). Sobre o eixo Y r, a par tir de O r e no sentido posi tivo do eixo, represen taram-se os afastamentos de A, B e C em V.G. (2, 5 e 3 cm, respetivamente). Sobre o eixo Z r, a par tir de O r e no sentido positivo do eixo, representaram-se as cotas de A e C em V.G. (1 e 6 cm, respetivamente B tem cota nula). Invertendo os rebatimentos, obtiveram-se, sobre as perspetivas dos eixos, as perspetivas das coordena das dos três pontos a partir das perspetivas (Continua na página seguinte) 110

das três coordenadas de cada ponto, determinaram-se as suas perspetivas (ver rela tório do exercício 238), bem como a perspetiva do triângulo. O ponto B é um ponto do plano XY (tem cota nula), pelo que se tem B B 1. O ponto C é um ponto do plano YZ (tem abcissa nula), pelo que se tem C C 3. Note que, se bem não sendo estritamente necessária, se desenhou a perspetiva da projeção horizontal do triângulo [ABC] esta cons titui-se, apenas, como uma referência que permite uma melhor visualiza ção da forma no espaço, bem como a verificação do Critério de Reversibilidade. Note ainda que, sendo o triângulo [ABC] uma figura opaca, se assinalou con venientemente a parte da projeção horizontal do triângulo que é invisível, por estar oculta pela superfície do triân gulo. 253. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida, atendendo a que, numa perspetiva isométrica normalizada, os coeficientes de redução são desprezados (considera-se que não existe deformação), representaram-se as coordenadas de A sobre os respetivos eixos, diretamente em V.G. a partir das coordenadas do ponto A sobre os respetivos eixos, determinaram-se as perspetivas de A, conforme exposto no relatório do exercício 238. 254. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspetivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 97, enquanto que os outros dois ângulos têm 131 30 de amplitude. Segundo os coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. A abcissa e a cota de T, referentes, respetivamente, ao eixo X e ao eixo Y, representam-se, assim, em V.G. sobre os respetivos eixos. O afastamento de T representa-se sobre o eixo Y multiplicado pelo coeficiente de redução normalizado (6 cm 0,5 = 3 cm). A partir das coordenadas de T sobre os respetivos eixos, determinaram-se as perspetivas do ponto conforme exposto no relatório do exercício 238. 255. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspetivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 95 e as perspetivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 108 (o ângulo entre as perspetivas do eixo X e do eixo Y é o ângulo restante 157 ). Os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. O coeficiente de redução do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), pelo que a cota de M se representa diretamente em V.G., sobre a perspetiva do eixo Z. O coeficiente e redução do eixo X é 0,9, pelo que a abcissa de M é multiplicada por aquele valor sobre o eixo X representa-se 4,5 cm (5 cm 0,9), sendo esse o valor da perspetiva da abcissa de M. O coeficiente de redução do eixo Y é 0,5, pelo que o afastamento de M é multiplicado por aquele valor sobre o eixo Y representa-se 3 cm (6 cm 0,5), sendo esse o valor da perspetiva do afastamento de M. A partir das coordenadas de M sobre os respetivos eixos, determinaram-se as perspetivas do ponto, conforme exposto no relatório do exercício 238. 256. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados ver relatório do exercício 254. Numa perspetiva dimétrica normalizada, o eixo X e o eixo Z têm um coeficiente de redução que é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. Segundo o acima exposto, as arestas do cubo que estão contidas no eixo X e no eixo Z medem-se em V.G., pois o coeficiente de redução desses eixos é desprezado. Já a aresta que está contida no eixo Y é afetada pelo coeficiente de redução 0,5, pelo que há que medir, no eixo Y, 2 cm (4 cm 0,5). A partir dos comprimentos das arestas do cubo sobre os respetivos eixos, desenhou-se a perspetiva do sólido (ver exercício 241 e respetivo relatório), atendendo às invisibilidades observadas. 111

257. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados ver relatório do exercício 255. Numa perspetiva trimétrica normalizada, o eixo Z tem um coeficiente de redução que é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo X apresenta um coeficiente de redução de 0,9 e o eixo Y um coeficiente de redução de 0,5. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. Segundo o acima exposto, a aresta do cubo que está contida no eixo Z mede-se em V.G., pois o coeficiente de redução desse eixo é desprezado. A aresta que está contida no eixo X é afetada pelo coeficiente de redução 0,9, pelo que há que medir, no eixo X, 4,5 cm (5 cm 0,9). A aresta que está contida no eixo Y é afetada pelo coeficiente de redução 0,5, pelo que há que medir, no eixo Y, 2,5 cm (5 cm 0,5). A partir dos comprimentos das arestas do cubo sobre os respetivos eixos, desenhou-se a perspetiva do sólido (ver exercício 241 e respetivo relatório), atendendo às invisibilidades observadas. 258. O lado [AB] do quadrado [ABCD] é paralelo ao eixo Y e a figura está contida no plano XY, pelo que se conclui que dois lados do polígono são paralelos ao eixo Y, enquanto que os outros dois são paralelos ao eixo X. Começou-se, então, por desenhar as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema. Rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 248). Sobre o plano XY rebatido e transladado (o plano X r O r Y r ) representou-se A r (o ponto A em rebatimento), em função da sua abcissa e do seu afastamento (A tem cota nula). Em seguida desenhou-se o quadrado [A r B r C r D r ], com 4 cm de lado e de acordo com as premissas acima, em V.G. (em rebatimento). A partir do quadrado rebatido obtiveram-se, sobre os eixos em rebatimento, as abcissas e os afastamentos de todos os vértices do polígono, em V.G. (o quadrado tem cota nula). Inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira do rebatimento, obtendo as perspetivas daquelas coordenadas sobre as perspetivas dos respetivos eixos. A partir das abcissas e dos afastamentos dos pontos A, B, C e D, determinaram-se as suas perspetivas, obtendo a perspetiva do quadrado [ABCD]. Sobre o eixo X r e a partir de O r, representou-se, em V.G., a medida da aresta do cubo invertendo o rebatimento, obteve-se a medida da aresta do cubo reduzida sobre a perspetiva do eixo X, que se transportou para a perspetiva do eixo Z, com o recurso ao compasso (os três eixos apresentam o mesmo coeficiente de redução). Obteve-se, dessa forma, a perspetiva da cota da face superior do cubo. Em função daquela, determinaram-se as perspetivas dos vértices da face superior do cubo, desenhando-se a sua perspetiva, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades. 259. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é aquele sofre uma redução isolada, sabe-se que a sua perspetiva faz, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos iguais. As perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100 a diferença é 260 (360 100 = 260 ). Assim, a perspetiva do eixo Y fará, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos de 130 (260 : 2 = 130 ). Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema. Uma vez que o triângulo está contido no plano YZ, rebateu-se o plano YZ para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 247). Sobre o plano YZ rebatido e transladado, representaram-se A r e B r, em função das suas coordenadas (afastamento e cota, pois os dois pontos têm abcissa nula). O triângulo está contido no plano YZ, pelo que, no rebatimento do plano YZ, o triângulo está em V.G. a partir de A r e B r construiu-se um triângulo equilátero [A r B r C r ], garantindo que C tenha cota positiva (C r tem de situar para cima do eixo Y r ). Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira. Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira, obteve-se a perspetiva de A sobre a perspetiva (Continua na página seguinte) 112

do eixo Z (A é um ponto do eixo Z) A 2 A e a perspetiva de A 1 está coincidente com O. Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira e obteve-se a perspetiva de B sobre a perspetiva do eixo Y (B é um ponto do eixo Y) B 1 B, pois B tem cota nula. Para determinar a perspetiva de C recorreu-se às perspetivas das suas projeções horizontal e frontal. C é um ponto do plano YZ (tem abcissa nula), pelo que C 1, a sua projeção horizontal, se situa no eixo Y, tal como C 2 a sua projeção frontal, se situa no eixo Z. Assim, conduzindo, por C r, uma paralela ao eixo Y r, obteve-se C 2r sobre o eixo Z r C 2r é a projeção frontal de C em rebatimento. De forma semelhante, conduzindo uma paralela ao eixo Z r por C r, obteve-se C 1r sobre o eixo Y r C 1r é a projeção horizontal de C em rebatimento. A perspetiva de C 2 obteve-se de forma idêntica à exposta para A. A perspetiva de C 1 obteve-se de forma idêntica à exposta para B. A partir das perspetivas de C 2 e C 1, determinou - -se a perspetiva de C C é o ponto de concorrência da projetante frontal que passa por C 2 e da projeção horizontal que passa por C 1. A partir das perspetivas dos três pontos, desenhou-se a perspetiva do triângulo [ABC]. 260. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados o ângulo entre as perspetivas do eixo Y e do eixo Z tem 130 de amplitude, uma vez que a soma dos três ângulos é 360. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema. Uma vez que o quadrado está contido no plano XZ, rebateu- -se o plano XZ para o inte rior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 247). Note que, apesar do eixo Y possuir um coeficiente de redução diferente, não é necessário o rebatimento do eixo Y, pois todos os vértices do quadrado têm afastamento nulo não há que determinar a perspetiva de qualquer afastamento. Sobre o plano XZ rebatido e transladado, representaram-se A r e B r, em função das suas coordenadas (abcissa e cota, pois os dois pontos têm afastamento nulo). O quadrado está contido no plano XZ, pelo que, no rebatimento do plano XZ, o quadrado está em V.G. a partir de A r e B r construiu-se um quadrado [A r B r C r D r ], garantindo que A é o vértice inferior (todos os outros vértices têm cota superior a A). Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira. Conduzindo, por A r, uma perpendicular à charneira, obteve-se a perspetiva de A sobre a perspetiva do eixo X (A é um ponto do eixo X) A 1 A e a perspetiva de A 3 está coincidente com O. Por B r conduziu-se uma perpendicular à charneira e obteve-se a perspetiva de B sobre a perspetiva do eixo Z (B é um ponto do eixo Z) B 3 B, pois B tem abcissa nula. Para determinar as perspetivas de C e D recorreu-se às perspetivas das suas projeções horizontal e lateral. C é um ponto do plano XZ (tem afastamento nulo), pelo que C 1, a sua projeção horizontal, se situa no eixo X, tal como C 3, a sua projeção lateral, se situa no eixo Z. Assim, conduzindo, por C r, uma paralela ao eixo X r, obteve-se C 3r sobre o eixo Z r C 3r é a projeção lateral de C em rebatimento. De forma semelhante, conduzindo uma paralela ao eixo Z r por C r, obteve-se C 1r sobre o eixo X r C 1r é a projeção horizontal de C em rebatimento. A perspetiva de C 3 obteve-se de forma idêntica à exposta para B. A perspetiva de C 1 obteve-se de forma idêntica à exposta para A. A partir das perspetivas de C 3 e C 1, determinou-se a perspetiva de C C é o ponto de concorrência da projetante lateral que passa por C 3 e da projeção horizontal que passa por C 1. O ponto D é também um ponto do plano XZ, pelo que D 1 também se situa no eixo X, tal como D 3 também se situa no eixo Z. Assim, conduzindo, por D r, uma paralela ao eixo X r, obteve-se D 3r sobre o eixo Z r D 3r é a projeção lateral de D em rebati mento. De forma semelhante, conduzindo uma paralela ao eixo Z r por D r, obteve-se D 1r sobre o eixo X r D 1r é a projeção horizontal de D em rebatimento. A perspetiva de D 3 obteve - -se de forma idêntica à exposta para B. A perspetiva de D 1 obteve-se de forma idêntica à exposta para A. A partir das perspetivas de D 3 e D 1, determinou-se a perspetiva de D D é o ponto de concorrência da projetante lateral que passa por D 3 e da projeção horizontal que passa por D 1. A partir das perspetivas dos quatro pontos, desenhou-se a perspetiva do quadrado [ABCD]. 261. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados (ver exercício 254 e respetivo relatório). Nos coeficientes de redução normalizados, o coeficiente de redução do eixo X e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo Y apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objeto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respetiva aresta do sólido. As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Z (6 e 5 cm, respetivamente) representam-se em V.G., uma vez que o coeficiente de deformação daqueles eixos é desprezado. A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5 mede-se 2,5 cm (5 cm 0,5). A partir das medições efetuadas sobre os eixos, construíram - -se as perspetivas das projeções do objeto sobre os respetivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. 113

24 AXONOMETRIAS CLINOGONAIS (OU OBLÍQUAS): CAVALEIRA E PLANOMÉTRICA 262. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos da direção das projetantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 120 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 150 (que é outro ângulo obtuso). A abcissa e a cota de A representaram-se em V.G. nos respetivos eixos (eixo X e eixo Z, respetivamente), obtendo imediatamente a projeção frontal de A A 2. O afastamento de A, porque existe no eixo Y, está afetado pela deformação inerente à projeção do eixo. Para determinar a deformação, rebateu-se o plano projetante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) a charneira é a própria perspetiva do eixo Y. O eixo Y rebatido (o eixo Y r ) fica perpendicular à perspetiva do eixo Y. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo (é um ponto da charneira). A partir de O mediu-se, sobre o eixo Y r, o afastamento de A em V.G. (4 cm), obtendo um ponto P r P é um ponto do eixo Y com o afastamento de A. Por P r conduziu-se uma reta r r r r é a reta projetante do ponto P, em rebatimento. A inclinação das projetantes é 50, pelo que o ângulo que a reta r faz, no espaço, com o plano axonométrico, é de 50 esse ângulo, em rebatimento, está no ângulo que a reta r r faz com a perspetiva do eixo Y. O ponto de interseção de r r com a perspetiva do eixo Y é a perspetiva de P (é o vértice do ângulo entre r r e a perspetiva do eixo Y). A partir de O e da perspetiva de P construiu-se o paralelogramo de que [OP] é um lado e de que a abcissa de A é outro lado o vértice do paralelogramo que é oposto a O é a perspetiva de A 1 (a perspetiva da projeção horizontal de A). Em seguida construiu-se outro paralelogramo, de que [OP] é um lado e de que a cota de A é outro lado o vértice oposto a O é a perspetiva de A 3 (a perspetiva da projeção lateral de A). Por fim procedeu-se à determinação da perspetiva de A. Para tal conduziu-se, pela perspetiva de A 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de A (que é paralela ao eixo Z), pela perspetiva de A 2 conduziu-se a perspetiva da reta projetante frontal de A (que é paralela à perspetiva do eixo Y) e pela perspetiva de A 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de A (que é paralela ao eixo X) as três retas intersetam-se num ponto, que é a perspetiva propriamente dita de A, definindo a perspetiva de um paralelepípedo de que O e a perspetiva propriamente dita de A são dois vértices espacialmente opostos. 263. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z ângulos de 45 (ângulos agudos). Sobre a determinação das perspetivas do ponto M, ver relatório do exercício anterior, uma vez que se mantiveram todos os raciocínios e traçados, pois os exercícios são idênticos diferindo, apenas, nas condições da perspetiva e nas coordenadas do ponto. 264. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos da direção das projetantes se referem ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 45 (que é um ângulo agudo) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 135 (que é um ângulo obtuso). O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. As arestas que estão sobre o eixo X e o eixo Z mediram-se diretamente em V.G., pois naqueles eixos não existe defor mação. Para determinar a deformação do eixo Y, rebateu-se o plano projetante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) a charneira é a própria perspetiva do eixo Y. O eixo Y r fica perpendicular à perspetiva do eixo Y. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo. A partir de O mediu-se, sobre o (Continua na página seguinte) 114

eixo Y r, o comprimento da aresta do cubo (5 cm), obtendo um ponto P r P é um ponto do eixo Y que está a 5 cm de O. Por P r conduziu-se uma reta r r r r é a reta projetante do ponto P, em rebatimento. O ângulo da inclinação das projetantes (45 ), em rebatimento, está no ângulo que a reta r r faz com a perspetiva do eixo Y. O ponto de interseção de r r com a perspetiva do eixo Y é a perspetiva de P (é o vértice do ângulo entre r r e a perspetiva do eixo Y). A partir das arestas situadas em cada um dos eixos, e atendendo a que um cubo é um paralelepípedo particular, desenhou-se a perspetiva do sólido, com um raciocínio semelhante ao exposto no relatório do exercício 262 para a determinação da perspetiva do paralelepípedo que nos permitiu determinar a perspetiva do ponto A. Note que se identificaram convenientemente as arestas invisí veis do sólido. 265. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Tratando-se de uma perspetiva planométrica, o plano axonométrico é o plano XY (note que os ângulos da direção das projetantes se referem ao eixo X e ao eixo Y) o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 120 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 150 (que é outro ângulo obtuso). A perspetiva do eixo Z desenha-se na vertical. A abcissa e o afastamento de M representaram-se em V.G. nos respetivos eixos (eixo X e eixo Y, respetivamente), obtendo imediatamente a projeção horizontal de M M 1. A cota de M, porque existe no eixo Z, está afetada pela deformação inerente à projeção do eixo. Para determinar a deformação, rebateu-se o plano projetante do eixo Z para o plano axonométrico (o plano XY) a charneira é a própria perspetiva do eixo Z. O eixo Z rebatido (o eixo Z r ) fica perpendicular à perspetiva do eixo Z. O ponto O roda sobre si próprio, pois é fixo (é um ponto da charneira). A partir de O mediu-se, sobre o eixo Z r, a cota de M em V.G. (5 cm), obtendo um ponto P r P é um ponto do eixo Z com a cota de M. Por P r conduziu-se uma reta r r r r é a reta projetante do ponto P, em rebatimento. A inclinação das projetantes é 60, pelo que o ângulo que a reta r faz, no espaço, com o plano axonométrico, é de 60 esse ângulo, em rebatimento, está no ângulo que a reta r r faz com a perspetiva do eixo Z. O ponto de interseção de r r com a perspetiva do eixo Z é a perspetiva de P (é o vértice do ângulo entre r r e a perspetiva do eixo Z). A partir de O e da perspetiva de P construiu-se o paralelogramo de que [OP] é um lado e de que a abcissa de M é outro lado o vértice do paralelogramo que é oposto a O é a perspetiva de M 2 (a perspetiva da projeção frontal de M). Em seguida construiu-se outro paralelogramo, de que [OP] é um lado e de que o afastamento de M é outro lado o vértice oposto a O é a perspetiva de M 3 (a perspetiva da projeção lateral de M). Por fim procedeu-se à determinação da perspetiva de M. Para tal conduziu-se, pela perspetiva de M 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de M (que é paralela à perspetiva do eixo Z), pela perspetiva de M 2 conduziu-se a perspetiva da reta projetante frontal de M (que é paralela ao eixo Y) e pela perspetiva de M 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de M (que é paralela ao eixo X) as três retas intersetam-se num ponto, que é a perspetiva propriamente dita de M, definindo a perspetiva de um paralelepípedo de que O e a perspetiva propriamente dita de M são dois vértices espacialmente opostos. 266. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XY, o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z ângulos de 135 (ângulos obtusos) e desenha-se na vertical. Sobre a determinação das perspetivas do ponto P, ver relatório do exercício anterior, uma vez que se mantiveram todos os raciocínios e traçados, pois os exercícios são idênticos diferindo, apenas, nas condições da perspetiva e nas coordenadas do ponto. 267. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XY, o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 135 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte posi tiva do eixo Y, um ângulo de 45 (que é um ângulo agudo). O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. As arestas que estão sobre o eixo X e o eixo Y mediram-se diretamente em V.G., pois naqueles eixos não existe defor mação. Para determinar a deformação do eixo Z, rebateu-se o plano projetante do eixo Z para o plano axonométrico (o plano XY) a charneira é a própria perspetiva do eixo Z. O eixo Z r fica perpendi cular à perspetiva do eixo Z. O ponto O roda (Continua na página seguinte) 115

sobre si próprio, pois é fixo. A partir de O mediu-se, sobre o eixo Z r, o comprimento da aresta do cubo (4 cm), obtendo um ponto. Por esse ponto conduziu-se uma reta r r r r é a reta projetante desse ponto, em rebatimento. O ângulo da inclinação das projetantes (40 ), em rebatimento, está no ângulo que a reta r r faz com a perspetiva do eixo Z. O ponto de interseção de r r com a perspetiva do eixo Z é a perspetiva do extremo superior da aresta do cubo que está contida no eixo Z. A partir das arestas situadas em cada um dos eixos, e atendendo a que um cubo é um paralelepípedo particular, desenhou-se a a perspetiva do sólido, com um raciocínio semelhante ao exposto no relatório do exercício 265 para a determinação da perspetiva do paralelepípedo que nos permitiu determinar a perspetiva do ponto M. Note que se identificaram convenientemente as arestas invisí veis do sólido. 268. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que são dados os ângulos que a perspetiva do eixo Y faz com as partes positivas dos outros dois eixos, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (ângulos obtusos). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico o eixo Y rebatido (eixo Y r ) fica coincidente com o eixo Z. A partir das coordenadas do ponto A, representou-se o ponto em Dupla Projeção Ortogonal A 2 é a projeção frontal de A e A 1r é a projeção horizontal do ponto A, no rebatimento do plano XY (no qual existe a projeção horizontal do ponto). Para determinar a deformação do afastamento do ponto A, procedeu-se ao rebatimento do plano projetante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) a charneira é a própria perspetiva do eixo Y. O eixo Y rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante (o eixo Y r1 ) fica perpendicular à perspetiva do eixo Y. Com o recurso ao compasso, e fazendo centro em O, desenhou-se um arco de circunferência com o raio igual ao afastamento de A esse arco tem os seus extremos nos dois rebatimentos do eixo Y no eixo Y r (em P r ) e no eixo Y r1 (em P r1 ). Em seguida, recorrendo a uma reta projetante em rebatimento, determinou-se a deformação do afastamento de A sobre a perspetiva do eixo Y, conforme exposto no relatório do exercício 262. P é a perspetiva de um ponto P, do eixo Y, com o afastamento do ponto A. Por P r e pela perspetiva de P conduziu-se uma reta d a reta d é a direção de afinidade, que nos permite inverter o rebatimento do plano XY (o rebatimento o plano XY sobre o plano axonomético). As projeções do ponto A (projeção frontal e projeção horizontal) são dois extremos da linha de chamada do ponto A a linha de chamada de A tem extremos em A 1 e em A 2 e é quebrada no eixo X (tem um vértice em A 0 ). A parte da linha de chamada de A que está contida no plano XY é o segmento [A 0 A 1 ] em rebatimento, é o segmento [A 0 A 1r ]. A perspetiva desse segmento tem extremo em A 0 e é paralela à perspetiva do eixo Y. Desenhou-se a reta suporte desse segmento. Por A 1r conduziu-se uma reta paralela à reta d (a direção de afinidade) o ponto em que esta interseta a paralela à perspetiva do eixo Y que passa por A 0 é A 1 (a perspetiva da projeção horizontal de A). Já temos três lados do paralelogramo [A 0 A 1 PO] concluiu-se a construção do paralelogramo e desenhou-se o outro paralelogramo que está contido no plano YZ e de que A 3 (a perspetiva da projeção lateral de A) é o vértice oposto a O. A partir das três projeções de A (em perspetiva), determinou-se a perspetiva do ponto A, conforme exposto no relatório do exercício 262. 269. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Tratando-se de uma perspetiva planométrica, o plano axonométrico é o plano XY. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 110 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 160 (que é outro ângulo obtuso). A perspetiva do eixo Z desenha-se na vertical. Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico o eixo Z rebatido (eixo Z r ) fica coincidente com o eixo Y. A partir das coordenadas do ponto M, representou-se o ponto em Dupla Projeção Ortogonal M 1 é a projeção horizontal de M e M 2r é a projeção frontal do ponto M, no rebatimento do plano XZ (no qual existe a projeção frontal do ponto). Para determinar a deformação da cota do ponto M, procedeu-se ao rebatimento do plano projetante do eixo Z para o plano axonométrico (o plano XY) a charneira é a própria perspetiva do eixo Z. O eixo Z rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante (o eixo Z r1 ) fica perpendicular à perspetiva do eixo Z. Com o recurso ao compasso, e fazendo centro em O, desenhou-se um arco de circunferência com o raio igual à cota de M esse arco tem os seus extremos nos dois rebatimentos do eixo Z no eixo Z r (em P r ) e no eixo Z r1 (em P r1 ). Em seguida, recorrendo a uma reta projetante em rebatimento, determinou- -se a deformação da cota de M sobre a perspetiva do eixo Z, conforme exposto no relatório do exercício 265. P é a perspetiva de um ponto P, do eixo Z, com a cota do ponto M. Por P r e pela perspetiva de P conduziu-se uma reta d a reta d (Continua na página seguinte) 116

é a direção de afinidade, que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ (o rebatimento o plano XZ sobre o plano axonomético). As projeções do ponto M (projeção frontal e projeção horizontal) são dois extremos da linha de chamada do ponto M a linha de chamada de M tem extremos em M 1 e em M 2 e é quebrada no eixo X (tem um vértice em M 0 ). A parte da linha de chamada de M que está contida no plano XZ é o segmento [M 0 M 2 ] em rebatimento, é o segmento [M 0 M 2r ]. A perspetiva desse segmento tem extremo em M 0 e é paralela à perspetiva do eixo Z. Desenhou-se a reta suporte desse segmento. Por M 2r conduziu-se uma reta paralela à reta d (a direção de afinidade) o ponto em que esta interseta a paralela à perspetiva do eixo Z que passa por M 0 é M 2 (a perspetiva da projeção frontal de M). Já temos três lados do paralelogramo [M 0 M 2 PO] concluiu-se a construção do paralelogramo e desenhou-se o outro paralelogramo que está contido no plano YZ e de que M 3 (a perspetiva da projeção lateral de M) é o vértice oposto a O. A partir das três projeções de M (em perspetiva), determinou-se a perspetiva propriamente dita do ponto M, conforme exposto no relatório do exercício 265. 270. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, a perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados). Sobre o eixo X e o eixo Z representaram-se, em V.G., a abcissa e a cota de P, respetivamente. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo Y é 0,5, pelo que o afastamento de P (6 cm) tem de ser multiplicado por aquele valor sobre a perspetiva do eixo Y, a partir de O, mediram-se 3 cm (que é 6 cm 0,5), que corresponde à perspetiva do afastamento de P. Em seguida, determinaram-se as perspetivas do ponto P, de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 262. 271. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspetiva planométrica normalizada, a perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. Sobre o eixo X e o eixo Y representaram-se, em V.G., a abcissa e o afastamento de A, respetivamente. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo Z é 2/3, pelo que a cota de A (6 cm) tem de ser multiplicado por aquele valor sobre a perspetiva do eixo Z, a partir de O, mediram-se 4 cm (que é 6 cm 2/3), que corresponde à perspetiva da cota de A. Em seguida, determinaram-se as perspetivas do ponto A, de acordo com os procedimentos expostos no relatório do exercício 265. 272. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano YZ, a perspetiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados). O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. As arestas que estão sobre o eixo Y e o eixo Z mediram-se diretamente em V.G. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo X é 0,5, pelo que o comprimento da aresta do cubo que está contida no eixo X é afetada por aquele coeficiente de redução sobre a perspetiva do eixo X, a partir de O, mediram-se 2 cm (que é 4 cm 0,5). A partir das arestas situadas em cada um dos eixos, e atendendo a que um cubo é um paralelepípedo particular, desenhou-se a perspetiva do sólido, com um raciocínio semelhante ao exposto no relatório do exercício 262 para a determinação da perspetiva do paralelepípedo que nos permitiu determinar a perspetiva do ponto A. Note que se identificaram convenientemente as arestas invisí veis do sólido (que são precisamente as que estão contidas nos eixos coordenados). 117

273. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspetiva planométrica normalizada, a perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O cubo pretendido apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do cubo estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos vértices do cubo é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da aresta do cubo. As arestas que estão sobre o eixo X e o eixo Y mediram-se diretamente em V.G. O coeficiente de deformação normalizado para o eixo Z é 2/3, pelo que o comprimento da aresta do cubo que está contida naquele eixo (4 cm) tem de ser multiplicado por aquele valor note que, no presente caso, esse valor não é um valor exato (4 cm 2/3 = 2,6666 ). Assim, para obter a medida dessa aresta já reduzida (em perspetiva), optou-se por recorrer ao processo geométrico para a divisão de um segmento num qualquer número de partes iguais, processo esse que foi objeto de estudo na disciplina de Educação Visual dos 7. o, 8. o e 9. o anos de escolaridade. Pretende-se representar, sobre a perspetiva do eixo Z, a partir de O, 2/3 de 4 cm. Em primeiro lugar desenhou-se um segmento de reta, com extremidade em O e uma direção diferente da da perspetiva do eixo Z, com um comprimento cujos 2/3 sejam de determinação direta. [OA] é o segmento pretendido tem extremidade em O, não é paralelo à perspetiva do eixo Z e O A = 6 cm (repare que 6 cm 2/3 = 4 cm, que é um valor exato). [OA] é perpendicular à perspetiva do eixo Z, mas poderia ser oblíquo. B é o ponto da perspetiva do eixo Z tal que O B = 4 cm (que é 2/3 6 cm). A reta que passa por A e por B é a reta que relaci ona os comprimentos em V.G. com os seus transformados a 2/3, o que quer dizer que qualquer comprimento sobre a semirreta OA é transformado, através de retas paralelas a AB, em 2/3 da sua dimensão sobre a perspetiva do eixo Z. M é um ponto da semirreta OA tal que O M = 4 cm (a medida da aresta do cubo). Por M conduziu-se uma paralela a AB o ponto N é o ponto em que aquela concorre com a perspetiva do eixo Z. O ponto N é um ponto tal que O N = 2/3 O M. O N = 2/3 4 cm, pelo que [ON] é a perspetiva da aresta do cubo que está contida no eixo Z. A partir das arestas do cubo que estão contidas nos eixos, desenhou-se a perspetiva do sólido, atendendo às respetivas invisibilidades. 274. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projetantes são relacionados ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 150 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 120 (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto no relatório do exercício 268, e representaram-se os três pontos em Dupla Projeção Ortogonal. Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, conforme exposto no relatório do exercício 268, e inverteu-se o rebatimento do plano XY, determinando, dessa forma, as perspetivas dos três pontos R, S e T (aconselha-se a leitura do relatório do exercício 267). R é um ponto do plano XZ (tem afastamento nulo), pelo que se tem R R 2. S é um ponto do eixo Y, pelo que se tem S S 1 S 3. A partir das perspetivas dos três pontos desenhou-se a perspetiva do triângulo. Note que, se bem não sendo estritamente necessária, se desenhou a perspetiva da projeção horizontal do triângulo [RST] esta constitui-se, apenas, como uma referência que permite uma melhor visualiza ção da forma no espaço, bem como a verificação do Critério de Reversibilidade. 275. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Tratando-se de uma perspetiva planométrica, o plano axonométrico é o plano XY. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 140 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 130 (que é outro ângulo obtuso). A perspetiva do eixo Z desenha-se na vertical. Em seguida, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto no relatório do exercício 269, e representaram-se os três pontos em Dupla Projeção Ortogonal. Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, conforme exposto no relatório do exercício 269, e inverteu-se o rebatimento do plano XZ, determinando, dessa forma, as perspetivas dos três pontos (Continua na página seguinte) 118

A, B e C (aconselha-se a leitura do relatório do exercício 269). B é um ponto do plano XZ (tem afastamento nulo), pelo que se tem B B 2. C é um ponto do plano XY (tem cota nula), pelo que se tem C C 1. A partir das perspetivas dos três pontos desenhou-se a perspetiva do triângulo. Note que, se bem não sendo estritamente necessária, se desenhou a perspetiva da projeção horizontal do triângulo [ABC] esta constitui-se, apenas, como uma referência que permite uma melhor visualiza ção da forma no espaço, bem como a verificação do Critério de Reversibilidade. Note ainda que, sendo o triângulo [ABC] uma figura opaca, se assinalou convenientemente a parte da projeção horizontal do triângulo que é invisível, por estar oculta pela superfície do triângulo. 276. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XZ, a perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos, ângulos de 135 (os ângulos normalizados). O sólido dado apoia-se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objeto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respetiva aresta do sólido. As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Z (6 e 5 cm, respetivamente) representam-se em V.G. A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 0,5 mede-se 2,5 cm (5 cm 0,5). A partir das medições efetuadas sobre os eixos, construíram-se as perspetivas das projeções do objeto sobre os respetivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. 277. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspetiva planométrica normalizada, a perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos, ângulos de 135 (os ângulos normalizados) e representa-se convencionalmente na vertical. O sólido dado apoia- -se, por três das suas faces, sobre os planos coordenados, pelo que três arestas do objeto estão necessariamente contidas nos eixos coordenados e um dos seus vértices é a origem do referencial o ponto O. A partir de O há, então, que representar, sobre cada eixo, a medida da respetiva aresta do sólido. As medidas das arestas contidas no eixo X e no eixo Y (6 e 5 cm, respetivamente) representam-se em V.G. A medida da aresta contida no eixo Y representa-se multiplicada pelo coeficiente de redução normalizado, que é 2/3 nesta situação, e à semelhança do exposto no relatório do exercício 273, não é um valor exato (5 cm 2/3 = 3,33333...). Assim, tal como exposto no relatório do exercício 273, recorreu-se ao processo da divisão de um qualquer segmento de reta em partes iguais, pelo que se aconselha a leitura daquele relatório com o acompanhamento da resolução gráfica apresentada. A partir dos comprimentos das arestas do sólido sobre os respetivos eixos, construíram-se as projeções do objeto sobre os respetivos planos coordenados, baseadas em paralelas aos eixos. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. 119

25 REPRESENTAÇÃO AXONOMÉTRICA DE FORMAS BI E TRIDIMENSIONAIS 278. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema (ver exercício 248). Uma vez que o quadrado está contido no plano YZ, rebateu-se o plano YZ para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 248). Sobre o plano YZ rebatido e transladado, representaram-se A r e B r, em função das suas coordenadas (afastamento e cota, pois os dois pontos têm abcissa nula). O quadrado está contido no plano YZ, pelo que, no rebatimento do plano YZ, o quadrado está em V.G. a partir de A r e B r construiu- -se um quadrado [A r B r C r D r ], garantindo a figura se situa no 1. o Triedro (todos os vértices do polígono têm cota e afastamento positivo). Uma vez que a figura está contida no plano YZ, as projeções horizontais de todos os seus vértices estão no eixo Y A 1r, B 1r, C 1r e D 1r são, respetivamente, as projeções horizontais de A, B, C e D, em rebatimento. Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira. Conduziu-se, por A 1r, uma perpendicular à charneira, e obteve-se a perspetiva de A 1 sobre a perspetiva do eixo Y (A 1 é um ponto do eixo Y). Pela perspetiva de A 1 conduziu-se a perspetiva da reta projetante horizontal de A e o ponto em que esta interseta a perpendicular à charneira que passa por A r é a perspetiva de A. O processo acima exposto para inverter o rebatimento do ponto A repetiu-se para os restantes vértices do quadrado, um a um (B, C e D), obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos quatro pontos, desenhou-se a perspetiva do polígono. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com o recurso a retas que contivessem lados do polígono, determinando as perspetivas dessas retas a partir dos seus pontos de concorrência com os eixos coordenados. 279. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. A perspetiva de uma circunferência é uma elipse, cujo desenho requer, no mínimo, oito pontos, para além dos seus eixos e, de preferência, o paralelogramo envolvente. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema (ver exercício 248), rebatendo o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuando a sua translação para fora desta. Representou-se Q r, em rebatimento, e desenhou-se a circunferência em V.G., que em seguida se inscreveu num quadrado com lados paralelos à charneira do rebatimento (que é o eixo de homologia). Dois dos lados do quadrado são perpendiculares à charneira e a diagonal [A r B r ] é paralela ao eixo X r. A reta suporte de [A r B r ] interseta o eixo Y r no ponto M r. Inverteu-se o rebatimento, conduzindo, por M r, uma perpendicular à charneira o ponto em que a perpendicular à charneira interseta a perspetiva do eixo Y é a perspetiva do ponto M. Pela perspetiva de M conduziu-se uma paralela ao eixo X, que é a reta suporte da perspetiva de [AB]. Por A e B conduziram-se as respetivas perpendiculares à charneira, e determinaram-se as suas perspetivas sobre a perspetiva da reta suporte de [AB]. Pela perspetiva de A conduziu-se uma paralela à charneira e pela perspetiva de B conduziu-se outra paralela à charneira estas permitiram-nos construir o retângulo, que é a perspetiva do quadrado circunscrito à circunferência. Em perspetiva, desenharam-se as diagonais do retângulo, que são concorrentes num ponto que é a perspetiva do ponto Q (o centro da circunferência). Pela perspetiva de Q conduziram-se as medianas do retângulo (paralelas aos seus lados) e determinaram-se, dessa forma, quatro pontos da elipse os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do retângulo. Esses pontos são os dois extremos dos eixos da elipse e são, também, os pontos em que a elipse será tangente aos lados do retângulo. Os quatro pontos que nos faltam são os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado estes transportaram-se para as diagonais do retângulo, com o recurso às perpendiculares à charneira que por eles passam. A partir dos oito pontos determinados, e atendendo às situações de tangência, desenhou-se a elipse que é a perspetiva da circunferência dada. 120

280. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida, rebateu-se o plano YZ (pelo método do rebatimento dos planos coordenados), para determinar os afasta mentos dos planos das bases, que se representaram pelos seus traços no plano XY (h ϕ e h ϕ1 ) e no plano YZ (p ϕ e p ϕ1 ). Note que o plano ϕ tem 1 cm de afastamento (o afastamento do ponto Q) e que o plano ϕ 1 tem de ter afastamento positivo, para que o prisma se situe no espaço do 1. o Triedro o plano ϕ 1 tem 7 cm de afastamento, pois a altura do prisma é 6 cm (7 + 1 = 6). No rebatimento do plano YZ omitiu-se a representação do eixo Z r, por não ser necessária. Em seguida, recor reu-se ao método dos cortes, mas rebatendo diretamente o plano ϕ, que contém o pentágono dado. A charneira do rebatimento é a reta de interseção de ϕ com o plano axonométrico, que é paralela à reta de interseção do plano XZ com o plano axonométrico, pois o plano ϕ é paralelo ao plano XZ (um dado plano corta dois planos paralelos segundo duas retas paralelas). Assim, rebateu-se o plano ϕ para o interior da pirâmide axonométrica, obtendo h ϕr e p ϕr, e efetuando a sua translação para fora da pirâmide axonométrica. O plano ϕ rebateu-se de forma idêntica à que se utilizaria para rebater o plano XZ (ver exercício 260). Construiu-se o pentágono em rebatimento, em V.G., de acordo com os dados Q r é o centro da circunferência circunscrita ao pentágono, em rebatimento, e, uma vez que face lateral inferior do prisma está contida num plano horizontal (de nível), o lado inferior do pentágono tem de ser fronto-horizontal (paralelo a h ϕ ). Em seguida inverteu-se o rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à char neira, e determinou-se a perspetiva do pentágono [ABCDE] (note que as projeções horizontais dos pontos estão sobre h ϕ, pois o plano ϕ é projetante horizon tal, mas não se identificaram por se considerar não ser necessário). A partir da perspetiva do pentágono, há que dese nhar a perspetiva do prisma. Assim, pelas perspetivas dos vértices do pentágono [ABCDE] conduziram-se as perspetivas das retas suportes das arestas laterais do prisma (trata-se de retas ortogonais a ϕ, pelo que as suas perspetivas são paralelas à perspetiva do eixo Y). Note que se conduziram, pelas perspetivas das projeções horizontais dos vérti ces do pentágono, as perspetivas das projeções horizontais das retas suporte das arestas laterais as perspetivas dos vér tices do pentágono [A B C D E ] determinaram-se recor rendo aos pontos de interseção das retas suporte das arestas laterais com o plano ϕ 1 (que também é projetante horizontal). As perspetivas das projeções horizontais de A, B, C, D e E, que não se identificaram, estão sobre a perspetiva de h ϕ1. A partir das perspetivas de todos os vértices do prisma, desenhou-se a sua perspetiva o con torno aparente é [ABB C D DE]. O vértice C, da base de menor afastamento é invi sível, bem como todas as arestas que nele convergem (note que a base [ABCDE] é invisível). Os vértices A e E, da base de maior afastamento, são visíveis, bem como todas as arestas que neles convergem (note que a base [A B C D E ] é visível. As faces laterais [BB C C] e [DD E D] são invisíveis (note que a face [DD E E] é a face lateral horizontal) e as res tantes faces laterais são visíveis. 281. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida, efetuaram -se as construções necessárias à determinação da perspetiva da base do cone, que será uma elipse. Note que, ao contrário da situação do exercício 279, o objetivo do exercício não é a perspetiva de uma circunferên cia a perspetiva da circunferência (a elipse) é uma construção necessária à construção da perspetiva do cone. Nesse sentido, sublinha-se que é não é aconselhável o recurso ao método dos cortes, em função dos traçados que se seguem à construção da elipse deve-se recorrer ao método do rebatimento dos planos coordenados. Assim, começou-se por rebater o plano YZ (o plano que contém a base do cone) no plano YZ rebatido representou-se Q r (o centro da circunfe - rência em rebatimento) e desenhou-se a circunferência, com centro em Q r e 3 cm de raio. Em seguida, inscreveu-se a cir cunferência num quadrado de lados paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia) e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. A r é o ponto em que a reta suporte de uma das diagonais do quadrado interseta o eixo Y r conduzindo, por A r uma perpendicular à charneira, determinou-se a perspetiva de A sobre a perspetiva do eixo Y. A perspetiva da reta suporte da diagonal fica definida pelo ponto em que interseta a charneira (que é fixo) e pela perspetiva de A. Com o recurso a retas perpendiculares à charneira, determinaram-se as perspetivas de Q (que é um ponto da diagonal) e do vértice do quadrado que é oposto a A (que é o outro extremo da dia gonal). A partir dos três pontos (a perspetiva de Q e as perspetivas dos dois extremos de uma diagonal do quadrado) construiu-se a perspetiva do quadrado, que é um retângulo. Em seguida, pela perspetiva de Q conduziram-se as perspetivas das medianas do qua drado (que são as medianas do retângulo) bem como a perspetiva da outra dia gonal transportando para a perspetiva, com o recurso a perpendiculares à charneira, os pontos em que a circunfe rência corta as diagonais do quadrado, determi naram-se os oito pontos que nos permitem desenhar a elipse (ver rela tório do exercício 279). Optou-se, no entanto, por não desenhar imediatamente a elipse, pois a determinação das gera trizes do contorno aparente do cone irá fornecer-nos mais dois pontos da curva. Passou-se, então, para a determina ção da perspetiva do sólido. Em primeiro lugar há que determinar a (Continua na página seguinte) 121

perspetiva de V, o vértice do cone. O cone tem 7 cm de altura e a sua base tem abcissa nula, pelo que V tem 7 cm de abcissa e situa-se na reta ortogonal ao plano YZ que passa por Q (que é a reta projetante lateral de V). Uma vez que os três eixos têm o mesmo coeficiente de deformação, sobre o eixo Z r, a partir de O r, mediram-se 7 cm, obtendo um ponto B r, tal que O r B r =7 cm. Inverteu-se o rebatimento conduzindo, por B r, uma perpendicular à charneira a perspetiva de B situa-se sobre a perspetiva do eixo Z e O B é a altura do cone, já reduzida. Com o compasso, fazendo centro em O, transportou-se O B para a perspetiva do eixo X, o que nos permitiu determinar as perspetivas de V 1 e, sequentemente, de V. Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido, há que recorrer aos planos tangentes ao cone que são paralelos a uma reta projetante. Para tal conduziu-se, por V, uma reta i, projetante (ortogonal ao plano axonométrico) a perspetiva da reta i é um ponto, pelo que se assinalou devidamente com parênte sis. Em seguida determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base (o plano YZ) o ponto I. A perspetiva do ponto I está coincidente com a perspetiva da reta i e com a perspetiva de V, pois a reta i é simultaneamente a reta projetante de V e de I I (i) V. Por Ι há que conduzir as retas tangentes à base do cone esta construção não se pode processar direta mente em perspetiva, pois não existe qualquer processo rigoroso para determinar as retas tan gentes a uma elipse que, para além do mais, é desenhada à mão livre. Assim, há que efetuar este procedimento em rebatimento. Para tal, rebateu-se o ponto I pelo rebatimento já efetuado do plano YZ (o ponto I é um ponto do plano YZ). Pela perspetiva de I conduziu-se a perspetiva de uma reta paralela ao eixo Y a reta h. A reta h é concorrente com a charneira do rebatimento no ponto C, que é um ponto fixo C C r. Por C r conduziu-se a reta h r (a reta h em rebati mento), para lela ao eixo Y r. O ponto em que h r é concorrente com a perpendicular à charneira que passa pela perspetiva de I é I r. Por fim, por I r conduziram-se as tangentes à circunferência em V.G., obtendo os pontos T e T, os pontos de tan gência. Note que não é estritamente necessária a representação das retas tangentes, que aqui se omitiu. Para determi nar as perspetivas de T e T conduziu-se, por T r e T r, uma reta m r, que é paralela à charneira do rebatimento. A reta m r interseta o eixo Y r no ponto M r a perspetiva de M determina-se imediatamente sobre a perspetiva do eixo Y, atra vés da perpendicular à charneira que passa por M r. Pela perspetiva de M conduziu-se a perspetiva da reta m, paralela à charneira as perspetivas de T e T estão sobre a perspetiva de m, nos pontos de concorrência desta com as perpendi culares à charneira que passam por aqueles pontos. As geratrizes do contorno aparente são [TV] e [T V], cujas perspetivas se desenharam imediatamente. A partir dos dez pontos já determinados da elipse, desenhou-se a curva, atendendo a que a elipse é concordante com a perspetiva da geratriz [TV] em T e é concordante com a perspetiva da geratriz [T V] em T. Assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base, obteve-se a perspetiva do cone. 282. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é aquele cuja perspetiva faz ângulos iguais com as perspetivas dos outros dois eixos, o eixo Y é o que sofre uma redução isolada. A soma dos ângulos que a perspetiva do eixo Y faz com as perspetivas dos outros dois eixos é 220, pelo que as perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 140 (360 220 = 140 ). Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema (ver exercício 249). O pentágono está contido num plano de perfil, pelo que se projeta em V.G. no plano YZ poder-se-ia ter rebatido diretamente o plano π, mas optou-se por rebater o plano YZ e construir a projeção lateral do pentágono em V.G., que é uma figura geometricamente igual ao pentágono [ABCDE]. Rebateu-se o plano YZ para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 249). Sobre o plano YZ rebatido e transladado, representou-se Q 3r, a projeção lateral de Q em rebatimento, em função da cota e do afastamento de Q (em V.G.). Com centro em Q 3r e 3 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que é tangente ao eixo Y r ) e construiu-se o pentágono [A 3r B 3r C 3r D 3r E 3r ] em função dos dados o lado [A 3r B 3r ] é vertical, A 3r tem cota superior a B 3r e A 3r e B 3r são os vértices de menor afastamento do polí gono. Note que o eixo Y e o eixo Z são os eixos que têm o mesmo coeficiente de redução para determinar a abcissa do plano de perfil π que contém o pentágono é necessário rebater o eixo X. Optou-se por rebater o plano XY, também pelo método dos cortes. Rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua transla ção para fora desta. Sobre o plano XY rebatido e transladado, representou-se Q 1r, a projeção horizontal de Q em rebatimento, em função da abcissa e do afastamento de Q (em V.G.). Por Q 1r con duziu-se h πr, o traço horizontal do plano π em rebatimento. Com o recurso a uma reta perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY, transpor tou-se a abcissa de Q (dada pelo ponto em que h πr interseta o eixo X r ) para a perspetiva do eixo X, o que nos permi tiu desenhar em seguida as perspetivas de f π (traço frontal de π) e h π (traço hori zontal de π). Conduzindo, por Q 1r, uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY, determinou-se a perspetiva de Q 1 sobre a perspetiva de h π (π é projetante horizontal). Por Q 3r conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano YZ, o que nos permitiu determinar a perspetiva de Q no ponto de concorrência das duas per pendiculares às respetivas charneiras. Em seguida, inverteu-se o rebatimento do plano YZ, com o recurso a (Continua na página seguinte) 122

perpendi culares à respetiva charneira. Condu ziu-se, pelo ponto do eixo Y r que tem o afastamento de A, uma perpendicular à charneira e determinou-se, sobre a perspetiva de h π, a pers petiva desse ponto (que é a perspetiva da projeção horizontal de A, mas cuja representa ção se omitiu). Em seguida conduziu-se, por A 3r, outra perpendicular à charneira o ponto em que esta interseta a perspetiva da projetante horizontal de A é a perspetiva de A. O processo exposto para inverter o rebatimento do ponto A repetiu-se para os restantes vértices do pentágono, um a um (B, C, D e E), obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos cinco pontos, desenhou-se a perspetiva do polígono. Note que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com o recurso a retas que contivessem, por exemplo, diagonais do polígono, determinando as perspetivas dessas retas a partir dos seus pontos de concorrência com os eixos coordenados. 283. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Z é aquele cuja perspetiva faz ângulos iguais com as perspetivas dos outros dois eixos, o eixo Z é o que sofre uma redução isolada. A soma dos ângulos que a perspetiva do eixo Z faz com as perspetivas dos outros dois eixos é 260, pelo que as perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 100 (360 260 = 100 ). A perspetiva de uma circunferência é uma elipse, cujo desenho requer, no mínimo, oito pontos, para além dos seus eixos e, de preferência, o paralelogramo envol vente. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema (ver exercício 249), rebatendo o plano XZ para o interior da pirâmide axonométrica e efetuando a sua translação para fora desta. No plano XZ rebatido e transladado representou-se Q r, em rebatimento (em função da sua abcissa e da sua cota, em V.G.), e desenhou-se a circunferência em V.G., que em seguida se inscreveu num quadrado com lados paralelos à charneira do rebatimento (que é o eixo de homologia). Dois dos lados do quadrado são perpendiculares à charneira. Desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. Escolheu-se a diagonal [A r B r ] para determinar a perspetiva do quadrado. B r é um ponto do eixo X r, pelo que, conduzindo por B r, uma perpendicular à charneira (para inverter o rebatimento), determinou-se a perspetiva de B sobre a perspetiva do eixo X. Com um procedimento idêntico, determinaram-se as perspetivas de A 1 e de Q 1 (que são, também, pontos da perspetiva do eixo X). A 3r e Q 3r situam-se no eixo Z r, pelo que, conduzindo, por aqueles pontos, as correspondentes perpendiculares à charneira, se determinaram as perspetivas de A 3 e de Q 3 sobre a perspetiva do eixo Z. As perspetivas de A e Q determinaram-se a partir das perspetivas das suas projeções horizontal e lateral. A perspetiva da diagonal [A r B r ] é o segmento [AB], que passa pela perspetiva de Q. A partir das perspetivas de A e B desenhou-se o retângulo de que A e B são dois vértices opostos e que é a perspetiva do quadrado cir cunscrito à circunferência. Pela perspetiva de Q conduziram-se as medianas do retângulo (paralelas aos seus lados) e determinaram-se, dessa forma, quatro pontos da elipse os pontos em que as medianas se apoiam nos lados do retângulo. Esses pontos são os dois extremos dos eixos da elipse e são, também, os pontos em que a elipse será tangente aos lados do retângulo. Os quatro pontos que nos faltam são os pontos em que a circunferência corta as diagonais do quadrado estes transportaram-se para as diagonais do retângulo, com o recurso às perpendiculares à charneira que por eles passam. A partir dos oito pontos determinados, e atendendo às situações de tangência, dese nhou-se a elipse que é a perspetiva da circunferência dada. 123

284. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados (ver exercício anterior). O eixo Z é o que sofre uma redução isolada os outros dois eixos possuem o mesmo coeficiente de redução. O pentágono da base da pirâmide está contido num plano horizontal (de nível), pelo que se projeta em V.G. no plano XY poder-se-ia ter rebatido diretamente o plano ν, mas optou-se por rebater o plano XY e construir a projeção horizontal do pentágono em V.G., que é uma figura geometricamente igual ao pentágono [ABCDE]. O rebatimento do plano XY rebate os dois eixos com o mesmo coeficiente de redução, pelo que se rebateu previamente o eixo Z, para determinar a perspetiva da cota do plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide, bem como a cota do seu vértice. Rebateu-se o plano YZ pelo rebatimento dos planos coordenados (note que se representou, apenas, o eixo Z r ) e, no eixo Z r, a partir de O r, representou-se a cota de ν (2 cm) e de V (10 cm), em V.G. invertendo o rebatimento, com o recurso a perpendiculares à charneira, determinaram-se as perspetivas daquelas medidas sobre a perspetiva do eixo Z. Note que a pirâmide tem 8 cm de altura e que o plano da base tem 2 cm de cota, o que significa que V tem 10 cm de cota (2 + 8 = 10). Pela perspetiva do ponto do eixo Z que tem a cota de ν conduziramse, imediatamente, os traços de ν f ν (traço frontal de ν) e p ν (traço lateral ou de perfil de ν). Para construir a perspetiva da base da pirâmide, optou-se por rebater o plano XY pelo método dos cortes. Sobre o plano XY rebatido e transladado, representou-se Q 1r, a projeção horizontal de Q em rebatimento, em função da abcissa e do afastamento de Q (em V.G.). Com centro em Q 1r e 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono e construiu -se o pentágono [A 1r B 1r C 1r D 1r E 1r ], em função dos dados o lado [A 1r B 1r ] é o lado de menor afastamento do polígono e é fronto-horizontal (é paralelo ao eixo X r ). Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento. Por Q 1r conduziu-se uma paralela ao eixo X r, obtendo, no eixo Y r, um ponto com a abcissa de Q em V.G. por esse ponto conduziu-se uma perpendicular à charneira e o ponto em que esta interseta p ν (o traço lateral de ν) é Q 3, a perspetiva da projeção lateral de Q. Por Q 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de Q (que é paralela à perspetiva do eixo X) e o ponto de interseção desta com a perpendicular à charneira que passa por Q 1r é a perspetiva do ponto Q. O processo exposto para inverter o rebatimento do ponto Q repetiu-se para os cinco vértices do pentágono, um a um (A, B, C, D e E), obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos cinco pontos, desenhou-se a perspetiva do polígono. Note que se omitiu a representação das perspetivas das projeções horizontais dos vértices do pentágono, bem como a perspetiva da projeção horizontal da figura. Note ainda que a inversão do rebatimento se poderia ter processado com o recurso a retas que contivessem, por exemplo, diagonais do polígono, determinando as perspetivas dessas retas a partir dos seus pontos de concorrência com os eixos coordenados. Pela perspetiva do ponto do eixo Z que tem a cota de V conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y, o que nos permitiu determinar a perspetiva de V 3 (a projeção lateral de V) na perpendicular à charneira que passa por Q 3. Pela perspetiva de V 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de V o ponto de interseção desta com a perspetiva da reta suporte do eixo da pirâmide (a reta paralela ao eixo Z que passa pela perspetiva de Q) é a perspetiva de V. A partir das perspetivas de todos os vértices da pirâmide desenhou-se a perspetiva do sólido, atendendo às invisibilidades existentes. O contorno aparente é [AEDCV]. O vértice B não integra o contorno aparente do sólido e é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem (note que a base da pirâmide é invisível). As restantes arestas são todas visíveis. 285. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é aquele cuja perspetiva faz ângulos iguais com as perspetivas dos outros dois eixos, o eixo Y é o que sofre uma redução isolada. A soma dos ângulos que a perspetiva do eixo Y faz com as perspetivas dos outros dois eixos é 250, pelo que as perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 110 (360 250 = 110 ). Note que, ao contrário da situação do exer cício 283, o objetivo do exercício não é a perspetiva de uma circunferên cia a perspetiva da circunferência (a elipse) é uma construção necessária à construção da perspetiva do cilindro. Nesse sentido, sublinha-se que é não é aconselhá vel o recurso ao método dos cortes, em função dos traçados que se seguem à construção da elipse deve-se recorrer ao método do rebatimento dos planos coordenados. Assim, começou-se por rebater o plano YZ (o plano que contém a base de menor afastamento do cilindro) no plano YZ rebatido representou-se Q r (o centro da circunfe rência em rebati mento) e desenhou-se a circunferência, com centro em Q r e 3 cm de raio (note que a circunferência é tangente ao eixo X r ). Em seguida inscreveu-se a cir cunferência (Continua na página seguinte) 124

num quadrado de lados paralelos à charneira do rebatimento (o eixo de homo logia) e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. Em seguida inverteu-se o rebatimento, com o recurso aos pontos em que as diagonais do quadrado intersetam a charneira (que são fixos) e aos pontos em que cada uma das diagonais interseta um dos eixos. Uma das diagonais interseta o eixo X r e a outra interseta o eixo Y r estes pontos foram transportados para as perspetivas dos eixos através de perpendiculares à charneira. Depois de efetuada a constru - ção do retângulo envolvente da elipse e de determinadas as perspetivas dos oito pontos, que nos permite o seu desenho (ver relatório do exercício 281), foi necessário determinar o afastamento da outra base do sólido. Os afastamentos medem-se no eixo Y, que é o eixo que sofre uma redução isolada, pelo que se rebateu o eixo Y pelo rebatimento dos planos coordenados rebateu-se o plano YZ, tendo-se omitido a representação do eixo Z r, por não ser necessária. Sobre o eixo Y r, a partir de O r, mediu-se o afastamento do plano ϕ (o plano frontal que contém a outra base do cilindro), que é 6 cm note que a outra base do sólido tem afastamento nulo e a altura do cilindro é a distância entre os planos das duas bases, pelo que o afastamento do plano ϕ é igual à altura do sólido. Invertendo o rebatimento determinou-se, sobre a perspetiva do eixo Y, a perspetiva do ponto do eixo que tem 6 cm de afastamento por esse pontos conduziram-se as perspetivas dos traços horizontal (h ϕ ) e lateral (p ϕ ) do plano ϕ. As geratrizes do cilindro (e o seu eixo) estão contidas em retas ortogonais aos planos das bases, que são retas projetante frontais as suas perspetivas são paralelas à perspetiva do eixo Y. Assim, com o recurso a retas paralelas à perspetiva do eixo Y transportaram-se, para o plano ϕ, todos os traçados referentes à construção da elipse e que nos permitirão, depois, desenhar a elipse que é a perspetiva da base do cilindro que está contida em ϕ. Q é o centro da base do cilindro que está contida em ϕ. Optou-se por não desenhar, ainda, nenhuma das elipses, determinando, antes de mais, as geratrizes do contorno aparente. Estas determinam-se com o recurso aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a uma reta projetante. Para tal conduziu-se, por um ponto M, qualquer, duas retas uma reta paralela às geratrizes do cilindro e uma reta projetante. Para evitar um tra çado excessivamente complexo e denso, optou-se por marcar o ponto M no próprio eixo do cilindro a reta suporte do eixo do cilindro é, imediatamente, a reta paralela às geratrizes do sólido que passa por M. Em seguida, conduziu-se, por M, uma reta projetante (ortogonal ao plano axonométrico) a reta r. A perspetiva da reta r é um ponto, pelo que se assinalou devidamente com parênte sis. A reta suporte do eixo do cilindro e a reta r definem um plano θ há que deter minar a reta de interseção desse plano (plano θ) com o plano da base de referência do cilindro (considerou-se, como base de referência, a base que está contida no plano XZ). A reta r interseta o plano XZ no ponto I. A perspetiva do ponto I está coincidente com a perspetiva da reta r e com a perspetiva de M, pois a reta r é simultaneamente a reta projetante de M e de I I (r) M. A reta suporte do eixo do cilindro interseta o plano XZ no ponto Q (o centro da base que está contida no plano XZ). A reta de interseção do plano θ com o plano XZ está definida por I e por Q é a reta t. Em seguida há que conduzir as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas à reta t esta cons trução não se pode processar direta mente em perspetiva, pois não existe qualquer processo rigoroso para determinar as retas tan gentes a uma elipse (a perspetiva da base) que, para além do mais, é desenhada à mão livre. Assim, há que efetuar este procedimento em rebatimento. Para tal, rebateu-se o ponto I pelo rebatimento já efetuado do plano XZ (o ponto I é um ponto do plano XZ). Pela perspetiva de I conduziu-se a perspetiva de uma reta paralela ao eixo X a reta h. A reta h é concorrente com a charneira do rebatimento no ponto H, que é um ponto fixo H H r. Por H r condu ziu-se a reta h r (a reta h em rebati mento), para lela ao eixo X r. O ponto em que h r é concorrente com a perpendicular à charneira que passa pela perspetiva de I é I r. O ponto Q r é o ponto Q no rebatimento do plano XZ a reta t r está, assim, definida por Q r e por I r. Por fim conduziram-se, em V.G., as tangentes à circunferência que são paralelas a t r as retas t r e t r. Esta construção permitiu-nos obter os pontos A r e B r, os pontos de tan gência. Note que não é estritamente necessá ria a representação das retas tangentes. Os pontos A r e B r são, nesta situação, os extremos do diâmetro da circunferên cia cuja perspetiva é o eixo maior da elipse, pelo que a inversão do rebatimento está imediatamente efetuada. A e B são as perspetivas dos pontos de tangência e são os extremos do eixo maior da elipse que é a perspetiva da base de menor afastamento do sólido. Os pontos correspondentes da outra base são também os extremos do eixo maior da elipse A e B. As perspetivas das retas t e t (cuja representação não é estritamente necessária) estão definidas por A e A e por B e B, respetivamente t t r e t t r. As geratrizes do contorno aparente são [AA ] e [BB ]. Uma vez que esta cons - trução não nos forneceu qualquer outro ponto das elipses para além dos oito pontos de cada uma já determinados, con clui-se a construção da perspetiva do sólido, com o desenho das elipses, assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base de menor afastamento do sólido. Tenha em conta que, no desenho de cada elipse, se teve em aten ção as situações de tangência a elipse da base que está contida no plano XZ é necessariamente tangente a perspetiva do eixo X, enquanto que a elipse da base que está contida no plano ϕ é necessariamente tangente a h ϕ. Note que, caso se tratasse de uma situação geral de um cilindro oblíquo, se manteriam rigorosamente os procedimentos expostos para a determinação das geratrizes do contorno aparente, cujos traçados, nesse caso, nos fariam determinar mais dois pontos de cada elipse o desenho de cada elipse processar-se-ia, no final, com dez pontos. 125

286. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados as perspetivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 135, pois a soma dos três ângulos é 360. Os três eixos têm coeficientes de redução dis tintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspetiva do afastamento do plano ϕ, o plano frontal (de frente) que contém o quadrado os afastamentos medem-se no eixo Y. Nesse sentido, rebateu-se o eixo Y, pelo rebatimento do plano YZ (método do rebatimento dos planos coordenados) e sobre o eixo Y r a partir de O r, representou-se o afasta mento de ϕ (3 cm) em V.G. invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinouse, sobre a perspetiva o eixo Y, a perspetiva do ponto de concorrência dos traços horizontal e lateral do plano ϕ, cujas perspetivas se desenharam imediatamente (h ϕ é a perspetiva do traço horizontal de ϕ e p ϕ é a perspetiva do traço lateral de ϕ). Note que, no rebatimento do plano YZ, se omitiu a representação do eixo Z r, por não ser necessária. O quadrado está contido num plano frontal (de frente) ϕ, pelo que se projeta em V.G. no plano XZ poder-se-ia ter rebatido direta - mente o plano ϕ (à semelhança do efetuado no exercício 280), mas optou-se por rebater o plano XZ e construir a projeção frontal do quadrado em V.G., que é uma figura geometricamente igual ao quadrado [ABCD]. Rebateu-se o plano XZ pelo método dos cortes. Sobre o plano XZ rebatido e transladado, representou- -se A 2r, a projeção frontal de A em rebatimento, em função da abcissa e da cota de A (em V.G.). Sabe-se que o vértice B tem abcissa nula, pelo que B 2, a sua projeção frontal, está no eixo Z. O segmento [AB] projeta-se em V.G. no plano XZ, pelo que, com o com passo, fazendo centro em A 2r e com 4 cm de raio (a medida do lado do quadrado), se determinou B 2r sobre o eixo Z r B 2r é a projeção frontal de B, em rebatimento. Em seguida construiu-se a projeção frontal do quadrado em rebati mento, em V.G. garantindo que a figura se situa no espaço no 1. o Triedro todos os seus vértices têm abcissa e cota positiva. Em seguida procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira do rebatimento. Conduzindo, por A 2r, uma perpendicular à charneira, obteve-se a perspetiva de A sobre a perspetiva de h ϕ (A é um ponto com cota nula, pelo que é um ponto de h ϕ ) A A 1. Conduzindo, por B 2r, uma perpendicular à char neira, obteve-se a perspetiva de B sobre a perspetiva de p ϕ (B é um ponto com abcissa nula, pelo que é um ponto de p ϕ ) B 1 situa-se sobre h ϕ, pois ϕ é um plano projetante horizontal. Por C 2r conduziu-se uma paralela ao eixo Z r, obtendo, sobre o eixo X r, a referência da abcissa de C por esse ponto conduziu-se uma perpendicular à charneira, obtendo, sobre a perspetiva de h ϕ, a perspetiva de C 1. Por C 1 conduziu-se a perspetiva da reta projetante hori zontal de C (que é paralela à perspetiva do eixo Z) e o ponto de concorrência entre esta e a perpendicular à charneira que passa por C 2r é a perspetiva do ponto C. O processo descrito para C repetiu-se para o ponto D, o que nos permi tiu determinar a sua perspetiva. A partir das perspetivas dos quatro vértices do quadrado, desenhou-se a sua perspetiva. Note ainda que a inversão do rebatimento dos pontos C e D se poderia ter processado, por exemplo, com o recurso à reta suporte do lado [CD] essa reta seria paralela à reta suporte do lado [AB] e a sua perspetiva determinar-se-ia a partir de seu ponto de concorrência com um dos eixos. 287. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados as perspetivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 130, pois a soma dos três ângulos é 360. Os três eixos têm coeficientes de redução dis tintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspetiva da abcissa do plano π, o plano de perfil que contém o triângulo as abcissas medem-se no eixo X. Nesse sentido, rebateu-se o eixo X, pelo rebatimento do plano XZ (método do rebatimento dos planos coordenados) e sobre o eixo X r a partir de O r, representou-se a abcissa de π (3 cm) em V.G. invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinou-se, sobre a perspetiva o eixo X, a perspetiva do ponto de concorrência dos traços horizontal e frontal do plano π, cujas perspetivas se desenha ram imediatamente (h π é a perspetiva do traço horizontal de π e p π é a perspetiva do traço frontal de π). Note que, no rebatimento do plano XZ, se (Continua na página seguinte) 126

omitiu a representação do eixo Z r, por não ser necessária. O triângulo está contido num plano de perfil, pelo que se projeta em V.G. no plano YZ poder-se-ia ter rebatido diretamente o plano π (à seme lhança do efetuado no exercício 280), mas optou-se por rebater o plano YZ e construir a projeção lateral do triângulo em V.G., que é uma figura geometricamente igual ao triângulo [ABC]. Rebateu-se o plano YZ pelo método dos cor tes. Sobre o plano YZ rebatido e transladado, representou-se Q 3r, a projeção lateral de Q em rebatimento, em função do afastamento e da cota de Q (em V.G.). Com centro em Q 3r e 3,5 cm de raio, desenhou-se a circunferência circuns crita ao triângulo e construiu-se a figura, de acordo com os dados o lado [A 3r B 3r ] é vertical e o vértice C 3r é o vértice de menor afastamento do polígono (é o vértice que está mais próximo do eixo Z r. Em seguida procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira do rebatimento. Por C 3r conduziu-se uma paralela ao eixo Z r, obtendo, sobre o eixo Y r, a referência do afastamento de C por esse ponto conduziu-se uma perpendi cular à charneira, obtendo, sobre a perspetiva de h π, a perspetiva de C 1. Por C 1 conduziu-se a perspetiva da reta projetante horizontal de C (que é paralela à perspetiva do eixo Z) e o ponto de concorrência entre esta e a perpendi cular à charneira que passa por C 3r é a perspetiva do ponto C. O processo descrito para C repetiu-se para os pontos A e B, o que nos permitiu determinar as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos três vértices do triângulo, desenhou-se a sua perspetiva. Note que se determinou, ainda, a perspetiva de Q, se bem que esta não seja estrita mente necessária para a obtenção do pretendido (a perspetiva do triângulo). 288. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados as perspetivas do eixo X e do eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 120, pois a soma dos três ângulos é 360. Os três eixos têm coeficientes de redução dis tintos. Assim, em primeiro lugar há que determinar a perspetiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base da pirâmide (o quadrado [ABCD]) as cotas medem-se no eixo Z. Nesse sentido, rebateu-se o eixo Z, pelo rebatimento do plano XZ (método do rebatimento dos planos coordenados) e sobre o eixo Z r a partir de O r, representou-se a cota de ν (9 cm) em V.G. invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinou-se, sobre a perspetiva o eixo Z, a perspetiva do ponto de concorrência dos traços frontal e lateral do plano ν, cujas perspetivas se desenha ram imediatamente (f ν é a perspetiva do traço frontal de ν e p ν é a perspetiva do traço lateral de ν). Note que, no rebatimento do plano XZ, se omitiu a representação do eixo X r, por não ser necessária. O quadrado está contido num plano horizontal (de nível), pelo que se projeta em V.G. no plano XY poder-se-ia ter rebatido diretamente o plano ν, mas optou-se por rebater o plano XY e construir a projeção horizontal do quadrado em V.G., que é uma figura geometricamente igual ao quadrado [ABCD]. Rebateu-se o plano XY pelo método dos cor tes. Sobre o plano XY rebatido e transladado, representaram-se A 1r e B 1r, as projeções horizontais de A e B em rebatimento, em função dos respetivos afastamentos e abcissas (em V.G.). A partir de A 1r e B 1r construiu-se o quadrado [A 1r B 1r C 1r D 1r ] em V.G., garantindo que o polígono se situa no espaço do 1. o Triedro todos os seus vértices têm abcissa e afastamento positivos. Uma vez que se trata de uma pirâmide regular, a projeção horizontal do vértice da pirâmide, em rebatimento, está no centro do quadrado. Em seguida procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à charneira do rebatimento. Por C 1r conduziu-se uma paralela ao eixo Y r, obtendo, sobre o eixo X r, a referência da abcissa de C por esse ponto conduziu-se uma perpendi cular à charneira, obtendo, sobre a perspetiva de f ν, a perspetiva de C 2. Por C 2 conduziu-se a perspetiva da reta projetante frontal de C (que é paralela à perspetiva do eixo Y) e o ponto de concorrência entre esta e a perpendi cular à charneira que passa por C 1r é a perspetiva do ponto C. O processo descrito para C repetiu-se para os pontos A, B, D e V, o que nos permitiu determinar as suas perspetivas. Note que V tem cota nula, pelo que é um ponto do plano XY V 1 V. A partir das perspetivas dos cinco vértices da pirâmide, desenhou-se a sua perspetiva. O contorno aparente é [ABVD]. O vértice C, que não integra o contorno aparente, é visível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base da pirâmide é visível. As faces laterais [ABV] e [ADV] são invisíveis, pelo que a aresta lateral [AV] é a única aresta invisível do sólido. Note que as perspetivas dos lados do quadrado [ABCD] são paralelas entre si, duas a duas. 127

289. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados as perspetivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 130, pois a soma dos três ângulos é 360. Os três eixos têm coeficientes de redução dis tintos. Optou-se pelo método dos cortes para a resolução do problema, por ser esse o que nos permite, de forma direta, relacionar duas projeções de um mesmo objeto (salienta-se que bastam duas projeções do objeto dado para a construção da sua perspetiva). Assim, rebateram-se os planos XY e YZ, para o interior da pirâmide axonométrica, efetuando, em seguida, as respetivas translações para fora desta. Sobre o plano XY, rebatido e transladado, representou-se a projeção horizontal do objeto, em V.G., em função dos dados. Sobre o plano YZ, rebatido e transladado, representou-se a projeção lateral esquerda do objeto, em V.G., em função dos dados. Para inverter o rebatimento conduziu-se, por cada par de projeções (em rebatimento) de cada vértice do objeto, as perpendiculares às respetivas charneiras de cada rebatimento o ponto de interseção dessas duas retas é a perspetiva do ponto respetivo. O processo executou-se para cada um dos vértices do objeto, obtendo, em simultâneo, as respetivas perspetivas e as perspetivas das diferentes arestas do sólido, a partir das quais, no seu conjunto, se desenhou a perspetiva do objeto, atendendo às invisibilidades. 290. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Numa perspetiva isomé - trica normalizada, os coeficientes de redução dos três eixos são desprezados, pelo que as medidas se representam todas em V.G., pelo que sobre as perspetivas dos eixos se representaram, em V.G., as dimensões do objeto (apresentadas no enunciado). A partir das dimen sões do objeto (sobre os respetivos eixos) representaram-se, sobre as faces do triedro, as perspetivas das respetivas projeções do objeto. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes de cada ponto, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se atenderam às invisibilidades observadas. 291. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados (e atendendo a que o plano axonométrico é o plano YZ): as perspetivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 97, enquanto que os outros dois ângulos têm 131 30 de amplitude. Segundo os coeficientes de redução normali zados, o coeficiente de redução do eixo Y e do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação), enquanto que o eixo X apresenta um coeficiente de redução isolado de 0,5. A partir das dimensões do objeto (sobre os respetivos eixos e atendendo à redução existente no eixo X) representaram-se, sobre as faces do triedro, as perspetivas das respetivas projeções do objeto. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes de cada ponto, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se atenderam às invisibilidades observadas. 128

292. Em primeiro lugar, representaram-se as perspetivas dos três eixos, fazendo, entre si, os ângulos normalizados: as perspetivas do eixo X e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 95 e as perspetivas do eixo Y e do eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 108 (o ângulo entre as perspetivas do eixo X e do eixo Y é o ângulo restante 157 ). Os três eixos apresentam coeficientes de redução distintos. O coeficiente de redução do eixo Z é desprezado (considera-se que não existe deformação). O coeficiente e redução do eixo X é 0,9. O coeficiente de redução do eixo Y é 0,5. O quadrado [MNOP] está contido no plano XY, pelo que todos os seus vértices têm cota nula, O lado [OP] está contido no eixo X, sendo O a origem o referencial sobre a perspetiva do eixo X mede-se 4,5 cm (5 cm do comprimento do lado do quadrado multiplicado pelo coeficiente de redução 0,9 daquele eixo), obtendo a perspetiva de P. O lado [ON] tem de estar necessariamente contido no eixo Y sobre a perspetiva do eixo Y mede-se 2,5 cm (5 cm do comprimento do lado do quadrado multiplicado pelo coeficiente de redução 0,5 daquele eixo), obtendo a perspetiva de N. O lado [PM] é paralelo ao lado [ON] e o lado [MN] é paralelo ao lado [OP] este raciocínio permitiu-nos determinar a perspetiva de M. Desenhando, em perspetiva, as diagonais do quadrado, determinou-se o seu centro, onde se situa V 1 a perspetiva da projeção horizontal de V. A cota de V (7 cm a altura da pirâmide) mede-se em VG. no eixo Z (cuja deformação é desprezada), o que nos permitiu determinar V 2, a perspetiva da projeção frontal de V, e, em seguida, a perspetiva de V. A partir das perspetivas de todos os vértices da pirâmide, desenhou-se a perspetiva do sólido, atendendo às invisibilidades existentes. O contorno aparente é [PMNV]. O vértice O, que não integra o contorno aparente, e invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. As restantes arestas são visíveis. 293. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projetantes são relacionados ao eixo X e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano XZ o eixo X e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Y (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 120 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 150 (que é outro ângulo obtuso). Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico, conforme exposto no relatório do exercício 268, e representaram- -se os dois pontos em Dupla Projeção Ortogonal. Por A 2 e B 2, as projeções frontais de A e B, conduziu-se o traço frontal do plano ν (o plano horizontal que contém a figura). A figura está contida num plano paralelo ao plano XY, pelo que se projeta em V.G. no plano XY a partir de A 1r e B 1r, as projeções horizontais de A e B em rebatimento, construiu-se a projeção horizontal do triângulo, em rebatimento, obtendo C 1r. Note que se garantiu que a figura se situa no 1. o Triedro, pois C tem afastamento positivo. C 2, a projeção frontal de C, está sobre f ν, pois ν é projetante frontal. Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, conforme exposto no relatório do exercício 268, e inverteu-se o rebatimento do plano XY, determinando, dessa forma, as perspetivas das projeções horizontais dos três pontos A 1, B 1 e C 1 (aconselha-se a leitura do relatório do exercício 268). Para determinar a perspetiva do ponto A conduziu-se, por A 2, a perspetiva da sua reta projetante frontal (que é paralela à perspetiva do eixo Y) e, pela perspetiva de A 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de A (que é paralela ao eixo Z) o ponto de concorrência das perspetivas das duas retas projetantes é a perspetiva do ponto A. O processo acima exposto para determinar a perspetiva do ponto A repetiu-se para os restantes vértices do triângulo, um a um (B e C), obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos três pontos, desenhou - -se a perspetiva do polígono. Note que se representou, ainda, o traço lateral (de perfil) do plano ν p ν. 294. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projetantes são relacionados ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as par tes positivas dos outros dois eixos, ângulos de 135. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico o eixo X rebatido (eixo X r ) fica coincidente com o eixo Z. A partir das coordenadas do ponto Q, representou-se o ponto em Dupla Projeção Ortogonal utilizou-se o plano YZ como um plano frontal de projeção (a Dupla Projeção Ortogonal refere-se, assim, ao conjunto de duas projeções, mas não as usuais projeção horizontal e projeção frontal). Q 3 é a projeção lateral de Q e Q 1r é a projeção horizontal do ponto Q, no rebatimento do plano XY (a projeção horizontal do ponto existe no plano XY). Por Q 1r conduziu-se o traço horizontal do plano π, em rebatimento h πr. A figura está contida num plano paralelo ao plano YZ, pelo que se projeta em V.G. no plano YZ com centro em Q 3 (a projeção lateral de Q a projeção de Q no plano YZ) e com 3 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a projeção lateral da circunfe rência pedida (a projeção ortogonal da circunferência no plano YZ). Para (Continua na página seguinte) 129

inverter o rebatimento do plano XY, determinou-se a direção de afinidade d, conforme exposto no relatório do exercício 268 a direção d é a que os permite inverter o rebatimento do plano XY. As projeções do ponto Q (projeção lateral e projeção horizontal) são dois extremos de uma linha de chamada do ponto Q a linha de chamada de Q tem extremos em Q 1 e em Q 3 e é quebrada no eixo X. A parte da linha de chamada de Q que está contida no plano XY, em perspetiva, é paralela à perspetiva do eixo X. Pelo ponto de interseção da linha de chamada de Q com o eixo Y conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo X o ponto de interseção dessa reta com a reta paralela a d que passa por Q 1r é a perspetiva de Q 1. Em seguida con duziu-se, pela perspetiva de Q 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de Q (que é paralela ao eixo Z). Por Q 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de Q (que é paralela à perspetiva do eixo X). O ponto de con corrência das perspetivas das duas retas projetantes é a perspetiva de Q. Pela perspetiva de Q 1 conduziu-se a perspetiva de h π (traço horizontal de π), que é paralela ao eixo Y a perspetiva de h π é concorrente com a perspetiva do eixo X num ponto, pelo qual se conduziu a perspetiva de f π (traço frontal de π), que é paralela ao eixo Z. Por fim, atendendo a que a circunferência está contida num plano paralelo ao plano axonométrico (o plano YZ), sabe-se que a circunferência e a sua perspetiva são figuras geometricamente iguais (uma figura projeta-se em V.G. em qual quer plano que seja paralelo ao plano que contém a figura). Assim, com centro na perspetiva de Q e com 3 cm de raio, desenhou-se uma circunferência, que é a perspetiva da circunferência dada note que a perspetiva da circunfe rência é necessariamente tangente à perspetiva de f π. 295. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que os ângulos das projetantes são relacionados ao eixo Y e ao eixo Z, conclui-se que o plano axonométrico é o plano YZ o eixo Y e o eixo Z fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo Y um ângulo de 140 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Z, um ângulo de 130 (que é outro ângulo obtuso). A base de menor afastamento do prisma está contida no plano XZ, que não está em V.G. nem é paralelo ao plano axonométrico. Esta situação obriga ao rebatimento do plano XZ sobre o plano axonométrico (o plano YZ) para a construção do hexágono [ABCDEF] em V.G. no rebatimento do plano XZ sobre o plano YZ a charneira do reba timento é o eixo Z e o eixo X r fica sobre o eixo Y. Observe que a situação exposta é semelhante ao rebatimento de um plano de perfil em Dupla Projeção Ortogonal, pois, considerando o plano YZ como o Plano Frontal de Projeção, o plano XZ corresponde a um plano de perfil. Sobre o plano XZ rebatido, representaram-se A 2r e B 2r em função das respetivas abcissa e cotas, em V.G. A 2r e B 2r são as projeções frontais de A e B, respetivamente, em rebatimento (no rebati mento do plano XZ sobre o plano YZ). A partir de A 2r e B 2r construiu-se o hexágono [A 2r B 2r C 2r D 2r E 2r F 2r ], que é a projeção frontal do hexágono [ABCDEF] no rebatimento do plano XZ. Em seguida determinaram-se as projeções laterais dos pontos A, B, C, D, E e F sobre o eixo Z, através de perpendiculares à charneira (que, recorde, foi o eixo Z). Para inverter o rebatimento, determinou-se a direção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento efetuado do plano XZ d. A direção d foi determinada com o rebatimento do plano projetante do eixo X e a partir do afastamento do vértice E, do hexágono. O ponto P é um ponto do eixo X que tem o afastamento de E P r é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano XZ. Rebatendo o plano projetante do eixo X obteve-se o eixo X r1, perpendicular à perspetiva do eixo X. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até P r, desenhou-se um arco de circunferência até ao eixo X r1, onde se situa P r1 P r1 é o ponto P rebatido pelo rebatimento do plano projetante do eixo X. Por P r1 conduziu-se uma reta projetante, com a inclinação dada, e obteve-se a perspetiva de P sobre a perspetiva do eixo X. A direção d, a direção de afinidade que nos permite inverter o rebatimento do plano XZ, é a reta que passa por P r e pela perspetiva de P. A perspetiva de E 1 é a própria perspetiva (Continua na página seguinte) 130

de P, pelo que se tem E 1 P. Pela perspetiva de E conduziu-se a perspetiva da reta projetante horizontal de E (que é paralela ao eixo Z). Por E 3 (a projeção lateral de E) conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de E (que é paralela à perspetiva do eixo X). O ponto de concorrência das duas retas projetantes, é a perspetiva de E. Note que a reta que passa por E 2r e pela perspetiva de E é paralela à direção de afinidade. Este raciocínio permite-nos inverter o rebatimento dos restantes pontos de uma forma expedita. Consideremos o ponto D. Por D 3 condu ziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de D (que é paralela à perspetiva do eixo X). Por D 2r conduziu-se uma reta com a direção de afinidade o ponto de concorrência entre esta e a perspetiva da projetante lateral de D é a perspetiva de D. O processo descrito para D repetiu-se para os restantes vértices do hexágono (A, B, C e F), o que nos permitiu determinar as respetivas perspetivas e desenhar a perspetiva do hexágono [ABCDEF]. Há, agora, que deter minar a perspetiva do prisma dado. Para tal determinou-se o afastamento do plano ϕ, o plano frontal (de frente) que con tém a base de maior afastamento do sólido ϕ tem 8 cm de afastamento, pois o prisma tem 8 cm de altura e a base [ABCDEF] tem afastamento nulo. O afastamento de ϕ mede-se sobre o eixo Y, que está em V.G. desenharam-se ime - diatamente o traço lateral (de perfil) de ϕ (p ϕ ), bem como a perspetiva do seu traço horizontal (h ϕ ), que é paralela à perspetiva do eixo X. Os vértices da base de maior afastamento do sólido será os pontos de interseção do plano ϕ com as retas suporte das arestas laterais do prisma, o que terá determinação direta, uma vez que o plano ϕ e projetante hori zontal. Assim, determinaram-se as perspetivas das projeções horizontais dos vértices da base [ABCDEF], que estão sobre a perspetiva do eixo X. Em seguida, pela perspetiva de cada vértice da base [ABCDEF] conduziu-se a perspetiva da reta suporte da respetiva aresta lateral as arestas laterais são paralelas ao eixo Y, pelo que as perspetivas das suas retas suporte são também paralelas ao eixo Y. Desenharam-se, também, as perspetivas das projeções hori zontais das retas suportes das arestas laterais e determinaram-se os pontos em que estas intersetam a perspetiva de h ϕ esses pontos são A 1, B 1, C 1, D 1, E 1 e F 1, ou seja, as perspetivas das projeções horizontais dos vértices da base [A B C D E F ] (a base de maior afastamento do prisma). Pela perspetiva de A 1 conduziu-se a perspetiva da reta projetante horizontal de A (que é paralela ao eixo Z). O ponto de concorrência desta projetante horizontal com a reta suporte da aresta lateral [AA ] é a perspetiva de A. Repetiu-se o processo exposto para os restantes vértices do hexá gono [A B C D E F ], o que nos permitiu determinar as respetivas perspetivas e desenhar a perspetiva do hexágono. A partir das perspetivas de todos os vértices do prisma, desenhou-se a perspetiva do sólido, atendendo às invisibilidades existentes. O contorno aparente é [CDEFF A B C ]. Os vértices A e B, da base de menor afastamento do prisma, não integram o contorno aparente do sólido e são invisíveis, bem como todas as arestas que neles convergem (note que a base [ABCDEF]é invisível). Os vértices D e E, da base de maior afastamento do prisma, não integram o contorno apa rente do sólido e são visíveis, bem como todas as arestas que neles convergem (note que a base [A B C D E F ]é visível). 296. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados (ver relatório do exercício anterior) o plano axonométrico é o plano YZ. Em seguida, rebateu-se o plano XY sobre o plano axonométrico o eixo X rebatido (eixo X r ) fica coincidente com o eixo Z. A partir das coordenadas do ponto Q, representou-se o ponto em Dupla Projeção Ortogonal, utilizando o plano YZ como um plano frontal de projeção, à semelhança do efetuado no exercício 294 (a Dupla Projeção Ortogonal refere-se, assim, ao conjunto de duas projeções, mas não as usuais projeção horizontal e projeção frontal) Q 3 é a projeção lateral de Q e Q 1r é a projeção horizontal do ponto Q, no rebatimento do plano XY (a projeção horizontal do ponto existe no plano XY). Por Q 1r conduziu-se o traço horizontal do plano π, em rebatimento h πr. Em seguida, ainda através da conjunção da projeção lateral (no plano YZ) e da projeção horizontal (no plano XY rebatido), representou-se o cone em Dupla Projeção Ortogonal. Em seguida determinaram-se as perspetivas do ponto Q e do vértice V, do cone, bem como da base do sólido, de acordo com o exposto no relatório do exercício 294. Nesta situação particular, a perspetiva do vértice do cone é um ponto da circunferência que delimita a perspetiva da base do sólido, pelo que não há lugar à determinação das geratrizes do contorno aparente a perspetiva do cone resume-se a um círculo e a um ponto da circunferência que delimita o círculo. Note que, caso a perspetiva de V estivesse no interior da circunferência, sucederia exatamente o mesmo a perspetiva do cone resumir-se-ia a um círculo e a um ponto do círculo. A existência de geratrizes do contorno aparente só se verifica quando a perspetiva do vértice do cone está no exterior da circunferência, conforme exposto nas páginas 266 e 267 do Manual. 131

297. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Tratando-se de uma perspetiva planométrica, o plano axonométrico é o plano XY. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 145 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 125 (que é outro ângulo obtuso). A perspetiva do eixo Z desenha-se na vertical. A figura está contida num plano frontal (paralelo ao plano XZ), pelo que se projeta em V.G. no plano XZ assim, rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico, conforme exposto no relatório do exercício 269 (para representar a figura em Dupla Projeção Ortogonal), e representou-se o ponto Q em Dupla Projeção Ortogonal. Por Q 1, a projeção horizontal de Q, conduziu-se o traço horizontal do plano ϕ (o plano frontal que contém a figura). Com centro em Q 2r, a projeção frontal de Q em rebatimento, desenhou-se a circunferência circunscrita ao pentágono (que tem 3,5 cm de raio). Em seguida, efetuou-se a construção do polígono em rebatimento em V.G. (a figura projeta-se em V.G. no plano XZ), atendendo ao pretendido o lado [AB] é vertical e é o lado de maior abcissa (situa-se à esquerda de Q). O pentágono [A 2r B 2r C 2r D 2r E 2r ] é a projeção frontal do pentágono pretendido, em rebatimento. As projeções horizontais dos seis pontos estão sobre h ϕ, pois o plano ϕ é projetante frontal. Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, conforme exposto no relatório do exercício 269, e inverteu-se o rebatimento do plano XZ, determinando, dessa forma, as perspetivas das projeções frontais dos seis pontos Q, A, B, C, D e E (aconselha-se a leitura do relatório do exercício 269). Para determinar a perspetiva do ponto Q conduziu-se, pela perspetiva de Q 2, a perspetiva da sua reta projetante frontal (que é paralela ao eixo Y) e, por Q 1, a perspetiva da reta projetante horizontal de Q (que é paralela à perspetiva do eixo Z) o ponto de concorrência das perspetivas das duas retas projetantes é a perspetiva do ponto Q. O processo exposto para determinar a perspetiva do ponto Q repetiu-se para os cinco vértices do pentágono, um a um (A, B, C, D e E), obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos cinco pontos, desenhou-se a perspetiva do polígono. Note que se representou, ainda, o traço lateral (de perfil) do plano ϕ p ϕ. 298. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Tratando-se de uma perspetiva plano métrica, o plano axonométrico é o plano XY. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com a parte positiva do eixo X um ângulo de 130 (que é um ângulo obtuso) e, com a parte positiva do eixo Y, um ângulo de 140 (que é outro ângulo obtuso). A perspetiva do eixo Z desenha-se na vertical. A figura está contida num plano de perfil (paralelo ao plano YZ), pelo que se projeta em V.G. no plano YZ assim, rebateu-se o plano YZ sobre o plano axonométrico (a charneira foi o eixo Y), para se representar a figura em Dupla Projeção Ortogonal o eixo Z r fica sobre o eixo X. Note que, tal como se expôs no exercício 294, a Dupla Projeção Ortogonal a que se faz referência é a que utiliza o plano YZ como um plano frontal de projeção a Dupla Projeção Ortogonal refere-se, assim, ao conjunto de duas projeções, mas não as usuais projeção horizontal e projeção frontal (as duas projeções são a projeção horizontal e a projeção lateral). Assim, representou-se o ponto Q na Dupla Projeção Ortogonal referida Q 1 é a projeção horizontal de Q e Q 3r é a projeção lateral do ponto Q, no rebatimento do plano YZ sobre o plano axonométrico (a projeção lateral do ponto existe no plano YZ). Por Q 1, a projeção horizontal de Q, conduziu-se o traço horizontal do plano π (o plano de perfil que contém a figura). Com centro em Q 3r, a projeção lateral de Q em rebatimento, desenhou-se a circunferência em V.G., que tem 3 cm de raio. Note que a projeção da circunferência é tangente ao eixo Y, pois, no espaço, a circunferência é (Continua na página seguinte) 132

tangente ao plano XY. A perspetiva de uma circunferência é uma elipse, cujo desenho requer, no mínimo, oito dos seus pontos e, sempre que possível, os seus dois eixos e o paralelogramo envolvente. Comecemos por determinar a perspetiva de Q 3. O ponto P é um ponto qualquer do eixo Z. Para determinar a direção de afinidade, é necessário rebater o eixo Z pelo rebatimento do seu plano projetante o eixo Z r1 é o eixo Z rebatido pelo rebatimento do seu plano projetante e fica perpendicular à perspetiva do eixo Z. Com o compasso, fazendo centro em O e raio até P r, desenhou-se um arco de circunferência a partir de P r até ao eixo Z r1, no qual se situa P r1 (que é o outro extremo do arco). Por P r1 conduziu-se uma reta projetante em rebatimento, com a inclinação pretendida, e determinou-se a perspetiva de P sobre a perspetiva do eixo Z. A reta que passa por P r e pela perspetiva de P é a reta d, que é a direção de afini dade que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ. As projeções do ponto Q (projeção lateral e projeção hori zontal) são dois extremos da linha de chamada do ponto Q a linha de chamada de Q tem extremos em Q 1 e em Q 3 e é quebrada no eixo X. A parte da linha de chamada de Q que está contida no plano YZ, em perspetiva, é paralela à perspetiva do eixo Z. Pelo ponto de interseção da linha de chamada de Q com o eixo Y conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Z o ponto de interseção dessa reta com a reta paralela a d que passa por Q 3r é a perspetiva de Q 3. Em seguida, efetuaram-se os procedimentos necessários à construção da perspetiva da projeção lateral da circunferência, que também é uma elipse (é uma elipse geometricamente igual à elipse que será a perspetiva da cir cunferência dada). Começou-se por determinar a mediatriz do segmento de reta [Q 3r Q 3 ], ou seja, o segmento cujos extremos são a perspetiva de Q 3 e a sua projeção lateral, em rebatimento. A mediatriz do segmento interseta a charneira do rebatimento do plano YZ (o eixo Y) no ponto M com centro em M e raio M Q 3 (que é igual a M Q 3 ), r dese nhou-se uma semicircunferência, que passa necessariamente por Q 3r e por Q 3 e que interseta o eixo Y (a char neira do rebatimento do plano YZ) em R e S. R e S são dois pontos da charneira, pelo que são fixos rodam sobre si próprios. Qualquer ângulo inscrito nessa semicircunferência, é necessariamente um ângulo reto. Assim, desenhou-se o triângulo [RQ 3r S], que é retângulo em Q 3r. O lado [RQ 3r ] está contido na reta a r e o lado [Q 3r S] está contido na reta b r. Note que a r e b r são perpendiculares entre si. Em seguida, inscreveu - -se a circunferência num quadrado, de lados paralelos, precisamente, a a r e a b r. e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado os pontos de interseção das medianas e das diagonais do quadrado com a circunferência são os oito pontos cujas perspetivas nos permitem desenhar a elipse. O passo seguinte consiste em desenhar a perspetiva do quadrado, o que se processa obtendo, em primeiro lugar, as perspetivas das retas a e b. A perspetiva de a passa por R (que é um ponto da char neira, pelo que é fixo) e pela perspetiva de Q 3, tal como a perspetiva de b passa por S (que é um ponto da charneira, pelo que é fixo) e pela perspetiva de Q 3. O triângulo [RQ 3 S] é também um triângulo retângulo, em Q 3, pois está igualmente inscrito numa semicircunferência, pelo que as perspetivas das retas a e b são perpendiculares entre si. A r e B r são os pontos do quadrado que estão sobre a reta a r estes pontos foram transportados para a perspetiva de a, com o recurso à direção de afinidade. C r e D r são os pontos do quadrado que estão sobre a reta b r estes pontos foram transportados para a perspetiva da reta b, com o recurso à direção de afinidade. A partir das perspetivas de A, B, C e D construiu-se o retângulo envolvente da elipse, e desenharam-se as suas diagonais note que os pontos A, B, C e D são os pontos em que a elipse será tangente aos lados do retângulo. Os pontos E r e F r são os pontos da reta a r que nos dão as referências dos quatro pontos da circunferência que estão sobre as diagonais E r e F r foram transportados para a perspetiva da reta a através da direção de afinidade. Pelas perspetivas de E e F conduziram-se paralelas à perspetiva da reta b que, ao intersetarem as diagonais do retângulo, nos deram os quatro pontos da elipse que estão sobre as diagonais do retângulo. A partir destes pontos, já se têm os oito pontos que nos permitem desenhar a curva, atendendo a que [AB] é o eixo maior da elipse e que [CD] é o seu eixo menor. Note que a elipse desenhada é a perspetiva da projeção lateral da elipse pretendida. Assim, considerando que o plano π é um plano projetante horizontal, transportaram-se, para o plano π, todas as referências que nos permitiram o desenho da elipse, efetuando uma translação dessas referências ao longo da direção das perspetivas das projetantes laterais (paralelas ao eixo X) essas referências são a reta a, a reta b, o retângulo envolvente, os pontos A, B, C, D, E e F. Assim, a reta a é a projeção lateral de uma reta a, contida no plano π. A reta b é a projeção late ral de uma reta b, contida no plano π. Os pontos A, B, C, D, E e F são as projeções laterais de outros pontos A, B, C, D, E e F, contidos no plano π. A partir dessas referências (idênticas às determinadas para o desenho da primeira elipse), desenhou-se a elipse que é a perspetiva da circunferência dada. 299. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados (ver exercício anterior) o plano axono métrico é o plano XY. Em seguida rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico (o plano XY), com vista à repre sentação do sólido em Dupla Projeção Ortogonal a charneira do rebatimento foi o eixo X e o eixo Z r fica sobre o eixo Y. Representou-se o cilindro em Dupla Projeção Ortogonal, pela sua projeção horizontal e pela sua projeção frontal (no plano XZ rebatido sobre o plano XY, em torno do eixo X) Q é o centro da base inferior e Q o centro da base superior. Q é um ponto do próprio plano XY. Q 2r é a projeção frontal de Q rebatida, pelo rebatimento do plano XZ. Por Q 2r conduziu-se o traço frontal do plano ν em rebatimento f νr (ν é o plano horizontal que contém a base superior do sólido). A base inferior do sólido está contida no próprio plano axonométrico, pelo que está em V.G. ao contrário da situação anterior, a perspetiva da circunferência é (Continua na página seguinte) 133

a própria circunferência. Em seguida determinou-se a direção de afinidade d (ver exercício 269) e inverteu-se o rebatimento do ponto Q, conforme exposto no relatório do exercício 297. Q 2 é a perspetiva da projeção frontal de Q e Q é a perspetiva propriamente dita do ponto. Por Q 2 conduziu-se a perspetiva do traço frontal de ν (f ν ), que é paralela ao eixo X, e pelo ponto de concorrência de f ν com a perspetiva do eixo Z conduziu-se a perspetiva do traço lateral (de perfil) do plano ν (p ν ). A base superior está contida num plano horizontal (de nível), que é paralelo ao plano axonométrico, pelo que a perspetiva da base superior não apresenta qualquer deformação projeta-se em V.G., ou seja, a sua perspetiva é outra circunferência, geometricamente igual à primeira. Assim, com centro em Q, desenhou-se uma circunferência com 3 cm de raio, que será a perspetiva da base superior do sólido. Há, agora, que determinar as geratrizes do contorno aparente do cilindro. Estas determinam-se com o recurso aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a uma reta projetante. Para tal há que conduzir, por um ponto qualquer, duas retas uma reta paralela às geratrizes do cilindro e uma reta projetante. Para evitar um tra çado excessivamente complexo e denso, optou-se por considerar o Q como o ponto pelo qual se conduzirão as duas retas. Uma das retas é a reta suporte do próprio eixo do cilindro é a reta paralela às geratrizes do sólido que passa por Q. Em seguida, conduziu-se, por Q, uma reta projetante a reta r. A perspetiva da reta r é um ponto, pelo que se assinalou devidamente com parênte sis. A reta suporte do eixo do cilindro e a reta r definem um plano θ há que deter minar a reta de interseção desse plano (plano θ) com o plano da base de referência do cilindro (considerou-se, como base de referência, a base que está contida no plano XY a base inferior). A reta r interseta o plano XY no ponto I. A perspetiva do ponto I está coincidente com a perspetiva da reta r e com a perspetiva de Q I (r) Q. A reta suporte do eixo do cilindro interseta o plano XY no ponto Q (o centro da base que está contida no plano XY a base infe rior). A reta de interseção do plano θ com o plano XY está definida por I e por Q é a reta i. Em seguida, há que con duzir as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas à reta i atendendo a que a base de refe rência está em V.G., esta construção é direta. As retas t e t são as retas tangentes à base inferior do cilindro que são paralelas à reta i os pontos A e B são os respetivos pontos de tan gência. Os pontos correspondentes da outra base são A e B. As geratrizes do contorno aparente são [AA ] e [BB ]. A partir das geratrizes do contorno aparente, desenhou-se a perspetiva do sólido, assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro. 300. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano XY, o eixo X e o eixo Y fazem, entre si, um ângulo de 90. A perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas do eixo X e do eixo Z ângulos de 135 (ângulos obtusos) e desenha-se na vertical. Para desenhar a perspetiva do objeto dado a partir das suas projeções, há que, em primeiro lugar, representar as suas projeções nas faces do triedro, à semelhança do referido no relatório do exercício 277. No entanto, para determinados objetos, são suficientes duas projeções, desde que estas sejam criteriosamente escolhidas. O objeto dado apresenta uma rampa, que não é percetível em projeção frontal, pelo que, recorrendo apenas a duas projeções, será aconselhável que essas projeções sejam a sua projeção horizontal (a projeção do objeto no plano XY) e a sua projeção lateral (a projeção do objeto no plano YZ, na qual se vê claramente a rampa). Para tal, rebateu-se o plano YZ sobre o plano axonométrico (a charneira foi o eixo Y) o eixo Z r fica sobre o eixo X. Note que, tal como se expôs no exercício 294, a Dupla Projeção Ortogonal a que se faz referência é a que utiliza o plano YZ como um plano frontal de projeção a Dupla Projeção Ortogonal refere-se, assim, ao conjunto de duas projeções, mas não as usuais projeção horizontal e projeção frontal (as duas projeções são a projeção horizontal e a projeção lateral). O vértice A do objeto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial o ponto O. Em função das projeções dadas, conclui-se que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados uma vez que o ponto A é a origem do referencial, conclui-se que o objeto se apoia nos três planos coordenados e que tem arestas contidas nos eixos coordenados. Em V.G., representaram-se a projeção horizontal do objeto (que existe no próprio plano axonométrico o plano XY) e a sua projeção lateral (no plano YZ rebatido sobre o plano axonométrico). Em seguida, determinou-se a direção de afinidade d, que nos permite inverter o rebatimento do plano YZ ver relatório do exercício 298. Com o recurso à direção de afinidade, inverteu-se o rebatimento do plano YZ e obteve-se a perspetiva da projeção lateral do objeto. Pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram-se as perspetivas das respetivas retas projetantes, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. 134

301. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o plano axonométrico é o plano YZ, a perspetiva do eixo X (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados). O vértice A do objeto, pelas suas coordenadas, é a própria origem do referencial o ponto O. Em função das projeções dadas, conclui-se que o sólido tem três faces paralelas aos planos coordenados uma vez que o ponto A é a origem do referencial, conclui-se que o objeto se apoia nos três planos coordenados e que tem arestas contidas nos eixos coordenados. Desenharam-se as perspetivas das três projeções do sólido, nas faces do triedro, tendo em conta que as medidas no eixo Y e no eixo Z estão em V.G. e as medidas no eixo X estão reduzidas a metade (o coeficiente de redução normalizado é 0,5). Em seguida, pelas projeções de cada um dos vértices do objeto conduziram - -se as perspetivas das respetivas retas projetantes, obtendo as suas perspetivas e, em simultâneo, as perspetivas das arestas do sólido. Estas permitiram-nos desenhar a perspetiva do sólido, na qual se assinalaram convenientemente as invisibilidades existentes. 302. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. O plano axonométrico é o plano XY. Numa perspetiva planométrica normalizada, a perspetiva do eixo Z (o eixo que não está contido no plano axonométrico) faz, com as partes positivas dos outros dois eixos ângulos de 135 (os ângulos normalizados) e representa-se convencional mente na vertical. Representaram-se os pontos A e B pelas suas coordenadas (abcissa e afastamento) em V.G., pois A e B estão contidos no plano XY (que é o plano axonométrico). Em seguida, uma vez que o quadrado [ABCD] está contido no plano axonométrico, construiu-se o quadrado em V.G., a partir de A e B e garantindo que a figura se situa no 1. o Triedro (todos os seus vértices têm abcissa e afastamento positivos). Todos os vértices do quadrado têm cota nula, pelo que estão oincidentes com as respetivas projeções horizontais. O quadrado [ABCD] tem 5 cm de lado e é a face inferior do cubo a sua face superior é outro quadrado, cuja projeção horizontal está coincidente com o quadrado [A 1 B 1 C 1 D 1 ]. Em projeção horizontal, determinaram-se os pontos médios dos lados do quadrado [A 1 B 1 C 1 D 1 ], obtendo um outro quadrado o quadrado [J 1 K 1 L 1 M 1 ]. Este é a projeção horizontal do quadrado da base da pirâmide V 1, a projeção horizontal do vér tice da pirâmide, é o centro do quadrado. Todas estas construções se processaram em V.G., por se situarem no plano axo nométrico. Há, agora, que determinar as medidas referentes ao eixo Z, cujo coeficiente de redução normalizado é 2/3. Uma vez que o cubo tem 5 cm de aresta e 2/3 de 5 cm é 3,33333..., que não é um valor exato, efetuaram-se os traça dos explicitados no relatório do exercício 273, com vista a determinar, graficamente, 2/3 de 5 cm. Esses traçados permiti ram-nos determinar um segmento de reta [OP], em que O é a origem do referencial e P um ponto do eixo Z tal que O P = 2/3 5 cm. A partir do ponto P, desenhou - -se a perspetiva da face superior do cubo. Há, agora, que determinar 2/3 de 7 cm (a altura da pirâmide). Repetindo a construção exposta no relatório exercício 273, determinou-se um ponto Q, do eixo Z, tal que = 2/3 7 cm. A base da pirâmide está ao nível de P, pelo que, com o compasso, se mediu o compri mento de [OQ] e, fazendo centro em P e com raio O Q, se obteve um ponto R, do eixo Z, a que corresponde a altura da pirâmide (note que P R = O Q ). A partir do ponto R, determinou-se a perspetiva do vértice V, da pirâmide, e desenhou-se a perspetiva do conjunto de sólidos, assinalando convenientemente as invisibilidades existentes. 303. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida, optou-se por recorrer ao método dos cortes para a resolução do problema. Uma vez que o quadrado [ABCD] (a base da pirâmide) está contido no plano XY, rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta (ver relatório do exercício 248). Sobre o plano XY rebatido e transla dado, representaram-se A r e C r, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento, pois os dois pontos têm cota nula). O quadrado está contido no plano XY, pelo que, no rebatimento do plano XY, o quadrado está em V.G. a partir de A r e C r construiu-se um quadrado [A r B r C r D r ], garantindo a figura se situa no 1. o Triedro (todos os vértices do polígono têm (Continua na página seguinte) 135

abcissa e afastamento positivos). Uma vez que a figura está contida no plano XY, as projeções laterais de todos os seus vértices estão no eixo Y A 3r, B 3r, C 3r e D 3r são, respetivamente, as projeções laterais de A, B, C e D, em rebatimento. Em seguida, procedeu-se à inversão do rebatimento, com o recurso a retas perpendiculares à char neira. Conduziu-se, por A 3r, uma perpendicular à charneira, e obteve-se a perspetiva de A 3 sobre a perspetiva do eixo Y (A 3 é um ponto do eixo Y). Pela perspetiva de A 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de A (que é paralela à perspetiva do eixo X) e o ponto em que esta interseta a perpendicular à charneira que passa por A r é a perspetiva de A. O processo acima exposto para inverter o rebatimento do ponto A repetiu-se para os restantes vértices do quadrado, um a um (B, C e D), bem como para o centro do quadrado, o ponto Q, obtendo as suas perspetivas. A partir das perspetivas dos seus quatro vértices, desenhou-se a perspetiva do quadrado. É dado que o eixo da pirâmide está contido numa reta frontal (de frente) reta f. A projeção horizontal da reta f é paralela ao eixo X (todos os seus pontos têm o mesmo afastamento), pelo que, no rebatimento do plano XY, a reta f 1r, passando por Q 1r é a projeção horizontal da reta f em rebatimento e, em perspetiva, a reta f 1, passando pela perspetiva de Q, é a perspetiva da projeção horizontal da reta f. A projeção horizontal do vértice da pirâmide é um ponto de f 1. Põe-se agora o problema do ângulo que a reta f faz com o plano XY esse ângulo está em V.G. no plano XZ, pelo que é necessário efetuar o rebatimento do plano XZ para representar esse ângulo em V.G. recorreu-se de novo ao método dos cortes, para garantir uma relação direta entre o rebatimento e a perspetiva. No plano XZ, rebatido e transladado, a partir de O r, mediu-se um ângulo de 60 (a.e.) e representou-se uma reta f r esta não é a reta f, mas uma outra reta paralela à reta f. Sobre a reta f r representou-se um ponto P r, com a cota de V note que a pirâmide tem 8 cm de altura e, como a sua base tem cota nula, o vértice da pirâmide tem 8 cm de cota, que é a cota de P r. Inverteu-se o rebatimento e obteve-se a perspetiva de P a perspetiva da reta f está definida por O e pela perspetiva de P. Em seguida determinou-se Q 2, a perspetiva da projeção frontal de Q (o centro do quadrado) pela perspetiva de Q 2 conduziu-se a perspetiva de f 2 (a perspetiva da projeção frontal da reta f). V 2 situar-se-á sobre f 2, com a cota de P transportou-se a cota de P para f 2, com o recurso a uma paralela à perspetiva do eixo X, e determinou-se V 2, a perspetiva da projeção frontal de V. A partir desta, com o recurso à perspetiva da linha de cha mada de V, determinou-se a perspetiva da projeção horizontal de V V 1 sobre a perspetiva da projeção hori zontal da reta f f 1. A partir das perspetivas das duas projeções de V determinou-se a perspetiva de V. Em seguida desenhou-se a perspetiva do sólido o contorno aparente é [ABCVD]. Todos os vértices integram o contorno aparente. No entanto, a base é invisível, bem como a face lateral [CDV], pelo que a aresta [CD], da base, é invisível. As restantes faces e as restantes arestas do sólido são visíveis. 304. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados. Uma vez que o eixo Y é o que sofre uma redução isolada, sabe-se que a sua perspetiva faz, com as perspetivas dos outros dois eixos, dois ângulos iguais. As perspetivas dos outros dois eixos fazem, entre si, um ângulo de 110 a diferença é 250 (360 110 = 250 ). Assim, a perspetiva do eixo Y fará, com as perspetivas dos outros dois eixos, ângulos de 125 (250 : 2 = 125 ). Em seguida, optou-se por recorrer ao método dos cortes para a resolução do problema. Uma vez que o triângulo [ABC] (a base inferior do prisma) está contido no plano XY, rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axonométrica e efetuou-se a sua translação para fora desta. Sobre o plano XY rebatido e transla dado, representou-se A r, em função das suas coordenadas (abcissa e afastamento, pois o ponto tem cota nula). O triângulo está contido no plano XY, pelo que, no rebatimento do plano XY, o triângulo está em V.G. a partir de A r construiu-se um triângulo [A r B r C r ], de acordo com os dados (o lado [A r B r ] é paralelo ao eixo Y r ), garantindo a figura se situa no 1. o Triedro (todos os vértices do polígono têm abcissa e afastamento positivos). Optou-se por representar, também, a projeção horizontal do ponto A no rebatimento do plano XY A 1r é a projeção horizontal de A no rebatimento do plano XY. Em seguida, inverteu-se o rebatimento, conforme exposto no relatório do exercício anterior, obtendo as perspetivas de A, B e C e desenhando, assim, a perspetiva do triângulo que é a base inferior do sólido. Em seguida determinou-se a perspetiva da cota do plano ν, o plano horizontal (de nível) que contém a base superior do prisma (o quadrado [A B C D ]) as cotas medem-se no eixo Z. Nesse sentido, rebateu-se o eixo Z, pelo rebatimento do plano XZ (método do rebatimento dos planos coordenados) e sobre o eixo Z r a partir de O r, representou-se a cota de ν (que é a cota de A 7 cm) em V.G. invertendo o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira, determinou-se, (Continua na página seguinte) 136

sobre a perspetiva o eixo Z, a perspetiva do ponto de concorrência dos traços frontal e lateral do plano ν, cujas perspetivas se desenha ram imediatamente (f ν é a perspetiva do traço frontal de ν e p ν é a perspetiva do traço lateral de ν). Note que, no rebatimento do plano XZ, se omitiu a representação do eixo X r, por não ser necessária. Note ainda que, uma vez que o eixo X e o eixo Z têm o mesmo coeficiente de redução, se poderia ter determinado a perspetiva da cota de ν sobre a perspetiva do eixo X e, em seguida, efetuado o transporte dessa medida para a perspetiva do eixo Z, com o compasso. Com um processo idêntico ao descrito no exercício anterior para obter a perspetiva do ponto A, determinou-se a perspetiva do ponto A A 3 é a perspetiva da projeção lateral de A e situa-se sobre p ν. A perspetiva da projeção lateral da aresta lateral [AA ] do prisma é [A 3 A 3 ]. Por B 3, a perspetiva da projeção lateral de B, conduziu-se uma paralela a [A 3 A 3 ], obtendo B 3 sobre p ν B 3 é a perspetiva da projeção lateral de B, o extremo superior da aresta lateral [BB ]. Por B 3 conduziu-se a perspetiva da reta projetante lateral de B o ponto em que a projetante lateral interseta a paralela a [AA ] que passa por B é a perspetiva de B. O processo descrito repetiu-se para a determinação da perspetiva do vértice C. A partir das perspetivas dos três vértices da base superior, desenhou-se a perspetiva do triângulo [A B C ], bem como a perspetiva do prisma. O contorno aparente é [BCC A B ]. O único vértice que não integra o contorno aparente é A, que é invisível, bem como todas as arestas que nele convergem. A base inferior é invisível e a base superior é visível. 305. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados que fazem, entre si, ângulos de 120. Em seguida, efetuaram- -se as construções necessárias à determinação da perspetiva da base do cone, que será uma elipse. Note que o objetivo do exercício é perspetiva de um cone. Nesse sentido, sublinha-se que é não é aconselhável o recur so ao método dos cortes, em função dos traçados que se seguem à construção da elipse deve-se recorrer ao método do rebatimento dos planos coordenados. Assim, começou-se por rebater o plano XY (o plano que contém a base do cone) no plano XY rebatido representou-se Q r (o centro da circunfe rência em rebatimento) e desenhou-se a cir cunferência, com centro em Q r e 3,5 cm de raio. Em seguida inscreveu-se a cir cunferência num quadrado de lados para lelos à charneira do rebatimento (o eixo de homologia) e desenharam-se as medianas e as diagonais do quadrado. A r é o ponto em que a reta suporte de uma das diagonais do quadrado interseta o eixo Y r conduzindo, por A r uma perpendi cular à charneira, determinou- -se a perspetiva de A sobre a perspetiva do eixo Y. A perspetiva da reta suporte da dia gonal fica definida pelo ponto B (o ponto em que interseta a charneira, que é fixo B B r ) e pela perspetiva de A. Com o recurso a retas perpendiculares à charneira, determinaram-se as perspetivas de Q (que é um ponto da diagonal) e do vértice do quadrado que é oposto a A (que é o outro extremo da dia gonal). A partir dos três pontos (a perspetiva de Q e as perspetivas dos dois extremos de uma diagonal do quadrado) construiu-se a perspetiva do quadrado, que é um retângulo. Em seguida, pela perspetiva de Q conduziram-se as perspetivas das medianas do qua drado (que são as medianas do retângulo) bem como a perspetiva da outra dia gonal transportando para a perspetiva, com o recurso a perpendiculares à charneira, os pontos em que a circunfe rência corta as diagonais do quadrado, determi naram-se os oito pontos que nos permitem desenhar a elipse (ver rela tório do exercício 279). Optou-se, no entanto, por não desenhar ime diatamente a elipse, pois a determinação das gera trizes do contorno aparente do cone irá fornecer-nos mais dois pontos da curva. Passou-se, então, para a determina ção da perspetiva do sólido. Em primeiro lugar há que determinar a perspetiva de V, o vértice do cone, o que se efetuou conforme exposto no relatório do exercício 248. Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido, há que recorrer aos planos tangentes ao cone que são paralelos a uma reta projetante. Para tal conduziu-se, por V, uma reta i, projetante (ortogonal ao plano axonométrico) a perspetiva da reta i é um ponto, pelo que se assinalou devidamente com parênte sis. Em seguida determinou-se o ponto de interseção da reta i com o plano da base (o plano XY) o ponto I. A perspetiva do ponto I está coincidente com a perspetiva da reta i e com a perspetiva de V I (i) V. Por I há que conduzir as retas tangentes à base do cone esta constru ção não se pode processar direta mente em perspetiva. Assim, há que efetuar este procedimento em rebatimento. Para tal, rebateu-se o ponto I pelo rebatimento já efetuado do plano XY (o ponto I é um ponto do plano XY). Pela perspetiva de I conduziu-se a perspetiva de uma reta paralela ao eixo X a reta h. A reta h é concorrente com a charneira do rebatimento no ponto H, que é um ponto fixo H H r. Por H r conduziu-se a reta h r (a reta h em rebati mento), para lela ao eixo X r. O ponto em que h r é concorrente com a (Continua na página seguinte) 137

perpendicular à charneira que passa pela perspetiva de I é I r. Por fim, por I r conduziram-se as tangentes à circunferência em V.G., em rebatimento (as retas t r e t r ), obtendo os pontos T e T, os pontos de tan gência. Para determi nar as perspetivas de T e T conduziu - -se, por T r e T r, uma reta m r. A reta m r interseta a charneira do rebatimento no ponto M r, que é fixo M M r. A reta m r interseta o eixo X r no ponto N r a perspetiva de N determina - -se imediatamente sobre a perspetiva do eixo X, atra vés da perpendicular à charneira que passa por N r. A perspetiva da reta m fica definida pelas perspetivas de M e N. As perspetivas de T e T estão sobre a perspetiva de m, nos pontos de concorrência desta com as perpendi culares à charneira que passam por aqueles pontos. As geratrizes do contorno aparente são [TV] e [T V], cujas perspetivas se desenharam imediatamente. Note que se dese nharam, também, as perspetivas das retas t e t estas estão definidas pelos seus pontos de concorrência com a char neira (que são fixos) e pela perspetiva de V. A partir dos dez pontos já determinados da elipse, desenhou-se a curva, atendendo a que a elipse é concordante com a perspetiva da geratriz [TV] em T e é concordante com a perspetiva da ge ratriz [T V] em T. Assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base, obteve-se a perspetiva do cone. 306. Em primeiro lugar, desenharam-se as perspetivas dos três eixos coordenados (ver exercício anterior) o plano axono métrico é o plano XY. Em seguida rebateu-se o plano XZ sobre o plano axonométrico (o plano XY), com vista à repre sentação do sólido em Dupla Projeção Ortogonal a charneira do rebatimento foi o eixo X e o eixo Z r fica sobre o eixo Y. Representou-se o cilindro em Dupla Projeção Ortogonal, pela sua projeção horizontal e pela sua projeção frontal (no plano XZ rebatido sobre o plano XY, em torno do eixo X). Note que a base inferior é tangente ao eixo X e a base superior, em projeção horizontal, é tangente ao eixo Y. Q é um ponto do próprio plano XY. Q 2r é a projeção frontal de Q rebatida, pelo rebatimento do plano XZ. Por Q 2r conduziu-se o traço frontal do plano ν em rebatimento f νr (ν é o plano horizontal que contém a base superior do sólido). A base inferior do sólido está contida no próprio plano axonométrico, pelo que está em V.G. a perspetiva da base é a própria circunferência que a delimita. Em seguida determinou-se a direção de afinidade d (ver exercício 267) e inverteu-se o rebatimento do ponto Q, conforme exposto no relatório do exercício 297. Q 2 é a perspetiva da projeção frontal de Q e Q é a perspetiva propriamente dita do ponto. Por Q 2 conduziu-se a perspetiva do traço frontal de ν (f ν ), que é paralela ao eixo X, e pelo ponto de concorrência de f ν com a perspetiva do eixo Z conduziu-se a perspetiva do traço lateral (de perfil) do plano ν (p ν ). A base superior está contida num plano horizontal (de nível), que é paralelo ao plano axonométrico, pelo que a perspetiva da base superior não apresenta qualquer deformação projeta-se em V.G., ou seja, a sua perspetiva é outra circunferência, geometricamente igual à primeira. Assim, com centro em Q, desenhou-se uma circunferência com 3 cm de raio, que será a perspetiva da base superior do sólido. Há, agora, que determinar as geratrizes do contorno aparente do cilindro. Estas determinam-se com o recurso aos planos tangentes ao cilindro que são paralelos a uma reta projetante. Para tal há que conduzir, por um ponto qualquer, duas retas uma reta paralela às geratrizes do cilindro e uma reta projetante. Para evitar um tra çado excessivamente complexo e denso, optou-se por considerar o Q como o ponto pelo qual se conduzirão as duas retas. Uma das retas é a reta suporte do próprio eixo do cilindro é a reta paralela às geratrizes do sólido que passa por Q. Em seguida, conduziu-se, por Q, uma reta projetante a reta r. A perspetiva da reta r é um ponto, pelo que se assinalou devidamente com parênte - sis. A reta suporte do eixo do cilindro e a reta r definem um plano θ há que deter minar a reta de interseção desse plano (plano θ) com o (Continua na página seguinte) 138

plano da base de referência do cilindro (considerou-se, como base de referência, a base que está contida no plano XY a base inferior). A reta r interseta o plano XY no ponto I. A perspetiva do ponto I está coincidente com a perspetiva da reta r e com a perspetiva de Q I (r) Q. A reta suporte do eixo do cilindro interseta o plano XY no ponto Q (o centro da base que está contida no plano XY a base infe rior). A reta de interseção do plano θ com o plano XY está definida por I e por Q é a reta i. Em seguida, há que con duzir as retas tangentes à base de referência do cilindro que são paralelas à reta i atendendo a que a base de refe rência está em V.G., esta construção é direta. As retas t e t são as retas tangentes à base inferior do cilindro que são paralelas à reta i os pontos A e B são os respetivos pontos de tan gência. Os pontos correspondentes da outra base são A e B. As geratrizes do contorno aparente são [AA ] e [BB ]. A partir das geratrizes do contorno aparente, desenhou-se a perspetiva do sólido, assinalando convenientemente a parte invisível do contorno da base inferior do cilindro. 139