APLICAÇÃO DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA-PAREDECOM UMA ABERTURA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL APLICAÇÃO DO MODELO DE BIELAS E TIRANTES PARA O DIMENSIONAMENTO DE UMA VIGA-PAREDECOM UMA ABERTURA RAFAEL ARAÚJO GUILLOU Trabalho Final do Curso de Sistemas Estruturais em Concreto Armado Professor: Prof. Dr. Wayne Santos de Assis Maceió 2013

RESUMO Elementos convencionais de concreto armado são estudados baseados na hipótese simplificadora de Bernoulli, a qual assume que as deformações ao longo da altura do elemento fletido são mantidas lineares e por consequência, a seção transversal permanece reta. Para determinados elementos esta hipótese não é válida, seja por motivos de estaticidade ou geométricos. Entre outros exemplos, um muito usual é a viga-parede, por conta da sua elevada altura em relação a um pequeno vão. Este elemento que é considerado descontínuo se torna mais complexo ainda com a existência de uma abertura com grandes dimensões. Assim, justifica-se a necessidade de um modelo especial para seu dimensionamento, sendo uma das possibilidades a utilização de um modelo de bielas e tirantes. Sendo assim, este trabalho tem como objetivo estudar um modelo de bielas e tirantes desenvolvido a partir de um estudo elástico de tensões, desenvolvido com o auxilio do programa computacional ABAQUS, e tendo como referência bibliografias já consagradas. Como resultado obteve-se o dimensionamento e detalhamento de um exemplo de viga-parede. Palavras-chave: concreto armado; viga-parede; abertura; modelo de bielas e tirantes.

Abstract Conventional reinforced concrete elements are studied based on Bernoulli simplifying assumption which assumes that the strains along the height of the bent element is kept linear and therefore the cross section remains straight. For certain elements this assumption is not valid, either for static or geometrical reasons. Among other examples, a common one is the deep-beam, because of its great height for a small span. This element is considered discontinuous becomes even more complex with the existence of a gap with large dimensions. This justifies the need for a special assembly for its designing, and one possibility is to use a model of strut and tie. Thus, this paper aims to study a strut and tie model developed from a study of elastic stresses, developed with the help of the software ABAQUS, and with wellknown reference bibliographies. As a result there was obtained the design and detail of an example of beam-wall. Keywords: reinforced concrete; deep-beam; gap; strut and tie model.

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 10 1.1 COMENTÁRIOS INICIAIS... 10 1.2 JUSTIFICATIVA... 11 1.3 OBJETIVOS... 11 1.4 DELIMITAÇÃO DO TRABALHO... 12 1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO... 12 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 13 2.1 VIGAS-PAREDE... 13 2.1.1 Definições e Aspectos Normativos... 13 2.1.2 Comportamento Estrutural... 14 2.1.3 Mecanismos de Ruptura de Vigas-Parede... 15 2.2 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES... 17 2.2.1 Dimensionamento dos Tirantes... 21 2.2.2 Dimensionamento das Bielas... 21 2.2.3 Dimensionamento dos nós... 25 2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)... 31 3. ANÁLISES NUMÉRICAS... 33 3.1 METODOLOGIA... 33 3.1.1 Geometria... 33 3.1.2 Elemento Finito e Malha... 34 3.1.3 Propriedades do Material... 36 3.1.4 Ações e Condições de Contorno... 36

3.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS... 36 4. MODELO DE BIELAS E TIRANTES... 41 4.1 ELABORAÇÃO DO MODELO... 41 4.2 ANÁLISE DO MODELO... 45 5. DIMENSIONAMENTO DA VIGA-PAREDE... 48 5.1 DIMENSIONAMENTO DOS TIRANTES... 48 5.2 VERIFICAÇÃO DAS BIELAS E REGIÕES NODAIS... 49 5.3 DETALHAMENTO... 51 6. CONSIDERAÇÕES FINAIS E CONCLUSÕES... 53

LISTA DE FIGURAS Figura 1: Empenamento da seção transversal devido ao cisalhamento (Fusco, 2008)... 10 Figura 2: Exemplos de utilização das vigas parede (Silva & Giongo, 2000)... 11 Figura 3: Abertura em vigas-parede (NBR 6118, 2003)... 14 Figura 4: Distribuições de tensões em vigas biapoiadas Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000)... 15 Figura 5: Ruptura por flexão de vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012) 16 Figura 6: Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012)... 16 Figura 7: Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012)... 17 Figura 8: Ruptura por flexão-cisalhamento em vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012)... 17 Figura 9: Regiões B (Bernoulli) e D (Descontínua) (Silva & Giongo, 2000)... 18 Figura 10: Posição das bielas e tirantes a partir dos diagramas de tensão (Schlaich et. al., 1987)... 20 Figura 11: Configurações típicas de distribuições de tensão de compressão... 22 Figura 12: Falha do elemento devido a não consideração das tensões transversais (Schlaich et. al., 1987)... 22 Figura 13: Representação de uma biela com configuração curvilínea (adaptado de Schlaich et. al., 1987)... 23 Figura 14: Exemplos de nós contínuos (A) e singulares (B) (adaptado de Schlaich et. al., 1987)... 26 Figura 15: Classificação dos nós (ACI 318, 2005)... 26 Figura 16: Nó-CCC em estado hidrostático plano (ACI 318, 2005)... 27 Figura 17: Caso de nó-ccc em estado hidrostático (Bergmeister et. al., 1993)... 28 Figura 18: Zona nodal estendida e caso de nó-cct (ACI 318, 2005)... 28 Figura 19: Zona nodal estendida e caso de nó-ctt (ACI 318, 2005)... 29 Figura 20: Parâmetros de resistência das regiões nodais, segundo a CSA-A23.3, 1994 (apud Silva & Giongo, 2000)... 31 Figura 21: Malha de elementos finitos (Liu & Quek 2003)... 32 Figura 22: Geometria da viga-parede estudada (Medidas em cm)... 34

Figura 23: Quadrilateral, serendipity, de oito nós... 34 Figura 24: Padrões de malhas estruturadas em duas dimensões... 35 Figura 25: Ações e condições de contorno no sistema... 36 Figura 26: Tensões principais mínimas ou de compressão... 37 Figura 27: Tensões principais máximas ou de tração... 37 Figura 28: Tensões principais mínimas, médias e máximas... 38 Figura 29: Tensões de cisalhamento e linha fictícia para divisão do modelo (kn/cm)... 39 Figura 30: Tensões na direção x (kn/cm)... 39 Figura 31: Diagrama de tensões transversais na seção de corte característica... 40 Figura 32: Regiões B1 e B2 do modelo... 40 Figura 33: Diagrama de tensões transversais característica da região B2... 41 Figura 34: Esquema inicial do modelo (medidas em cm)... 42 Figura 35: Modelo de bielas e tirantes do lado direito (medidas em cm)... 43 Figura 36: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E1)... 44 Figura 37: Modelo de bielas e tirantes do lado esquerdo (Modelo E2)... 44 Figura 38: Modelo completo de bielas e tirantes... 45 Figura 39: Modelo 1 de treliça.... 46 Figura 40: Modelo 2 de treliça... 46 Figura 41: Esforços axiais do Modelo 1 (kn)... 47 Figura 42: Esforços axiais do Modelo 2 (kn)... 47 Figura 43: Detalhamento da viga-parede (medidas em cm)... 52

LISTA DE TABELAS Tabela 1: Valores de β s, para as bielas, de acordo com a situação (ACI 318, 2005)... 24 Tabela 2: Valores de β n de acordo com a situação (ACI 318, 2005)... 30 Tabela 3: Valores de α de acordo com a situação (CSA-A23.3, 1994) (apud Silva & Giongo, 2000)... 30 Tabela 4: Dimensionamento dos tirantes... 48 Tabela 5: Resistência do nó CCC... 49 Tabela 6: Resistências para nós do tipo CCT... 50 Tabela 7: Resistências para nós do tipo CTT... 51

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ACI: American Concrete Institute... 28 CEB:Comite Euro-International du Beton... 29 CSA: Canadian Standards Association... 29 FIB: International Federation for Structural Concrete 29 MEF: Método dos Elementos Finitos... 36 NBR: Norma Brasileira... 21

10 1. INTRODUÇÃO 1.1 COMENTÁRIOS INICIAIS Há muito tempo se estuda o comportamento do concreto armado sob tensões de cisalhamento e ainda existe a dificuldade de se determinar a resistência do material sob tal solicitação. Segundo Bentz et al. (2006) (apud Nepomuceno, 2012), a maior parte dos códigos normativos apresenta formulações que predizem a carga última de flexão com erros máximos em torno de 10%, já no caso do cisalhamento, os erros chegam até uma razão de 2. A hipótese simplificadora de Bernoulli assume que as deformações ao longo da altura do elemento fletido são mantidas lineares e por consequência, a seção transversal permanece reta. No entanto, sabe-se que o cisalhamento provoca uma distorção nestas deformações, causando um chamado empenamento Figura 1), impossibilitando assim, a utilização da mecânica dos sólidos e as propriedades das seções transversais no cálculo dos esforços internos. Figura 1: Empenamento da seção transversal devido ao cisalhamento (Fusco, 2008) A partir de ensaios experimentais, verifica-se que esta simplificação é válida em vigas de qualquer material, quando o comprimento do vão é suficientemente maior que a altura da viga. Este não é o caso de vigas-parede, as quais se caracterizam justamente por sua elevada altura em relação ao vão. Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

11 1.2 JUSTIFICATIVA As vigas-parede são comumente utilizadas nas estruturas de concretos armado, independentemente de sua complexidade. Em estruturas de edifícios residenciais e comerciais, por exemplo, a utilização das vigas paredes é evidenciada nos reservatórios de água, em vigas de transição ou em paredes de contenção (Figura 2). Figura 2: Exemplos de utilização das vigas parede (Silva & Giongo, 2000) Sabendo da vasta utilização de vigas-parede na construção e da problemática envolvendo a utilização de métodos convencionais de cálculo, vê-se a necessidade de se conhecer modelos alternativos para dimensionamento e verificação de tais elementos. 1.3 OBJETIVOS Por ser um elemento diferenciado e complexo, uma das soluções adotadas para o dimensionamento do das vigas-parede é por meio de análises numéricas. Neste contexto o presente trabalho tem como objetivos: Objetivo principal: Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

12 Estudar um modelo de bielas e tirantes, definido a partir de análises numéricas, aplicados ao comportamento das tensões em vigas-parede. Objetivo Secundário: Disseminar o conhecimento adquirido sobre vigas paredes e a teoria de bielas e tirantes com o restante dos discentes da disciplina Sistemas Estruturais em Concreto Armado. 1.4 DELIMITAÇÃO DO TRABALHO O presente trabalho é delimitado pelas seguintes características: - Não será contemplado neste trabalho a não-linearidade geométrica ou física, considerando o concreto um material elástico linear e as deformações e deslocamentos do sistema insuficientes para gerar efeitos de segunda ordem. 1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO O tema em estudo no presente trabalho será apresentado em capítulos considerando-se os objetivos e as etapas de desenvolvimento. Capítulo 1 Introdução Nesse capítulo é feita uma breve introdução sobre o tema em estudo. Além disso, são apresentadas as justificativas para o desenvolvimento do estudo, bem como definidos os objetivos buscados com o mesmo. Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Nesse capítulo serão descritos os fundamentos teóricos a serem considerados para desenvolvimento do estudo. Capítulo 3 Análises numéricas Neste capítulo será elaborado um exemplo de viga-parede com uma abertura na seção transversal e serão realizadas simulações numéricas com o programa computacional Abaqus para visualização do mapa de distribuição de tensões. Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

13 Capítulo 4 Elaboração do modelo de bielas e tirantes A partir das análises numéricas dos modelos processados será estudado um modelo de bielas e tirantes para a distribuição de tensões. Capítulo 5 Dimensionamento da viga-parede. Neste capítulo será feito o dimensionamento da viga-parede segundo recomendações normativas. Capítulo 6 Considerações Finais e Conclusões Nesse capítulo são apresentados os comentários finais do trabalho e as conclusões obtidas com o estudo desenvolvido. Além disso, apresentam-se algumas sugestões para continuidade da pesquisa. 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 VIGAS-PAREDE 2.1.1 Definições e Aspectos Normativos Sendo chapas elementos estruturais submetidos a ações atuando em seu plano médio, as vigas-paredes podem se consideradas como tais chapas sobre apoios discretos, cuja altura é grande em relação ao vão. A NBR 6118 (2003) trata as vigas-parede como elementos especiais de concreto armado, possuindo características específicas, como a ineficiência à flexão e ao cisalhamento quando comparadas com vigas usuais. Segundo a norma brasileira, são consideradas vigas-parede, vigas altas em que a relação entre o comprimento do vão e a altura é inferior a 2 quando biapoiadas ou inferior a 3 em vigas contínuas. Schlaich et. al. (1987) afirma que uma simples relação entre o comprimento do vão e a altura para classificar elementos especiais, inclusive vigas-parede, pode levar a enganos. Este diz que além da geometria deve-se considerar ainda o carregamento aplicado ao elemento. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

14 O ACI 318 (2005) segue esta mesma ideia em suas recomendações. Segundo esta norma, vigas paredes são elementos carregados em uma face e apoiada na face oposta, de forma que bielas comprimidas sejam desenvolvidas entre o carregamento e os apoios. Além disso, a relação entre o comprimento do vão e a altura útil da viga deve ser inferior a 4 ou existir uma carga concentrada a uma distância do apoio menor que duas vezes a altura útil. Para o cálculo e dimensionamento de vigas-paredes, a NBR 6118 (2003) permite a utilização de um modelo plano elástico ou não linear e modelos de bielas e tirantes. Já o ACI 318 (2005) descarta a possibilidade de utilizar uma análise elástica. Silva & Giongo (2000) afirmam que a vantagem de se utilizar um modelo de bielas e tirantes é que o mesmo modelo pode ser utilizado para uma análise elástica quanto plástica, desde que se adapte a geometria do modelo. Quanto à existência de aberturas nas vigas-parede, a NBR 6118 (2003) recomenda que se o furo se localizar em regiões pouco solicitadas e não modificarem significativamente o funcionamento do elemento estrutural, basta apenas colocar uma armadura de compatibilização da abertura com o conjunto. Caso contrário, deve ser adotado um modelo específico para o cálculo em questão (Figura 3). Figura 3: Abertura em vigas-parede (NBR 6118, 2003) 2.1.2 Comportamento Estrutural Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000) apresentam, na (Figura 4), as variações de tensões tranversais a um carregamento distribuído, na seção central de vigasparede variando-se a altura das mesmas. Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

15 Figura 4: Distribuições de tensões em vigas biapoiadas Leonhardt & Mönnig (1978) (apud Silva & Giongo, 2000) Observa-se que quando a altura e igual a um quarto do comprimento do vão, a distribuição de tensões é linear e as seções permanecem plana após a deformação. Já quando a viga passa a ter altura igual metade do comprimento do vão as seções já não permanecem plana após a deformação e a linha neutra se aproxima da borda inferior. Quando a altura é igual ao comprimento do vão a linha neutra desce mais ainda e o braço de alavanca z diminui. E por fim, quando a altura é maior que o comprimento do vão surge uma zona morta em que não existe tensão, funcionando apenas como uma carga distribuída. Sendo assim, é possível concluir que a ineficiência quanto à capacidade de absorver momento fletor se deve ao pequeno braço de alavanca em relação a altura e a ineficiência à absorção de força cortante, se deve à concentração de tensões de cisalhamento próximo à face inferior, junto ao apoio. 2.1.3 Mecanismos de Ruptura de Vigas-Parede Nepomuceno (2012) descreve quatro mecanismos básicos de ruptura. O primeiro é a ruptura por flexão (Figura 5). Esta se caracteriza pelo escoamento do aço no meio do vão, surgindo fissuras que se prologam por quase toda sua altura e podendo ocorrer também o esmagamento do concreto. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

16 Figura 5: Ruptura por flexão de vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012) O segundo é a ruptura por cisalhamento, que em caso de vigas biapoiadas se subdivide em duas. Compressão diagonal (Figura 6), que após o aparecimento da primeira fissura entre o apoio e o ponto de aplicação de carga, surgem novas fissuras paralelas à primeira. Tração diagonal ou fendilhamento (Figura 7), que ocorre pelas forças transversais de tração que aparecem no concreto comprimido. Figura 6: Ruptura por esmagamento da biela em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012) Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

17 Figura 7: Ruptura por tração diagonal em uma viga biapoiada (Melo, 1984) (apud Nepomuceno, 2012) Descreve também a ruptura por flexão-cisalhamento (Figura 8), que inicia-se pelo escoamento do aço seguido pelo esmagamento do concreto na zona comprimida. No entanto, a resistência última ao cisalhamento é atingida antes do esmagamento total do concreto. Figura 8: Ruptura por flexão-cisalhamento em vigas biapoiadas (Santos, 1999) (apud Nepomuceno, 2012) E por fim a ruptura por esmagamento do concreto sobre o apoio ou sob os pontos de aplicações das cargas concentradas. O estado de tensões nestes locais é tal que pode gerar esmagamento local do concreta antes que a viga tenha toda sua capacidade esgotada. 2.2 MODELOS DE BIELAS E TIRANTES Modelos de bielas e tirantes são representações discretas dos campos de tensão encontrados em elementos estruturais de concreto armado, como afirmam Silva & Giongo (2000). São Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

18 modelos de treliça genéricos, utilizados como base racional para o dimensionamento e detalhamento de qualquer elemento de concreto armado. Bergmeister et. al. (1993) diz que qualquer estrutura pode ser classificada subdividindo-a em regiões B (Bernoulli, bending, beam) e D (Descontínua, distúrbio, detalhe), como ilustra a Figura 9. Figura 9: Regiões B (Bernoulli) e D (Descontínua) (Silva & Giongo, 2000) As regiões B são denominadas contínuas, nas quais a hipótese simplificadora de Bernoulli é válida. Estas regiões podem ser dimensionadas, quando não fissuradas, a partir de parâmetros da seção transversal (área, momento de inércia, etc.) e as leis usuais da mecânica dos sólidos. Para elementos fissurados pode-se utilizar a treliça de Mörsch, sendo esta, um caso especial de modelo de bielas e tirantes. Já as regiões D são descontínuas, geometricamente ou estaticamente, e a hipótese simplificadora deixa de ser válida. Para estas regiões é possível a utilização de modelos de bielas e tirantes, porém ainda hoje estes elementos são detalhados a partir de experimentos ou práticas usuais. Segundo Silva & Giongo (2000), nos modelos de bielas e tirantes, os campos de tensão de compressão no concreto são representados pelas bielas e os campos de tensão de tração pelos tirantes, que são absorvidos pela armadura. Tanto as bielas como os tirantes são representados por barras, sendo estas ligadas por nós. Os modelos de bielas e tirantes podem ser projetados a partir do fluxo de tensões da estrutura. É possível determinar a direção e o módulo das tensões elásticas a partir de análises numéricas como o método dos elementos finitos, e assim desenvolver o modelo. Conhecendo- Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

19 se um modelo adequado as forças nas bielas e tirantes são calculadas automaticamente por meio de equilíbrio de forças internas e externas. A partir das forças resultantes faz-se o dimensionamento seguido do detalhamento. Schlaich et. al. (1987) afirma que para a elaboração do modelo, a orientação da geometria pode ser determinada a partir de campos elásticos de tensões, enquanto que o dimensionamento pode ser realizado utilizando a teoria da plasticidade. O mesmo autor explica que métodos plásticos de análises são os mais adequados para a determinação da capacidade última, enquanto que métodos elásticos são melhores sob condições de serviço. Entretanto, afirma que uma análise linear ou não linear elástica é aceitável e segura para os dois casos. Isto se torna então, uma vantagem, já que é possível utilizar o mesmo modelo de bielas e tirantes tanto para o estado limite último como para o de utilização. Porém, a análise elástica é considerada conservativa, negligenciando parte da capacidade última da estrutura. Quanto ao dimensionamento, Schlaich et. al. (1987), indica a utilização do limite inferior da teoria da plasticidade. Já que o concreto possui certa ductilidade, o modelo escolhido não deve apresentar deformações que excedam a limite. Nas regiões de altas tensões este requisito é atendido ao orientar a geometria do modelo utilizando a teoria da elasticidade. Já as regiões de médias e baixas tensões não precisam ser fielmente reproduzidas pelo modelo de bielas e tirantes, já que a estrutura consegue se adaptar à estrutura interna modelada. Para regiões de médias e baixas trações, o reforço pode ser reproduzido a partir de considerações práticas, como a utilização de armaduras mínimas. Estas armaduras podem ser recomendadas a partir de experimentação ou de cálculos sofisticados de fissuração. O presente trabalho não contempla este estudo. O Teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade estabelece que um campo tensorial que satisfaz as condições de equilíbrio e de contorno e que não viole o critério de escoamento em nenhum ponto da estrutura fornece um limite inferior para a estimativa da capacidade de materiais eslasto-plásticos perfeitos. Bergmeister et. al. (1993) diz que é importante ter conhecimento das suposições utilizadas para o método, e lista as mais importantes: Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

20 - A falha é devido à formação de um mecanismo resultante do escoamento de um ou mais tirantes; - O esmagamento das bielas de concreto não devem ocorrer antes do escoamento dos tirantes. Isto é evitado limitando o nível de tensões no concreto; - Existem apenas esforços uniaxiais nas bielas ou tirantes; - Todos os carregamentos externos devem ser aplicados nos nós do modelo. Caso haja carregamento distribuído, este deve ser substituído por forças concentradas equivalentes que represente adequadamente o modelo. - A armadura deve ser adequadamente detalhada, prevenindo assim falhas na ligação local ou na ancoragem. Para desenvolver modelos de bielas e tirantes em casos que se possui a direção e o módulo das tensões elásticas, segundo Schlaich et. al. (1987), pode-se orientar as bielas de acordo com as principais tensões de compressão. Também é possível posicionar as bielas ou tirantes mais importantes no centro de gravidade dos correspondentes diagramas de tensões como ilustra a Figura 10. Figura 10: Posição das bielas e tirantes a partir dos diagramas de tensão (Schlaich et. al., 1987) Silva & Giongo (2000) destacam alguns aspectos para a definição geométrica do modelo. São eles: os tipos de ações atuantes, diretamente relacionados com a distribuição de tensões elásticas; os ângulos entre bielas e tirantes, determinados a partir da análise elástica; a área de Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

21 aplicação das ações e reações; número de camadas da armadura; e o cobrimento da armadura. Os últimos três aspectos são utilizados para o dimensionamento das bielas e dos nós. 2.2.1 Dimensionamento dos Tirantes Os esforços no tirante geralmente são absorvidos pelas barras da armadura. Segundo Silva & Giongo (2000), o eixo da armadura deve coincidir com o do tirante do modelo. A área de aço necessária para resistir o esforço do tirante é determinada a partir da Equação 1, considerando o Estado Limite Último. ( Equação 1 ) onde: A s área da seção transversal de aço; F st esforço resultante de tração; f yd resistência, de cálculo, ao escoamento do aço (f yk /1,15). A utilização de bitolas menores e consequentemente um maior número de camadas contribuem com a resistência nas regiões nodais. Também é necessário verificar as condições de ancoragem nestas regiões. O comprimento de ancoragem pode ser calculado, por exemplo, utilizando os parâmetros encontrados na NBR 6118 (2003), porém deve-se considerar a geometria dos nós. 2.2.2 Dimensionamento das Bielas As bielas são discretizações dos campos de compressão no concreto. Estas são idealizadas em formatos característicos, dependendo de como a distribuição de tensões ocorre no elemento. Silva & Giongo (2000) enumeram três configurações típicas de distribuições de tensões de compressão (Figura 11): - Radial ( Leque ): idealização de um campo de tensão com curvatura desprezível, e consequentemente não se desenvolvem tensões de tração transversais. - Linhas curvilíneas com afunilamento da seção ( Garrafa ): propagação de tensões por meio de curvaturas acentuadas, provocando tensões transversais consideráveis. - Paralela ( Prisma ): As tensões se distribuem uniformemente, sem perturbação. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

22 Figura 11: Configurações típicas de distribuições de tensão de compressão Como afirma Schlaich et. al. (1987), a resistência do concreto à compressão depende de seu estado multiaxial de tensões. As tensões transversais de compressão que surgem são favoráveis, principalmente se acontecer nas duas direções, enquanto que as de tração são desfavoráveis. Como já dito, a configuração curvilínea é caracterizada por apresentar tensões transversais devido a sua acentuada curvatura. É necessário então considerar estas tensões transversais, principalmente as de tração, para evitar o aparecimento de fissuras indesejáveis ou o esmagamento prematuro da seção. A Figura 12 apresenta a falha no concreto ao considerar-se uma configuração de tensões paralelas quando ocorre na verdade uma configuração curvilínea. Figura 12: Falha do elemento devido a não consideração das tensões transversais (Schlaich et. al., 1987) Segundo Bergmeister et. al. (1993) as tensões de tração transversais podem ser resistidas pelo próprio concreto, caso tenham um valor menor que a resistência à tração deste material, ou por armaduras inseridas como reforço. Para determinar o valor de tais tensões é possível representar uma biela de configuração curvilínea a partir de um modelo de bielas e tirantes secundário. A Figura 13 ilustra a situação. Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

23 Figura 13: Representação de uma biela com configuração curvilínea (adaptado de Schlaich et. al., 1987) Como qualquer elemento estrutural de concreto, o dimensionamento da biela parte do princípio que a solicitação de cálculo deve ser menor que a resistência do elemento, como indica a Equação 2. ( Equação 2 ) onde: R d resistência de cálculo; S d solicitação de cálculo. A resistência da biela é calculada a partir da Equação 3, dependendo então, de duas variáveis: a área da seção transversal e a resistência efetiva à compressão da biela. onde: R ds resistência de cálculo da biela comprimida; A cs área da seção transversal da biela; f cu resistência efetiva à compressão da biela. ( Equação 3 ) A área da seção transversal da biela é determinada na elaboração do modelo da treliça. De acordo com a ACI 318 (2005), caso a seção da biela seja variável, pode-se idealizar a mudança de seção de forma linear. Obviamente, se por toda a biela a resistência é igual, a pior situação irá ocorrer na extremidade com menor área. A resistência efetiva da biela é menor do que a resistência efetiva dos banzos comprimidos, devido a diversos fatores, entre eles, os efeitos de tração da armadura que a atravessa. O procedimento para se determinar a resistência efetiva das bielas variam conforme a referência Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

24 adotada. Neste trabalho utilizaremos os procedimentos indicados pelo CEB-FIP (1990) e CSA-A23.3 (1994) (apud Silva & Giongo, 2000), e também pelo ACI 318 (2005). ACI 318-05: A resistência efetiva do concreto é calculada a partir da Equação 4. onde: f c resistência característica do concreto. ( Equação 4 ) O valor de β s varia de acordo com a Tabela 1. Tabela 1: Valores de β s, para as bielas, de acordo com a situação (ACI 318, 2005) Situação β s Bielas com seção transversal uniforme ao longo do seu comprimento 1,00 Bielas em que a largura da seção mediana seja maior que a largura nos nós (configuração curvilínea) Com armadura satisfazendo a tração transversal 0,75 Sem armadura satisfazendo a tração transversal 0,60λ Bielas em membros de tração 0,40 Para todos os demais casos 0,60 Os valores de λ podem ser encontrados no item 11.7.4.3 do ACI 318 (2005) e não serão abordados neste texto, pois no presente trabalho será considerada a armadura para resistir aos esforços transversais, em todos os casos. CEB-FIP (1990): A resistência de projeto de uma região sob compressão uniaxial é determinada pela Equação 5 caso esteja em uma zona não-fissurada, ou pela Equação 6 se estiver localizada em uma zona fissurada. ( Equação 5 ) onde: ( Equação 6 ) Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

25 f ck resistência característica do concreto (em MPa); f cd resistência de cálculo do concreto (fck/γ c ); γ c coeficiente de ponderação da resistência do concreto (γ c = 1,4). CSA-A23.3 (1994): Os valores sugeridos para a resistência das bielas são determinados pela Equação 7, Equação 8 e Equação 9. ( Equação 7 ) ( Equação 8 ) ( Equação 9 ) onde: ε 1 deformação de tração na direção perpendicular à biela; ε s deformação média na barra de armadura que atravessa a biela; θ ângulo entre a biela e a barra de armadura que a atravessa; E s módulo de elasticidade do aço. Importante ressaltar que o valor de f cu ainda deve ser multiplicado pelo fator de segurança do concreto, ϕ c = 0,60. 2.2.3 Dimensionamento dos nós No modelo, os nós são utilizados para conectar as barras de bielas e tirantes, além de ser o local de aplicação das forças concentradas. Porém estes são apenas simplificações do que ocorre da realidade. Enquanto no modelo de bielas e tirantes há uma abrupta mudança de direção das forças, em um elemento estrutural de concreto armado, esta mudança ocorre ao longo de certo comprimento e largura. Schlaich et. al. (1987) classifica os nós em dois tipos, contínuos e singulares. Os nós contínuos são aqueles que ligam campos de tensão amplos no concreto ou tração em tirantes que representam barras de aço estreitamente distribuídas. Nestes o desvio das forças acontece Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

26 em certo comprimento, tornando a mudança de direção mais suave. Já os nós singulares, são aqueles onde as bielas ou tirantes representam campos de tensão concentrados. Nestes o desvio das forças acontece localmente e de forma concentrada. Na Figura 14 verificamos exemplos destes tipos de nós. Figura 14: Exemplos de nós contínuos (A) e singulares (B) (adaptado de Schlaich et. al., 1987) As regiões D geralmente apresentam os dois tipos de nós. Segundo Schlaich et. al. (1987), é desnecessária a verificação das tensões no concreto em nós contínuos, caso seja garantida uma ancoragem segura. O CEB-FIP (1990) (apud Silva & Giongo, 2000) compartilha desta idéia e afirma que verificação das tensões no nó dentro da estrutura só é necessária em casos de descontinuidades geométricas. Afirma ainda que as tensões de compressão nos nós só precisam ser verificadas onde forças concentradas são aplicadas à superfície do elemento estrutural. Os nós também podem ser classificados quanto aos campos de tensão que neles atuam. A Figura 15 ilustra os tipos de nós de acordo com tal classificação. Figura 15: Classificação dos nós (ACI 318, 2005) Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

27 O dimensionamento dos nós singulares acontece de forma semelhante ao dimensionamento das bielas. Calcula-se a resistência nas faces do nó a partir da Equação 10 e verifica-se a integridade da região nodal a partir da Equação 2. onde: R dn resistência de cálculo da região nodal; A cn área da face da região nodal; f cn resistência efetiva à compressão da região nodal. ( Equação 10 ) As faces da região nodal que precisam ser verificadas e as suas respectivas áreas são determinadas na etapa de definição da geometria do modelo, de acordo com o tipo de nó que está sendo verificado. Nó-CCC: Para o dimensionamento de um nó do tipo CCC, Schlaich et. al. (1987) recomenda a idealização de um estado hidrostático plano. Este estado se caracteriza por apresentar forças perpendiculares às faces dos nós e tensões uniformes e iguais em todas as faces carregadas, como ilustra a Figura 16. Neste caso seria apenas necessário verificar uma face do nó, já que nas outras as tensões seriam iguais, porém, nem todas as geometrias se comportam desta forma. Schlaich et. al. (1987) diz que esta idealização é satisfatória desde que a relação entre as tensões nas faces não seja menor que 0,50. Figura 16: Nó-CCC em estado hidrostático plano (ACI 318, 2005) Então, em casos semelhantes ao da Figura 17, a área utilizada para dimensionar o nó é igual à área de aplicação da carga. Schäfer & Schlaich et. al. (1988), propõe também, analisar a tensão σ b, considerando a largura b a partir da Equação 11. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

28 Figura 17: Caso de nó-ccc em estado hidrostático (Bergmeister et. al., 1993) ( Equação 11 ) em que: b - altura dos nós limitada por fissuras ou pela largura das bielas adjacentes; a o largura do carregamento aplicado; ϕ 2 e ϕ 3 ângulos entre as bielas e o plano vertical. Nó-CCT: Para o dimensionamento de nós do tipo CCT, ao contrário do tipo CCC, são consideradas tensões com valores diferentes nas faces. Para isto é considerada a zona nodal estendida que representa os limites da espessura efetiva da biela, w s, e do tirante, w t, como ilustra a Figura 18. A espessura da biela pode ser calculada a partir da Equação 12. Figura 18: Zona nodal estendida e caso de nó-cct (ACI 318, 2005) Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

29 onde: l b - largura do apoio; θ ângulo entre a biela e a barra de armadura que a atravessa. ( Equação 12 ) Os demais tipos de nós não serão abordados neste trabalho. O procedimento de dimensionamento destes nós pode ser encontrado nas referências citadas ao longo deste texto. Os procedimentos para se determinar a resistência efetiva dos nós também variam conforme a referência, porém são diferentes dos utilizados para as bielas. Os parâmetros de resistência nos nós, adotados neste trabalho, são retirados das mesmas referências utilizadas para as bielas. Nó-CTT: Assim como no nó CCT, deve-se considerar a zona nodal estendida, utilizando a Equação 12 nas e nas duas direções considerara faixa de distribuição dos ferros, assim como mostra a Figura 19. A ancoragem da armadura deve ser considerada a partir da interseção do centro de gravidade da armadura e a zona nodal estendida. Figura 19: Zona nodal estendida e caso de nó-ctt (ACI 318, 2005) ACI 318-05: A resistência efetiva do concreto é calculada a partir da Equação 13. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

30 ( Equação 13 ) O valor de β n varia de acordo com a Tabela 2. Tabela 2: Valores de β n de acordo com a situação (ACI 318, 2005) Situação β n Zonas nodais limitadas por bielas ou apoios 1,00 Zonas nodais ancorando um tirante 0,80 Zonas nodais ancorando dois ou mais tirantes 0,60 CEB-FIP (1990): O código modelo recomenda a utilização da Equação 5 para nós aonde chegam apenas bielas e a Equação 6 para nós onde barras tracionadas são ancoradas. CSA-A23.3 (1994): A resistência efetiva do concreto é calculada a partir da Equação 14. ( Equação 14 ) O valor de α varia de acordo com a Tabela 3 e as situações descritas são ilustradas na Figura 20. Tabela 3: Valores de α de acordo com a situação (CSA-A23.3, 1994) (apud Silva & Giongo, 2000) Situação Zonas nodais limitadas por bielas ou áreas de aplicação de ação ou reação 0,85 Zonas nodais ancorando um tirante em uma única direção 0,75 Zonas nodais ancorando tirantes em mais de uma direção 0,65 α Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013

31 Figura 20: Parâmetros de resistência das regiões nodais, segundo a CSA-A23.3, 1994 (apud Silva & Giongo, 2000) 2.3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) Conforme a literatura, muitos fenômenos em engenharia podem ser descritos em termos de equações diferenciais parciais. Em muitos casos, solucionar essas equações analiticamente se torna quase impossível. O MEF é uma aproximação numérica com a qual essas equações diferenciais parciais podem ser resolvidas de modo aproximado. Este é utilizado em casos da engenharia tais como análise de tensões, transferência de calor, escoamento de fluidos e eletromagnetismo, por simulações computacionais. O procedimento de cálculo utilizando o método dos elementos finitos segue os seguintes passos: Pré-processamento; Formulação dos elementos; Montagem; Resolução das equações; Pós-processamento. A idéia básica do MEF é dividir o corpo em elementos finitos, muitas vezes chamados apenas de elementos, conectados por nós, e obter uma solução aproximada. Esta é chamada de malha de elementos finitos e o processo para a sua construção é conhecido como geração de malha (Figura 21). Quanto mais refinada ou densa é a malha mais aproximado será o resultado. A etapa em que é realizada a subdivisão do domínio do problema em elementos finitos é chamada de pré-processamento. Aplicação do modelo de bielas e tirantes para o dimensionamento de uma viga-parede com uma abertura

32 Figura 21: Malha de elementos finitos (Liu & Quek 2003) Após esta etapa são formuladas as equações para os elementos finitos. Os sólidos são regidos por sistemas de equações diferenciais parciais, chamadas de formulação forte, sendo difícil encontrar soluções analíticas. Estas devem ser reformuladas em uma forma integral equivalente, chamada de formulação fraca, para assim desenvolver as equações dos elementos finitos, como afirmam Belytschko & Fish (2009). A formulação fraca possui nomes específicos para determinadas disciplinas, como por exemplo, o principio do trabalho virtual em análise de tensões. Liu & Quek (2003) afirmam que formulações fracas adequadas para problemas de mecânica dos sólidos e estruturas são obtidas utilizando princípios de energia, como o da energia potencial mínima, ou o método dos resíduos ponderados. Após adotar a formulação fraca que rege o problema em questão, deve-se conhecer o comportamento do elemento em função da grandeza em estudo, por exemplo, o deslocamento. Este comportamento é determinado de forma aproximada utilizando-se funções de forma, ou aproximadoras. Estas funções são polinomiais e definidas a partir da interpolação de valores conhecidos nos nós, no caso, os deslocamentos. O grau do polinômio será determinado de acordo com o número de nós do elemento. Com a formulação do elemento desenvolvida, é necessário transformar o sistema de coordenadas local para global, utilizando uma matriz de transformação. Esta etapa é chamada de montagem. A resolução das equações pode ser realizada de modo direto ou iterativo. Esta escolha influencia diretamente no tempo de processamento, assim como o processador utilizado. Por fim é desenvolvida uma forma de ilustrar os resultados, por exemplo, a partir de gráficos e tabelas. Rafael Araújo Guillou (guillou_ra@hotmail.com). Trabalho Final do Curso de Sist. Estr. em C.A. UFAL. 2013