UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Computação Disciplina : Teoria da Computação Professora : Sandra de Amo Lista de Exercícios n o 2 Revisão de Autômatos 1. Fazer os seguintes exercícios do Livro texto Introduction to Theory of Computation - Michael Sipser - 2a Edição - Capitulo 1. Alguns destes exercicios têm sua solução apresentada no livro texto. Tente primeiro fazer os exercicios propostos depois confira no livro se estão na lista dos exercicios com soluções. (a) 1.4 (b) 1.5 (c) 1.6 (d) 1.8 (e) 1.9 (f) 1.10 (g) 1.16: Neste exercicio, primeiro transforme o autômato em um autômato sem movimento ɛ e depois transforme este último autômato em um autômato determinista. 2. Reveja o slide de construção do slide Star e responda: Por que instroduzir um novo estado inicial? Por que não considerar o antigo estado como inicial e torná-lo também um estado final para que a linguagem L(M ) aceite a palavra vazia? 3. Prove que as seguintes linguagens são regulares exibindo um autômato que as reconheça: (a) Conjunto de todos as palavras com três zeros consecutivos. (b) Conjunto de todas as palavras tais que cada bloco de 5 simbolos consecutivos contém pelo menos 2 zeros. (c) Conjunto de todas as palavras com no máximo um par de zeros consecutivos e no máximo um par de 1 s consecutivos. (d) Conjunto de todas as palavras que n ao contém 101 como subpalavra. 4. Seja L uma linguagem regular sobre o alfabeto Σ e sejam Rev(L), Prefix(L) e Sufix(L) as linguagens definidas a seguir: 1
(a) Rev(L) = { w = a 1...a n Σ a n...a 1 L } (b) Prefix(L) { w Σ existe y Σ tal que wy L }, isto é, Prefix(L) é constituida dos prefixos de L. (c) Sufix(L) { w Σ existe y Σ tal que yw L }, isto é, Sufix(L) é constituida dos sufixos de L. Mostre que estas 3 linguagens são regulares (supondo que L é uma linguagem regular, é claro). 5. Sejam M 1 e M 2 dois autômatos, e seja M o autômato construído (informalmente) da seguinte maneira a partir dos autômatos M 1 e M 2 : Para cada flecha chegando num estado final q de M 1 e partindo de um estado q de M 1, acrescente uma flecha saindo de q e chegando no estado inicial de M 2 (mantendo o mesmo label). Se ɛ é reconhecida pelo autômato M 2 então os estados finais de M são os estados de F 1 F 2. Se ɛ não é reconhecida pelo autômato M 2 então os estados finais de M são os estados de F 2. Pede-se: (a) Dar uma descrição formal do autômato M descrito acima. (b) Qual a linguagem reconhecida por M? Justifique sua resposta. 6. UM CIRCUITO LÓGICO : Especificar um autômato finito correspondendo ao circuito lógico ilustrado na figura 1. As portas marcadas com. são portas AND, as marcadas com + são portas OR e as marcadas com são portas NOT. As saidas destas portas respeitam a tabela verdade dos conectivos lógicos. Supõe-se que o estado inicial deste circuito corresponde a y 1 = 0 e y 2 = 0, isto é, os impulsos nas saídas das portas D e E são nulos. Uma sequência de impulsos (0 ou 1) que entra no circuito é aceita se o último impulso que sai pela porta F é 1. 2
A + y 1 D Input x B F Output + E y 2 7. UMA REDE NEURONAL : C Especificar um autômato finito correspondendo à rede neuronal ilustrada na figura 2. Historicamente, os autômatos finitos foram primeiramente utilizados para modelar redes neuronais. Na figura 2, os elementos representados por triângulos são neurônios. Cada neurônio tem uma sinapse excitatórias (bolas brancas) e sinapses inibitórias (bolas pretas). Um neurônio produz um output 1 se o número de sinapses excitatórias com inputs 1 excede o número de sinapses inibitórias com inputs 1 de no mínimo o valor marcado no interior do neurônio. Assuma que exista tempo suficiente entre as mudanças nos valores dos inputs para que os sinais se propaguem e para que a rede neuronal atinja uma configuração estável. Assuma que os valores iniciais das saídas y 1, y 2 e y 3 é zero. Estados finais do autômato correspondem a saídas 1 no Output da rede neuronal. 3
2 y 1 Input 1 y 2 2 Output 1 y 3 8. UM BRINQUEDO : Especificar um autômato finito correspondendo ao brinquedo ilustrado na Figura 1 no final desta lista. Os movimentos das alavancas x,y,z bem como as direções que as bolas tomam após a passagem pelas alavancas estão descritos na Figura 1. As bolas pretas (0-bolas) entram pela entrada A e as bolas brancas (1-bolas) entram pela entrada B. Uma sequência de bolas é vencedora se a última bola sai pela saída D. 9. Para cada uma das expressões regulares seguintes, dê duas palavras que pertençam à linguagem aceita pela expressão, duas que não pertencem e dê o autômato finito equivalente (pode ser não determinista). (a) 0 (11) 0 (b) [(1 + 0)(1 + 0)] 10. Para cada um dos autômatos finitos deterministas descritos na Figura 2 do final desta lista encontre a expressão regular correspondente. 11. Prove as seguintes identidades para expressões regulares r, s, t. Aqui r = s significa que L(r) = L(s) (onde L(r) = linguagem associada a r). (a) r + s = s + r (b) (r + s) + t = r + (s + t) (c) (rs)t = r(st) (d) r(s + t) = rs + rt (e) (r + s)t = rt + st (f) = ɛ (g) (r ) = r (h) (ɛ + r) = r (i) (r s ) = (r + s) 12. No que segue, r, s, t são expressões regulares. Diga se é verdadeiro ou falso e prove sua afirmação : 4
(a) (rs + r) r = r(sr + r) (b) s(rs + s) r = rr s(rr s) (c) (r + s) = r + s 13. Mostrar que as seguintes linguagens não são regulares, utilizando para isto o lema do bombeamento para linguagens regulares: (a) {0 m 1 n 0 m+n m 1, n 1} (b) {w w = w R }, onde w R é a palavra reversa de w. 14. Mostrar que as seguintes linguagens não são regulares. (a) L = conjunto das palavras do tipo w0w R onde w é uma palavra de zeros e uns qualquer e w R é a palavra reversa de w. (b) L = {a i i é primo} (c) L = {a i i é um quadrado perfeito } 5
Figura 1: Um brinquedo 6
Figura 2: Autômatos 7