MÚLTIPLOS E DIVISORES
Múltiplos e divisores de um número Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. Observe as seguintes divisões entre números Naturais: As três primeiras divisões têm resto zero. Chamam-se divisões exatas. As duas últimas têm resto diferente de zero. Chamamos de divisão inteira. Um número é divisor do outro se o segundo é múltiplo do primeiro. O número 0 é múltiplo de 2; 2 é múltiplo de 3; 5 também é múltiplo de 3; mas 9 não é múltiplo de 2; e 5 não é múltiplo de 4. Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5): M(2) = {0,2,4,6,8,...}. M(5) = {0,5,0,5,20,...} Para lembrar: O conjunto dos múltiplos de um número Natural não-nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais. Observe: M(3) = {3 x 0, 3 x, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,...} = {0,3,6,9,2,5,8,...} Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro. No exemplo anterior, observamos que o número 0 é múltiplo de 2, conseqüentemente 2 é divisor de 0. Os números 2 e 5 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 2 e 5, respectivamente.vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 5, indicado por D(5), e dos divisores de 20, isto é, D(20): D(5) = {,3,5,5} D(20) = {,2,4,5,0,20} Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o e o maior é o próprio número. Critérios de divisibilidade Os critérios de divisibilidade são uma série de regras para averiguar se um número é ou não múltiplo de outro, sem a necessidade de efetuar a divisão de um pelo outro, principalmente quando os números são grandes. Veja, em seguida, os critérios de divisibilidade mais comuns: Divisibilidade por 2 Olhe para o conjunto dos múltiplos de 2, M(2), exposto acima. Observe que todos os elementos desse conjunto terminam em algarismo par. Assim, podemos dizer que um número é divisível por 2 se o algarismo das unidades for par. 2
Os números 22, 30, 68, 650, 3 285 46 são múltiplos de 2 porque terminam em algarismo par. Os números 7, 5, 20, 483, 86 749 não são múltiplos de 2, pois nenhum deles termina em algarismo par. Divisibilidade por 3 Observe, agora, o conjunto M(3) = {0,3,6,9,2,5,8,...}. Repare que a soma dos algarismos de todos estes números é múltiplo de 3. Assim, um número é divisível por 3 quando a soma de todos os seus algarismos é múltiplo de 3. Sem fazer a divisão, vamos comprovar que o número 34 572 é divisível por 3: 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 2, mas pode acontecer de não sabermos se 2 é ou não múltiplo de 3. Repetimos o método agora com o número 2, em que 2 + = 3. Sabemos que 3 é múltiplo de si mesmo, portanto, 2 é divisível por 3, isto é, 2 é múltiplo de 3 e, conseqüentemente, 34 572 é divisível por 3. Divisibilidade por 5 Observe o algarismo das unidades dos números do conjunto M(5) = {0,5,0,5,20,25,30,35,...}. É fácil perceber que eles terminam em zero ou em 5. Assim, um número é divisível por 5 quando termina em zero ou em 5. Os números 20, 20, 2 05 são divisíveis por 5, pois o primeiro e o segundo terminam em zero e o terceiro em 5. Divisibilidade por 9 Dado M(9) = {0,9,8,27,36,45,...} verificamos uma característica semelhante ao critério de divisibilidade por 3. Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 9 ou múltiplo de 9. O número 4 985 é divisível por 9? + 4 + 9 + 8 + 5 = 27 Se não soubermos se 27 é ou não múltiplo de 9, repetimos a operação agora com 27: 2 + 7 = 9 Portanto, 27 é divisível por 9, isto é, 27 é múltiplo de 9 e, conseqüentemente, 4 985 é divisível por 9. Decomposição de um número em fatores primos Um número Natural é um número Primo quando só tem por divisores ele mesmo e a unidade. lembrar: Decompor um número composto em fatores primos significa expressar este número como produto de 3
outros que sejam primos. Queremos decompor o número 40 em fatores primos. 40 2 (40 é divisível por 2, termina em 0) 40/2 = 20 20 2 (20 é divisível por 2, termina em 0) 20/2 = 0 0 2 (0 é divisível por 2, termina em 0) 0/2 = 5 5 5 (5 é primo. Divide-se por si mesmo) 5/5 = A decomposição de 40 em fatores primos é: 2 X 2 X 2 X 5 = 2 3 X 5 Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números O máximo divisor comum de dois ou mais números Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns desses números. Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas: ' Decompomos os números em fatores primos. ' Tomamos os fatores comuns com o menor expoente. ' Multiplicamos esses fatores entre si. Vamos calcular o m.d.c. dos números 5 e 24. Para isto, vamos decompô-los em fatores primos: 5 3 5 5 24 2 2 2 6 2 3 3 5 = 3 X 5 e 24 = 2 3 X 3 O fator comum é 3 E é o menor expoente dentre todos. O m.d.c. (5, 24) = 3 Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 2. 20 2 0 2 5 5 2 3 7 7 20 = 2 2 X 5 e 2 = 3 X 7 O fator comum é O m.d.c. (20, 2) = Para lembrar: Dizemos que dois números Naturais distintos são Primos entre si quando seu m.d.c. é. 4
Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números Naturais nãonulos É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo comum desses números. Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas: Decompomos os números em fatores primos. Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente. Multiplicamos esses fatores entre si. Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 5 e 24. Como já foram decompostos em fatores primos, temos: 5 = 3 X 5 24 = 2 3 X 3 Os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente são 2 3, 3 e 5 Assim, o m.m.c. (5, 24) = 2 3 X 3 X 5 = 20 Calculemos o m.m.c. dos números do segundo exemplo, 20 e 2. 20 = 2 2 X 5 2 = 7 X 3 Os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente são 2 2, 3, 5 e 7. O m.m.c. (20, 2) = 2 2 X 3 X 5 X 7 = 420 Relação entre o m.d.c. e o m.m.c. de dois números O produto de dois números é igual ao produto de seu m.d.c. por seu m.m.c. Vamos calcular o m.d.c. e o m.m.c. de 30 e 50: 30 2 50 2 30 = 2 X 3 X 5 5 3 25 5 50 = 2 X 5 2 5 5 5 5 O m.d.c. (30, 50) = 2 X 5 = 0 O m.m.c. (30, 50) = 2 X 3 X 5 2 = 50 Comprove, agora, a relação. Para tanto: Multiplique o m.d.c. e o m.m.c.: O grego Eratóstenes, criador de um método especial para separar números Primos e nãoprimos 5
0 X 50 = 500 Em seguida, multiplique os dois números: 30 X 50 = 500 6