2.8 Resumo e considerações finais... 79

Sumário 1 Conceitos Preliminares 1 1.1 Introdução................................... 1 1.2 Conceitos em probabilidade......................... 2 1.3 Algumas distribuições............................. 7 1.4 Variáveis aleatórias multidimensionais.................... 14 1.5 Desigualdades em probabilidade e teoremas limites............ 27 1.6 Inferência estatística............................. 30 1.7 Resumo e considerações finais........................ 36 1.8 Apêndice I - Desigualdades de Chebyshev e Markov............ 38 1.8.1 Desigualdade de Chebyshev..................... 38 1.8.2 Desigualdade de Markov....................... 39 1.9 Apêndice II - Distribuição de Poisson.................... 40 2 Econometria em Finanças 43 2.1 Processos estocásticos............................. 44 2.2 Conceitos básicos em séries temporais.................... 47 2.3 Estacionariedade............................... 49 2.4 Formulação dos modelos Box e Jenkins................... 53 2.5 Séries financeiras............................... 60 2.5.1 Séries de retornos........................... 60 2.5.2 Modelos para as séries de retornos.................. 62 2.5.3 Testes para estacionariedade..................... 63 2.5.4 Testes para autocorrelação...................... 64 2.6 Volatilidade condicional........................... 65 2.6.1 Modelos de volatilidade condicional lineares............ 66 2.6.2 Modelos de volatilidade condicional não lineares.......... 72 2.6.3 Teste para GARCH linear...................... 75 2.6.4 Teste para GARCH não linear.................... 75 2.6.5 Testes de adequação do modelo................... 77 2.7 Volatilidade estocástica............................ 77 2.8 Resumo e considerações finais........................ 79 2.9 Apêndice - Análise de Modelos em Séries Financeiras........... 81

xxii 2.9.1 Ajuste do modelo........................... 81 2.9.2 Teste de adequação do modelo.................... 84 2.9.3 Resultados............................... 84 3 Cálculo Estocástico 87 3.1 Processo Browniano.............................. 88 3.1.1 Propriedades do processo Browniano padrão............ 88 3.1.2 Definições básicas........................... 91 3.2 Valor esperado condicional.......................... 95 3.2.1 Conceitos básicos........................... 96 3.2.2 Noção de σ-álgebra, espaço e medida de probabilidades...... 99 3.2.3 Valor esperado condicional...................... 100 3.3 Processos martingais............................. 104 3.4 Integração estocástica............................. 107 3.4.1 Integral de Riemann......................... 107 3.4.2 Integral de Riemann-Stieltjes.................... 108 3.4.3 Integral de Itô de um processo simples............... 109 3.4.4 Integral de Itô do processo generalizado............... 115 3.4.5 Regras básicas de operacionalização................. 119 3.5 Variação e covariação do processo de Itô.................. 120 3.6 Fórmula de Itô................................ 121 3.7 Exemplos de EDE s............................. 130 3.7.1 Processo geométrico Browniano................... 130 3.7.2 Equação de Langevin......................... 131 3.7.3 Processo de Ornstein-Uhlenbeck................... 132 3.8 Resumo e considerações finais........................ 135 3.9 Apêndice I - Teoremas 3.1 e 3.2....................... 137 3.10 Apêndice II - Proposição 3.2......................... 139 3.11 Apêndice III - Variação quadrática de I t.................. 141 3.12 Apêndice IV - Integração por partes..................... 142 3.13 Apêndice V - Condições de Lipschitz e Hölder............... 143 4 Modelo de Black, Merton e Scholes 145 4.1 Apreçamento em finanças.......................... 146 4.2 Conceitos básicos............................... 147 4.3 Modelo de Black e Scholes.......................... 151 4.4 Modelo de Merton.............................. 157 4.5 Modelo de Margrabe............................. 161 4.6 Gregas..................................... 163 4.7 Volatilidade implícita............................. 164 4.8 Resumo e considerações finais........................ 167 4.9 Apêndice - Solução da EDP de BMS.................... 169 4.9.1 Solução da EDP de BMS....................... 169 4.9.2 Transformada de Fourier....................... 176 4.9.3 Solução da equação do calor..................... 176 4.9.4 Resultados básicos.......................... 178

xxiii 5 Mudança de Medida 181 5.1 Conceitos básicos............................... 182 5.2 Mudança de medida............................. 183 5.3 Mudando a medida do Browniano...................... 185 5.4 Teorema de Girsanov............................. 188 5.5 Mudando a medida dos processos de preços................. 191 5.6 Apreçamento pela medida martingal.................... 197 5.7 Teoremas fundamentais de finanças..................... 201 5.8 Extensões do modelo de BMS........................ 207 5.9 Derivativos exóticos.............................. 209 5.9.1 Opções com barreiras......................... 210 5.9.2 Opções lookback............................ 210 5.9.3 Opções asiáticas............................ 211 5.10 Resumo e considerações finais........................ 211 5.11 Apêndice I - Modelo de Bachelier...................... 213 5.12 Apêndice II - Lema 5.2............................ 216 5.13 Apêndice III - Teoremas fundamentais................... 217 5.14 Apêndice IV - Método de Monte-Carlo................... 219 6 Equações Diferenciais Estocásticas 221 6.1 Conceitos básicos............................... 222 6.2 Definições em processos multivariados.................... 223 6.3 Gerador de difusão de Itô.......................... 228 6.4 Equação de Kolmogorov........................... 231 6.5 Equação de Fokker-Planck.......................... 235 6.6 Equação de Feynman-Kac.......................... 235 6.7 Equações diferenciais estocásticas...................... 237 6.7.1 Definições básicas........................... 237 6.7.2 Solução forte da EDE......................... 238 6.7.3 Solução geral da EDE........................ 239 6.8 Resumo e considerações finais........................ 243 6.9 Apêndice I - Densidade implícita...................... 245 6.10 Apêndice II - Volatilidade local....................... 246 7 Derivativos Americanos 249 7.1 Conceitos básicos............................... 249 7.2 Apreçamento do derivativo.......................... 251 7.3 Apreçamento da opção de venda....................... 253 7.4 Fronteira ótima de exercício......................... 254 7.5 Soluções Numéricas.............................. 257 7.5.1 Método binomial........................... 257 7.5.2 Derivativos americanos e bermudianos............... 262 7.6 Aplicações do conceito de não arbitragem.................. 263 7.7 Resumo e considerações finais........................ 265 7.8 Apêndice - Método binomial de CRR.................... 267

xxiv 8 Tópicos em finanças 271 8.1 Volatilidade estocástica............................ 272 8.1.1 Modelo de Heston........................... 274 8.1.2 Fórmula de Heston.......................... 281 8.2 Modelos com saltos.............................. 284 8.2.1 Conceitos básicos........................... 285 8.2.2 Processos de Poisson e processo composto............. 286 8.2.3 Processo de difusão com saltos.................... 290 8.2.4 Fórmula de Itô............................ 293 8.2.5 Simulação e estimação de processos com saltos........... 297 8.2.6 Mudança de medida......................... 301 8.2.7 Apreçamento com saltos....................... 304 8.3 Mudança de numerário............................ 307 8.3.1 Noções de numerário......................... 307 8.3.2 Mudança de numerário e de medida................. 308 8.3.3 Aplicação - modelo de Margrabe................... 310 8.3.4 Aplicação - medida forward..................... 312 8.4 Resumo e considerações finais........................ 314 8.5 Apêndice - Teorema 8.5............................ 317 9 Mercados futuros 321 9.1 Contrato forward............................... 322 9.2 Contrato futuro................................ 324 9.3 Forward e futuro de ativos financeiros.................... 326 9.4 Futuro de commodities............................ 330 9.5 Prêmio de risco................................ 332 9.6 Modelo de Black............................... 333 9.7 Fundamentos do Gerenciamento de Risco.................. 337 9.8 Preço à vista de commodities........................ 342 9.9 Resumo e considerações finais........................ 344 10 Modelos em commodities I 347 10.1 Modelo de um fator.............................. 348 10.2 A natureza do retorno de conveniência................... 352 10.3 Modelo de Gibson e Schwartz........................ 355 10.4 Modelos de Schwartz............................. 356 10.4.1 Modelo de dois fatores........................ 356 10.4.2 Modelo de três fatores........................ 359 10.4.3 Comentários adicionais........................ 360 10.5 Modelo de Schwartz e Smith......................... 361 10.6 Filtro de Kalman............................... 364 10.6.1 Introdução............................... 364 10.6.2 Definição do modelo na forma espaço-estado............ 365 10.6.3 Derivação do filtro de Kalman.................... 365 10.6.4 O algorítmo do filtro de Kalman................... 366 10.6.5 Estimação por máxima verossimilhança............... 367 10.7 Implementação da calibragem........................ 369

xxv 10.8 Aplicações e extensões do modelo de dois fatores.............. 371 10.9 Resumo e considerações finais........................ 373 10.10Apêndice - Calibragem do modelo de dois fatores............. 376 10.10.1 Séries de preços............................ 376 10.10.2 Calibragem da série completa.................... 377 10.10.3 Calibragem dos subperíodos e análise dos resultados........ 379 11 Modelos em commodities II 389 11.1 Modelo de longo prazo............................ 390 11.2 Modelo de Casassus e Collin-Dufresne.................... 392 11.3 Modelos com saltos.............................. 394 11.3.1 Modelo de Hilliard e Reis...................... 394 11.3.2 Outros modelos com saltos...................... 395 11.4 Modelos de estrutura a termo (tipo HJM)................. 397 11.4.1 Modelagem da curva futura..................... 397 11.4.2 Modelo de Miltersen e Schwartz................... 399 11.4.3 Modelo de Björk e Landén...................... 401 11.5 Commodity energia elétrica......................... 401 11.5.1 As características do mercado.................... 401 11.5.2 Modelos para os preços da energia.................. 403 11.6 Opções sobre margem (spread options)................... 406 11.6.1 Opções com aproximação Gaussiana................. 407 11.6.2 Aproximação de Carmona e Durrleman............... 410 11.6.3 Extensão da aproximação (saltos).................. 411 11.6.4 Extensão da aproximação (reversão)................ 412 11.7 Resumo e considerações finais........................ 414 11.8 Apêndice - Opções Reais........................... 417 Referencias ˆ bibliograficas 421 Indice 433