Descrição da precipitação pluviométrica no munícipio de Piracicaba-SP: uma abordagem comparativa por meio de modelos probabilísticos Idemauro Antonio Rodrigues de Lara 1 Renata Alcarde 2 Sônia Maria De Stefano Piedade 3 Miguel Ângelo Maniero 4 1 Introdução A precipitação pluviométrica é uma variável agrometeorológica relevante e de impacto imediato sobre o clima, agricultura e economia de uma região. Do ponto de vista estatístico há sempre o interesse em descrever o comportamento desta variável aleatória por meio de uma função de densidade de probabilidade. Algumas funções clássicas como a gama, exponencial, log-normal são frequentemente empregadas para modelar eventos desta natureza (CRUCIANI; MACHADO; SENTELHAS, 2002). Frequentemente tem-se que ajustar mais de uma distribuição, que pode variar conforme a estação do ano. Sendo assim, o uso de uma família de funções de densidade pode representar de forma simplificada a ocorrência do fenômeno, independente da época de sua ocorrência. Zocchi, Janeiro e Demétrio (2007) utilizaram a família Tweedie de distribuições para tratar a modelagem do volume de precipitações mensais em Piracicaba. A família Tweedie pertence a uma classe de modelos denominada modelos exponenciais de dispersão. Tais modelos, bem como os modelos próprios de dispersão, compõem os modelos de dispersão, introduzidos por Jørgensen (1997), com o objetivo de estender a metodologia já conhecida para os modelos lineares generalizados. O objetivo deste trabalho é testar a aderência dos dados sobre precipitação pluviométrica de Piracicaba a alguns modelos probabilísticos, bem como selecionar modelos pertinentes, por meio da maximização do perfil de verossimilhança para distribuições da família Tweedie. O município de Piracicaba está localizado no interior do estado, a cerca de 164 km da capital, ocupando uma área de 1.376, 91 km 2, sendo um importante polo agroindustrial do estado. No relevo é constituído de áreas acidentadas, sendo que a depressão é maior na parte central de seu território, a vegetação típica é a da mata atlântica. Quanto ao clima, predomina o tropical de altitude com temperatura média anual de 23, 9 o C, caracterizado por invernos de temperaturas amenas e pouco chuvosos e verões chuvosos com temperaturas moderadamente altas. 1 Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, e-mail: idemauro@usp.br 2 Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, e-mail: ralcarde@usp.br 3 Departamento de Ciências Exatas, ESALQ/USP, e-mail: soniamsp@usp.br 4 Departamento de Recursos Naturais, CCA/UFSCar, e-mail: miguel@cca.ufscar.br
2 Material e Métodos 2.1 Material Os dados referentes à precipitação pluviométrica foram obtidos no Posto Agrometeorológico, do Departamento de Biossistemas, da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ/USP), em Piracicaba SP, por meio de uma Estação Convencional, cuja base de dados é de domínio público. Os dados selecionados compreendem as alturas de precipitações mensais, em mm, de uma série histórica entre os anos 1917 e 2012. 2.2 Métodos Aos dados de precipitação foram verificadas a aderência às distribuições pertencente a família Tweedie, considerando-se cada mês. Com mais detalhes serão definidos a seguir as modelos de dispersão, os modelos exponenciais de dispersão e a família Tweedie de distribuições. Um modelo de dispersão, MD(µ, σ 2 ), com parâmetro de locação µ e parâmetro de dispersão σ 2 pertence à família de distribuições cuja função densidade de probabilidade pode ser escrita na forma: { p(y; µ, σ 2 ) = a(y; σ 2 )exp 1 } d(y; µ), y C (1) 2σ2 em que Ω C R, µ Ω e σ 2 > 0. a(.) 0 é uma função apropriada, d é a componente do desvio, Os modelos de dispersão são classificados em dois grupos principais, que não são mutuamente exclusivos, os modelos próprios de dispersão PD(µ, σ 2 ) e os modelos exponenciais de dispersão ED(µ, σ 2 ). Devido a natureza dos dados avaliados, serão abordados os modelos exponenciais de dispersão, uma vez que a esta classe pertence uma família de distribuições, denominada Tweedie, utilizada neste trabalho. A seguir serão definidos o modelo exponencial de dispersão e a família Tweedie de distribuições. Uma distribuição probabilística é chamada de modelo exponencial de dispersão (ED) se o componente do desvio de (1) toma a forma: d(y; µ) = yf(µ) + g(µ) + h(y) (2) para funções f(.), g(.) e h(.) apropriadas. Uma classe importante de modelos exponenciais de dispersão é aquela em que as funções de variância são da forma: V (µ) = µ p, p {(, 0] [1, )} (3) Essa classe de modelos é chamada família Tweedie de distribuições, denotada por T w p (µ; σ 2 ). As distribuições pertencentes a essa família estão resumidas na Tabela 1. Na Figura 1 observa-se a forma da distribuição para alguns valores de p. 2
Figura 1: Distribuições Tweedie para variações do valor de p Tabela 1: Distribuições da família Tweedie Distribuição p D Ω Extrema Estável p < 0 R R + Normal p = 0 R R (não existe) 0 < p < 1 Poisson p = 1 N 0 R + Poisson Composta 1 < p < 2 R 0 R + Gama p = 2 R + R + Positiva Estável 2 < p < 3 R + R + Normal Inversa p = 3 R + R + Positiva Estável p > 3 R + R + Extrema Estável p = R R A aderência dos dados aos modelos pertencentes à família Tweedie de distribuições foi verificada por meio dos valores estimados para o parâmetro p. Para a sua estimação foi utilizado o método da máxima verossimilhança perfilada. Esse procedimento permite selecionar modelos com melhor ajuste nesta classe de distribuições. A análise dos dados foi feita com o auxílio do pacote Tweedie exponential family models: The Tweedie Package v. 1.2 para o programa R (DUNN, 2006). 3 Resultados e Discussão Na Tabela 2 são apresentados os valores estimados para o parâmetro p, por meio da maximização do perfil de verossimilhança, considerando-se os totais de precipitação pluviométrica para cada mês, entre os anos de 1917 a 2012, fazendo uso do pacote Tweedie. 3
Tabela 2: Valores estimados para o parâmetro p correspondentes a cada mês jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez ˆp 1,22 1,55 1,47 1,71 1,52 1,37 1,52 1,45 1,59 1,47 1,14 2,04 Na Figura 2 são apresentados os histogramas, bem como as curvas das distribuições ajustadas. Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Figura 2: Histogramas dos totais de precipitação pluviométrica para cada mês e curvas ajustadas, em que (-) corresponde ao ajuste utilizando a distribuição Tweedie e (-) corresponde ao ajuste utilizando a distribuição exponencial Podem-se observar que os valores estimados para p conduzem à distribuição Poisson Composta para todos os meses, exceto para o mês de dezembro. No entanto, os ajustes 4
para os meses de junho, julho e agosto não foram satisfatórios, razão pela qual foi testada a aderência dos dados a outras distribuições. A distribuição exponencial foi a distribuição selecionada para o período de inverno, caracterizado pela forte assimetria positiva (nível descritivo do teste qui-quadrado: 0,3659, 0,5700 e 0,3510, respectivamente). 4 Conclusões Considerando-se a série histórica estudada, observou-se que no período de inverno, caracterizado por poucas chuvas, a distribuição exponencial foi a que apresentou melhor aderência. Para os demais meses a distribuição Poisson Composta foi a de melhor ajuste, exceto para o mês de dezembro, cuja distribuição selecionada foi a gama. Referências [1] CORDEIRO, G. M.; DEMÉTRIO, C. G. B. Modelos Lineares Generalizados. 12 o Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica. 2007. [2] CRUCIANI, D.E.; MACHADO, R.E.; SENTELHAS, P.C. Modelos da distribuição temporal de chuvas intensas em Piracicaba, SP. Revista Brasileira de Engenharia Agrícola e Ambiental, v.6, n.1, p.76-82, 2002. [3] DUNN, Peter K. Tweedie exponential family models: The Tweedie Package. V.1.2, June. 2006. [4] JØRGENSEN, B. The Theory of Dispersion Models. Monographs on Statistics and Applied Probability 76. Chapman & Hall. 1997. [5] R Core Team (2012). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http://www.r-project.org/. [6] UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz. Departamento de Engenharia de BiossistemasAcesso a Base de Dados Meteorológicos. Disponível em: http://www.leb.esalq.usp.br/posto.html. Acesso em: 18 março 2013. [7] ZOCCHI, S. S.; JANEIRO, V.; DEMÉTRIO, C. G. B.; Modelagem simultânea do número de precipitações e do volume de precipitações mensais em Piracicaba, SP, usando a distribuição Tweedie. Anais do 12 o SEAGRO, 2007. 5