Módulo VII - 1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle: Princípio de Conservação da Massa. Regime Permanente. Conservação da Massa A massa, assim como a energia, é uma propriedade que se conserva, e não pode ser criada nem destruída durante um processo. Em sistemas fechados, o princípio de conservação da massa é usado implicitamente pela exigência de que a massa do sistema permaneça constante. Em volumes de controle, ou sistemas abertos, a massa pode atravessar a fronteira do sistema e devemos levar em conta a quantidade de massa que entra e sai do volume de controle. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica Vazão mássica ou fluxo de massa, ṁ, é a quantidade de massa que escoa através de uma área por unidade de tempo. Esse fluxo de massa pode ser expresso por: [ ] onde ρ é massa específica do fluido escoando, V n é a componente da velocidade normal a secção de área transversal ao escoamento e A c é a secção de área transversal ao escoamento. A velocidade nunca é uniforme ao longo da secção transversal de um tubo, devido à condição de não-deslizamento nas paredes. Para isso, definimos a velocidade média de escoamento dado por:
Finalmente, para um escoamento com fluido incompressível ou para escoamento compressível com ρ uniforme temos: [ ] De maneira semelhante, vazão volumétrica é o volume de fluido escoando através de uma área por unidade de tempo. [ ] Conservação da Massa para um Volume de Controle A transferência líquida de massa, ou do fluxo de massa, para ou de um volume de controle durante um intervalo de tempo Δt é igual à variação líquida da massa, ou do fluxo de massa, total dentro do volume de controle durante Δt. [ ] [ ] onde os subscritos e e s representam os valores que estram e saem do volume de controle. Para um escoamento unidimensional temos que: [ ] Já para o caso de escoamento permanente, durante o processo, a quantidade de massa contida dentro do volume de controle não muda com o tempo. Assim a quantidade de massa que entra em um volume de controle tem que ser igual a quantidade que sai.
No caso do escoamento em regime permanente com corrente única, como ocorre em muitos dispositivos de engenharia, a equação se reduz para: Para fluidos incompressíveis a massa específica não tem variação considerável no decorrer do processo e com isso podemos reduzir ainda mais a equação para: Neste caso também é comum a presença de apenas uma corrente: Não podemos deixar de comentar que não existe o princípio de conservação de volume e portanto as vazões volumétricas podem ser diferentes. Conservação da Energia para um Volume de Controle O desenvolvimento do balanço de energia para um volume de controle pode ser obtido modificando-se o balanço da taxa de energia para sistema fechado de forma a levar em conta a transferência de energia, chegando a: ( ) ( )
onde e representam a taxa líquida de transfer ncia de energia por calor e trabalho através da fronteira do volume de controle no instante t. Os dois demais termos representam as taxas de transferência de energia interna, cinética e potencial dos fluxos de entrada e saída. tra alho para volume de controle é convenientemente separado em duas contri ui es. ma associada press o do fluido medida que a massa é introdu ida nas entradas e removida nas saídas, e outra designada por VC que inclui todos os outros efeitos. Para o primeiro efeito a equação é dada por: Com isso o taxa de energia por trabalho total é dada por: Portanto para um escoamento unidimensional a taxa de energia para um volume de controle é: ( ) ( ) ( ) ( ) Como ocorre para a conservação da massa, na prática podem existir vários locais na fronteira através dos quais a massa entra e sai. ( ) ( )
Para regime permanente, isto é, sem variação com o tempo temos: ( ) ( ) ( ) ( ) Para regime permanente com uma entrada e saída, o fluxo de massa é idêntico, resumindo-se para: *( ) ( ) ( )+ Se o fluido sofrer uma variação desprezível em suas energias cinética e potencial enquanto escoa através de um volume de controle e equação de energia se reduzirá a: ( ) ( ) Exemplos 1) Um aquecedor de água operando em regime permanente possui duas entradas e uma saída. Na entrada 1, o vapor d água entra a p 1 = 7 bar, T 1 = 200 C com vazão mássica de 40 kg/s. Na entrada 2, água líquida a p 2 = 7 bar, T 2 = 40 C entra através de uma área A 2 = 25 cm 2. Líquido saturado a 7 bar sai em 3 com uma vazão volumétrica de 0,06 m 3 /s. Determine a vazão mássica na entrada 2, em kg/s, e a velocidade na entrada 2, em m/s. Resolução: ṁ 1 + ṁ 2 = ṁ 3
ṁ 3 = ρ 3 A 3 V 3 = (A 3 V 3 /v 3 ) ṁ 1 + ṁ 2 = (A 3 V 3 /v 3 ) Da tabela v 3 = 1,108x10-3 m 3 /kg 40 + ṁ 2 = (0,06/1,108x10-3 ) ṁ 2 = 14,15 kg/s ṁ 2 = (A 2 V 2 /v 2 ) Da tabela v 2 = 1,0078x10-3 m 3 /kg 14,15 = (0,0025 V 2 /1,0078x10-3 ) V 2 = 5,7 m/s ρ 1 A 1 V 1 + ρ 2 A 2 V 2 = ρ 3 A 3 V 3 (A 1 V 1 /v 1 ) + (A 2 V 2 /v 2 ) = (A 3 V 3 /v 3 ) 2) vapor d água entra em uma tur ina operando em regime permanente com uma vazão mássica de 4600 kg/h. A turbina desenvolve uma potência de 1000 kw. Na entrada, a pressão é de 60 bar, a temperatura é 400 C e a velocidade é 10 m/s. Na saída, a pressão é 0,1 bar, o título é 0,9 e a velocidade é 30 m/s. Calcule a taxa de transferência de calor entre a turbina e a vizinhança em kw. Resolução: *( ) ( ) ( )+ z 1 = z 2 Das tabelas termodinâmicas na entrada para vapor superaquecido h 1 = 3177,2 kj/kg e na saída há mistura de vapor e líquido que dá h 2 = 2345,4 kj/kg
( ) *( ) ( ) ( ) ( )+ Exercícios Propostos 1) Um computador deve ser resfriado por um ventilador com uma vazão volumétrica igual a 0,34 m 3 /min. Determine o fluxo de massa de ar através do ventilador a uma altitude de 3400 m onde a massa específica do ar é de 0,7 kg/m 3. Se a velocidade média do ar não exceder os 110 m/min, determine também o diâmetro da carcaça do ventilador. Resposta: 0,238 kg/min; 0,063 m 2) Os requisitos mínimos de ar fresco de um prédio residencial são especificados como 0,35 de renovação de ar por hora (ASHRAE, Standard 62, 1989). Ou seja, 35% de todo o ar contido em uma residência deve ser substituído por ar fresco externo a cada hora. Se a exigência de ventilação de uma residência de 200 m 2 com 2,7 m de altura deve ser atendida totalmente por um ventilador, determine a vazão em litros/min do ventilador que precisa ser instalado. Determine também o diâmetro do duto se a velocidade do ar não deve exceder 6 m/s. Resposta: 3150 l/min; 0,106 m 3) Um tanque de mistura contém 3000 lb (1360,8 kg) de água líquida. O tanque é equipado com dois tubos de entrada, um tubo para a distribuição de água quente a uma vazão mássica de 0,8 lb/s (0,36 kg/s) e um outro para a distribuição de água fria a uma vazão mássica de 1,3 lb/s (0,59 kg/s). A água sai através de um único tubo de saída a uma vazão mássica de 2,6 lb/s (1,2 kg/s). Determine a quantidade de água, em lb, no tanque após uma hora. Resposta: 1200 lb
4) Sob condições de regime permanente, um fluxo de água líquida a 20 C e 1 bar é misturado com um fluxo de etileno glicol (M = 62,07) de maneira a formar uma mistura refrigerante com 50% de glicol em massa. A vazão mássica molar da água é de 4,2 kmol/min. A massa específica do etileno glicol é 1,115 vezes maior que da água. Determine: a) a vazão mássica molar, em kmol/min, e a vazão volumétrica, em m 3 /min, do etileno glicol na entrada. b) os diâmetros, em cm, de cada um dos dutos de alimentação se as velocidades são iguais a 2,5 m/s. Resposta: 1,219 kmol/min; 0,068 m 3 /min; 2,54 e 2,4 cm 5) Ar em regime permanente em um tubo de 28 cm de diâmetro a 200 kpa e 20 C com uma velocidade de 5 m/s. O ar é aquecido a medida que escoa e sai do tubo a 189 kpa e 40 C. Determine: a) a vazão volumétrica na entrada, b) o fluxo de massa de ar e c) a velocidade e a vazão volumétrica de saída. Resposta: 0,3079 m 3 /s; 0,7318 kg/s; 5,94 m/s; 0,3654 m 3 /s 6) Ar em regime permanente a 200 kpa, 52 C e uma vazão mássica de 0,5 kg/s entra em um duto isolado com diferentes áreas de seção transversal de entrada e saída. Na saída do duto, a pressão do ar é de 100 kpa, a velocidade é de 255 m/s e a área da seção transversal é de 2x10-3 m 2. Admitindo o modelo de gás ideal, determine: a) A temperatura do ar na saída, em C. b) A velocidade do ar na entrada, em m/s. c) A área da seção transversal da entrada, em m 2. Resposta: 82 C; 355 m/s; 6,57x10-4 m 2