Como foi visto no tópico anterior, existem duas formas básicas para representar uma função lógica qualquer:

ELETRÔNI IGITl I FUNÇÕES LÓGIS Formas de representação de uma função lógica omo foi visto no tópico anterior, existem duas formas básicas para representar uma função lógica qualquer: Soma de Produtos Produtos de Somas. + + + ( + + ( + ( + + + ( + ) om objetivo de desenvolver um procedimento para encontrar a expressão mínima de uma função lógica(minimizar a função), serão analisadas duas formas padrões, também denominadas Formas anônicas, utilizadas para representar as funções lógicas, que são: a) Forma canônica de Soma de Produtos + + + + + b) Forma canônica de Produto de Somas ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + omo pode ser observado nos exemplos mostrados acima, cada componente da soma de produtos ou do produto de somas, contém todas as variáveis da função, negadas ou não. Observa-se também que as negações existentes abrangem somente variáveis individuais. Forma canônica de Soma de Produtos Qualquer função lógica pode ser representada na forma canônica de Soma Produtos. Tomemos como exemplo, a mesma função vista anteriormente: ) ( + ) omo já foi visto, podemos representar a função como uma soma de produtos: ) + + É importante observar que, embora a função esteja representada como uma soma de produtos, ela não está na forma canônica, pois nem todas as parcelas componentes da soma possuem as três

ELETRÔNI IGITl I 2 variáveis da função (, e ). Para se chegar à forma canônica de soma de produtos, é necessário que as três variáveis estejam presentes em todas as parcelas da soma. É possível observar que na segunda parcela não aparece a variável enquanto na terceira parcela não aparece a variável. Nosso objetivo é reescrever a função de modo que as três variáveis apareçam em todas as parcelas. Para isto, vamos lançar mão de dois teoremas vistos anteriormente: x + x e x x omo na segunda parcela da soma, não aparece a variável deve-se multiplicar (operação lógica E) esta parcela por +. O valor da expressão não é alterado, considerando que + e.. o mesmo modo, na terceira parcela não aparece a variável. ssim, multiplicamos esta parcela por +. ssim, esenvolvendo temos, ) + ( + ) + ( + ) ) + + + + omo o produto está em duplicidade, podemos eliminar um deles, pois x + x x. Portanto, ) + + + função ) está representada agora na sua forma canônica de Soma de Produtos, onde as três variáveis, negadas ou não, aparecem em todas as parcelas da soma. ada um dos produtos componentes da forma canônica da soma de produtos recebe a denominação de Minterm. Portanto, podemos dizer que a função está representada na forma de Soma de Minterms. Exemplo: Representar como uma soma de minterms, a função: +

ELETRÔNI IGITl I 3 Inicialmente deve-se representar a função como uma soma de produtos, aplicando os teoremas e princípios já vistos: ( + + ( + ) + + + Seguindo o procedimento visto acima, temos, ( + ) + ( + ) + ( + )( + + ( + ) ( + plicando a propriedade distributiva, + + + + + + + + + + + Eliminando os produtos duplicados, temos a soma de minterms abaixo: + + + + + + + Forma canônica de Produto de Somas onsiderando a mesma função analisada anteriormente: ) ( + ) a qual, como já foi visto, pode ser expressa através do seguinte Produto de Somas: ) ( + + )( + )( + ) omo podemos observar, temos um produto de somas que não está na forma canônica, tendo em vista que as três variáveis da função não aparecem em todas as somas. Na segunda soma não aparece a variável e na terceira soma não aparece a variável. É possível reescrever a expressão, de modo que as três variáveis, negadas ou não, apareçam em todas as somas. Para isto, serão utilizados os teoremas: x + 0 x e x x 0

ELETRÔNI IGITl I 4 omo na segunda soma não aparece a variável é possível somar o produto, o que não altera seu valor, uma vez que 0. o mesmo modo, adicionaremos o produto na terceira soma. ssim: ) ( + + )( + + )( + + ) plicando a propriedade distributiva: x + y z (x + y) (x + z), ) ( + + )( + + )( + + )( + + )( + + ) Eliminando somas repetidas, temos: ) ( + + )( + + )( + + )( + + ) hegamos portanto, à forma canônica de produto de somas, onde as três variáveis da função aparecem, negadas ou não, em todas as somas. ada uma das somas componentes do produto é denominada Maxterm. forma canônica de produto de somas é portanto um Produto de Maxterms. Exemplo: Representar como um produto de maxterms a função: Representando a função como um produto de somas: + ( + + ( + ) [ ( + + ] [ ( + + + ] ( + )( + + )( + ) ( + )( + + )( + + )( + ) ( + )( + + )( + + )( + ) ( + )( + + ( + + ( + ) Inserindo as variáveis faltantes em cada soma: ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + +

ELETRÔNI IGITl I 5 ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + Eliminando somas duplicadas: ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + Identificação dos Minterms om objetivo de facilitar a representação de uma função lógica através da soma de minterms, veremos a seguir uma forma de identificar cada um dos minterms componentes da função. Seja por exemplo a função abaixo, representada pela soma de minterms: ) + + + + Para identificar um minterm, transformamos o produto de variáveis em um número binário, associando o bit 0 à variável negada e o bit à variável não negada. Para o minterm, temos a seguinte associação: 0 0 O número binário 00 corresponde a 2 no sistema decimal. ssim, o minterm denominado minterm 2 e representado por m 2. é Para a função especificada acima, temos então: ) + + + + 0 0 0 0 0 0 2 5 6 7 Portanto, m, m 2, m 5, m 6, m 7,

ELETRÔNI IGITl I 6 Podemos escrever a função como: ) m + m + m + m + m, 2 5 6 7 ou de forma mais resumida: f(,) Σm(,2,5,6,7), ou simplesmente f(,) Σ(,2,5,6,7) Identificação dos Maxterms Para o caso da função representada através de um produto de maxterms, adotamos um procedimento similar, com a diferença que, associamos o bit à variável negada e o bit 0 à variável não negada. Seja por exemplo a função: ) ( + + )( + + )( + + )( + + ) Se tomarmos por exemplo, o maxterm ( + + ) e fizermos as associações especificadas, temos: + + 0 O número binário 0 é equivalente a 3 no sistema decimal, portanto, maxterm 3, sendo representado por M 3. + + corresponde ao esta forma, para a função especificada acima temos: ) ( + + )( + + )( + + )( + + ) 0 0 0 0 0 3 4 7 Então: + + M, + + M 3, + + M 4, + + M 7 Podemos escrever a função como:

ELETRÔNI IGITl I 7 ) M M M M, 3 4 7 ou ainda: f(,) ΠM(,2,4,7), Ou, de forma mais resumida: f(,) Π(,2,4,7) Exemplos: a) Representar a soma de produtos correspondente à função abaixo: f(, Σ(0,,4,8,0,2,3,5) m 0 m m 4 m 8 m 0 m 2 m 3 m 3 Portanto, b) Representar o produto de somas correspondente à função abaixo: Portanto, f(, Π(2,3,5,6,7,9,,4) M 2 M 3 M 5 M 6 M 7 M 9 M M 4

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ELETRÔNI IGITl I 9 Exercícios: onsidere a função lógica: ( + ( + + ( + a) Representar o circuito que realiza a função acima, como uma estrutura de dois níveis de portas, utilizando: a.) Somente portas NN; a.2) Somente portas NOR. b) Representar a função acima como: b.) Soma de Minterms; b.2) Produto de Maxterms.

ELETRÔNI IGITl I 0 aracterização de uma função lógica Nos tópicos anteriores, as funções lógicas foram apresentadas, na forma de soma de minterms ou produto de maxterms, sem qualquer preocupação no sentido de saber de onde as mesmas foram obtidas. Será visto a seguir, o processo de caracterização de uma função lógica, ou seja, de que maneira determinamos os minterms ou maxterms de uma função. onsideremos como exemplo, um sistema de alarme no qual existam quatro sensores, identificados por:, e. O diagrama em blocos do nosso sistema de alarme está mostrado na figura abaixo: Sensor Sensor Sensor f(, larme Sensor Nosso objetivo é determinar qual é a lógica necessária para disparar o alarme, em função dos sinais gerados pelos sensores. O alarme deverá ser disparado caso qualquer uma das seguintes condições seja satisfeita: a) Se os sensores e forem ativados, desde que o sensor não seja ativado; b) Se somente o sensor for ativado; c) Se os sensores, e forem ativados; d) Se somente o sensor for ativado e) Se os sensores e forem ativados. eterminar a função lógica f(, que aciona o alarme, considerando os seguintes valores lógicos: x 0 sensor x não ativado x sensor x ativado f(, 0 Não disparar o alarme f(, isparar o alarme

ELETRÔNI IGITl I O primeiro passo para a caracterização da função, é a construção da tabela verdade, na qual são representadas todas as possíveis combinações das variáveis de entrada(sensores) e, a partir das condições estabelecidas, qual é a saída correspondente à cada uma das combinações. tabela verdade para o sistema de alarme, está mostrada abaixo: f(, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Uma vez obtida a tabela verdade, temos que decidir se a função será representada na forma de soma de minterms ou produto de maxterms. No nosso exemplo, vamos analisar ambas as formas. a) Função na forma de soma de minterms: Nesta forma de representação, como já vimos, a função é representada como uma soma de produtos, onde cada produto contém as quatro variáveis da função, complementadas ou não. nalisando a tabela verdade, vemos que na linha 3, quando 0, 0, e 0, o valor da função deve ser f(,. evemos então, incluir na nossa soma, o produto, cujo resultado será para a combinação especificada. omo o resultado deste produto é, e considerando que + x, teremos f(,, independente do valor assumido pelos demais produtos componentes da função. a mesma forma, para a linha 5 da tabela verdade, quando 0,, 0 e 0, devemos incluir na soma, o produto, de modo a termos f(, para a combinação especificada. Generalizando, devemos incluir na soma, um produto para cada linha da tabela verdade onde o valor da função deve ser. esta forma, garantimos que, para cada uma destas combinações temos um produto que garante o valor para a função nestas linhas.

ELETRÔNI IGITl I 2 ssim, para a tabela verdade acima, temos a seguinte soma de minterms: + + + + + + + Portanto, para determinar a função como uma soma de minterms, devemos incluir na função um minterm para cada linha da tabela verdade onde o valor da função deve ser. b) Função na forma de produto de maxterms Nesta forma de representação, a função é representada como um produto de somas, onde cada soma contém as quatro variáveis da função, complementadas ou não. nalisando a tabela verdade, vemos que na linha, quando 0, 0, 0 e 0, o valor da função deve ser f(, 0. Incluímos então no nosso produto, a soma + + +, cujo resultado será 0 para a combinação especificada. omo o resultado desta soma é 0, e considerando que 0 x 0, teremos f(, 0, independente do valor assumido pelas demais somas componentes da função. a mesma forma, para a linha 2 da tabela verdade, quando 0, 0, 0 e, devemos incluir no produto, a soma + + +, de modo a termos f(, 0 para a combinação especificada. Generalizando, devemos incluir no produto, uma soma para cada linha da tabela verdade onde o valor da função deve ser 0. esta forma, garantimos que, para cada uma destas combinações temos uma soma que garante o valor 0 para a função nestas linhas. ssim, para a nossa função temos o seguinte produto de maxterms: ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + ( + + + Portanto, a função lógica a ser implementada para acionar o nosso alarme, pode ser escrita como: f(, Σ(2,4,6,7,,2,4,5), ou então, f(, Π(0,,3,5,8,9,0,3) Exercício: Simplificar a função lógica encontrada para acionamento do alarme.

ELETRÔNI IGITl I 3 MP E KRNUGH O mapa de Karnaugh é uma ferramenta de grande utilidade no processo de simplificação de funções lógicas. O mapa de Karnaugh é representado por uma figura geométrica, na qual existe um quadro correspondente à cada linha da tabela verdade que define a função. omo foi visto no exemplo do alarme, existe uma correspondência entre as linhas da tabela verdade e os minterms e maxterms da função. a mesma forma, existe uma correspondência entre os minterms e maxterms com os quadros do mapa de Karnaugh. Mapa de Karnaugh para uma função de 2 variáveis onsideremos, por exemplo, a função de duas variáveis, cuja tabela verdade está representada abaixo: f(,) 0 0 0 0 0 0 O mapa de karnaugh para uma função de duas variáveis, é composto de quatro quadros, conforme podemos ver na figura abaixo: Primeiramente, é necessário identificar cada um dos quadros componentes do mapa, ou seja, qual quadro corresponde à qual minterm. Para isto, deve-se associar à cada coluna um dos valores da variável e à cada linha os valores da variável ficando portanto com a seguinte representação: 0 0 Portanto, o mapa correspondente à tabela verdade mostrada acima é:

ELETRÔNI IGITl I 4 0 0 0 0 Outras formas de representar a identificação dos quadros no mapa, estão mostrados na figura abaixo: 0 0 0 0 Nos exemplos acima, estão representados tanto os minterms como os maxterms da função no mapa de Karnaugh. Na prática, considerando que os valores são mutuamente exclusivos, basta representar um deles, ou seja, representamos somente os s ou somente os 0 s da função. ssim, a função acima pode ser representada pelos mapas: f(,) Σ(,3) ou, 0 0 f(,) Π(0,2) Portanto, se a função for representada como uma soma de minterms, colocamos s nos quadros correspondentes aos minterms e se for representada como um produto de maxterms, colocamos 0 s nos quadros correspondentes aos maxterms.

ELETRÔNI IGITl I 5 Mapa de Karnaugh para 3 variáveis onsideremos agora, uma função de 3 variáveis, cuja tabela verdade está mostrada abaixo: f(,) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 função é: ou, f(,) Σ(2,4,6,7) f(,) Π(0,,3,5) O mapa de karnaugh para uma função de três variáveis é formado por oito quadros, conforme mostrado abaixo: 00 0 0 0 omo podemos observar, nas colunas colocamos os valores para as variáveis e e nas linhas os valores para a variável. Observe que os valores para as variáveis e seguem a seqüência do código Gray, o qual já foi visto anteriormente. No caso da função representada pela tabela verdade acima, temos os seguintes minterms representados no mapa:

ELETRÔNI IGITl I 6 aso seja utilizada a representação dos maxterms da função temos o seguinte mapa: 0 0 0 0 0 0 0 0 Mapa de Karnaugh para 4 variáveis O mapa para quatro variáveis possui 6 quadros, que podem ser identificados colocando nas colunas os valores das variáveis e e nas linhas os valores das variáveis e, utilizando a seqüência do código Gray, como foi visto acima. Na figura abaixo está mostrada a representação de um mapa para quatro variáveis: 00 0 0 00 0 0 Seja por exemplo, a função: f(, Σ(0,,2,4,6,7,0,2) ou, f(, Π(3,5,8,9,,3,4,5) representação do mapa para esta função, utilizando os minterms é:

ELETRÔNI IGITl I 7 É importante salientar que, a disposição dos minterms/maxterms no mapa de Karnaugh depende da forma como as variáveis da função são dispostas. Se alterarmos a disposição das variáveis, alteraremos também a disposição dos minterms/maxterms. Nos exemplos que serão vistos, utilizaremos sempre a disposição apresentada acima. Minimização de funções utilizando o mapa de Karnaugh característica fundamental do mapa de Karnaugh é resultado da utilização da seqüência do código Gray para representar os valores das variáveis no mapa. omo já foi visto no capítulo que trata de códigos binários, o código Gray possui a característica de ter somente um bit diferente entre dois valores consecutivos. ssim dois quadros adjacentes do mapa, na horizontal ou na vertical (na diagonal esta característica não é observada), possuem somente uma variável com valor diferente entre os dois. Esta característica se observa também em quadros que estão na extremidade do mapa, seja na horizontal ou na vertical. Portanto, se existirem dois minterms em quadros adjacentes no mapa (na horizontal ou na vertical), estes dois minterms terão todas as variáveis iguais, com exceção de uma, que será negada em um minterm e não negada em outro. Seja por exemplo, a função f(, Σ(2,4,7,0,2,5) O mapa para esta função, utilizando os minterms, está mostrado abaixo. m 2 m 4 onforme é possível observar no mapa de Karnaugh da função, os minterms m 4 e m 2 são adjacentes(na horizontal). Estes dois minterms diferem somente pela variável, que aparece negada no minterm m 4 e não negada no minterm m 2. esta forma, m 4 + m 2 + ( + )

ELETRÔNI IGITl I 8 Observa-se portanto, que os dois minterms podem ser combinados, resultando em um único produto composto de três variáveis. Observe que a variável que aparece negada em um minterm e não negada em outro, foi eliminada. O grande mérito do mapa de Karnaugh, é que o mesmo permite um reconhecimento visual rápido dos minterms que podem ser combinados ssim, qualquer par de minterms adjacentes (na horizontal ou na vertical) podem ser combinados, resultando em um produto, onde é eliminada a variável que aparece negada em um minterm e não negada em outro. s chaves que indicam os valores das variáveis nos diversos quadros do mapa, nos permitem identificar rapidamente qual é a variável que muda de um quadro para outro. No caso da função vista acima, podemos identificar no mapa, três pares de minterms adjacentes, conforme mostrado no mapa abaixo: Para extrair do mapa os produtos correspondentes a cada combinação, analisamos a posição dos minterms em relação às chaves. Se todos os minterms da combinação estão cobertos pela chave, a variável correspondente aparece não negada e se os minterms estão fora da abrangência da chave, a variável correspondente aparece negada. ssim: m 4 + m 2 m m 7 + 5 m m 2 + 0 expressão mínima para a função é a soma dos produtos obtidos: + +

ELETRÔNI IGITl I 9 Exemplo: Encontrar a expressão mínima da função: f(, Σ(0,,,4,5). O mapa de Karnaugh para a função está mostrado abaixo: omo já foi visto, é possível combinar os minterms 0 e, assim como os minterms 4 e 5, combinações estas que estão indicadas no mapa. nalisando o mapa, podemos observar que o minterm também pode ser combinado com o minterm 5. Porém, o minterm 5 já foi combinado com o minterm 4. questão é, um minterm pode ser combinado mais de uma vez? resposta é afirmativa, sendo a explicação apresentada a seguir. nalisando somente os minterms, 4 e 5 temos: m m + m + + + 4 5 Observamos na expressão acima, que o produto pode ser combinado tanto com produto como com produto. onsiderando que, x + x x, fica claro que podemos duplicar o produto na expressão acima, sem alterar seu valor. ssim, m m + m + + + + 4 5 Podemos agora combinar uma das ocorrências do minterm 5 com o minterm e a outra com o minterm 4. Portanto: m + m + m ( + ) + ( + 4 5 + Seguindo a mesma linha de raciocínio, podemos notar que um produto qualquer pode ser replicado quantas vezes for necessário, de forma a ser combinado com outros produtos. Isto

ELETRÔNI IGITl I 20 significa que, qualquer minterm no mapa de Karnaugh pode ser combinado quantas vezes for necessário. Na figura abaixo está mostrado o mapa com todas as combinações possíveis. expressão mínima da função é portanto: + + onsideremos agora a função f(, Σ(2,3,8,0,2), mapeada na figura abaixo, onde estão indicadas todas as possíveis combinações partir das combinações possíveis, mostradas no mapa, é extraída a expressão mínima da função, que é: + + + Uma das características do mapa de Karnaugh é que, se utilizarmos corretamente o mesmo, a expressão extraída é mínima, ou seja, não pode mais ser simplificada. nalisando a expressão acima, vemos que podemos fatorar nos três primeiros produtos.

ELETRÔNI IGITl I 2 Portanto, ( + + + Na expressão acima, podemos identificar, entre parênteses, o teorema xy + xz + yz xy + xz. Então, o produto (correspondente a yz) pode ser eliminado, ficando portanto a expressão: ( + + + + Podemos ainda, simplificar a expressão de forma diferente: + ( + + ) Utilizando o mesmo teorema, verificamos que o produto pode ser eliminado da expressão. Temos então: + + o exemplo acima, é possível concluir que: a) função possui duas expressões mínimas: + + + + b) O mapa não foi utilizado corretamente, pois foi possível simplificar a expressão. Verificamos então, através das expressões mínimas obtidas para a função acima, que temos uma combinação desnecessária no mapa. nalisando as combinações m 2 +m 0 e m 8 + m 0, verificamos que uma das duas é desnecessária. opção por uma ou outra combinação nos leva à uma das duas expressões mínimas da função vistas anteriormente. pergunta a ser respondida é, como identificar uma combinação desnecessária? omo regra geral, para que uma combinação seja necessária, pelo menos um minterm desta combinação não pode pertencer a nenhuma outra combinação, situação esta que não ocorre no exemplo acima.

ELETRÔNI IGITl I 22 Na figura abaixo estão mostradas as duas configurações possíveis para o mapa do nosso exemplo + + + + ombinações envolvendo mais de dois minterms Nos exemplos vistos até aqui, foram analisadas as combinações envolvendo dois minterms adjacentes no mapa, onde cada combinação resulta em um produto onde uma das variáveis é eliminada. e modo geral, é possível efetuar combinações com 2 n minterms, desde que as condições necessárias sejam satisfeitas. Uma combinação com 2 n minterms, resulta em um produto onde são eliminadas n variáveis. ombinações típicas com 4 minterms estão mostradas abaixo: onsideremos por exemplo, a função f(, Σ(0,,4,5), cujo mapa está mostrado a seguir. No mapa estão também indicadas duas alternativas para as combinações com os pares de minterms. Na alternativa indicada pela linha cheia, combinamos os minterms m 0 +m 4 e m + m 5. Temos portanto:

ELETRÔNI IGITl I 23 e ssim, m m 0 + 4 m m + 5 + omo podemos observar, esta expressão pode ser simplificada. ( + Isto significa, que podemos efetuar na realidade, uma única combinação com os quatro minterms, combinação esta que está indicada no mapa abaixo: Para extrair do mapa o produto correspondente à combinação com os quatro minterms, observamos o seguinte: omo as combinações são de 2 2 4 minterms, duas variáveis serão eliminadas; uas variáveis têm valores diferentes entre os quatro minterms ( e ). Estas variáveis serão eliminadas; uas variáveis têm o mesmo valor para os quatro minterms ( e. Estas variáveis são as que formarão o produto a ser extraído do mapa; omo os quatro minterms estão na região do mapa onde, esta variável aparece não negada. o mesmo modo, como os quatro minterms estão na região do mapa onde, esta variável também aparece não negada ssim, temos diretamente do mapa:

ELETRÔNI IGITl I 24 Nos mapas de Karnaugh abaixo, estão mostradas outras situações onde é possível combinar os quatro minterms: + + a mesma forma, podem ser feitas combinações com 2 3 8 minterms, desde que satisfeitas as condições necessárias. Numa combinação com 8 minterms são eliminadas 3 variáveis. Observe que, para que a combinação seja possível, uma das variáveis deve ter o mesmo valor nos oito minterms e três variáveis têm valor diferente. + +

ELETRÔNI IGITl I 25 Utilização do Mapa de Karnaugh té este ponto, foram analisadas as diferentes possibilidades de efetuar as combinações com os minterms no mapa de Karnaugh. Veremos agora como efetivamente utilizar o mapa de Karnaugh para se obter a expressão mínima de uma função. e início, é necessário estabelecer os seguintes conceitos: a) s combinações devem ser efetuadas de modo que cada minterm seja incluído em pelo menos uma combinação, se possível. omo será visto adiante, existem situações em que um minterm não pode ser combinado com nenhum outro. b) onsiderando que numa combinação de 2 n minterms são eliminadas n variáveis de um produto, devem ser selecionadas aquelas combinações que abrangem o maior número possível de minterms. Um certo cuidado deve ser observado para que não sejam selecionadas combinações que são desnecessárias, conforme foi visto anteriormente. Exemplo: obter a expressão mínima da função f(, Σ(3,6,8,0,,3,4,5). omo se observa no exemplo acima, a combinação que abrange o maior número de minterms, tracejada no mapa, mostrou ser desnecessária, e não pode ser incluída na expressão mínima da função. Portanto, a expressão mínima da função é: + + + e modo a evitar combinações desnecessárias, pode-se seguir a seqüência de etapas relacionadas abaixo: ) Identificar os minterms que não podem ser combinados com nenhum outro;

ELETRÔNI IGITl I 26 2) Identificar os minterms que só podem fazer parte de uma única combinação com dois minterms. queles minterms que podem ser combinados mais de uma vez, são temporariamente ignorados; 3) Identificar os minterms que só podem fazer parte de uma única combinação com quatro minterms. queles minterms que podem ser combinados mais de uma vez, são temporariamente ignorados; 4) Repetir o procedimento para grupos de oito minterms, dezesseis, etc; 5) Se após seguir o procedimento acima, ainda restar algum minterm que não foi combinado, o mesmo pode ser combinado de forma arbitrária, sempre levando em consideração que devemos ter o menor número possível de combinações. Exemplos: a) Minimizar a função lógica: f(, Σ(0,,3,5,6,9,,2,3,5). e acordo com a sequência de etapas proposta, observamos que: ) O minterm 6 não pode ser combinado com nenhum outro. Indicamos isto através de um circulo em torno do minterm. 2) O minterm 0 pode ser combinado somente com o minterm. a mesma forma, o minterm 2 pode ser combinado somente com o minterm 3. 3) Os minterms 3, 5 e 5 somente podem ser combinados uma vez, numa combinação com quatro minterms. expressão mínima da função é portanto:

ELETRÔNI IGITl I 27 b) Minimizar a função lógica: f(, Σ(0,2,3,4,5,7,8,9,3,5). ),,, ( f c) Minimizar a função lógica: f(, Σ(,3,4,5,6,7,,2,4,5). ),,, ( f d) Minimizar a função lógica: f(, Σ(0,2,4,6,7,8,9,0,3,5). ),,, ( f

ELETRÔNI IGITl I 28 Utilização do mapa quando a função é representada pela soma de maxterms té aqui, foi vista a utilização do mapa de Karnaugh quando a função é representada pela soma de minterms. Quando a função é representada pelo produto de maxterms, as regras para as combinações são exatamente as mesmas já vistas para os minterms. eve-se apenas tomar cuidado no mapeamento da função e na extração da expressão mínima, lembrando que, no caso dos maxterms a variável negada é associada ao bit e variável não negada é associada ao bit 0. Exemplos: a) Obter a expressão mínima da função: O mapeamento dos maxterms está mostrado abaixo: f(, Π(0,,2,4,5,6,8,,5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0, ) ( + )( + )( + + )( + + ) b) Obter a expressão mínima da função: f(, Π(0,3,4,5,6,7,,3,4,5) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ELETRÔNI IGITl I 29 Exercícios: Minimizar as funções abaixo: a) f(, Σ(0,3,4,5,7,,2,4,5) b) f(, Σ(0,,2,5,6,8,9,0,3) c) f(, Σ(0,2,3,4,5,6,7,8,0,,5) d) f(, Σ(0,,2,3,5,8,9,0,,2,4,5) e) f(, Σ(,2,3,5,7,0,,2,3,4,5) f) f(, Σ(0,2,4,5,7,8,0,2,4,5) g) f(, Σ(0,,5,8,0,,3,4,5) h) f(, Π(0,,2,5,8,0,,3,4,5) i) f(, Π(,2,3,4,5,7,9,0,,5) j) f(, Π(0,2,3,4,5,6,7,8,0,,3,5)

ELETRÔNI IGITl I 30 Mapa de Karnaugh para funções de 5 variáveis construção de um mapa de Karnaugh para funções de 5 variáveis segue o mesmo procedimento já visto para os mapas de 2, 3 e 4 variáveis. onsiderando que o mapa é formado por 32 quadros, dispostos em uma matriz de 4 linhas por 8 colunas, colocamos nas colunas os valores de três destas variáveis (, e ) e nas linhas os valores das outras duas variáveis ( e E), utilizando a seqüência do código Gray, conforme podemos observar na figura abaixo. E 00 0 0 000 00 0 00 0 0 00 Representando as chaves, temos o mapa abaixo: E nalisando este mapa, percebemos que a linha tracejada divide o mesmo em dois mapas de quatro variáveis. No mapa da esquerda temos 0 e no mapa da direita temos. lém disto, é possível notar que o mapa da direita está invertido em relação ao original. Isto significa que, todos os critérios já vistos para utilização de um mapa de quatro variáveis são válidos para cada uma das partes que compõem o mapa de cinco variáveis. lém disso, podemos observar que os minterms simétricos em relação à linha tracejada central, são logicamente adjacentes, ou seja, possuem somente uma variável diferente entre os dois (variável ). esta forma, minterms simétricos também podem ser combinados.

ELETRÔNI IGITl I 3 Seja por exemplo, a função f(,,e) Σ(0,5,8,0,,20,2,22,23,26,27), mapeada no mapa de cinco variáveis abaixo: E Os minterms 0 e 8, assim como os minterms 20, 2, 22 e 23 podem ser combinados da mesma forma que são feitas as combinações em um mapa de 4 variáveis. É possível observar também, que os minterms 5 e 2 são simétricos e podem ser combinados. lém disso, os pares de minterms (0, ) e (26, 27) também são simétricos podendo ser combinados no quadrado mostrado no mapa. expressão mínima da função é portanto:, E) + E + + E. Uma representação alternativa para o mapa de cinco variáveis está mostrada na figura abaixo, onde foi mapeada a mesma função do exemplo anterior. E Nesta representação, o mapa da direita foi girado 80 graus em torno de um eixo vertical, de modo a ficar na posição normal de um mapa de quatro variáveis. Neste caso, ao invés de trabalharmos com minterms simétricos, trabalhamos com minterms correspondentes nos dois mapas.

ELETRÔNI IGITl I 32 Exemplos: Minimizar as funções de 5 variáveis: a) f(,,e) Σ(0,2,5,8,3,5,8,2,24,29,3) E, E) b) f(,,e) Σ(0,,4,5,6,2,4,6,9,20,22,28,30,3) E, E) Exercícios Minimizar as funções: a) f(,,e) Σ(0,2,4,6,9,0,3,4,5,6,8,2,24,26,28,29,30,3) b) f(,,e) Σ(0,2,4,5,6,7,8,0,2,3,6,8,2,23,24,25,26,29) c) f(,,e) Σ (0,,2,5,7,8,9,0,3,5,6,7,9,2,22,24,25,26,29,30) c) f(,,e) Π(,2,4,5,8,5,8,20,2,24,29)

ELETRÔNI IGITl I 33 Mapa de Karnaugh para funções de 6 variáveis O mapa para uma função de 6 variáveis é composto por 64 quadros, dispostos em uma matriz de 8 linhas por 8 colunas. identificação de cada um dos quadros está mostrada na figura abaixo. EF 000 00 0 00 0 0 00 000 00 0 00 0 0 00 Na figura abaixo temos representadas as chaves que definem o posicionamento das variáveis, bem como está mapeada a função. Podemos observar que, o mapa para 6 variáveis é formado por quatro mapas de 4 variáveis. F E F, E, F ) EF + + E E + EF + E F

ELETRÔNI IGITl I 34 Mapeamento quando a função não é expressa em minterms té agora, vimos como mapear uma função no mapa de Karnaugh quando conhecemos os minterms ou os maxterms da mesma. Veremos a seguir, que podemos mapear a função bem como encontrar sua expressão mínima, mesmo sem ter os seus minterms. Seja por exemplo a função ( + + + + ( + + Para mapear a função, é necessário representar a mesma como uma soma de produtos. ssim: + + + + + + evemos agora efetuar um procedimento ao contrário do processo de minimização, ou seja, cada produto componente da soma, corresponde a uma combinação de minterms. Portanto, corresponde à combinação: m 0 + m + m4 + m5 corresponde à combinação: m + m3 + m5 + m7 corresponde à combinação: m 4 + m6 corresponde à combinação: m 4 + m5 + m2 + m3 corresponde à combinação: m 0 + m corresponde à combinação: m 9 + m corresponde à combinação: m 2 + m0 Na figura abaixo temos o mapeamento completo da função, com as respectivas combinações que podemos efetuar para extrair a expressão mínima. ssim, Exercício: + + + Mapear e obter a expressão mínima da função abaixo. ( + + + + +

ELETRÔNI IGITl I 35 Funções não especificadas completamente e acordo com o que já foi visto, uma função lógica qualquer f é definida especificando o valor assumido (f 0 ou f ), para cada combinação possível das variáveis independentes, através da tabela verdade. partir desta especificação, determinamos os minterms ou maxterms da função e, através do mapeamento da função no mapa de Karnaugh, sua expressão mínima. No entanto, existem situações em que o valor da função f não é especificado para todas, combinações da variáveis. Neste caso, diferentes funções são possíveis, todas elas satisfazendo as especificações. Estas funções, aparecem em duas situações. Às vezes não nos interessa qual o valor que a função assume para certas combinações de variáveis. Em outros casos, sabemos de antemão que certas combinações de variáveis nunca ocorrem. Vejamos por exemplo, o circuito apresentado abaixo. Entrada ontador Lógica Saida S esejamos que a saída do circuito seja S quando o valor registrado pelo contador for 0,, 2, 6, 7 e 8. onsiderando que o contador conta de 0 a 9 e considerando que existem 6 combinações possíveis com quatro bits, existem 6 combinações que nunca irão ocorrer na entrada do nosso circuito. omo temos certeza que estas combinações nunca ocorrerão, o valor da função para estas combinações é irrelevante. Podemos fazer tanto f 0 como f nestas situações. Neste caso colocamos x na tabela verdade para estas situações de forma a indicar que o valor assumido pela função neste caso é irrelevante (don t care). Temos então, para o nosso exemplo, a seguinte tabela verdade: S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ELETRÔNI IGITl I 36 função neste caso, é representada por: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x 0 0 x 0 x 0 x x f(, Σ(0,,2,6,7,8) + d(0,,2,3,4,5) omo x pode assumir tanto o valor 0 como, podemos ter diversas funções diferentes, cada uma delas com sua expressão mínima. omo nosso objetivo é encontrar a expressão mais simples para a função, fazemos igual a aqueles x que contribuem para simplificar a função. Os demais fazemos iguais a 0, conforme mostrado no mapa abaixo. x x x x x x expressão mínima para a função neste caso é: + + Exercícios: Minimizar as funções abaixo: a) f(, Σ(,4,5,6,8) + d(0,,2,3,4,5) b) f(,,e) Σ(0, 2,3,6,2) + d(4,5,6,7,8,,3,5,8,9,22,23,24, 25,26,29,30,3

ELETRÔNI IGITl I 37 MINIMIZÇÃO E FUNÇÕES POR TULÇÃO (Método de Quine-Mcluskey) O mapa de Karnaugh é uma ferramenta útil para a minimização de funções de até 5 ou no máximo 6 variáveis. Para funções com um número maior de variáveis, o uso mapa de Karnaugh é muito complexo. Para estas situações, temos que lançar mão de algum tipo de procedimento sistemático, preferencialmente um que possa ser automatizado. O processo minimização de funções por tabulação, também conhecido como método de Quine- Mcluskey, satisfaz os requisitos acima, ou seja, pode ser utilizado tanto manualmente como programável em computadores. O conceito fundamental envolvido neste procedimento está baseado em repetidas aplicações do princípio xy + x y x, para se obter o conjunto de todas as combinações possíveis entre os minterms da função, a partir do qual a expressão mínima pode ser selecionada. ssim, a primeira etapa consiste em determinar, de forma sistemática, quais produtos podem ou não ser combinados e efetuar todas as combinações possíveis. Genericamente, dois produtos quaisquer com k variáveis podem ser combinados, se e somente se, ambos tiverem k- variáveis idênticas e diferirem em apenas uma variável. O produto resultante desta combinação é composto pelas k- variáveis idênticas, enquanto a variável que é negada em um produto e não negada em outro é eliminada. omo exemplo, consideremos a função de 7 variáveis abaixo: f(,,e,f,g) Σ(66,74,75,79,98,99,07,) Representando a função através da soma de produtos, temos:, E, F, G) EFG + EFG + EFG + EFG + EFG + EFG + EFG + EFG s combinações que podem ser efetuadas são: m 66 + m 74 EFG + EFG EFG( + EFG m 66 + m 98 EFG + EFG EFG( + ) EFG m 74 + m EFG + EFG EF ( G + G) 75 EF m 75 + m EFG + EFG FG( E + E) 79 FG m + m EFG + EFG EFG( + ) 75 07 EFG m + m EFG + EFG EFG( + ) 79 EFG

ELETRÔNI IGITl I 38 m 98 + m 99 EFG + EFG EF ( G + G) EF m + m EFG + EFG EFG( + 99 07 EFG m + m EFG + EFG FG( E + E) 07 FG Podemos ainda efetuar uma combinação com 4 minterms: m + m + m + m FG + FG FG( + ) 75 79 07 FG Portanto:, E, F, G) EFG + EFG + EF + EF + + EFG + FG Esta ainda não é a expressão mínima da função, pois a mesma ainda pode ser simplificada, como podemos ver abaixo: FG + EFG + EF FG + EFG FG + EF + EFG FG + EF EF + EFG + EFG Em todos os casos acima, foi aplicado o teorema: EF + EFG xy + xz + yz xy + xz ssim, a expressão mínima da função é:, E, F, G) EFG + EF + FG nalisando o procedimento visto acima, fica evidente a necessidade de existir um procedimento formal e sistemático para encontrar a expressão mínima de função lógica, que nos conduza de forma direta ao resultado final. Este procedimento, que veremos a seguir, é o método tabular de Quine-Mcluskey.

ELETRÔNI IGITl I 39 Funções mínimas e suas propriedades No estudo das funções lógicas, existe uma distinção entre expressão mínima e expressão irredutível de uma função, sendo que nenhuma delas é necessariamente única. onvém lembrar que, toda expressão mínima é irredutível porém, nem toda expressão irredutível é mínima. Por exemplo, dada a função f(, Σ(,2,3,4,5,6,8,2), as expressões: + + + + e + + + + são expressões irredutíveis desta função, enquanto as expressões: + + + e + + + são expressões mínimas da função. Vamos analisar a seguir, as propriedades destas expressões e determinar as características dos termos contidos em uma expressão representada pela soma de produtos mínima. onceito de Implicantes Uma função lógica f(,...) cobre outra função g(,...) se f assume o valor sempre que g o fizer. Representamos esta fato por f g. ssim, se f cobre g, existe um na sua tabela verdade em cada linha onde g também tiver. No exemplo mostrado abaixo, ) + + g (, ) + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 omo podemos observar, a função f(,) cobre a função g(,).

ELETRÔNI IGITl I 40 Se f cobre g e por sua vez g cobre f, então f e g são equivalentes. Seja f(,...) uma função lógica qualquer e h(,...) um produto de variáveis. Se f cobre h, então h implica f, ou h é um implicante de f. implicação é representada por h f. Portanto, um implicante de uma função lógica é todo o produto de variáveis que é coberto pela função. Exemplo: Se f h + e, então h é um implicante de f. Obs.: Pelo que observamos, fica claro que todos os minterms de uma função, bem como todas as possíveis combinações com estes minterms, são implicantes da função. Implicantes Primos Um Implicante Primo p de uma função f é um produto de variáveis coberto por f, de tal forma que a retirada de qualquer variável de p resulta em um novo produto não coberto pela função f. O conjunto de todos os implicantes primos de f é representado por P. Por exemplo, na função: +, h é um implicante e h 2 é um implicante primo. Teorema: Uma soma de produtos irredutível equivalente à função f é a união de implicantes primos de f. esta forma, para encontrar a expressão mínima de uma função f, a primeira etapa consiste em gerar o conjunto de todos os implicantes primos da função f e, deste conjunto selecionar aqueles implicantes primos cuja união produz a expressão mínima para a função. Supondo que a função f seja representada na forma de soma de produtos, a aplicação do principio xy + x y x entre pares de minterms produz um implicante de f. plicações repetidas deste princípio entre pares de produtos que possuem somente uma variável diferente, produz um conjunto de implicantes de f. Um produto que não pode mais ser combinado com nenhum outro, é um implicante primo da função f. esta forma, a primeira etapa na determinação da expressão mínima de uma função é a combinação sistemática dos produtos. segunda etapa, que é a seleção do conjunto mínimo de implicantes primos, é em geral mais complicada, como veremos adiante.

ELETRÔNI IGITl I 4 Exemplo: eterminar o conjunto P de todos os implicantes primos da função: f(, Σ(0,4,5,7,8,9,3,5) Soma de produtos:, ) + + + + + + + ombinações com 2 minterms: ombinações com 4 minterms: m m m 0 0 4 + m 4 + m 8 + m 5 m m 5 + 7 m m 5 + 3 7 + m 5 m m 8 + m 9 m m 9 + 3 3 + m 5 m + + O conjunto de implicantes primos é: P + + + + + erivando expressões mínimas de uma função Uma inspeção no conjunto de implicantes primos P do exemplo anterior nos mostra que o implicante primo deve estar contido em qualquer expressão irredutível equivalente à f, uma vez que é o único produto que cobre os minterms 7 e 5. Qualquer outro minterm da função é coberto por dois implicantes primos, sendo que nenhum deles é essencial para a especificação de uma expressão irredutível. Um implicante primo p de uma função f é denominado implicante primo essencial se ele cobre pelo menos um minterm de f que não é coberto por nenhum outro implicante primo. onsiderando que todos os minterms da função devem ser cobertos, todos os implicantes primos essenciais devem estar contidos em qualquer expressão irredutível da função f. Exemplos:

ELETRÔNI IGITl I 42 f(, Σ(4,5,8,2,3,4,5) P + + Todos os implicantes primos são essenciais. f(, Σ(0,2,3,4,5,7) P + + + + + Neste caso, nenhum implicante primo é essencial. Todos os implicantes primos têm o mesmo tamanho (mesmo número de variáveis) e cada minterm é coberto por exatamente dois implicantes primos. omo foi visto, as etapas para a obtenção da expressão mínima de uma função f são as seguintes: ) eterminar todos os implicantes primos essenciais da função e incluí-los na expressão mínima; 2) Remover da lista de implicantes primos, aqueles que são cobertos pelos implicantes primos essenciais; 3) Se o conjunto obtido na etapa cobrir todos os minterms de f, então esta é a expressão mínima única. Senão, selecionar implicantes primos adicionais, de forma que todos os minterms seja cobertos, e o número de implicantes primos seja mínimo. execução da etapa 3 nem sempre é tão simples. Para um número pequeno de variáveis, isto pode ser feito através do mapa de Karnaugh, enquanto que para um número maior de variáveis um método tabular torna-se necessário.

ELETRÔNI IGITl I 43 eterminação dos implicantes primos por tabulação (Quine Mcluskey) través de uma análise da representação binária dos minterms, observa-se que a condição necessária e suficiente para que dois minterms possam ser combinados é que suas representações em binário difiram em somente uma posição. Para que a representação binária de dois minterms sejam diferentes em somente uma posição, é necessário que os dois minterms possuam somente um bit diferente. esta forma, para facilitar o processo de combinação, os minterms são arranjados em grupos, de acordo com o número de bits existentes na sua representação em binário. Para que o processo seja sistemático, os seguintes passos devem ser seguidos: - rranjar todos os minterms em grupos, de tal forma que todos os minterms de um mesmo grupo tenham o mesmo número de bits na sua representação binária. O número de bits em um produto é denominado índice do mesmo. eve-se agrupar os produtos em ordem crescente de seu índice; 2- omparar cada produto de um grupo com todos os outros do grupo sucessivo, combinando os produtos sempre que possível. Repetir este processo, comparando cada produto de um grupo de índice i com os produtos do grupo de índice i+, até que todas as combinações sejam efetuadas. ois produtos de grupos adjacentes são combináveis se diferirem em somente um bit na sua representação binária. O termo resultante consiste nos bits idênticos, sendo o bit diferente substituído por um traço (-). ada produto que foi combinado pelo menos uma vez, deve ser marcado; 3- Os termos gerados no passo 2 são comparados de acordo com o mesmo procedimento. Um novo termo é gerado pela combinação de dois termos que difiram em somente um bit e que tenham o traço na mesma posição. O processo continua até que nenhuma combinação seja mais possível. queles termos que não foram marcados formam o conjunto dos implicantes primos da função. Este procedimento consiste em um processo mecanizado de comparação e redução de todos os pares de produtos adjacentes. Exemplo: eterminar os implicantes primos da função: f(, Σ(0,,2,5,7,8,9,0,3,5) Inicialmente os minterms arranjados em ordem crescente do seu índice, conforme mostrado na tabela abaixo :

ELETRÔNI IGITl I 44 minterm 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 8 0 0 0 5 0 0 9 0 0 0 0 0 7 0 3 0 5 plicando o processo descrito no passo 2 temos: Obs.: a marca indica que o minterm foi combinado. 0, 0 0 0-0,2 0 0-0 0,8-0 0 0,5 0-0,9-0 0 2,0-0 0 8,9 0 0-8,0 0-0 5,7 0-5,3-0 9,3-0 7,5-3,5 - Repetindo novamente o processo com os grupos formados na etapa anterior: 0,,8,9-0 0-0,2,8,0-0 - 0,5,9,3 - - 0 5,7,3,5 - - O Mapa de Implicantes Primos O mapa de implicantes primos mostra o relacionamento de cobertura entre os implicantes primos e os minterms da função.

ELETRÔNI IGITl I 45 Este mapa consiste em uma tabela com m linhas e n colunas, onde n representa respectivamente o número de minterms e m o número de implicantes primos. s entradas na iésima linha do mapa consiste de x s colocados nas intersecções das colunas correspondentes aos minterms cobertos pelo iésimo implicante primo. O mapa de implicantes primos correspondente à função vista anteriormente, está mostrado abaixo: minterms implicantes 0 2 5 7 8 9 0 3 5 x x x O problema agora consiste em selecionar um conjunto mínimo de implicantes primos tal que, cada coluna contenha pelo menos um x nas linhas correspondentes ao conjunto selecionado e que, o número total de literais (variáveis) nos implicantes primos seja o menor possível. Estes requisitos garantem que a união dos implicantes primos selecionados é equivalente à função f, e que nenhuma outra expressão contendo um número menor de literais, equivalente a f, possa ser encontrada. Linha essenciais Se uma coluna do mapa de implicantes contiver somente um x, o implicante primo correspondente à linha em que este x aparece é essencial e, conseqüentemente, deve ser incluído em qualquer expressão mínima de f. no exemplo acima, os implicantes primos e são essenciais. Este x é identificado no mapa, assim como o implicante primo correspondente ao mesmo. linha correspondente a um implicante primo essencial é denominada linha essencial. Uma vez determinados os implicantes primos essenciais, todos os minterms cobertos pelos mesmos são marcados. No exemplo acima, o implicante primo essencial cobre, além dos minterms 2 e 0, também os minterms 0 e 8. assim, os minterms 0, 2, 8 e 0 são marcados. Se, após todos os implicantes primos, bem como os minterms terem sido marcados, a função inteira estiver coberta, isto é, todos os minterms foram marcados, então a união dos implicantes primos essenciais corresponde à expressão mínima da função. aso contrário, implicantes primos adicionais serão necessários.

ELETRÔNI IGITl I 46 Os dois implicantes primos essenciais e do exemplo acima, cobrem todos os minterms da função, com exceção dos minterms e 9. Para encontrar quais são os implicantes primos não essenciais necessários para cobrir o restante dos minterms, construímos um mapa de implicantes primos reduzido,contendo somente os implicantes primos não essenciais e os minterms que não foram cobertos pelos implicantes primos essenciais, conforme mostrado abaixo. implicantes 9 través do mapa novo mapa de implicantes primos, observa-se que os minterms e 9 são cobertos tanto pelo implicante primo como pelo implicante primo. omo ambos os implicantes possuem o mesmo número de variáveis, existem duas expressões mínimas para a função, que são: + + e + + Exemplos: Minimizar as funções abaixo, através do método de Quine Mcluskey: a) f(, Σ(0,2,3,4,5,7,8,9,3,5) eterminação dos implicantes primos (tabulação): 0: 0000 2: 000 4: 000 8: 000 3: 00 5: 00 9: 00 7: 0 3: 0 5:

ELETRÔNI IGITl I 47 Obs.: Todas as combinações que não estão assinaladas são implicantes primos. Mapa dos implicantes primos: implicante 0 2 3 4 5 7 8 9 3 5 omo pode-se observar no mapa, é um implicante primo essencial e cobre os minterms 5, 7, 3 e 5. Mapa dos implicantes primos reduzido: implicante omo o nosso objetivo é encontrar uma expressão mínima qualquer para a função, é possível simplificar o mapa de implicantes primos, considerando que: O implicante primo O implicante primo O implicante primo é coberto por é coberto por é coberto por Portanto, estes implicantes primos podem ser extraídos do mapa, o que resulta em: implicante

ELETRÔNI IGITl I 48 E a expressão mínima da função é: b) f(, Σ(0,2,3,4,5,7,8,0,,3,5) eterminação dos implicantes primos: Mapa dos implicantes primos: implicante Mapa de implicantes primos reduzido: implicante Uma expressão mínima da função é:

ELETRÔNI IGITl I 49 c) f(,,e) Σ(,3,4,5,6,7,0,,2,3,4,5,8,9,20,2,22,23,25,26,27) Tabulação dos implicantes primos:

ELETRÔNI IGITl I 50 Mapa de implicantes primos: : Implicantes primos essenciais Mapa de implicantes primos reduzido Este mapa contém somente os implicantes primos que não são essenciais, bem como os minterms que não são cobertos pelos implicantes primos essenciais. omo estamos interessados em obter uma expressão mínima qualquer, podemos reduzir ainda mais o mapa, eliminando os implicantes primos que cobrem minterms que são cobertos por outros implicantes primos. E é coberto por E ; E é coberto por E ; é coberto por ; é coberto por.

ELETRÔNI IGITl I 5 Eliminando estes implicantes primos, temos o mapa final, mostrado abaixo: expressão mínima da função é:, E)

ELETRÔNI IGITl I 52 plicação do método de Quine-Mcluskey para funções não especificadas completamente: Na minimização de funções não especificadas completamente (funções que envolvem condições irrelevantes), o procedimento de tabulação para determinar os implicantes da função segue os mesmos procedimentos já vistos para as funções contendo somente minterms. Exemplo: Minimizar a função f(, Σ(0,2,5,6,8) + d(0,,2,3,4,5) eterminação dos implicantes primos: Na etapa de tabulação e combinação, tanto os minterms e as condições irrelevantes são tratados da mesma maneira, ou seja, tratamos todas as condições irrelevantes como se fossem minterms. 0: 0000 (0,2): 00-0 (0,2,8,0): -0-0 2: 000 (0,8): -000 (2,6,0,4): --0 8: 000 (2,6): 0-0 (8,0,2,4): --0 5: 00 (2,0): -00 (0,,4,5): -- 6: 00 (8,0): 0-0 (2,3,4,5): -- 0: 00 (8,2): -00 2: 00 (5,3): -0 : 0 (6,4): -0 3: 0 (0,): 0-4: 0 (0,4): -0 5: (2,3): 0- (2,4): -0 (,5): - (3,5): - (4,5): - Mapa de implicantes primos: Na construção do mapa de implicantes primos, são considerados somente os minterms da função. s condições irrelevantes são ignoradas. Os implicantes primos que envolvem somente condições irrelevantes são desconsiderados. 0 2 5 6 8 x x x omo os implicantes primos e cobrem somente condições irrelevantes, eles não são necessários, podendo ser eliminados. No mapa de implicantes primos podemos observar que os

ELETRÔNI IGITl I 53 implicantes primos essenciais cobrem todos os minterms da função, sendo a expressão mínima portanto, composta somente pelos implicantes primos essenciais., E) + + Exercício: Minimizar a função abaixo f(, Σ(,2,3,5,6,8) + d(0,,2,3,4,5) eterminação dos implicantes primos: Mapa de implicantes primos: omo os implicantes primos e cobrem somente condições irrelevantes, podem ser eliminados. Mapa de implicantes primos reduzido