CALCULO DE DESLOCAMENTOS E ESFORÇOS SOLICITANTES EM VIGAS SOBRE APOIOS ELÁSTICOS CONTÍNUOS Hugo Luiz Oliveira¹; Edson Tejerina Calderón 2,3 1 Acadêmico do Curso de Engenharia Civil, bolsista PIBC/CNPq, Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, UEG 2 Pesquisador - Orientador 3 Curso de Engenharia Civil, Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas, UEG RESUMO O estudo estático e elástico da flexão em vigas que se apóiam diretamente no solo é feito considerando a hipótese de que o solo se comporte como meio elástico, ou seja, em cada ponto as reações do solo são proporcionais à deformação das vigas. Fazendo uso dos preceitos da Resistência dos Materiais, pode-se obter uma equação diferencial de quarta ordem, cuja solução conduz a equações que descrevem os deslocamentos e os esforços solicitantes da viga em tais condições (sobre apoio elástico contínuo). Os resultados destas equações podem ser calculados com ajuda de tabelas elaboradas para determinados valores de ordenadas. Entretanto o uso destas tabelas torna-se trabalhoso à medida que se adotam sistemas mais complexos, como combinações de cargas de diferentes tipos, ou posicionamento de cargas em pontos não tabelados. O presente trabalho propõe-se a elaborar um programa computacional capaz de calcular os deslocamentos e esforços solicitantes destas vigas, facilitando a análise estática e elástica das mesmas. Palavras Chave: Apoios Elásticos Contínuos, Deslocamentos, Esforços Solicitantes INTRODUÇÃO A flexão simples é o tipo de flexão que ocorre quando não existe esforço solicitante normal atuando na seção (N=0), podendo ser normal ou oblíqua.(carvalho,filho,2007). Segundo Sussekind (1983), o estudo estático e elástico da flexão simples em elementos sobre apoios elásticos contínuos é importante pois, pode-se fazer aproximações (modelagens) 1
satisfatórias de problemas práticos tais como: vigas apoiadas diretamente no solo, trilhos de estradas de ferro ou mesmo estacas verticais submetidas a cargas horizontais em seu topo. Caputo (1983) afirma que na teoria geral das vigas, o solo é admitido como meio elástico contínuo e ainda que as fundações acompanham o deslocamento deste, sob efeito de tensões que nele se desenvolvem. Deste modo, a forma comum de calcular fundações considerando-se os elementos estruturais de rigidez infinita, é antieconômica já que não leva em conta as deformações do solo frente aos deslocamentos de uma estrutura que deveria ser considerada flexível (ROCHA,1985). As hipóteses de Winkler, (VELOSO e LOPES, 2004), são adotadas na formulação como ponto de partida. Timoshenko (1981), já as considerava satisfatórias para determinação de esforços solicitantes em vigas sobre apoios elásticos contínuos. A teoria de Winkler, afirma que é razoável fazer a seguinte aproximação: quando uma viga apoiada em meio elástico contínuo flete, a intensidade da reação distribuída continuamente, em cada seção, é proporcional ao afundamento naquela seção. Em tais condições pode representar a reação na viga por unidade de comprimento como ky, onde k é obtido experimentalmente e representa a resistência específica, enquanto y, o afundamento. Representando esta afirmativa em uma equação teríamos: q=-ky (eq.1) Juntando-se as esta equação as prerrogativas da Resistência dos Materiais, obtém-se uma equação diferencial do quarto grau, cuja solução, apresentada por Hetenyi (VELOSO e LOPES, 2004), pode ser feita utilizando-se tabelas Entretanto tais tabelas são trabalhosas de se manusear em situações mais complexas, como a atuação de diferentes cargas em diferentes pontos de uma mesma viga apoiada em meio elástico contínuo. A presente pesquisa tem por objetivo a confecção de um programa computacional, que calcule os deslocamentos e os esforços solicitantes em uma viga apoiada em meio elástico contínuo. Podendo-se, deste modo, realizar inúmeras análises com varios tipos de carregamentos e obter resultados com exatidão e rapidez. MATERIAL E MÉTODOS 2
Por se tratar de um programa computacional, as ferramentas necessárias à sua confecção são: Microcomputador que deve configurações de hardware e O.S.(Sistema Operacional) compatíveis com o compilador utilizado, sendo recomendado o uso de memória dinâmica elevada, devido ao grande volume de cálculos; Impressora, que pode ser a jato de tinta ou equivalente; O programa é elaborado utilizando as técnicas difusas de programação orientada a objetos (P.O.O.) de forma estruturada sendo a linguagem de programação o Object Pascal. Faz-se o uso do gnuplot, um software secundário de domínio público, destinado a visualização de curvas, úteis nas áreas das engenharias e que se encontra disponível para versões de Sitemas Operacionais Windows entre outros. RESULTADOS E DISCUSSÃO O Programa apresenta a interface apresentada na figura 1: Figura 1. Interface de entrada de dados O programa apresenta os gráficos para vários tipos de cargas e vários tipos de vigas sendo estes, compatíveis com os resultados esperados. A figura 2, mostra os gráficos do deslocamento vertical, a rotação da tangente à elástica, o momento fletor e a força cortante, para uma carga concentrada aplicadas em uma viga infinita apoiada diretamente no solo: 3
Figura 2: Gráficos de deslocamentos e esforços solicitantes (SÜSSEKIND,1983) As figuras seguintes (de 3 à 6) elucidam os resultados mostrados pelo programa. Figura 3: Gráfico do Deslocamento Vertical 4
Figura 4: Gráfico da Rotação da Tangente à Elástica Figura 5: Gráfico do Momento Fletor Figura 6: Gráfico da Força Cortante CONCLUSÃO Pode-se observar claramente que o programa atinge as expectativas e apresenta resultados coerentes com previsões de bibliografias. Os exemplos-teste, executados com o programa resultaram em valores iguais aos obtidos por meio de análises tradicionais, entretanto num espaço tempo bastante reduzido. Uma vez que o programa fornece resultados previstos anteriormente para casos singulares, consegue-se ter confiança no que diz respeito à obtenção 5
da tipologia das curvas de esforços e deslocamentos em níveis mais complexos. Assim podese admitir que este programa venha a ser uma importante contribuição no campo da análise estrutural. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CAPUTO, H. P. (1983). Mecânica dos solos e suas aplicações. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos. v 2. CARVALHO, R.C. e FILHO, J. R. F.(2007). Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos. EdUFSCar. ROCHA, A. M. (1985). Curso prático de concreto armado. São Paulo. Nobel. v 3. SÜSSEKIND, J. C. (1983). Curso de Análise Estrutural. Rio de Janeiro. Científica. v 2. TIMOSHENKO, S. P. (1981). Resistência dos materiais. Rio de Janeiro. Livros Técnicos e Científicos. v 2. VELLOSO, D. A. e LOPES, F. R.(2004). Fundações. São Paulo. Oficina de Textos. v 1. 6