CIRCUITOS ELÉTRICOS ALTERNADOS: Introdução Prof. Antonio Sergio C. de Menezes

CIRCUITOS ELÉTRICOS ALTERNADOS: Introdução Prof. Antonio Sergio C. de Menezes - CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Quando se estuda circuitos elétricos básicos, considera-se que os mesmos são de corrente contínua (C.C), isto é, alimentado por uma fonte de tensão contínua (voltagem ou diferença de potencial) e que circuito só tem resistências lineares. Se R for o valor da resistência de um resistor, I for a corrente que passa por ele re e for a diferença de potencial que surge nos terminais deste resistor devido à passagem da corrente elétrica pelo mesmo, pela lei de Ohm temos: = R.I () oltagem é diferença de potencial também conhecida como tensão elétrica. Unidade: volt Corrente elétrica: É o resultado da aplicação de uma tensão entre dois pontos, continuamente ou durante um certo tempo. Unidade: ampére, símbolo A. Corrente contínua é constante com o tempo (pilhas, acumuladores,circuitos eletrônicos e outros). A corrente elétrica é definida como sendo a taxa de passagem de cargas elétricas por unidade de tempo num determinado ponto do condutor. Energia: capacidade de um sistema de realizar trabalho. Potência é o trabalho realizado em um determinado tempo. A potência desenvolvida num resistor por feito Joule, por exemplo é: P =.I = R.I =, aonde P tem unidade de W = [J]/[s]: watt () R Potência de watt é desenvolvida quando se realiza o trabalho de um joule, em cada segundo, contínua e uniformemente. Exemplo: Uma potência de 500 W significa que foi realizado um trabalho de 500 joules em segundo Unidades elétricas: Em eletricidade (assim como em eletrônica) costuma-se empregar unidades multiplicativas para os componentes e outras grandezas como, por exemplo, freqüência. Assim. Pico (p) : 0 - ; nano (n): 0-9 ; micro (µ): 0-6 ; mili (m): 0-3 ; kilo (K): 0 3 Mega (M) : 0 6 ; giga (G): 0 9 e terá:0 Um resistor, por exemplo pode ter.000 Ω mas se diz que tem K Ω. Um capacitor pode ter 3x0-6 F, mas se diz que tem 3µF. Um pendrive pode ter x0 9 bytes, mas se diz que tem G Bytes. A freqüência da rádio tabajara é de 05.500.000 Hz (sinal da portadora), mas se diz que a freqüência desta rádio é de 05.5 MHz

Lei das malhas. Num circuito série, onde uma fonte de tensão contínua DC (DC : direct current) é aplicada ou mais resistores (R, R,..e.R N ), nos terminais dos quais são desenvolvidas as voltagem,,...e N. Pela Lei de Kirchhoff das malhas, tem-se: DC = + +... N (3) Em outras palavras, a soma das tensões numa malha fechada é zero. Outra característica do circuito série é que a corrente é mesma em todos os elementos. O exemplo clássico de circuito série é a arvore de Natal. Lei dos nós Fig. Circuito resistivo série Num circuito paralelo`da Fig, no entanto, cada elemento do circuito está submetido à mesma voltagem, mas as correntes que podem ser diferentes. Assim, seja ainda um circuito paralelo com mais resistores (R, R,..e.R N ) por onde passam as correntes I, I,...e I N.. Considerando I T a corrente total de entrada do circuito, tem-se: I T = I + I +...I N (4) Em outras palavras, a soma das correntes que chegam a um nó é zero. Fig Circuito paralelo resistive Sentido da corrente (contínua) No início da história da eletricidade definiu-se o sentido da corrente elétrica como sendo o sentido do fluxo de cargas positivas, ou seja, as cargas que se movimentam do pólo positivo para o pólo negativo. Naquele tempo nada se conhecia sobre a estrutura dos átomos. Não se imaginava que em condutores sólidos as cargas positivas estão fortemente ligadas aos núcleos dos átomos e, portanto, não pode haver fluxo macroscópico de cargas

positivas em condutores sólidos. No entanto, quando a física subatômica estabeleceu esse fato, o conceito anterior já estava arraigado e era amplamente utilizado em cálculos e representações para análise de circuitos. Esse sentido continua a ser utilizado até os dias de hoje e é chamado sentido convencional da corrente. Em qualquer tipo de condutor, este é o sentido contrário ao fluxo líquido das cargas negativas ou o sentido do campo elétrico estabelecido no condutor. Na prática qualquer corrente elétrica pode ser representada por um fluxo de portadores positivos sem que disso decorram erros de cálculo ou quaisquer problemas práticos. Já na corrente alternada não se precisa se preocupar com o sentido - CORRENTES E OLTAGENS ALTERNADAS A mais simples forma de onda alternada é a senoidal, seja de voltagem ou de corrente. Uma forma de onda senoidal é gerada pela variação da componente vertical de um vetor que gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante ω, aonde ω tem unidade de rad/s e ω =.π.f, sendo f = ciclos/seg, ou Hertz. O inverso da frequencia é o período T do sinal alternado. Assim, T = (5) f Fig.3 Sinal senoidal gerado pela rotação anti-horária de um vetor. : Geração de voltagem alternada. Para se gerar uma voltagem (corrente) alternada, faz-se girar uma espira enrolada num rotor a uma velocidade angular constante ω entre dois pólos magnéticos norte e sul, conforme figura abaixo 3

Seja φ fluxo magnético que a quantidade de linhas magnéticas geradas. O fluxo que atravessa a espira com N voltas em um determinada tempo t é proporcional ao ângulo que esta espira faz com um eixo imaginário perpendicular às linhas de campo. Assim, φ (t) = φ m.cos(ω.t) A tensão induzida (força eletromotriz) na espira é dada por: v(t) = d (t) N φ = N φ m.ω.sen(ω.t) v(t) = m. sen(ω.t) m = N φ m.ω dt História A corrente alternada surgiu quando Nikola Tesla foi contratado por J. Westinghouse para construir uma linha de transmissão entre Niágara e Búfalo, em NY. Thomas Edison fez o possível para desacreditar Tesla, mas o sistema polifásico de Tesla foi adotado. A corrente alternada é a forma mais eficaz de se transmitir uma corrente elétrica por longas distâncias. Na primeira metade do século XX havia sistemas de corrente alternada de 5 Hz no Canadá (Ontário) e no norte dos EUA. Em alguns casos, alguns destes sistemas (por exemplo, nas quedas de Niágara) perduram até hoje por conveniência das fabricas industriais que não tinham interesse em trocar o equipamento para que operasse a 60 Hz. As baixas freqüências facilitam construção de motores de baixa rotação. Há também sistemas de 6,67 Hz em ferrovias da Europa (Suíça e Suécia). Sistemas AC de 400 Hz são usados na indústria têxtil, aviões, navios, espaçonaves e em grandes computadores. No Brasil a freqüência da rede elétrica é de 60 Hz. Na América do Sul, além do Brasil, também usam 60 Hz o Equador, Peru, enezuela e a Colômbia. Em outros países, por exemplo, a Argentina, a Bolívia, o Chile e o Paraguai, bem como na Europa é usada a freqüência de 50Hz. A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas distâncias devido à facilidade relativa que esta apresenta para ter o valor de sua tensão alterada por intermédio de transformadores. No entanto as primeiras experiências e transmissões foram feitas com corrente contínua (CC ou, em inglês, DC) Exemplo : A freqüência da rede elétrica é 60 Hz. Logo, o período é: T = /60 = 0,066s O produto da freqüência em radianos pelo período é igual a π, ou 360 0, ou seja ω.t = π. Portanto, um sinal senoidal de voltagem com ω de frequência angular pode ser escrito da seguinte forma: v(t) = m.sen(ωt) = m.sen(.π.f. t) (6) onde m é o valor máximo atingido pela função no período, ou seja, a função varia no período de m a + m. 4

Exemplo : A voltagem da rede elétrica doméstica no Nordeste tem uma frequência de 60 Hz, isso porque no sistema de geração as turbinas giram a uma frequencia de 60 voltas por segundo ou algum submúltiplo dela e os seus valores variam nominalmente de 3 a + 3. Assim, podemos representar matematicamente este sinal (sinal é toda voltagem ou corrente que varia continuamente com o tempo, como é o caso da rede elétrica) como sendo: v(t) = 3.sen(.π.60.t) = 3.sen(377.t) (7) Como se justificará mais adiante, 3 x0 Como o vetor que gera o sinal senoidal pode começar a girar em qualquer ângulo φ diferente de zero, genericamente podemos escrever um sinal senoidal de voltagem (assim como de corrente) como sendo: v(t) = m.sen(ω.t + φ) (8) Exemplo 3: Esboçar o sinal de corrente i(t) = 0.sen(ω.t + 90 o ). A função sen(x) assume valor zero quando x = 0. Assim, i(t) = 0 se ω.t + 90 o =0, ou seja, ω.t = -90 o. Portanto com φ = -90 0 a voltagem se adianta em 90 0, conforme está mostrado na figura abaixo. Fig. 5 Sinal senoidal adiantado de 90 o em relação à origem Observando-se a forma de onda acima, nota-se que se comporta como uma função cossenoidal. Assim, uma propriedade trigonométrica bastante útil é: cos(x) = sen(x + 90 0 ) (9) Por outro lado, i(t) = 0.sen(ω.t 90 0 ) = 0 se ω.t = + 90 0, isto é o sinal se atrasa 90 0 em relação à origem conforme Fig. 6. 5

Exercício proposto: Esboçar f(x) = -sen(x) e mostrar que sen(x) = +sen(x +/- 80 0 ) Exemplo 4. Escrever as seguintes funções em forma de seno positivo. a) v (t) = -0.sen(ω.t + 00 0 ) (b) v (t) = -0.sen(ω.t + 0 0 ) (c) v 3 (t) = 5.cos(ω.t + 0 0 ) (d) v 4 (t) = -0.cos(ω.t + 00 0 ) Fig. 6 Sinal senoidal atrasado de 90 o em relação à origem a) v (t) = -0.sen(ω.t + 00 0 ) = +0.sen(ω.t + 00 0 ± 80 0 ) = v (t) = +0.sen(ω.t + 80 0 ) ou v (t) = +0.sen(ω.t - 80 0 ) b) v (t) = - 0.sen(ω.t + 0 0 ) = +0.sen(ω.t - 40 0 ) c) v 3 (t) = 5.cos(ω.t + 0 0 ) = 5.sen(ω.t + 0 0 + 90 0 ) = 5.sen(ω.t + 00 0 ) d) v 5 (t) = -0.cos(ω.t + 00 0 ) = -0sen(ω.t + 00 0 +90 0 ) = -0sen(ω.t + 90 0 ) = + 0sen(ω.t + 90 0-80 0 ) = + 0sen(ω.t + 0 0 ) = 3- DEFASAMENTO (diferença de fase) Duas formas de onda senoidais que tem a mesma frequencia, mas passam pelo zero em diferentes tempos são ditas fora de fase. Assim, seja v (t) e v (t) dois sinais de tensão que tem as seguintes expressões matemáticas associadas: v (t) = m.sen(ω.t + φ ) 0. v (t) = m.sen(ω.t + φ ) 0. ê-se pelo esboço abaixo das funções acima que existe um defasamento de φ = φ -φ, ou seja, que v (t) está adiantada em relação v (t) e que, por outro lado, v (t) está atrasada em relação v (t). A situação acima ocorre com frequencia nas chamadas cargas reativas, isto é cargas que tem características indutivas ou capacitivas, onde a corrente se atrasa em relação à voltagem aplicada no primeiro caso e se adianta no segundo. Estuda-se isso mais adiante. 6

Fig. 7 Dois sinais defasados por um ângulo φ Exemplo 5: Esboçar nos mesmos eixos de coordenadas as seguintes voltagens: a) v (t) = 0.sen(ω.t + 0 o ) v (t) = 0.sen(ω.t - 0 o ) b) v (t) = 0.sen(ω.t - 0 o ) v (t) = 0.sen(ω.t -50 o ) 40 0. Em (a) tem-se um defasamento de φ = 0 0 (-0 0 ) = 30 0 e em (b), -0 0 (-50 0 ) = Fig. 8-a Sinais senoidais defasados de +0 o e 0 o 4- ALOR MÉDIO Fig. 8-b Sinais senoidais defasados de -0 o e -50 o É importante em sinais elétricos a noção de valor médio. O valor médio de uma função contínua no certo intervalo de tempo é a integral desta função dividida por este intervalo de tempo T: T = v(t).dt () T 0 7

No caso do sinal senoidal (rede elétrica), v(t) = m.sen(ω.t). Assim, T o =.sen(.t).dt m [ cos(.t) cos(0 )] T 0 m ω = ω + ω.t (.a) m o = [ cos(. π) + cos(0 )] = 0. π Assim sendo, o valor médio de um sinal senoidal é zero. Isto quer dizer que quando se vai medir um sinal senoidal com um voltímetro (ou amperímetro) DC (voltagem/corrente contínua) ele vai indicar valor zero, mesmo que os valores de voltagem (ou corrente) alternada que ele tenta medir sejam maiores que zero. Exemplo: ao se tentar medir a voltagem de uma tomada de uma rede elétrica qualquer com um voltímetro DC ou um multímetro nesta faixa de medição, se verá que ele indicará valor zero mesmo que logo após você ligue qualquer aparelho elétrico nela e ele funcione normalmente! Por outro lado, ao se introduzir entre o sinal alternado e a carga um elemento eletrônico chamado diodo que retifica o sinal, ou seja, oferece uma muito baixa resistência à passagem de corrente em um sentido (do anodo para o catodo) e uma muito alta resistência no sentido inverso, o resultado fica como mostrado na figura abaixo: D = diodo semicondutor Fig. 9. Circuito retificador de meia-onda Fig. 9. Sinal senoidal retificado em meia onda Desta forma, é até intuitivo concluir que surgirá um nível médio na saída maior que zero, visto que a parte negativa da senoide que anulava a parte positiva não está mais presente. Mas que valor é este? amos recorrer de novo à integral da equação (), só que estabelecendo como limite de integração 0 T/ (π): T π.m. m. = m.sen( ωt).dt = θ θ = = π m.sen( ).d T π π 0 0 () 8

Também pode-se com auxílio de um ponte diodos (quatro diodos ligados convenientemente) retificar o sinal senoidal completamente, conforme figura baixo: isto de outra forma, o que obtemos é o módulo da função, isto é, v(t) = m.sen(ωt). alendo-se novamente da Equação, e tomando novamente o intervalo de integração 0 T/ (π), mas agora integrando também no mesmo intervalo, tem-se: T.m. = m.sen( ωt).dt = θ θ = π m.sen( ).d T π 0 0 π (3) Fig. 0 Sinal senoidal retificado de onda completa. () alor médio da retificação de onda completa. () - alor médio da retificação de meia onda. Tanto a retificação de meia onda como de onda completa são feitas internamente em voltímetros e amperímetros alternados para leitura apropriada de valores alternados de voltagem e de corrente. O de meia onda, em medidores eletrodinâmicos e o de onda completa em medidores ditos eletrônicos, notadamente os digitais. Nos eletrônicos esta retificação se dá também com diodos, mas conta com o auxílio de circuitos com amplificadores especiais que minimizam em muito a não-linearidade dos diodos, o que não acontece com os eletrodinâmicos. Portanto, para valores muito baixos de voltagem ou corrente alternadas o voltímetro digital é mais preciso. 5- ALOR EFICAZ Observando a Equação vê-se que é muito direto e fácil determinar a potência joule de um circuito de corrente contínua, pois estamos tratando de valores invariantes com o tempo. Mas quando te trata de voltagem e corrente que variam com tempo a abordagem muda. Se uma voltagem ou corrente variam com tempo tem-se que pensar numa média de dissipação de potência. Seja um sinal qualquer como mostrado na figura abaixo. Pode-se tomar N amostras deste sinal num determinado intervala de tempo, determinar a potência em cada um dos instantes em que a amostra foi tomada e considerar uma potência média dissipado, conforme está ilustrado na Fig.. Assim, 9

Fig. Tomada de N amostras de um sinal qualquer para calculo do valor eficaz (RMS ( N N P = i (4) N R i= 0 Porém, se o sinal for contínuo e o numero de amostras N for muito grande ) a expressão da potência média se torna uma integral: T v(t) P = dt T (5) o R onde T representa o intervalo de tempo no qualquer se determinar a potência média. Por outro lado podemos igualar a expressão acima com potência desenvolvida por valor de voltagem constante (ou de corrente) que desenvolva a mesma potência média: T v(t) dt RMS T v(t) dt T = RMS = o R R T (6) o Assim, o valor acima é chamado valor eficaz ou valor RMS, onde R é Root (raiz), M é mean (média) e S é square (quadrado). Em outras palavras, RMS quer dizer mais ou menos a raiz quadrada da média infinitesimal do quadrado da voltagem ou corrente que varia continuamente com o tempo. Se o sinal é o do tipo senoidal, tem-se: T.m. RMS = m.sen ( t).dt m.sen ( ).d T ω = θ θ = π 0 0 π (7) 0

cos( ) considerando que sen θ ( θ ) = É interessante notar que no caso do sinal senoidal retificado em meia onda o valor RMS é determinado por: T RMS = m.sen ( t).dt m.sen ( θ).dθ = T ω = π 0 π 0.m. (8) Exemplo 6: Uma tensão senoidal do tipo v(t) = 3.sen(377.t) é aplicada a um resistor de 30 Ω. Que potência é dissipada quando aplicamos a tensão completa neste resistor? Repetir para o mesmo sinal retificado em meia onda. A potência dissipada por um resistor por uma onda completa é dada por: 3 P = RMS m RMS = = 0 R = 0 P = = 63,33W 30 Se a retificação é de meia onda o valor RMS se torna: P = RMS R RMS = m = 3 = 0 P = 55,5 30 = 806W = 0,806KW Energia = potência x tempo A energia elétrica é medida em kwh, que é a energia consumida (dissipada) em hora. Para se calcular a energia de certa carga, primeiro se converte a potência em KW e seguir multiplica-se este valor pelo número de horas de uso. Para se visualizar um sinal alternado tem-se que usar um osciloscópio, que, na sua forma analógica, consta, basicamente de um tubo de raios catódicos e circuitos eletrônicos de processamento. Possui sempre dois canais, o que permite se analisar dois sinais ao mesmo tempo.

Exemplo 7 Foto de um osciloscópio analógico comercial Quanto custa deixar uma lâmpada de 0W (energia) ligada durante 5 horas por dia durante 30 dias, supondo-se que o kwh (potência) custa aproximadamente R$ 0,55 em media? 0W = 0 KW = 0,00KW ; Numero de horas = 5x30 = 50 horas 000 Cada hora custa: 0,00x0,55 = R$ 0,0 Custo mensal = 0,0x50 = R$,65 6 -ALOR EFICAZ EM TERMOS DE COMPONENTES CONSTANTES, SENOIDAIS E COSSENOIDAIS. O sinal alternado pode ser composto pela soma de uma componente constante mais termos senoidais e cossenoidais: v(t) = DC + m.sen(ω.t) + m.sen(ω.t) + m3.cos(ω 3.t) +.... m4.cos(ω 4.t) (9.) Neste caso, o valor RMS de v(t) é dado: 3 RMS + 4 = m m m m DC + + + (9.)

Exemplo 8: Determinar o valor RMS de v(t) = 0 + 0. sen(ω.t). 0 RMS = 0 + =,4 Exercício proposto: aplique diretamente v(t) acima em (5) e mostre que o resultado acima é correto. No desenvolvimento considere também () 7 -FATOR DE FORMA Um voltímetro ou amperímetro alternados respondem pelo valor médio e são calibrados em termos de valor RMS. Para isso, o valor médio detectado por eles é multiplicado pelo Fator de Forma. Fator de Forma = RMS medio (0) Os voltímetros e amperímetros AC analógicos (de ponteiros) fazem uma retificação de meia onda (com um diodo, como já mostrado anteriormente). Neste caso o Fator de Forma, considerando () e (7), é dado por: Fator de forma = RMS m / π = = =, () / π medio m Nos voltímetros e amperímetros digitais (eletrônicos), no entanto, a retificação é de onda completa o Fator de Forma é dado por (considerando 3 e 7): RMS medio m / π = = =, (). / π m Exemplo 9: Deseja-se medir uma voltagem do tipo v(t) = 3.sen(π.60t) num voltímetro analógico (de ponteiro) Como seria esta medida? Observe que o multímetro tem duas faixas de medida para voltagem: uma para DC e outra para AC. Na faixa AC o voltímetro faz uma retificação de meia onda e responde pelo valor dela. O valor médio da voltagem acima é: 3 médio = = 99,045 π A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (,): 3

RMS =,x99,045 = 9,88 0 Exemplo 0: Qual seria a medida da mesma voltagem para um multímetro digital: Na faixa AC o voltímetro faz uma retificação de onda completa e responde pelo valor dela. O valor médio da voltagem acima é: x3 médio = = 97,99 π A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (,): RMS =,x 97,99 = 9,88 0 Exemplo : Qual o valor eficaz verdadeiro de um sinal de voltagem simétrico quadrado de acordo coma figura abaixo, para m = 0? é : T = m.. dt = RMS m = 0 T 0 Como o voltímetro analógico mede? Antes ele faz uma retificação de meia-onda conforme a Fig. 3-b. O valor médio médio = m = 5 A escala é marcada aplicando-se a ela o fator de forma (,): RMS =,x5 =, Então, para esse sinal o erro é de,%. Fig. 3-a Sinal quadrático simétrico 3-b Sinal retificado em meia-onda 4

Fig. 3 Fotos de um multímetro digital e analógico e digital comerciais. 8- ANÁLISE DE CIRCUITOS SIMPLES NO DOMÍNIO DO TEMPO 8- CIRCUITO RESISTIO Foto de um resistor Seja v(t) = m.sen(ω.t + θ) uma voltagem aplicada a um resistor. A corrente que circula por este resistor de resistência R é dada por: i(t) = v(t) R = m.sen( ω.t + θ) R = I m.sen(ω.t + θ), onde I m = m R Numa instalação elétrica há vários exemplos de cargas resistivas: lâmpadas incandescentes comuns, chuveiros elétricos, ferros elétricos, fornos, etc. Nestes casos, a corrente e a voltagem estão em fase. 5

8- CIRCUITO CAPACITIO PURO Capacitores eletrolíticos Capacitores de poliéster Um capacitor é um armazenador de energia elétrica entre duas placas metálicas separadas por um dielétrico. Seja v(t) = m.sen(ω.t) uma voltagem aplicada a um capacitor. A corrente que circula por este capacitor de capacitância C é dada por: dv(t) i(t) = C. = ωc. m.cos(ω.t) = m sen(ω.t + 90 o ) dt ω.c i(t) = I m.sen(ω.t +90 o ) onde I m = m = m X ω.c C X C = é a reatância capacitiva do capacitor de capacitância C. ω.c A unidade de X C é a mesma da resistência, ou seja, ohm. Também, RMS = X C.I RMS ou, simplesmente, = X C.I (lei de Ohm) Exemplo : Uma voltagem v(t) = 3.sen(.π.60.t) é aplicada a um capacitor de µf. Qual a corrente eficaz que circula por ele? I C = RMS 3 ; RMS = 0 ; XC = 36,3 Ω XC 6. π.60xx0 0 I C = = 0,66 A = 66 ma 36,3 Capacitores em série: Quando dois ou mais capacitores estão em série a capacitância equivalente total é dada por: 6

C T = C + C +... C N Também,.C = ω.c + ω. C ω T +... ω.c N No que se conclui que a reatância total é a soma das reatâncias: X CT = X C + X C +... X CN Se tivermos N capacitores iguais em série iguais a C, deduz-se que C C T = N Capacitores em paralelo Se N capacitores estão em paralelo, a capacitância equivalente total é dada por: C T = C + C +... C N Também, ωc T = ω.c + ω.c +... C N No que se conclui: X CT = X C + X C +... + X CN Exemplo 3: Uma voltagem de v(t) = 3.sen(.π.60.t) é aplicada em dois capacitores de µf e 3 µf, respectivamente. Determinar as quedas de voltagem eficazes em cada um deles X C = = 36,9 Ω ; X C = = 884,64 Ω 6 6. π.60.x0. π.60.3x0 X T = X C + X C = 36,9 + 884,64 = 0,93 Ω A corrente eficaz que passa pelos dois capacitores é: I = RMS X T = 3/ 0,93 = 0, A = 00mA 7

A voltagem eficaz no primeiro capacitor é dada por =I.X C = 0.x36,9 = 3,63 A voltagem eficaz no segundo capacitor é dada por =I.X C = 0.x 884,64 = 88,46 Somando e 0 (voltagem eficaz de entrada) Exercício proposto. Calcular a corrente eficaz total se estas capacitâncias estiverem em paralelo. Reposta: 0,4 A alores comerciais de resistência e capacitância. Os valores comerciais de resistência e capacitância são os valores abaixo (cada valor é, em valores redondos, cerca de 0% maior que o anterior). Para os valores dos resistores basta multiplicar por 0, 0, 0 3, 0 4, 0 5, 0 6 Para os valores dos capacitores basta multiplicar por mili, micro, nano e pico (F)...3.5.6.8.0..4.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5. 5.6 6. 6.8 7.5 8. 9. 8-3- CIRCUITO INDUTIO PURO Não existe circuito indutivo puro, pois sempre tem uma resistência associada à ele. Um indutor é construído enrolando-se um fio de cobre esmaltado num núcleo de ar ou de material magnetizável..mas quando se pode desprezar esta resistência, diz-se que o indutor é ideal. Fotos de alguns indutores 8

Quando um indutor está submetido a um sinal senoidal, como é o nosso caso, podemos considerá-lo ideal quando ωl >>R, onde ω é a freqüência em radianos/seg do sinal, L é o valor da indutância e R é valor da resistência associada. Uma das formas de se conseguir isso é enrolar a espira do indutor com um fio de cobre de grande seção com grande número de voltas sobre um núcleo ferromagnético. A relação entre corrente e voltagem num indutor é dada por: di(t) v (t) = L dt Admitindo-se que este indutor é excitado por uma corrente senoidal e aplicandose na expressão acima tem-se: d o v(t) = L [Im.sen( ω.t)] = ωlim.cos( ω.t) = ωlim.sen( ω.t + 90 ) dt o v(t). = sen( ω.t 90 ), (6) m + Também percebe-se que m = ω LIm = X L.I m (lei de Ohm), onde X L = ω.l é reatância indutiva de um indutor de indutância L Isto é, o indutor reage contra variação da corrente adiantando a voltagem em 90 o ou atrasando a corrente em 90 o. oltagem e corrente num indutor ideal (puro) Exemplo 4 : Um voltagem do tipo v(t) = 0.sen(000.t) é aplicada a um indutor de 0 mh. Qual a corrente eficaz que circula por esse indutor? O valor máximo de v(t) = m = 0. Assim, o valor máximo da corrente é: 9

I m = m = m XL ω. L = 0 = A (valor máximo da corrente) 3 000.0x0 O valor eficaz é I = I m = = 0,7 No domínio do tempo é a corrente é i(t) =.sen(000.t 90 o ) alor indutivo. por: O valor da indutância para um solenóide longo ( >> A) ou um toroide é dado L = µ.n.a L: valor da indutância ; µ: permeabilidade do núcleo; N: numero de espiras; A (m ) : área da seção transversal e (m), o comprimento do solenoide. Toroide Solenoide Indutâncias em série. Se N indutâncias estão em série, a reatância indutiva total é dada por: X LT = X L + X L +...+ X LN, já que L T = L + L +...+L N Se, por outro lado, N indutâncias estão em paralelo a reatância indutiva total é dada por: = + +... + já que = + +... XLT XL XL XLN LT L L L N Exemplo 5 Uma voltagem de v(t) = 50.sen(π.000) é aplicada a dois indutores em série, uma de mh e outro de 3mH. Determinar a corrente que passa por eles e a queda de voltagem em cada um deles. X L = π.000xx0-3 X L = π.000x3x0-3 = 6,83 Ω = 9,45 Ω 0

Como estão em série a corrente total é dada por: I = RMS 50 / = =,5 A XL + XL 6,83 + 9,45 As quedas de voltagem em cada indutor são dadas por: L = X L.I = 4,4 ; L = X L.I =, Indutâncias também estão presentes em transformadores, motores elétricos, reatores de lâmpada fluorescentes e eletrônica, relés, etc. 9- CIRCUITO RL SÉRIE. Exemplo de cargas modeladas por um circuito RL série: reatores de lâmpadas fluorescentes, transformadores, etc. motores elétricos, Circuito RL amos supor que circula pelo circuito uma corrente do tipo i(t) = I m.sen(ω.t) Pela lei das malhas: di(t) v(t) = vr (t) + vl (t) = R.i(t) + L = RIm.sen( ωt) + ωl.i m.cos( ωt) (7) dt A voltagem de entrada pode ser escrita na forma: v(t) = m.sen(ωt + φ). (8) alendo-se da identidade trigonométrica sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa, tem-se: v(t) = m.sen(ω.t).cos(φ) + m.sen(φ).cos(ω.t) (9) Comparando-se (7) e (9): m.cos(φ).= m.sen(φ+90 o )= R.I m

m.sen(φ).= ωli m tem-se: Elevando-se ao quadrado ambas as identidades acima e, a seguir, somando-as, m.[sen (φ) + cos (φ)] = I m m R + ( ωl) Ou, ainda, Im m = R + ( ωl) m = I m [R + (ωl) ]. = (30) I = (3) R + ( ωl) Também, dividindo-se membro a membro a equação acima, tem-se: ωl tg( φ ) = + φ = +tg ωl (33) R R Pelo exposto acima, vê-se que a voltagem está adiantada em relação à corrente (sinal positivo) de um ângulo φ e tem duas componentes ortogonais entre si: L = m.cos(φ) = R.I m e m.sen(φ) = ωl.i m, sendo que ωl = X L é a reatância indutiva. Reatância indutiva é uma representação matemática à reação que o indutor faz à corrente. Considerando-se 0 o ângulo da corrente de entrada, pode-se escrever: i(t) = I m.sen (ω.t) e v(t) = I m.sen (ω.t + φ ) Se, por outro lado, o ângulo da voltagem for considerado 0, tem-se : v(t) = m.sen (ω.t) e i(t) = I m.sen (ω.t - φ ) Na figura abaixo vê-se o comportamento da tensões e da corrente presentes num circuito RL série, no tempo. Nela observa-se que a voltagem em cima do resistor e a corrente que circula pelo circuito estão em fase; por outro lado, a tensão em cima do indutor está em quadratura, isto é, adiantada em 90 0 em relação à corrente. Fig. 6 Comportamento das tensões e da corrente num circuito RL série

9- - Circuito RC série Fig. 7 Circuito RC série alimentado por uma voltagem alternada. As cargas capacitivas não são tão comuns de se encontrar numa instalação elétrica como as cargas indutivas, mas elas podem estar presentes. Exemplos são os chamados motores síncronos usados industrialmente ou quando se sobre compensa o de fator de potência da instalação como veremos em capítulo posterior, colocando-se capacitância em excesso. Seja como for, é importante a abordagem de cargas capacitivas. Pela lei das malhas, tem-se: v(t) = v R (t) + v c (t) = R.i(t) + i(t). dt = R.Im.sen( ω.t) + C Im.sen( ω.t). dt C = R.Im.sen( ω t) Im cos( ωt) (34) ω.c Da mesma forma que no circuito RL, tem-se, para v(t) = m.sen(ωt + φ) : m.cos(φ).= m.sen(φ+90 o )= R.I m m.sen(φ).= - ω.c tem-se: Elevando-se ao quadrado ambas as identidades acima e, a seguir, somando-as, m.[sen (φ) + cos (φ)] = Ou, ainda, I m = I m R + ω = (35) R + ω.c.c 3

Também, por outro lado, dividindo-se membro a membro a equação acima, temse: tg( φ ) = ωrc φ = tg ωrc (36) Pelo exposto acima, vê-se que a voltagem está atrasada em relação à corrente (sinal positivo) de um ângulo φ e tem duas componentes ortogonais entre si: L = m.cos(φ) = R.I m e m.sen(φ) = ω.c.i m, sendo que ω.c = X C é a reatância capacitiva. Reatância capacita é uma representação matemática à reação que o capacitor faz à corrente. Considerando-se 0 o ângulo da corrente de entrada, pode-se escrever: i(t) = I m.sen (ω.t) e v(t) = I m.sen (ω.t - φ ) Se, por outro lado, o ângulo da voltagem for considerado 0, tem-se : v(t) = m.sen (ω.t) e i(t) = I m.sen (ω.t +φ ) Resumo: A lei do ohm diz que = R.I. Assim sendo, para voltagens e correntes eficazes. Para uma resistência tem-se = R.I & defasamento φ = 0 o Para uma indutância tem-se = ω.l.i & defasamento φ = +90 o Para uma capacitância, tem-se: =.I & defasamento φ = -90 o ω. C Para um RL em série, tem-se: = R ωl + ( ωl).i & defasamento φ =+ tg - R Para um RC em série, tem-se: = R +.I φ =-tg ω.c ω.rc Exemplo 6: Um equivalente de um típico ventilador de mesa é um circuito RL, com R = 300Ω e L = Henry, portanto uma carga reativa indutiva que atrasa a corrente em relação a voltagem aplicada. Se este ventilador é alimentado por uma voltagem v(t) = 3.sen(377t), qual a corrente eficaz que circula por ele? Se a amplitude de v(t) é m = 3, de acordo com a Eq. 3, tem-se para o valor eficaz da corrente: 4

I = 300 3/ + (377.) = 0,457A Por outro lado, considerando-se (3), φ = tg 377. 5,5 300 0 Como as cargas indutivas atrasam a corrente em relação à voltagem, tem-se: i(t) = 0,457.sen(377.t 5,5 o ) = 0,656. sen(377.t 5,5 o ) Comportamento típico da voltagem e da corrente num ventilador de mesa Circuito RLC Seja v(t) = m.sen(ωt) a tensão de entrada aplicada ao circuito. Aplicando-se a lei das malhas tem-se: 5

di(t) v(t) = R.i(t) + i(t). dt + L. C dt Derivando-se cada lado da equação acima, tem-se: i(t) di(t) i(t) L + R + = dt dt C d dv(t) dt Resolvendo tem-se: m i(t) = R + (/ ωc ω.l).sen((ωt- φ ) ω. L / ω.c & φ = tg - R Identificamos três situações nas expressões acima a) ωl > /ωc predominância da reatância indutiva. No caso, o ângulo é positivo e a corrente se atrasa em relação à voltagem, ficando o circuito aparentemente indutivo. b) ωl < /ωc predominância da reatância capacitiva. No caso, o ângulo é negativo e a corrente se adianta em relação à voltagem, ficando o circuito aparentemente capacitivo c) ωl = /ωc as reatâncias capacitiva e indutiva se anulam entre si. No caso, o ângulo é nulo e a corrente está em fase em relação à voltagem, ficando o circuito aparentemente resistivo. A freqüência em que isso ocorre é chamada de freqüência de ressonância e é dada por: f o = π. L.C Exemplo 7: A partir do Exemplo 6, determinar as voltagens desenvolvidas nos terminais do indutor e do resistor. Considerando I = 0,46 A a corrente eficaz que circula pelo circuito, R = R.I = 0,456.300 = 36,8 L = I.ωL = 0,456.377 = 7,9 6

Note que soma da tensões (eficazes) é maior que a tensão de entrada (0). Mas, por outro lado, tem-se: ent = 36,8 + 7,9 = 9,7 0 O que confirma que as tensões no resistor e no indutor estão em quadratura, isto é, estão defasadas 90 o entre si. O resultado acima sugere que R e L sejam os catetos de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa seja ent. Isso leva expressar as voltagens e correntes senoidais como números complexos que são denominados de fasores. FASORES Tanto a Eq. 7 quanto a Eq. 34 admitem uma solução do tipo: i (t) =I m e j( ω t + θ ) para uma entrada do tipo v(t) = m e j( ω t+ α ) (37) Dividindo membro a membro as duas expressões acima tem-se: j( ω t+α) m v(t) me = = m e j( α - θ ) = jφ e = RMS jφ e (38) i(t) j( ω t+θ) Ime Im I m IRMS ou simplesmente, v(t) i(t) = I e jφ (36) onde φ = α-θ = igual ao defasamento entre a tensão e corrente.. Pode-se escrever ainda que, jφ j.φ e = Z. e (37) I A identidade de Euler diz que:: e jx = cos x + j sen x Como a identidade (37) é um número complexo, pode-se associar a esta igualdade um vetor que se denomina impedância complexa. Para o circuito RL, e usando-se a identidade de Euler, tem-se: jφ Z = Z. e = Z.cos φ + j. Z.senφ Sendo que Z.cos φ = R & Z.sen φ = ω.l (38) 7

Z = R + ( ωl) (39) Assim, m = I m. Z ou para valores eficazes, = I.. Z (40) A quantidade Z é chamada de módulo da impedância do circuito, sendo expresso em ohms da mesma forma que um resistor.. Associa-se, então, ao circuito RL um vetor no plano complexo do tipo: Z = R + jωl = R + jxl (4.a) φ = + tg - X L R (4.b) A impedância Z caracteriza no domínio complexo a oposição do circuito à circulacão da corrente alternada; R é componente real da impedância complexa que justifica a dissipação de energia elétrica numa carga (afinal, um ventilador tem que ventilar, um arcondicionado tem que resfriar, etc, e são cargas indutivas); X L = ωl representa a componente imaginária da impedância que justifica o comportamento reativo de algumas cargas. Pela equação (7), vê-se que a tensão de entrada tem duas componentes: uma em fase e outra em quadratura (90 o ). Assim, podemos escrever a tensão de entrada como um vetor da forma complexa: = R + jl (4) onde é tensão aplicada à entrada do circuito, R é o módulo da tensão desenvolvida nos terminais do resistor e L é o módulo da tensão desenvolvida nos terminais do indutor. jx L j L Z e φ R R Fig 8 Representações vetorias da impedância e das voltagens num circui- RL série. Assim, da mesma forma que o circuito RL série, podemos associar um vetor impedância complexa ao circuito RC série dado por: Z = R j (43.a) ωc 8

φ = + tg - X CR O módulo da impedância é dado por: (44.b) Z = + (/ ω.c ) (45) R A Eq. 4 também mostra que a tensão de entrada tem duas componentes: uma fase e outra em quadratura (90 o ). Assim, também podemos escrever a tensão de entrada na forma complexa: = R j C (46) R R -jx C Z -j C Fig. 9 Representações vetoriais da impedância e das voltagens num RC Desta forma pode-se estender a Lei de Ohm do domínio dos números reais para o domínio dos números complexos para que se possa analisar circuitos reativos alimentados por voltagem alternada. Exemplo: um instalação elétrica predial ou industrial. Assim, I = (47) Z Como na divisão na Eq. 36 ωt é eliminado, podemos associar a tensão e a corrente alternadas dois fasores: v(t) = m.sen(ωt + α) =.e j α = α & I = I.e j θ = I θ (48) As expressões (44) estão escritas sob a forma polar, isto é, em termos de módulo e ângulo. Porém, pode-se escrever também em forma retangular. θ α I Fig 0 oltagem e corrente num circuito reativo. 9

= A + jb, onde A =..cos( α ) e B =..sen( α ) (50-a) = A + B : Pitágoras. (50-b) Resumo: Para uma resistência: Para uma indutância: Z = R (parte imaginária nula) Para uma capacitância: Z = -jx C = -j. Para um RL série: Z = +jx L = +j;ω.l (parte real nula) Z = R + j;ω.l Para um RC série Z = R j. ω.c ω.c Para um RLC série Z = R + j;ω.l j. ω.c = R + j ωl ωc Exercício proposto: Representar fasorialmente os seguintes sinais: a) v(t) = 00.sen(00t + 30 0 ); (b) i(t) = 4,.sen(ωt 45 0 ) Exemplo 8: Resolver o último Exemplo 5 (do ventilador) usando o conceito de fasores. Primeiro se determina a impedância equivalente do circuito. Z = R + jω.l = 300 + j377 Conforme determinado acima, Z = 48,8 5,8 o, onde 48,8 = 300 + 377 e 5,8 o = tg - (377/300) O fasor da voltagem aplicada é = 377 o = 0 0 o 0 Desta forma, pela Eq 36, 0 0 0 o I = = 0,46 5, 8 o 48,8 5,8 O que leva à solução no domínio no tempo na forma: 30

i(t) = 0,46x sen (377.t 5,8 o ) = 0,65 sen (377.t 5,8 o ) Exemplo 9: Duas tensões v (t) = 00. sen (00t + 80 o ) e v (t) = 4 sen (00t + 50 o ) a um circuito RL conforme o esquema abaixo, com R = 70Ω e L = H.. Determinar a corrente fasorial I que circula pelo circuito. Antes de se chegar a I devemos somar v (t) e v (t) o que é feito fasorialmente. Assim, 00 =. 80 o 00 = (cos 80 o + j.sen 80 o ) =,8 + j.69,64 4 = 50 o = 99,7 (cos 50 o + j.sen 50 o ) = 64,0 +j.76,39 Fig. Circuito RL alimentado com duas voltagem em série. L = H e R = 70 Ω O fasor soma + é obtido somando-se os dois números complexos, membro a membro. Desta forma: + = (,8 + 64,0) + j.(69,64 + 76,60) = 76,38 + j.46,03 em forma polar, + = 64,78 6,37 o Na forma de função no tempo: v (t) + v (t) = 65,07x.sen (00t + 6,37 o ) =... 33,08. sen (00t + 6,37 o ) Fig. Resposta no tempo de v (t), v (t) e v (t) + v (t) 3

+. Fig 3 Diagrama fasorial de, e + A impedância associada ao circuito da Fig. 7 é Z = R + jωl = 70 + j00. =... 336 36,5 o. Assim, a corrente que circula pelo circuito é: I = + Z 65, 78 6, 37 = 0 336 36, 5 0 = 0, 49 5, 85 0 Exemplo 0: Em um dado circuito aplica-se uma voltagem na forma v(t) = 50.sen(5.000t + 45 o ) e este responde com uma corrente na forma i(t) = 3.sen(5000t -5 0 ). Determinar os fasores associados, o diagrama fasorial, a impedância complexa e os elementos físicos que compõe este circuito. = 50 o = 06, 45 o 45 I = 3 5 o =, -5 o Z = = I 06, 45 o, 5 o = 50 60 0 = 5 + j.43,3 A corrente está atrasada em relação à tensão, o que significa que é um circuito RL série. Então: ω.l = 43,3 L = 43,3 5000 3 = 8,66x0 = 8,66 mh Logo, os elementos que compõe o circuito são 3

Exercícios: ) Dados v(t) = sen(500t + 70 o ) e i(t) = 5,5(500t 45 o ) 33