Universidade de São Paulo Instituto de Física FAP 115 Profº. Kiyomi Koide São Paulo, 18 de Maio de 00 TURMA A Relatório - 5ª Eperiência - Calorimetria, ajuste de reta e propagação de erros Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa IME Bach. Estatística 1
Objetivo Estudo da temperatura da água com aquecimento constante. Verificar a isolação de uma garrafa térmica contendo água. Medir o calor específico da água e a capacidade térmica do calorímetro. Fazer: propagação de incertezas, ajuste de reta, análise de resíduos. Interpretar o ajuste usando χ red. Material Utilizado Fonte de calor: resistência 3.5 Ω Material a ser aquecido: água + calorímetro Sistema: isolado (garra térmica nº 16 / calorímetro) Medida: termômetro digital, cronômetro digital, balança digital. Eperiência $JLWDGRU )RQWH'& 7HUP{PHWUR 'LJLWDO *DUUDID 7pUPLFD 5HVLVWrQFLD FIGURA 1 - Arranjo Eperimental Montamos o eperimento conforme o arranjo ilustrado acima. A quantidade de água usada foi de (400.0 ± 0.) g. Para medir tal quantidade primeiro colocamos a garrafa térmica em cima da balança digital, zeramos o contador, e fomos acrescentando água até que o mostrador indicasse a massa desejada. Em seguida fechamos a garrafa, colocamos o termômetro, agitamos a água para uniformizar a temperatura e em seguida ligamos a fonte que alimentava a resistência. A partir daí zeramos o cronômetro digital e de em minutos anotamos a temperatura, a corrente a a tensão fornecidas pela fonte. Mantivemos o procedimento até que a variação de temperatura chegasse a 15ºC. Resultados Eperimentais
TABELA 1 Dados Eperimentais t(s) T(ºC) T(ºC) V(v) I(A) P(W) V(v) I(A) P(W) 0 3.8 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 10 4.5 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 40 5.6 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 360 6.4 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 480 7.5 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 600 8.5 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 70 9.5 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 840 30.4 0. 18.3 0.79 14.4 0.1 0.01 0. 960 31.4 0. 18. 0.80 14.5 0.1 0.01 0. 1080 3.3 0. 18. 0.80 14.5 0.1 0.01 0. 100 33.3 0. 18. 0.80 14.5 0.1 0.01 0. 130 34. 0. 18.1 0.81 14.6 0.1 0.01 0. 1440 35. 0. 18.1 0.81 14.6 0.1 0.01 0. 1560 36.0 0. 18.1 0.81 14.6 0.1 0.01 0. obs.: para encontrar P utilizamos a fórmula para propagação de erros numa relação c = a.b. GRÁFICO 1 - Potência Tempo 14.7 Potência (W) 14.5 14.3 14.1 50 300 550 800 1050 1300 1550 Tempo (s) 3
No Gráfico 1 acima (Potência Tempo) podemos observar que apesar das aparentes variações na potência, essas ficaram dentro da margem de incerteza. G RÁFICO - Tem peratura Tem po 35 Temperatura (ºC) 30 5 0 50 300 550 800 1050 1300 1550 Tempo (s) No Gráfico acima temos os dados coletados e a reta que melhor se ajusta aos dados (obtida através do ajuste por mínimos quadrados). O fato de ser possível traçar essa reta nos indica que a relação Tempo Temperatura é linear. Notemos também que o primeiro ponto fica fora da reta-ajuste, isso se justifica pois no instante t = 0 foi quando ligamos a alimentação da resistência. reta. Obs.: Conferir aneo: gráfico feito em papel milimetrado, com ajuste visual da Propagação de Incertezas Q1. Faça a propagação de incerteza para a função ω =. ω = ω ω ω = () = = () 4
Q. Em cada instante, vocês mediram a tensão aplicada sobre a resistência e a corrente que passa. Calcule a potência e sua incerteza, fazendo a propagação de erros. Os resultados podem ser encontrados na TABELA 1, acima. Para os valores da potência fizemos: P = I. V e para achar a incerteza da potência nos utilizamos da propagação de incertezas para produtos de funções, no caso: P V I = + P V I Substituindo os valores para os casos em que a potência/corrente variaram temos a coluna P da Tabela. Q3. Trace a reta média nos gráficos da potência em função do tempo e da temperatura em função do tempo. GRÁFICO 3 - Potência Tempo (reta média) 14.8 14.7 Potência (W) 14.6 14.5 14.4 14.3 14. 50 300 550 800 1050 1300 1550 Tempo (s) Obs.: A reta média para a relação Temperatura Tempo foi traçada no Aneo (Gráfico 1 em papel milimetrado). A partir do ajuste visual podemos obter o coeficiente angular da reta: 35.7 5.1 a = = 0.4818 5 3 De maneira análoga, podemos achar a min e a ma, para calcularmos a incerteza: 5
34.7 5.1 amin = = 0.4800 3 3 35.8 4. ama = = 0.4833 5 1 Logo, a = (48.18 ± 0.18) 10 - º C/min ou a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s. Observando onde a reta corta o eio y, chegamos em b = (3,7 ± 0.1)º C. A equação da reta ajustada visualmente fica portanto: y = 0.008 + 3.7 Q4. Comente se a potência dissipada na resistência foi constante. Comente se a relação (3) da apostila da 5ª eperiência está de acordo com os resultados eperimentais. Considerando a reta média poderíamos nos precipitar e dizer que a potência aumentou gradativamente, mas como essa variação está dentro das barras de incerteza, não podemos assegurar que de fato houve essa variação. P Temos que: Q = P t e Q = C T portanto, T = t C 14.5 36 3.8 = 1560 C 60 1.1 = C C = 1869J /º C ou C = 446.58cal /º C Ainda, pelo modelo teórico, temos que a = P/C. Substituindo: 14.5 a = = 0.0078 1854 Valor compatível com o coeficiente angular a encontrado através do ajuste visual da reta. Logo a relação (3) está de acordo com a eperiência. Q5. Obtenha a capacidade térmica do calorímetro com sua incerteza. Temos pela relação 4: C = C + cal mc 446.58 = C C cal cal + 400 = (46.5 ± 0.5) cal / C Ajuste por mínimos quadrados Identifique i, y i, i nos seus dados. Eplique por que podemos esquecer a incerteza no i. Temos i : tempo e y i : temperatura. A incerteza da variável pode ser transferida para a variável dependente y de forma a simplificar os cálculos, através da fórmula de propagação de incertezas. No caso presente, esquecemos a incerteza da variável i porque ela se refere ao tempo marcado com o cronômetro, e estamos desconsiderando essa incerteza desde o início do eperimento. 6
TABELA Ajuste por Mínimos Quadrados n (s) y(ºc) y (ºC) 1/( y )² /( y )² y/( y )² ²/( y )² y/( y )² y calc χ χ² 1 0 3.8 0. 5 0 595.0 0 0 3.6 1.00 1 10 4.5 0. 5 3000 61.5 360000 73500 4.5-0.4 0.057 3 40 5.6 0. 5 6000 640.0 1440000 153600 5.4 0.5 0.70 4 360 6.4 0. 5 9000 660.0 340000 37600 6.4-0. 0.048 5 480 7.5 0. 5 1000 687.5 5760000 330000 7.3 0.54 0.91 6 600 8.5 0. 5 15000 71.5 9000000 47500 8.3 0.80 0.640 7 70 9.5 0. 5 18000 737.5 1960000 531000 9. 1.06 1.13 8 840 30.4 0. 5 1000 760.0 17640000 638400 30. 0.8 0.67 9 960 31.4 0. 5 4000 785.0 3040000 753600 31.1 1.08 1.166 10 1080 3.3 0. 5 7000 807.5 9160000 87100 3.1 0.84 0.705 11 100 33.3 0. 5 30000 83.5 36000000 999000 33.0 1.10 1.10 1 130 34. 0. 5 33000 855.0 43560000 118600 34.0 0.86 0.739 13 1440 35. 0. 5 36000 880.0 51840000 16700 34.9 1.1 1.54 14 1560 36 0. 5 39000 900.0 60840000 1404000 35.9 0.38 0.144 S 350 73000 10465 94840000 8816100 9.34 S S S S S y S y χ = S S a = S S S S y S S a = S S y S S b = y y = 0.0001105 = 350.94840000 (73000) b = = 0.101418511 = 8665000000 350.8816100 73000.10465 = = 0.0079 8665000000 94840000.10465-73000.8816100 = = 3.67 8665000000 S Logo: a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s b = (3.6 ± 0.1) º C. A equação que descreve a relação Temperatura Tempo, fica então: y = 0.0079 + 3.6 Q6. Apresente os coeficientes calculados e compare com os coeficientes que você obteve com ajuste visual, discutindo a compatibilidade. Utilizando o ajuste visual, obtivemos os seguintes parâmetros: y = 0.008 + 3.7 com a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s. e b = (3,7 ± 0.1)º C. Utilizando os mínimos quadrados, chegamos em: y = 0.0079 + 3.6 com a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s e b = (3.6 ± 0.1) º C. Considerando-se as incertezas as duas aproimações são compatíveis entre si. 7
TABELA 3 Comparação dos Resíduos Normalizados: Ajuste Visual Mínimos Quadrados Ajuste Visual Mínimos Quadrados n (s) y(ºc) y (ºC) y calc χ χ² y calc χ χ² 1 0 3.8 0. 3.700 0.50 0.50 3.600 1.00 1.000 10 4.5 0. 4.696-0.98 0.960 4.548-0.4 0.057 3 40 5.6 0. 5.69-0.46 0.11 5.496 0.5 0.70 4 360 6.4 0. 6.688-1.44.073 6.444-0. 0.048 5 480 7.5 0. 7.684-0.9 0.846 7.39 0.54 0.91 6 600 8.5 0. 8.680-0.90 0.810 8.340 0.80 0.640 7 70 9.5 0. 9.676-0.88 0.774 9.88 1.06 1.13 8 840 30.4 0. 30.67-1.36 1.849 30.36 0.8 0.67 9 960 31.4 0. 31.668-1.34 1.795 31.184 1.08 1.166 10 1080 3.3 0. 3.664-1.8 3.31 3.13 0.84 0.705 11 100 33.3 0. 33.660-1.80 3.40 33.080 1.10 1.10 1 130 34. 0. 34.656 -.8 5.198 34.08 0.86 0.739 13 1440 35. 0. 35.65 -.6 5.107 34.976 1.1 1.54 14 1560 36 0. 36.648-3.4 10.496 35.94 0.38 0.144-1. 36.97 0.69 9.34 µ(χ) Σχ² µ(χ) Σχ² Q7. Quanto deveria ser o valor médio de χ para ter um bom ajuste? O que poderia significar χ >> 1? Ou no caso de χ << 1? Quando χ >> 1, temos que a diferença entre o valor previsto pelo modelo e o valor real está acima da incerteza considerada. Quando χ << 1 temos que esse valor está dentro da margem da incerteza. O ajuste será tanto melhor quanto menor for o valor médio de χ. Podemos entretanto estipular arbitrariamente que um valor de 0.5 para χ seja razoável para um bom ajuste. Analisando a Tabela 3, podemos verificar que os valores obtidos através da aproimação proveniente dos mínimos quadrados apresentam resíduos normalizados menores que os obtidos pelo ajuste visual. Logo o ajuste via mínimos quadrados é um melhor ajuste que o ajuste visual. Q8. Construa um gráfico de resíduo normalizado χ em função da grandeza. Verifique como os pontos estão distribuídos em torno do zero. Quais são os valores do resíduo? Maior ou menor que 1? Discuta. 8
Gráfico 4 - Resíduo Normalizado Tempo 1.0 Resíduo Normalizado 0.5 0.0-0.5-1.0 50 300 550 800 1050 1300 1550 Tempo (s) A maioria dos resíduos é em módulo inferior a 1, entretanto alguns etremos ficam um pouco acima desse limiar. A concentração superior dos resíduos pode indicar alguma imprecisão teórica no modelo formulado, entretanto como o número de amostras é pequeno, não se pode tirar maiores conclusões. Analisando meramente os valores em módulo dos resíduos podemos considerar o modelo adequado. Q9. Construa um histograma de resíduo normalizado. Interprete o histograma. 9
Gráfico 5 - Histograma de Resíduo Normalizado 6 4 0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Resíduo Normalizado O Histograma de Resíduo Normalizado nos dá praticamente a mesma informação que o Gráfico 4. Temos a maioria dos valores em módulo inferiores a 1 e uma parte considerável levemente superior a esse limite. Q10. Quanto é o grau de liberdade dos seus dados? Use o valor de χ r² calculado do seu ajuste para verificar a qualidade dos ajustes. χ Temos que: χ =. r q Onde q é o grau de liberdade, dado por n (número de pontos eperimentais a serem ajustados) p (número de parâmetros da função a ser ajustada). Temos no nosso caso: q = 14 = 1. Para o ajuste por mínimos quadrados temos: 9.344 χ = = 0.7770 r 1 Para o ajuste visual temos: 36.976 χ = = 3.0773 r 1 Analisando os valores de χ r² para os dois ajustes verificamos de cara que o ajuste de quadrados mínimos é bem melhor que o ajuste visual, já que 1-0.7770 < 1-3.0773. Entretanto um valor de 0.7770 pode não estar suficientemente próimo de 1, de forma que alguma superestimativa das incertezas eperimentais tenha afetado o modelo teórico. 10
Bibliografia ADDED, Nemitala. Guia de Estudos: Laboratório de Física I Para Matemáticos. 00. BUSSAB, Wilton de O. 1940-. Estatística Básica 5.ed. São Paulo: Saraiva 00 ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física. 4ª ed. São Paulo, Scipione, 1997. VUOLO, J.H. Introdução à Teoria de Erros 3.ed, São Paulo, 1999. 11