Estabilidade de Tensão Estabilidade de Tensão é a capacidade que o sistema elétrico de potência possui em manter os perfis de tensão adequados, tanto em condições normais de operação como em condições de perturbações severas. (Carson Taylor) Carson W. Taylor, Power System oltage Stability, McGraw-Hill, 994.
Cenários de Instabilidade de Tensão Grandes Perturbações; Dinâmicas Rápidas (Motores de Indução, HDC) Dinâmicas Lentas (OLTC, Cargas Termostáticas) Pequenas Perturbações; ariações Lentas e Previsíveis de Carga. Dinâmicas Muito Lentas;
Técnicas de Análise de Estabilidade de Tensão Grandes Perturbações: Dinâmicas Rápidas (Similar ao Problema de Estabilidade Transitória) Dinâmicas Lentas (Mid-Term Stability Analysis, Método QSS) Pequenas Perturbações: Linearização e Autoanálise; ariações Lentas e Previsíveis de Carga: Análise Estática (Equilíbrio);
Análise Estática de Estabilidade de Modelo Dinâmico: Tensão x = f ( x, λ) λ parametrização da variação da carga; λ varia lentamente (Dinâmicas Desprezadas): = f( x, λ) Estudo de Bifurcação de Equilíbrios Equações de Balanço de Potência
Estabilidade de Tensão ariações Lentas de Carga λ varia lentamente Dinâmicas dos geradores desprezadas ariáveis de interesse Tensões nas barras de carga Modelo: = f ( x, y, λ) = g( x, y, λ) Com uma simplificação adicional no modelo dos geradores: = h( y, λ) Equações de Balanço de Potência nas Barras de Carga Estudo de Bifurcações em Equações Algébricas
Estabilidade de Tensão - Crescimento Lento de Carga Exemplo Simples: 2 ariáveis P L B 2 d 2q = Q L + B 22 2 2d + B 22 2 2q + B 2 d 2d = 3 Parâmetros ª Equação Equação Auxiliar 2 q = PL B 2 d
Estabilidade de Tensão - Crescimento Lento de Carga 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2 = + + + = d d q d L q d L B B B Q B P 3 Parâmetros 2 ariáveis ª Equação Equação Auxiliar d L q B P 2 2 = 2ª Equação Equação de Bifurcação 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 = + + + d L L d d d B P B Q B B
Estabilidade de Tensão - Crescimento Lento de Carga 2ª Equação Equação de Bifurcação B Q 2 2 2 d L L 2 d + 2d + + = 2 2 B22 B22 B2 d P Mudança de Coordenadas: 2d = v B2 2B d 22 Equação de Bifurcação Sela-Nó (Codimensão ): v Q P B + + = 2 2 2 2 L L 2 d 2 2 2 B22 B 2 d 4B22
Estabilidade de Tensão - Crescimento Lento de Carga v Q P B + + = 2 2 2 2 L L 2 d 2 2 2 B22 B 2 d 4B22 Diagrama de Bifurcação v 2 ( P, Q ) = + µ B L L, 22
Curva P ariáveis Originais.6.4 Solução de Alta Tensão.2 Ponto de Máximo Carregamento.8.6.4 Solução de Baixa Tensão.2..2.3.4.5.6.7.8 P [p.u.]
Estabilidade de Tensão - Crescimento Lento de Carga
Teoria de Bifurcações Principais causas de Instabilidade de Tensão devido a variações lentas de carga: Bifurcação Sela-Nó; Bifurcação de Hopf; Bifurcação Estrutural (Induzida por limite).
Teoria de Bifurcações Estabilidade Estrutural x = f ( x, λ ) = f ( x) λ O campo vetorial f λo é estruturalmente estável se existir ε> tal que f λ seja topologicamente equivalente a f λo para todo λ satisfazendo λ-λ o < ε. Mesmo número de equilíbrios; Equilíbrios de mesmo tipo. λ é um valor de bifurcação se f λ não for estruturalmente estável.
Teorema da Função Implícita n m n k f : R R R classe C, k f (, λ ) = D x o o x f ( x o o, λ ) é invertível (matriz não singular) Então existem vizinhanças n e m e uma única função ψ tal que: Além disto, f ( ψ ( λ), λ) = para todo λ m f ( x, λ) se ( x, λ) e x ψ ( λ) m n Conclusão: Persistência dos Equilíbrios e de seus respectivos tipos.
Bifurcação Sela-Nó Equação característica: 2 x= x + µ
Bifurcação Sela-Nó x = F( x, µ ) Ponto de Bifurcação: F( x, µ ) = o o F xo o x (, µ ) é singular e possui um único autovalor nulo Degenerescência quadrática Condição de transversalidade
Métodos para Análise de Bifurcações Sela-Nó Singularidade da Matriz Jacobiana: Determinante Autovalores alores Singulares Métodos Diretos Método da Curva P
Singularidade da Matriz Jacobiana Determinante; Autovalores; alores Singulares; Problemas: Alto esforço computacional para o cálculo de todos os autovalores/valores singulares; Difícil determinar o autovalor de interesse para avaliação de margem de estabilidade. Detecta bifurcação sela-nó mas não detecta Hopf
Menor Autovalor em Módulo Sistema 39 barras do IEEE
Método Direto Sela Nó Condições Necessárias: f( x, µ ) = Df( x, µ ) v= x n 2n+ Incógnitas: x R, µ R, v R n T vv=
Métodos da Curva P Sucessivos Fluxos de Carga Método da Continuação CPFLOW Look-Ahead WECC Western Electricity Coordinating Control - Margen 5% (N-) ONS Operador Nacional do Sistema Interligado Margen 6% (N-)
Método da Curva P Sucessivos Ponto de Máximo Carregamento Singularidade da matriz Jacobiana Incrementa-se a Carga até que o Fluxo de Carga não convirja O Fluxo de Carga para de convergir antes do ponto de máximo carregamento Fluxos de Carga
CPFLOW Método da Continuação Mais Rápido e Confiável que Sucessivos Fluxos de Carga. Parametrização 2. Preditor 3. Corretor 4. Controle de Passo
CPFLOW - Parametrização. Parametrização em μ 2. Parametrização em alguma componente x k 3. Parametrização pelo comprimento do arco f( x, x, µ ) = n
CPFLOW - Preditor (,, ) n f x x µ = 2 2 = + + + + µ µ f x x f x x f x x f n n = ± k x Fixamos uma variável: ± = µ µ µ n n n n n n x x f x f x f f x f x f + = λ σ λ λ d d x x x
Sistema Sul Brasileiro - 45 barras, no qual 35 são do tipo PQ, 9 do tipo P e uma barra slack.
Sistema Sul - Caso Base - CPFLOW Máxima carga =,3323 pu
Sistema Sul Cont. Joinvile - Blumenau - CPFLOW Máxima Carga=,28pu.
Sistema Sul Brasileiro - Caso Base Look Ahead
Sistema Sul Brasileiro Conting. 375-376 Look Ahead
Relatório de Margem de Cargas Sistema Reduzido Sul Brasileiro Casos Carregamento Estimados Look-Ahead Carregamento CPFLOW Tensão Crítica Ahead Look- Tensão Crítica CPFLOW base,28,28,69,68 38-396,6,5,64,65 37-48,22,22,7,69 382-398,8,7,73,72 379-38,7,7,82,83 367-368,2,2,7,69 367-396,2,2,7,7 367-437,22,22,67,67 368-37,8,8,76,75 368-399,2,2,67,67 375-376,9,9,68,67 375-382,3,3,62,62 376-377,2,2,73,72 378-379,8,8,57,58 382-398,8,7,7,7 39-398,2,2,69,7 396-437,22,2,68,69 48-44,2,2,69,7 43-432,22,22,7,7 43-433,22,22,7,7 432-433,22,22,7,7 392-393 O Fluxo de carga divergiu 366-386 O Fluxo de carga divergiu 369-37 O Fluxo de carga divergiu
Casos Carregamento Estimado Look-Ahead Carregamento CPFLOW Tensão Crítica Look-Ahead Tensão Crítica CPFLOW **Carregamento Estimado (violação de tensão) normal,28,28,69,68,48 38-396,6,5,64,65 houve violação de tensão 37-48,22,22,7,69,46 382-398,8,7,73,72 houve violação de tensão 379-38,7,7,82,83,57 367-368,2,2,7,69, 367-396,2,2,7,7 houve violação de tensão 367-437,22,22,67,67,8 368-37,8,8,76,75,26 368-399,2,2,67,67 houve violação de tensão 37-37,9,9,75,75 houve violação de tensão 37-372,2,2,69,7,4 37-374,2,2,7,7,38 372-374,2,2,7,7,5 374-375,22,22,66,68,42 375-376,9,9,68,67,26 375-382,3,3,62,62 houve violação de tensão 376-377,2,2,73,72 houve violação de tensão 378-379,8,8,57,58 houve violação de tensão 382-398,8,7,7,7 houve violação de tensão 39-398,2,2,69,7,43 396-437,22,2,68,69 houve violação de tensão 48-44,2,2,69,7,47 43-432,22,22,7,7,28 43-433,22,22,7,7,36 432-433,22,22,7,7,47 392-393 O Fluxo de carga divergiu 366-386 O Fluxo de carga divergiu 369-37 O Fluxo de carga divergiu
Bifurcação Induzida por Limite Caso Estável Caso Instável
Exemplo SC x x =. pu refsc 2 SC =. pu =.5 pu =.5 pu Barra 3 P se B min <B<B max Barra 3 PQ se B<B min ou B>B max
Exemplo SC.4.2 Curva Pré-Limite.8 2.6.4 Curva Pós=Limite Bmax=.4.2.2.4.6.8.2.4 P
2.5 Exemplo SC 2 Curva Pós-Limite.5 Curva Pré-Limite 2 Bmax=..5.2.4.6.8.2.4.6.8 P
Bifurcação de Hopf Supercrítica Subcrítica
x = F( x, µ ) Ponto de Bifurcação: Bifurcação de Hopf F( x, µ ) = o o F xo o x d dµ (, µ ) possui um par de autovalores puramente imaginários e todos os outros possuem parte real diferente de zero { Re{ λ( µ )}} Im Re
Root Locus Bifurcação de Hopf Sistema IEEE 4 barras
Bifurcações de Hopf e o Método da Curva P O equilíbrio continua existindo depois da bifurcação de Hopf. O método da curva P não detecta bifurcações de Hopf. Recomendação: Calcular os autovalores
Condições Necessárias: f( x, µ ) = Método Direto - Hopf Df( x, µ ) v ( jω) v x = v = v r + jvi 3n+2 Incógnitas: x R, µ R, ω R, v R, v R n n n R I Df( x, µ ) v = ωv Dx f ( x, µ )( vr + jvi) = ( jω)( vr + jvi) Df( x, µ ) v= ωv x R I x I R v v T R T R v v R I + = v T I v I =