PROGRAMA DE MATEMÁTICA 11ª Classe

PROGRAMA DE MATEMÁTICA 11ª Classe PRÉ-ESCOLAR Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário

Ficha Técnica Título Programa de Matemática - 11ª Classe Formação de Professores para o Pré-Escolar e para o Ensino Primário Editora Editora Moderna, S.A. Pré-impressão, Impressão e Acabamento GestGráfica, S.A. Ano / Edição / Tiragem / N.º de Exemplares 2013 / 2.ª Edição / 1.ª Tiragem / 2.000 Ex. E-mail: geral@editoramoderna.com 2013 EDITORA MODERNA Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio (fotocópia, offset, fotografia, etc.) sem o consentimento escrito da editora, abrangendo esta proibição o texto, as ilustrações e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimento judicial, de acordo com o estipulado no código dos direitos de autor.

ÍNDICE Introdução ----------------------------------------------------------------------- 4 Objectivos Gerais da 11ª Classe ------------------------------------------------- 5 Objectivos Específicos da 11ª Classe ------------------------------------------- 6 Distribuição das Aulas por Semestre ------------------------------------------- 8 Conteúdos Programáticos ------------------------------------------------------ 9 Sugestões Metodológicas ------------------------------------------------------- 11 Avaliação ----------------------------------------------------------------------- 14 Bibliografia --------------------------------------------------------------------- 15 3

11ª CLASSE INTRODUÇÃO A elaboração deste programa teve em conta uma série de factores, para levar o aluno a poder interpretar e consolidar melhor os conteúdos aprendidos nas classes anteriores. O programa possui quatro unidades devendo cada uma terminar com uma avaliação. Os conhecimentos de Geometria Plana, adquiridos na 10ª Classe, são enriquecidos aqui com a Geometria Analítica. No que diz respeito ao conteúdo ligado ao Cálculo das Probabilidades, o aluno terá a possibilidade de diferenciar os acontecimentos e a relação existente entre estes. A ligação do Cálculo das Probabilidades com a Estatística levará o aluno a conhecer inúmeros casos e problemas que o facilitarão na compreensão de uma série de fenómenos, assim como fórmulas, e gráficos. No capítulo das sucessões, os alunos terão a oportunidade de conhecer uma sucessão, os diferentes tipos de sucessão e os limites de uma sucessão, para na classe seguinte poderem então aprender de forma pormenorizada os limites de uma sucessão e não só. 4

PROGRAMA DE MATEMÁTICA OBJECTIVOS GERAIS DA 11ª CLASSE Aplicar os conceitos ligados à Geometria Analítica, Cálculo das Probabilidades e Estatística e sucessões, suas propriedades e relação existente entre si. Aplicar e consolidar os distintos sinais usados em probabilidades, estatística e sucessões numéricas. Compreender os conceitos e definições ligadas à Geometria Analítica, em particular as suas propriedades para resolver distintos problemas ligados à equação da recta. Dominar os conceitos ligados ao Cálculo de Probabilidades e Estatística, analisar as suas propriedades e representação gráfica. Aplicar os conhecimentos teóricos à solução de problemas práticos. 5

11ª CLASSE OBJECTIVOS ESPECÍFICOS DA 11ª CLASSE Transmitir aos alunos que para os cálculos dos distintos temas, as propriedades, teoremas e definições devem ser levados em consideração; Desenvolver os procedimentos indutivos e dedutivos de raciocínio de modo que os alunos sejam capazes de realizar demonstrações de forma independente; Distinguir os conhecimentos teóricos para resolução de problemas práticos; Distinguir as propriedades e teoremas para a resolução dos problemas de cálculo em Geometria Analítica, probabilidades estatísticas e sucessões elementares; Distinguir os conceitos e definições ligados à Geometria Analítica; Consolidar os conceitos e definições ligados à Geometria Analítica; Conhecer os instrumentos usados em Geometria e os métodos de cálculo na Geometria Analítica; Diferenciar as propriedades para resolver os distintos problemas ligados à equação da recta; Distinguir as equações da recta que passam por um ponto e por dois pontos; Conhecer os conceitos e definições relacionados com o Cálculo das Probabilidades; Consolidar as habilidades dos alunos no trabalho de cálculos em probabilidade estatística, construção de gráficos, diagramas circulares, histogramas e pictogramas; Usar os distintos sinais para o cálculo das probabilidades, estatística e sucessões numéricas elementares; Conhecer os conceitos ligados aos cálculos das probabilidades, suas propriedades e representação gráfica; Distinguir os métodos para o cálculo de probabilidade de acontecimento; 6

PROGRAMA DE MATEMÁTICA Dominar e consolidar os diferentes sinais usados no cálculo das probabilidades; Conhecer os conceitos e definições relativos ao cálculo de estatística; Dominar os diferentes sinais usados em estatística; Consolidar os diferentes sinais usados em estatística; Conhecer os distintos gráficos relativos aos problemas estatísticos que podem ser colocados; Dominar as propriedades e teoremas ligados à estatística; Diferenciar os gráficos em estatística; Distinguir as propriedades e teoremas para a resolução dos problemas de cálculo das probabilidades; Conhecer o conceito e definições relativos às sucessões numéricas; Diferenciar as sucessões; Dominar os teoremas e propriedades para o cálculo das sucessões numéricas e limites de sucessões; Distinguir as progressões aritméticas e geométricas; Diferenciar a razão de uma progressão aritmética e a de uma progressão geométrica; Dominar os diferentes sinais usados no cálculo de sucessões e limites de sucessões; Conhecer as indeterminações no cálculo de limite de uma sucessão e a forma de levantá-las. 7

11ª CLASSE DISTRIBUIÇÃO DAS AULAS POR SEMESTRE Trinta semanas por ano lectivo, equivalente a cento e cinco (105) horas. Três (3) aulas semanais. 1º TRIMESTRE 3 aulas semanais = 35 horas Unidade I - Noções de Geometria Analítica... 19 horas Unidade II - Noções Elementares de Cálculo das Probabilidades... 16 horas 2º TRIMESTRE 2 aulas semanais = 35 horas Unidade III - Noções Elementares sobre Estatística... 35 horas 3º TRIMESTRE 2 aulas semanais = 35 horas Unidade IV - Noções Elementares sobre Sucessões Numéricas... 35 horas Obs: Como o ano lectivo é composto por 34 semanas, este programa foi concebido para 30 semanas lectivas, excluindo-se os feriados e tolerâncias não programadas. O programa foi assim concebido tendo em conta a nossa realidade, sendo o mesmo exequível no espaço programado, dando possibilidades do professor estender os dias de exercitação sem, no entanto, descurar que o cumprimento do programa tem carácter obrigatório. 8

PROGRAMA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS 1º TRIMESTRE 3 aulas semanais = 35 horas Unidade I - Noções de Geometria Analítica... 19 aulas 1.1.1. Geometria analítica da recta no plano. 1.1.2. Coordenadas dos pontos de uma recta. Problemas sobre pontos em linha recta. 1.1.3. Distância entre dois pontos de um plano. ------------------------------------- 5 aulas ------------------------------------- 1.1.4. Coordenadas do plano que divide um segmento numa dada razão. 1.1.5. Coordenadas do plano médio dum segmento. 1.1.6. Área de um triângulo em função das coordenadas do vértice. 1.1.7. Ângulo de inclinação e declive de uma recta. ------------------------------------- 6 aulas ------------------------------------- 1.1.8. Declive de uma recta que passa por dois pontos. Condições de paralelismo e perpendicularidades de duas rectas. Ângulo entre duas rectas. 1.1.9. Equações da recta que passa por um ponto com declive dado. 1.1.10. Equações da recta que passa por dois pontos com declive dado. ------------------------------------- 8 aulas ------------------------------------- Unidade II - Noções Elementares de Cálculo das Probabilidades... 16 horas 2.1. Noções básicas sobre o cálculo das probabilidades. 2.1.1. Fenómenos aleatórios: Conceito; Acontecimentos; Cálculo de probabilidade de acontecimentos. 2.2. Conjuntos: 2.2.1. Propriedades Operatórias. 2.3. Análise combinatória: 2.3.1. Arranjos. 2.3.2. Permutações. 2.3.3. Combinações. 2.3.4. Análise combinatória completa: 2.3.4.1. Arranjos completos; 2.3.4.2. Permutações completas; 2.3.4.3. Combinações completas. 2.4. Permutações com repetição. ------------------------------------- 16 aulas ------------------------------------- 9

11ª CLASSE 2º TRIMESTRE 2 aulas semanais = 35 horas Unidade III - Noções Elementares sobre Estatística... 35 horas 3.1. Recolha e apresentação de dados: 3.1.1. Conceitos: População, Estatística, unidade estatística, amostra, carácter quantitativo, carácter qualitativo, frequência absoluta, relativa e acumulada. ------------------------------------- 15 aulas ------------------------------------- 3.2. Gráficos, de barras, circulares, histogramas e pictogramas: Símbolo Σ (somatório) - propriedades e operações. 3.3. Tratamento de dados: 3.3.1. Conceitos: Modo de uma distribuição, mediana, média aritmética, desvio padrão. 3.4. Erro absoluto e relativo: 3.4.1. Limites do erro absoluto e do erro relativo; 3.4.2. Arredondamentos. ------------------------------------- 20 aulas ------------------------------------- 3º TRIMESTRE 2 aulas semanais = 35 horas Unidade IV - Noções Elementares sobre Sucessões Numéricas... 35 horas 4.1. Símbolo de somatórios. Exemplo de sua aplicação (revisão). 4.2. Teorema do binómio de Newton. Coeficientes binomiais. 4.3. Conceitos de sucessões numéricas como tipo particular de função. Sucessões numéricas definidas explicitamente ou definidas de forma recorrente. ------------------------------------- 17 aulas ------------------------------------- 4.4. Sucessões monótonas e sucessões finitas. 4.5. Progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.). 4.6. Definição de limite de sucessão numérica. Exemplos introdutórios para noção de limite de sucessão. ------------------------------------- 18 aulas ------------------------------------- 10

PROGRAMA DE MATEMÁTICA SUGESTÕES METODOLÓGICAS Este programa está elaborado segundo uma linha lógica e científica de organização e desenvolvimento dos conteúdos que oferece a utilização do pensamento matemático na formação política cultural e intelectual dos alunos, como na crescente importância duma sólida formação matemática na preparação para a vida e o trabalho em especial na formação de técnicos. Neste contexto, para atingir os objectivos preconizados relativamente à utilização e aplicação dos conteúdos deste programa, o docente deverá ter atenção na aplicação dos métodos, meios e princípios didácticos mais adequados, a fim de levar o aluno a facilmente entender os conteúdos, particularmente as unidades II, III, IV, já que o mesmo estará diante de conteúdos estranhos, não se esquecendo da estreita relação existente entre a unidade II e as matérias estudadas no ano anterior (10ª Classe). É absolutamente necessário que o professor, na unidade I, faça a ligação entre esta e a unidade II da classe anterior (10ª Classe). O uso dos meios de ensino ligados à geometria, assim como os meios auxiliares, nomeadamente o esquadro, régua, compasso, transferidor etc., devem estar sempre presentes, e o professor deve orientar os alunos em relação ao manejo dos mesmos, verificando no decorrer das aulas se os mesmos estão ou não a fazer uso adequado do material. No cálculo de probabilidades e estatística, os exercícios a serem feitos na sala de aula devem possuir uma estreita relação com factos ligados à realidade, com o fim de tornar mais acessível a compreensão dos conteúdos a leccionar. Aqui, se o docente não se esquecer da exiquibilidade e acessibilidade dos conteúdos ligados e os pormenores descritos no período anterior, os resultados do trabalho serão positivos. Ainda nesta segunda unidade, o professor deverá fazer exercícios sobre cálculo de probabilidades de acontecimentos em que se deve aplicar combinações. A construção dos gráficos, tanto na Geometria Analítica como nos capítulos que seguem estes conteúdos devem ser claramente explicados pelos professores que orientarão a construção dos mesmos nos momentos de trabalho independente, pois este deve certificar-se que os alunos assimilaram esta parte dos conteúdos, ajudando-os a superar os erros, que são frequentes. 11

11ª CLASSE O docente deverá realçar a diferença que há entre os gráficos construídos para cada tema ou conteúdo. O uso da máquina calculadora durante as aulas de probabilidade e estatística é um marco importante na economia do tempo, logo facilitará os cálculos com dízimos e não só. O trabalho com tábua ou tabelas deve também ser bem esclarecido pelo professor que deverá ensinar aos discentes o seu manejo, pois o docente deverá, ao longo das aulas, certificar-se se os mesmos estão a usar correctamente as tabelas. Constitui nota importante dizer que o uso de meios de ensino na geometria deve possuir carácter obrigatório. O uso de sinais matemáticos deve estar sempre presente, e o seu significado deve ser bem conhecido pelo aluno e explicado pelo professor. No capítulo das sucessões, o professor deverá dar diversas chances aos alunos no que respeita à exercitação, pois estes conteúdos devem ser cuidadosamente expostos pelo professor, atendendo o grau de dificuldade que, geralmente, os alunos apresentam. A avaliação como forma de verificar se os objectivos traçados foram alcançados é de suma importância no trabalho docente educativo. Sempre que o professor verificar que já deu determinado conteúdo e que este possui um certo grau de dificuldade, deverá encontrar forma de fazer exercícios de aplicação exequíveis e acessíveis e, logo que verifique que a assimilação foi positiva, deve efectuar uma prova. Cada unidade do programa termina com uma prova escrita. Esta pode ser precedida por uma chamada, que deve ser efectuada, se possível, a meio do cumprimento da unidade ou quando o professor verificar que possui conteúdo suficiente para o efeito. A realização de provas/chamadas ao longo dos trimestres levará o aluno a estar em contacto permanente com os conteúdos. Este procedimento poderá ter função estimuladora no processo de ensino e aprendizagem. 12

PROGRAMA DE MATEMÁTICA Os tipos de avaliações devem levar em conta o grau de assimilaçfio dos alunos, aliados aos conteúdos leccionados até então. As avaliações efectuadas pelo professor ou planificadas pela coordenação da disciplina têm carácter obrigatório. Esta avaliação deve ser precedida de aulas de revisão dos conteúdos mais importantes e dos que apresentam maior dificuldade na percepção e assimilação. Durante as provas, o uso dos meios de ensino ligados à geometria e não só, deve ser obrigatório. 13

11ª CLASSE AVALIAÇÃO A avaliação como forma de verificar se os objectivos traçados foram alcançados é de suma importância no trabalho docente educativo. O professor, sempre que verificar que já deu um certo conteúdo e que este possui um certo grau de dificuldade, deverá encontrar forma de fazer exercícios de aplicação exequíveis e acessíveis e, logo que se verifique que a assimilação foi positiva, efectuar uma prova. Cada unidade do programa termina com uma prova escrita. Esta pode ser precedida por uma chamada que deve ser efectuada, se possível, a meio do cumprimento da unidade ou quando o professor verificar que possui conteúdo suficiente para o efeito. A acumulação de notas adquiridas ao longo dos semestres facilitará a vida académica do aluno e levará o mesmo a estar em contacto permanente com os conteúdos. Este procedimento poderá ter função estimuladora no processo de ensino e aprendizagem. Os tipos de avaliações devem levar em conta o grau de assimilação dos alunos, aliados aos conteúdos leccionados até então. As avaliações efectuadas pelo professor ou planificadas pela coordenação de disciplina têm carácter obrigatório. No final do ano lectivo efectuar-se-á um exame final que englobará 40% do conteúdo leccionado no 1º semestre e 60% do segundo. Esta avaliação deve ser precedida de aulas de revisão dos conteúdos mais importantes e os que apresentam maior dificuldade na percepção e assimilação. Durante as provas o uso dos meios de ensino ligados à geometria, e não só, deve ser obrigatório. 14

PROGRAMA DE MATEMÁTICA BIBLIOGRAFIA APOSTOL, Tom - Cálculos, Volume 2 - Cálculos em Várias Variáveis com Aplicações nas Probabilidades e em Análise Vectorial, Editorial Reverte S.A. BRONSTEIN, I. & SEMENDIAEV, K. - Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes, Editora Mir Moscovo. Colecção Objectivo - Sistema de Métodos de Aprendizagem - Geometria Analítica. Colecção Objectivo - Sistema de Métodos de Aprendizagem - Álgebra I, Livro 36. Colecção Objectivo - Álgebra II, Livro 37. COSTA, Augusto de Almeida - Matemática Jovem, 9º Ano de Escolaridade, Porto Editora. FERNANDES, António - Exercícios de Álgebra, Trigonometria e Geometria Analítica, 7º ano dos Liceus. FERREIRA, Manuel A. - Formulação de Probabilidades e Estatística, Editora Silabo. FREITAS, César; GOMES, Francelino - Matemática, 10º Ano de Escolaridade. FREITAS, César; COIMBRA, Elvira; GOMES, Francelino - Matemática 12º Ano de Escolaridade, Volume 1. GARCIA, Maria H.; ANJOS, Alfredo; RUIVO, António - Compêndio de Matemática, 1º Ano, Curso Complementar, 1º Volume. GARCIA, Maria H.; ANJOS, Alfredo; RUIVO, António - Matemática -11º Ano. GMURMAN, V. E. - Problema em Probabilidades e Estatística. GOMES, Seolinda D.; RUFINO, M. Helena; GRAÇA, M. Teresa - Matemática 12º Ano, Volume 1 e 2, Plátano Editora. LIPSCHUTZ, Seymour - Matemática Finita, Colecção SHÂUM. MURTEIRA, Bento José - Probabilidades e Estatística - Volume I, Editora Mcgraw-Hill Portugal. 15

11ª CLASSE NEVES, Maria Augusta Ferreira - Matemática, 11º Ano - 1º Parte. NEVES, M. A.; VIEIRA, M. T.; ALVES, A. G. - Matemática - 11º Ano, Volume 2, Porto Editora. OSTROWSKI, A. - Lições de Cálculo Diferencial e Integral - Fundação Calouste Gulbenkian. SANTOS, Fernando Boja - Sebenta de Matemática, 11º Ano de Escolaridade, Volume III - Estatística e Probabilidade, Paralelo Editora. SANTOS, Fernando Boja - Sebenta de Matemática 11º Ano de Escolaridade, Volume II. SANTOS, Fernando Boja - Sebenta de Matemática, Volume I - Cálculo das Probabilidades. SANTOS, Fernando Boja - Sebenta de Matemática, Geometria Analítica, 3º Ciclo. VAIRINHOS, Valter M. - Elementos de Probabilidades e Estatística, Universidade Aberta. LIMA, Yolanda & GOMES, Francelino - Xeq Mat - Matemática 11º e 12º Ano (tradução). 16