MAE0219 - Introdução à Probabilidade e Estatística I 2 o semestre de 2017 Gabarito da Lista de Exercícios 2 - Estatística Descritiva II - CASA Exercício 1 (a) A variável Frequência Cardíaca é do tipo quantitativa discreta. Na Tabela 1 temos as frequências absolutas e as respectivas densidades para construnção dos histogramas. Na Figura 1 temos os histogramas para a variável Frequência Cardíaca utilizando os dois métodos. Ambos os métodos de frequência e densidade são adequados pois as faixas apresentam mesmo tamanho. Tabela 1: Frequência absoluta, relativa e densidade. Frequência Cardíaca Frequência Acumulada Frequência Relativa Densidade [60,65) 11 0,06875 0,01375 [65,70) 35 0,21875 0,04375 [70,75) 68 0,42500 0,08500 [75,80) 20 0,12500 0,02500 [80,85) 12 0,07500 0,01500 [85,90) 10 0,06250 0,01250 [90,95) 1 0,00625 0,00125 [95,100) 3 0,01875 0,00375 Observamos, a partir de ambos os histogramas que a distribuição dos dados é assimétrica à direita. (b) Consideremos as classes que contêm alunos cuja frequência cardíaca é abaixo de 62 e acima de 92. Logo, temos três classes que contêm alunos nessas condições: [60, 65); [90, 95) e [95, 100). Supondo que os alunos estão distribuídos dentro de cada classe uniformente. Obtemos tal porcentagem através de 11 2 5 + 1 2 5 + 3 160 = 0, 04875.
Figura 1: Histogramas para a variável Frequência Cardíaca via os métodos de frequência e densidade. Logo, 4, 875% dos alunos requerem acompanhamento médico. (c) Utilizando os pontos médios das classes, obtemos a média aproximada da variável Frequência Cardíaca através de x = 1 n 8 n i x i i=1 = 1 (11 62, 5 + 35 67, 5 + 68 72, 5 + 20 77, 5 + 12 82, 5 160 + 10 87, 5 + 1 92, 5 + 3 97, 5) = 73, 625. Assim, temos que esses alunos, em média, se encaixam no padrão. Exercício 2 (a) A idade média dos candidatos é obtida de x = 0, 36 19 + 0, 24 21 + 0, 20 24 + 0, 16 28 + 0, 04 33 = 22, 48. Assim, a idade média dos candidatos é de 22,48 anos.
A mediana é obtida através da identificação da classe que contém 50% dos dados. Observando a tabela, notamos que a mediana está na segunda classe. Assim, como a primeira classe contém 36% dos candidatos, precisamos adicionar os 14% restantes de candidatos da segunda classe. Dessa forma, somamos os 14% com o número inicial da segunda classe. Assim, temos que md(x) = 20 + 2 = 21, 17. 0, 14 0, 24 Assim, a idade mediana dos candidatos é de 21,17 anos. (b) A variância da idade é obtida através de 5 s 2 = f i (x i x ) 2 i=1 = 0, 36(19 22, 48) 2 + 0, 24(21 22, 48) 2 + 0, 20(24 22, 48) 2 + 0, 16(28 22, 48) 2 + 0, 04(33 22, 48) 2 = 14, 6496. Portanto, o desvio-padrão é s = 14.6496 = 3, 8275 anos. Consequentemente, o coeficiente de variação é CV = s / x = 3, 8275/22, 48 = 0, 1703. Assim, como o coeficiente de variação em relação a média é baixo, temos que a média da idade dos candidatos é representativa. (c) Sabemos que o 1o quartil está na classe que contém 25% dos dados. Assim, sabemos que está na primeira classe. Como a primeira classe contém 36% dos candidatos, precisamos subtrair os 11% dos candidatos dessa classe. Dessa forma, Q 1 = 20 0, 11/0, 36 2 = 19, 389. O segundo quartil, já obtivemos no item (a), pois é o 2o quartil é a mediana, assim, Q 2 = 21, 17. Já o 3o quartil é obtido a partir da classe que contém 75% dos dados. Assim, o 3o quartil está na terceira classe, e é obtido de Q 3 = 22 + 4 0, 15/0, 20 = 25. Para a construção dos bloxplots precisamos determinar os limites superior e inferior. Assim, o limite inferior é obtido de LI = Q 1 1, 5(Q 3 Q 1 ) = 19, 389 1, 5(25 19, 389) = 10, 9725.
Analogamente, o limite superior LS = Q 3 + 1, 5(Q 3 Q 1 ) = 25 + 1, 5(25 19, 389) = 33, 4165. Dessa forma, construimos o boxplot da idade dos candidatos como representando na Figura 2. Notamos que a distribuição da idade é quase simétrica. Vale ressaltar que não temos nenhum outlier no gráfico pois supomos que as duas idades que pertencem a última classe são menores que o limite superior. Figura 2: Boxplot para a variável idade. (d) As classes que contém os candidatos com mais de 24 anos são: [22, 26); [26, 30); [30, 36). Assim, a porcentagem de candidatos que tem mais de 24 anos é obtida de 0, 20 1 + 0, 16 + 0, 04 = 0, 25. 4 Portanto, 25% dos candidatos tem mais de 24 anos. Exercício 3
Para construirmos os boxplots precisamos calcular os 1o, 2o e 3o quartis. Na Tabela 1 temos os valores para os quartis, calculados via software R, para as variáveis Receita Bruta e Receita com Exportações de acordo com as empresas Sadia e Perdigão. Tabela 2: Quartis obtidos via software R para as variáveis receita bruta e receita com exportações. Variável Min 1o quartil 2o quartil 3o quartil Max Rec. Bruta Sadia 0,700 1,208 1,935 3,598 5,870 Rec. Bruta Perdigão 2,360 2,992 3,240 4,982 8,330 Rec. com Exportações Sadia 0,090 0,2925 0,5150 1,368 2,840 Rec. com Exportações Perdigão 0,390 0,5625 0,8550 2,1350 4,080 Vale ressaltar que no R, o cálculo dos quartis é feito de forma um pouco diferente do que foi visto em aula. Para o caso em que o tamanho da amostra é par, a fórmula dá pesos diferentes no cálculo do quartil. Em vez de tirar a média das duas observações (pesos iguais), é dado o peso relativo a cada observação. Por exemplo, no nosso caso, n = 12, assim a posição para o primeiro quartil é 0, 25 (12 + 1) = 3, 25, assim, Q1 = 0, 25 x[3]+0, 75 x[4] (x ordenado). Para a mediana temos a posição igual a 0, 5 (12+1) = 6, 5, então Q2 = 0, 5 x[6] + 0, 5 x[7] e para o terceiro quartil temos posição igual a 0, 75 (12 + 1) = 9, 75, então Q3 = 0, 75 x[9] + 0, 25 x[10]. Dessa forma, os limites inferiores e superiores de cada boxplot são: Receita Bruta Sadia: LI = 1, 208 1, 5(3, 598 1, 208) = 2, 377 e LS = 3, 598 + 1, 5(3, 598 1, 208) = 7, 183. Receita Bruta Perdigão: LI = 2, 992 1, 5(4, 982 2, 992) = 0, 007 e LS = 4, 982 + 1, 5(4, 982 2, 992) = 7, 967. Receita com Exportações Sadia: LI = 0, 2925 1, 5(1, 3680 0, 2925) = 1, 3208 e LS = 1, 3680 + 1, 5(1, 3680 0, 2925) = 2, 98125
Receita com Exportações Perdigão: LI = 0, 5625 1, 5(2, 1350 0, 5625) = 1, 7963 e LS = 2, 1350 + 1, 5(2, 1350 0, 5625) = 4, 49375 Na Figura 3 temos os boxplots para as variáveis Receita Bruta e Receita com Exportações para ambas as empresas. Figura 3: Boxplots para as variáveis Receita Bruta e Receita com Exportações para ambas as empresas. Notamos pelos boxplots que tanto a receita bruta como a receita com exportações são maiores para a empresa Perdigão. Também, vemos que as distribuições das receitas (as duas) são assimétricas a direita, o que pode ser evidenciado ao notar que a mediana está muito mais próxima do 1o quartil do que do 3o quartil. Observamos que o boxplot para a receita bruta da empresa Perdugão possui um outlier que é exatamente o máximo dos dados, pois o máximo 8,330 é maior que o limite superior 7,967. Agora, temos os cálculos dos quartis apresentados na Tabela?? utilizando as formulas dos quartis do material de aula. Dessa forma, os limites inferiores e superiores de cada boxplot são: Receita Bruta Sadia: LI = 1, 145 1, 5(3, 855 1, 145) = 2, 92 e LS = 3, 855 + 1, 5(3, 855 1, 145) = 7, 92. Receita Bruta Perdigão: LI = 2, 935 1, 5(5, 275 2, 935) = 0, 575 e LS = 5, 275 + 1, 5(5, 275 2, 935) = 8.785.
Tabela 3: Quartis obtidos via material de aula para as variáveis receita bruta e receita com exportações. Variável Min 1o quartil 2o quartil 3o quartil Max Rec. Bruta Sadia 0,700 1,145 1,935 3,855 5,870 Rec. Bruta Perdigão 2,360 2,935 3,240 5,275 8,330 Rec. com Exportações Sadia 0,090 0,275 0,515 1,525 2,840 Rec. com Exportações Perdigão 0,390 0,535 0,855 2,310 4,080 Receita com Exportações Sadia: LI = 0, 275 1, 5(1, 525 0, 275) = 1, 6 e LS = 1, 525 + 1, 5(1, 525 0, 275) = 3, 40. Receita com Exportações Perdigão: LI = 0, 535 1, 5(2, 310 0, 535) = 2, 1275 e LS = 2, 310 + 1, 5(2, 310 0, 535) = 4, 9725. (a) (b) Figura 4: Boxplots para as variáveis Receita Bruta e Receita com Exportações para ambas as empresas.. Notamos pelos boxplots que tanto a receita bruta como a receita com exportações são maiores para a empresa Perdigão. Também, vemos que as distribuições das receitas (as duas) são assimétricas a direita, o que pode ser evidenciado ao notar que a mediana está muito mais próxima do 1o quartil do que do 3o quartil. Observamos que não temos nenhum outlier, isto é, nem o mínimo ou máximo execederam os limites. Exercício 4
(a) Classificando as notas dos alunos na prova de Estatística nos níveis baixa (<5), regular (>=5 e <8) e alta (>=8), obtemos a seguinte distribuição de frequência das notas de acordo com as três classificações. Tabela 4: Distribuição de frequência das notas de acordo com as três classificações. Nota Baixa Regular Alta Total Frequência absoluta (Porc) 6 (30%) 10 (50%) 4 (20%) 20 (100%) (b) A porcentagem de alunos que tiraram nota baixa na prova foi 30%. (c) O desempenho da maior parte dos alunos na prova foi regular, visto que a metade dos alunos tiveram notas regulares na prova de acordo com a classificação.