ANALISE DE ERROS: UMA APLICAÇÃO DA TEORIA DAS REPRESENTAÇÕES NO ENSINO DO CÁLCULO Francisco Regis Vieira Alves, IFCE, fregis@ifce.edu.br Hermínio Borges Neto, UFC, herminio@multimeios.com.br Kátia Vigor Ingar, PUC/SP, kvingar21@gmail.com RESUMO Neste trabalho apresentamos os dados referentes a uma pesquisa de natureza qualitativa realizada no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará IFCE. Contamos com a participação de quatro alunos do curso de licenciatura em Matemática e nos apoiamos na perspectiva de Duval (1995) para analisar as produções escritas dos estudantes envolvendo erros no contexto do Cálculo. Palavras chaves: Ensino de Matemática, Papel do Erro, Registros de representação semiótica. ABSTRACT In this work we present data on a qualitative research conducted at the Federal Institute of Education, Science and Technology of the State of Ceará - IFCE. We count with the participation of the four students of license in Mathematics and rely on the prospect of Duval (1995) to analyze students' written productions involving errors in the context of the calculus. Keywords: Teaching of Mathematics, Role of the error, Semiotics registers representation. 1 Sobre a noção de erro em Matemática A análise de erros, como a abordagem em pesquisa, tem pontos de contato com temas da Educação, da Educação Matemática e da própria Matemática (CURY, 2007, p. 17). Certamente que qualquer autor ou autores adotados, no sentido de discutir e indicar os problemas referentes a tal tipo de abordagem refletirá suas concepções sobre Educação Matemática. Destarte, diferentes pressupostos teóricos devem condicionar perspectivas diferenciadas para a discussão desta temática. Neste sentido, adotamos a concepção de Cury (2007, p. 17) ao definir que a análise de erro constitui a análise da produção escrita, seja ela representativa de acertos ou erros. Cury (2007) acentua que o surgimento da Psicologia da Educação Matemática e a diversidade de investigações nesta área com interesse na análise de erros. Na própria Matemática encontramos figuras emblemáticas como Jackes Hadamard e Henri Poincaré que, apesar de não desenvolver uma análise específica de erros, fornecem uma perspectiva epistemológica e filosófica peculiar da interpretação de sua manifestação.
Neste sentido, Hadamard (1945) indica várias situações que envolvem erros, falhas e imprecisões cometidas por matemáticos profissionais no passado. Um elemento comum no discurso de Poincaré e Hadamard refere-se à atividade inventiva, nem sempre consciente, do matemático profissional, na atividade de investigação matemática. Num contexto específico e atual, Cury (2007, p. 57) descreve os erros originados pela incorreta derivação e os causados por uso equivocado de propriedades das operações empregadas. Neste caso, usaremos esta noção com respeito ao conceito de limite. Outro tipo de erro refere-se às imprecisões e contradições na tentativa da realização das simplificações necessárias. Por outro lado, Duval (1995, 2011), salienta a importância de que todas as atividades intelectivas envolvendo a Matemática exigem a mobilização de algum tipo de simbologia. Deste modo, na produção escrita do estudante, podemos identificar a formação, o tratamento e a conversão adequada de registros de representação semióticas, que adotamos no sentido de Duval (1995), como categorias de análises dos dados. 2 Descrição da pesquisa A pesquisa de natureza qualitativa foi desenvolvida no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Estado do Ceará IFCE, no ano de 2011. Realizamos um estudo de natureza qualitativa no curso de Licenciatura em Matemática. Os dados recolhidos na intervenção são referentes aos alunos 2, 5, 7 e 10. A sessão de ensino teve duração de duas horas. Utilizamos dados provenientes de entrevistas semiestruturadas, protocolos escritos pelos sujeitos e os dados (imagem e áudio) capturados na atividade de desktop fornecidos pelo software camtasia. Empregamos as noções de formação, tratamento, conversão e regras de conformidade (DUVAL, 1995) para análise das produções e manifestação do erro. Na próxima seção apresentamos e acentuamos os dados mais relevantes colhidos em campo. 3 Discussão dos dados No primeiro caso, destacamos a produção do aluno 2. Reparemos a formação do registro xlim 1 + = 3. Quando comparamos este registro algébrico com o modelo de registro standard empregado nos livros didáticos Lim + f(x) =L. Neste caso, o aluno 2 não respeitou x a as regras de conformidade que descrevem este tipo de limite. 2
Figura 1. O aluno 2 emprega um registro algébrico não indentificável Um pouco mais adiante, o aluno 2 manifestou ainda outro erro devido ao desrespeito do emprego de regras de conformidade. Neste caso, em vez do registro algébrico em 2D usual Lim + f(x) =L, o aluno grafou Lim + f(x) =L, o que representa o não uso de uma regra de x a conformidade adequada. x a Figura 2. O aluno 2 imprime a formação de um registro algébrico diferente do standard Na figura 3, identificamos o erro devido ao emprego inadequado da língua natural referente ao conceito de limite. Na mesma, observamos o termo desprovido de sentido matemático na teoria do Cálculo descrito por limite unilateral. Um pouco mais adiante, quando se refere ao mesmo registro algébrico, o aluno 5 emprega a terminologia convencional limite lateral. Por fim, registramos a simplificação de notação e o uso de regras de conformidade não standard ao escrever Lim. 3
Figura 3. O aluno 5 emprega terminologias desconhecidas e diferentes das usuais. Como salientamos na seção inicial, o sistema de representação do Cálculo é bastante complexo e abstrato, quando comparado às experiências anteriores dos estudantes no contexto escolar. Além de proporcionar tarefas fastidiosas envolvendo o tratamento, o referido sistema, quando proporcionamos um ensino restrito ao ambiente lápis/papel, proporciona erros conceituais graves e recorrentes. De fato, na figura 4, o aluno 7, escreveu: 3 2 lim 6x 3 x 3 2 6(6) 3 (6) 3 0 0 x 6 = = =. O erro neste caso foi devido ao fato de que quando avaliamos uma assíntota, não nos atemos ao comportamento da função no ponto. Nesta ocasião, o aluno 7 substituiu x pelo valor 6. 4
Figura 4. O aluno 7 manifesta de modo recorrente erros de operação envolvendo o tratamento dos registros algébricos Na figura 4, em relação à tarefa proposta, reconhecemos a fastidiosa tarefa envolvendo o tratamento do limite indicado por lim 6x x 6 x 3 2 3. Salientamos que, quando o ensino prioriza apenas um tipo de registro, determinadas habilidades cognitivas dos estudantes permanecem comprometidas, sobre a visualização e identificação de padrões geométricos. De fato, no caso do limite lim 6x x 6 x 3 2 3, ao decorrer das entrevistas, não registramos nenhum atividade de natureza argumentativa, no sentido da formulação de conjecturas que antevêem o resultado. Neste caso, o estudante fica condicionado na execução automática do tratamento e 5
a aplicação das regras de conformidade estabelecidas de modo peremptório pelo livro didático. Em geral, os registros do Cálculo são difíceis de atribuir uma significação geométrica, todavia, neste experimento, proporcionamos o uso do computador. Assim, apenas com apoio no tratamento dos registros, o aluno 10 realizou a conversão dos registros (figura 5). Na figura 5 divisamos dois registros gráficos. Reparemos que o registro gráfico do lado direito constitui o aperfeiçoamento do esboço do gráfico do aluno 10, após realizar sua investigação com o apoio computacional. Figura 5. O aluno 10 desenvolveu uma atividade de formação de registro gráficos a partir do apoio computacional No caso do aluno 10 que exibimos acima, registramos que a exploração do aparato computacional proporcionou a elaboração de sentenças proposicionais apoiadas nos elementos identificados no comportamento gráfico pertinente a função. Na figura 5, ao decorrer ainda das entrevistas, deparamos as dificuldades pertinentes ao entendimento dos estudantes que o a função descrita analiticamente por 3 6x 2 x 3 possuía de fato uma assíntota obliqua. Por outro lado, vale salientar que, na condição em que suas atividades foram restritas ao ambiente lápis/papel, não registramos incertezas pertinentes à existência de possíveis assíntotas (horizontal, vertical ou obliqua), entretanto, na condição em que os estudantes desenvolveram uma análise do quadro geométrico, sentimos algumas dificuldades envolvendo, nesta atividade, a noção de conversão e coordenação de registros. 6
O aluno 10, por exemplo, inicialmente, não manifestou segurança na produção de uma ilação pertinente a reta observada no que diz respeito ao seu comportamento assintótico, posto que, ocorre uma intersecção nas proximidades da origem (0,0). Por outro lado, ao decorrer da entrevista, exibimos o gráfico em 2D, com formação do registro gráfico garantido pelo software. Nesta ocasião, o aluno 10 realizou a coordenação de registro ao relacionar os elementos pertinentes e reconhecíveis no seu esboço (figura 5) com os elementos mais proeminentes na figura 6. Figura 6. O aluno 10 se convenceu do comportamento e existência de uma assíntota obliqua ao gráfico 4 Resultados e considerações Duval (1995, 2011) critica o ensino de Matemática que prioriza apenas um tipo ou natureza de registros. Neste experimento registramos erros de natureza operacional. Observamos, entretanto, que a manifestação do erro envolve uma história de aprendizagens dos estudantes. Muitas destas histórias envolvem o ambiente escolar, todavia, outras incompreensões têm um marco inicial a partir do contato com sistema de representação do Cálculo. Em alguns casos (do aluno 10), conseguimos, pelo uso do computador, estimular a produção de imagens mentais relacionadas com os registros algébricos, entretanto, sem o auxílio computacional, suas atividades se restringem ao tratamento e algoritmização. Tal fato compromete a evolução e criação de imagens mentais e conceituais pertinentes aos conceitos aqui discutidos. 7
Outros erros possuem uma natureza estranha, na medida em que o sujeito (aluno 2) elabora e emprega simbologias diferentes e que desrespeitam as regras de conformidade do Cálculo. Este tipo de erro envolve uma difícil e identificação e o diálogo se torna essencial para que o docente possa compreender os motivos do emprego daquele registro inadequado. Por fim, a fundamentação de Duval (1995) nos proporciona a interpretação da produção escrita dos estudantes por um prisma privilegiado. Apesar de que, registramos autores (ALVES, 2011; ALVES & BORGES NETO, 2011; ALVES, BORGES NETO & ALVES DIAS, 2012) que indicam limitações e não adequação da aplicação de sua teoria pertinente ao contexto de teorias matemáticas mais avançadas. Em todo caso, cabe ao docente a apropriação desta teoria no sentido de aperfeiçoar sua atividade de avaliação qualitativa, compreensão da manifestação do erro e reforço de situações que possibilitam ao próprio estudante compreender o funcionamento e o papel das conversões e coordenações de registros necessárias, mas nem sempre possíveis, no contexto da resolução de problemas. 5 Referências Alves, Francisco. R. V.; Borges Neto, Hermínio. (2011). Transição interna do cálculo em uma variável para o cálculo a várias variáveis: uma análise de livros. Educação Matemática Pesquisa. v. 13-3, 597-626, Disponível em: http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/issue/archive. Acesso em: 25 dez. 2011. ALVES, Francisco. R. V. (2011). Aplicações da Sequência Fedathi na promoção das categorias do raciocínio intuitivo no Cálculo a Várias Variáveis. Tese (Doutorado em Educação) Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, p. 353p. Disponível em: http://www.teses.ufc.br/tde_biblioteca/login.php Alves, Francisco. R. V.; Borges Neto, Hermínio; Alves Dias. Marlene (2012). Implicações e aplicações da Teoria das Representações Semióticas no Ensino do Cálculo. In: Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática. 1-23. Disponível em: http://periodicos.uniban.br/index.php/jieem. Acesso em: 25 março. 2012. Cury, Helena, N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Editora Autêntica. Duval, Raymond. (1995). Sémiosis et Pensée Humaine. Paris: Peter Lang Edition. Duval, Raymond. (2011). Ver e ensinar a matemática de outra forma. Entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: Proem. v. 1. 8