Cap. 3. A errar também se aprende

Cap. 3. A errar também se aprende O erro cometido pelo aluno constitui um fenómeno familiar ao professor. Está presente no quotidiano da sala de aula e surge através de produções orais ou escritas dos alunos em situações de aprendizagem. Mas, embora seja um fenómeno com que o professor se confronta frequentemente na sua prática lectiva, pode ser por si perspectivado de forma muito diversa. O erro pode ser entendido como: (i) um mal a erradicar, (ii) como um sintoma, (iii) como um revelador ou (iv) como uma tentativa de acção criativa. O erro é visto como um mal a erradicar quando é sinónimo de inexistência de aprendizagem. Habitualmente é-lhe associada uma conotação negativa. O professor ensina, mas o aluno não aprende, não tanto porque não pode, mas sobretudo porque não quer, não se interessa ou não faz por isso. Uma das partes não está a cumprir o que foi previamente pensado ou planeado. A penalização ou punição é um uso natural nesta perspectiva. Tal é o caso, por exemplo, da penalização através do desconto de certo valor por cada erro cometido numa prova formal de avaliação. Esta situação leva mesmo alguns autores a afirmarem que o erro é encarado de uma forma contabilística. Quanto maior o número de erros, maiores os descontos. Uma situação menos estremada corresponde à perspectiva de encarar o erro como um sintoma de um mal a eliminar. Ainda entendido como falta ou lacuna, como deficit de conhecimento, as suas causas podem ser várias. Cabe ao professor fazer o diagnóstico para remediar. As práticas de remediação passam habitualmente pela repetição de procedimentos mais ou menos normalizados. Caso o erro seja eliminado, acredita-se que o caminho seguido é adequado a todos os alunos, caso persista, o aluno terá de se confrontar com o insucesso. Nestes dois primeiros casos, em que o erro tem uma conotação negativa, de acordo com a diversidade de situações produzidas pelo aluno ao longo do tempo, o professor pode dar diferentes interpretações ao erro, atribuindo-lhe níveis distintos de importância. Assim, o erro, segundo Norrisch (1983), pode ser considerado como: (i) ausência de conhecimento, quando o aluno se desvia substancialmente da resposta correcta; (ii) um engano, quando o aluno é inconstante na sua realização face a um dado saber, umas vezes acerta, outras erra; (iii) como um lapso, quando acerta normalmente e erra pontualmente; e (iv) uma distracção, quando embora responda de forma correcta, a Cap. 3. A errar também se aprende 67

resposta não está exactamente conforme o perguntado, podendo tal situação decorrer de falta de atenção. Note-se que estas interpretações estão muitas vezes também associadas à imagem que o professor foi construindo do aluno ao longo do processo de ensino e aprendizagem. Se a imagem que formou é a de um aluno que sabe, raramente o erro por ele cometido é visto como ausência de conhecimento. Se, contudo, se entender a aprendizagem como um processo complexo e particular, o erro pode ser revelador da lógica associada à representação que o aluno faz de um certo saber. Como tal, o erro constitui uma oportunidade, quase única, do professor aceder a essa lógica. A sua compreensão poderá levar o professor não só a pensar em formas específicas e adequadas de ajudar o aluno a reorientar a sua representação como igualmente pode levá-lo a reflectir sobre a sua prática, ajuizando da adequação dos contextos de aprendizagem propostos. O que é valorizado face à presença de um erro não é o aluno ainda não ter atingido a representação do saber instituído, mas sim a fonte rica de informação a que se tem acesso. Ainda nesta última linha, o erro pode ser visto como um acto de pensamento divergente, muitas vezes reconhecido como essencial no aluno, por exemplo, face a tarefas não rotineiras, mas nem sempre valorizado quando o realizado não coincide com o esperado pelo professor. Por exemplo, quando o professor pergunta ao aluno o que é que tu inventaste aqui? se por um lado, parece estar a reconhecer uma acção criativa, logo a valorizar, por outro, não é claro se o está a encarar ou não de forma positiva (Jorro, 2000). Podemos assim afirmar do exposto que há duas formas distintas de olhar o erro. Uma delas toma o aluno como referência. Neste caso, centrado no indivíduo, as causas do erro são atribuídas aos alunos, quer como um mal a erradicar, quer como um sintoma de que algo vai mal. Em qualquer um destes casos o erro tem uma conotação negativa. A outra forma centra-se nos tópicos ou conceitos a ensinar. Nesta perspectiva, centrada no currículo, o erro é tomado como um indicador do grau de dificuldade na construção/apropriação do assunto ou conceito em presença, ou na forma como foi abordado e trabalhado. É um indicador da necessidade de uma intervenção pedagógica que requer adequação. Quando nos colocamos numa perspectiva de avaliação reguladora, o erro não pode deixar de ser entendido como inerente ao processo de aprendizagem, como algo que acontece apenas àqueles que aprendem, tal como as dúvidas que os alunos nos colocam. Quantas vezes, nós professores, ficamos contentes quando os nossos alunos nos dizem Cap. 3. A errar também se aprende 68

que não perceberam isto ou aquilo? É sinal que estão a desenvolver um processo de aprendizagem. As abordagens construtivistas da aprendizagem puseram em evidência a importância decisiva na compreensão do erro para a própria aprendizagem, reconhecendo que o acesso ao saber só se pode fazer através de um processo de mediação entre o conhecimento que uma pessoa detém e algo que produz. É a conformidade social dessa produção, que indica que se sabe ou não, que revela os erros. Contudo, para que um aluno produza algo é em primeiro lugar necessário que exista um convite à acção, que ele o entenda, que o execute. Há assim uma relação estreita entre compreensão, acção e produção. Desta forma, se existe, o erro é uma resultante de todo este processo embora o seu reconhecimento esteja associado normalmente ao produto realizado, à sua existência, qualidade ou natureza. É, contudo, de notar que existe o perigo de o erro e as suas causas poderem confundir-se ou restringirem-se à existência ou não de conformidade entre o pedido e os produtos realizados. Os produtos tendem a ganhar um ascendente sobre os processos que lhe deram origem como se de coisas distintas se tratassem. A avaliação, enquanto processo independente da aprendizagem, ajuda à consolidação deste olhar. De facto, diversos estudos sobre as práticas de avaliação mostram-nos que os processos de avaliação estão mais centrados em mostrar o erro, isto é, se existe ou não um desvio, ao que era suposto dizer, fazer ou mostrar, do que em ajudar a construir a coincidência entre o esperado e o realizado. Esta forma de fazer leva-nos a focalizar a atenção nos produtos finalizados em resultados, e não nos processos mediadores, nomeadamente a actividade ou a linguagem, entre o pedido e a resposta ao pedido. Assim, procurando inverter a tendência existente, há que pensar como rentabilizar o erro para a aprendizagem. Desde já é possível afirmar que cabe ao professor interpretar o erro para compreender a lógica do aluno. De seguida, e de acordo com essa interpretação, uma via possível é dar feedback ao aluno, procurando ajudá-lo ao reencaminhamento, de forma a construir uma nova representação e agir em conformidade. Para que este feedback posso vir a ter sucesso, é necessário que o professor: - tenha uma ideia clara do processo de resolução da tarefa em causa, sendo capaz de decompor este processo em partes; - perceba até que ponto a criança é capaz de lidar com esse processo e/ou suas partes, Cap. 3. A errar também se aprende 69

- conheça qual a imagem que a criança tem ainda na cabeça, descentrando-se da sua posição de conhecedor (cabe ao professor procurar colocar-se no papel do outro). Em posse destes saberes, há então que proceder ao feedback para ajudar a reorganizar e/ou a reinterpretar a acção. Contudo, alguns cuidados devem ser tidos em conta. Há que evitar incluir juízos de valor que têm poucos efeitos reguladores, nada contribuindo para o reencaminhamento do aluno, para além de poderem levantar questões de ordem ética a evitar. Que evidência temos de que tal é verdade? Um feedback que se dirige mais ao aluno ou às características da sua produção do que à tarefa corre o risco de produzir efeitos negativos na sua auto-estima ou auto-imagem, podendo ser mais nefasto do que produtivo. Na procura de ajudar a perceber o tipo de feedback, alguns autores distinguem três tipos de discurso: (i) o discurso veredicto, quando assente numa relação de poder, sobre a forma de opinião autorizada (verdade pelo poder), podendo este estar centrado nas características/atitudes do aluno ou na tarefa; (ii) o discurso profético, proferido numa postura visionária sobre a evolução do devir escolar, assente normalmente em atitudes ou características pessoais do aluno, e (iii) o discurso de incitamento e/ou de interpelação, quando se procura envolver o aluno na acção (Gipps, 1999). Neste caso o discurso está geralmente centrado na tarefa. O quadro que segue apresenta alguns exemplos que ilustram os diferentes estilos de feedback. Pouca atenção! Não estudaste! Quadro 3. Exemplos de feedback e sua apreciação Feedback Tipo Comentário O teu trabalho está cheio de erros ortográficos! Corrige-os Bem feito! Desenvolve mais esta ideia Veredicto, dirigido ao aluno Veredicto, dirigido ao aluno Veredicto, dirigido à produção Veredicto, dirigido à produção Veredicto, dirigido à tarefa O professor recorre ao seu poder, fazendo uma inferência não assente em evidência O professor recorre ao seu poder, fazendo uma inferência não assente em evidência (Mas quais são?) Não esclarece o suficiente para o aluno prosseguir (Então está perfeito? Não preciso de fazer mais nada?) Embora positivo não esclarece o que está bem feito (De que modo?) Não fornece suficientes pistas para o aluno prosseguir Pressupões que se o não fizer no futuro será complicado Tens de te esforçar mais! Profético, dirigido ao aluno Tens de estudar mais Profético, dirigido ao (Estudar o quê?) Não fornece Cap. 3. A errar também se aprende 70

Se em vez destes valores tivesses outros chegarias à mesma conclusão? Experimenta e compara com a tua resposta Relê o enunciado da tarefa. Vai anotando as diferentes informações. No final comparaas com as que usaste. São as mesmas? aluno De incitamento, dirigido à tarefa De incitamento, dirigido à tarefa suficientes pistas para o aluno prosseguir Dá pistas para o aluno como continuar/reformular Dá pistas para o aluno como continuar/reformular Para além disso, deve dar-se oportunidade ao aluno para ser ele próprio a identificar o erro e a corrigi-lo. São estratégias que favorecem uma aprendizagem mais duradoura no tempo. É através de questões e pistas que se procura ajudar o aluno a prosseguir o seu processo de aprendizagem, fornecendo-lhe suporte afectivo e encorajando-o à acção, quer mantendo a actividade na orientação correcta, quer controlando a sua frustração. Esta tarefa é, no entanto complexa, uma vez que uma mesma produção não corresponde necessariamente a um mesmo feedback. O que conhecemos do aluno é determinante para sabermos até que ponto as questões e pistas têm de ser mais ou menos desenvolvidas. Há, assim, que estabelecer pontes entre aquilo que o aluno já domina, compreende e é capaz de fazer, e aquilo que é necessário para resolver a tarefa. Do que acabámos de afirmar, ressalta que a actividade de dar feedback aos alunos é exigente e morosa para o professor. Assim, há que escolher criteriosamente quando o vamos fazer. Resultados da investigação apontam para que o feedback nunca deve ser dado antes do aluno ter tido oportunidade para pensar e trabalhar na tarefa, nem depois de se conhecerem as respostas, e preferencialmente devem ser escolhidas tarefas ainda não classificadas, nas quais os alunos tenham ainda oportunidade de melhorar (Black & Wiliam, 1998). Narrativa: Para não pensarmos que já está feito e despachado Experiência desenvolvida por Sónia Dias Motivações e propósitos Nas últimas décadas, a avaliação enquanto parte integrante da aprendizagem tem vindo a ganhar cada vez mais importância. Embora as orientações curriculares sobre a Cap. 3. A errar também se aprende 71

avaliação expressas nos diferentes programas de Matemática, assim como nos novos despachos normativos que regulamentam a avaliação das aprendizagens dos alunos, sejam muito claros quanto a esta nova orientação, a verdade é que a prática da avaliação reguladora, em particular a sua concretização através do feedback, estava pouco presente no meu dia a dia, enquanto professora de Matemática do 3º ciclo do Ensino Básico. Assim, no ano lectivo 2005/2006 desenvolvi uma experiência no âmbito do projecto AREA que teve como objectivo perceber de que forma entendem os alunos o feedback escrito que os professores dão às actividades por si realizadas. A questão central deste estudo foi O que entendem os alunos dos comentários/anotações que os professores de Matemática escrevem quando avaliam a primeira versão dos trabalhos? Neste estudo foram participantes dez alunos, que compunham quatro grupos de trabalho, de duas turmas de 9º ano de uma Escola da Área Metropolitana de Lisboa. A selecção destes grupos deveu-se a dois factores: um dos grupos melhorou significativamente da primeira para a segunda versão e os outros três grupos seguiram critérios de melhoria bastante distintos. A tarefa proposta aos alunos foi a realização de um trabalho de grupo sobre A Evolução do Conceito de Número. Neste estudo foram discutidas questões como: Como encaram os alunos este tipo de avaliação? Que tipo de feedback poderá ser mais favorecedor da aprendizagem? Que factores deverão estar presentes na escolha do feedback a dar? Como interpretam os alunos o feedback do professor? Que possíveis lógicas estão subjacentes à forma dos alunos orientarem o seu trabalho a partir do feedback dado? Os dados que serviram de base a este estudo foram as duas versões do trabalho de pesquisa, elaboradas pelos alunos, e o feedback dado na primeira versão do trabalho. Após o término desta actividade, cada grupo de alunos foi ainda entrevistado, de modo a clarificar alguns aspectos do trabalho desenvolvido, nomeadamente o significado atribuído ao feedback dado e as razões das decisões tomadas na segunda versão do trabalho de pesquisa. Depois de analisado o feedback escrito, surgiram quatro categorias de análise: (i) assinalei e corrigi um erro, (ii) assinalei um erro e não o corrigi, (iii) assinalei um erro e dei pistas, e (iv) indiquei falta de informação. No final deste estudo os resultados obtidos permitiram concluir que: 1. Todos os alunos participantes no estudo consideraram este tipo de avaliação favorável para a sua aprendizagem, por poderem melhorar o trabalho final e saberem a opinião da professora antes de o trabalho ser definitivo, poderem ver e corrigir alguns Cap. 3. A errar também se aprende 72

erros que tinham feito, o que na sua opinião ajuda a que não voltem a cometê-los, por dar a possibilidade de o professor perceber melhor por que erram os alunos e pelo facto de os alunos se aperceberem melhor onde têm mais dificuldades. 2. O mesmo feedback não implica a mesma resposta dos alunos. Quando a professora assinala e corrige um erro, os alunos emendam, mas quando assinala um erro com simbologia ou indica a falta de informação, para alunos com bom desempenho na disciplina de Matemática é suficiente, para alunos com desempenho razoável não é suficiente, o que faz com que não consigam melhor. Quando assinala um erro e dá pistas, a simbologia é decisiva para a alteração ou não das respostas dadas. 3. É importante conhecer os alunos e dar um feedback adequado ao perfil académico de cada um. A partir deste estudo, definiram-se novos objectivos para o ano lectivo 2006/2007: perceber a evolução da qualidade do feedback dado por mim e diversificar o feedback, fazendo-o depender dos alunos. A questão central do estudo manteve-se: o que entendem os alunos dos comentários/anotações que os professores de Matemática escrevem quando avaliam a primeira versão dos trabalhos? Contexto onde decorreu a experiência No ano lectivo 2006/2007 desenvolvi então um novo trabalho no âmbito da intencionalidade da avaliação reguladora das aprendizagens com uma turma de 7º ano da Área Metropolitana de Lisboa. Era uma turma composta por 25 alunos, 12 rapazes e 13 raparigas, com idades compreendidas entre os 11 e os 13 anos. Na turma existiam 2 alunos repetentes, sendo os restantes provenientes de três turmas de 6º ano de escolaridade. Os alunos repetentes tinham tido nível inferior a três na disciplina de Matemática. Entre os alunos provenientes do 6º ano, apenas quatro tinham transitado para o 7º ano com nível inferior a três na disciplina de Matemática. Era uma turma que indiciava portanto um nível de conhecimentos adquiridos e de competências desenvolvidas bastante razoável. Porém, após a avaliação de diagnóstico e algum tempo de trabalho com os alunos, percebi que apresentavam muitas debilidades em tarefas que fossem além da mera aplicação de procedimentos básicos, como algoritmos. Por exemplo, apresentavam muitas dificuldades a explicar raciocínios, quer por escrito, quer oralmente, o que consequentemente acarretava muitas dificuldades em tarefas do tipo resolução de problemas ou investigações. Sendo o 7º ano de escolaridade um ano inicial de ciclo, Cap. 3. A errar também se aprende 73

considerei pertinente que os alunos desenvolvessem de forma mais sólida aspectos da competência matemática como a resolução de problemas e a comunicação matemática. Aliada a esta situação, procurei implementar algumas tarefas que fossem simultaneamente de ensino, de aprendizagem e que possibilitassem uma avaliação reguladora das aprendizagens dos alunos. Daí ter referido que havia intencionalidade reguladora. São duas dessas tarefas que servem de base ao estudo que seguidamente descrevo e que envolve os 25 alunos da turma. Descrição da experiência A experiência que a seguir apresento assenta em duas tarefas realizadas com a turma descrita em dois momentos ao longo do ano lectivo. A primeira tarefa foi realizada em Novembro e a segunda em Janeiro. Em ambos os casos foram ocupados dois blocos de aulas de noventa minutos, um para a primeira fase do trabalho e outro para a melhoria das produções. Em ambas as tarefas houve um procedimento geral comum. No início de cada tarefa, informei os alunos que na aula seguinte teriam oportunidade de rever o que tivessem feito no sentido de melhorarem o seu trabalho. Contudo, na segunda tarefa houve que reajustar este procedimento, como explicarei mais tarde. Os alunos trabalharam em sete grupos de três ou quatro elementos e os grupos foram escolhidos aleatoriamente no início da aula da primeira tarefa. Na segunda tarefa, os alunos mantiveram os mesmos grupos. Alguns grupos ficaram contentes, para outros foi motivo de discórdia no início da aula. Geri o conflito propondo que nessa aula trabalhassem assim e que numa próxima situação de trabalho de grupo, voltaria a sortear os grupos. Em cada tarefa, cada grupo teve um único exemplar da proposta de trabalho, completada, no caso da segunda tarefa, com duas folhas com os esboços de pizzas. No final da primeira aula recolhi as produções realizadas, em grupo, pelos alunos para as comentar. Análise das práticas 1ª Tarefa Contagem de quadrados Cap. 3. A errar também se aprende 74

O objectivo desta tarefa era trabalhar as sequências numéricas envolvendo potências de expoente natural, levando os alunos a explicarem a lei de formação do termo geral. A proposta de trabalho, tal como foi apresentada aos alunos, foi a seguinte: No primeiro bloco, optei por não esclarecer nenhuma dúvida que os alunos tivessem durante a primeira meia hora de realização da tarefa, para os obrigar não só a fazerem um esforço para perceberem o enunciado, mas também para trabalharem cooperativamente. As dúvidas que surgiram com mais frequência prenderam-se com a não compreensão do enunciado, isto é, não percebiam o que era para fazer. No final da aula, recolhi as produções dos alunos. Os comentários escritos mais frequentes foram: (1) Explicitem por exemplo por tamanhos Quando fiz este comentário, tinha como objectivo que os alunos distinguissem os quadrados pelas suas dimensões, utilizando a unidade de medida disponível, a quadrícula. Pretendia que os alunos escrevessem 16 quadrados 1x1, 9 quadrados 2x2, 4 quadrados 3x3 e 1 quadrado 4x4, pois os alunos utilizam os termos 16 quadrados pequenos, 13 quadrados médios,, incluindo neste conjunto dos quadrados médios, Cap. 3. A errar também se aprende 75

quadrados de diferentes dimensões. Apresento, seguidamente, um exemplo onde se verificou esta situação. 1ª Versão 2ª Versão Para este grupo, o feedback dado pela professora foi suficiente para os alunos entenderem o que era pretendido. Porém para dois grupos, a quem foi dado exactamente o mesmo feedback, este comentário não parece ter sido perceptível, dado não terem conseguido melhorar. Dos sete alunos que integravam estes dois grupos, cinco apresentavam um aproveitamento não satisfatória na disciplina de Matemática e, os outros dois, um comportamento satisfatório. (2) Experimentem contar quadradinhos dos mais pequenos (1x1) ao maior Este comentário surgiu paralelamente ao comentário anterior, e tinha como objectivo que os alunos classificarem os quadrados por tamanhos de forma mais explícita do que utilizando apenas os termos os mais pequenos, os médios e os grandes. No Cap. 3. A errar também se aprende 76

entanto, a maioria dos grupos não percebeu o que eu queria dizer com 1x1. Apresento seguidamente um exemplo onde se verificou esta situação. 1ª Versão Cap. 3. A errar também se aprende 77

2ª Versão Este grupo opta por eliminar qualquer tipo de explicação, apesar de terem chegado ao resultado certo. (3) Tentem encontrar regularidades na tabela Este comentário foi escrito nas produções dos sete grupos, pois nenhum grupo conseguiu, na primeira fase de elaboração do relatório, encontrar o número de quadrados de diferentes dimensões que compunham o quadrado de 5x5. Apresento, seguidamente, um exemplo onde se verificou esta situação. Cap. 3. A errar também se aprende 78

1ª Versão Cap. 3. A errar também se aprende 79

2ª Versão Este comentário foi o menos explícito para os alunos, pois a maioria dos grupos sentiu necessidade de me chamar para eu lhes explicar o que queria dizer com a palavra regularidades. No exemplo apresentado, os alunos conseguiram perceber o que se pretendia após a explicação oral que eu acrescentei ao feedback escrito. Isto verificou-se em outros cinco grupos. Houve um grupo que, mesmo com a explicação oral, não conseguiu corrigir o que tinha feito na primeira versão. Esse grupo era composto por dois alunos com desempenhos não satisfatórios e um aluno com desempenho satisfatório na disciplina de Matemática. Cap. 3. A errar também se aprende 80

(4) Isto responde à pergunta? Quero que encontrem uma relação numérica entre o nº de quadrados mais pequenos (1x1) (quantos?) e a medida do comprimento do lado (quanto?) Este comentário foi escrito nas produções de seis grupos, o que é imediatamente um indicador que a pergunta, colocada por mim no enunciado da tarefa, não foi explícita para a grande maioria dos grupos. Com o meu comentário pretendo tornar explícito o que quero dizer quando peço uma relação e também que os alunos relacionem esta pergunta com a investigação que já tinham feito na pergunta anterior. Vejamos, de seguida, um exemplo onde se verificou esta situação. 1ª Versão Os alunos cujo trabalho se apresenta como exemplo não conseguiram corrigir a sua resposta na segunda produção e o mesmo aconteceu noutro grupo. No entanto, ambos os grupos encetaram novas estratégias de resposta. (5) Será que o que fizeram na tabela não ajuda em nada? Quando corrigi as primeiras versões dos trabalhos dos alunos verifiquei que cinco grupos encaravam as várias perguntas do guião como não tendo qualquer relação entre si, ou seja não relacionavam cada pergunta, e consequentemente cada resposta, com os Cap. 3. A errar também se aprende 81

resultados a que já tinham chegado em perguntas anteriores. É nesse sentido que faço este comentário escrito. Apresento um exemplo ilustrativo desta situação. 1ª Versão 2ª Versão Este grupo, conseguiu corrigir a sua resposta e o mesmo aconteceu com outro. No entanto, não apresentam os cálculos. Estes foram comentários gerais escritos em quase todos os trabalhos. No entanto, em alguns grupos, estes comentários foram ainda mais explícitos, por considerar que eram grupos compostos por alunos com mais dificuldade em compreenderem os comentários. Por exemplo, num grupo os comentários (2) e (3) foram substituídos por Tentem encontrar regularidades na tabela, contando todos os quadrados, dos mais pequenos (1x1), passando pelos outros (2x2, 3x3, ) até chegarem ao maior. Em nenhum grupo foram utilizados comentários recorrendo a simbologia, uma vez que da experiência realizada no ano lectivo anterior, e com alunos mais velhos, foi Cap. 3. A errar também se aprende 82

possível concluir que essa simbologia apenas é explícita para alunos com elevado nível de desenvolvimento da competência matemática, e que os outros alunos, regra geral, não a percebem e não perguntam ao professor o seu significado. Nesta tarefa optei por não corrigir nenhum dos erros cometidos pelos alunos. Na segunda aula, entreguei os trabalhos realizados na aula anterior e um novo enunciado da tarefa para que os alunos melhorarem as suas produções, mediante os meus comentários. Foi dito aos alunos que seria esta segunda versão e a evolução da primeira para a segunda que seriam classificadas. Em geral, a turma esteve menos empenhada nesta segunda aula do que tinha estado na primeira. Na minha opinião, este facto deveuse à novidade que foi para os alunos poderem melhorar as suas produções mediante comentários meus e antes de essas produções serem classificadas. É possível que alguns alunos considerassem que os trabalhos já estavam classificados e que eu apenas não queria dizer essa classificação. Muitos grupos insistiram em contar quadrados sem nenhuma estratégia definida, parecendo não ligar aos comentários escritos. Quando assinalei um erro e dei pistas, os alunos nem sempre conseguiram corrigir (quatro grupos), mas todos alteraram a resposta. Quando pedi mais explicação, três grupos conseguiram fazê-lo com sucesso, recorrendo a estratégias diferentes (texto, esquema, exemplos), um grupo retira o que escreveu e não escreve nada, um grupo não consegue explicitar, piorando a produção. Dos sete grupos, três não conseguem obter avaliação satisfatória no final das duas fases, três obtêm avaliação de nível muito bom e um obtém avaliação satisfatória. 2ª Tarefa Adição e subtracção de fracções O objectivo desta tarefa era os alunos perceberem como se soma e subtrai fracções com denominadores iguais e diferentes, atribuindo significado prático a cada uma das regras da adição e da subtracção. A tarefa tal como proposta aos alunos foi a seguinte: Cap. 3. A errar também se aprende 83

Cinco minutos depois de se iniciar a exploração da tarefa, tive de interromper, chamando a atenção para a primeira instrução da tarefa que pedia que os alunos escrevessem em cada fatia de pizza a fracção correspondente, uma vez que nenhum grupo o tinha feito. Ficou logo visível que os alunos não perceberam o que eu pretendia com a primeira instrução, pois ignoraram-na. Dos sete grupos, cinco iniciaram o trabalho efectivamente em grupo, discutindo o que tinham de fazer. Num dos outros grupos, havia um elemento que estava a expor o seu ponto de vista, correctamente, mas Cap. 3. A errar também se aprende 84

nenhum dos outros elementos o aceitava, sem no entanto apresentarem nenhuma razão plausível para não o fazerem. Fiz uma pequena intervenção no sentido de pedir aos outros alunos que justificassem por que razão não aceitavam a proposta do colega ou, então, que tentassem perceber o que o colega afirmava. O aluno que expunha o seu ponto de vista era um aluno com um desempenho não satisfatório na disciplina de Matemática, enquanto que os outros dois alunos tinham desempenho satisfatório e muito bom. Até ao final desta aula, os alunos trabalharam regularmente, não colocando muitas dúvidas. No final da aula, recolhi as produções dos alunos. Ao analisar essas produções, apercebi-me que a maior parte dos erros que os alunos tinham feito eram comuns a vários grupos. Então, decidi mudar a planificação da aula seguinte, onde os alunos melhorariam as suas produções. Em vez de comentários, coloquei questões. Na aula seguinte, daria quarenta e cinco minutos a todos os grupos para responderem a essas questões e não para corrigirem os erros. Nos outros quarenta e cinco minutos, seriam discutidas as respostas que tinham sido dadas na primeira aula e as respostas que na segunda aula os alunos teriam dado às minhas perguntas. Assim, na segunda aula, expliquei aos alunos a alteração que tinha decidido introduzir. O feedback dado a esta tarefa foi sempre do tipo assinalar um erro e colocar questões. As questões que escrevi foram: (1) As fatias da pizza 1 são iguais às fatias da pizza 2? (em cinco grupos) A pizza 1 estava dividida em oito fatias iguais enquanto que a pizza 2, do mesmo tamanho da pizza 1, estava dividida em quatro fatias. Portanto quando os alunos 1 1 respondem que comer da pizza 2 é o mesmo que comer da pizza 1, não estão a ter 4 8 em conta que os tamanhos das fatias são diferentes. Assim, o meu comentário pretendia que os alunos observassem as pizzas e concluíssem quantas fatias da pizza 1 correspondiam a uma fatia da pizza 2. Apenas um grupo não respondeu à questão. Apresento, seguidamente, um exemplo onde se verificou esta situação. Cap. 3. A errar também se aprende 85

1 1 1 (2) [resposta a ] seria o quê relativamente à pizza 3? (em dois grupos) 12 8 4 Este comentário escrito foi no seguimento do comentário (1), pois, mais uma vez, os alunos não estavam a utilizar um dos recursos que tinham ao seu dispor, a folha com as pizzas desenhadas com as respectivas fatias cortadas. Quando o escrevi, pretendia que os alunos observassem a pizza 3, que tinha o mesmo tamanho das pizzas 1 e 2 e estava 1 dividida em seis fatias, e percebessem que corresponderia a meia fatia da pizza 3 e 12 que portanto, uma fatia da pizza 1 e uma fatia da pizza 2 nunca poderia corresponder a meia fatia da pizza 3. Nenhum dos grupos conseguiu responder correctamente à pergunta. Apresento seguidamente um exemplo onde se verificou esta situação. 1 1 (3) Como é que com as pizzas podemos verificar se [ ] corresponde 4 8 3 realmente a? (em dois grupos) 8 Como se pode ver no exemplo que seguidamente apresento, este grupo determinou 1 1 correctamente. Mas, quando eu pedi que colassem as fatias correspondentes, 4 8 1 1 apenas colam as fatias correspondentes a e a. O meu objectivo com a colagem 4 8 era que, para além das fatias que este grupo colou, colassem também 3 fatias da Cap. 3. A errar também se aprende 86

pizza 1, que estava dividida em oito fatias, e comparassem, concluindo a igualdade. Um dos grupos não conseguiu justificar a sua resposta, nem responder à minha pergunta com recurso às pizzas. (4) Então quer dizer que o que o Manuel comeu corresponde a 3 fatias da pizza 7? (em três grupos) O erro que os alunos cuja produção é apresentada no exemplo seguinte fazem ao somar 2 1 é muito comum. Quando eu fiz referência à pizza 7, foi por esta pizza 3 2 estar dividida em cinco fatias iguais. Portanto, como os alunos fazem as colagens relativas a 2 1 e a correctamente, pretendia que ao observarem a pizza 7 3 2 concluíssem que três fatias desta pizza não equivaliam a duas fatias da pizza 4 (dividida em três partes iguais) mais uma fatia da pizza 5 (dividida em duas partes iguais). Nenhum dos três grupos conseguiu responder correctamente à minha pergunta. Cap. 3. A errar também se aprende 87