DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO DE TRELIÇAS TUBULARES COM O USO DE ALGORITMO GENÉTICO Optimized design of tubular trusses using Genetic Algorithm Bruna dos Santos Neves (1); Bruna Subtil Lima (2); Élcio Cassimiro Alves (3) (1) Engenheira Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil. (2) Graduanda em Engenharia Civil, Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil. (P) (3) Dr. Prof., Universidade Federal do Espírito Santo, Vitória - ES, Brasil Email para Correspondência: bsubtillima@hotmail.com; (P) Apresentador Resumo: Estruturas treliçadas apresentam vasta aplicabilidade em projetos que possuem cargas elevadas e grandes vãos livres, em especial estruturas tubulares, que apresentam um baixo peso próprio. O presente artigo tem o objetivo de apresentar uma ferramenta computacional para o dimensionamento otimizado de treliças espaciais tubulares. O desenvolvimento da ferramenta computacional foi feito na plataforma MATLAB de acordo com a ABNT NBR 8800:2008 e a ABNT NBR 16239:2013 e a solução do problema de otimização foi obtida via Algoritmos Genéticos. Além da otimização, foi desenvolvido um modo de agrupamento das barras da estrutura treliçada para que fosse possível diminuir o tempo de processamento do programa e aproximar a solução da realidade. A modelagem geométrica e o agrupamento são feitos via ferramentas de CAD e a importação feita via arquivo com extensão DXF. Exemplos numéricos serão apresentados para validar o programa, bem como uma comparação dos resultados obtidos na otimização discreta, implementada utilizando o AG, com os resultados gerados utilizando a otimização contínua, utilizando a rotina baseada na Programação Quadrática Sequencial. Os resultados obtidos foram satisfatórios quando comparados ao dimensionamento convencional e otimização contínua das estruturas analisadas, apresentando soluções mais condizentes com a realidade do mercado da construção civil. Palavras chaves: otimização; treliças; algoritmo; genético; agrupamento. Abstract: Trusses present wide applicability in projects that have heavy loads and large spans, especially tubular structures, which feature a low deadweight. The objective of this article is implementing a computational tool to optimize tubular space trusses design. The tool was developed in the software MATLAB according to ABNT NBR 8800:2008 and ABNT NBR 16239:2013. The solution for the optimization was obtained by a Genetic Algorithm. Besides optimization, a way of grouping trusses bars was developed. The grouping reduced the processing time of the program and approached it to real solutions. Trusses geometry and bars grouping are drawn in CAD software and are imported by a file with DXF extension. Numerical examples will be presented to validate the program, as well as a comparison of the results obtained in the discrete optimization, implemented using GA, with the results generated using continuous optimization, using the routine based on Sequential Quadratic Programming. The results obtained were satisfactory when compared to the conventional design and continuous optimization of the analyzed structures, presenting solutions more suitable to the reality of the civil construction industry. Keywords: optimization; trusses; genetic; algorithm; grouping.
1 INTRODUÇÃO Estruturas treliçadas apresentam grandes vantagens em sua utilização devido à sua capacidade de superar grandes vãos utilizando uma estrutura muito leve e composta por elementos de dimensões pequenas. Para projetar essas estruturas, engenheiros e projetistas visam diminuir os custos de sua construção, reduzindo a quantidade de material empregado. O objetivo é reduzir o peso da estrutura respeitando as restrições impostas pelo projeto, isso é, otimizá-la. As técnicas de otimização podem ser divididas em discreta e contínua. Na otimização contínua, como a Programação Quadrática Sequencial (PQS), os resultados obtidos são contínuos e dificilmente serão utilizados por projetistas, pois os perfis ótimos usualmente não são comerciais. Na otimização discreta, é possível encontrar perfis ótimos para a estrutura dentro de um conjunto de perfis comerciais, tornando-a vantajosa economicamente. Neste trabalho será realizada a otimização discreta das dimensões das barras de treliças no programa Truss3D. Esse programa vem sendo desenvolvido na Universidade Federal do Espírito Santo por alunos de graduação e já realizava o dimensionamento convencional e otimização de treliças de perfis tubulares de forma contínua. A partir da necessidade de tornar o programa comercialmente utilizável, será usado o Algoritmo Genético do MATLAB R2016b para implementar a otimização discreta de treliças. O Algoritmo Genético (AG) é uma técnica de busca estocástica utilizada para achar soluções em problemas de otimização. O algoritmo modifica a população de prováveis soluções repetidamente, selecionando os melhores indivíduos para gerar descendentes mais aptos. Após sucessivas gerações, a população converge para um único indivíduo, que é a solução ótima (MALHOTRA, 2011). Associada à implementação do AG, foi incluída no programa a possibilidade de agrupamento das barras da treliça, reforçando o propósito de aproximar o Truss3D dos projetos realizados atualmente. Para fazer o agrupamento é necessário desenhar a treliça no AutoCAD agrupando as barras por meio dos layers em que estão desenhadas. Dessa forma, obtém-se a mesma seção transversal para todas as barras agrupadas no mesmo conjunto. Portanto, este artigo busca aliar a redução do peso de estruturas treliçadas com a garantia que sua resistência e estabilidade sigam os critérios previstos em norma. O objetivo é criar uma rotina computacional para um software de cunho educacional que realiza a otimização discreta do dimensionamento de estruturas treliçadas tubulares utilizando o método do Algoritmo Genético. Tal rotina atende os parâmetros de dimensionamento estabelecidos pelas ABNT NBR 8800:2008 e ABNT NBR 16239:2013.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Dimensionamento de Elementos Tubulares em Aço Os critérios de dimensionamento de estruturas tubulares em aço seguem o método encontrado na ABNT NBR 8800:2008 e na ABNT NBR 16239:2013. 2.1.1 Força Axial de Tração A ABNT NBR 8800:2008 determina que deve ser atendida a seguinte condição no dimensionamento das barras submetidas à força axial de tração: N t,sd N t,rd (1) N t,sd : Força axial de tração solicitante de cálculo; N t,rd : Força axial de tração resistente de cálculo. Para a força axial de tração resistente de cálculo, N t,rd, deve-se adotar o menor dos valores obtidos abaixo: a) para escoamento da seção bruta N t,rd = A g f y γ a1 (2) b) para ruptura da seção líquida N t,rd = A e f u γ a2 (3) A g : área bruta da seção transversal da barra; A e : área líquida efetiva da seção transversal da barra; f y : resistência ao escoamento do aço; f u : resistência à ruptura do aço; γ a1 :coeficiente de ponderação de resistência para escoamento de aço estrutural igual a 1,1 para combinações normais; γ a2 : coeficiente de ponderação de resistência para ruptura de aço estrutural igual a 1,35 para combinações normais. A área líquida efetiva considera a influência da presença de furos e devido à distribuição não uniforme das tensões na região da ligação e é obtida por:
A e = C t A n (4) A n : área líquida da barra; C t : coeficiente de redução da área líquida. Considerou-se que nas ligações dos elementos não existam furos, ou seja, a área líquida, A n, deve ser tomada igual à área bruta da seção transversal, A g. Além disso, assumiu-se que a força de tração é transmitida diretamente para cada um dos elementos da seção transversal, o coeficiente de redução da área líquida, C t, é igual a 1. Ainda, para seções submetidas a forças de tração, deve ser verificada a limitação do índice de esbeltez. λ = ( L ) 300 (5) r máx L: comprimento destravado; r: raio de giração correspondente. 2.1.2 Força Axial de Compressão A ABNT NBR 8800:2008 determina que deve ser atendida a seguinte condição no dimensionamento das barras submetidas à força axial de compressão: N c,sd N c,rd (6) N c,sd : Força axial de compressão solicitante de cálculo; N c,rd : Força axial de compressão resistente de cálculo. A força axial de compressão resistente de cálculo, N c,rd, é obtida pela fórmula abaixo: N c,rd = χ Q A g f y γ a1 (7) χ: fator de redução associado à resistência à compressão; Q: fator de redução total associado à flambagem local; A g : área bruta da seção transversal da barra. O fator de redução associado à resistência à compressão, χ, para perfis tubulares, de acordo com a ABNT NBR 16239:2013, pode ser obtido pela expressão:
χ = 1 (1+λ o 4,48 ) 1 2,24 (8) Onde λ o é o índice de esbeltez reduzido e é dado por: λ o = Q A g f y N e (9) Onde N e corresponde a força axial de flambagem elástica. Para os perfis tubulares com dupla simetria, os valores para a força axial de flambagem elástica, N e, podem ser calculados pelas seguintes expressões: a) Para flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia x da seção transversal: N ex = π2 E I x (K x L x ) 2 (10) b) Para flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y da seção transversal: N ey = π2 E I y (K y L y ) 2 (11) c) Para flambagem por torção em relação ao eixo longitudinal z: N ez = 1 E C w r 2 [π2 o (K z L z ) 2 + G J] (12) K x L x, K y L y e K z L z : comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo x, y e z respectivamente. Como as barras são birrotuladas, os valores dos coeficientes de flambagem são iguais a 1. I x e I y : momento de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente; E: módulo de elasticidade do aço; C w : constante de empenamento da seção transversal (considerada nula para os casos estudados); G: módulo de elasticidade transversal do aço; J: Constante de torção da seção transversal; r o : raio de giração polar da seção bruta, dado por: r o = (r x 2 + r y 2 + x 0 2 + y 0 2 ) (13)
Assim, o valor de N e adotado será o menor valor entre N ex, N ey e N ez. Já o fator de redução total associado à flambagem local, Q, das seções tubulares comprimidas depende do tipo de seção. a) Seções tubulares retangulares e quadradas Para as seções tubulares retangulares e quadradas todos os elementos do perfil são classificados em AA (duas bordas longitudinais vinculadas). Se a seções possuírem ( b ) t (b) adota-se o fator de redução total Q igual a 1,00. t lim ( b t ) lim = 1,40 E f y (14) Caso contrário, o valor do fator de redução total Q é equivalente a Qa é dado pela expressão: Q a = A ef A g (15) Onde A g é a área bruta da seção transversal e A ef a área efetiva da seção transversal que é dada por: A ef = A g Σ(b b ef ) t (16) b ef = 1,92 t E [1 c a σ b t E ] b (17) σ b: largura do elemento comprimido AA; t: espessura do elemento comprimido AA; b ef : largura efetiva do elemento comprimido AA. c a : coeficiente, igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares. σ: tensão que pode atuar no elemento analisado. De forma conservadora, pode-se tomar igual a f y. b) Seções tubulares circulares O fator de redução flambagem local da parede para perfis tubulares circulares é dado por: Q = 1 para D t 0,11 E f y (18) Q = 0,038 D t E f y + 2 3 para 0,11 E f y < D t 0,45 E f y (19)
Onde D é o diâmetro externo da seção transversal e t a espessura da seção. A ABNT NBR 8800:2008 também determina a verificação do limite do índice de esbeltez para barras comprimidas que é dado por: λ = ( K L ) 200 (20) r máx K: coeficiente de flambagem; L: comprimento destravado; r: raio de giração correspondente. 2.2 Otimização Visando obter resultados comerciais, nesse artigo foi utilizado um método de otimização discreto, no qual os perfis obtidos no dimensionamento pertencem a tabelas comerciais de perfis de aço disponibilizadas por fabricantes. Foi desenvolvida a otimização dimensional de treliças, na qual as dimensões da seção transversal, como diâmetro, espessura e altura, são consideradas variáveis de projeto (AZAD et al., 2014). Essa técnica se constitui em um procedimento automatizado de alteração da área da seção transversal de cada elemento. Nela são mantidos o número de barras e a forma da treliça. O Algoritmo Genético (AG) é uma técnica de busca utilizada para achar soluções em problemas de otimização, fundamentado principalmente pelo americano John Henry Holland. A ideia inicial de Holland (1975) foi tentar imitar algumas etapas do processo de evolução natural das espécies incorporando-as a um algoritmo computacional. Ele gera a partir de uma população de cromossomos, novos cromossomos com propriedades genéticas superiores às de seus antecedentes. Essa ideia foi então associada a soluções de um problema onde, a partir de um conjunto de soluções atuais, são geradas novas soluções superiores às antecedentes, sob algum critério pré-estabelecido. O AG tem grande probabilidade de encontrar uma solução global ótima, ao contrário de outras técnicas que podem gerar um resultado de um mínimo/máximo local. Para assemelhar-se ao processo de evolução natural, o AG utiliza técnicas inspiradas pela biologia evolutiva como hereditariedade, mutação, seleção natural e recombinação (ou crossing over). 3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Tendo em vista o exposto anteriormente, o problema de otimização para o dimensionamento de treliças com perfis tubulares pode ser definido da seguinte forma:
3.1 Função Objetivo O parâmetro utilizado como base para a otimização é o menor custo. Sendo custo um valor diretamente ligado ao peso dos elementos de aço, a estrutura ótima também é aquela que apresenta o menor peso global. Sendo assim, a função objetivo do problema é dada pela Eq. 21. n F(X) = ρ i=1 (A i L i ) (21) ρ: peso específico do aço; n: número de barras da treliça; A i : área da seção transversal de cada barra; L i : comprimento de cada barra. 3.2 Restrições do Problema As restrições do problema são compostas por funções, podendo ser equações ou inequações, responsáveis por limitar e direcionar o algoritmo de otimização na busca pela solução ótima utilizando os parâmetros de dimensionamento presentes na ABNT NBR 8800:2008 e na ABNT NBR 16239:2013. Para os perfis tubulares foram utilizadas duas categorias de restrições, as referente à análise de esforços no estado limite último e à restrição geométrica relacionada ao limite do índice de esbeltez. 3.3 Restrição dos esforços Para a definição das restrições de segurança dos esforços da estrutura no estadolimite último, são verificados os valores de cálculo dos esforços atuantes em relação aos esforços resistentes. A restrição para barras sujeitas a esforços axiais de tração é dada pela Eq. 22. g(x) = N t,sd N t,rd 0 (22) Para barras comprimidas, a restrição de esforço axial é dada pela Eq. 23. g(x) = N c,sd N c,rd 0 (23) 3.4 Restrição geométrica As restrições relativas ao índice de esbeltez estão presentes em ambos os tipos de esforço axial. Para as barras com esforços axiais de tração a restrição do índice esbeltez é dada pela Eq. 24.
g(x) = λ 300 0 (24) Para as barras sujeitas a esforços axiais de compressão, o limite de índice de esbeltez possui uma restrição mais rígida e é dada pela Eq. 25. g(x) = λ 200 0 (25) 3.5 Limites da solução Como consequência da utilização de uma otimização com variáveis discretas representando perfis comerciais existentes, foi necessário recorrer à utilização de tabelas de perfis para alimentar o algoritmo. As tabelas de perfis tubulares usadas foram retiradas do catálogo de tubos estruturais da Vallourec. Optou-se por usar no vetor variável de projeto, X, a representação dos perfis por meio de um número inteiro positivo equivalente ao número da linha do perfil correspondente na tabela do fabricante. Como resultado dessa escolha, os limites mínimos, X lb, e máximos, X ub, necessitam ser, respectivamente, um e o número da última linha da tabela de perfis. 4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL O programa Truss3D foi desenvolvido no MATLAB na Universidade Federal do Espírito Santo por alunos de projetos de graduação e iniciação científica. Inicialmente, o programa realizava o dimensionamento convencional de estruturas tubulares treliçadas submetidas a carregamentos estáticos. Sua elaboração e seu funcionamento foi explicado em Novelli et al. (2015a). Posteriormente foi implementada a otimização de estruturas tubulares submetidas a carregamento estático utilizando o método de Programação Quadrática Sequencial (Novelli et al., 2015b). Além da otimização com AG, o agrupamento das barras da treliça foi implementado para aproximar o Truss3D de programas comerciais e permitir que o Algoritmo Genético fosse executado mais rapidamente. A possibilidade de agrupamento das barras foi implementado em todo o programa Truss3D incluindo as funções previamente implementadas. Para agrupar as barras, é necessário desenhá-las no AutoCAD com o comando linha com seus layers correspondentes aos grupos desejados. É importante ressaltar que a cada população gerada e testada no processamento do AG, o peso próprio da estrutura é recalculado. Da mesma maneira, os esforços internos são atualizados. Assim, a solução considera o peso das barras com seu perfil ótimo selecionado. 5 EXEMPLOS 5.1 Treliça Plana 1 O primeiro exemplo escolhido para a validação da rotina de otimização utilizando o AG consiste em uma treliça plana composta por 9 barras e com uma carga baixa de 10kN.
A treliça possui 1,0m de altura e 1,0m entre nós nos banzos superior e inferior como mostrado na Figura 1. Selecionou-se o aço VMB250 com módulo de elasticidade E=200000 MPa, resistência ao escoamento do aço f y = 250 MPa e resistência à ruptura do aço f u = 400 MPa. Figura 1. Treliça plana de 9 barras Fonte: (Autor, 2018) Para o dimensionamento convencional foi utilizado o perfil tubular circular de 33,4x3,2mm como a seção inicial para o cálculo dos esforços internos. Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 1. Tabela 1. Resultados Treliça plana de 9 barras Dim. Convencional Otimização AG Esf. Interno Área Esf. Interno Área Barras d t d t [kn] [cm²] [kn] [cm²] 1-0,01 3,04 33,4 3,2-0,01 3,04 33,4 3,2 2 0,06 3,04 33,4 3,2 0,06 3,04 33,4 3,2 3 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2 4 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2 5 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2 6 0,00 3,04 33,4 3,2 0,00 3,04 33,4 3,2 7-9,99 3,04 33,4 3,2-9,99 3,04 33,4 3,2 8-9,99 3,04 33,4 3,2-9,99 3,04 33,4 3,2 9-0,01 3,04 33,4 3,2-0,01 3,04 33,4 3,2 Peso Total 23,5 Kg 23,5 kg É possível observar por meio dos dados apresentados, que ocorreu a correspondência dos perfis escolhidos em ambos os casos. Na prática as barras 1,4,6 e 9 poderiam ser eliminadas, porém como o programa faz a consideração do peso próprio, foi escolhido para essas barras também o perfil mínimo da tabela.
5.2 Exemplo 2 O segundo exemplo de treliça espacial trata-se de um domo de 52 barras como mostrado na Figura 2. As dimensões do domo se encontram na Figura 3. Selecionou-se o aço VMB 250, com módulo de elasticidade E = 200000 MPa, resistência ao escoamento do aço f y = 250 MPa, resistência à ruptura do aço f u = 400 MPa e a seção retangular. Buscando aproximar o exemplo da realidade, agrupou-se todas as barras em um mesmo grupo. Figura 2. Vistas do Domo treliçado Fonte: (Autor, 2018) Figura 3. Dimensões do domo em metros Fonte: (Novelli, 2015a) Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 2.
Grupo Barras Tabela 2. Resultados Domo treliçado Área [cm²] Perfil Retangular PQS b t h Área [cm²] h AG b t 1 TODAS 10.90 79,32 79,32 3,60 13,10 100,00 80,00 4,00 Peso Total 1858.3 kg 2232.6 kg Nesse exemplo é possível observar que o AG gera como solução o perfil tubular retangular comercial mais próximo do resultado obtido pela Programação Quadrática Sequencial, respeitando as menores dimensões possíveis para as restrições aplicadas. 5.3 Exemplo 3 O terceiro exemplo de treliça trata-se de uma estrutura de 27 barras apresentada nas Figuras 4 e 5. Para seus elementos, selecionou-se o aço VMB 300, com módulo de elasticidade E = 200000 MPa, resistência ao escoamento do aço f y = 300 MPa, resistência à ruptura do aço f u = 415 MPa e seção quadrada. Buscando demonstrar o funcionamento do agrupamento, serão apresentados resultados da mesma estrutura agrupada em apenas um grupo (Figura 4) e em três grupos (Figura 5). Figura 4. Treliça espacial agrupada em um único grupo Fonte: (Autor, 2018)
Figura 5. Treliça espacial agrupada em três grupos Fonte: (Autor, 2018) Figura 6. Dimensões da treliça espacial em metros Fonte: (Novelli, 2015a) Os resultados obtidos encontram-se na Tabela 3. Tabela 3. Resultados Treliça espacial agrupada em um único grupo Barras Área [cm²] b t TODAS 9,65 70,00 3,60 Peso Total 433,49 kg
Tabela 4. Resultados Treliça espacial agrupada em três grupos Grupo Barras Área [cm²] AG d t 1 2,6,10,14,16,17,19,20,21,22,24,26 7,85 60,00 3,60 2 1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,23,25 6,41 50,00 3,60 3 15,18 9,65 70,00 3,60 Peso Total 326,1 kg Nesse exemplo é verificada a eficiência do agrupamento. A estrutura com três grupos levou cerca de duas vezes mais tempo para ser otimizada quando comparada à estrutura com um grupo. Além disso, observa-se que a seção selecionada para cada grupo da estrutura agrupada é a maior seção dentre as barras daquele grupo quando comparamos com a estrutura desagrupada. O peso da estrutura agrupada (Tabela 4) é cerca de 33% maior do que da estrutura desagrupada (Tabela 3), porém comercialmente é iniviável construir uma treliça com um perfil diferente para cada barra. 6 CONCLUSÃO Foi possível verificar que a elaboração da rotina de otimização do dimensionamento de treliças tubulares utilizando o método Algoritmo Genético foi bem-sucedida. O resultado foi validado a partir do primeiro exemplo onde já era esperada a convergência da otimização para o perfil mínimo. Quando comparados com as soluções da otimização contínua pelo método da Programação Quadrática Sequencial, os valores das dimensões dos perfis em ambas as otimizações se mostram próximas, indicando que o perfil escolhido na otimização discreta é o perfil comercial mais próximo que atende a todas as exigências normativas para o dimensionamento. Consequentemente, o AG apresenta soluções mais próximas da realidade. Durante implementação da rotina utilizando o Algoritmo Genético percebeu-se a importância da rotina de agrupamento, pois além de aproximar o modelo analisado da realidade construtiva das estruturas, ela também viabilizou a execução da análise. Por se tratar de uma rotina que requer muito esforço computacional, o Algoritmo Genético somente se tonou viável e garantiu uma convergência maior da solução ótima devido à redução do número de variáveis analisadas gerada por meio do agrupamento. Devido aos fatores listados, conclui-se que as ferramentas desenvolvidas obtiveram soluções comerciais para otimização de treliças tubulares, contribuindo para o aperfeiçoamento do programa Truss3D.
REFERÊNCIAS Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 8800: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 2008. Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 16239: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edificações com perfis tubulares. Rio de Janeiro, 2013. Azad, S.; Hasançebi, O.; Saka, M. P. Guided stochastic search technique for discrete sizing optimization of steel trusses: A design-driven heuristic approach. Computers & Structures, v. 134, p. 62-74, 2014. Holland, J. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with application to biology, control, and artificial intelligence. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press, 1975, p. 439-444. Malhotra, R.; Singh, N.; Singh, Y. Genetic algorithms: Concepts, design for optimization of process controllers. Computer and Information Science, v. 4, n. 2, p. 39, 2011. Novelli, L.; Alves, E.; Filho, H.; Garozi, M; Azevedo, M. Ferramenta computacional para o dimensionamento de estruturas tubulares treliçadas. XXVI Iberian Latin American Congress on Computational Methods in Engineering, Rio de Janeiro, 2015a. Novelli, L.; Alves, E.; Filho, H.; Garozi, M; Sias, F.; Azevedo, M. Otimização do dimensionamento de estruturas tubulares Espaciais de aço. XXVI Iberian Latin American Congress on Computational Methods in Engineering, Rio de Janeiro, 2015b.