Mecânica II - FFI0111: Lista #3

Mecânica II - FFI0111: Lista #3 Fazer até 11/04/2011 L.A.Ferreira ; Seg.Qua. 10:10 11:50 Estagiário: Gabriel Luchini 1

Problema 1 A equação de Newton é de segunda ordem no tempo. Você aprendeu que, para uma equação desse tipo, a posição e a velocidade são quantidades independentes, sendo a aceleração a função que depende de ambas. VocêviutambémqueaequaçãodeNewtonéobtidapormeiodaextremalizaçãodaação,sendoaLagrangiana uma função dessas quantidades independentes: L = (q(t), q(t)). Certamente deve haver um motivo pelo qual a Natureza escolhe lagrangianas desse tipo... Imagine agora que tenhamos uma teoria aonde a Lagrangiana é dada por L = (q(t), q(t), q(t)). Usando o princípio de Hamilton, encontre as equações de movimento. Aplique esse resultado para a Lagrangiana e discuta. L = m 2 q q k 2 q2 Problema 2 Seja um cabo flexível de massa M e comprimento L, fixo em suas extremidades nos pontos (de um certo sistema de coordenadas cartesiano) (0,a) e (d,b), sob a ação da gravidade g = (0, g). Determine a forma desse cabo, ou seja, a função y(x). Problema 3 O princípio de Fermat afirma que luz vai de um ponto a outro pela trajetória que minimiza o tempo de viagem. Use esse princípio para provar a lei de Snell n 0 sinθ 0 = n 1 sinθ 1 Problema 4 Considere uma esfera S 2. Imagine inicialmente que essa esfera está imersa em R 3, ou seja, que você pode descrever seus pontos usando as coordenadas (x, y, z). Suponha uma partícula (um ponto) de massa m movendo-se livremente nessa superfície, determinada pela equação de vínculo x 2 + y 2 +z 2 = 1. Escreva a lagrangiana dessa partícula e resolva as equações de movimento, descrevendo assim a trajetória da partícula. Problema 4 continua na próxima página... Page 2 of 6

Problema 4 (continued) Apesar de trivial, fique convencido de que esse sistema é invariante sob rotações. No futuro, veremos que essa invariância implica em leis de conservação. EXTRA (para ser discutido com quem tiver interesse em saber...): A lagrangiana acima fica L(θ, ϕ). Faça uma projeção estereográfica, de modo que o polo sul da esfera está no plano e os pontos da esfera são mapeados em pontos do plano com coordenadas (2cotan θ 2,ϕ), de modo que a nova lagrangiana é L(r,ϕ). Agora,tomeascoordenadascartesianasdesseplano, denotadasporu 1 eu 2. Considereavariávelu u 1 +iu 2, ou seja, façamos o plano ser um plano complexo, por asism dizer. Encontre a nova lagrangiana. Problema 5 No problema anterior, assumimos que a esfera estava imersa num espaço de dimensão maior, o que é muito conveniente, por um lado, mas nem sempre possível por outro. Por exemplo, se quisermos descrever nosso universo, não podemos assumir o mesmo. Consideremos então em cada ponto da esfera um plano infinitesimal, chamado plano tangente, que muda de ponto a ponto, seguindo a trajetória da partícula. Nesse plano construimos um sistema de coordenadas cujos vetores de base são e µ. Assim, o vetor posição de um ponto nesse plano é dado por dl = e µ dx µ, e consequentemente, sua norma fica dl 2 = e µ e ν dx µ dx nu. Para se convencer disso, tome como exemplo o plano euclidiano R 2, aonde dl = e 1 dx 1 + e 2 dx 2. Observe que e 1 = î e e 2 = ĵ. Pronto... é simples assim. Agora, a quantidade g µν e µ e ν é chamada de métrica. No caso do plano euclidiano, verifique que g µν = δ µν, ou seja, é a identidade. Note então que com essa descrição, em cada ponto da trajetória da partícula temos novos vetores de base, ou seja, e µ = e µ (x). Assim, a métrica depende dos pontos da esfera: g µν = g µν (x), mas certamente, não da velocidade. Tendo então que a distância medida na esfera é dada por dl 2 = g µν dx µ dx ν, queremos agora encontrar qual deve ser a trajetóriax(t) tal que a minimize (na veradde, que deixe a ação dtdl 2 extrema). Paratornar a situação mais interessante, ou seja, para dar uma realidade física a este problema, tomamos a lagrangiana como sendo L = m 2 g µνẋ µ ẋ ν, i.e., basicamente a própria distância entre os pontos na esfera. Substitua essa lagrangiana nas equações de Euler-Lagrange e ache as equações de movimento. Use a definição 1 A métrica da esfera unitária é dada por 1 g µν são os elementos da matriz inversa g 1. Γ ρ µν = 1 2 gρλ ( µ g νλ + ν g µλ λ g µν ). g = 1 0 0 0 1 0 0 0 sin 2 θ. Problema 5 continua na próxima página... Page 3 of 6

Problema 5 (continued) Calcule os coeficientes Γ acima, substitua na equação de movimento e obtenha o mesmo resultado do exercício anterior. Problema 6 Encontre a trajetória de uma partícula livre na superfície de um plano, da maneira que você achar mais conveniente. Agora, suponha que uma das dimensões desse plano seja compactificada, tornando-o um cilindro. Encontre a trajetória da partícula livre nessa nova superfície. Problema 7 Uma conta de massa m move-se num aro de raio R sem atrito sob ação de um campo gravitacional, como na figura. O raio gira com velocidade angular constante ω em torno do eixo vertical. Seja θ a posição da conta, medida a partir do ponto mais baixo no aro. Encontre os pontos de equilíbrio de θ em termos de ω. Discuta L a estabilidade e a frequência de oscilação em torno do ponto de equilíbrio estável. Calcule E = θ L. θ Essa quantidade é conservada? Compare com a energia do sistema. Problema 8 Considere um pêndulo no plano XY, de massa m e comprimento l, sendo a gravidade g = (0, g). Suponha que a base do pêndulo move-se com y = a(t). Encontre a lagrangiana e as equações de movimento. Mostre que o pêndulo move-se como se em um campo de gravitação g + ḧ. Considere o caso particular em que a(t) = Asinωt. Problema 8 continua na próxima página... Page 4 of 6

Problema 8 (continued) Problema 9 Suponha um pêndulo composto por uma massa m, suspensa por uma mola de constante k, que tem comprimento natural l, restrito a se mover no plano. Escreva a lagrangiana e encontre as equações de movimento. Problema 10 Uma partícula de massa m move-se na superfície interna de um cone com meio ângulo θ. O cone tem seu ápice na origem e sua base a uma altura positiva no eixo Y, ou seja, sua abertura é para cima. A gravidade age verticalmente para baixo. Suponha que o cone tenha uma rotação com velocidade angular ω em torno de seu eixo de simetria. Para que a partícula de massa m fique parada a uma altura h, encontre qual deve ser o valor de ω. Suponha agora que ω = 0. Encontre as equações de movimento de m. Encontre órbitas estáveis para o movimento. Problema 11 Considere a lagrangiana de uma partícula livre L = m 2 (ẋ2 +ẏ 2 +ż 2 ). Escreva essa lagrangiana nas coordenadas r = R 3 (φ) r, aonde φ = ωt, e R 3 é a matriz de rotação em torno do eixo z. Verifique que as equações de movimento são equações para uma partícula sob ação de uma força, composta por uma parte proporcionala ω (Coriolis), uma proporcional a ω 2 (centrífuga) e outra a ω (Euler). Page 5 of 6