BC-0506: Comunicação e Redes Leis de Potência Santo André, 2Q2011 1
Leis de Potência Introdução Distribuições de probabilidade Leis de potência e escalas logarítmicas Interpretando as leis de potência 2
Parte 1: Introdução
Sistemas complexos e leis de potência Nas últimas décadas do século XX, parte da comunidade dos físicos passou a se interessar pela dinâmica de sistemas ditos complexos, cujas partes interagem de forma não-linear. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presença de leis de escala ou leis de potência. [1] [1] Iram Gleria; Raul Matsushita; Sergio Da Silva. Sistemas complexos, criticalidade e leis de potência. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol.26, no.2, São Paulo, 2004. 4
Sistemas complexos e leis de potencia Leis de potência são observadas em diversos contextos, de biologia até o comportamento de bolsas de valores. A tentativa de se construir um esquema teórico geral para esses fenômenos deu origem a novos ramos da física, como a teoria do caos e a física dos sistemas complexos. [1] 5
Parte 2: Distribuições de probabilidade 6
Distribuições gaussianas Quando um estatístico estuda certos dados, ele utiliza uma ferramenta indispensável: um gráfico em forma de sino que representa a distribuição gaussiana ou normal dos dados 7
Distribuições gaussianas As distribuições gaussianas são definidas a partir de uma função densidade de probabilidades que se escreve da seguinte forma: onde x é a variável aleatória, é a média da distribuição, e denomina-se desvio-padrão. 8
Exemplo Desejamos medir o comprimento de uma mesa, que será nossa variável aleatória x. Ao realizarmos N medidas sucessivas obtemos uma estimativa do valor médio por tende ao valor de Dessa forma temos que: a medida que N tende ao infinito Onde k é uma constante Ou seja, o desvio-padrão dá-nos uma boa aproximação do erro cometido na estimação da média 9
Teorema do limite central Distribuições gaussianas são, supostamente, a norma da natureza, cuja larga aplicabilidade resulta do teorema do limite central : Em qualquer caso onde um grande número de eventos aleatórios independentes contribuem para um determinado resultado, este seguirá a distribuição normal. 10
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Eventos não-gaussianos A natureza segue uma curva normal. Porém, mesmo eventos não-gaussianos podem ainda apresentar um tipo de regularidade na forma de leis de potência não-gaussianas. Os sistemas com escala descrevem quase tudo na natureza, às vezes até sistemas desordenados. A distribuição de gotas de chuva na calçada tem uma escala característica: basta focalizarmos cada vez mais para encontrar que o diâmetro médio é uma gota. 13
Parte 3: Leis de potência e escalas logarítmicas 14
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A Regra 80-20 O princípio de Pareto, também conhecido como a regra 80-20, entre outros nomes, estabelece que, para muitos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos (consequências) são provenientes de 20% das causas. [3] O economista italiano Vilfredo Pareto, que observou em 1906 que 80% das terras na Itália eram pertencentes à 20% da população, devenvolveu o princípio pela observação de que 20% das vagens de ervilha em seu jardim continham 80% das ervilhas. [3] http://en.wikipedia.org/wiki/80-20_rule 16
Aplicações da Regra 80-20 80-20 é uma regra de ouro nos negócios; por exemplo, "80% de suas vendas vêm de 20% de seus clientes." Matematicamente, quando algo é compartilhado entre um conjunto suficientemente grande de participantes, deve haver um número k entre 50 e 100% tal que k% desse conjunto é utilizado por (100 - k)% dos participantes. k pode variar de 50 (no caso da distribuição uniforme) para cerca de 100 (quando um pequeno número de participantes são responsáveis por quase todos os recursos). Não há nada especial sobre o número de 80% matematicamente, mas muitos sistemas reais terão esse número k em algum lugar onde haverá desequilíbrio na distribuição. 17
Regra 80-20 e Leis de Potência O Princípio de Pareto é uma ilustração de uma relação de leis de potência, o que também ocorre em fenômenos como incêndios florestais e terremotos. Por ser auto-similar ao longo de um vasto leque de magnitudes, produz resultados completamente diferentes dos fenômenos de distribuição gaussianos. Este fato explica às frequentes quebras de sofisticados instrumentos financeiros, que são modelados no pressuposto de que uma relação gaussiana é adequado para, por exemplo, tamanhos de movimento de mercado (ações). 18
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Definição A lei de potência é uma relação polinomial que exibe a propriedade de invariância de escala. As leis de potência mais comuns relacionam duas variáveis e têm a forma onde a e k são constantes, e o(x k ) é uma função assintoticamente pequena de x k. k normalmente é chamado o expoente de escala, onde a palavra "escala" denota o fato de que uma função de lei de potência satisfaz: onde c é uma constante 20
Escalando a função Um re-escalonamento (redimensionamento) do argumento da função muda a constante de proporcionalidade, mas preserva a forma da função propriamente dita. Este ponto se torna mais claro se tomarmos o logaritmo de ambos os lados: log(f(x)) = k.log(x) + log (a) Note que esta expressão tem uma relação linear com a inclinação k. Reescalando o argumento produz um deslocamento linear da função para cima ou para baixo, mas deixa tanto o formato básico quanto a inclinação k inalterada. 21
Propriedade: Invariância à Escala A principal propriedade das leis de potência que as tornam interessantes é a sua invariância à escala. Dada a relação f(x) = a.x k, escalonando o argumento x por um fator constante causa apenas um escalonamento proporcional da própria função. Isto é: Isto significa que ao escalonar por uma constante, simplesmente multiplica-se a relação de lei de potência original pela constante c k. Um exemplo de invariância a escala são os fractais: Eles permanecem iguais não importando quanto nos aproximamos ou distanciamos do grafo 22
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Parte 4: Exemplos de leis de potência em redes e grafos 24
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Aplicações Alguns exemplos notáveis de leis de potência são a lei Gutenberg-Richter para tamanhos de terremoto, a lei de Pareto da distribuição de renda, a auto-similaridade estrutural dos fractais e leis de escala em sistemas biológicos. Leis de potência é um tema de pesquisa ativa em muitos campos da ciência, incluindo física, ciência da computação, linguística, geofísica, sociologia, economia e muito mais. 26
Distribuição de leis de potência Veremos através de uma comparação de características entre uma mapa rodoviário e um mapa de rotas aéreas 27
Distribuição de leis de potência No mapa rodoviário as cidades são os nós e as autoestradas conectando elas são as arestas. Esta é uma rede razoavelmente uniforme: cada grande cidade possui pelo menos uma conexão com o sistema se autoestradas, e não há cidades servidas por centenas de estradas. A maioria dos nós são similares, grosseiramente com o mesmo número de conexões. No mapa de rotas aéreas os nós são aeroportos conectados entre si por vôos diretos entre si. Existem alguns hubs, de onde vôos partem para quase todos os demais aeroportos. A grande maioria dos aeroportos são pequenos, aparecendo como nós com no máximo poucos vôos conectando-os com um ou mais hubs. Portanto, poucos hubs se conectam com muitos pequenos aeroportos. 28
Distribuição Leis de potência formulam matematicamente o fato que em redes reais a maioria dos nós possuem apenas poucos links e que estes numerosos pequenos nós coexistem com poucos grandes hubs nós com grande número de links. Nesse caso, não há nós com número de links próximo da média, como visto nas redes aleatórias. Essa distribuição pelos extremos de um gráfico estatístico, com relação ao número de links, leva ao conceito de redes sem-escala. 29
Distribuição A distribuição de uma rede aleatória Segue curva tipo Sino, onde a maioria dos nós possui o mesmo número de links A distribuição de lei de potência das redes sem-escala prediz que a maioria dos nós tem poucos links mantidos juntos com hubs altamente conectados. 30
Rede de Alcance Mundial World Wide Web (WWW) A Web forma uma rede de informação, funcionando como um serviço da Internet Páginas contém links para outras páginas Algumas páginas são extremamente mais referenciadas do que outras (grandes portais, por exemplo) Algumas páginas referenciam uma quantidade enorme de outras páginas (mecanismos de busca, como o Google) 31
Distribuição - WWW Exemplo de Variável Aleatória Número de links (referências) de cada Página Web para outras Páginas Web Segue distribuição de uma lei de potência 32
Redes de Citações de Artigos Artigos citam outros artigos Estrutura: alguns pesquisadores publicam muito mais e são muitos mais citados do que outros Ex. de variável aleatória: número de citações, recebidas ou realizadas por cada artigo (ou autor); numero de vértices; etc. distribuição de lei de potência 33
Redes de Citações de Artigos Redes de Citações são acíclicas pois os artigos somente podem citar outros artigos que já tenham sido escritos, mas não aqueles que ainda não foram escritos. Em um estudo quantitativo de Alfred Lotka s, de 1926, discobriu-se o que foi conhecido como Lei da Produtividade Científica: A distribuição do número de artigos escritos por cientistas seguem uma lei de potência. Isto é, o número de cientistas que tenham escritos k artigos tem decaimento de k a, sendo a constante. 34
Redes de Citações de Artigos A rede formada por citações foi discutida num artigo de Price [1965], em que entre outras coisas, o autor aponta pela primeira vez que ambas distribuições (indegree e out-degree) da rede, seguem as leis de potência. Muitos outros estudos de redes de citações foram realizadas desde então, inclusive usando os recursos cada vez melhores disponibilizadas em bancos de dados de citações. 35
Parte 5: Interpretando as leis de potência em redes e grafos 36
Conceituação: Grau da Rede - Degree Grau da Rede - Degree: é o número de arestas conectadas a um vértice Note que o grau não é necessariamente igual ao número de vértices adjacentes a um vértice, pois podem haver mais de uma aresta entre dois vértices quaisquer Um grafo direcionado possui ambos tipos de grau: um in-degree (grau de entradas) e um out-degree (grau de saídas) para cada vértice, que denotam o número de arestas entrando e saindo, respectivamente. 37
Distribuições do Grau da Rede Definimos p k como sendo a porção de vértices da rede que possuem grau k. Equivalentemente, p k é a probabilidade que um vértice escolhido de maneira aleatória tenha um grau k. Um gráfico de p k para qualquer rede pode ser formado pela construção do histograma dos graus dos vértices da rede. Este histograma é a distribuição de grau da rede. 38
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Histograma de Grau A medição dessa cauda é um pouco complicada. Na prática raramente tem-se medições suficientes para conseguir boas estatísticas na cauda, e histogramas diretos são geralmente ruidosos. Existem duas formas para contornar este problema. A primeira é construir um histograma no qual os tamanhos das faixas aumentam exponencialmente com o grau. Por exemplo, as primeiras faixas podem cobrir graus 1,2-3, 4-7, 8-15, e assim por diante. O número de amostras em cada faixa é então dividido pela largura da faixa para normalizar a medição. 40
Histograma de Grau Usado quando o histograma será traçado com uma escala logarítmica de grau As larguras das faixas vão parecer iguais. Como as faixas ficam mais largas a medida que vamos em direção a cauda, os problemas com as estatísticas são reduzidos Mas eles ainda estão presentes, pois pk decai mais rápido do que k 41
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Função distribuição cumulativa Na figura a seguir, apresentam-se as distribuições cumulativas do grau de rede, para várias das redes mencionadas anteriormente. Conforme mostrado na figura, as distribuições são de fato inclinadas para a direita. Muitas delas seguem as leis de potência nas suas caudas: p k ~ k a para um expoente constante a. 43
Distribuições de Grau Acumuladas [Newman]. 44
Exercícios Para os grafos dados a seguir: Calcule o grau de todos os vértices do grafo (indegree e out-degree, para grafos direcionados) Calcule a média dos graus dos vértices Calcule e esboce um histograma dos graus Calcule e esboce a distribuição cumulativa das probabilidades de graus 45
Grafos do exercício a) b) c) d) 46
Referências Barabasi, A.L., Linked: How Everything Is Connected to Everything Else and What It Means for Business, Science and Everyday Life, Plume, 2003. Newman, M., The Structure and Function of Complex Networks, Siam Review, Vol. 45, No 2, pp.167 256, 2003. Clauset, A.; Shalizi, C.R.; Newman, M., Power-law distributions in empirical data, Siam Review, Vol. 51, No 4, pp.661 703, 2009. 47