Minicurso Aula 3: Técnicas de Demonstração Matemática. Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant Curso de Verão 2009 DEX - UFLA

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1 Minicurso Aula 3: Técnicas de Demonstração Matemática Anliy Natsuyo Nashimoto Sargeant Curso de Verão 2009 DEX - UFLA

2 Bibliografia Garbi, Gilberto G., O romance das equações algébricas. Ed Makron Books, 1997.

3 As Primeiras Manifestações da Matemática de anos atrás: Os primeiros hominídeos a adotar a postura bípede surgiram na África. Entre e anos atrás: o homem moderno, homo sapiens sapiens, surgiram na África e emigrou para os demais continentes anos atrás: os registros arqueológicos indicam uma revolução intelectual. As ferramentas tornaram mais sofisticadas e produzidas em grande escala.

4 anos atrás: pinturas de animais em cavernas na França e Espanha anos atrás: foi inventada a agricultura no Oriente Médio.

5 Tales de Mileto O primeiro grande matemático grego. Devemos a ele a primeira profunda transformação pela qual passou a matemática. Talles visitou o Egito e a Babilônia e de lá trouxe para a Grécia o estudo da Geometria, ao invés de somente transmitir, introduziu um conceito revolucionário: As verdades matemáticas precisam ser demonstradas.

6 Tales de Mileto A partir daí começaram as demonstrações dos teoremas. Surge a Matemática Dedutiva.

7 Euclides Talles revolucionou o pensamento matemático ao estabelecer que as verdades precisam ser demonstradas. Euclides manteve este conceito, mas fez uma ressalva: Nem todas as verdades podem ser provadas; algumas delas, as mais elementares, devem ser admitidas sem demonstração.

8 Euclides Os Elementos, escrito em 13 livros, organiza todo o conhecimento geométrico (daquele período), de forma rigorosa e dedutiva, partindo de um número mínimo de definições e axiomas.

9 Voltemos para as técnicas Na Proposição1 da aula passada a pergunta-chave era Como posso provar que o triângulo é isósceles? Usamos uma definição para responder a pergunta-chave. Definição: Um triângulo é isósceles se dois de seus lados tem a mesma medida.

10 Definições e Axiomas Uma definição em matemática é um acordo, de todas as partes interessadas, sobre o significado de um termo particular. Conceitos matemáticos que aparecem repetidamente. Uma definição pode ser vista como uma abreviação de um conceito particular.

11 Exemplo: Definição 1: Um inteiro positivo p>1 é primo se os únicos inteiros positivos que dividem p são 1 e p. É muito mais simples dizer primo do que um inteiro positivo maior do que um...

12 Definições As vezes utiliza-se se, e somente se, em definições no lugar de se. Por exemplo: Definição 2: Um inteiro n é par se, e somente se, o resto da divisão de n por 2 é 0.

13 Definições Pode existir mais do que uma definição para um mesmo conceito, por exemplo, a noção de um inteiro par: A: n é um inteiro cujo o resto da divisão por 2 é 0. B: n é um inteiro que pode ser expresso com 2 vezes algum inteiro.

14 Definições É preciso estabelecer a equivalência das definições. É preciso mostrar que A implica B e B implica A. Estabelecida a equivalência das definições, podemos utilizar qualquer uma das definições.

15 Definições Proposição 2: Se n é um inteiro par, então n² é um inteiro par. Vamos utilizar o método progressivoregressivo. Pergunta-chave: Como posso demonstrar que um inteiro é par? Uma resposta seria: B1: n² pode ser expresso com 2 vezes algum inteiro.

16 Definições A única questão é: qual inteiro? A resposta vem do processo progressivo. A1: n=2k. Elevando ao quadrado ambos os lados de A1 obtemos A2: n²=(2k)(2k)=2(2k²) Portanto, n² pode ser expresso como 2 vezes algum inteiro, tal inteiro sendo 2k² e isto completa a prova.

17 Definições Prova da Proposição 2. Por hipótese n é um inteiro par, logo existe um k para o qual n=2k. Assim, n²=(2k)²=2(2k²) e, portanto n² é um inteiro par.

18 Axiomas Um axioma é uma sentença ou proposição que não pode ser demonstrada e é considerada como óbvio ou como um consenso inicial necessária para a construção de uma teoria. Os axiomas não podem ser derivados por princípio de dedução. Exemplo: A menor distância entre dois pontos é uma linha reta.

19 Axiomas Exemplos de axiomas que aparecem nos Elementos de Euclides: a) Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si. b) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem iguais. c) Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais.

20 Quantificadores I: O Método por Construção Existem outras técnicas de demonstração para formular e responder a pergunta-chave quando B (conclusão ou tese) tem uma forma especial. Duas formas particulares aparecem em todo ramo da matemática. Eles são sempre identificados por certas palavras-chaves.

21 Quantificadores I: O Método por Construção O primeiro tem a palavra existe (existem). O segundo tem a palavra para todo (para cada, para algum). Esse grupo de palavras são denominados quantificadores. Os do primeiro grupo são chamados quantificadores existenciais e do segundo quantificadores universais.

22 Quantificadores I: O Método por Construção Vamos falar primeiro dos quantificadores existenciais: existe (existem). Vamos relembrar a definição (alternativa) de inteiro par. Definição: Um inteiro n é par se, e somente se, existe um inteiro k tal que n=2k. Observamos que o quantificador existe permite que haja mais do que um de tal objeto.

23 Quantificadores I: O Método Por exemplo: por Construção Definição: Um inteiro n é quadrado se existe um inteiro k tal que n=k². Se n é um inteiro não nulo quadrado, então existem dois valores de k que satisfaz n=k². Por exemplo, se n=25, então k=5 ou -5.

24 Quantificadores I: O Método por Construção Cada vez que o quantificador existencial aparecer a proposição terá a seguinte forma padrão: Existe um objeto com uma certa propriedade tal que algo acontece.

25 Quantificadores I: O Método por Construção Exemplo: Existe um inteiro x>2 tal que x²-5x+6=0. Objeto: inteiro x. Certa propriedade: x>2. Algo acontece: x²-5x+6=0.

26 Quantificadores I: O Método por Construção Exemplo: Existem números reais x e y ambos > 0 tais que 2x+3y=8 e 5x-y=8. Objeto: números reais x e y. Certa propriedade: x>0 e y>0. Algo acontece: 2x+3y=8 e 5x-y=8.

27 Quantificadores I: O Método por Construção Exemplo: Existe um ângulo t tal que cos(t)=t. Objeto: ângulo t. Certa propriedade: nenhuma. Algo acontece: cos(t)=t.

28 Quantificadores I: O Método por Construção Agora quando encontramos a palavra existe no processo regressivo, então precisamos mostrar que: B: Existe um objeto com uma certa propriedade tal que algo acontece. Uma forma é usando o método por construção.

29 Quantificadores I: O Método por Construção Queremos provar que A implica B é verdadeira. Suponhamos que obtemos uma proposição no processo progressivo que contenha o quantificar existe na forma padrão: A: Existe um objeto com uma certa propriedade tal que algo acontece. A técnica para trabalhar com tal objeto no processo progressivo é direta e não há um nome especial.

30 Quantificadores I: O Método por Construção Proposição 3: Se a,b,c,d e f são números reais tais que ad-bc 0, então as duas equações ax+by=e e cx+dy=f possuem solução reais para x e y. Vamos usar o método regressivo. Você percebe a existência do quantificador existencial? Vamos reescrever a conclusão.

31 Quantificadores I: O Método por Construção B: Existem números reais x e y tais que ax+by=e e cx+dy=f. A primeira etapa do método de construção é identificar o objeto, certa propriedade e algo acontece. Objeto: números reais x e y. Certa propriedade: nenhuma. Algo acontece: ax+by=e e cx+dy=f.

32 Quantificadores I: O Método por Construção A próxima etapa é construir estes números reais. Se você chutou que x=(de-bf)/(ad-bc) e y=(af-ce)/(ad-bc), então você é muito bom. Observe que usamos a informação da hipótese nesse chute pois o denominador deve ser diferente de zero.

33 Quantificadores I: O Método por Construção Construir estes objetos (no caso x e y) não constitui uma prova. Precisamos mostrar que satisfaz certas propriedades e que algo acontece. No nosso caso precisamos mostrar que para aquele x e y, ax+by=e e cx+dy=f. Para fazer isso fazer escrever o seguinte:

34 Quantificadores I: O Método Note que ad-bc o, por Construção A1: x=(de-bf)/(ad-bc) e y=(af-ce)/(ad-bc) É preciso mostrar que esse valores de x e y, B1: ax+by=e e cx+dy=f. O restante da prova consiste em trabalhar diretamente (ou progressivamente) de A1 usando álgebra para mostrar que B1 é verdadeira.

35 Quantificadores I: O Método por Construção O chute é aceitável, mas não informa como obter os valores desejados de x e y. Vamos então fazer algo mais didático. Pelo método regressivo vimos x e y devem satisfazer : ax+by=e (1) cx+dy=f (2) Multiplicando (1) por d e (2) por b e então subtraindo (1) e (2) obtemos:

36 Quantificadores I: O Método por Construção (ad-bc)x=de-bf (3) Por hipótese ad-bc 0, então podemos dividir (3) por ad-bc e obtemos: x=(de-bf)/(ad-bc) De forma análoga obtemos y=(af-ce)/(ad-bc). Novamente, não basta construir o objeto é preciso mostrar que satisfaz certas propriedades e que algo acontece.

37 Prova da Proposição 3: Multiplicando a equação ax+by=e por d e a equação cx+dy=f por b, e então subtraindo ambas as equações obtemos (ad-bc) x=(de-bf). Pela hipótese, ad-bc 0, e então dividindo por ad-bc obtemos x=(de-bf)/(ad-bc). Um argumento similar mostra que y=(af-ce)/(ad-bc). Não é difícil de verificar que para estes valores de x e y, ax+by=e e cx+dy=f.

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