CAPÍTULO 4 67 4. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL COM FORÇAS CONSTANTES Consideremos um bloco em contato com uma superfície horizontal, conforme mostra a figura 4.. Vamos determinar o trabalho efetuado por uma força F para deslocar o bloco de um certo. O trabalho W de uma força constante F deslocamento é definido por W = F i = onde θ é o ângulo entre F e o eio dos. Figura 4. que provoca, no ponto de aplicação, um ( F i ) i = ( Fcosθ i ) i - W será positivo se F e tiverem sinais iguais. - W será negativo se F e tiverem sinais opostos. Unidades de trabalho no SI: J = N.m 4. O TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA W = Fcosθ 4. Há uma importante relação entre o trabalho efetuado sobre uma partícula, ou corpo rígido, e as velocidades inicial e final destes. dá Se F é a resultante das forças que atuam sobre uma partícula, a segunda lei de Newton nos F = ma 4. O trabalho efetuado pela resultante das forças é igual ao trabalho total efetuado sobre a partícula
68 W total = F = ma 4.3 Se a força for constante, a aceleração é constante, e podemos escrever a equação de Torricelli Substituindo a equação 33 na equação 3, temos v f ( v v ) f i = vi + a a = 4.4 W total = mvf mvi = K f Ki 4.5 onde mv / é a energia cinética K da partícula, e é uma grandeza escalar. Logo, o trabalho efetuado sobre uma partícula é a variação da energia cinética da partícula. Eemplo 4-: Um trenó é rebocado por uma pessoa sobre um campo gelado. A pessoa pua o trenó (massa total de 80 kg) com uma força de 80 N, fazendo um ângulo de 0 com a horizontal. Calcular (a) o trabalho efetuado pela pessoa e (b) a velocidade do trenó depois de cobrir 5 m. Admitir que o trenó parte do repouso e que a força de atrito é desprezível. a) Diagrama de Forças ( Fcos 0 ) = ( 80N)( cos0 )( 5m) 846J Wtotal = F = = W total = 846J
b) O teorema da energia cinética nos leva à velocidade final: 69 W total = mvf mvi = mv f v W m total f = = ( 846J) 80kg v f = 4,60 m /s 4.3 TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL Muitas forças variam com a distância. A força de uma mola espiral, por eemplo, é proporcional à etensão ou à compressão da mola. A força gravitacional da Terra sobre uma nave espacial varia inversamente ao quadrado da distância entre os dois corpos. Uma força variável pode ser aproimada por uma seqüência de forças constantes (figura 4.), sobre pequenos intervalos. Figura 4. O trabalho de cada força resultante, no respectivo intervalo, é representado pela área do retângulo correspondente. A soma dessas áreas corresponde ao trabalho efetuado pelas forças constantes que são aproimações da força variável. No limite de muito pequeno, a soma das áreas dos retângulos é a área subtendida pela curva toda. Dessa forma, W = lim F i = i 0 i área subtendida pela curva de F contra 4.6 O limite da soma é a integral de F sobre. Então, o trabalho da força variável F que atua sobre uma partícula que se desloca de até é W = F d = área subtendida pela curva de F contra 4.7
70 Eemplo 4-: Uma força F varia com conforme mostra o gráfico da figura abaio. Calcular o trabalho feito pela força sobre uma partícula que se desloca, sob a sua ação, de = 0 até = 6 m. O trabalho é a área subtendida pela curva de F contra : W = A = A + A W = = ( 5N)( 4m) + ( 5N)( m) 5J Eemplo 4-3: Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal que eerce uma força dada pela lei de Hooke F = k i com k = 400 N/m e em metros medido a partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em = -5 cm. Calcular (a) o trabalho feito pela mola sobre o corpo no deslocamento de = - 5 cm até a posição de equilíbrio = 0 e (b) a velocidade do corpo em = 0. a) O trabalho W da mola sobre o corpo é a integral de F d de = - 5 cm até = 0. W = F d = 0 k d = k 0 + d = k + 0 = k ( 0 ) W = ( 400N / m)( 0,05m) = 0,5 J Podemos também calcular o trabalho fazendo o gráfico da força F contra :
7 O trabalho é a área sob a curva: W = ( 0,05m)( 0N) = 0,5 J b) Com o teorema da energia cinética e v = 0 podemos calcular v : W = mv = mv mv ( 0,5J) W v = = = 0,5 m /s m 4kg 4.4 EM TRÊS DIMENSÕES Em três dimensões o trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento onde F é a força e r é o deslocamento sofrido pelo corpo. W = F r 4.8 Em três dimensões o trabalho também é proporcional à variação da energia cinética, de tal modo que podemos escrever W = K K = K 4.9 4.5 ENERGIA POTENCIAL E FORÇAS CONSERVATIVAS f Uma força é conservativa se for nulo o trabalho que ela efetua sobre uma partícula que descreve uma trajetória fechada e retorna à posição inicial. Dessa forma, o trabalho efetuado por uma força conservativa não depende da trajetória da partícula, mas somente dos pontos inicial e final. A energia potencial associada ao trabalho é i W = U = U f U i 4.0
7 - Energia potencial gravitacional nas vizinhanças da superfície da Terra: U = U0 + mgh 4. onde U 0 é uma constante, e seu valor é o valor da energia potencial em h = 0. - Energia potencial de uma mola: K U = 4. 4.6 POTÊNCIA A potência P proporcionada por uma força é a taa temporal com que ela efetua trabalho. Seja uma partícula com a velocidade instantânea v. Num pequeno intervalo de tempo dt, o deslocamento da partícula é v dt. O trabalho feito neste intervalo de tempo é dw = F r = F v dt 4.3 A potência então é dada por: dw P = = F v 4.4 dt Unidade de potência no SI: [P] = W (watt) = J/s Eemplo 4-4: Um pequeno motor é usado para operar um elevador de carga que movimenta um lote de tijolos, de 800 N, até uma certa altura de 0 m, em 0 s. Qual a potência mínima do motor? a) Diagrama de Forças y F P
73 y 0m Velocidade dos tijolos: v = = = 0,5m / s t 0s Potência do motor: P = F. v = (800 N) (0,5 m/s) = 400 Nm/s = 400 J/s = 400 W P = 400 W 4.7 POTÊNCIA CONSTANTE COM ACELERAÇÃO Imaginemos a força resultante F atuando sobre uma partícula em uma dimensão. A taa temporal do trabalho efetuado pela força é P = F v 4.5 mas F = m a,0 dv d dk P = ma v = m v = mv = 4.6 dt dt dt Sendo P constante, e integrando sobre t, P t = K (potência constante) 4.7 O intervalo de tempo para um avião ou automóvel, acelerar, a potência constante, de uma velocidade a outra é proporcional à variação de energia cinética. 4.8 RENDIMENTO Uma máquina em que o trabalho recebido é igual ao trabalho produzido é chamada de máquina ideal. Em uma máquina real, as forças de atrito sempre efetuarão algum trabalho, e o trabalho produzido será menor que o trabalho recebido. O rendimento mecânico de uma máquina é definido pela relação η = trabalho produzido trabalho recebido 4.8 η = máquina ideal η < máquina real
74 4ª LISTA DE EXERCÍCIOS. Para puar um caiote de 50 kg em um piso horizontal sem atrito, um trabalhador aplica uma força de 0 N, fazendo um ângulo de 0 para cima medido a partir da horizontal. Quando o caiote se move de 3,0 m, qual o trabalho realizado sobre o caiote (a) pela força do trabalhador, (b) pela força gravitacional que atua sobre o caiote e (c) pela força normal que o piso eerce sobre o caiote? (d) Qual é o trabalho total realizado sobre o caiote? R: a) 590 J; b) 0; c) 0; d) 590 J. Um trenó pequeno, de um lugar, e seu piloto, com uma massa total de 85 kg, emergem de uma trilha em declive para uma trilha reta e horizontal com uma velocidade inicial de 37 m/s. Se eles param com uma desaceleração constante de,0 m/s, (a) qual a intensidade F da força necessária para esta desaceleração, (b) qual a distância d que eles percorreram enquanto eram desacelerados e (c) qual o trabalho W realizado sobre eles pela força de desaceleração? Quais os valores de (d) F, (e) d e (f) W para uma desaceleração de 4,0 m/s? R: a) 70N; b)340 m; c) 5,8 0 4 J; d) 340 N; e) 70 m; f) 5,8 0 4 J 3. A figura ao lado mostra três forças aplicadas a um baú que se move para a esquerda por 3,0 m sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F = 5,00 N, F = 9,00 N e F 3 = 3,00 N. Durante o deslocamento, (a) qual é o trabalho resultante que as três forças realizam sobre o baú, e (b) a energia cinética do baú aumenta ou diminui? Justifique. R: a),50 J; b) aumenta 4. A figura ao lado mostra uma vista superior de três forças horizontais agindo sobre uma caia de carga que estava inicialmente em repouso, mas que agora se move em um piso sem atrito. As intensidades das forças são F = 3,00 N, F = 4,00 N e F 3 = 0,00 N. Qual é o trabalho resultante realizado sobre a caia pelas três forças durante os primeiros 4,00 m de deslocamento? R: 5,3 J 5. Na figura abaio, uma corda passa por duas roldanas de massas e atritos desprezíveis; uma lata cilíndrica metálica de massa m = 0 kg está pendurada em uma das roldanas. Se você eercer uma força F sobre a etremidade livre da corda, (a) qual deve ser a intensidade de F a fim de que a lata seja suspensa com velocidade constante? (b) Para suspender a lata de,0 cm, quantos centímetros você deve puar a etremidade livre da corda? Durante esse levantamento, qual é o trabalho realizado sobre a lata (c) pela sua força (transmitida via corda) e (d) pela força gravitacional sobre a lata? (Sugestão: Quando uma corda passa em volta de uma roldana como mostrado, ela pua a roldana com uma força resultante que é o dobro da tração na corda.) R: a) 98,0 N; b) 4,0 cm; c) 3,9 J; d) 3,9 J
75 6. Uma corda é usada para baiar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso, com uma constante aceleração para baio de g/4. Quando o bloco tiver caído uma distância d, encontre (a) o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco, (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade do bloco. R: -3Mgd/4; b) Mgd; c) Mgd/4; d) gd / 7. Uma mola com constante de mola de 5 b N/cm tem uma gaiola presa a uma das suas etremidades (figura abaio). (a) Quanto trabalho a força da mola realiza sobre a gaiola quando a mola for esticada de 7,6 mm a partir de sua posição indeformada? (b) Quanto trabalho adicional será realizado pela força da mola quando a mola for esticada outros 7,6 mm? R: a) 0,43 J; b) 0,3 J 8. Uma partícula de 3 kg tem a velocidade de m/s quando está em = 0. Sobre a partícula atua uma única força F que varia com a posição, como mostra o gráfico da figura abaio. (a) Qual a energia cinética da partícula em = 0? (b) Que trabalho é feito pela força quando a partícula se desloca de = 0 até = 4 m? (c) Qual a velocidade da partícula em = 4 m? R: a) 6 J; b) J; c) 3,46 m/s 9. Uma força F atua sobre uma partícula. A força varia com a posição conforme a equação F = C 3, em que C é uma constante. Calcular o trabalho da força sobre a partícula quando esta se desloca de =,5 m até = 3 m. R: 9C J 0. Um corpo de 3 kg está se deslocando com a velocidade de,40 m/s, na direção dos positivos, quando passa pela origem. Sobre ele atua uma força F que varia com conforme a figura abaio. (a) Qual o trabalho da força entre = 0 e = m? (b) Qual a energia cinética do corpo em = m? (c) Qual a velocidade do corpo em = m? (d) Qual o trabalho sobre o corpo de = 0 até = 4 m? (e) Qual a velocidade do corpo em = 4 m? R: a),75 J; b),4 J; c),76 m/s; d) 3,5 J; e),84 m/s
76. Uma vara retilínea, de massa desprezível, está montada num pivô sem atrito, como mostra a figura. As massas m e m estão penduradas nas distâncias l e l, respectivamente. (a) Dar a epressão da energia potencial gravitacional das massas em função do ângulo θ entre a vareta e a horizontal. (b) Que ângulo θ corresponde ao mínimo da energia potencial? A afirmação os sistemas tendem a se deslocar para a configuração de energia potencial mínima é compatível com o resultado encontrado? (c) Mostrar que, se m l = m l, a energia potencial não depende de θ. Quando vale a igualdade o sistema está em equilíbrio qualquer que seja θ. Este resultado é a lei do equilíbrio das alavancas, de Arquimedes.) R: a) U(θ) = g senθ (m l m l ) b) θ = π/. Um dos guindastes mais poderosos em atividade, operando na Suíça, pode levantar lentamente uma carga M = 6000 toneladas métricas até a altura h =,0 m. (a) Qual o trabalho do guindaste nestas circunstâncias? (b) Se o levantamento da carga, a velocidade constante, durar,00 min, qual a potência do motor do guindaste? R: a) 706 MJ; b),8 MW 3. A água de uma represa é canalizada para uma turbina à taa de, 5 0 6 kg/min. A turbina está localizada 50 m abaio do nível da água na represa e na sua saída a corrente de água tem a velocidade de 5m/s. (a) Desprezando quaisquer dissipações de energia, qual a potência da turbina? (b) Quantas pessoas consumiriam a energia desta turbina se cada uma consumisse 3 0 J de energia por ano? R: a), MW; b) 6 cidadãos 4. Para operar um dos geradores da represa do Grand Coulee, em Washington, é necessária a potência mecânica de 7,4 0 8 W. Essa potência é proporcional pela gravidade ao efetuar trabalho sobre a água, que cai de uma altura de 87 m na turbina do gerador. A energia cinética adquirida na queda provoca a rotação do gerador. (a) Provar que a potência disponível na água é mgh/t, onde m é a massa de água que cai de uma altura h durante o tempo t. (b) Calcular a vazão em quilogramas por segundo. (c) Determinar o volume de água necessário para acionar o gerador durante um dia. (d) Se a água usada em um dia fosse armazenada num lago circular de 0 m de profundidade, qual seria o raio do lago? R: b) 8,49 0 5 kg/s; c) 7,34 0 7 m 3 ; d),53 km