TEORIA DO CONSUMIDOR EXERCÍCIOS

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) TEOIA DO CONSUMIDO EECÍCIOS Exercício. estrição orçamental e efeitos da variação dos preços e do rendimento Suponha que um consumidor gasta a totalidade do seu rendimento mensal, no montante de 60 unidades monetárias (u.m.), na aquisição de bens ( e ) e que o preço do bem é de 0 u. m. e o do bem é de 0 u.m.. O rendimento disponível deste consumidor é fixo, assim como os preços de mercado destes dois bens, no período em análise. a) Deduza a expressão analítica da restrição orçamental para este consumidor, represente-a graficamente e explique o seu significado económico. b) Suponha que o preço de diminui em 0%, tudo o mais se mantendo constante. Qual é a expressão analítica da nova restrição orçamental? Como se posiciona esta restrição orçamental relativamente à inicial? c) Considere que os preços dos bens são os iniciais e que o rendimento do consumidor aumenta em 0%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e represente-a graficamente. d) Suponha que, em relação à situação inicial, o rendimento e os preços de cada bem aumentam em 0%. Determine a expressão analítica da nova recta orçamental e compare-a com a inicial. esolução a) Sendo 60 u.m., p x 0 u.m. e p y 0 u.m. e dado que o rendimento é totalmente gasto na aquisição do bem e/ou do bem, a expressão analítica da restrição orçamental é: 60 0 + 0, onde e designam, respectivamente, a quantidade adquirida de cada um dos bens, expressa em unidades; 0 representa a despesa no bem e 0 a despesa no bem. esolvendo em ordem a : 60 0 0 60 0 ( ) 6 0 0 A expressão () é a equação duma recta que tem: - 6, por ordenada na origem. Exprime o número de unidades do bem que o consumidor pode adquirir se gastar a totalidade do seu rendimento neste bem ou seja, é o rendimento real expresso em termos do bem ; - (-), por declive (p x /p y -0/0). É igual, em valor absoluto, à razão entre os preços dos dois bens e significa que, no mercado, unidade do bem vale unidades do bem, dado que o preço do bem é duplo do do bem. Assim, por cada unidade adicional de que pretenda adquirir, o consumidor terá que desistir de unidades de, mantendo constante a despesa total. Em termos económicos, o declive mede o custo de oportunidade do bem em termos do bem. ara representar graficamente a restrição orçamental ( 0 no Figura.-a), basta considerar dois pontos: se o consumidor gastar a totalidade do seu rendimento no bem, o cabaz de consumo é ( 0; 6), coordenadas da ordenada na origem; se gastar a totalidade do seu rendimento no bem, o cabaz de consumo é (8; 0), coordenadas da abcissa na origem. Trata-se de um custo de oportunidade objectivo, no sentido em que é determinado pelo mercado.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.-a) A restrição orçamental Significado económico: a restrição orçamental indica todas as combinações de e que o consumidor pode adquirir, sendo dado o seu rendimento e os preços de ambos os bens. epresenta as combinações alternativas de ambos os bens que implicam o mesmo nível de despesa total, sendo esta igual ao rendimento disponível do consumidor. Delimita as possibilidades de consumo que estão ao alcance do poder de compra do consumidor. Nota: Em termos genéricos, a expressão analítica da restrição orçamental é: p x + p y onde designa o rendimento, e as quantidades adquiridas de cada um dos bens e p x e p y os preços dos bens e, respectivamente. esolvendo em ordem a, obtém-se: p y p p x y, sendo p x a ordenada na origem e (- p p x y ) o declive. b) Se o preço do bem diminuiu em 0%, então o seu preço (p x ) passa a ser de 6 u.m.: x x ( 0,) x 0 x 0,8 x 6 u. m. A expressão analítica da restrição orçamental é: 60 6 + 0, ou seja, 6 -,6 A nova restrição orçamental (, na Figura.-b) tem por ordenada na origem 6 e, por abcissa na origem, 0, sendo o seu declive de (-,6). Verifica-se uma rotação da recta orçamental para a direita em torno da ordenada na origem, uma vez que se mantém o montante máximo que o consumidor pode adquirir do bem, se afectasse a totalidade do seu rendimento a esse bem. No entanto, o montante máximo de que pode adquirir, se nada gastar em, será agora de 0 unidades. O declive de é, em Este valor foi obtido dividindo por x.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) valor absoluto, inferior ao de 0, em resultado de o bem se ter tornado relativamente mais barato do que o bem 3. Figura.-b) Efeito da alteração do preço do bem na restrição orçamental c) O rendimento do consumidor sofreu um acréscimo de 80 u.m. (0, x 60), passando a ser de 40 u.m.. A expressão analítica da nova restrição orçamental é : 40 0 + 0, ou seja, 4 - elativamente à alinea a), a ordenada na origem passa para 4 unidades de (40/0) e a abcissa na origem para unidades de (40/0) e mantém-se o declive dado que não houve alteração no preço relativo dos bens. O rendimento real do consumidor aumentou e a recta orçamental desloca-se paralelamente para a direita (comparar com 0 na Figura.-c). O consumidor pode adquirir mais de, mais de ou mais de ambos os bens. Se, pelo contrário, o rendimento diminuir, verificar-se-á um deslocamento paralelo da recta orçamental para a esquerda (Figura.-c). 3 epare que o bem passou a ser relativamente mais barato, embora o seu preço se mantenha mais elevado em termos absolutos. 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.-c) Efeito da alteração do rendimento na restrição orçamental d) Neste caso, a expressão analítica da restrição orçamental é: 40 30 +, isto é: 6 - A equação da recta orçamental é igual à obtida na alínea a), dado que o rendimento e os preços aumentaram na mesma proporção. Exercício. estrição orçamental não linear A Joana pretende praticar natação num determinado clube. Existem duas modalidades de pagamento: ou paga de cada vez que utilizar a piscina ou se inscreve como sócia do clube, efectuando um pagamento inicial (a jóia) no valor de 30 e pagando por cada ida à piscina. ara a prática da natação e para a aquisição de outros bens, a Joana dispõe de um rendimento de 80 por mês, que gasta integralmente. a) A partir de quantas idas à natação é que vale a pena à Joana tornar-se sócia do clube? Justifique. b) Qual é a expressão analítica da restrição orçamental? Justifique. epresente-a graficamente. esolução a) Considere-se que a natação representa o bem e que é o bem compósito, pelo que o seu preço é igual à unidade. - Se a Joana não se inscrever como sócia, a despesa em (representada por D ns ) será de: D ns - Se ela se inscrever no clube, a despesa em (notada D s ) será de: D s 30 + Não vale a pena a Joana aderir ao clube, se a despesa realizada com a prática da natação for maior no caso de se tornar sócia, isto é, se: D s > D ns, ou seja 30 + > <0 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Em conclusão, se a Joana for menos do que 0 vezes por mês à natação, não lhe compensa ser sócia e, se for 0 vezes, tanto lhe faz. Logo, só para mais de 0 idas mensais à natação é que vale a pena à Joana aderir ao clube. b) A restrição orçamental será quebrada, sendo constituída por dois ramos definidos em função do intervalo de valores de correspondentes à não adesão ou de adesão ao clube. Se não valer a pena aderir ao clube, a equação da restrição orçamental é: 80 + 80 (equação de da Figura.) No outro caso, será: 80 (30+ )+ 0 (equação de da Figura.) Deste modo a restrição orçamental é a linha quebrada ABC da Figura., cuja expressão analítica é 80, 0, para para 0 > 0 Os dois ramos intersectam-se no ponto (0; 30). Figura. estrição orçamental da Joana Exercício.3 estrição orçamental no caso de racionamento O Joaquim tem um rendimento mensal de 800 euros para gastar em gasolina e outros bens (bem compósito). O preço de cada litro de gasolina é de 0,80 e o dos outros bens é de. Suponha que o governo institui o racionamento de gasolina. De acordo com o esquema de racionamento, é atribuido a cada consumidor um cupão mensal intransmissível de 0 litros de gasolina. a) Qual o efeito desta medida sobre o conjunto das possibilidades económicas de consumo? b) Admita agora que, recorrendo ao mercado negro, o Joaquim pode adquirir mais do que 0 litros de gasolina por mês, embora ao preço de por litro. Mostre qual o efeito da existência de mercado negro.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) esolução a) Se não houver racionamento, a restrição orçamental é dada por : 800 0,80 + 800 0,80, equação de 0 da Figura.3-a). O montante máximo de litros de gasolina que pode adquirir mensalmente, se nada consumir de outros bens, é de 000 litros (abcissa na origem); se não consumir gasolina, o Joaquim gasta os 800 no bem compósito (ordenada na origem). Com o racionamente, para montantes inferiores a 0 litros de gasolina, o Joaquim pode consumir ambos os bens e substituir um pelo outro à taxa de 0,8 de outros bens por cada litro de gasolina, pelo que, neste intervalo, a sua restrição orçamental coincide com 0. No entanto, a partir de 0 litros de gasolina ele não poderá situar-se ao longo da recta orçamental 0, dado que representa consumos de gasolina que não pode legalmente realizar. O cabaz de bens economicamente acessíveis ao consumidor é definido pela àrea OABC (Figura.3-a), sendo que qualquer ponto situado no segmento AB esgota o rendimento do consumidor. Figura.3 a) - Conjunto de possibilidades económicas de consumo se existir racionamento de gasolina b) ara adquirir mais do que 0 litros de gasolina por mês, o Joaquim vai ter que pagar cada litro a. Mas, na aquisição dos 0 litros a que tem direito já gastou 40, ficando-lhe 760 para gastar nos outros bens e na aquisição de gasolina no mercado negro. Se aplicasse esses 760 apenas em gasolina podia adquirir 380 litros no mercado negro. Como já adquiriu legalmente 0 litros de gasolina, o Joaquim pode, dado o seu rendimento, adquirir no máximo 430 litros (0 + 380), valor da abcissa na origem da restrição orçamental ( ), no caso de existir mercado negro. or sua vez o declive desta recta orçamental é, em valor absoluto, igual a (nova razão de preços). A restrição orçamental tem dois ramos - até ao ponto B, coincide com 0 e, a partir do ponto B, coincide com 4 - sendo definida pela linha quebrada ABC da Figura.3-b). Em termos analíticos: 4 Este ramo da restrição orçamental é dado pela equação da recta que passa pelos pontos de coordenadas (x0; y760) e (x430; y0) 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 800 0,8, para0 0 860, para0 < 430 Figura.3-b) estrição orçamental se existir mercado negro. Exercício.4 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição caso discreto A Carolina ocupa parte do seu tempo livre a ir ao cinema e ao teatro. As suas preferências em relação a estas duas actividades estão descritas no quadro.4, no qual U, U e U 3 representam os níveis de satisfação e e designam, respectivamente, o número de idas ao cinema e ao teatro por mês. a) epresente graficamente as três curvas de indiferença, explicando o seu significado. b) Considere a curva de indiferença U. b.) Calcule a Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre os pontos A (, ) e B (, 8). Interprete o seu significado económico. b.) Analise o comportamento da TMS à medida que a Carolina substitui por e interprete o seu significado. Quadro.4 referências da Carolina U U U 3 3 4 6 8 4 0 6 3 7 7 9 4 3 6 8 7 7 4 9 6 6, 8 3 0 7

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) esolução a) Uma curva de indiferença mostra as várias combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro por mês, que proporcionam à Carolina idêntico nível de satisfação. Deste modo, para a Carolina é indiferente ir vez ao cinema e ao teatro (ponto A da curva de índice U da Figura.4) ou vezes ao cinema e 8 ao teatro (ponto B da mesma curva), por exemplo. Comparando as combinações alternativas da curva de índice U com as da curva de índice U, constatase que ou contêm mais de ambos os bens ou, pelo menos, mais de um dos bens (na Figura.4, comparar os pontos B e H e os pontos C e J). Deste modo, a curva de indiferença de índice U situa-se à direita da de índice U, pelo que as combinações alternativas de idas ao cinema e ao teatro que nela se situam representam um nível de bem-estar mais elevado do que o proporcionado pelas que se localizam na curva de índice U. O mesmo se passa com os pontos ao longo da curva de índice U 3 relativamente aos que estão nas curvas de índice U e U. Em suma, quanto mais afastadas da origem e mais à direita se situa uma curva de indiferença, maior é o nível de satisfação que lhe está associado. Figura.4 Curvas de indiferença da Carolina b.) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a relação de troca subjectiva entre os dois bens: indica quanto o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a deixar de consumir de um bem para aumentar o consumo do outro, mantendo constante o seu nível de satisfação. Como as curvas de indiferença têm declive negativo, a taxa marginal de substituição é negativa. Adopta-se, contudo, a convenção usual de a determinar em valor absoluto calculando-a em módulo ou afectando-a do sinal menos o que requer que, na interpretação do seu valor, se tenha em conta esta convenção. Tal como resulta da hipótese de não saciedade da Teoria do Consumidor. 8

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ode-se calcular a taxa marginal de substituição para examinar movimentos descendentes ao longo de uma curva de indiferença, caso em que o consumidor substitui o bem pelo bem (taxa marginal de substituição de por 6 ) ou movimentos ascendentes ao longo de uma curva de indiferença, quando substitui por (taxa marginal de substituição de por 7 ). Os valores obtidos para uma são o inverso dos da outra. Neste caso, pretende-se calcular a taxa marginal de substituição de teatro () por cinema (). y y A B 8- A B Como TMS,, tem -se que : TMS, TMS, 4 x x - Ao passar do ponto A para B, a Carolina está disposta a desistir de 4 idas ao teatro para ir mais uma vez ao cinema por mês, mantendo-se o seu nível de satisfação. b.) B C 8 C D 3 D E 3 E F, TMS, 3, TMS,, TMS,, TMS, 0, 3 4 3 4 6 ode concluir-se que a taxa marginal de substituição de por (TMS, ) é, em valor absoluto, decrescente. Significa que, à medida que substitui por, a Carolina está cada vez menos disposta a renunciar ao consumo de (bem que se vai tornando relativamente mais escasso) para aumentar o consumo de, mantendo constante o seu nível de satisfação. É este comportamento da TMS que explica a convexidade das curvas de indiferença. Exercício. Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição caso contínuo - e não unicidade da função índice de utilidade Suponha que as preferências da família Gonçalves relativamente ao consumo de peixe (bem ) e de carne (bem ) podem ser descritas pela seguinte função: U 0, 0,, onde U designa o nível de utilidade e e são, respectivamente, as quantidades de peixe e de carne consumidas mensalmente, expressas em quilogramas. -a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função de utilidade ordinal. b) epresente graficamente as curvas de indiferença de índices de utilidade 0 e 0. - Considere a curva de indiferença de índice 0. a) Determine, analítica e geometricamente, a taxa marginal de substituição associada a uma deslocação do ponto A (;,) para o ponto B (; ). Explique o seu significado económico. b) Determine, analítica e geometricamente, o valor da taxa marginal de substituição 6 Marginal rate of substitution of for, em inglês. 7 Marginal rate of substitution of for, em inglês. 9

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) no ponto B. c) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de por à medida que aumenta (TMS, ). Explique o significado económico desse comportamento e relacione-o com a curvatura da curva de indiferença. 3- Admita agora que as preferências desta família em relação a estes dois bens são antes descritas pela função: V, onde V designa o índice de utilidade e e as quantidades consumidas mensalmente de cada um dos bens, expressas em quilogramas. a) Será que houve alteração das preferências desta família em relação a estes bens? Justifique a sua resposta. b) Compare as expressões analíticas das utilidades marginais de cada bem ( e ) fornecidas pelas funções U e V, bem como o seu valor no ponto C (0;). c) Determine o quociente entre a e a para cada uma das funções e calcule o seu valor no ponto C. Que conclui? esolução -a) Uma curva de indiferença é, por definição, o lugar geométrico das combinações alternativas de bens que proporcionam ao consumidor o mesmo nível de satisfação, pelo que, ao longo de uma curva de indiferença, o valor do indíce de utilidade se mantém constante. Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica: 0, 0, ( ) 0, u u 0, 0, () u 0, u 4 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado : é a expressão analítica da curvas de indiferença de índice u. -b) ara proceder à representação gráfica, há que previamente estudar as características da curva de indiferença: d d u 4 < 0 e d d u 3 > 0 lim 0 +, 0 é assimptota vertical e lim + + 0, 0 é assimptota horizontal Conclui-se que as curvas de indiferença associadas a esta função se caracterizam por serem continuamente decrescentes (ª derivada negativa) e convexas em relação à origem (ª derivada positiva), tendo por assímptotas os próprios eixos coordenadas e, por isso, nunca os interceptando. Em 0

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) termos geométricos, a curva de indiferença é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no º quadrante ( 0 e 0) Substituindo em () u pelos valores pretendidos e calculando as coordenadas de alguns dos seus pontos, pode-se efectuar o esboço das curvas de indiferença de índice 0 e 0 - Figura.-a): u 0 u 0 0 4 0 4 () 00 (3) ; 7,, u0 u0 4, 0 0 0 0, 0 4 0 7, u0 u0, 0 7,, 0 0, 7, 0, 7, 0, 7, eixe (Kg/ mês) Fig..-a) Curvas de indiferença da família Gonçalves - a) 8 A B A B, A B TMS, TMS, TMS,, Geometricamente, a taxa marginal de substituição é dada pelo declive do segmento de recta que une os pontos A e B - Figura.-b): TMS A B, tgα TMS A B, AD BD TMS A B, 7, 3 TMS A B,, Significa que, quan-do a família Gonçal-ves consome, Kg de carne e Kg de peixe por mês, para aumentar o seu com-sumo de peixe para Kg por mês, ela está disposta por cada quilograma adicional de peixe a renunciar, em média, ao com-sumo de, Kg de carne por mês, mantendo constante o seu nível de satisfação. Fig..-b) Determinação geométrica da TMS, (no arco AB e no ponto B) 8 Ver exercício.4, resolução da alínea b., para a definição e convenção adoptada no cálculo da TMS.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) -b) retende-se agora calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de indiferença (ponto B), estando-se a considerar variações infinitesimais nas quantidades consumidas na vizinhança desse ponto. Analíticamente : TMS B, lim 0 TMS B, d d. Geometricamente : TMS B, tg β Usando a expressão analítica - equação () - da curva de indiferença de índice 0 tem-se que: TMS, d d TMS, B B No ponto B (,), pelo que TMS, TMS, Geometricamente, a taxa marginal de substituição é igual ao valor absoluto do declive da tangente a esse ponto da curva de indiferença, medindo, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença nesse ponto - Figura.-b). B B OE DG B TMS, tgβ TMS, TMS, OF DB Examinando a expressão (4) da TMS, pode-se constatar que, em valor absoluto, a taxa marginal de substituição de por decresce à medida que aumenta, dado que o numerador é constante. Alternativamente, pode-se chegar a esta mesma conclusão, através do sinal da ª derivada da TMS, em ordem a : TMS Geometricamente, o decrescimento da TMS, pode observar-se através da marcação de sucessivas tangentes a pontos desta curva de indiferença - Figura.-c): os ângulos formados vão sendo cada vez mais pequenos, pelo que o valor absoluto da sua tangente trignométrica vai sendo cada vez mais pequeno: (4) TMS, ( TMS )' 0 3 0, Derivando em ordem a : <, tg λ > tgβ > tgδ > tgε. Figura.-c) Comportamento da TMS, ao longo da curva de indiferença( lei da taxa marginal de substituição decrescente )

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) É este comportamento da taxa marginal de substituição de por, também conhecido por lei da taxa marginal de substituição decrescente, que explica que a curva de indiferença seja (estritamente) convexa em relação à origem dos eixos coordenados. Em termos económicos, evidencia uma relutância cada vez maior, por parte do consumidor, para continuar a substituir o bem pelo bem e manter o mesmo nível de substituição. 3-a) Comparando as funções U e V pode verificar-se que: U Elevando ambos os membros ao quadrado: U U 4 Derivando V em ordem a U : 0, dv du 0, U 4 dv du 0, 0, U > 0 U Como V,substituindo tem -se que : U V 4 Deste modo, V(,) é uma função estritamente crescente de U(,), pelo que a função V é consistente com a ordenação das preferências do consumidor descritas pela função U, ou seja, descreve as mesmas preferências desta família em relação a estes dois bens, apenas atribuindo um número de ordem diferente (índice de utilidade) às combinações alternativas destes bens 9. Exemplificando: Sejam as combinações de bens A (,,), B (, ) e C (0, ). Calculando o valor dos índices de utilidade para cada uma das funções: ontos U 0, 0, V A (,,) U (.,) 0, U 0 V., V B (,) U (. ) 0, U 0 V. V C (0, ) U (0. ) 0, U 0 V0. V 00 Tem-se assim que, quer usando a função U quer usando a função V, o consumidor é indiferente entre as combinação A e B (situam-se na mesma curva de indiferença) e considera que C é preferível a B e a A (situa-se numa curva de indiferença à direita daquela em que se encontram estas duas últimas, pelo que: U > U e V >V ). 9 Isto acontece porque a função índice de utilidade (abordagem ordinal da teoria do consumidor) não é única, ao contrário do que ocorre com a função de utilidade cardinal. Na abordagem ordinal, a função utilidade descreve a ordenação das preferências do consumidor, enquanto que, na abordagem cardinal, se quantifica a satisfação retirada do consumo de cada cabaz de bens. 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Em suma, a ordenação das preferências do consumidor mantém-se, apenas mudando o número de ordem atribuído a cada combinação por cada uma das funções - Figura.-d). As curvas de indiferença associadas a cada uma das funções índice de utilidade são idênticas, embora os valores dos índices de utilidade difiram, sendo que vu /4. Tomar uma transformação crescente da função utilidade, equivale a renumerar, em conformidade, as curvas de indiferença. 7,, 0 7,, 0 7,, 0 u0; v00 u0; v 0, 7, 0, 7, 0, 7, eixe (Kg/mês) Figura.-d) Curvas de indiferença da família Gonçalves, segundo as funções U(,) e V(,) 3-b) Utilizando a função U 0, 0, U U 0, 0, 0, 0, C C No ponto C ( 0, ) : 0, 0 e C 0 C Utilizando a função V V No ponto C : C 0 e e C V 3-c) Ao calcular o quociente da utilidade marginal de e de, obtém-se a mesma expressão analítica e o mesmo valor para este quociente no ponto C. Função U Função V Expressão Analítica Valor no ponto C Expressão Analítica Valor no ponto C -0, 0, 0, 0, -0, 0 / / 0, / 0, Este quociente é, por sua vez, igual à TMS,, o que confirma que as funções U(,) e V(,) descrevem as mesmas preferências. Tem-se, assim, uma forma alternativa de calcular a TMS,. Com efeito, considere-se a função UU(,) e proceda-se à sua diferenciação total: 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) U U du d + d, sendo que U or definição, ao longo de uma curva de indiferença o nível de satisfação não se altera, e U pelo que du 0 : () 0 d + d d d d TMS, d De notar que a expressão () exprime o facto de, para manter constante o seu nível de satisfação, a diminuição de utilidade associada à redução do consumo de ter que ser igual ao aumento de utilidade resultante do acréscimo do consumo de. Em suma, enquanto que a grandeza das utilidades marginais de e de depende da função índice de utilidade escolhida para descrever as preferências do consumidor como resulta dos cálculos realizados na alínea anterior o mesmo não ocorre com a do quociente das utilidades marginais, o qual é independente da forma particular de função índice de utilidade que se utiliza, desde que uma se possa obter da outra através de uma transformação estritamente crescente. Exercício.6 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição preferências (estritamente) convexas Suponha que a ordenação das preferências da Mariana em relação à prática de natação e de ginástica é descrita pela função utilidade U xy, sendo que x 0 e y 0. Nesta função, x e y designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e U representa o nível de satisfação. a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função utilidade. b) epresente graficamente as curvas de indiferença associadas aos índices de utilidade 7, 0 e. c) Considere a curva de indiferença de índice 7. c.) Calcule o valor da taxa marginal de substituição associada a uma deslocação do ponto A (x,y) para o ponto B (x0,y7,) e explique o seu significado económico. c.) Determine valor da taxa marginal de substituição de ginástica por natação nos pontos A, B e C (x, y3). c.3) Analise o comportamento da taxa marginal de substituição de por à medida que aumenta o consumo de. Explique o significado económico desse comportamento e relacione-o com a curvatura da curva de indiferença.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) esolução a) As curvas de indiferença são definidas no espaço de bens (,), sendo a sua expressão analítica do tipo yf(x) ou xg(y). ara qualquer nível de utilidade u, onde u é uma constante positiva, a curva de indiferença que lhe está associada tem por expressão: u xy u y () yux x b) Estas curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem dos eixos coordenados, uma vez que a ª derivada é positiva e a ª derivada negativa: or outro lado, como lim y0 x + y ux, ª derivada : ª derivada :, y0 é assimptota vertical e dy ux dx d y ux dx < 0; 3 > 0 lim y +, x0 + x 0 é assimptota horizontal pelo que as curvas de indiferença admitem como assímptotas os próprios eixos coordenados e, consequentemente, nunca os intersectam. ara u 7, tem-se, por substituição em (), que a expressão desta curva de indiferença é igual a y7/x, ou seja, é o ramo de uma hipérbole equilátera definido no º quadrante (x 0 e y 0). Analogamente, as curvas de indiferença de índices 0 e têm por expressão analítica y0/x e y/x, respectivamente. ara proceder à representação gráfica destas curvas de indiferença Figura.6-a) seleccionam-se alguns valores, tais como: u7 u0 u x y x y x y, 30 30 7, 30 7, 0 0, 7, 0 0 0 7, 0 0, 0 7,, 0 0 3,7 6 9 30, 30 30 7, Figura.6-a) Curvas de indiferença da Mariana c.) A taxa marginal de substituição mede, ao longo de uma curva de indiferença, a taxa a que o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a substituir o bem pelo bem ; indica a quantidade que está disposto a desistir de para aumentar o consumo de de uma unidade adicional, mantendo constante o seu nível de satisfação. 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) A B 7, A B 7, A B TMS, TMS, TMS, TMS,, 0 Significa que, neste intervalo, para praticar mais hora de natação por mês a Mariana está disposta, em média, a deixar de praticar hora e meia de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. Geometricamente, a taxa marginal de substituição no arco AB é dada pelo declive do segmento de recta que une os pontos A e B, como se pode ver na figura.6- b), ou seja: TMS A B, TMS tgα A B, 7, TMS A B, TMS A B, AD BD, Figura.6- b) epresentação geométrica da taxa de marginal de substituição c.) Neste caso, pretende-se calcular o valor da taxa marginal de substituição num ponto da curva de indiferença, a qual mede o valor do declive da curva de indiferença nesse ponto. Geometricamente é dada pelo valor absoluto do declive da recta tangente ao ponto considerado. Com efeito: Analiticamente: B B TMS, lim 0 TMS, d d Geometricamente: TMS B, tg β Sendo y7/x a expressão analítica desta curva de indiferença, a expressão analítica da TMS y,x que lhe está associada é: TMS y,x dy dx Como, no ponto TMS y,x A, x, no ponto B, x 0, no ponto C, x, 7 x () TMS y,x 7. x substituindo em () obtem - se substituindo em () obtem - se substituindo em () obtem -se TMS TMS TMS A y,x B, C y,x 7 7 0 7 TMS TMS TMS A y,x B, C y,x 3 0, 7 0,3( 3 ) c.3) Examinando a expressão (), pode concluir-se que à medida que aumenta o consumo de, em valor absoluto, a TMS y,x decresce 0, como aliás decorre dos cálculos realizados na alínea anterior. É este decrescimento da taxa marginal de substituição que explica que a curva de indiferença seja estritamente convexa em relação à origem, uma vez que, em valor absoluto, o declive vai sendo cada 0 A idêntica conclusão se chega, derivando a expressão da TMSy,x em ordem a, uma vez que esta derivada é negativa. 7

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) vez menor. Este comportamento exprime o facto de a Mariana estar cada vez menos disposta a reduzir o número de horas que dedica à prática da ginástica para aumentar o tempo que afecta à natação, à medida que vai aumentando o número de horas de prática de natação por mês, mantendo constante o seu nível de satisfação. Exercício.7 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição preferências côncavas Admita que as preferências da Marta em relação à prática de natação e de ginástica são descritas pela função S +, com 0 e 0, onde e designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e S representa o índice de utilidade. a) epresente graficamente as curvas de indiferença de índices 600, 900 e 800. b) Considere a curva de indiferença de índice 600. Calcule a taxa marginal de substituição de por, para, 0 e. c) Examine o comportamento da TMS, à medida que aumenta e relacione-o com curvatura da curva de indiferença. d) Compare as preferências da Marta com as da Mariana (ver exercício.6) em relação à prática destas duas modalidades desportivas. esolução a) ara proceder à representação gráfica, há que previamente examinar as características das curvas de indiferença associadas a esta função. Seja s uma constante positiva qualquer : + ª derivada ª derivada : s : d d s (s d (s d 0, ) ) 0, < 0 () + 4 (s s-, As curvas de indiferença são continuamente decrescentes e côncavas em relação à origem. Intersectam o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas, respectivamente, nos pontos de coordenadas: ) < 0 ( s ; 0 ) e ( 0; s ) 8

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Substituindo em () os valores do índice de utilidade (600, 900 e 800) obtêm-se as expressões analíticas das curvas de indiferença representadas na figura.7, usadas para calcular as coordenadas de alguns dos seus pontos. Figura.7: Curvas de indiferença da Marta b) Utilizando a função utilidade: TMS, S 4 TMS, e 4 S ara calcular o valor da taxa marginal de substituição é preciso conhecer os valores de. Considerando a expressão da curva de indiferença de índice 600 obtida via substituição de s por 600 em (): 600 tem-se que, para, 0 e, os valores correspondentes de são: () TMS, : 600-. 3,4; 0 : 600-. 0 0 ; : 0 Substituindo estes valores de e de na expressão () da TMS, : No ponto (, 3,4 ): TMS, 0,43 No ponto (0, 0 ): TMS, No ponto (,, ) : TMS,,4 c) ode concluir-se que, à medida que aumenta, vai diminuindo cada vez mais, pelo que, em valor absoluto, a TMS, é crescente, o que explica a concavidade das curvas de indiferença. Significa que, 9

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) para aumentar o número de horas de natação, a Marta está disposta a renunciar a um cada vez maior número de horas de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação, evidenciando o facto de ela preferir praticar apenas uma única modalidade em vez de praticar as duas simultaneamente. d) Tanto a Mariana como a Marta consideram a possibilidade de substituição de uma modalidade por outra. No entanto, a convexidade das curvas de indiferença, representativas das preferências de Mariana, exprime que este processo de substituição se torna cada vez mais difícil e, no limite, impossível - em valor absoluto, a TMS, é decrescente o que significa que ela prefere diversificar o seu consumo, praticando ambas modalidades desportivas. A Marta, pelo contrário, prefere especializarse, praticando uma única modalidade desportiva, razão pela qual, em valor absoluto, a TMS, é crescente. Exercício.8 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição bens substitutos perfeitos Considere que as preferências da Margarida em relação à prática de natação e de ginástica são descritas pela função utilidade V+, com 0 e 0, na qual e designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e V representa o índice de utilidade. a) Calcule a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função e represente graficamente as de índice 0, 0 e 30. b) Calcule a taxa marginal de substituição de ginástica por natação e explique o seu significado económico. esolução a) Seja v uma constante positiva qualquer: v+, pelo que a expressão geral das curvas de indiferença é: v -. Graficamente, as curvas de indiferença, associadas a esta função, são representadas por linhas rectas com declive igual a (-) - Figura.8. Substituindo os valores de v do enunciado obtem-se a expressão de cada uma das curvas de indiferença pedidas : 0- ; 0- e 30- Figura.8 Curvas de indiferença da Margarida 0

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) d b) TMS, TMS, d A taxa marginal de substituição é constante, o que significa que, para aumentar o tempo afecto à prática de natação em hora por mês, a Margarida está disposta a desistir sempre do mesmo tempo dedicado à prática de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. Isto significa que, para a Margarida, estas duas modalidades desportivas são perfeitamente substituíveis. Como a taxa marginal de substituição é igual a um, significa ainda que ela atribui exactamente o mesmo valor a uma e a outra modalidade. Exercício.9 Curvas de indiferença e taxa marginal de substituição bens complementares perfeitos Suponha que, em relação à prática de natação e de ginástica, as preferências da Maria são descritas pela função : T min {,}. com 0 e 0, na qual e designam, respectivamente, o número de horas de natação e de ginástica que pratica por mês e T representa o índice de utilidade. a) Que relação existe entre estas duas modalidades desportivas para a Maria? b) epresente graficamente as curvas de indiferença de índices, 0 e. c) Examine o comportamento da taxa marginal de substituição de ginástica por natação. esolução a) ara a Maria estas duas modalidades desportivas são perfeitamente complementares. ara obter um dado nível de satisfação ela tem que praticar simultaneamente as duas modalidades, mas numa proporção fixa. Concretamente, o tempo dedicado à ginástica é sempre metade do que o que é afecto à natação. As curvas de indiferença têm a forma de ângulos rectos, cujos vértices se expandem ao longo da linha que define aquela proporção fixa : 0, b) Figura.9: Curvas de indiferença da Maria

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) c) Considere-se, por exemplo, a curva de indiferença de índice, cujo vértice tem como coordenadas (0, ). No seu ramo horizontal, a taxa marginal de substituição de ginástica por natação é zero, porque se aumentar a prática desta modalidade para além de 0 horas por mês, a Maria não estará disposta a desistir da prática de nenhuma hora de ginástica, mantendo constante o seu nível de satisfação. No seu ramo vertical, o valor da TMS, é igual a infinito, pois para aumentar a prática da ginástica para mais de horas por mês, ela não está disposta a reduzir a prática de natação em menos de 0 horas por mês, mantendo-se constante o seu nível de satisfação. No vértice, a TMS, é indeterminada. Exercício.0 Equilíbrio do Consumidor Considere as preferências da família Gonçalves em relação ao consumo de peixe (bem ) e de carne (bem ) do exercício., descritas pela função: Ux 0, y 0, Suponha que o orçamento mensal que esta família dispõe para gastar integralmente na aquisição destes dois bens é de 40 unidades monetárias (u.m.) e que os preços médios de cada um deles são: x 4 u.m./kg e y u.m./kg. -a) Determine a quantidade de cada bem que, em equilíbrio, esta família adquirirá mensalmente. b) Explique por que razão a combinação (x8; y8) não é de equilíbrio, bem como o processo conducente ao equilíbrio. Ilustre a sua resposta graficamente. ) Admita agora que as preferências da família Fonseca em relação a estes dois bens são descritas pela função de utilidade ordinal: T x + y, onde x designa a quantidade de peixe, em kg/mês, e y a quantidade de carne, em kg/mês, e T é o índice de utilidade. Esta família gasta, também, mensalmente 40 u.m. na aquisição destes bens. a) Calcule a TMS y,x e interprete o seu significado. Que conclui sobre a relação entre estes dois bens para esta família? b) Determine a situação de equilíbrio da família Fonseca e ilustre-a graficamente. 3) Examine o efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio de cada uma destas famílias. Ilustre a sua resposta graficamente. esolução -a) O problema a resolver é: MA U x x, y 0, sujeito a 40 4x + y y 0, O consumidor está em equilíbrio, maximizando o nível de satisfação que está ao alcance do seu poder de compra, se não for induzido a redistribuir o seu rendimento entre a aquisição dos bens e. Tal

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ocorre quando, em valor absoluto, o declive da curva de indiferença for igual ao declive da recta de orçamento. Isto significa que, em valor absoluto, a taxa a que o consumidor está disposto, segundo as suas preferências, a substituir um bem pelo outro - a razão de troca subjectiva entre os dois bens (TMS y,x ) - é igual à taxa a que se podem substituir estes dois bens no mercado, ou seja, é igual à sua razão de preços ( x / y ). Deste modo, para haver equilíbrio é necessário que se verifiquem as seguintes condições: 0, 0, U x y x () TMS y,x y x x + y y Estas condições são, também, condições suficientes para a maximização do nível de satisfação, quando a solução de equilíbrio é interior (em equilíbrio o consumidor adquire ambos os bens), o que é o caso presente dado que as curvas de indiferença são estritamente convexas e não intersectam os eixos coordenados. x TMS y,x TMS y, x Substituindo os valores em () e resolvendo o sistema: y y x 0, U x y y 4 x 40 4x + y 0, U.0 U 0 y 4x y 0 40 4x + 4x x dy U Alternativamente: TMS y, x TMS y, x dx 4x A solução de equilíbrio obtém-se através da resolução do sistema: 0, U x y U 4 4x 40 4x + y 0, 4x x 0, 0, x 0, 0, y U 6 x U + 4x 4x y x y / 4 x U 0 40 y + yy 0 y 0 Em equilíbrio, a família Gonçalves consome mensalmente kg de peixe e 0 kg de carne, situando-se na curva de indiferença de índice 0. -b) Se esta família adquirir mensalmente 8 kg de peixe e 8 kg de carne, esgotará o rendimento que utiliza para comprar estes dois bens, mas não alcança a máxima satisfação que está ao alcance do seu poder de compra - ponto A da figura.0-a) - pelo que não estará em equilíbrio. Com efeito, nesta combinação a TMS y,x é igual a (TMS y,x y/x), sendo inferior à razão de preços que é igual a 4. Deste modo, para adquirir uma quantidade adicional de peixe (bem ), esta família está disposta a prescindir de igual montante de carne (bem ), mantendo constante o seu nível de satisfação, enquanto que no 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) mercado terá de renunciar a uma quantidade de carne que é quádrupla daquela, mantendo constante a sua despesa total. Consequentemente, no mercado, o valor do bem em termos do bem é superior ao que esta família lhe atribui, pelo que ela pode aumentar o seu nível de satisfação transferindo dinheiro da compra do bem para a do bem. or esta via, e mantendo constante a sua despesa, ela vai adquirindo combinações de bens que se situam em curvas de indiferença de nível mais elevado, aumentando o seu nível de satisfação - por ex: ponto B, da figura.0-a). Figura.0 - a) Equilíbrio da família Gonçalves Este processo de redistribuição do rendimento da compra do bem para a compra do bem cessa quando ela se situar no ponto C da figura.0-a), onde a recta de orçamento tangencia a curva de indiferença de índice 0. Neste ponto, a taxa a que esta família está disposta a substituir um bem pelo outro é igual à taxa a que pode substituir um bem pelo outro no mercado, pelo que não poderá aumentar o seu nível de satisfação através da redistribuição do seu rendimento entre a aquisição dos dois bens, tendo alcançado a situação de equilíbrio. -a) Família Fonseca: Tx+y x T T TMS y, x TMS y, x pois x x e y y x y y Significa que para aumentar o consumo de peixe em kg por mês, esta família está disposta a prescindir do consumo de kg de carne, mantendo constante o seu nível de satisfação. Sendo a TMS y,x constante, então para a família Fonseca estes dois bens são substitutos perfeitos. -b) Neste caso, o valor da TMS y,x é sempre inferior à razão de preços, pelo que o consumidor está em equilíbrio quando gasta todo o seu rendimento na aquisição do bem (solução de canto), adquirindo 40 kg de carne por mês (y/ y ) e nenhum quilograma de peixe (x0), situando-se na curva de indiferença de índice 40 - figura.0-b). De facto, segundo as preferências desta família, o bem é duas vezes mais 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) valioso do que o bem (TMS y,x ), mas custa quatro vezes mais no mercado ( x / y 4). Em consequência ela desiste de comprar o bem, pois atribui-lhe relativamente menos valor do que ele custa no mercado, e gasta todo o seu rendimento no bem, maximizando o seu nível de satisfação. Figura.0-b) Equilíbrio da Família Fonseca 3) Família Gonçalves: 0, 0, U x y U 4, 4 y y x y 0 x 40 8x x 40 4x + y O aumento do preço da carne conduz à diminuição do nível de satisfação desta família, a qual consumirá agora kg de peixe e 0 kg de carne por mês, situando-se numa curva de indiferença que se encontra mais próxima da origem dos eixos- ponto E em (i) da figura.0-c). Família Fonseca: Se o preço da carne duplicar, a razão de preços entre os dois bens é igual a, passando o declive da recta de orçamento a ser igual ao das curvas de indiferença. Deste modo, o valor que esta família atribui ao peixe em termos da carne é igual à taxa a que se troca um pelo outro no mercado. Em consequência, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada, no sentido em que, qualquer combinação de bens que se situe na curva de indiferença de índice 0, que coincide com a recta de orçamento, é de equilíbrio. Esta família poderá consumir só peixe (0 kg por mês), só carne (0 kg por mês) ou qualquer combinação de carne e peixe que lhe seja economicamente acessível ver (ii) da figura.0-c) -, alcançando um nível de satisfação inferior ao que usufruía antes do aumento do preço da carne.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) (i) Família Fonseca (ii) Família Gonçalves Figura.0-c) Efeito da duplicação do preço da carne sobre a situação de equilíbrio. Equilíbrio do consumidor Suponha que o rendimento afecto mensalmente à prática de natação e de ginástica pela Marta, Mariana, Margarida e Maria, cujas preferências foram examinadas nos exercícios.6 a.9, é de 60 unidades monetárias: a) Determine a situação de equilíbrio para cada uma delas, admitindo que o preço de cada hora de natação e de ginástica é igual a u.m. b) Examine o efeito sobre a situação de equilíbrio resultante de o preço de hora de natação ter aumentado para 3 u.m. Ilustre graficamente a sua resposta. esolução a.) Mariana (exercício.6: U) Em equilíbrio: ; TMS, TMS, TMS, + Substituindo : 60 4 60 + A Mariana praticará horas de natação e de ginástica por mês, ponto que se situa na curva de indiferença de índice (U x ), onde a recta de orçamento é tangente a essa curva ver ponto E o da figura.-a). a.) Marta (exercício.7 : S + e TMS y,x / ) 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Neste caso, como se viu, as preferências são côncavas, pelo que a Marta prefere praticar uma das modalidades desportivas a qualquer combinação das duas, a solução de equilíbrio sendo uma solução de canto. Ela praticará apenas natação (>0, 0) ou só ginástica (0, >0), escolhendo aquela que, tendo em conta os preços, lhe permita obter a máxima satisfação. Examinemos cada um dos casos: Se praticar só natação, com o rendimento que possui, poderá praticar 30 horas desta modalidade por mês ( / ), alcançando a curva de indiferença de índice 800 (Sx30 +0) - ver ponto E o da figura.-b) ; Se praticar apenas ginástica, poderá praticar 30 horas por mês (/ ) e atingirá a curva de indiferença de índice 900 (Sx0 +30 ) - ver ponto E da figura.-b). Consequentemente, em equilíbrio, a Marta praticará apenas natação (30 horas por mês), pois é essa a situação em que maximiza o seu nível de satisfação - ponto E o da figura.-b). Note-se que, a solução interior não é de equilíbrio - ver ponto A da figura.-b)-, pois implica um menor nível de satisfação: + TMS, + S S. 0 Substituindo : 0 60 6 0 60 + + 0 S 600 a.3) Margarida (exercício.8: V+ e TMS y,x ) ara a Margarida a TMS, é constante e igual à unidade. Como a razão de preços é igual a, então a recta de orçamento coincide com a curva de indiferença de índice 30 (60+ 30+). Deste modo, a solução de equilíbrio não é única e é indeterminada: praticar só natação ou só ginástica ou qualquer combinação das duas modalidades ao alcance do seu poder de compra proporciona-lhe o mesmo nível de satisfação, sendo qualquer uma dessas alternativas uma solução de equilíbrio - na figura.-c), qualquer um dos pontos situados no segmento AB. a.4) Maria (exercício.9: T min {,}) ara a Maria as duas modalidades desportivas são estritamente complementares e praticadas na proporção fixa: 0, 0, 0 60 + 60 + ( 0, ) 0 Consequentemente, em equilíbrio, ela praticará 0 horas de natação, gastando nessa modalidade 40 u.m., e 0 horas de ginástica, onde gasta 0 u.m., esgotando assim o seu rendimento (60 u.m.) - ver ponto E o da figura.-d). A curva de indiferença mais elevada que alcança é a de índice 0: Tmin { x 0, 0} T0 Note-se que poderá existir, também, uma solução de equilíbrio múltiplo, caracterizada pelo facto de qualquer uma das soluções (0, >0) e (>0, 0) poder ser de equilíbrio. Isso acontecerá se a recta de orçamento intersectar a curva de indiferença de nível mais elevado nos dois pontos em que esta curva intersecta os eixos coordenados. 7

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) b) ara examinar o efeito do aumento do preço sobre a situação de equilíbrio tem que calcular-se a nova situação de equilíbrio e compará-la com a calculada na alínea a). b.) Mariana (exercício.6) Em equilíbrio: U TMS, + 3 Substituindo : 60 6 60 3 +, U 0 0 O aumento do preço da natação teve por efeito que a Marta reduzisse a prática desta modalidade em horas por mês, embora continue a praticar o mesmo número de horas de ginástica, reduzindo o seu nível de bem-estar. O ponto de equilíbrio deslocou-se de E o para E na figura.-a). Figura.-a) Equilíbrios da Mariana b.) Marta (exercício.7) A solução é de canto: - se só praticar natação: 0, pois /, e o nível de satisfação é: S x 0 +0 S 800; - se só praticar ginástica: 30, pois /, e o nível de satisfação é: S x 0+30 S900. Consequentemente, em equilíbrio, a Marta passará a praticar apenas ginástica (0, 30), ou seja, a mudança do preço relativo dos bens provocou que ela alterasse totalmente o seu consumo, deixando de praticar natação e passando a praticar só ginástica comparar ponto E da Figura.-b) com o ponto E o. 8

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.-b) Equilíbrios da Marta b.3) Margarida (exercício.8) Como a TMS,, en-quanto que a razão de preços é igual a,, em equilíbrio, a Margarida apenas praticará ginástica, pois é uma modalidade relativamente mais barata que a natação e, para ela, a ginástica e a natação são substitutos perfeitos e têm o mesmo valor. Ela gastará todo o seu ren-dimento nesta modalidade e fará ginástica 30 horas por mês, situando-se na curva de indiferença de índice 30. Figura.-c) Equilíbrios da Margarida Neste caso, a alteração dos preços relativos acabou por não afectar o nível de bem-estar, mas provocou uma alteração radical do consumo de equilíbrio. Antes daquela alteração, qualquer ponto do segmento AB da figura.-c) era um ponto de equilíbrio e, após, apenas o ponto B é de equilíbrio. b.4) Maria (exercício.9) 9

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 0, 7, 60 3 + 60 3 + ( 0, ) O aumento do preço da natação vai fazer com que a Maria reduza o número de horas que dedica a cada modalidade, pois para ela as duas modalidades são estritamente complementares, diminuindo o seu nível de bem-estar. A solução de equilíbrio passará a ser de horas de natação e de 7, horas de ginástica e situa-se na curva de indiferença de índice ponto E da figura.-d). Figura.-d) Equilíbrios da Maria Nota: Da resolução deste exercício pode concluir-se que a solução de equilíbrio nem sempre é única. Exercício. Curva Consumo endimento, Curva de Engel, Curva Consumo reço e Curva da rocura Considere que a ordenação das preferências de um consumidor é representada pela função índice de utilidade: U, onde e representam, respectivamente, unidades dos bens e consumidas por período de tempo. Os preços dos dois bens são: 0 u.m. e 4 u.m. e o rendimento gasto integralmente pelo consumidor na sua aquisição é de 80 u.m. a) Qual é a combinação de bens que este consumidor deverá, racionalmente, adquirir? b) Defina curva consumo-rendimento e curva de Engel, explicitando os pressupostos subjacentes a estes conceitos? b-) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e comente o seu significado económico. epresente-as graficamente. b-) Se, para um rendimento de 60 u.m., este consumidor adquirir unidades do bem, estará a ser racional? c) Defina curva consumo-preço e curva da procura do bem, explicitando os pressupostos subjacentes a estes conceitos? c-) Determine as expressões analíticas daquelas curvas e represente-as 30

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) graficamente. c-) Comente a configuração da curva consumo-preço. d) Calcule as expressões analíticas das elasticidades preço directa e cruzada da procura do bem, bem como a sua a elasticidade rendimento. Que conclui? esolução a) Sendo a função utilidade de tipo Cobb-Douglas, em equilíbrio o consumidor adquire ambos os bens (solução interior). A combinação óptima de bens é obtida através da resolução do sistema (), que satisfaz as duas condições de equilíbrio do consumidor: TMS ( ) + + U dado que e pois U TMS TMS, Substituindo os valores de e dos preços em (): 0 () 4 80 0 + 4, 80 0 + 4., 80 0 + 0 0 4 A combinação óptima de bens é constituída por 4 unidades do bem e 0 unidades do bem por período de tempo. b) A curva consumo-rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o seu rendimento nominal, tudo o mais constante. É definida sob as hipóteses de que as preferências do consumidor e os preços dos bens permanecem constantes, apenas variando o rendimento nominal do consumidor. A curva de Engel de um bem é derivada a partir da curva consumo-rendimento, pelo que assenta nos mesmos pressupostos. Mostra a relação entre a quantidade consumida desse bem, no equilíbrio do consumidor, e o rendimento nominal do consumidor, ceteris paribus. b-) A curva consumo-rendimento é definida no espaço (, ), para variável. A sua expressão analítica relaciona com e é do tipo f( ) ou g( ). É obtida a partir da condição de igualdade entre a taxa marginal de substituição e o preço relativo dos bens 3 : Uma função utilidade do tipo Cobb-Douglas é igual a α U β, α > 0 e β > 0 (neste caso α e β ). As curvas de β u indiferença que lhe estão associadas são ramos de hipérboles (, onde u é uma constante positiva), cujas α β assímptotas coincidem com os eixos coordenados. Daí que, a solução de equilíbrio seja sempre, neste caso, uma solução interior. 3 Se apenas variar o rendimento nominal do consumidor, a recta orçamental desloca-se paralelamente a si própria no espaço dos bens (, ). Os sucessivos pontos de equilíbrio são dados pelos pontos de tangência entre as curvas de indiferença e a recta orçamental associada a cada nível de rendimento, satisfazendo portanto a condição de igualdade entre a taxa marginal de substituição entre os bens e a sua razão de preços. 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) TMS 0, 4, A curva consumo-rendimento é uma recta que passa pela origem dos eixos coordenados e tem declive positivo, o que significa que os bens e são bens normais, dado que o rendimento nominal do consumidor e o consumo de cada um destes bens variam no mesmo sentido, ceteris paribus. A curva de Engel do bem tem expressão analítica do tipo f(), enquanto que a da curva de Engel do bem é do tipo g(). ara as calcular, considera-se o sistema definido pelas equações da curva consumo-rendimento e da recta orçamental, considerando-se variável e e constantes (0 u.m e 4 u.m, respectivamente). _, (3) 0 + + 4 0 4., 0, Curva de Engel do bem 0 8 _ 0 Curva de Engel do bem Confirma-se que ambos os bens são normais, uma vez que o declive das suas curvas de Engel é positivo. Figura - a) Curvas consumo-rendimento e de Engel b-) Utilizando a equação da curva de Engel do bem, acima claculada, conclui-se que, para 60 u.m, 3. Consequentemente, se o consumidor adquirir unidades deste bem por período de tempo, 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ele não estará em equilíbrio, pois não maximiza o seu nível de satisfação, não sendo o seu comportamento racional. c) A curva consumo-preço do bem é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem, ceteris paribus. Assume-se, portanto, que se mantêm constantes as preferências do consumidor, o seu rendimento e o preço do outro bem. A curva da procura individual do bem é deduzida a partir da curva consumo-preço, pelo que assenta nos mesmos pressupostos que a esta estão subjacentes. Descreve a relação entre o preço deste bem e a quantidade procurada desse bem no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus. c-) A curva consumo-preço é definida no espaço (, ), para variável e a sua expressão é do tipo f( ) ou g( ). ara a calcular considera-se o sistema (4), no qual é variável e e são constantes (4 u.m. e 80 u.m., respectivamente), e resolve-se de modo a encontrar a relação entre e que se pretende: TMS (4), + 4 80 + 4 0 Curva consumo - preço do bem 4 () 4 80 + 4 80 4 + 4 A curva da procura do bem tem por expressão analítica do tipo: f( ) e obtém-se a partir da resolução do sistema (4) 4, mas de modo a encontrar a relação entre e : 4 80 + 4 4 80 + 4 4 80 40 Curva da procura do bem A curva da procura é o ramo de uma hipérbole equilátera que tem por assímptotas os eixos coordenados, pelo que se trata de uma curva da procura de elasticidade preço constante e igual à unidade. 4 Note-se que a expressão da curva da procura podia ter sido obtido atrás, se se tivesse completado a resolução do sistema (4), substituindo a expressão obtida para a curva consumo preço na equação () desse sistema. 33

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.b) Curva consumo-preço e curva da procura do bem c-) A curva consumo preço do bem é uma recta com declive nulo (d /d 0). Se se convencionar representar graficamente o bem no eixo dos abcissas (eixo dos ) e o bem no eixo das ordenadas (eixo dos ), obtém-se uma recta paralela ao eixo dos, com ordenada na origem igual a 0. Daí decorre que o consumo do bem permanece constante e igual a 0 unidades por período de tempo, quando varia o preço do bem, ceteris paribus. Significa que os bens e são independentes no consumo. Mas, se o consumo do bem não se altera, com a variação do preço do bem, e uma vez que o preço do bem é por hipótese constante e igual a 4 u.m., então a despesa que o consumidor realiza com a aquisição do bem é sempre a mesma (40 u.m.). Em consequência, a despesa realizada pelo consumidor na aquisição do bem terá, também, de ser sempre a mesma ( ), ou seja, de 40 u.m., qualquer que seja o preço do bem. Tal significa que a elasticidade preço-directa da procura do bem é constante e igual à unidade. Em suma, quando a curva consumo preço do bem tem declive nulo, a curva da procura do bem é isoelástica e de elasticidade unitária, sendo a elasticidade cruzada da procura do bem em relação ao preço do bem nula. Note que se está perante um caso especial em que a função procura ordinária de cada bem depende apenas do preço do próprio bem e do rendimento do consumidor, o qual resulta de as preferências deste consumidor serem do tipo Cobb-Douglas. 34

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 3 d) Em primeiro lugar, tem que se calcular a expressão analítica da procura do bem em função das suas determinantes: f (,, ), que relaciona a quantidade procurada óptima de com os preços de cada bem e o rendimento nominal do consumidor. Função rocura do bem - - + + + Confirma-se que a função procura 6 do bem não depende do preço do bem. Utilizando esta expressão da função procura, podem-se calcular as suas elasticidades: Elasticidade reço-directa da rocura (E, ) E E E E,,,, Elasticidade reço-cruzada da rocura (E, ) 0 0 E E dado que,,, Elasticidade endimento da rocura (E, ) E E E E,,,, Conclui-se que, ceteris paribus, a elasticidade da procura do bem em relação ao seu próprio preço é constante e igual à unidade, sendo por isso constante a despesa realizada por este consumidor com a aquisição deste bem; por outro lado, é nula a elasticidade da procura de em relação ao preço do outro bem, pelo que os bens e são independentes no consumo; por fim, o bem é um bem normal para o qual a quantidade procurada e o rendimento variam na mesma proporção (elasticidade rendimento unitária). 6 Se nesta função se considerar constante e igual a 80 u.m., obtém-se a equação da curva da procura do bem. Analogamente, mas para constante e igual a 4 u.m., obtém-se a equação da curva de Engel deste bem.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Exercício.3 Função rocura, Curvas Consumo-reço e de Engel Considere que as preferências de um consumidor em relação aos bens e são descritas pela função utilidade: U 3/4 /4, onde U designa o índice de utilidade e e as quantidades consumidas dos bens e, expressas em unidades por período de tempo. a) Deduza, em termos gerais, as funções procura individual de cada bem. b) Apresente a expressão analítica da curva consumo preço correspondente à possibilidade de variação do preço do bem. c) Suponha que os preços dos bens e são iguais a unidades monetárias (u.m.) e que o consumidor despende 0 u.m. por período de tempo na aquisição destes dois bens. c.) epresente graficamente a curva consumo preço do bem e, a partir dela, a curva da procura do bem. Caracterize-a em termos de elasticidade preço. c.) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel. esolução a) As funções procura individual de cada um dos bens mostram a relação entre as quantidades óptimas procuradas de cada bem e os vários níveis alternativos dos preços dos bens e do rendimento do consumidor. São funções do tipo: f (,, ) e g (,,). ara obter as suas expressões analíticas resolve-se em ordem a e a o sistema com as condições de equilíbrio do consumidor, começando por calcular a expressão da TMS, : U 3 4 / 4 / 4, U 3 / 4 3 / 4 3 TMS, 4 3 3 TMS, 3 ( ) + + + 3 3 () Função procura do bem 4 4 3 3 (3) Função procura do bem 4 TMS / 4 / 4 TMS 3 / 4 / 4, TMS 4 3 3 4 4, / 4 3 / 4 3 / 4 3 / 4 3 4 epare-se que esta função utilidade é de tipo Cobb-Douglas, pelo que se obtiveram funções procura ordinárias de cada um dos bens que não dependem do preço do outro bem, o que significa que os bens e são independentes no consumo, sendo nula a sua elasticidade preço cruzada da procura. b) Trata-se de determinar a equação da curva consumo preço do bem, lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem e tudo o mais permanece constante. ara esse efeito, considera-se o sistema () com as condições de equilíbrio do consumidor, mas onde e 36

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) são constantes, que surgem notadas como e. esolve-se esse sistema para obter a expressão que relaciona e, eliminando-se entre as suas duas equações: 3 + 3 + 3 4 3 (4) 3 4 Curva Consumo reço do bem c.) Sendo e constantes e iguais, respectivamente, a 0 u.m. e u.m, obtém-se, por substituição em (), a equação da curva da procura do bem e, por substituição em (4) a equação da curva consumo preço do bem : De () De (4) 4 3 4, pelo que, 0 4, 3. 0 pelo que 4. 4 Curva da rocura do bem 3, 7 Curva Consumo preço do bem ara a ilustração gráfica, arbitraram-se os seguintes valores para : u.m., u.m., 3 u.m. e 4 u.m. Figura.3 Curva Consumo-reço e Curva da rocura do bem A curva da procura do bem é o ramo de uma hipérbole equilátera, cujas assímptotas são os próprios eixos coordenados. Caracteriza-se por ser uma curva de elasticidade preço constante e igual à unidade. Deste modo, ceteris paribus, se o preço do bem variar a quantidade procurada deste bem varia na mesma proporção, mas em sentido contrário, pelo que a despesa realizada com este bem ( ) é constante. Com efeito, a partir da equação da curva da procura, pode-se verificar que:, u.m. 37

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) c.) ara obter as expressões das curvas de Engel, basta substituir nas equações () e (3) das funções procura calculadas na alínea a), os valores assumidos pelos preços de cada bem ( u.m): Substituindo substituindo na equação () na equação (3) 4 3 4,, obtém - se : 8 3 tem - se que : 8 Curva de Engel do bem ; Curva de Engel do bem. Ambos os bens são bens normais, uma vez que as suas curvas de Engel têm declive positivo. Exercício.4 Curva Consumo-endimento e Curvas de Engel - bem prioritário e bem de luxo (solução de canto) Suponha que as preferências de um consumidor em relação aos bens e são descritas pela função U(+8)(+4), 0, 0, na qual U designa o índice utilidade e e as quantidades de cada um dos bens, expressas em unidades por período de tempo. Os preços unitários destes bens são os seguintes: 00 u.m. e 00 u.m. a) Determine a expressão analítica das curvas de indiferença associadas a esta função utilidade e esboce algumas dessas curvas. b) Determine a expressão analítica da curva consumo-rendimento e explicite o significado desta curva. roceda a uma representação gráfica ilustrativa. c) Determine as expressões analíticas das curvas de Engel dos bens e e explique o significado destas curvas. roceda a uma representação gráfica ilustrativa. d) Classifique estes dois bens, tendo em conta a relação entre o seu consumo e o rendimento do consumidor. e) Determine a quantidade consumida de ambos os bens em equilíbrio, quando o rendimento integralmente despendido, por período de tempo, na aquisição destes dois bens é de 4000 u.m.. esolução a) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por equação: u u ( + 8)( + 4) u + 4 () 4 ( + 4) ( + 4 ) A partir do estudo de () pode concluir-se que: - as curvas de indiferença são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem, uma vez que a ª derivada é negativa e a ª derivada é positiva: ' u '' u < 0 e > 0 3 ( + 4 ) ( + 4 ) - as curvas de indiferença intersectam os dois eixos coordenados: 38

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) u u 3 0 4, sendo ( 0; ) as coordenadas do ponto em que a curva de índice u 8 8 intersecta o eixo vertical; u u 3 0 4, sendo ( ; 0 ) as coordenadas do ponto em que a curva de índice u 8 8 intersecta o eixo horizontal ; - as curvas de indiferença têm também assímptotas vertical (-4) e horizontal (-4), as quais se situam fora do º quadrante, onde a função utilidade não tem significado económico ( 0; 0). Figura.4-a epresentação das curvas de indiferença de índices 48, 64,80 e 96 b) A curva consumo rendimento é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o seu rendimento e tudo o mais permanece constante (neste caso, as suas preferências e os preços dos bens e ). É definida no espaço de bens (,), sendo a sua expressão analítica do tipo f() ou g(). Sendo a TMS, igual ao quociente das utilidades marginais de e de, para a calcular haverá que começar por derivar parcialmente em ordem a e a a função utilidade: TMS, U U ( + 4) e ( + 4) TMS, () ( + 4) TMS, + 4 + 4 ( + 4) or sua vez, a restrição orçamental do consumidor é: +,ou seja, (3) 00+00, sendo o seu declive igual a -. Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, existe a possibilidade de haver solução de canto, caso em que, em equilíbrio, o consumidor adquirirá apenas um dos bens. Surgem assim três casos possíveis, estando ilustrados nas figuras.4-b),c),d),e),f) os casos relativos a solução de canto. Analisemos cada um destes casos. 39

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) º caso: solução de canto no ponto A (0,>0), ou seja, no ponto em que a recta de orçamento intersecta o eixo horizontal. Neste caso, dada a restrição orçamental do consumidor, u é a curva de indiferença de nível mais elevado que o consumidor pode alcançar, gastando todo o seu rendimento no bem. Esta situação explica-se pelo facto de o preço do bem ser demasiado elevado em relação ao preço do bem para que o consumidor o deseje consumir. No ponto A, o valor da TMS, será inferior (ou no máximo igual) ao da razão de preços (Figura.4-b) e c). (b) (c) Figura.4 Solução de canto no ponto A. Na parte (b): TMS, < ; na parte (c): TMS, O ponto A é um ponto de equilíbrio se se observarem as duas condições seguintes: + 4 + 4 + Como, no ponto A, 0 : + 4 4 4 00 00 4 400 00 Em conclusão, o ponto A é um ponto de equilíbrio para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400 u.m. por período de tempo, caso em que o consumidor adquirirá uma quantidade do bem que será inferior ou igual a 4 unidades. Deste modo, para níveis de rendimento não superiores a 400 u.m.,a curva consumo rendimento coincide com o eixo horizontal até ao ponto de coordenadas (0,4). Em termos analíticos será: (3) 0 e 0 4 se 0 400 º caso: Solução de canto no ponto B (>0, 0), onde a recta orçamental intersecta o eixo horizontal. Em equilíbrio o consumidor gastará agora todo o seu rendimento no bem, pelo que /00. Este ponto é de equilíbrio se nele o valor da TMS, for superior (ou no máximo igual) ao da razão de preços (Figura.4-d),e). 40

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 4 Como, no ponto B, 0, então esta condição virá:, o que é uma condição impossível pois + 4 >0. Em conclusão, para esta razão de preços, não existe solução de canto no ponto B, pois essa solução é impossível. (d) (e) Figura.4 Solução de canto no ponto B: na parte (d) TMS, > e na parte (e) TMS, 3º caso: solução interior (>0,>0) Em equilíbrio, o consumidor consumirá ambos os bens. Esta solução só ocorre para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo, como resulta do estudo do º caso.. Quando existe solução interior, no equilíbrio verifica-se a condição: + 4 00 TMS, + 4 + 4 00 Deste modo, para >400, a curva consumo-rendimento tem por equação: (4) +4. eunindo (3) e (4), conclui-se que a expressão analítica da curva consumo-rendimento é: 0 4 e 0 se 0 400 () + 4 se > 400 Em conclusão, em equilíbrio, o consumidor só consumirá ambos os bens se o seu rendimento por período de tempo for superior a 400 u.m.; para níveis de rendimento inferiores ou iguais a 400 u.m., todo o rendimento será despendido no consumo do bem e, naturalmente, se o seu rendimento for nulo, o consumo do bem também o será. 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.4-e) Curva Consumo endimento (ilustração para os casos em que 400, 00, 000 e 4000) c) A curva de Engel de um bem mostra a relação entre a quantidade procurada desse bem, em equilíbrio, e o rendimento do consumidor, mantendo-se constantes as suas preferências e o preço dos bens. Obtém-se a partir da curva consumo-rendimento, relacionando a quantidade procurada do bem com os níveis alternativos de rendimento do consumidor. c.) A curva de Engel do bem é uma função do tipo f(). É deduzida a partir da análise do equilíbrio do consumidor, sob as hipóteses de que se mantêm as suas preferências e os preços dos bens ( 00 e 00). º Caso: Solução de canto no ponto A (0 400) Neste caso, o rendimento é integralmente gasto na aquisição do bem, pelo que, neste ramo, a expressão analítica da curva de Engel do bem é: 00 º Caso: Solução interior (>400) 4 + 4 00 TMS, + 4 + 4 00 (6) 00 + 00 4 + 00 + 00 00 + 00 + 400 + 400 00 00 Note-se que, uma vez que já se tinha calculado a expressão analítica da curva consumo-rendimento, bastaria ter iniciado a resolução a partir do sistema (6). 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 00 Curva de Engel do bem : (7) + 400 00 para para 0 400 > 400 Figura.4-f) Curva de Engel do bem (ilustração para os casos em que 400, 00, 000 e 4000) c.) A curva de Engel do bem é uma função do tipo g (), sendo calculada sob as hipóteses de que permanecem constantes as preferências do consumidor e os preços de ambos os bens ( 00 e 00). Como o bem só é consumido para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo, isto é, quando a solução de equilíbrio é uma solução interior, para obter a curva de Engel do bem basta considerar o sistema (6) e resolvê-lo de modo a obter a expressão pretendida, ou seja: + 4 00 + 00 00 + 00( + 4) 400 400 400 400 Curva de Engel do bem : (8) 0 400 400 para para 0 400 > 400 43

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.4-g) Curva de Engel do bem (ilustração para os casos em que 400, 00, 000 e 4000) d) ara calcular a elasticidade rendimento, pode-se utilizar as curvas de Engel de cada bem. Quanto ao bem, a elasticidade rendimento só é definida para níveis de rendimento superiores a 400 u.m. por período de tempo. Tendo em conta a expressão analítica definida em (8) para esse intervalo: d 400 ε, ε, ε, ε, > se > 400 d 400 400 400 400 400 400 Quanto ao bem, utilizando (7): ε, ε, d d ε, 00 / 00 00 + 400 00 se 0 400 ε se > 400 ε,, se 0 400 < + 400 se > 400 ode concluir-se que, ambos os bens são bens normais pois, quando definida, a elasticidade rendimento é positiva. No entanto, enquanto que o bem é um bem de luxo, pois a elasticidade rendimento é superior à unidade, sendo adquirido apenas para >400, o bem é um bem de primeira necessidade. De facto, o consumidor consagra a totalidade do rendimento à aquisição deste bem, para níveis baixos de rendimento ( 400), sendo nesse caso a sua elasticidade rendimento unitária, e para níveis de rendimento mais elevados (>400), a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento (elasticidade rendimento é inferior à unidade). e) ara determinar a combinação óptima destes dois bens, basta substituir nas expressões (7) e (8) atrás calculadas das curvas de Engel, por 4.000, obtendo-se e 9, respectivamente. Substituindo estes dois valores na expressão da função utilidade: U(x9+8)(+4) U676 44

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Em equilíbrio, este consumidor adquirirá, por período de tempo, 9 unidades do bem e unidades do bem, situando-se na curva de indiferença de índice 676 (Figura.4-h)). Fig.4-h) Solução interior Exercício. Curvas de Engel -bem normal e bem inferior (solução de canto) Suponha que as preferências da família ereira em relação à carne de frango são definidas pela função U(+6) (+), com 0 e 0, onde U designa o índice de utilidade e e representam a quantidade de carne de frango do campo e de aviário, respectivamente, expressas em quilogramas por mês. O preço de um quilograma de carne de frango de aviário é de,0, sendo o outro tipo de carne 80% mais caro. a) epresente graficamente uma curva de indiferença. b) Determine a quantidade consumida de cada tipo de carne em função do rendimento que esta família afecta mensalmente ao consumo de carne de frango e represente graficamente essas funções. c) Caracterize estes dois bens. esolução a) A curva de indiferença correspondente a um nível de utilidade u>0, tem por equação: u u ( + 6 )( + ) u + () + 6 + 6 As curvas de indiferença são decrescentes e convexas em relação à origem, uma vez que: ' u '' u < 0 e > 0 3 ( + 6) ( + 6) As curvas de indiferença intersectam: - o eixo vertical no ponto (0,u/6) -o eixo horizontal no ponto ( 3 + 9 + u, 0 ) 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.-a) Curva de indiferença de índice u>0 b) Como as curvas de indiferença intersectam os eixos coordenados, três situações de equilíbrio são possíveis 7. Examinemo-las. Antes porém calculemos: + + 6 TMS, () TMS, + 6 U U + + 6 e estrição orçamental: (3) 4,+, pois (+0,8) + 6 º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (0, >0) Este ponto será a escolha óptima se nele se verificarem as duas condições seguintes: TMS, Usando () e como + 0 + 6 4,8,8 tem se : 6,, 4,8, ara níveis de rendimento inferiores ou iguais a, esta família só consome carne de frango de aviário (bem ) º Caso: Solução de canto no ponto em que a recta orçamental intersecta o eixo horizontal: (>0, 0) Este ponto será o ponto de equilíbrio se: TMS, Usando () e como + 0 + 6 4,8 tem se : + 6 4, 4, 4 08 4, ara níveis de rendimento superiores ou iguais a 08, só consome carne de frango do campo (bem ). 7 Ver no exercício.4, as figuras.4-b),c),d),e). 46

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 3º Caso: Solução interior: (>0,>0) 8 Esta solução ocorre para <<08 e é definida pelas seguintes condições: + + 6 TMS,, 8 Usando () e (3) tem se :(4) + 6 + 4, +, esolvendo a ª equação em ordem a e substituindo na restrição orçamental : 0, + 4, 8-4, +, ( 0, + 4, 8) () 3 4 4 esolvendo a ª equação de (4) em ordem a e substituindo na restrição orçamental : 4 08 4, ( 4 ) +, (6) 0, 0 +, 4 0 eunindo os 3 casos, as expressões analíticas das curvas de Engel são: (Curva de Engel do bem ) (Curva de Engel do bem ) Curva de Engel do bem : 0 4 4, 3 se 0 se < < 08 se 08 Curva de Engel do bem :, 0, 0 +, 4 0 se 0 se < < 08 se 08 8 Note-se que, quando a solução de equilíbrio é interior, os pontos em que a recta de orçamento intersecta os eixos não são pontos de equilíbrio, uma vez que não satisfazem as condições requeridas para tal. De facto, tem-se, então, que - no ponto de intersecção com o eixo horizontal (0,>0), a TMS, é superior à razão de preços, ou seja, >: + 6 > 4, 8 TMS, > >, 8 > 4, 8 > Substituindo obtém - se : 6, +,, - no ponto de intersecção com o eixo vertical (>0, 0), a TMS, é inferior á razão de preços, isto é, <08: + 6 < 4 TMS, < <, 8 < 4, 8 < 08 Substituindo obtém - se : + 6 4, + 4, 4, O que confirma que, quando <<08, a solução é interior. 47

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.-b) Curvas de Engel do bem e do bem NOTA: A curva consumo-rendimento (não se pede) é: 0 e 0 4,8-0, + 4,8 4 e 0 se se se 0 < < 08 08 c) A carne de frango do campo (bem ) só é consumida para níveis de rendimento superiores a é um bem normal, pois a sua curva de Engel tem declive positivo, pelo que o consumo aumenta com o aumento do rendimento mensal afecto ao consumo destes dois bens 9. Esta família só consome frango de aviário (bem ), para níveis de rendimento muito baixos ( ) e, nesse intervalo, este bem é um bem normal. Mas depois, à medida que o rendimento aumenta, ela vai progressivamente substituindo o frango de aviário pelo frango do campo. Daí que, quando o rendimento gasto mensalmente em carne de frango está compreendido entre e 08 euros, esta família diminua o consumo de frango de aviário e a curva de Engel do bem tenha declive negativo, ou seja, o frango de aviário passou a ser considerado um bem inferior. Finalmente, para níveis de rendimento superiores a 08 euros mensais, esta família deixa de consumir frango de aviário e passa a consumir apenas frango do campo. 9 Note-se que, no entanto, a elasticidade-rendimento da procura do bem não é sempre a mesma. Assim, para є [, 08], a procura deste bem é inelástica em relação ao rendimento, enquanto que, para >08, a elasticidade rendimento é unitária. 48

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Exercício.6 Curva Consumo-reço e Curva da rocura As preferências do Tiago em relação aos bens e são descritas pela seguinte função: U, O, 0, onde U designa o índice de utilidade e e as + quantidades consumidas de cada um dos bens, expressas em unidades por período de tempo. Admita que este consumidor gasta integralmente na aquisição destes bens 90 unidades monetárias, por período de tempo, e que o preço do bem é de unidades monetárias, enquanto que o preço do bem é de 4 unidades monetárias. ) epresente graficamente a curva de indiferença associada ao índice de utilidade u>0. - a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem, explicitando o seu significado económico. b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem. c) Utilizando a representação gráfica, ilustre como se deduz a curva da procura do bem, a partir da sua curva consumo-preço. 3- a) Determine a expressão analítica da curva consumo-preço do bem e representea graficamente. b) Calcule a expressão analítica da curva da procura do bem. c) Utilizando a representação gráfica, ilustre a dedução da curva da procura do bem, a partir da sua curva consumo-preço. 4) Calcule as quantidades óptimas de cada bem que o Tiago deve adquirir, bem como o nível de satisfação proporcionado por esse consumo. Ilustre graficamente a situação de equilíbrio. esolução: ) Seja u uma constante positiva qualquer. A curva de indiferença de índice u tem por expressão analítica: u u u + u ( x u) u, > u, > u + u Esta curva é continuamente decrescente e convexa em relação à origem, uma vez que a ª derivada é negativa e a ª derivada é positiva: ' u( u) u ' u < 0 ( u) ( u) '' 0 ( u ) ( u) '' 4u > 0 4 3 ( u) ( u) Admite uma assímptota vertical em u e uma assímptota horizontal em u: lim + u +, u é assímptota vertical e lim u +, u é assímptota horizontal. Note que, como as curvas de indiferença nunca intersectam os eixos coordenados, sendo definidas apenas para valores de >u e de >u, a solução de equilíbrio é interior, ou seja, em equilíbrio, o Tiago consome sempre ambos os bens. 49

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.6-a) Curva de Indiferença de índice u Nº de unidades do bem por período de tempo u u u Nº de unidades do bem por período de tempo -a) A curva consumo-preço do bem (CC ) é o lugar geométrico dos pontos de equilíbrio do consumidor quando varia o preço do bem e se mantêm constantes o preço do bem ( u.m.), o rendimento nominal disponível (90 u.m.) e os gostos e preferências do consumidor. É, portanto, definida no plano, sendo a sua expressão do tipo: f() ou g(). Como no caso desta função utilidade a solução é interior, em equilíbrio verifica-se a dupla condição: TMS, ( ) + TMS, U U TMS, ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) () TMS, Como e 90, substituindo estes valores em (), bem como o valor calculado em (), obtém-se o sistema (3), que se resolve de modo a achar a relação entre e que define a curva consumo-preço do bem : 4 ( 3) 4 4 90 + 90 + 90 + ( 4 ), 4 4 90 + 4 4 A curva consumo-preço do bem é definida apenas para valores de inferiores a 4, uma vez que, em equilíbrio, a quantidade consumida do bem tem que ser inferior a /, o que resulta da restrição orçamental e do facto de a solução ser interior (em equilíbrio, o Tiago consome sempre ambos os bens, dado não haver solução de canto). A expressão analítica desta curva é então: 0

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ( 4), 0 < < 4 4 ara representar graficamente a curva consumo-preço do bem, tem-se que estudar as características desta função. Zeros: 0 ªDerivada: ' 4 ( 4 ) ( ) ( 4 ) ' ' 0 80 > 0 0 para ª Derivada: '' '' ( 4 ) > 0, para < 4 0 90 0 < < 4 ( 80 4 )( 4 ) '' ' 80 ( 4 ) 4 pois < 4 [ 4( 4 ) + 4 ( 90 )] ( 4 ) ( 4 )( )( 80 ( 4 ) 4 4 '' ) '' 4( 4 ) 4( 0 90 + ) + 360 4 3 ( 4 ) 3 + 4 ( 4 )( 90 ) 4 ( 4 ) '' 800 ( 4 ) 3 Assímptotas: lim +, 4 (assímptota vertical) e lim (não tem assímptota horizontal) 4 + Acurva consumo-preço do bem é crescente e convexa, parte da origem dos eixos e tem uma assímptota vertical em 4. -c) A curva da procura do bem é deduzida sob os mesmos pressupostos que a curva consumo-preço do bem. Mostra a relação entre a quantidade procurada do bem e o seu preço, no equilíbrio do consumidor, ceteris paribus. A sua expressão é do tipo f( ). ara obter a sua expressão analítica, resolve-se o sistema (3), mas agora de modo a obter a relação pretendida entre e : 4 90 + ( ) 90 +, > 0 4 A curva da procura do bem é decrescente e convexa: + 90 ( 90 + (expressão analítica da curva da procura do bem ) + ) d d ( 4 + 90) < 0 ( + ) / e d d, 3 / ( ( + ) + 4( + ) 3 / + ) > 0 -c) ara proceder à ilustração gráfica, arbitraram-se os valores de,, 4 e 9 unidades monetárias para o preço do bem :

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.6-b) Curva Consumo-reço do bem e Curva da rocura do bem 3-a) A curva consumo-preço do bem (CC ) é definida no plano, considerando x variável e assumindo que se mantêm constantes os gostos e o rendimento nominal (90 u.m.) do consumidor, bem como o preço do bem ( 4 u.m.). Aplicando as condições de equilíbrio do consumidor, resolve-se o sistema de modo a obter a relação procurada entre e : ( 6) 4 90 4 + 90 + 4 + 4 0 ± 4 + 80 ± + 4 + + 4 + 4, pois > 0 Estudo da CC : (7) + + 4, > 0 : ª Derivada: ' +, + + 4 ª Derivada : '' ( 06, + 4 ) 3 / > 0, para > 0 < 0

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Assímptotas: lim 0 + 0 (não admite assímptota vertical) e lim,, +, (assímptota horizontal) A curva consumo-preço do bem parte da origem dos eixos coordenados, é crescente e côncava e tem uma assímptota horizontal em,, sendo que,/. 3-b) ara calcular a expressão da curva da procura do bem, resolve-se o sistema () de modo a obter a relação entre e : + 4 90 90 + 90 + 8 4 ( ) + A curva da procura é decrescente (ª derivada negativa) e convexa (ª derivada positiva) 3-c) ara a ilustração, arbitraram-se os valores de 0,7,,, 4 e 8 unidades monetárias para o preço do bem : Figura.6-c) Curva Consumo-reço do bem e Curva da rocura do bem 3

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 4) ara achar a combinação óptima de e, quando 90 u.m. e u.m. e 4 u.m., basta substituir os valores dos preços nas funções procura de cada bem (expressões e 8). Em equilíbrio, o Tiago consome unidades de cada bem por período de tempo e situa-se na curva de indiferença de índice 0. Figura.6-d) Equilíbrio do Consumidor (,, u) 7 70 6 Nº de unidades do bem por período de tempo 60 0 4 40 3 30 0 0 0 0 0 0 30 3 40 4 0 60 6 70 7 Nº de unidades do bem por período de tempo u,-0, Exercício.7 Configuração da Curva Consumo-reço e Elasticidade da rocura Considere o enunciado do exercício.6 ) A partir do comportamento da curva consumo-preço do bem, conclua sobre o grau de elasticidade-preço da procura deste bem. ) Confirme a conclusão que retirou na alínea anterior através do cálculo das elasticidades preço da procura desse bem. 3) A partir da relação entre elasticidade-preço da procura do bem e despesa no bem, pronuncie-se sobre o valor da elasticidade preço-cruzada entre os bens e. 4) Confirme a conclusão que acabou de retirar, recorrendo ao cálculo da elasticidade preço-cruzada da procura do bem em relação ao preço do bem. ) Que conclui acerca da relação económica entre os bens e? Justifique a sua resposta. 0 Valor obtido através da substituição dos valores de e de na função utilidade. 4

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ) Como se viu na resolução de 3-a) do exercício.6, a curva consumo-preço do bem tem declive positivo, pois a sua primeira derivada é positiva. Isto significa que, à medida que o preço do bem diminui, se regista um aumento do consumo de ambos os bens. Como, por hipótese, o rendimento nominal do Tiago e o preço do bem permanecem constantes, o aumento da despesa no bem só é possível devido à diminuição da despesa no bem. Consequentemente, a curva da procura do bem é inelástica, uma vez que o preço do bem e a despesa efectuada na sua aquisição variam no mesmo sentido. ) ara calcular a elasticidade-preço da procura do bem, precisa-se da expressão da curva da procura deste bem, a qual foi obtida na resolução da questão 3-a) do exercício.6 (expressão 8): 90. Deste modo: + E d d / [ + ( ) ] 90 ( + ) ( + ) 90, E, x E, + + < A curva da procura do bem é inelástica, uma vez que a elasticidade-preço da procura do bem é, em valor absoluto, inferior à unidade. Comprova-se, assim, a análise realizada na alínea anterior sobre o significado do comportamento ascendente da curva consumo-preço. 3) Sendo a procura do bem inelástica em relação ao seu próprio preço, se o preço do bem diminuir (aumentar), a despesa realizada na aquisição deste bem também diminui (aumenta), ceteris paribus, pelo que a despesa no bem aumenta (diminui). Consequentemente, a elasticidade cruzada da procura do bem em relação ao preço do bem é negativa, uma vez que a quantidade procurada do bem e variam em sentido contrário. 4) ara calcular a elasticidade cruzada da procura do bem, é necessário determinar a expressão analítica da procura do bem em função das suas determinantes (, e ). etomando as condições de equilíbrio do consumidor, calculadas na resolução da alínea -a) do exercício.6: + + + + (função procura do bem ) + ( + ) (função procura do bem ) + A elasticidade cruzada da procura do bem é : E, O que, graficamente, equivale a rodar a recta de orçamento para a direita em torno do ponto (0,,). Alternativamente, e como 4 e 90, podia-se ter calculado a procura do bem em função apenas do preço do bem, através da substituição daqueles valores na função procura do bem,

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) 6 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] 0 < + + + + + + + + + ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / / / / / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) 0 E E < + + + + + ) (,, ) Sendo a elasticidade preço-cruzada da procura negativa, isso significa que os bens e são bens complementares. No entanto, e como se pode observar da forma das curvas de indiferença do Tiago em relação aos bens e, existe substituibilidade entre eles, uma vez que aquelas são decrescentes e convexas em relação à origem, sendo a taxa marginal de substituição de por, em valor absoluto, decrescente 3. Esta aparente contradição na relação entre os dois bens pode explicar-se do seguinte modo: - como a elasticidade-preço cruzada exprime a variação relativa do consumo de um bem induzida pela variação relativa do preço do outro bem, isso significa que ela contempla o efeito total da variação do preço; - quando se classificam dois bens a partir da forma das curvas de indiferença, a análise é realizada ao longo da mesma curva de indiferença, o que significa que o nível de utilidade permanece constante. Em termos de decomposição do efeito total da variação do preço de um dos bens, significa que se neutralizou o efeito-rendimento, através de uma variação compensatória do rendimento, que permita manter constante o nível de utilidade do consumidor e isolar o efeito substituição. Deste modo, pode haver situações em que a classificação da relação entre dois bens não seja a mesma, consoante seja baseada no cálculo da elasticidade-preço cruzada da procura - que tem em conta o efeito total da variação do preço do outro bem - ou assente apenas no efeito substituição. Daí que, na literatura, a classificação da relação económica entre dois bens, a partir do sinal da elasticidade-preço cruzada, surja com a designação adicional de bruto 4, para acentuar o facto de se basear no efeito total da variação do preço. O termo líquido é usado quando se classificam os dois bens, tendo em conta apenas o efeito substituição, isto é, após a remoção do efeito rendimento. determinando a partir daí a expressão relativa à elasticidade-preço cruzada do bem. Obter-se-ia: 0 4 E < +, 3 De notar que o grau de complementaridade ou de substituibilidade entre os dois bens não é total, pois não se está perante bens complementares perfeitos ou bens substitutos perfeitos. 4 Os bens são classificados como substitutos brutos ( gross substitutes ), quando a elasticidade cruzada é positiva, como complementares brutos ( gross complements ), quando a elasticidade cruzada é negativa, e como independentes, quando a elasticidade cruzada é nula. O cálculo desta elasticidade é realizado com base na função procura ordinária ou Marshalliana, obtida na resolução deste exercício. Os bens são classificados como substitutos líquidos ( net substitutes ) e complementares líquidos ( net complements ) e a sua classificação é realizada a partir do cálculo da função procura compensada ou Hicksiana.

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) De notar, finalmente, que os bens e são bens normais 6 e daí que o efeito rendimento seja para ambos positivo, isto é, a variação do consumo desses bens vai no mesmo sentido que a variação do rendimento real do consumidor. Assim, por exemplo, se diminuir o preço do bem, o aumento do consumo deste bem é explicado, simultaneamente, pelo efeito substituição e pelo efeito rendimento, este último reforçando o primeiro. No entanto o efeito total da variação do preço do bem sobre o outro bem (bem ) não é a priori determinado, uma vez que o efeito substituição e o efeito rendimento actuam em sentidos contrários: enquanto que o efeito substituição conduz à diminuição do consumo do bem, pois este bem tornou-se relativamente mais caro, o efeito rendimento leva ao aumento do seu consumo, devido ao aumento do rendimento real do consumidor. Neste exercício, o efeito total sobre o bem da diminuição do preço do bem resultou no aumento do consumo do bem, o que significa que o efeito rendimento foi mais forte que o efeito substituição. Em suma, para a situação da diminuição do preço do bem : Efeito Substituição (Medido ao longo da curva de indiferença) Bem Bem elação entre os bens Aumento do consumo Diminuição do consumo Substitutos ( net substitutes ) Efeito endimento Aumento do consumo Aumento do consumo Efeito Total Aumento do consumo Aumento do consumo Complementares ( gross complements ) Exercício.8 Decomposição do Efeito reço em Efeito Substituição e Efeito endimento Considere que as preferências de um consumidor representativo são descritas pela função U, onde U designa o índice de utilidade, a quantidade de bem consumida por período de tempo, expressa em unidades, e representa os outros bens (bem compósito). O consumidor dispõe de um rendimento de 40 u.m. por período de tempo que gasta integralmente nestes bens. O preço do bem é de u.m. e o do bem compósito é de u.m..suponha que o preço do bem duplicou. Determine o efeito preço e decomponha-o, analítica e graficamente, nas suas componentes de efeito rendimento e de efeito substituição segundo as abordagens seguintes:. Variação compensatória do rendimento a) Método de Hicks b) Método de Slutsky. Variação equivalente do rendimento. esolução ara determinar o efeito total da variação do preço do bem sobre o consumo deste bem e dos outros bens, tem-se que calcular a situação de equilíbrio inicial ( u.m.) e a situação de equilíbrio final ( u.m. e u.m.): Situação de equilíbrio inicial: 6 Como se pode concluir a partir da análise das suas funções procura, que apresentam derivadas parciais positivas em relação ao rendimento. 7

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) U U 400 0 x 0 40 0 0 + + 40 Em equilíbrio, o consumidor adquire 0 unidades do bem por período de tempo e dispõe de 0 u.m. para gastar na aquisição dos outros bens (bem ), situando-se na curva de indiferença de índice 400. Situação de equilíbrio final: U U 00 0 40 4 0 + + 40 Após a alteração dos preços relativos, o consumidor passa a adquirir apenas 0 unidades do bem por período de tempo e dispõe de 0 u.m. para gastar na aquisição dos outros bens (bem ), situando-se na curva de indiferença de índice 00. ode-se concluir que o efeito total resultante do aumento do preço do bem (efeito-preço) foi: - sobre o bem : 0-0 -0 unidades por período de tempo; - sobre o bem : 0-0 0. ara se decompor o efeito preço em efeito substituição e em efeito rendimento, tem que se determinar uma situação de equilíbrio, que corresponde às escolhas que o consumidor realizaria se, dado o novo sistema de preços, auferisse de uma variação hipotética do rendimento ( variação compensatória do rendimento ) que o compensasse da perda de rendimento real provocada pela duplicação do preço do bem. Essa variação compensatória do rendimento é definida como sendo aquela que permitiria ao consumidor manter o seu poder de compra, sendo este entendido: - na abordagem de Hicks, como aquele que permite que o consumidor continue a usufruir do mesmo nível de satisfação inicial (U400); - na abordagem de Slutstky, como aquele que permite que o consumidor continue a poder adquirir o cabaz de bens inicial (0; 0). Através desta variação hipotética do rendimento neutraliza-se, em termos analíticos, a diminuição do rendimento real do consumidor, que é provocada pelo aumento do preço do bem. Deste modo, a passagem da situação de equilíbrio inicial para esta situação de equilíbrio hipotética permite isolar o efeito-substituição - variação no consumo de e de que se explica pela alteração dos preços relativos dos bens. A passagem da situação de equilíbrio hipotética para a situação de equilíbrio final (e que corresponde à reposição de facto do rendimento real do consumidor) permite isolar o efeito rendimento, ou seja, a alteração no consumo de e de que se explica pela diminuição do rendimento real do consumidor resultante do aumento do preço do bem. -a) A determinação da situação de equilíbrio hipotética passa pela resolução do seguinte problema: qual é o rendimento mínimo de que o consumidor necessitaria ( H ) para que, dados os novos preços, mantivesse constante o seu nível de utilidade? Formalizando: Min H + sujeito a U400 A solução deste problema é dada pela resolução do sistema: 400 400 + 400 00 4,4 TMS, 00 8,8 4 + 4 00 6,7 + H H H H 8

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Se o consumidor auferisse de uma variação compensatória do rendimento de cerca de 6,7 u.m. então, aos novos preços relativos dos bens, ele consumiria em equilíbrio cerca de 4,4 unidades do bem por período de tempo e disporia de cerca de 8,8 u.m. para adquirir os outros bens. Segundo a abordagem de Hicks, a decomposição do efeito-preço é: Bem Bem Efeito Substituição 4,4 0 -,86 8,8 0 + 8,8 Efeito endimento 0 4,4-4,4 0 8,8-8,8 Efeito Total (Efeito reço) - 0 0 Figura.8-a) Decomposição do efeito-preço segundo Hicks -b) O rendimento que o consumidor necessitaria de possuir para, aos novos preços, poder continuar a adquirir o cabaz de bens inicial (0; 0) é igual a: S x 0 + 0 S 60 u.m. De notar que, neste caso, a variação compensatória de rendimento (0 u.m.) equivale à diferença de custo de aquisição de 0 unidades do bem (0, sendo - e 0) e daí que esta abordagem surja, também, designada por técnica da diferença de custo. No entanto, com este rendimento e para a nova razão de preços, o consumidor não está em equilíbrio, porque a recta orçamental intersepta a curva de indiferença de índice 400 no ponto A ( figura.8-b). A situação de equilíbrio correspondente a este nível de rendimento hipotético é obtida através da resolução do sistema: U U U 40 TMS, 30 60 + + + 60 S Neste caso, o consumidor atingiria um maior nível de bem-estar (U40), consumindo, em equilíbrio, unidades do bem por período de tempo e dispondo de 30 u.m. para adquirir os outros bens. 9

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) A decomposição do efeito-preço segundo a abordagem de Slutsky é: Bem Bem Efeito Substituição 0-30 0 + 0 Efeito endimento 0-0 30-0 Efeito Total (Efeito reço) - 0 0 Figura.8-b) Decomposição do efeito-preço segundo Slutsky. Na abordagem da variação equivalente, isola-se, em primeiro lugar, o efeito rendimento e, depois, o efeito substituição. Como se viu, o aumento do preço do bem provoca uma diminuição do nível de bem estar do consumidor (passou da curva de indiferença de índice 400 para a de índice 00). Mas esta mesma redução do nível de bem-estar podia ter sido, alternativamente, provocada por uma redução hipotética do rendimento nominal do consumidor, mantendo-se constantes os preços relativos iniciais. Esta variação hipotética do rendimento é designada por variação equivalente, no sentido em que tem o mesmo efeito sobre o bem-estar do consumidor que a alteração do preço do bem. ara se decompor o efeito preço, tem que se calcular a situação de equilíbrio que se observaria se, dados os preços iniciais ( 0 ), se tivesse observado, por hipótese, uma variação do rendimento (nominal) do consumidor que conduzisse a que o seu nível de bem-estar fosse igual ao que usufrui na 0 Min E + situação de equilíbrio final (U00). O problema a resolver é:, sendo a sua Sujeito a U 00 solução obtida através da resolução do sistema: U 00 + 00 00 4,4 0 TMS, 00 4,4 0 + E 00 8,8 E + E E 60

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) A diminuição do rendimento, necessário para que o consumidor atinja o nível de bem-estar equivalente ao alcançado com o aumento do preço do bem, é de cerca de,7 u.m. ( 8,8 40). Se o rendimento nominal do consumidor diminuísse nesse montante, em equilíbrio, e dados os preços iniciais dos bens, ele consumiria cerca de 4,4 unidades de bem por período de tempo, dispondo de cerca de 4,4 u.m. para adquirir os outros bens. A passagem da situação de equilíbrio inicial (ponto A) para esta situação de equilíbrio hipotética (ponto B) permite isolar o efeito rendimento (Figura.8-c). Mas, embora a variação equivalente do rendimento tenha o mesmo efeito sobre o bem-estar que o aumento do preço do bem, o efeito deste aumento sobre o consumo é diferente, pois a alteração dos preços relativos conduz a que substitua o bem pelo bem, até que se iguale a TMS, à nova razão de preços. Deste modo, o movimento de B para C, ao longo da curva de indiferença de índice 00, corresponde à variação na quantidade procurada associada, ao efeito substituição (Figura.8-c). Segundo a abordagem da variação equivalente, a decomposição do efeito-preço é a seguinte: Bem Bem Efeito endimento 4,4 0 -,86 4,4 0 -,86 Efeito Substituição 0 4,4-4,4 0 4,4 +,86 Efeito Total (Efeito reço) - 0 0 Figura.8-c) Decomposição do efeito-preço segundo a abordagem da variação equivalente 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Exercício.9 Aplicação da decomposição do efeito preço. Considere o exercício.8, mas admita agora que a duplicação do preço do bem resultou do lançamento de um imposto específico sobre este bem. a) Mostre que, para um mesmo nível de receita fiscal, um imposto de montante fixo que incidisse directamente sobre o rendimento do consumidor seria preferível em termos de bem-estar. Ilustre graficamente a sua resposta e explicite as suas principais limitações. b) Mostre que, para um mesmo nível de redução do bem-estar do consumidor, o governo poderia ter arrecadado uma maior receita fiscal se tivesse optado por um imposto sobre o rendimento, em vez de por um imposto sobre o consumo. Ilustre graficamente a sua resposta.. Admita agora que o único objectivo do governo, ao lançar o imposto específico sobre o preço do bem, é o de reduzir o consumo deste bem. No entanto, para compensar os efeitos negativos sobre o bem-estar resultantes deste imposto, o governo está a considerar a hipótese de accionar, em simultâneo, um mecanismo administrativo com vista à devolução da receita obtida com aquele imposto aos consumidores deste bem. Argumenta a oposição que essa devolução anulará os efeitos pretendidos com o lançamento do imposto. Examine os argumentos em debate. esolução - a) Como se viu na resolução do exercício.8, quando o preço do bem é igual a u.m. - sendo que agora u.m. corresponde ao valor imposto específico sobre o bem (t u.m.) - o consumidor adquire 0 unidades de bem por período de tempo, pelo que a receita fiscal (F) arrecadada pelo governo é igual a 0 u.m. (F t). Deste modo o montante do imposto fixo sobre o rendimento do consumidor que permite arrecadar uma receita fiscal equivalente à do imposto indirecto é de 0 u.m. (T0 u.m.). Neste caso, o rendimento disponível do consumidor para gastar no bem e nos outros bens seria de 30 u.m. ( 40-T) e a situação de equilíbrio seria a que resulta da resolução do seguinte sistema: U U 0 TMS, 30 0 + + 30 U ode-se concluir que se o governo tivesse optado antes por lançar um imposto directo no montante de 0 u.m., o consumidor adquiriria, em equilíbrio, unidades do bem por período de tempo, ficando com u.m. para o consumo dos outros bens. Este tipo de imposto permitiria ao Estado arrecadar a mesma receita fiscal que a obtida com o imposto indirecto e seria preferível, do ponto de vista do consumidor, uma vez que o seu impacto sobre o seu bem-estar é menor. Como se pode observar na Figura.9-a), com o lançamento do imposto indirecto o consumidor situa-se na curva de indiferença de índice 00 (ponto C), enquanto que, se fosse usado um imposto directo, ele situar-se-ia na curva de indiferença de índice (pontod), sendo a receita fiscal arrecadada pelo governo a mesma em ambas as situações (CC FG). Deste modo, embora tanto o imposto específico sobre o preço do bem (imposto indirecto) como o imposto sobre o rendimento (imposto directo) impliquem uma diminuição do nível de bem-estar do consumidor, essa diminuição é menos acentuada no caso do lançamento do imposto directo, uma vez que a redução do consumo é apenas determinada pela redução do rendimento nominal do consumidor, 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) ou seja, este tipo de imposto só desencadeia o efeito rendimento. elo contrário, o lançamento de um imposto específico sobre o preço do bem provoca, também, alteração no preço relativo do bem, aumentando o seu custo de oportunidade em termos dos outros bens e, em consequência, conduz a uma maior redução do consumo, diminuindo mais o nível de bem-estar do consumidor, pois desencadeia, para além do efeito rendimento, o efeito substituição. Esta análise apresenta como principais limitações: - não se pode generalizar e concluir que um imposto directo é necessariamente preferível para todos os consumidores (pense-se no caso de quem não consome o bem ); - o rendimento é exogenamente determinado, não se considerando os efeitos da política fiscal sobre as escolhas do consumidor entre lazer e trabalho. Ora, o lançamento de um imposto directo pode desincentivar alguns consumidores de trabalhar mais para aumentarem o seu rendimento, levando-os a optar por mais tempo de lazer e menos tempo de trabalho; - respeita apenas ao lado da procura, negligenciando os efeitos do lado da oferta. Figura.9-a) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente em termos de receita fiscal - b) ara uma mesma redução do nível de bem-estar (isto é, de U 0 400 para U 00), o governo poderia arrecadar uma maior receita fiscal se tivesse optado antes por um imposto sobre o rendimento do consumidor. Com efeito, a variação do rendimento equivalente à perda de bem-estar associada ao aumento do preço do bem é, como se viu na resolução da alínea do exercício.8, de cerca de,7 u.m. 7, enquanto que a receita fiscal arrecadada com o imposto específico sobre o preço do bem é de apenas 0 u.m.. Com o imposto indirecto, o ponto de equilíbrio é o ponto C, sendo a receita fiscal igual a CC, enquanto que com um imposto directo, equivalente ao imposto indirecto em termos de redução de bem-estar, o ponto de equilíbrio é B, sendo a receita fiscal igual a EG (Figura.9-b). Em conclusão: - um imposto sobre o rendimento conduz a uma menor perda de bem estar do que um imposto indirecto que proporciona o mesmo nível de receita fiscal (para o consumidor, o ponto D é preferível ao ponto C); - para uma mesma redução de bem-estar, o governo pode arrecadar maior receita através do lançamento de um imposto directo (comparar os pontos B e C) 7 Diferença entre o rendimento inicial 40 u.m. e o valor de E, calculado na alínea do exercício..8 63

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Figura.9-b) Imposto indirecto versus imposto directo equivalente em termos de redução do bem-estar. Com o lançamento de um imposto específico de u.m. sobre o preço do bem, as escolhas óptimas do consumidor são (0, 0) e situam-se na curva de indiferença de índice 00 (ponto C), pelo que o consumo do bem diminuiu em 0 unidades por período de tempo (Figura.9-c). Neste caso, o governo pretende devolver o montante arrecadado com o imposto (0 u.m.) ao consumidor, pelo que se tem de calcular qual será o ponto de equilíbrio (ponto D da Figura.9-c) para um rendimento de 0 u.m. (rendimento nominal do consumidor mais a devolução da receita fiscal), mantendo-se os preços relativos resultantes do lançamento do imposto: U 0 4 0 + U 3,, ode-se concluir que a oposição não tem razão, uma vez que a devolução da receita fiscal, embora reduza o efeito sobre a diminuição do consumo do bem que passará a ser de,, em vez de 0, unidades por período de tempo não anula esse efeito, dado que o lançamento do imposto sobre o preço do bem, ao aumentar o custo de oportunidade deste bem em termos dos outros bens, conduz a que o consumidor substitua o bem pelo bem 8. or sua vez, a devolução do montante arrecadado com o imposto contribui para melhorar o nível de bem-estar do consumidor, relativamente à situação de inexistência de devolução, embora haja perda de bem-estar relativamente à situação inicial o consumidor situar-se-á na curva de indiferença de índice 3,, em vez de na curva de índice 400. Isto resulta do facto de o montante devolvido ao consumidor ser inferior ao que seria necessário para o compensar da diminuição do seu poder de compra provocada pelo aumento do preço do bem. 8 Note-se que o movimento do ponto A para o ponto D é uma medida aproximada do efeito substituição. O cálculo rigoroso do efeito substituição requereria que se tivesse devolvido dinheiro suficiente para manter constante o poder de compra do consumidor. 64

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Como se viu na resolução de -a) do exercício.8, o montante da variação compensatória do rendimento que permitiria, aos novos preços, manter constante o nível de bem-estar do consumidor é de cerca de 6,7 u.m. ( H ), enquanto que a devolução do valor do imposto é de 0 u.m., ou seja, inferior ao montante da variação compensatória do rendimento (na figura.9-c), comparar ponto B com o ponto D e EG com EF). Em suma, a devolução do imposto, ao induzir o consumidor a comprar uma maior quantidade do bem, pois é um bem normal (efeito rendimento), contribui para minorar a perda de bem-estar resultante do lançamento do imposto sobre o seu consumo. Figura.9-c) 6

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) Exercício.0 Exercício globalizador O Álvaro e a osa residem em Aveiro. Tendo entrado no ensino superior, vieram estudar para o orto. Daí que os pais lhes subissem a mesada de para 4 unidades monetárias (u.m.). As preferências do Álvaro e da osa são descritas pela seguinte função índice de utilidade: U (x-) y, x e y 0, onde U designa o índice de utilidade, x a quantidade de bens alimentares que consome mensalmente quando se encontra no orto, expressa em unidades, e y representa os outros bens (bem compósito). ) O Álvaro consome, unidades de bens alimentares por mês, ficando apenas com, u.m. para despender nos outros bens, pelo que nem sempre pode acompanhar a osa a espectáculos culturais. A osa acha que ele não está a ser racional; o Álvaro, pelo contrário, considera que a osa não anda a alimentar-se em condições e que o seu nível de bem-estar é inferior ao dele. Sabendo que o preço médio dos bens alimentares é de u.m. e que o preço do bem compósito é de u.m., explique quem tem razão. Ilustre graficamente a sua resposta. ) Calcule a expressão analítica da curva de procura do bem, interpretando o seu significado económico. 3) Admita agora que o preço médio dos bens alimentares aumentou em %, pelo que o Álvaro passou, em equilíbrio, a adquirir mensalmente, unidades de bens alimentares, ficando com,37 u.m. para adquirir os outros bens. a) "erante a diminuição na quantidade procurada de bens alimentares em 6%, devido ao aumento verificado no preço médio desses bens em %, o Álvaro conclui que a procura deste tipo de bens, neste intervalo de preços, é inelástica. a.) Explique, sem efectuar cálculos, como é que o Álvaro chegou a essa conclusão e discuta como se comporta a despesa total em bens alimentares. a.) Determine analiticamente a curva consumo-preço do bem e examine o seu comportamento. b) Devido ao aumento do preço médio dos bens alimentares, o Álvaro vai pedir aos pais para lhe aumentarem a mesada para 4,6 u.m., argumentando que só assim poderá continuar a consumir o mesmo que antes e que, em particular, não terá de reduzir o consumo de bens alimentares. A osa acha que, para manter o seu nível de bem-estar, o Álvaro não necessita de um aumento tão grande da mesada e que não é verdade que, em equilíbrio, vá continuar a adquirir a quantidade inicialmente consumida de bens alimentares. b.) A partir do cálculo da situação de equilíbrio para o caso que o Álvaro está a considerar, fundamente a argumentação da osa. Ilustre graficamente a sua resposta b.) Decomponha o efeito preço, explicitando o significado dos seus componentes e ilustrando-os graficamente. Explique agora porque é que, mesmo após o aumento da mesada para o valor pretendido, o Álvaro reduziria o consumo mensal de bens alimentares. 66

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) esolução ) O consumidor racional escolhe (x,y) de modo a maximizar o seu nível de satisfação, tendo em conta as suas preferências e o seu poder de compra (, p x e p y ). Como as curvas de indiferença associadas a esta função índice de utilidade são continuamente decrescentes e convexas em relação à origem e não intersectam os eixos [y u/(x-), sendo u uma constante positiva] então, em equilíbrio: U x( y ) TMS y, x x p + x TMS y, x p x p y y p y x y pois sendo Uxy-y y x 4 x + y y x 4 x + x y TMS y,x x tem -se que : x U, y, x, U x y x e y U y x y A osa não tem razão, pois a combinação de bens (x,; y,) é aquela que, dadas as preferências, o rendimento e os preços dos bens - que são iguais para o Álvaro e para a osa - permite alcançar o máximo nível de satisfação (ponto A na figura.0-a). Como a osa consome uma menor quantidade de bens alimentares (bem ), dispondo por isso de mais rendimento para afectar à aquisição de todos os outros bens (bem ), ela encontra-se num ponto da restrição orçamental situado entre A e C ( no ponto B, por exemplo), situando-se numa curva de indiferença de índice inferior ao daquela em que se encontra o Álvaro (U Álvaro,). Quem não está a ter um comportamento racional é a osa, dado que não atinge o máximo nível de nível de bem-estar que, dadas as suas preferências, está ao alcance do seu poder de compra (U osa <,). Figura.0.a) Ilustração das situações 67

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) NOTA: Alternativamente, bastava verificar que o valor da TMS y,x é igual a um 9, para a combinação de bens que o Álvaro adquire, igualando a razão de preços. Adicionalmente, aquela combinação esgota o rendimento de que ele dispõe (4,+,), ou seja, é a combinação óptima. A osa, pelo contrário, situa-se num ponto em que a TMS y,x > p x /p y, isto é, p > p, x x y y pelo que não está em equilíbrio, podendo melhorar o seu nível de satisfação se deslocar algum rendimento que está a afectar aos outros bens para o consumo de bens alimentares (diminuindo o consumo de e aumentando o consumo de ), encontrando-se em equilíbrio quando consumir a mesma combinação de bens que o Álvaro (ponto A). ) A curva da procura individual do bem exprime a relação entre a quantidade procurada do bem, no equilíbrio do consumidor, e os vários preços alternativos deste bem, tudo o mais permanecendo constante, ou seja, neste caso: o rendimento, o preço do outro bem e as preferências do consumidor. É uma função do tipo: x f(p x ). O cálculo da sua expressão analítica, parte das condições de equilíbrio do consumidor, onde p x surge como variável e e p y como constantes ( 4 e p y ). Deste modo: y p x x 4 xp x + y y ( x ) p x 4 xp x + ( x ) p x 4 xp x p x 4 + p x p x x x p x + 0, expressao analitica da curva da procura de bens alimentares 3-a.) ara chegar a essa conclusão, recorreu ao conceito de elasticidade preço da procura de bens alimentares (bem ). Esta exprime como varia, em termos relativos ou percentuais, a quantidade procurada de bens alimentares em resposta a uma variação relativa (ou percentual) no seu preço, tudo o mais constante. Como a quantidade procurada de bens alimentares registou uma variação menos que proporcional à alteração do preço médio destes bens (6% é menor do que %) então, em valor absoluto, a elasticidade preço da procura do bem é inferior a um, pelo que a procura deste bem é inelástica, para este intervalo de preços. Em consequência, perante um aumento do preço médio dos bens alimentares, regista-se uma diminuição menos do que proporcional na quantidade procurada, aumentando a despesa total realizada neste tipo de bens 30. 3-a.) para resolver 3-b.) Cálculo da situação de equilíbrio para 4,6 u.m., p x, e p y (situação que o Álvaro está a considerar): U ( x ) y U, 78 y, y, x, y, 687 x 4, 6, x +, x,, x, 87 x, 3 4, 6, x + y Com a mesada que está a pensar pedir aos pais o Álvaro consumiria, em equílibrio, uma menor quantidade de bens alimentares (x,3 < x,) e aumentaria o consumo dos outros bens, passando a auferir de um nível de bem-estar superior ao que auferia antes do aumento do preço médio dos bens alimentares (U,78 > U,). A osa está correcta quando argumenta: - que o acréscimo de rendimento nominal que o Álvaro está a considerar (0,6 u.m. por mês) ultrapassa a variação do rendimento necessária para o compensar da perda de bem-estar associada ao aumento de preço do bem. De facto, a restrição orçamental associada à manutenção do nível 9 Substituindo x, e y, na expressão da TMS y,x, tem-se que no ponto A: TMS y,x, /(, -) TMS y,x 30 Este comportamento permite, também, afirmar que, neste intervalo de preços, a curva consumo preço do bem tem declive positivo. 68

Teoria do Consumidor Questões ráticas (Versão rovisória) de satisfação inicial ( ) situa-se à esquerda da que permite a aquisição da combinação de bens inicial ( ) Figura.0-b); - e que, com uma mesada de 4,6 u.m., em equilíbrio, o Álvaro reduzirá o consumo mensal de bens alimentares. Com efeito, embora o acréscimo de rendimento que o Álvaro está a considerar permita que continue a consumir o mesmo que antes (a restrição orçamental passa pelo ponto A, da figura.0-b), tal cabaz de consumo não é agora um cabaz de equilíbrio: no ponto A, a TMSy,x é igual a, sendo inferior à razão de preços actual (,), pelo que o Álvaro tenderá a deslocar rendimento do bem para o bem, o que lhe permitirá alcançar níveis mais elevados de satisfação, até atingir o ponto B da figura.0-b), que é o ponto de equilíbrio para este nível de rendimento. Figura.0-b) Decomposição do efeito-preço Nota: as coordenadas do ponto D (,;,37) - situação de equilíbrio subsequente ao aumento do preço médio dos bens alimentares são dadas no enunciado da questão 3. 3-b.) O aumento do preço médio dos bens alimentares (bem ) conduz: - a uma alteração nos preços relativos dos bens, o que levará o consumidor a substituir o bem que se tornou relativamente mais caro pelo que passou a ser relativamente mais barato, reduzindo o consumo de e aumentando o consumo de : efeito substituição; - a uma diminuição do rendimento real do consumidor, o que vai provocar uma diminuição da quantidade consumida de ambos os bens, na medida em que ambos são bens normais: efeito rendimento. Bem Bem Efeito Substituição (ES),3 -, - 0,,687 -, + 0,87 Efeito endimento (E), -,3-0,,37 -,687-0,3 Efeito reço (ES + E),-,3-0,4,37 -, - 0, Nota: como resulta do quadro, cada um dos efeitos exprime a variação na quantidade procurada de cada bem. Se o Álvaro conseguir que a sua mesada passe a ser de 4,6 u.m., o efeito rendimento será anulado, mas o efeito substituição continuará a registar-se. Deste modo, o Álvaro irá reduzir o consumo de bens alimentares, dado que este tipo de bens passou a ser relativamente mais caro, e aumentará o consumo dos outros bens, sendo esta alteração explicada pelo efeito substituição. 69