Profa. Eloisa Szanto eloisa@dfn.if.usp.br Ramal: 7111 Pelletron Prof. Henrique Barbosa hbarbosa@if.usp.br Ramal: 6647 Basílio, sala 100 Prof. Nelson Carlin nelson.carlin@dfn.if.usp.br Ramal: 6820 Pelletron Prof. Paulo Artaxo artaxo@if.usp.br Ramal: 7016 Basilio, sala 101
Lei de Faraday: Helmholtz Montar o circuito para gerar o campo da Bobina de Helmholtz Anote as características geométricas da bobina Aplicar corrente alternada (máximo 1,5 A) Escolher freqüência adequada Lembre-se que quanto maior a freqüência maior o sinal induzido Utilizando a bobina sonda calibrada, medir o campo gerado pela bobina de Helmholtz ao longo do eixo-z e do eixo paralelo ao diâmetro que passe pelo centro: de 1 em 1cm Não se limitem somente entre as bobinas. Meça fora delas também. Comparar (graficamente) o valor experimental com previsões teóricas e da simulação, para o campo ao longo de z e ao longo do eixo paralelo ao diâmetro Explicitar a fórmula teórica utilizada para B(z)
Lei de Faraday: Helmholtz Mapeamento ao longo dos eixos: Z paralelo ao diâmetro x b=a Ni Ni a c z i y N espiras Eixo paralelo a um diâmetro
Simulação correta Qual a intersecção da bobina de Helmholtz e um semiplano com origem no eixo de simetria???
Problemas 1 Discutimos em sala como definir a condição de fronteira no FEMM... Intensidade vai a zero, pois linhas são forçadas a desviar...
Simulação errada batendo com observado?!?! Isso são as bobinas do seletor!!!!
Geometria Não é o formato da bobina de helmholtz! O eixo de simetria (R=0) ficava a esquerda na tela
Geometria
Ex em X Teórico e simulado deviam bater Diferenças compatíveis com incerteza em i Faltam curvas teóricas
Ex em X, Problemas... Simulado e teórico? Longitudinal em x ou y deviam ser iguais Medidas fora de centro
X e Y, Boa Apresentação, H08 Conferir valor de corrente! E/ou área da bobina Eixox Eixoy
X e Y, Boa Apresentação, H12 Verificar com H08 a direção dos eixos... Eixox Eixoy
Correntes Alternadas e Faraday 1791-1867
Corrente alternada Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo Nesta experiência: tensões harmônicas simples Importante: qualquer tensão dependente do tempo = superposição de tensões harmônicas simples
V (volts) Tensão alternada Na grande maioria dos usos a tensão (ou corrente) é descrita por uma função harmônica simples: por exemplo na sua casa, a D.D.P. fornecida é senoidal: t(se g) 127V, 60Hz
Tensão harmônica Como descrever matematicamente uma tensão senoidal? V P é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude é a freqüência angular 0 é a fase da tensão alternada no instante t=0 V( t) VP cos( t 0) V P T 2f VPP 2V p T 1 f 0 VPP V ef VP 2
Amplitude T A fase Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não estão necessariamente em fase: V t V t P sin 0 i( t) i sin t 0 1 tensão corrente Período T = 1/f defasagem 0 T 3 Tempo V(t) 2 T T T X i(t)
Diferença de fase Neste caso é mais importante saber a diferença de fase entre a corrente e a tensão do que os valores de ϕ 0 e ϕ 1. Porque? Fase é uma fração de um ciclo (ou período) expressa em graus Entre o início e o fim de um período há uma diferença de fase de 360 o. Um período corresponde a 360 o, ½ corresponde a 180 o, etc ϕ 0 ϕ 1 A tensão é alternada, então a escala de tempo é, de certa maneira, arbitrária
Potência Dissipada - Instantânea Qual é a potência dissipada no elemento? P t V t it Ela depende da diferença de fase entre corrente e tensão no elemento! V i( t) ipsen t t V sen t P P t V i sen tsen t P p Portanto há um termo variável e outro constante! P( t) V P i 2 p cos( ) VPi 2 p cos 2t
Potência média: mais útil O valor médio da potência num período T é: P 1 T A segunda integral é nula, mas a primeira não: P T 0 t V p i 2 P 1 VP i cos P PiP V 2 cos dt cos Chama-se de valor eficaz da tensão, V ef, o valor V P /2 e valor eficaz da corrente, i ef, o valor i P /2 P 1 T T 2 VPi 2 t V i ef ef 0 0 cos P 2 =0 cos(2t ) dt
Potência média Ela depende, além das tensões e correntes, também da defasagem! Vt VP cos t it i t P cos P t 1 2 V i P P cos Agora pode-se calcular a potência média, por ciclo, transferida ao elemento de circuito, seja ele, resistivo, capacitivo, indutivo ou misto.
Exemplo 1: Resistor ôhmico A lei de Ohm diz que V =R i, onde R é uma constante se o resistor for ôhmico. Assim, se a tensão estiver variando, temos que: V t V(t) R Rit i(t) V i t V sen t V R P 0 P t sen t 0 Como as fases ϕ 0 são iguais, então que a corrente e a tensão no resistor estão em fase!
Amplitude Exemplo 1: Resistor ôhmico Para um resistor ôhmico, teremos então que: P( t) V( t) i( t) V p i P sen 2 t 0, sempre sem defasagem tensão corrente potência Período T = 1/f 0 T 3 Tempo A potência varia no tempo mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência!
Exemplo 2: Capacitor Ideal Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: C Além disso, carga e corrente estão relacionados i Portanto: q( t) V ( t) t q(t) t d dt V t q V t VP sin( t) C i( t) CVp cos( t) t C q V P cos( t / 2) A fase não é nula!
Exemplo 2: Capacitor Ideal a corrente está adiantada de /2 em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de /2 é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).
Exemplo 2: Capacitor Ideal A potência em um capacitor pode ser escrita como P(t) V(t) i(t) P( t) Vp cos( t ) 2 CV Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente p cos t ip sin p ) C 2 t i sin( t (-π/2)-(0) = -π/2 (0)-(π/2) = -π/2
Exemplo 3: Indutor ideal Em um indutor ideal, a tensão é dada por: di V t L dt Portanto, se a corrente no indutor é: t i cos t i P Então, temos: A fase não é nula! V di dt t L Li sint Li cos t / 2 P P
Exemplo 3: Indutor ideal a corrente está atrasada de /2 em relação à tensão aplicada ao indutor (Atenção: a defasagem de /2 é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o indutor e não quaisquer outras).
A potência em um indutor pode ser escrita como: Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente P(t) V(t) i(t) 2 sin ) sin( cos ) 2 cos( ) ( t i t Li t L V t V t P p p p p Exemplo 3: Indutor Ideal (π/2)-(0) = +π/2 (0)-(-π/2) = +π/2
Potência - Revisão Para o resistor: P( t) RiP sen 2 t 2 Muito difícil acompanhar os sinais e as trocas de sin(x) por sin(90-x)... Vamos introduzir uma nova notação, mais genérica e mais simples! Para o capacitor: P( t) Para o indudor: P( t) i 2 p C Li sin 1/wC é como se fosse a resistência do capacitor! t sin t t sin t 2 p sin 2 wl é como se fosse a resistência do indutor! 2 Mas essa resistência introduz uma fase! Mas essa resistência introduz uma fase!
Números Complexos Cˆ a b j j 1 C a 2 b 2 Cˆ C e j e j cos j sen tg b a d dt e jt j t e j e jt dt 1 e j jt Integrais e derivadas nesta notação são apenas multiplicações e divisões
Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo: j( t0 ) Vˆ( t) V0e V ( t) ReV ˆ( t) iˆ( t) i 0 e j( t ) 1 i( t) Re V cos( t ) iˆ( t) i cos( t ) 0 0 1 0
Impedância Complexa e Real A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja: Zˆ 0 j V0e j i e t t 1 0 Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que: V 0 i 0 e j 0 1 j Z 0 e A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza característica do elemento X Z 0 cos(phi) é a impedância REAL do elemento X é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X
Resistência e Reatância Da definição de impedância complexa: ˆ Z Z 0 e j Podemos escrever também que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo: R Z 0 cos E reatância deste bipolo (X) X Z 0 sin
Porque usar este formalismo? As grandes vantagens deste formalismo são: Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas ^ Z 1 ^ Z 2 ^ Z Z ˆ Z ˆ 1 Z ˆ 2 ^ Z 1 ^ Z 2 Z ^ 1 Z ˆ 1ˆ 1ˆ Z 1 Z 2
Exemplo 1: Resistor Seja uma tensão e corrente complexas, temos: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim: ˆ Z Z 0 e j R Z 0 R 0 R i(t) Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes
Exemplo 2: Capacitor Sabemos (do começo da aula) que V(t) 1 C i(t)dt Se a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) A impedância de um capacitor vale: Z ˆ V ˆ j (t) i ˆ (t) C i e jt 0 i 0 e jt j C j C i 0 e jt V(t) C i(t)
Ou seja Mas lembrando que: Exemplo 2: Capacitor Z ˆ j C Comparando as duas expressões temos que: Z 0 1 C 2 ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/2 em relação à corrente
Exemplo 3: indutor Sabemos que d V ( t) L i( t) dt Se a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) jli 0 e jt A impedância de um capacitor vale: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) jli i e 0 e jt 0 jt jl L i(t)
Exemplo 3: Indutor Ou seja Zˆ jl Mas lembrando que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Comparando as duas expressões temos que: Z0 L 2 Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está adiantada de π/2 em relação à corrente
Mas o indutor é ideal? Bobinas são fios condutores muito longos enrolados, sua resistência elétrica é, em geral, significativa e não pode ser desprezada. Raramente, o modelo de um indutor ideal pode ser usado para uma bobina comum. As condições que temos: bobina, circuito e intervalo de freqüência disponíveis, não é possível adotar o modelo de indutor ideal. Pelo menos a resistência da bobina deve ser levada em conta. Isso significa que o modelo adotado para a bobina, não é mais o de uma indutância pura, mas de uma indutância pura ligada, em série, a uma resistência ôhmica.
Indutor real: bobina Indutor real: circuito, em série, de uma resistência e de uma indutância pura A impedância complexa equivalente é a soma das impedâncias complexas de cada elemento. A impedância resistiva da bobina é R B e a impedância complexa do indutor puro é X L : Ẑ jωl A impedância total: Ẑ R B jωl Z 0 e jφ 0
Impedância da bobina: O valor real da impedância da bobina: Z B ẐẐ * R 2 B ω 2 L 2 R B =resistência da bobina L= indutância da bobina E a defasagem entre a tensão da associação em série R B + L e a corrente que a percorre, vocês podem calcular: ωl tgφ0 ou φ0 R ωl arctg B R B
Bobina não é indutor puro Isso vai ter consequências no comportamento de indutores reais no circuito. uma delas é que a defasagem não é mais π/2: ela depende da frequência, da indutância e da resistência da bobina Vocês podem prever o que acontece com a potência!
Tarefas 1: Capacitor Medir a impedância do capacitor em função da frequência Fazer um gráfico da impedância por frequência verificar se a relação teórica prevista é obedecida obter o valor da capacitância e comparar com os valores dos colegas Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no capacitor e comparar com o valor previsto teoricamente. Fazer um gráfico da fase por frequência verificar se a relação teórica prevista é obedecida Comparar também com os valores de seus colegas
Tarefas 2: Indutor Medir a impedância da bobina fornecida (250, 500 ou 1000 espiras) em função da frequência Fazer um gráfico da impedância por frequência verificar se a relação teórica prevista é obedecida obter o valor da indutância e comparar com os valores dos colegas e com o valor nominal Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no indutor e comparar com o valor previsto teoricamente Fazer um gráfico da fase por frequência verificar se a relação teórica prevista é obedecida Compare com os valores obtidos por seus colegas
Tarefas 3: para pensar Além do que foi medido e com as diferenças de fase medidas calcule: A potência média transferida ao resistor, por ciclo. A potência média transferida ao capacitor, por ciclo. A potência média transferida ao indutor, por ciclo.
As medidas: circuitos Em ambos os casos o circuito consta de: Gerador de áudio com saída de baixa impedância Resistor de 47 Ω ou 470 Ω Indutor de 250, 500 ou 1000 espiras Capacitor de 0.47 μf ou 1μF Placa de circuito Osciloscópio
As medidas: Dicas Varie a frequência de 100 a 3kHz, ou próximo a isto. O importante é ter voltagens mensuráveis nos dois canais. Esta medida possibilita medir muitos pontos. As medidas de fase e amplitude podem ser feitas simultaneamente: Organize uma tabela com: frequência, Vc, Vr e ɸ Facilite a sua vida linearizando quando possível. ATENÇÃO COM OS TERRAS: O terra fica entre capacitor(indutor) e resistor: Facilite sua vida ligue somente um terra no circuito.
Osciloscópio gatilho (trigger) acoplamento AC, DC ou terra menu interativo 300V A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado (muda também a impedância) referência 5V terra canal 1 canal 2 varredura (horizontal)
Gerador de audio Não vamos usar! Duty cycle ADJust 50% 25% Frequency ADJust Amplitude ADJust intervalo de frequências Executa parâmetro atenuador
Circuito BOBINA RESISTOR CH1 CH2 CAPACITOR Terra Instrumentos de medida: Osciloscópio Canal 1: -i R = -V R /R é a corrente no circuito Canal 2: V X Cuidado com ruídos Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído