Prof. Henrique Barbosa Edifício Basílio Jafet - Sala 100 Tel

Transcrição

1 Prof. Henrique Barbosa Edifício Basílio Jafet - ala 100 Tel hbarbosa@if.usp.br

2 Tarefas da emana (1) Mesma montagem da calibração da sonda em carretel Usar R auxiliar de 1 a 10 ohms Freqüência: ~3000Hz Medir a f.e.i. induzida na bobina em função da corrente no solenóide e fazer o gráfico Calcular a indutância mútua Comparar com a previsão teórica e com os resultados dos colegas.

3 Amplitude de e 0 (t) Indutância Mútua: solenóide x bobina sonda O fluxo de campo magnético (do solenóide) que atravessa a bobina é, dada a geometria, b : b A b N b B A eff B A f.e.i. na bobina: b d dt b M b di dt bm ( N A 0n ) i b b s m b A eff N D 0 L i Amplitude de i(t)

4 Termo na raiz O campo do solenóide era: e a sonda estava no meio do solenóide, então: 1 ) / ( ) / ( / cos cos cos L D L L D L m m i L N B cos cos 1 0 m m i N L L L N B 0 eff b i L D N A 0 m i N L N 0

5 Fórmula teórica Um dos grupos deduziu a fórmula, pois eu só tinha feito para o solenóide infinito.

6 Era mais direto com εb x ω*is

7 Mútua (sonda + solenóide) Exp (mh) Teórico (mh) H1 0.4 (8) (4) H 0.34 () 0.33 () H (1) (16) H (31) (9) H () (6) H (5) (?) H (1) 0.81 (0.0) H () 0.33 () H9 0.5 (6) 0.5 (6) H (4) (7) H (0) (?) Erro de cálculo 0.4mH e 0.57mH Exp: 0.31 (3) mh Teórico: 0.30 (3) mh Aeff = 0.4(4) m Erro nos dados Erro de cálculo 0.57mH

8 Tarefas da emana () Varie a corrente no solenóide e meça a f.e.i. nele induzida. Faça o gráfico da f.e.i. pela corrente e obtenha o valor de L do solenóide. Compare com o valor previsto teoricamente e com os valores dos colegas. Li m m Há diferença de fase? É o que você esperava? É o previsto teoricamente? Comente

9 Auto-indutância do solenóide Para qualquer solenóide o fluxo é diretamente proporcional à corrente: N Li B e o solenóide for ideal, i.e., o fio não tiver resistência: E a lei de Faraday nos diz que: d ( N) dt A tensão nele é nula para corrente constante A tensão nele é igual a f.e.m induzida pela Lei de Faraday, para corrente alternada Portanto: L di dt a indutância, é na verdade a auto-indutância!

10 Era mais direto com εs x ω*is

11 Auto (solenoide+solenoide) Exp (mh) Teorico (mh) H (1) usou N H 1 () (1) H3 1.0 (3) 3.4 (1) H (47) 0.31 (76) H5 1.9 (3) 3.5 (6) H6 0.5 (4) (?) H7 19. (1).3 (1) H8 1 (1) (1) H9.9 (7) 3.3 (1) H (35) 1.85 (49) H (14) 0.03 Erro de conta N=13.6 mh n=1mh Erro de escala mh Erro de conta 1mH Exp: 0.3 (19) mh Teórico:.3 (10) mh Erro nos dados Não mostrou estimativa

12 Porque todos a média da sala está 9% abaixo do valor teórico? Porque o campo não é uniforme!!

13 Porque todos a média da sala está 9% abaixo do valor teórico? A correção é: Corr 1 cos Fazendo a integral de x=0 até x=l, temos: cos 1 L x x L x ( L x) R L 0 Corr( x) dx L R R Nota: B(x) também não é uniforme fora do eixo! Precisaríamos calcular. L=80cm e R=8cm, portanto: média 1 L L 0 Corr( x) dx ~ 7 80 ~ 0.9

14 Auto (sonda + sonda) - FAE Exp (deg) H1 H 10 (6) H3 H4 105 (7) H5 91 () H (3) H (4) H8 H9 107 (4) H10 96 (3) H14 9. (18) A tensão no solenóide vem a f.e.m. induzida pelo próprio solenóide, assim: e a corrente for: Então i L di dt i 0 sin( t) Li cos( ) 0 t π/

15 Correntes Alternadas e Faraday

16 Corrente alternada Tensão alternada: qualquer tensão que varia no tempo Nesta experiência: tensões harmônicas simples Importante: qualquer tensão dependente do tempo = superposição de tensões harmônicas simples

17 V (volts) Tensão alternada Na grande maioria dos usos a tensão (ou corrente) é descrita por uma função harmônica simples: por exemplo na sua casa, a D.D.P. fornecida é senoidal: t(se g) 17V, 60Hz

18 Tensão harmônica Como descrever matematicamente uma tensão senoidal? V P é a tensão máxima ou tensão de pico ou amplitude é a freqüência angular 0 é a fase da tensão alternada no instante t=0 V( t) VP cos( t 0) V P T f VPP V p T 1 f 0 VPP V ef VP

19 Amplitude T A fase Em um circuito de corrente alternada a tensão e corrente não estão necessariamente em fase: V t V t P sin 0 i( t) i sin t 0 1 tensão corrente Período T = 1/f defasagem 0 T 3 Tempo V(t) T T T X i(t)

20 Diferença de fase Neste caso é mais importante saber a diferença de fase entre a corrente e a tensão do que os valores de ϕ 0 e ϕ 1. Porque? Fase é uma fração de um ciclo (ou período) expressa em graus Entre o início e o fim de um período há uma diferença de fase de 360 o. Um período corresponde a 360 o, ½ corresponde a 180 o, etc ϕ 0 ϕ 1 A tensão é alternada, então a escala de tempo é, de certa maneira, arbitrária

21 Potência Dissipada - Instantânea Qual é a potência dissipada no elemento? P t V t it Ela depende da diferença de fase entre corrente e tensão no elemento! V i( t) ipsen t t V sen t P P t V i sen tsen t P p Portanto há um termo variável e outro constante! P( t) V P i p cos( ) VPi p cos t

22 Potência média: mais útil O valor médio da potência num período T é: P 1 T A segunda integral é nula, mas a primeira não: P T 0 t V p i P 1 VP i cos P PiP V cos dt cos Chama-se de valor eficaz da tensão, V ef, o valor V P / e valor eficaz da corrente, i ef, o valor i P / P 1 T T VPi t V i ef ef 0 0 cos P =0 cos(t ) dt

23 Potência média Ela depende, além das tensões e correntes, também da defasagem! Vt VP cos t it i t P cos P t 1 V i P P cos Agora pode-se calcular a potência média, por ciclo, transferida ao elemento de circuito, seja ele, resistivo, capacitivo, indutivo ou misto.

24 Exemplo 1: Resistor ôhmico A lei de Ohm diz que V =R i, onde R é uma constante se o resistor for ôhmico. Assim, se a tensão estiver variando, temos que: V t V(t) R Rit i(t) V i t V sen t V R P 0 P t sen t 0 Como as fases ϕ 0 são iguais, então que a corrente e a tensão no resistor estão em fase!

25 Amplitude Exemplo 1: Resistor ôhmico Para um resistor ôhmico, teremos então que: P( t) V( t) i( t) V p i P sen t 0, sempre sem defasagem tensão corrente potência Período T = 1/f 0 T 3 Tempo A potência varia no tempo mas é sempre positiva o que significa que o resistor sempre consome potência!

26 Exemplo : Capacitor Ideal Em um capacitor ideal, a capacitância é dada pela razão entre carga acumulada e tensão elétrica, ou seja: C Além disso, carga e corrente estão relacionados i Portanto: q( t) V ( t) t q(t) t d dt V t q V t VP sin( t) C i( t) CVp cos( t) t C q V P cos( t / ) A fase não é nula!

27 Exemplo : Capacitor Ideal a corrente está adiantada de / em relação à tensão aplicada ao capacitor (Atenção: a defasagem de / é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o capacitor e não quaisquer outras).

28 Exemplo : Capacitor Ideal A potência em um capacitor pode ser escrita como P(t) V(t) i(t) P( t) Vp cos( t ) CV Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente p cos t ip sin p ) C t i sin( t (-π/)-(0) = -π/ (0)-(π/) = -π/

29 Exemplo 3: Indutor ideal Em um indutor ideal, a tensão é dada por: di V t L dt Portanto, se a corrente no indutor é: t i cos t i P Então, temos: A fase não é nula! V di dt t L Li sint Li cos t / P P

30 Exemplo 3: Indutor ideal a corrente está atrasada de / em relação à tensão aplicada ao indutor (Atenção: a defasagem de / é entre a corrente e a tensão diretamente sobre o indutor e não quaisquer outras).

31 A potência em um capacitor pode ser escrita como: Atenção, a diferença de fase = Fase Tensão Fase Corrente P(t) V(t) i(t) sin ) sin( cos ) cos( ) ( t i t Li t L V t V t P p p p p Exemplo 3: Indutor Ideal (π/)-(0) = +π/ (0)-(-π/) = +π/

32 Potência - Revisão Para o resistor: P( t) RiP sen t Muito difícil acompanhar os sinais e as trocas de sin(x) por sin(90-x)... Vamos introduzir uma nova notação, mais genérica e mais simples! Para o capacitor: P( t) Para o intudor: P( t) i p C Li sin 1/wC é como se fosse a resistência do capacitor! t sin t t sin t p sin wl é como se fosse a resistência do indutor! Mas essa resistência introduz uma fase! Mas essa resistência introduz uma fase!

33 Números Complexos Cˆ a b j j 1 C a b Cˆ C e j e j cos j sen tg b a d dt e jt j t e j e jt dt 1 e j jt Integrais e derivadas nesta notação são apenas multiplicações e divisões

34 Formalismo Complexo Este formalismo é construído de tal forma a facilitar todos os cálculos que envolvem tensões alternadas Vamos definir as tensões e correntes complexas como sendo: j( t0 ) Vˆ( t) V0e V ( t) ReV ˆ( t) iˆ( t) i 0 e j( t ) 1 i( t) Re V cos( t ) iˆ( t) i cos( t )

35 Impedância Complexa e Real A impedância complexa de um elemento X é definida como sendo a razão entre a tensão e corrente complexas neste elemento, ou seja: Zˆ jt V0e jt i e Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Usando a definição das tensões e correntes complexas, deduzimos que: V 0 i 0 e j 0 1 j Z 0 e A impedância NÃO varia com o tempo. É uma grandeza característica do elemento X Z 0 é a impedância REAL do elemento X é a diferença de fase entre a tensão e corrente causada pelo elemento X

36 Resistência e Reatância Da definição de impedância complexa: ˆ Z Z 0 e j Podemos escrever também que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Define-se resistência (R) de um bipolo como sendo: R Z 0 cos E reatância deste bipolo (X) X Z 0 sin

37 Porque usar este formalismo? As grandes vantagens deste formalismo são: Operações envolvendo tensão e corrente são simples Multiplicações e divisões de exponenciais Associações de bipolos tornam-se simples Como resistores comuns, mas realizadas com grandezas complexas ^ Z 1 ^ Z ^ Z Z ˆ Z ˆ 1 Z ˆ ^ Z 1 Z ^ Z ^ 1 Z ˆ 1ˆ 1ˆ Z 1 Z

38 Exemplo 1: Resistor eja uma tensão e corrente complexas, temos: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) Mas sabemos que R = V/i, ou seja, a corrente e tensão estão sempre em fase. Assim: ˆ Z Z 0 e j R Z 0 R 0 R i(t) Por conta disto que resistores Ôhmicos são muito utilizados em laboratório para medir correntes

39 Exemplo : Capacitor abemos (do começo da aula) que V(t) 1 C i(t)dt e a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que V ˆ( t) A impedância de um capacitor vale: Z ˆ V ˆ j (t) i ˆ (t) C i e jt 0 i 0 e jt j C j C i 0 e jt V(t) C i(t)

40 Exemplo : Capacitor Ou seja Mas lembrando que: Z ˆ j C Comparando as duas expressões temos que: Z 0 1 C ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está defasada de π/ em relação à corrente

41 Exemplo 3: indutor abemos que d V ( t) L i( t) dt e a corrente complexa for dada por: ˆ i (t) i 0 e jt Fica fácil demonstrar que Vˆ ( t) jli 0 e jt A impedância de um capacitor vale: V(t) Z ˆ V ˆ (t) i ˆ (t) jli i e 0 e jt 0 jt jl L i(t)

42 Exemplo 3: Indutor Ou seja Zˆ jl Mas lembrando que: ˆ Z Z 0 cos jz 0 sin Comparando as duas expressões temos que: Z0 L Conclui-se naturalmente que a tensão elétrica está adiantada de π/ em relação à corrente

43 Mas o indutor é ideal? Bobinas são fios condutores muito longos enrolados, sua resistência elétrica é, em geral, significativa e não pode ser desprezada. Raramente, o modelo de um indutor ideal pode ser usado para uma bobina comum. As condições que temos: bobina, circuito e intervalo de freqüência disponíveis, não é possível adotar o modelo de indutor ideal. Pelo menos a resistência da bobina deve ser levada em conta. Isso significa que o modelo adotado para a bobina, não é mais o de uma indutância pura, mas de uma indutância pura ligada, em série, a uma resistência ôhmica.

44 Indutor real: bobina Indutor real: circuito, em série, de uma resistência e de uma indutância pura A impedância complexa equivalente é a soma das impedâncias complexas de cada elemento. A impedância resistiva da bobina é R B e a impedância complexa do indutor puro é X L : Ẑ jωl A impedância total: Ẑ R B jωl Z 0 e jφ 0

45 Impedância da bobina: O valor real da impedância da bobina: Z B ẐẐ * R B ω L R B =resistência da bobina L= indutância da bobina E a defasagem entre a tensão da associação em série R B + L e a corrente que a percorre, vocês podem calcular: ωl tgφ0 ou φ0 R ωl arctg B R B

46 Bobina não é indutor puro Isso vai ter consequências no comportamento de indutores reais no circuito. uma delas é que a defasagem não é mais π/: ela depende da frequência, da indutância e da resistência da bobina Vocês podem prever o que acontece com a potência!

47 Tarefas da emana (1) Medir a impedância do capacitor fornecido em função da freqüência Fazer um gráfico da impedância por freqüência verificar se a relação teórica prevista é obedecida Obter o valor da capacitância e comparar com os valores dos colegas Medir a impedância da bobina fornecida (1000 espiras) em função da freqüência Fazer um gráfico da impedância por freqüência verificar se a relação teórica prevista é obedecida obter o valor da indutância e comparar com os valores dos colegas e com o valor nominal

48 Tarefas da emana () Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no capacitor e comparar com o valor previsto teoricamente. Comparar também com os valores de seus colegas Medir a diferença de fase entre a corrente e a tensão no indutor e comparar com o valor previsto teoricamente Compare com os valores obtidos por seus colegas Além do que foi medido e com as diferenças de fase medidas calcule: A potência média transferida ao resistor, por ciclo. A potência média transferida ao capacitor, por ciclo. A potência média transferida ao indutor, por ciclo.

49 As medidas: circuitos Em ambos os casos o circuito consta de: Gerador de áudio com saída de baixa impedância Resistor de 47 Ω Indutor de 1000 espiras Capacitor de 1μF Placa de circuito Osciloscópio

50 Osciloscópio gatilho (trigger) acoplamento AC, DC ou terra menu interativo 300V A ponta de prova tem atenuador que pode ser alterado (muda também a impedância) referência 5V terra canal 1 canal varredura (horizontal)

51 Gerador de audio Duty cycle ADJust 50% 5% Frequency ADJust Amplitude ADJust intervalo de frequências Executa parâmetro atenuador

52 Circuito BOBINA REITOR CH1 CH CAPACITOR Terra Instrumentos de medida: Osciloscópio Canal 1: -i R = -V R /R é a corrente no circuito Canal : V X Cuidado com ruídos Estimar incertezas na tensão e corrente a partir do nível de ruído