Apresentação: Movimento unidimensional INTRODUÇÃO Um objeto em movimento uniformemente acelerado, ou seja, com aceleração constante, é um importante caso da cinemática. O exemplo mais comum desse tipo de movimento é dado por um objeto qualquer caindo próximo à superfície de um planeta. Um objeto que cai apenas sob a ação da força gravitacional é dito estar em queda livre e possui uma aceleração que depende de sua massa e da massa do planeta. Próximo à superfície da Terra, a aceleração de um objeto em queda livre é aproximadamente constante com um valor médio g = 9,81 m/s 2 = 981 cm/s 2. É claro que a resistência do ar afeta a aceleração do objeto em queda. Porém, para objetos relativamente densos, caindo de pequenas alturas em relação à superfície da Terra, o efeito da resistência do ar é desprezível. Usualmente é uma boa aproximação considerar que um objeto em queda livre possua uma aceleração constante igual a g. Nesta atividade, a aceleração devido à força gravitacional é usada para investigar um objeto em movimento com aceleração constante. Este movimento será caracterizado pelo modo como a velocidade e a posição variam com o tempo. Por outro lado, com as medidas da posição e do tempo, o valor de g será determinado. Os dados coletados na atividade e sua análise produzirão um melhor entendimento das equações da cinemática na descrição do movimento unidimensional. OBJETIVOS DA ATIVIDADE Após realizar o experimento e analisar os dados, você deverá ser capaz de: 1. Distinguir velocidade média da velocidade instantânea. 2. Expressar como a velocidade de um objeto em movimento uniformemente variado muda com o tempo. 3. Expressar como a distância percorrida por um objeto em movimento uniformemente acelerado muda com o tempo. 4. Explicar como a aceleração uniforme de um objeto pode ser determinada a partir das medidas de distância e tempo. Página 1
Experimento: Movimento unidimensional EQUIPAMENTOS Trilho de ar com gerador de fluxo de ar Um carrinho deslizante Adaptadores do carrinho: suportes de colisões, etc Calço para elevar o trilho APRESENTAÇÃO TEÓRICA Quando um objeto está em movimento com aceleração constante ao longo de uma direção, sua posição x em um dado instante t é dada por x(t) = x 0 + v 0 t + at2 2, (1) em que v 0 é a velocidade inicial e a é a aceleração do objeto. Para uma posição inicial arbitrária, escolhida convenientemente como x 0 = 0, e com o objeto inicialmente em repouso, v 0 = 0, a equação acima é reduzida a x(t) = 1 2 at2. (2) Para um objeto em queda livre, a altura y (de cima para baixo é o sentido em que y aumenta na direção vertical) é dada por y(t) = 1 2 gt2. Consequentemente, medindo o tempo t que demora para um objeto cair de uma altura y, a aceleração g devido à interação gravitacional pode ser facilmente determinada. Perceba que a relação entre a posição e o tempo não é linear para qualquer caso em que a aceleração é constante: a posição é proporcional ao quadrado do tempo. O gráfico de x em função de t será uma parábola. Se o objeto possui aceleração constante, então sua velocidade varia a uma taxa constante. Sua velocidade em qualquer tempo é dado por v(t) = v 0 + at, (3) ou seja, v é uma função linear do tempo. O gráfico de v em função de t será uma linha reta. O movimento de um objeto com aceleração constante deve ser analisado para entender melhor o que significa dizer que a posição varia com o quadrado do tempo. De forma equivalente, é necessário entender o significado de uma velocidade diretamente proporcional ao tempo. Estes resultados aplicam-se a qualquer tipo de movimento uniformemente acelerado. Trilho de ar O trilho de ar linear usado nesta atividade é similar ao modelo apresentado na Figura 1. O gerador de fluxo de ar (não mostrado na figura) direciona o ar ao interior do trilho oco que emerge através de uma série de pequenos furos na superfície do trilho. Isso produz um colchão de ar no qual o carrinho é deslocado com pouco atrito. No caso do carrinho deslocando-se livremente no trilho nivelado horizontalmente, o movimento terá aceleração nula pois sua velocidade permanece constante. Ao deslocar x no intervalo de tempo t, sua velocidade é dada por v = x t. (4) Régua (ou trena) Paquímetro Dois cronômetros com detecção fotoelétrica Folha de papel milimetrado para gráficos Tomando intervalos de tempo cada vez menores ( t 0), esta equação fornece, de maneira cada vez mais exata, a velocidade do objeto em um dado instante. Essa é a definição de velocidade instantânea. Para que o carrinho se mova sob a influência da gravidade, uma extremidade do trilho deve ser elevada com um calço. A aceleração do carrinho ao longo do trilho é devida a uma componente da força gravitacional, F = ma = mg sin θ (veja a Figura 2). A aceleração do carrilho ao longo do trilho é a = g sin θ, (5) sendo sin θ = h/l obtido pela razão trigonométrica entre os lados do triângulo. Consequentemente, a = gh L. (6) O módulo da velocidade instantânea v do carrinho, com aceleração constante, em um instante t é dada pela Equação 3. Assim, como no caso da queda livre, o gráfico de v versus t é uma linha reta com coeficiente de inclinação a e coeficiente linear v 0. Figura 1: Trilho de ar utilizado na atividade. Na parte inferior, o diagrama representa o carrinho deslizando sobre o trilho próximo ao cronômetro com sensor fotoelétrico. Página 2
PROCEDIMENTOS Tome cuidado ao manipular o trilho de ar. Com o gerador de fluxo de ar ligado, coloque o carrinho sobre o trilho e gire os parafusos da base do trilho para que o mesmo fique nivelado horizontalmente. O nivelamento ideal será alcançado quando o carrinho permanecer em repouso sobre o trilho. A. Carrinho no trilho de ar horizontal 1. Com o gerador de fluxo de ar ligado, coloque o carrinho em movimento aplicando uma pequena força (paralela ao trilho) no carrinho. Não tente mover o carrinho sem fluxo de ar no trilho. 2. Posicione os dois cronômetros com detecção fotoelétrica ao longo da direção do trilho e determine os tempos necessários para que o carrinho percorra diferentes distâncias (por exemplo: 0,20 m, 0,40 m, 0,50 m, etc). Registre os tempos e as distâncias na Tabela I da Folha de respostas. 3. Determine a velocidade do carrinho usando a Eq. 4. Em seguida calcule o erro propagado à velocidade considerando as incertezas nas medidas de distância e tempo. Registre os resultados na Tabela I. Nota: Sendo z = p/q, em que p e q são valores medidos com incertezas δp e δq respectivamente, o erro propagado ao valor de z é dado por δz = z (δp/p) 2 + (δq/q) 2. B. Carrinho no trilho de ar inclinado θ L S mg mg cos θ mg sin θ Figura 2: Diagrama representando o trilho de ar inclinado. Quando uma extremidade do trilho é elevada, a aceleração do carrinho é devido a componente da força peso paralela ao trilho, mg sin θ. 4. Com o devido cuidado, eleve uma extremidade do trilho usando o calço e posicione um cronômetro com detecção fotoelétrica próximo à extremidade mais baixa do trilho. O cronômetro deve ser operado no modo GATE. Meça h e L e insira os resultados na Tabela II. Perceba que h é a altura do calço e L é a distância entre os dois pontos de apoio do trilho (veja a Figura 2). 5. Meça o comprimento da lâmina S e registre a medida na Folha de respostas 6. Posicione o carrinho próximo à extremidade elevada do trilho. Para minimizar o erro, use uma caneta ou um lápis na frente do carrinho e, em seguida, solte-o h de forma suave. Soltando o carrinho de diferentes posições, meça e registre os intervalos de tempo que a lâmina cruza o sensor do cronômetro ( t). Anote os dados na Tabela II. 7. Altere a elevação do trilho de ar e repita o procedimento anterior para uma nova altura (h 2 ). Insira os dados na Tabela III. 8. Usando a Equação 4, com x = S, determine a velocidade instantânea do carrinho e registre os resultados na Folha de respostas. 9. Usando uma folha papel milimetrado, faça um gráfico de v 2 em função do deslocamento x = x x 0 e determine a inclinação da reta para cada caso. Desenhe os dois gráficos no mesmo plano cartesiano. 10. Usando a Equação 6 e a aceleração a obtida pelo gráfico, determine o valor de g para cada caso. Nota: Para um conjunto de dados com tendência linear, a equação de ajuste aos pontos é dada por y(x) = Ax+B, em que A é o coeficiente de inclinação da reta e B é o coeficiente linear. Após desenhar a reta que melhor se ajusta aos pontos (veja a figura abaixo), utilize dois pontos na reta para encontrar os coeficientes. Por exemplo, para os pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) pertencentes à reta, a inclinação é dada por A = y 2 y 1 x 2 x 1 (7) e assim o coeficiente linear é determinado como B = y 1 Ax 1. y y 2 y 1 x 1 C. Carrinho no trilho de ar inclinado com acréscimo de massa 11. Adicione massa ao carrinho e repita os procedimentos 6 e 8 usando o calço de altura h. Anote os dados na Tabela IV. 12. Determine a inclinação da reta do gráfico de v 2 em função de x e repita o procedimento 10 para encontrar o valor de g. x 2 x Página 3
Folha de respostas: Movimento unidimensional Nomes dos integrantes do grupo: Data: A. Carrinho no trilho de ar horizontal Utilize o espaço abaixo para apresentar todos os cálculos realizados. Atenção com as unidades. Objetivo: Determinar a velocidade do carrinho (v) com o respectivo erro (δv). x 0 x x = x x 0 t v = x/ t δv Cálculos: Tabela I: Dados coletados na Parte A da atividade. Página 4
B. Carrinho no trilho de ar inclinado Objetivo: Obter o valor de g através da gráfico de v 2 em função do deslocamento x. Valor de h: Valor de L: Valor de S: Valor de x: x 0 t x = x x 0 v = S/ t v 2 Tabela II: Dados coletados na Parte B do experimento usando o trilho de ar inclinado com elevação h. Cálculos: Objetivo: Obter o valor de g através da gráfico de v 2 em função do deslocamento x. Valor de h 2 : Valor de x: x 0 t x = x x 0 v = S/ t v 2 Tabela III: Dados coletados na Parte B do experimento usando o trilho de ar inclinado com elevação h 2. Cálculos: Página 5
C. Carrinho no trilho de ar inclinado com acréscimo de massa Objetivo: Obter o valor de g através da gráfico de v 2 em função do deslocamento x. Valor do acréscimo de massa: Valor de x: x 0 t x = x x 0 v = S/ t v 2 Tabela IV: Dados coletados na Parte C do experimento usando o trilho de ar inclinado com elevação h e acréscimo de massa no carrinho Cálculos: Página 6
QUESTIONÁRIO 1. Usando as equações 1 e 3, encontre a relação entre v e x, para x = x x 0 e v 0 = 0. [utilize apenas símbolos (letras), não use números] 2. Qual é o significado físico da inclinação da reta no gráfico de v 2 versus x para o caso do trilho de ar inclinado? 3. Qual é o valor máximo possível da inclinação da reta no gráfico de v 2 versus x para o carrinho liberado do repouso no trilho de ar inclinado? 4. Com base nos seus resultados experimentais, escreva uma conclusão sobre a dependência da aceleração do carrinho com a altura do trilho de ar e com a massa do carrinho. Página 7
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