UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA FEP2195 - Física Geral e Experiental para Engenharia I LISTA 05 Rotação de corpos rígidos 1. A hélice de u avião gira a 1900 rev/in. (a) Calcule a velocidade angular da hélice e rad/s. R: 199 rad/s (b) Quantos segundos a hélice leva para girar 35 graus? R: 0, 00307 s 2. Ua criança está epurrando u carrosel. O deslocaento angular do carrosel varia co o tepo de acordo co a relação θ(t) = γt + βt 3, onde γ = 0, 400 rad/s e β = 0, 0120 rad/s 3. (a) Calcule a velocidade angular do carrosel e função do tepo. R: ω(t) = γ + 3βt 2 (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial? R: ω(0) = γ = 0, 400 rad/s (c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea para t = 5, 00 s e a velocidade édia angular para o intervalo do tepo de t = 0 até t = 5, 00 s. Mostre que a velocidade édia angular não é igual à édia das velocidades angulares para t = 0 até t = 5, 00 s e explique a razão dessa diferença. R: ω(5) = 1, 30 rad/s, ω edia = 0, 70 rad/s, édia das velocidades = 0, 85 rad/s. 3. O ângulo descrito por ua roda de bicicleta girando é dado por θ(t) = a + bt 2 ct 3, onde a, b e c são constantes positivas tais que se t for dado e segundos, θ deve ser edido e radianos. (a) Calcule a aceleração angular da roda e função do tepo. R: α(t) = 2b 6ct 1
(b) E que instantes a velocidade angular instantânea da roda é nula? R: t = 0 e t = 2b 3c 4. U corpo rígido roda e torno de u eixo fixo co o deslocaento angular dado por θ(t) = at bt 3, onde a = 6, 0 rad/s e b = 2, 0 rad/s 3 e t 0. Ache os valores édios da velocidade angular e da aceleração angular para o intervalo de tepo de t = 0 até o instante e que o corpo para. R: ω edia = 2a 3 = 4 rad/s e α edia = 3ab = 6, 0 rad/s 2. 5. U ventilador elétrico é desligado, e sua velocidade angular diinui uniforaente de 500 rev/in até 200 rev/in e 4, 00 s. (a) Ache a aceleração angular e rev/s 2 e o núero de revoluções ocorridas no intervalo de 4, 00 s. R: α = 1, 25 rev/s 2 e 23, 3 revoluções (b) Supondo que a aceleração angular calculada no ite (a) peraneça constante, durante quantos segundos, depois de desligado o aparelho, a hélice continuará a girar até parar? R: t = 6, 67 s 6. A roda de ua olaria gira co aceleração angular constante igual a 2, 25 rad/s 2. Depois de 4, 00 s, o ângulo descrito pela roda é de 60, 0 rad. Qual era a velocidade angular inicial da roda? R: ω 0 = 10, 5 rad/s. 7. Para u oviento co aceleração angular constante (a) Deduza ua expressão que forneça θ θ 0 e função de ω, α e t (não use ω 0 ). R: θ θ 0 = ωt 1 2 αt2 (b) Para t = 8, 0 s, ua engrenage gira e torno de u eixo fixo a 4, 50 rad/s. Durante o intervalo precedente de 8, 0 s ela girou através de u ângulo de 40, 0 rad. Use o resultado da parte (a) para calcular a aceleração constante da engrenage. R: α = 0, 125 rad/s 2 (c) Qual era a velocidade angular de engrenage para t = 0? R: ω 0 = 5, 5 rad/s 8. Calcule o oento de inércia de u aro (u anel fino) de raio R e assa M e relação a u eixo perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia. R: I = 2MR 2 2
9. Ua placa etálica fina de assa M te fora retangular co lados a e b. Use o teorea dos eixos paralelos para deterinar seu oento de inércia e relação a u eixo perpendicular ao plano da placa passando por u de seus vértices. R: I = 1 3 M(a2 + b 2 ) 10. Ache o oento de inércia de u disco aciço, unifore, de raio R e assa M e relação a u eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro. R: I = 1 2 MR2 11. Ua barra delgada de copriento L possui assa por unidade de copriento variando a partir da extreidade esquerda, onde x = 0, de acordo co d dx γ é ua constante de unidade kg/ 2. (a) Calcule a assa total da barra e teros de γ e L. R: M = γl2 2 = γx, onde (b) Calcule o oento de inércia da barra e relação a u eixo perpendicular à barra e passando pela sua extreidade esquerda. R: I = 1 2 ML2 12. Deterine o oento de inércia de u cone aciço unifore e relação a u eixo que passa através de seu centro. O cone possui assa M e altura h. O raio do círculo da sua base é igual a r. R: I = 3 10 Mr2 13. U cilindro oco te assa, raio externo R 2 e raio interno R 1. Mostrar que o oento de inércia e relação ao eixo de sietria é I = R2 2 + R 2 1 2 14. U corpo esférico sólido de raio igual a 10 c e assa de 12 kg, parte do repouso e rola ua distância de 6, 0, descendo o telhado de ua casa, cuja inclinação é igual a 30. 3
(a) Qual a aceleração linear do corpo durante o rolaento? R: a = 3, 5 /s 2 (b) Qual é a força de atrito f e? R: f e = 16, 8 N (c) Qual é a velocidade do corpo quando ele sai do telhado? R: v = 6, 48 /s 15. U ioiô é coposto por dois discos cuja espessura é b e cujo raio é R. Os dois discos estão ligados por u eixo central estreito de raio R 0. E torno desse eixo está enrolado u fio de copriento L e espessura desprezível. O oento de inércia do sistea, co relação ao seu centro de assa é dado por I CM. Supondo o atrito desprezível, encontre a velocidade linear do ioiô quando ele sobe o fio. [ ] 2MR 2 1/2 R: v = 0 gl (I CM +MR0 2) 16. U cilindro de assa e raio r, é solto (a partir do repouso) do topo de u plano inclinado que faz u ângulo α co a horizontal. Sabendo que o cilindro deve descer o plano inclinado rolando se deslizar, encontre sua aceleração. R: a = 2 3 gsen(α) 17. Duas partículas de esa assa estão presas às extreidades de ua ola de assa desprezível, inicialente co seu copriento relaxado l 0. A ola é esticada até o l 0 v 0 -v 0 dobro desse copriento e é solta depois de counicar velocidades iguais e opostas v 0 e v 0 às partículas, perpendiculares à direção da ola, tais que kl 2 0 = 6v 2 0, onde k é a constante da ola. Calcule as coponentes (v r,v θ ) radial e transversal da velocidade das partículas quando a ola volta a passar pelo seu copriento relaxado. R: v r = 0 e v θ = 2v 0 4
18. Considere o oviento de ua partícula de assa nu capo de forças centrais associado à energia potencial U(r), onde r é a distância da partícula ao centro de forças O. Neste oviento, a agnitude l = l do oento angular da partícula e relação a O se conserva. Seja (r, θ) as coponentes e coordenadas polares do vetor de posição r da partícula e relação à orige O. (a) Mostre que as coponentes e coordenadas polares do vetor velocidade v da partícula são v r = dr (velocidade radial) e v dt θ = r dθ (velocidade transversal). dt Mostre que l = rv θ. (b) Mostre que a energia total E da partícula é dada por E = v2 r 2 + l2 (2r 2 ) + U(r) 19. Ua esa de coquetéis te u tapo giratório, que é ua tábua circular de raio R e assa M, capaz de girar co atrito desprezível e torno do eixo vertical da esa. Ua bala de assa M e velocidade v, disparada por u convidado que abusou dos coquetéis, nua direção horizontal, vai-se encravar na periferia da tábua. (a) Qual é a velocidade angular de rotação adquirida pela tábua? R: ω = 2v MR (b) Que fração da energia cinética inicial é perdida no ipacto? R: 1 2 M 20. Ua bolinha presa a u fio de assa desprezível gira e torno de u eixo vertical co velocidade escalar constante, antendo-se a ua distância d = 0, 5 do eixo; o ângulo θ entre o fio e a vertical é igual a 30. O fio passa se atrito através de u orifício O nua placa, e é puxado lentaente para cia até que o ângulo θ passa a ser de 60. (a) Que copriento do fio foi puxado? R: l = 0, 6 (b) De que fator variou a velocidade de rotação? R: ω 2 ω 1 = 2, 08 O θ d 5
21. U haltere forado por dois discos 1 e 2 iguais de assas unidos por ua barra rígida de assa desprezível e copriento l = 30 c repousa sobre ua esa de ar horizontal. U terceiro disco 3 de esa assa desloca-se co atrito desprezível e velocidade v 0 = 3 /s sobre a esa, perpendicularente ao haltere, e colide frontalente co o disco 2, ficando colado a ele. Descreva copletaente o oviento subseqüente do sistea. R: v CM = 1 /s na direção de v 0 e ω = 5 rad/s 1 l 3 v 0 2 22. Dois patinadores de assa 60 kg, deslizando sobre ua pista de gelo co atrito desprezível, aproxia-se co velocidades iguais e opostas de 5 /s, segundo retas paralelas, separadas por ua distância de 1, 40. (a) Calcule o vetor oento angular do sistea e ostre que é o eso e relação a qualquer ponto e se conserva. R: l = 420 kg 2 /s perpendicularente à pista (b) Quando os patinadores chega a 1, 40 u do outro, estende os braços e dão-se as ãos, passando a girar e torno do centro de assa cou. Calcule a velocidade angular de rotação. R: ω = 7, 1 rad/s 23. U corpo de assa inicial M inicialente e repouso está preso à extreidade de ua corda de taanho l, quando esticada. A outra extreidade da corda está presa a u suporte, colocado e ua esa que não oferece atrito. Esse corpo possui ua válvula que é capaz de expelir u gás, perpendicularente ao fio e paralelaente à esa, nua taxa λ [kg/s] e co ua velocidade escalar V E relativa ao corpo. O corpo sai do repouso e coeça a girar e torno do suporte do fio. Deterine o oento angular da partícula nu instante t qualquer, toando t = 0 no instante e que a válvula é aberta. [ R: L = (M λt) l V E ln M (M λt) ] 24. A olécula de oxigênio, O 2, te assa total de 5, 3 10 26 kg e u oento de inércia de 1, 94 10 46 kg 2, e relação ao eixo que atravessa perpendicularente 6
a linha de junção dos dois átoos. Suponha que essa olécula tenha e u gás a velocidade de 500 /s e que sua energia cinética de rotação seja dois terços da energia cinética de translação. Deterine sua velocidade angular. R: ω = 6, 75 10 12 rad/s 25. Ua força é aplicada tangencialente à borda de ua polia que te 10 c de raio e oento de inércia de 1 10 3 kg 2 e relação ao seu eixo. A força te ódulo variável co o tepo, segundo a relação F (t) = 0, 5t + 0, 30t 2, co F e Newtons e t e segundos. A polia está inicialente e repouso. E t = 3 s, quais são (a) a sua aceleração angular e R: α = 420 rad/s 2 (b) sua velocidade angular? R: ω = 495 rad/s 26. Considere dois corpos co 1 > 2 ligados por u fio de assa desprezível que passa sobre ua polia de raio R e oento de inércia I = MR2 2 ao redor de seu eixo de rotação, coo na figura a seguir. O fio não desliza sobre a polia. A polia gira se atrito. Os corpos são soltos do repouso e estão separados por ua distância vertical de 2h. Expresse as respostas e função de 1, 2, M, g e h. (a) Encontre as velocidades translacionais dos corpos quando passa u pelo outro. [ ] 1/2 R: v = 2gh( 1 2 ) ( 1 + 2 + M 2 ) (b) Encontre a aceleração linear dos corpos. R: a = ( 1 2 ) ( 1 + 2 + M 2 ) g 27. Ua chainé alta, de fora cilíndrica, cai se houver ua ruptura na sua base. Tratando a chainé coo u bastão fino, de altura h, expresse 7
(a) a coponente radial da aceleração linear do topo da chainé e função do ângulo que ela faz co a vertical, e R: a r = 3g[1 cos(θ)] (b) a coponente tangencial dessa esa aceleração. R: a θ = 3 2 g sen(θ) (c) Para que ângulo θ a aceleração é igual a g? R: θ = 34, 5 28. Dois blocos idênticos, de assa M cada u, estão ligados por ua corda de assa desprezível, que passa por ua polia de raio R e de oento de inércia I (figura a seguir). A corda não desliza sobre a polia; desconhece-se existir ou não atrito entre o bloco e a esa; não há atrito no eixo da polia. Quando esse sistea é liberado, a polia gira de u ângulo θ, nu tepo t, e a aceleração dos blocos é constante. Todas as respostas deve ser expressas e função de M, I, R, θ, g e t. (a) Qual a aceleração angular da polia? R: α = 2θ t 2 (b) Qual a aceleração dos dois blocos? R: a = 2θR t 2 (c) Quais as tensões na parte superior e inferior da corda? R: T 1 = M ( ) g 2θR t e 2 T2 = Mg 2MθR 2Iθ t 2 Rt 2 29. Ua roda de bicicleta de assa M e raio R 1 (assa dos raios da roda desprezível) pode girar livreente e torno de u eixo horizontal. U fio de assa desprezível é enrolado e torno de seu diâetro, e ligado a u bloco de assa 1 = M, passando 5 por ua polia que é u disco de assa 2 = 4M e raio R 5 2, coo visto na figura. (a) Faça u diagraa ostrando as forças aplicadas pelo fio e cada u dos três corpos. (b) Obtenha a força exercida pelo fio na roda de bicicleta, e teros de M e da aceleração a da assa 1. R: F = Ma 8
(c) Deterine a força exercida pelo fio na assa 1, e teros de a e M. R: F = M(g a) 5 (d) Deterine a aceleração a da assa 1. R: a = g 8 30. Para atirar ao solo u adversário de 80 kg, você utiliza o deslocaento e torno do quadril, u golpe básico do judô e que você tenta puxá-lo pelo unifore co ua força F, que te u braço de alavanca d 1 = 0, 30 e relação ao ponto de apoio (eixo de rotação) no seu quadril direito, sobre o qual deseja girá-lo co ua aceleração angular de 12 rad/s 2, ou seja, ua aceleração no sentido horário na figura a seguir. Suponha que o oento de inércia I e relação ao ponto de rotação seja 15 kg 2. (a) Qual deve ser o ódulo de F se, inicialente, você incliná-lo para frente, para fazer co que o centro de assa dele coincida co o seu quadril (figura a)? R: F = 600 N (b) Qual será o ódulo de F se o adversário peranecer ereto e o vetor peso dele tiver u braço de alavanca d 2 = 0, 12 e relação ao eixo de rotação (figura b)? R: F = 913, 6 N 31. Libera-se ua caixa que está presa a ua corda enrolada e ua nora (figura a seguir). A assa da caixa é M c = 35 kg, e a assa e o raio da nora são M n = 94 kg e R n = 83. Deterine 9
(a) o ódulo a da aceleração linear da caixa e R: a = 4, 2 /s 2 (b) a tensão F T da corda. A nora pode ser tratada coo u cilindro unifore de raio R n ; despreza-se o torque devido ao atrito nos ancais da corda. R: F T = 197, 4 N 32. A figura a seguir ostra u disco unifore cuja assa M é de 2, 5 kg e cujo raio é igual a 20 c, ontado sobre u eixo horizontal fixo. U bloco cuja assa é de 1, 2 kg está pendurado e ua corda leve enrolada e torno da borda do disco. Para o instante t = 2, 5 s, calcule (a) e que ângulo gira o disco? R: θ = 75 rad (b) qual a velocidade angular do disco? R: ω = 60 rad/s (c) qual é a energia cinética de rotação do disco? R: T R = 90 J M 33. U cilindro de assa M e raio R rola se escorregar para baixo e u plano inclinado de copriento L e altura h. Encontre a velocidade do seu centro de assa quando o R h L 10
cilindro alcança a base do plano. 4 R: v CM = gh 3 34. Ua esfera, u cilindro e u aro, todos co o eso raio R, parte do repouso e rola para baixo sobre o eso plano inclinado. Qual corpo atingirá a base prieiro? R: a esfera 35. O que é aior, o oento angular da Terra associado à rotação e torno de seu eixo ou o seu oento angular associado ao oviento orbital e torno do Sol? R: o oento angular orbital. 36. Ua partícula de assa parte do repouso no ponto P indicado na figura abaixo. O d P x y (a) Calcule o torque da força gravitacional sobre a partícula e relação à orige O. R: τ = gd (b) Qual é o oento angular da partícula que cai, para u dado instante de tepo t, e relação ao ponto O? R: L = gtd 37. Sob deterinadas circunstâncias, ua estrela pode sofrer u colapso e se transforar e u objeto extreaente denso, constituído principalente por nêutrons e chaado Estrela de Nêutrons. A densidade de ua estrela de nêutrons é aproxiadaente 10 14 vezes aior do que a da atéria cou. Suponha que a estrela seja ua esfera aciça e hoogênea antes e depois do colapso. O raio inicial da estrela era de 7, 0 10 5 k (coparável co o raio do Sol); seu raio final é igual a 16 k. Supondo que a estrela original copletava u giro e 30 dias, encontre a velocidade angular da estrela de nêutrons. R: ω = 3, 89 10 3 rad/s 38. Ua esa giratória grande gira e torno de u eixo vertical fixo, fazendo ua revolução e 6, 00 s. O oento de inércia da esa giratória e torno desse eixo é 11
igual a 1200 kg 2. Ua criança co assa de 40, 0 kg, que estava inicialente e repouso no centro da esa, coeça a correr ao longo de u raio. Qual é a velocidade angular da esa giratória quando a criança está a ua distância de 2, 00 do centro? (Suponha que a criança possa ser considerada ua partícula). R: ω = 0, 924 rad/s 39. Ua porta sólida de adeira co largura de 1, 00 e altura de 2, 00 é articulada e u de seus lados e possui assa total de 40, 0 kg. Inicialente ela está aberta e e repouso, a seguir, ua porção de aterial aorfo e pegajoso de assa igual a 0, 500 kg, se deslocando perpendicularente à porta co velocidade de 12, 0 /s, colide no centro da porta. Calcule a velocidade angular final da porta. A porção do aterial supracitado contribui significativaente para o oento de inércia? R: ω = 0, 223 rad/s 40. Ocasionalente ua estrela de nêutrons sofre ua aceleração repentina e inesperada conhecida coo Glitch. Ua explicação é que o glitch ocorre quando a crosta da estrela de nêutrons sofre ua pequena sedientação, fazendo diinuir o oento de inércia e torno do eixo de rotação. Ua estrela de nêutrons co velocidade angular ω 0 = 70, 4 rad/s sofreu u glitch e outubro de 1975 que fez sua velocidade angular auentar para ω = ω 0 + ω, onde ω ω 0 = 2, 01 10 6. Se o raio da estrela de nêutrons era de 11 k, qual foi sua diinuição na sedientação dessa estrela? Suponha que a estrela de nêutrons seja ua esfera aciça e hoogênea. R: 1, 1 c 41. Ua haste etálica delgada de copriento d e assa M pode girar livreente e torno de u eixo horizontal, que a atravessa perpendicularente, à distância d/4 de ua extreidade. A haste é solta a partir do repouso, na posição horizontal. 3d /4 O θ d /4 (a) Calcule o oento de inércia I da haste co respeito ao eixo e torno do qual ela gira. R: I = 7 48 Md2 12
(b) Calcule a velocidade angular ω adquirida pela haste após ter caído de u ângulo θ (figura abaixo), be coo a aceleração angular α. R: ω = [ 24 g sen(θ)] 1/2 7 d e α = 12 7 g d cos(θ) 42. Quatro discos iguais de assas ocupa os vértices de ua aração quadrada forada por quatro barras rígidas de copriento l e assa desprezível. O conjunto está sobre ua esa de ar horizontal, podendo deslocar-se sobre ela co atrito desprezível. Transite-se u ipulso instantâneo P a ua das assas, na direção de ua das diagonais do quadrado (figura). Descreva copletaente o oviento subseqüente do sistea. P R: v CM = e ω = 2P 4 4l P l l l l 43. Ua roda cilíndrica hoogênea, de raio R e assa M, rola se deslizar sobre u plano horizontal, deslocando-se co velocidade v, e sobe sobre u plano inclinado de inclinação θ, continuando a rolar se deslizar (figura a seguir). Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado? R: h = R + 3 v 2 4 g R M R M v θ h 44. U disco co ua assa de 80, 0 g e u raio de 4, 00 c desliza ao longo de ua esa de ar à velocidade de 1, 50 /s coo ostrado na figura. Ele faz ua colisão oblíqua co u segundo disco tendo raio 6, 00 c e assa 120 g (inicialente e repouso) de fora que suas bordas apenas se toque. Coo suas bordas estão revestidas co ua cola de ação instantânea, os discos fica grudados e gira após a colisão (ver figura). (a) Qual é o oento angular do sistea e relação ao centro de assa? R: L = 72000 g c 2 /s 13
1,50 /s (a) (b) (b) Qual é a velocidade angular ao redor do centro de assa? R: ω = 9, 47 rad/s 45. U giroscópio possui oviento de precessão e torno de u eixo vertical. Descreva o que ocorre co a velocidade angular de precessão quando são feitas as seguintes udanças nas variáveis, antendo-se as outras grandezas constantes: (a) a velocidade angular de spin do volante dobra; (b) o peso total dobra; (c) o oento de inércia e torno do eixo do volante dobra; (d) a distância entre o pivô e o centro de gravidade dobra; (e) O que ocorreria se todas as quatro variáveis indicadas nos itens de (a) até (d) dobrasse de valor ao eso tepo? 46. Considere u giroscópio co u eixo que não está na direção horizontal, as possui ua inclinação β e relação à horizontal. Mostre que a velocidade angular da precessão não depende do valor de β. 14