MTMÁTI - 3o ciclo Trigonometria (9 o ano) xercícios de provas nacionais e testes intermédios 1. No Porto de Leixões, existe uma das maiores pontes basculantes do mundo. No esquema da figura seguinte (à direita), está representada a posição, em relação à horizontal, que as duas secções móveis da ponte tinham num certo instante. Nesse esquema, as secções móveis estão representadas pelos segmentos de reta [] e []. 46 m 46 m Ponte do Porto de Leixões 35 35 F Relativamente ao esquema, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = ; M é o ponto médio do segmento de reta []; = 4,62 m e = 4,35 m. Relativamente ao esquema, sabe-se que: os triângulos [] e [F ] são retângulos nos vértices e F, respetivamente; = = 46 m; Â = ÊF = 35 ; = +. etermina a distância entre os pontos e, na posição representada no esquema da figura da direita. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão: omeça por determinar ou F. Prova Final 3 o iclo 2018, Época especial Página 1 de 18
2. s casas típicas de Santana, localidade da costa norte da ilha da Madeira, parecem prismas triangulares. Na figura seguinte, à direita, representa-se, em esquema, a fachada principal de uma dessas casas. No esquema, os segmentos de reta [] e [] representam o telhado da casa. Relativamente ao esquema, sabe-se que: o triângulo [] é isósceles, com = ; M é o ponto médio do segmento de reta []; = 4,62 m e = 4,35 m. etermina, em graus, Ĉ. presenta o resultado arredondado às unidades. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão: omeça por determinar ĈM. Prova Final 3 o iclo 2018, 2 a fase Página 2 de 18
3. lgumas camas são articuladas, ou seja, têm uma secção que pode ser inclinada. No esquema da figura seguinte, está representada a vista lateral de uma cama articulada, com o topo encostado a uma das paredes de um quarto. Nesse esquema, o trapézio [] representa a secção inclinada da cama e o retângulo [F GHI] representa a base da cama. P R F G 0,90 m 32 1,05 m I H Relativamente ao esquema, que não está à escala, sabe-se que: os pontos e pertencem ao segmento de reta [F I]; o triângulo [] é retângulo no vértice ; = 0,9 m e F = 1,05 m; Â = 32 etermina a distância do vértice à parede do quarto, na posição representada no esquema da figura. presenta o resultado em metros, arredondado às centésimas. cálculos intermédios, conserva, pelo menos, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Se procederes a arredondamentos nos Sugestão: omeça por determinar. Prova Final 3 o iclo 2018, 1 a fase 4. Na figura seguinte, está representado um esquema de um baloiço num instante em que a cadeira do baloiço se encontra na posição assinalada com o ponto M. No esquema, o segmento de reta [OM] representa o cabo do baloiço e a reta s representa o solo. o ponto P é o pé da perpendicular traçada do ponto O para a reta s; o ponto N é o pé da perpendicular traçada do ponto M para a reta OP ; MÔN = 56 ; OM = 2 m; OP = 2,5 m. figura não está desenhada à escala. M 2m 56 O etermina N P, ou seja, determina a distância da cadeira ao solo quando esta se encontra no ponto M. presenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão : começa por determinar ON. P Prova Final 3 o iclo 2017, Época especial s Página 3 de 18
5. Na figura seguinte, apresenta-se o esquema de uma estrutura de três pisos onde serão montadas duas escadas rolantes, uma entre o rés do chão e o 1. o andar e outra entre o 1. o andar e o 2. o andar. Superfície do r/c Superfície F do 1. o andar 30 H G 30 Superfície do 2. o andar = 23 m = 12 m = ÂH = ĜF = 30 figura não está desenhada à escala. etermina F, ou seja, determina a distância da superfície do rés do chão à superfície do 2. o andar. presenta o valor pedido em metros, arredondado às centésimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2017, 2 a fase Página 4 de 18
6. m algumas pontes, os candeeiros de iluminação pública estão inclinados em relação ao plano do tabuleiro da ponte, para reduzir a luz projetada sobre os rios. Na ponte Vasco da Gama, os candeeiros foram instalados desse modo, conforme se pode observar na figura seguinte, à direita. Na figura ao lado, à esquerda, apresentase, em esquema, um candeeiro desse tipo, instalado numa outra ponte. ste candeeiro é constituído por duas peças, representadas na figura pelos segmentos de reta [] e [] Relativamente ao esquema da direita, sabe-se que: t 10 20 cm a reta t representa o tabuleiro da ponte; o ponto representa a lâmpada, e o ponto é o pé da perpendicular traçada do ponto para a reta t; o segmento de reta [] é perpendicular ao segmento de reta []; o poste do candeeiro é representado pelo segmento de reta [] e tem 4,1 m de comprimento; Ĉ = 10, sendo a reta perpendicular à reta t; a distância do ponto à reta t é igual a 20 cm. figura não está desenhada à escala. etermina, ou seja, determina a distância da lâmpada do candeeiro ao tabuleiro da ponte. presenta o valor pedido em metros, arredondado às décimas. Se procederes a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserva pelo menos três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2017, 1 a fase Página 5 de 18
7. m São Torpes, no concelho de Sines, encontra-se uma central termoelétrica com duas chaminés. figura da esquerda é uma fotografia dessa central termoelétrica e a figura da direita é uma representação das duas chaminés. 55 figura da direita não está desenhada à escala. Na figura da direita, os segmentos de reta [P ] e [R] correspondem às duas chaminés. O ponto O corresponde a uma posição a partir da qual se observa o topo da chaminé representada por [P ] segundo um ângulo com 55 de amplitude. mbas as chaminés têm 225 metros de altura e a distância entre elas é igual a 132 metros. ssim, relativamente à figura da direita, sabe-se que: o ponto P pertence ao segmento de reta [OR] ÔP = 55 P = R = 225 m P R = 132 m etermina a amplitude do ângulo OR. Sugestão: omeça por determinar OP. presenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. O Prova Final 3 o iclo 2016, Época especial P R Página 6 de 18
8. Na figura seguinte, está representado um esquema do modelo de avião 380, um dos maiores aviões de transporte de passageiros do mundo. Na figura ao lado, estão também representados o triângulo isósceles [] e o segmento de reta [], que é a altura do triângulo relativa à base []. O esquema não está desenhado à escala. = = 51 m  = 76 etermina, ou seja, determina a envergadura do 380. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta. Prova Final 3 o iclo 2016, 2 a fase 9. figura ao lado é uma fotografia do farol do abo de Santa Maria, situado na Ria Formosa, na Ilha da ulatra. Marta e o Rui estão a fazer um trabalho de trigonometria. Marta colocou-se num ponto a partir do qual podia observar o topo do farol segundo um ângulo de amplitude 60. Fez algumas medições e esboçou um esquema idêntico ao que se apresenta na figura seguinte. Nesse esquema, o ponto T corresponde ao topo do farol, o ponto M corresponde ao ponto de observação da Marta, e o ponto R corresponde ao ponto de observação do Rui. O esquema não está desenhado à escala. Relativamente ao esquema da figura ao lado, sabe-se que: [MT ] é um triângulo retângulo; o ponto R pertence à semirreta Ṁ; T ˆM = 60 e T ˆR = 45 ; M = 25,6 m etermina M R, ou seja, determina a distância entre a Marta e o Rui. presenta o resultado em metros, arredondado às unidades. M Solo T 60 45 25,6 m R Sugestão: omeça por determinar T. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2016, 1 a fase Página 7 de 18
10. Na figura ao lado, estão representados uma circunferência de centro no ponto e os pontos T, P,, M e figura não está desenhada à escala. os pontos T, e pertencem à circunferência; M é o ponto médio da corda [] a reta tangente à circunferência no ponto T intersecta a reta no ponto P P = 8 P = 2 P T = 4 T = 9,2 T P M etermina a amplitude do ângulo M Na tua resposta, deves: obter M indicar o valor de apresentar a amplitude do ângulo M em graus, arredondada às unidades. presenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo 2015, Época especial 11. Na figura seguinte, está representada uma semicircunferência de centro no ponto O e diâmetro [] ponto pertence à semicircunferência; o ponto pertence à corda [] o triângulo [O] é retângulo em O = 1 cm ÂO = 25 O figura não está desenhada à escala. etermina a área do semicírculo de diâmetro [] presenta o resultado em centímetros quadrados, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo 2015, 2 a fase Página 8 de 18
12. Na figura seguinte, estão representados uma circunferência de centro no ponto O e um triângulo isósceles [] os pontos, e pertencem à circunferência = [] é a altura do triângulo [] relativa à base [] a amplitude do arco é igual a 100 figura não está desenhada à escala. O Seja α a amplitude de um dos ângulos internos do triângulo [] Sabe-se que tg α = Identifica esse ângulo, usando letras da figura. Prova Final 3 o iclo 2015, 1 a fase 13. Na figura seguinte, estão representadas as retas e e a circunferência de diâmetro [] O ponto pertence à circunferência e à reta a reta é tangente à circunferência no ponto = 50 = 8 cm etermina 50 presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. 14. Na figura ao lado, está representada uma circunferência com centro no ponto O Prova Final 3 o iclo - 2014, 2 a chamada Os pontos, e pertencem à circunferência. O ponto P pertence à corda [] os segmentos de reta [] e [P ] são perpendiculares  = 65 P = 1,6 cm figura não está desenhada à escala. etermina P presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. O P Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. presenta todos os cálculos que efetuares. Prova Final 3 o iclo - 2014, 1 a chamada Página 9 de 18
15. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto O os pontos, e pertencem à circunferência = o segmento de reta [] é a altura do triângulo [] relativa à base [] Ô = 72 O = 2 cm O etermina a área do triângulo [] presenta o resultado em cm 2, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 16. Na figura seguinte, está representado o prisma triangular reto [F ] Prova Final 3 o iclo - 2013, 2 a chamada o triângulo [] é retângulo em =2 cm =6 cm o volume do prisma é 42 cm 3 etermina a amplitude do ângulo presenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. F Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo - 2013, 1 a chamada Página 10 de 18
17. figura seguinte representa um modelo geométrico de uma rampa de skate. O modelo não está desenhado à escala. ste modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [F IJ] e nos prismas triangulares retos [HIF G] e [KJL], geometricamente iguais. s bases dos prismas são triângulos retângulos. Sabe-se ainda que: HI = 5 m IĤ = 32 etermina o volume do sólido representado na figura ao lado. presenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. H G I F J K L Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. Prova Final 3 o iclo - 2012, 2 a chamada 18. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [] é escaleno e é retângulo em os pontos e P pertencem ao segmento de reta [] o ponto pertence ao segmento de reta [] o triângulo [] é retângulo em o ponto Q pertence ao segmento de reta [] P Q é um arco de circunferência figura não está desenhada à escala. P Q Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () senĉ = () senĉ = () cos Ĉ = () cos Ĉ = Prova Final 3 o iclo - 2012, 1 a chamada 19. Na figura ao lado, está representado um modelo geométrico do símbolo da bandeira de uma equipa de futsal. ste modelo não está desenhado à escala.,,, e são pontos da circunferência de centro no ponto O F e G são pontos da corda [] F = G = 16 cm  = 36 F O G etermina F G presenta o resultado em centímetros, arredondado às décimas. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo - 2011, Ép. special Página 11 de 18
20. Na figura ao lado, está representado o prisma triangular [F ] o quadrilátero [] é um quadrado; o triângulo [] é retângulo em ˆ = 30 = 8 cm etermina a área do triângulo. presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. F Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. xame Nacional 3 o iclo - 2011, 2 a chamada 21. Na figura ao lado, estão representados um paralelepípedo [F GH] e uma pirâmide [HP ], sendo P um ponto de [] H G dmite que: P = 5 cm ˆP H = 32 etermina a área do triângulo P H. presenta o resultado em cm 2, arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. 22. Na figura seguinte, está representada uma circunferência de centro no ponto O P xame Nacional 3 o iclo - 2011, 1 a chamada F Os pontos,,, P e R pertencem à circunferência. a circunferência tem raio 8 = [P R] é um diâmetro da circunferência; o ponto Q é o ponto de intersecção dos segmentos [] e [P R] o ponto S é o ponto de intersecção dos segmentos [] e [P R] ˆO = 36 etermina a área da região representada a sombreado. presenta o resultado arredondado às unidades. presenta os cálculos que efetuares. Nota Sempre que, em cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. P Q 36 8 O S R Teste Intermédio 9 o ano 17.05.2011 Página 12 de 18
23. Na figura seguinte, à esquerda e ao centro, podes observar um comedouro de um camelo. Imaginou-se um triângulo retângulo [], em que o cateto [] representa o suporte do comedouro e o cateto [] representa a sombra desse suporte. figura da direita é um esquema desse triângulo. O esquema não está desenhado à escala. = 1,26 m e = 0,6 m Qual é a amplitude, em graus, do ângulo? screve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. xame Nacional 3 o iclo - 2010, 2 a chamada 24. Na figura ao lado, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [] figura não está desenhada à escala. ˆ = 70 = 4,35 cm Qual é o comprimento, em cm, do diâmetro [] da circunferência? presenta os cálculos que efetuaste. screve o resultado arredondado às centésimas. Nota Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais. O xame Nacional 3 o iclo - 2010, 1 a chamada Página 13 de 18
25. figura ao lado, em cima, mostra um conjunto de painéis solares. Numa das estruturas de apoio de um desses painéis, imaginou-se um triângulo retângulo. m baixo está um esquema desse triângulo. está desenhado à escala. O esquema não Relativamente ao triângulo retângulo [], sabe-se que: = 2,5 m = 1,7 m Qual é a amplitude, em graus, do ângulo? screve o resultado arredondado às unidades. Mostra como chegaste à tua resposta. Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. Teste Intermédio 9 o ano 11.05.2010 26. No jardim da família oelho, encontra-se um balancé, com uma trave de 2,8 m de comprimento, como o representado na figura seguinte. Quando uma das cadeiras está em baixo, a trave do balancé forma um ângulo de 40 com o solo, tal como mostra a figura ao lado. figura não está desenhada à escala. etermina, em metros, a altura máxima, a, a que a outra cadeira pode estar. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às décimas. 40 2,8 m a Nota: Nos cálculos intermédios, conserva duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo - 2009, 2 a chamada 27. figura ao lado, à esquerda, é a imagem de um monumento situado no centro de uma cidade. Todos os blocos desse monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto. figura da direita representa o modelo geométrico de um dos blocos do mesmo monumento. G F Na figura da direita, sabe-se que = 2 m e que Ê = 35. Qual é, em metros, a medida do comprimento de []? presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. xame Nacional 3 o iclo - 2009, 1 a chamada Página 14 de 18
28. mãe da Marta vai colocar no jardim um escorrega como o representado, na figura seguinte, à esquerda. figura da direita representa um esquema do escorrega da figura da esquerda. Qual é, em graus, a amplitude do ângulo α? presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. α 2 m 1,8 m Teste Intermédio 9 o ano 11.05.2009 29. Na figura ao lado, em cima, podes observar uma rampa de pedra, cujo modelo geométrico é um prisma em que as faces laterais são retângulos e as bases são triângulos retângulos; esse prisma encontra-se representado na figura de baixo. Sabe-se que, neste prisma de bases triangulares: = 300 cm, = 250 cm e = 42 cm F alcula a amplitude, em graus, do ângulo β. presenta os cálculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado às unidades. β xame Nacional 3 o iclo - 2008, 2 a chamada Página 15 de 18
30. figura ao lado representa uma sala de cinema. O João sentou-se no último lugar da última fila, assinalado, na figura, pelo ponto. O ângulo de vértice é o seu ângulo de visão para o ecrã. No cinema, as pessoas que se sentam no lugar em que o João está sentado devem ter um ângulo de visão de, pelo menos, 26, sendo o ideal 36, para que possam ter uma visão clara do filme. Tendo em atenção as medidas indicadas na figura, determina a amplitude do ângulo de visão do lugar do João. Na tua resposta, apresenta os cálculos que efetuares e explica se a amplitude obtida permite uma visão clara do filme. xame Nacional 3 o iclo - 2008, 1 a chamada 31. Para determinar a altura (h) de uma antena cilíndrica, o Paulo aplicou o que aprendeu nas aulas de Matemática, porque não conseguia chegar ao ponto mais alto dessa antena. No momento em que a amplitude do ângulo que os raios solares faziam com o chão era de 43, parte da sombra da antena estava projetada sobre um terreno irregular e, por isso, não podia ser medida. Nesse instante, o Paulo colocou uma vara perpendicularmente ao chão, de forma que as extremidades das sombras da vara e da antena coincidissem. vara, com 1,8 m de altura, estava a 14 m de distância da antena. Na figura seguinte, que não está desenhada à escala, podes ver um esquema que pretende ilustrar a situação descrita. h 1,8 m 43 14 m Qual é a altura (h) da antena? Na tua resposta, indica o resultado arredondado às unidades e a unidade de medida. presenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. xame Nacional 3 o iclo - 2007, 2 a chamada Página 16 de 18
32. Na figura ao lado, está representada uma circunferência, de centro O em que:,, e são pontos da circunferência; o segmento de reta [] é um diâmetro; é o ponto de interseção das retas e ; o triângulo [] é retângulo em ; Â = 30. Sabendo que = 5, determina. presenta todos os cálculos que efetuares. 30 O xame Nacional 3 o iclo - 2007, 1 a chamada 33. altura, h, do Sol é a amplitude, medida em graus, do ângulo que os raios solares fazem com o plano do horizonte. O gráfico ao lado dá a altura do Sol às horas do dia 21 de junho de 2006, solstício de Verão, na região de Lisboa, de acordo com os dados do Observatório stronómico de Lisboa. h(graus) 80 70 60 50 40 30 20 10 6:38 8:38 10:38 12:38 14:38 16:38 18:38 t(horas) fotografia ao lado é a do monumento da praça dos Restauradores, em Lisboa. altura desse monumento é de 30 metros. No dia 21 de junho de 2006, às 15 horas e 38 minutos, qual foi, em metros, o comprimento da sombra projetada no chão pelo monumento? omeça por fazer um esboço que ilustre a situação. Indica o resultado arredondado às unidades e apresenta todos os cálculos que efetuares. xame Nacional 3 o iclo - 2006, 2 a chamada 34. Na figura ao lado, está representado um triângulo retângulo em que: a, b e c são as medidas de comprimento dos seus lados, em centímetros; x é a medida da amplitude de um dos seus ângulos agudos, em graus. presentam-se a seguir quatro igualdades. penas uma está correta. Qual? b a x c () sen x = b a () sen x = a b () sen x = b c () sen x = c a xame Nacional 3 o iclo - 2006, 1 a chamada Página 17 de 18
35. Os espigueiros são construções que servem para guardar cereais, ao mesmo tempo que os protegem da humidade e dos roedores. Por isso, são construídos sobre estacas (pés do espigueiro), de forma que não estejam em contacto direto com o solo. Se o terreno for inclinado, os pés do espigueiro assentam num, para que o degrau espigueiro fique na horizontal, como mostra a fotografia (na figura seguinte, à esquerda). figura da direita é um esquema do espigueiro da fotografia. Neste esquema, estão 0,5 também representados os seis pés do espigueiro, bem como spigueiro o degrau no qual eles assentam. O esquema não está 5 0,8 desenhado à escala. s medidas de comprimento indicadas 17 5 estão expressas em egrau metros. questão seguinte refere-se a este esquema. O degrau onde assentam os pés do espigueiro é um prisma triangular reto. s duas bases deste prisma são triângulos retângulos. etermina (em metros) a altura, a, do degrau. presenta todos os cálculos que efetuares e indica o resultado, arredondado às décimas. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. 3,7 a xame Nacional 3 o iclo - 2005, 2 a chamada 36. O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura. om o objectivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa. Para respeitar a legislação em vigor, esta rampa foi construída de modo a fazer com o solo um ângulo de 3, como se pode ver no esquema da figura seguinte (o esquema não está à escala). c 10 cm 3 10 cm etermina, em metros, o comprimento, c, da rampa. Indica o resultado arredondado às décimas e apresenta todos os cálculos que efetuares. Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva quatro casas decimais. xame Nacional 3 o iclo - 2005, 1 a chamada Página 18 de 18