Lançamento Oblíquo 1. (Unesp 01) O gol que Pelé não fez Na copa de 1970, na partida entre Brasil e Tchecoslováquia, Pelé pega a bola um pouco antes do meio de campo, vê o goleiro tcheco adiantado, e arrisca um chute que entrou para a história do futebol brasileiro. No início do lance, a bola parte do solo com velocidade de 108 km/h (30 m/s), e três segundos depois toca novamente o solo atrás da linha de fundo, depois de descrever uma parábola no ar e passar rente à trave, para alívio do assustado goleiro. Na figura vemos uma simulação do chute de Pelé. Considerando que o vetor velocidade inicial da bola após o chute de Pelé fazia um ângulo de 30 com a horizontal (sen30 = 0,50 e cos30 = 0,85) e desconsiderando a resistência do ar e a rotação da bola, pode-se afirmar que a distância horizontal entre o ponto de onde a bola partiu do solo depois do chute e o ponto onde ela tocou o solo atrás da linha de fundo era, em metros, um valor mais próximo de a) 5,0. b) 64,5. c) 76,5. d) 80,4. e) 86,6.. (Ime 013) Um corpo de 300 g de massa é lançado de uma altura de,0 m em relação ao chão como mostrado na figura acima. O vetor velocidade inicial 0 v tem módulo de 0 m/s e faz um ângulo de 60 com a vertical. O módulo do vetor diferença entre o momento linear no instante do lançamento e o momento linear no instante em que o objeto atinge o solo, em kg.m/s, é: Dado: aceleração da gravidade: 10 m/s. a) 0,60 b) 1,80 c),5 d) 3,00 e) 6,60 www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 15
3. (Unifesp 013) O atleta húngaro Krisztian Pars conquistou medalha de ouro na olimpíada de Londres no lançamento de martelo. Após girar sobre si próprio, o atleta lança a bola a 0,50m acima do solo, com velocidade linear inicial que forma um ângulo de 45 com a horizontal. A bola toca o solo após percorrer a distância horizontal de 80m. Nas condições descritas do movimento parabólico da bola, considerando a aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s, igual a 1,4 e desprezando-se as perdas de energia mecânica durante o voo da bola, determine, aproximadamente: a) o módulo da velocidade de lançamento da bola, em m/s. b) a altura máxima, em metros, atingida pela bola. 4. (G1 - cftmg 013) Uma pedra é lançada para cima a partir do topo e da borda de um edifício de 16,8 m de altura a uma velocidade inicial v 0 = 10 m/s e faz um ângulo de 53,1 com a horizontal. A pedra sobe e em seguida desce em direção ao solo. O tempo, em segundos, para que a mesma chegue ao solo é a),8. b),1. c),0. d) 1,. 5. (Uem 01) Do topo de uma plataforma vertical com 100 m de altura, é solto um corpo C 1 e, no mesmo instante, um corpo C é arremessado de um ponto na plataforma situado a 80 m em relação ao solo, obliquamente formando um ângulo de elevação de 30º com a horizontal e com velocidade inicial de 0 m/s. Considerando que os corpos estão, inicialmente, na mesma linha vertical, desprezando a resistência do ar, e considerando g =10 m/s, assinale o que for correto. 01) A altura máxima, em relação ao solo, atingida pelo corpo C é de 85 m. 0) Os dois corpos atingem a mesma altura, em relação ao solo, 1,5 segundos após o lançamento. 04) O corpo C demora mais de 6 segundos para atingir o solo. 08) Os dois corpos atingem o solo no mesmo instante de tempo. 16) A distância entre os corpos, segundos após o lançamento, é de 0 3 metros. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 15
6. (Pucsp 01) Dois amigos, Berstáquio e Protásio, distam de 5,5 m. Berstáquio lança obliquamente uma bola para Protásio que, partindo do repouso, desloca-se ao encontro da bola para segurá-la. No instante do lançamento, a direção da bola lançada por Berstáquio formava um ângulo θ com a horizontal, o que permitiu que ela alcançasse, em relação ao ponto de lançamento, a altura máxima de 11,5 m e uma velocidade de 8 m/s nessa posição. Desprezando o atrito da bola com o ar e adotando g = 10m/s, podemos afirmar que a aceleração de Protásio, suposta constante, para que ele consiga pegar a bola no mesmo nível do lançamento deve ser de a) 1 m/s b) 1 3 m/s c) 1 4 m/s d) 1 5 m/s e) 1 10 m/s 7. (Espcex (Aman) 01) Um lançador de granadas deve ser posicionado a uma distância D da linha vertical que passa por um ponto A. Este ponto está localizado em uma montanha a 300 m de altura em relação à extremidade de saída da granada, conforme o desenho abaixo. A velocidade da granada, ao sair do lançador, é de 100 m s e forma um ângulo α com a horizontal; a aceleração da gravidade é igual a 10 m s e todos os atritos são desprezíveis. Para que a granada atinja o ponto A, somente após a sua passagem pelo ponto de maior altura possível de ser atingido por ela, a distância D deve ser de: Dados: Cosα 0,6; Senα 0,8. a) 40 m b) 360 m c) 480 m d) 600 m e) 960 m www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 15
8. (Unicamp 01) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distância de 40 m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre a) 4,1 e 4,4 m. b) 3,8 e 4,1 m. c) 3, e 3,5 m. d) 3,5 e 3,8 m. 9. (Uff 011) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra-ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária, a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida. Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia a bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar. a) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo. b) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo. c) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais. d) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento. e) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 15
10. (Uftm 011) Num jogo de vôlei, uma atacante acerta uma cortada na bola no instante em que a bola está parada numa altura h acima do solo. Devido à ação da atacante, a bola parte com velocidade inicial V 0, com componentes horizontal e vertical, respectivamente em módulo, V x = 8 m/s e V y = 3 m/s, como mostram as figuras 1 e. Após a cortada, a bola percorre uma distância horizontal de 4 m, tocando o chão no ponto P. Considerando que durante seu movimento a bola ficou sujeita apenas à força gravitacional e adotando g = 10 m/s, a altura h, em m, onde ela foi atingida é a),5. b),50. c),75. d) 3,00. e) 3,5. 11. (Ufu 011) Uma pedra é lançada do solo com velocidade de 36 km/h fazendo um ângulo de 45 com a horizontal. Considerando g = 10 m/s e desprezando a resistência do ar, analise as afirmações abaixo. I. A pedra atinge a altura máxima de,5 m. II. A pedra retorna ao solo ao percorrer a distância de 10 m na horizontal. III. No ponto mais alto da trajetória, a componente horizontal da velocidade é nula. Usando as informações do enunciado, assinale a alternativa correta. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas I e II são verdadeiras. c) Apenas II e III são verdadeiras. d) Apenas II é verdadeira. 1. (Ufpr 011) Na cobrança de uma falta durante uma partida de futebol, a bola, antes do chute, está a uma distância horizontal de 7 m da linha do gol. Após o chute, ao cruzar a linha do gol, a bola passou a uma altura de 1,35 m do chão quando estava em movimento descendente, e levou 0,9 s neste movimento. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s. a) Calcule o módulo da velocidade na direção vertical no instante em que a bola foi chutada. b) Calcule o ângulo, em relação ao chão, da força que o jogador imprimiu sobre a bola pelo seu chute. c) Calcule a altura máxima atingida pela bola em relação ao solo. www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 15
13. (Uesc 011) Galileu, ao estudar problemas relativos a um movimento composto, propôs o princípio da independência dos movimentos simultâneos um móvel que descreve um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo. Assim, considere um corpo lançado obliquamente a partir do solo sob ângulo de tiro de 45º e com velocidade de módulo igual a 10,0m/s. Desprezando-se a resistência do ar, admitindo-se que o módulo da aceleração da gravidade local é igual a 10m / s e sabendo-se que cos 45º e sen45º, é correto afirmar: a) O alcance do lançamento é igual a 5,0m. b) O tempo total do movimento é igual a s. c) A altura máxima atingida pelo corpo é igual a 10,0m. d) O corpo atinge a altura máxima com velocidade nula. e) A velocidade escalar mínima do movimento é igual a 10,0m/s. 14. (Ufop 010) Uma pessoa lança uma pedra do alto de um edifício com velocidade inicial de 60 m/s e formando um ângulo de 30º com a horizontal, como mostrado na figura abaixo. Se a altura do edifício é 80 m, qual será o alcance máximo (x f ) da pedra, isto é, em que posição horizontal ela atingirá o solo? (dados: sen 30º = 0,5, cos 30º = 0,8 e g = 10 m/s ). a) 153 m b) 96 m c) 450 m d) 384 m 15. (Pucrj 010) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45 o em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s ) a) m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 15
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Dados: v 0 = 30 m/s; θ = 30 ; sen 30 = 0,50 e cos 30 = 0,85 e t = 3 s. A componente horizontal da velocidade (v 0x ) mantém-se constante. O alcance horizontal (A) é dado por: A v t A v cos30 t A 30 0,85 3 0x 0 A 76,5 m. Resposta da questão : [E] Q Qf Qi Q Qi Qf Q Qi Q f Q Pelo teorema do impulso, temos: Q F. t F P m.g Q F. t Q m.g. t (eq.1) Vamos determinar o t analisando o lançamento oblíquo, considerando como referencial o chão, ou seja, S0,m, S 0e VY V 0.cos60º. a.t g.t 10.t S V Y.t S S0 V Y.t 0, V 0.cos 60º.t, 0.0,5.t 5.t t.t 0,44 0 Resolvendo a equação de segundo grau, teremos raízes: t 1,s e t,s. Considerando a raiz positiva e substituindo na eq.1, teremos: 3 Q m.g. t 300x10.10., Q 6,60kg. m s Resposta da questão 3: a) Dados: A = 80 m; = 1,4; g = 10 m/s. As componentes da velocidade inicial são: vox voy v0 cos 45 v ox voy v 0 vox voy 0,7v 0 Desprezando a altura inicial do lançamento, a expressão do alcance horizontal (A) é: v0 v0 A sen θ 80 sen 90 v0 800 0 0 1,4 g 10 v0 8 m / s. b) Aplicando a equação de Torricelli na vertical, lembrando que no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula (v y = 0): www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 15
384 vy v0y g Δy 0 0,7 8 0 Δy Δy Δy 19, m. 0 Como a altura inicial é 5 m, a altura máxima (h) é: h h Δy h 5 19, 0 h 4, m. Resposta da questão 4: [A] Dados: v0 10m / s; θ 53,1 ; senθ 0,8; cosθ 0,6; h 16,8m. Adotando referencial no solo e orientando o eixo y para cima, conforme figura temos: y 0 = h = 16,8 m. Calculando as componentes da velocidade inicial: v0x v0 cos θ 100,6 v0x 6 m/s. v0y v0 sen θ 100,8 v0y 8 m/s. Equacionando o movimento no eixo y e destacando que o quando a pedra atinge o solo y = 0, vem: Resposta da questão 5: 01 + 16 = 17. A figura ilustra a situação descrita. www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 15
Dados: v 01 = 0; x 01 = 0; y 01 = 100 m; v 0 = 30 m/s; x 0 = 0; y 0 = 80 m; a = -g = -10 m/s ; sen 30 = 1 ; cos 30 = 3. Equacionemos os dois movimentos: x1 0. C1 a y1 y01 V01t t y1 100 5 t. 3 v0x v0 cos30 0 v0x 10 3 m / s. 1 v0y v0sen30 0 v0x 10 m / s. C x v0x t x 10 3 t. a y y0 voyt t y 80 10 t 5 t. 01) Correto. Lembrando que no ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula v 0 y, apliquemos a equação de Torricelli para C : 100 vy v0y gh y0 0 10 0H 80 H 80 0 H 85 m. 0) Incorreto. y1 y 100 5 t 80 10 t 5 t 10 t 0 t s. 04) Incorreto. O corpo leva 5,1 s para atingir o solo, conforme justificado no item seguinte. 08) Incorreto. Nos instantes em que os dois corpos atingem o solo, y 1 = y = 0. Sejam t 1 e t esses respectivos instantes. C1 0 100 5 t 1 t1 4,5 s. 0 80 10 t 5 t t t 16 0 C 4 64 t 3,1 s não convém ; t t 5,1 s. www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 15
16) Correto. Conforme calculado no item [0] e ilustrado na figura, no instante t = s os corpos estão na mesma altura, h = 80 m. Calculemos, então, a abscissa (x ) do corpo. x 10 3 t x 10 3 x 0 3 m. A distância (D) entre os dois corpos é: D x x 1 D 0 3 0 D 0 3 m. Resposta da questão 6: [B] Dados: D = 5,5 m; H = 11,5 m; v x = 8 m/s; g = 10 m/s. Sabemos que no ponto mais alto a componente vertical (v y ) da velocidade é nula. Aplicando, então, a equação de Torricelli ao eixo y: vy v0y g Δy 0 v0y g H v0y g H 10 11,5 5 v0y 15 m / s. Aplicando a equação da velocidade, também no eixo y, calculemos o tempo de subida (t s ). v0y 15 vy v0y g t 0 v0y g t s t s ts 1,5 s. g 10 O tempo total (t T ) é: t t 1,5 t 3 s. T s T Na direção horizontal a componente da velocidade (v x ) é constante. O alcance horizontal (A) é, então: A vx t T A 83 A 4 m. Para pegar a bola, Protásio deverá percorrer: ΔS D A 5,5 4 ΔS 1,5 m. Como a aceleração é suposta constante, o movimento é uniformemente variado. Então: 1 1 1 ΔS a t T 1,5 a 3 a m / s. 3 Resposta da questão 7: [D] Decompondo a velocidade em componentes horizontal e vertical, temos: Vx V 0.cosα 100x0,6 60 m/s Vy V 0.senα 100x0,8 80 m/s Na vertical o movimento é uniformemente variado. Sendo assim: 1 ΔSy V y.t gt 300 80t 5t t 16t 60 0 A equação acima tem duas soluções: t= 6s e t =10s. Como o projétil já passou pelo ponto mais alto, devemos considerar o maior tempo (10s). Na horizontal, o movimento é uniforme. Sendo assim: ΔS V.t D 60x10 600m x x www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 15
Resposta da questão 8: [B] OBS: Essa questão foi cobrada na prova de Matemática, mas admite solução através de conceitos Físicos, aliás, solução bem mais simples e curta. Serão dadas aqui as duas soluções. 1ª Solução (Matemática): Encontremos, primeiramente, a equação da parábola que passa pelos pontos dados: A equação reduzida da parábola de raízes x 1 e x é: Nesse caso temos: x 1 = 0 e x = 40. Substituindo esses valores na equação dada: y a x 0 x 40 y ax 40ax. Para x = 30 y = 3. Então: 1 3 a 30 40a 30 3 900a 100a a. 100 Assim, a equação da parábola mostrada é: y a x x x x. 1 x 1 x y 40 x y x. 100 100 100 5 Para x = 0 h = H. Então: 0 H 0 100 5 H 4 8 H 4 m. ª Solução (Física): Pela regra de Galileu, sabemos que, para qualquer movimento uniformemente variado (M.U.V.) com velocidade inicial nula, os espaços percorridos em intervalos de tempo (t) iguais e subsequentes, as distâncias percorridas são: d, 3d, 5d, 7d... Ora, a queda livre e o lançamento horizontal na direção vertical são movimentos uniformemente variados a partir do repouso, valendo, portanto a regra de Galileu. Assim, se a distância de queda num intervalo de tempo inicial (t) é h, nos intervalos iguais e subsequentes as distâncias percorridas na queda serão: 3h, 5h, 7h... O lançamento oblíquo, a partir do ponto mais alto (A), pode ser considerando um lançamento horizontal. Como a componente horizontal da velocidade inicial se mantém constante (v x = v 0x ), os intervalos de tempo de A até B e de B até C são iguais, pois as distâncias horizontais são iguais (10 m). Assim, se de A até B a bola cai h, de B até C ela cai 3h, como ilustrado na figura. www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 15
Então: 3h 3 h 1 m. Mas : H 3h h 3 1 H 4 m. 3ª Solução (Física): Como as distâncias horizontais percorridas entre A e B e entre B e C são iguais, os intervalos de tempo entre esses pontos também são iguais, pois a componente horizontal da velocidade se mantém constante (v x = v 0x ). Assim, se o tempo de A até B é t, de A até C é t. Equacionando a distância vertical percorrida na queda de A até B e de A até C, temos: g A B : h t g g A C : H t H 4 t H 4h. Mas, da Figura: H h 3 4h h 3 h 1 m. Como H 4h H 4 m. Resposta da questão 9: [B] No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula. A partir daí, e na vertical, temos uma queda livre a partir do repouso. O tempo de queda pode ser tirado da expressão H 1 gt. Sendo assim quanto maior for a altura maior será o tempo de queda. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 15
Não podemos esquecer que os tempos de subida e descida são iguais. Portanto o tempo total é T = t q. O menor tempo de voo da bola é aquele correspondente à menor altura. Resposta da questão 10: [C] Na direção horizontal (x) o movimento é uniforme. Assim, podemos calcular o tempo (t) que a bola leva para tocar o chão. x x 4 v x t t 0,5 s. t v 8 x Na direção vertical (y) o movimento é uniformemente variado, com aceleração igual à da gravidade (g). gt 10 0,5 h voyt h 30,5 1,5 1,5 h,75 m. Resposta da questão 11: [B] 36 km/h = 10 m/s A primeira providência é decompormos a velocidade em componentes horizontal e vertical. O movimento vertical é uniformemente variado. No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é nula. Portanto: 0 V V aδs 0 5 0H H.5m V V0 at 0 5 10t tsubida s Por outro lado, na horizontal, o movimento é uniforme. O tempo para voltar ao solo é o dobro do tempo de subida ( s ). Portanto: ΔS V.t ΔS 5 10m www.nsaulasparticulares.com.br Página 13 de 15
Resposta da questão 1: Os dados estão mostrados na figura abaixo. a) Equacionando o eixo y: g 10 y y 0 v0yt t 1,35 0 voy 0,9 0,9 5,4 1,35 4,05 0,9 v 0y v 0y 0,9 v 6 m / s. oy b) Equacionando o eixo x: 7 x x0 v0xt 7 0 v0x 0,9 v 0x 0,9 v 30 m / s. 0x v0y 6 tg 0, v 30 0x arctg 0,. c) Aplicando Torricelli ao eixo y e notando que no ponto mais alto v y = 0 e y = H: v v g y 0 6 0 H 0 H 36 y 0y H 1,8 m. Resposta da questão 13: [B] Decompondo a velocidade inicial em duas componentes: horizontal (x) e vertical (y), temos: Vox Vo.cos 45 0 5 m / s Voy Vo.sen45 0 5 m / s Estudando o movimento vertical. V Vo at 0 5 10t t subida 0,5 s Portanto, o tempo total de movimento vale: V T t s V.a. S 0 5 x10xh H,5 m 0 Estudando o movimento horizontal. S S V 5 S 10m. t www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 15
Resposta da questão 14: [D] As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são: v0x v0 cos 0 v0 cos 30 60 0,8 48 m / s. v0y v0sen0 v0sen30 60 0,5 30 m / s. Adotando referencial no solo e orientando a trajetória para cima temos: y 0 = 80 m; v 0y = 30 m/s e g = -10 m/s. Desprezando os efeitos do ar, a equação do movimento no eixo y é: 1 y y0 v0y t a t y 80 30 t 5 t. Quando a pedra atinge o solo, y = 0. Substituindo: 6 36 4 1 16 0 80 30 t 5 t t 6 t 16 0 t 6 10 t 8 s. t t s (não convém). No eixo x o movimento é uniforme. A equação é: x x v t x 0 48 8 x 384 m. 0 0x Resposta da questão 15: [E] Dados: v 0 = 10 m/s; = 45 ; g = 10 ms/. v 0x = v 0 cos 45 = 10 v 0y = v 0 sen 45 = 10 5 m/s. 5 m/s No eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = g. Calculemos o tempo de subida (t sub ), notando que no ponto mais alto v y = 0. v y = v oy g t 0 = 5 10 t sub t sub = s. Como o tempo de subida é igual ao de descida, o tempo total (t T ) é: t T = t sub = s. No eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a v 0x. O alcance horizontal (D) é: D = v 0x t T = 5 D = 10 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página 15 de 15