Disciplina: Sistemas Fluidomecânicos Análise de Turbomáquinas
Análise de Turbomáquinas O método empregado para a análise de turbomáquinas depende essencialmente dos dados a serem obtidos. Volume de controle finito: metodologia empregada para se obter informações sobre vazão, variação de pressão, torque e potência, aplicando o princípio da quantidade de movimento angular.
Volume de controle infinitesimal aplicado sobre elementos de pás individuais: metodologia usada para se obter informações sobre ângulos de pás e perfis de velocidade. Como nesta disciplina estamos trabalhando com escoamentos idealizados, será empregada a aproximação por volume de controle finito.
Princípio da Quantidade de Movimento Angular Abaixo, a equação geral do princípio da quantidade de movimento: + + = Eq. 4.47 = +
Detalhando: volume Torque no eixo motor + + = O vetor localiza cada elemento de massa ou de volume do sistema com respeito ao sistema de coordenadas. é a força de superfície exercida sobre o sistema. Primeiro termo da equação: torque exercido pelas forças de superfícies atuantes no VC. Segundo termo: torque devido à ação da gravidade sobre o fluido dentro do VC. Influência das forças externas sobre o sistema!
No outro lado: volume x densidade = massa = + massa x velocidade = quantidade de movimento (força!) quantidade de movimento x vetor localização = momento da quant. movimt. A primeira integral estima o momento da quantidade de movimento (QM) do sistema. SC, índice mostrado na segunda integral, significa superfície de controle. A segunda integral é relacionada ao fluxo de momento de QM através da superfície do VC. Influência do momento da quantidade de movimento interno sobre o sistema!
Equação de Euler para Turbomáquinas Para a análise de turbomáquinas, é conveniente escolher um volume de controle fixo abrangendo o rotor, a fim de avaliar o torque no eixo. A equação 4.47 é simplificada pois não são consideradas significativas as forças de superfície nem as relativas ao campo gravitacional (desprezadas devido à simetria).
Para um escoamento permanente: + + = = 0 (insignificante) = + = 0, pois o Volume de controle é fixo = Eq. 10.1a
Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise de quantidade de movimento angular. VC sobre um rotor genérico de uma turbomáquina. O eixo Z, alinhado com o eixo de rotação do rotor, é perpendicular ao plano XY
Para um escoamento permanente: Índice t: tangencial Índice n: radial O fluido sai do rotor com velocidade V 2 O fluido entra no rotor com velocidade V 1
Integrando: = Eq. 10.1a = ou, na forma escalar: = Eq. 10.1c A eq. 10.1c é chamada de equação de Euler para turbomáquinas.
As velocidades tangenciais são convencionadas como positivas quando no mesmo sentido da rotação do rotor. Isto faz o torque no eixo T eixo positivo para bombas, ventiladores, sopradores e compressores (consomem torque, este entra no VC), e negativo para turbinas (torque é gerado, sai do VC). A potência gerada ou consumida no eixo do rotor é dada pelo produto escalar da velocidade angular do rotor pelo torque. = = Eq. 10.2a
A equação 10.2a pode ser escrita de duas outras formas de grande utilidade. Seja U = r, onde U é a velocidade tangencial do rotor no raio r : = Eq. 10.2b Dividindo por, obtemos a chamada altura de carga, ou carga, adicionada ao escoamento: = 1 Eq. 10.2c
Diagramas de Velocidade Perfil da pá saída entrada Diagramas de velocidade são úteis para definir as componentes de velocidade do fluido e do rotor na entrada e na saída.
Uma situação idealizada é mostrada na figura abaixo: saída entrada O escoamento no rotor é idealizado entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá (modelo chamado de entrada sem choque). 1 e 2 são os ângulos de entrada e saída da pá, medidos a partir da direção circunferencial.
Entrada A velocidade do rotor na entrada é = A velocidade absoluta do fluido é a soma vetorial da velocidade tangencial do rotor (U 1 na entrada) com a velocidade do fluido em relação à pá (V rb1 ). O diagrama de velocidades na saída é similar ao da entrada. Estes diagramas permitem estimar o torque e a potência ideais consumidos ou entregues pelo rotor, representando o máximo desempenho sob condições ideais de projeto (limite superior de desempenho).
Exemplo 10.1 Bomba centrífuga idealizada. Água a 150 gpm entra axialmente no impulsor de uma bomba centrífuga, através de uma entrada com diâmetro de 1,25 pol. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de saída do impulsor é de 4 pol. O fluxo sai do impulsor a 10 pés/s em relação às pás radiais. A rotação do impulsor é de 3450 rpm. (a) Determinar a largura b 2 de saída do impulsor, (b) o torque entregue ao impulsor e (c) a potência requerida predita pela equação de Euler para turbinas.
Q = 150 gpm 0,0094635 m 3 /s (galão EUA) VC fixo V rb2 = 10 pés/s 3,0480 m/s R 1 = 0,625 pol. = 0,015875 m R 2 = 2 pol. = 0,0508 m = 3450 rpm = 361,283 rad/s água = 1000 kg/m 3
VC fixo Vazão: = = = 2 = 2 = 0,0094635 3,048 2 0,0508 = 0,00973
Da equação da quantidade de movimento angular com fluxo de saída uniforme: = Entretanto, na entrada não há momento angular na direção z, portanto: = = Desenvolvendo: = = 0,0508 3450 2 60 1000 0,0094635 = 8,8232 Nm
Calculando a potência: = = 3450 2 60 8,8232 = 3187,7 W 4,28 h Respostas a) 9,73 mm; b) 8,82 Nm; c) 3187,7 W ou 4,28 hp
Exemplo 10.2 Ventilador de Fluxo Axial Idealizado Um ventilador de fluxo axial opera a 1200 rpm. O diâmetro na ponta da pá é de 1,1m e o diâmetro do cubo é de 0,8m. O fluido é ar na condição padrão e o escoamento considerado incompressível. Não há mudança na componente axial da velocidade através do rotor. R m z Fluxo VC estacionário, é o canal de escoamento
Os ângulos de entrada e de saída da pá são de 30 e 60 respectivamente. Pás de guia de entrada dão ao fluxo absoluto que entra no primeiro estágio um ângulo de 30. Admita que o fluxo relativo entra e sai do rotor nos ângulos geométricos da pá e utilize as propriedades no raio médio da pá para os cálculos. Para essas condições idealizadas: (a) desenhe o diagrama de velocidade de entrada, (b) determine a vazão volumétrica, (c) esboce as formas das pás do rotor, (d) desenhe o diagrama de velocidade de saída, (e) calcule a potência necessária para acionar o ventilador, (f) calcule o torque mínimo necessário para acionar o ventilador.
Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo: = Eq. 10.1a Considerações: 1. Torques devido a forças superficiais ou de massa são desprezíveis; 2. Escoamento permanente; 3. Escoamento uniforme nas seções de entrada e saída; 4. Escoamento incompressível; 5. Não há variação na área de escoamento axial; 6. Use o raio médio das pás do rotor, R m.
As formas das pás são: Item (c) 1 = 30 V rb1 Movimento da pá z V rb2 2 = 60 O diagrama de velocidade de entrada é: U =.R m Item (a) 1 = 30 1 = 30 V rb1 Atenção: U foi estimado usando R m. Porque? V 1 V t1 V n1
U =.R m 1 = 30 1 = 30 V rb1 V 1 V n1 V t1 Da continuidade, a vazão que entra é igual à vazão que sai: = = Como A 1 = A 2, então V n1 = V n2
Como A 1 = A 2, então V n1 = V n2 e o diagrama de velocidade de saída é conforme mostrado abaixo: U =.R m 2 = 60 V 2 2 V n2 V rb2 V t2 Item (d)
No raio médio das pás: D pá D cubo D m =. =. 2 = 1200 2 60. 1 2 1,1 + 0,8 2 = 59,69026 /
U =.R m 1 = 30 1 = 30 V rb1 V 1 V n1 V t1 Da geometria do diagrama de velocidade de entrada: 30 = =. 30 = 29,84513 / 30 = =. 30 = 25,84664 / 30 = =. 30 = 14,92257 / 30 = = 30. = 51,69328 /
A vazão em volume: = = 4 á = 25,84664 4 1,1 0,8 = 11,57095 / = 11,6 / Item (b)
Torque no eixo, para escoamento uniforme: = Eq. 10.1c Do diagrama de velocidade de saída: U =.R m 2 = 60 = V 2 2 V n2 V rb2 = + V t2 a = + 30 30 =
= U =.R m 2 = 60 = + 30 V 2 2 V n2 V rb2 V t2 = 30 = 59,69026 30 25,84664 25,84664 = 1,732050875 = 60 = = 60 25,84664 = 44,76769 /
= Mas é para usar o raio médio! = = = 1,2250 / = 0,475 44,76769 14,92257 1,2250 11,57095 = 200,942613. Item (e) = 200,9. = = 1200 2 60 200,9 = 25251,1934 = 25, 25 Item (f)
Diagramas de Velocidade (continuação) Perfil da pá saída entrada Se o fluido entrar no impulsor com uma velocidade absoluta puramente radial, não haverá quantidade de movimento angular e V t1 será nula.
Se V t1 = 0, então = 1 Eq. 10.2c = Eq. 10.3 Sabemos que = = Eq. 10.4
Então = = Eq. 10.5 Para um impulsor de largura w, a vazão em volume é = 2 = Substituindo na equação 10.5: =
Reescrevendo: = Eq. 10.7a Ou = onde = Eq. 10.7b = Observa-se que a equação 10.7a prevê uma variação linear da altura de carga H em relação a vazão em volume Q.
Eq. 10.7b = = = A constante C 1 representa a altura de carga ideal desenvolvida pela bomba para vazão em volume zero (altura de carga de bloqueio). Por outro lado, a inclinação da curva de altura de carga versus vazão em volume (curva H Q) depende do sinal e da magnitude de C 2.
Curvada para frente Altura de carga H V rb2 (rel) Curvada para trás Seção meridional Seção transversal Vazão volumétrica Q
Eq. 10.7b = = = Se 2 < 90, ou seja, se as aletas forem viradas para trás (figura abaixo), então C 2 > 0. A altura H diminui em proporção à Q.
Eq. 10.7b = = = Se 2 = 90, ou seja, se as aletas forem radiais, então C 2 = 0. A altura de carga H ficará independente da vazão Q.
Eq. 10.7b = = = Se 2 > 90, ou seja, se as aletas forem voltadas para frente, então C 2 < 0, e a altura de carga H aumentará com a vazão Q. Entretanto, pás curvadas para a frente quase nunca são utilizadas na prática porque tendem a um comportamento instável.
Potência Hidráulica O torque e a potência preditos pela aplicação da quantidade de movimento angular ao rotor, vistos até este momento, são valores idealizados. Na prática, a transferência de energia entre o rotor e o fluido tem perdas devido efeitos viscosos, desvios de escoamento uniforme e desvios de direção de fluxo em relação aos ângulos das pás. A transformação de energia cinética em aumento de pressão pela dispersão do fluido introduz mais perdas. Dissipação de energia ocorre pelo atrito nos selos e mancais, e também pelo atrito entre o fluido e o rotor e carcaça, e calor é perdido para o ambiente.
Para uma bomba, potência hidráulica é definida por onde = = + 2 + + 2 + Eq. 10.8a çã Eq. 10.8b
Para uma bomba real, a taxa de energia mecânica recebida é menor que a taxa de aumento de carga produzida. A eficiência de uma bomba é dada por: = = Eq. 10.8c
Para avaliar a variação real na altura de carga, deve ser conhecida a pressão, velocidade e elevação do fluido nas duas seções de medição. A velocidade do fluido pode ser estimada através da vazão volumétrica e dos diâmetros dos tubos. A pressão estática é medida em trechos retos a montante e a jusante da bomba, com a elevação de cada manômetro ou as leituras de pressão estática corrigidas para uma mesma elevação (normalmente a linha de centro da bomba).
Exemplo 10.3 Estimativa de características de uma bomba a partir de dados de teste O sistema de escoamento empregado no teste de uma bomba centrífuga a 1750 rpm é mostrado abaixo. O líquido é água a 80 o F e os tubos tem diâmetro de 6 pol. Os dados medidos em teste são apresentados na tabela a seguir. O motor é trifásico, 460V, fator de potência 0,875 e eficiência constante de 90%.
Calcule a altura de carga líquida e a eficiência da bomba para uma vazão volumétrica de 1000 gpm. Monte os gráficos de altura de carga da bomba, potência e eficiência em função da vazão volumétrica. Vazão (gpm) Pressão de sucção (psig) Pressão de descarga (psig) Corrente do motor (amp)
Para uma turbina hidráulica, a potência liberada pelo rotor (potência mecânica) é menor do que a taxa de energia transferida do fluido para o rotor, porque o rotor tem de superar perdas de atritos mecânico e viscoso. A potência mecânica fornecida por uma turbina é relacionada à potência hidráulica através da equação abaixo: = = Eq. 10.9c onde = Eq. 10.9a = + 2 + + 2 + í Eq. 10.9b
A equação 10.9b indica que, para se obter potência máxima de uma turbina hidráulica, é importante minimizar a energia mecânica do escoamento na saída da turbina. Isto é realizado fazendo-se a pressão, velocidade e elevação do fluido, na saída da turbina, tão menores quanto possível. Por isto a turbina é montada o mais próximo possível do nível do rio a jusante, o que é feito sempre considerando o histórico de enchentes do rio. = + 2 + + 2 + í Eq. 10.9b
Bibliografia Robert W. Fox, Alan T. McDonald Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada. ISBN-10: 8521610785 ISBN-13: 978-8521610786